Guia Funciones Vectoriales - Luis Villamizar

M A T E R IA L IN S T R U C C IO N AL D E A P O Y O A LA C A T E D R A DE F U N C IO N E S V E C T O R IA L E S

M Sc. Luis V illam izar 2011

Universidad de Carabobo Facultad de Ingeniera

CONTENIDOS PROGRAMATICOS

Tema 1 Lim ites y Continuidad. R" como espacio mtrico. La norma eueldea. Mdulo de los componentes en relacin con la norma. Desigualdad de Schwarz. Definicin y propiedades de la distancia. Funciones de R" en R m. Funciones reales. Funcin vectorial. Componentes de una funcin vectorial. Ejemplos. Dominio de una funcin vectorial. Conjuntos de nivel de una funcin real. Algunos ejemplos de representacin grfica de funciones de R2 en R y de R en R2. Esfera abierta. Conjunto abierto. Entorno. Entorno reducido. Punto de acumulacin de un conjunto. Punto aislado. Int uicin geomtrica del concepto de limite. Definicin de lmite en trminos de esferas abiertas. Definicin en trminos de distancias. Teorema unicidad del limite (enunciar). Mtodos para el clculo lmites. Lmite a lo largo de una curva. Ejemplos. Lmites iterados. Ejemplo. Demostracin de la existencia de lmites por definicin. Ejemplo. Teorema: El lmite de una funcin segn lmites de sus componentes (enunciar y motivar). Continuidad. Definicin. Discontinuidad. Extensin continua. Continuidad de una funcin segn la continuidad de sus componentes (enunciar y motivar). Teorema : Toda transformacin lineal de R71 en R" es continua (demostrar).

Tenia 2 El D iferencial. Derivada Parcial. Definicin. Ejemplos. Significado de la derivada parcial como velocidad de crecimiento en una direccin coordenada. Significado geomtrico. Funcin derivada. Derivadas de segundo orden y orden superior. Ejemplos. Igualdad de las derivadas cruzadas, (enunciar y motivar). Matriz jacobiana. Analoga con la derivada de una funcin de una variable. Definicin de diferenciabilidad de una funcin de vanas variables por medio de la matriz jacobiana. La diferencial como una transformacin lineal. Definicin de transformacin afn. La transformacin afn aproximante. Plano tangente a la grfica de una funcin / : R2 > R. Existencia de la matriz jacobiana como condicin necesaria pero no suficiente para la diferenciabilidad. Teorema: Continuidad de las derivadas parciales y diferenciabilidad (enunciar y motivar). Funciones de clase C 1 (Continuamente Diferenciables).

Tema 3 D erivada D ireccional. Definicin. El vector gradiente. Matriz jacobiana y el vector gradiente. Derivada direccional y el vector gradiente. Teorema: Mximo y mnimo de 1a. derivada direccional en un punto en relacin al vector gradiente (enunciar y demostrar). Conjuntos de nivel y el vector gradiente. Plano tangente a una superficie de la forma F {x ,y . z ) c. Recta tangente a una de la forma f ( x , y) = c.

Tema 4 Funcin C om puesta , Funcin Inversa, Funcin Im plcita . Compuesta de dos funciones. Teorema de la funcin compuesta o regla de la cadena (enunciar). Casos particulares de la regla de la cadena. Inversa local. Teorema de la funcin

Departamento de Matemtica 2 Luis Villamizar

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inversa (enunciar). Funcin implcita. Caso particular F(x .y ) 0. Caso general F ( X . Y ) = 0. Teorema de la funcin implcita, (enunciar). Aplicacin: Ecuacin de la recta tangente a curvas en el espacio de la forma: (F(x. y. z). G(x. y. z)) (ct. c2).

Tenia 5 E xtrem os y E xtrem os C ondicionados. Forma cuadrtica R . Funcin lio moglica. Forma cuadrtica como polinomio homogneo. Matriz asociada a una forma cuadrtica. Forma cuadrtica definida, semidefinida y no definida. Diagona- lizacin de una forma cuadrtica. Mtodo de Guldenfinger (enunciar). Mtodo de los valores caractersticos. Matriz Hessiana. Analoga con la segunda derivada de una funcin real de una variable. Desarrollo de Tavlor de segundo orden. Extremos de una funcin real. Extremos absolutos y relativos. Definicin de un conjunto compacto en ?Rn. Teorema: Toda funcin real, definida sobre un conjunto compacto tiene un mximo y un mnimo. Ejemplo. Puntos crticos. Teorema: Anlisis de extremos utilizando la matriz Hessiana (enunciar). Caso de dos variables. Extremos condicionados. Definicin. Mtodo de sustitucin directa y parametrizacin. Mtodo de los multiplicadores de Lagrange (enunciar). Ejemplos.

Tema 6 Integrales M ltiples. Integral iterada en un rectngulo de R 2. Integral iterada sobre regiones ms generales. Malla en R2. Mdulo de una malla,. Integral doble como lmites de sumas. Significado geomtrico. Integral triple y mltiple. Teorema de Fubini (enunciar). Propiedades. Aplicaciones: Areas. Volmenes. Momentos estticos. Centro de gravedad. Momento de inercia. Definicin de cambio de variables. Teorema de cambio de variables para integrales dobles (enunciar). Coordenadas Polares. Coordenadas cilindricas. Coordenadas esfricas.

Tema 7 Integrales de Lnea y de Superficie. Curvas en forma paraintrica. Curvas suave y parcialmente suave. Vector tangente. Longitud de arco. Integral respecto a la longitud de arco. Aplicaciones: Area de una cerca de altura variable. Centro de masa de un alambre. Campos vectoriales. Rotacional y divergencia. Propiedades. Interpretacin fsica: Mecnica de fluidos, campos electromagnticos. Integral de lnea de un campo vectorial. Propiedades. Significado fsico. Trabajo realizado por una. fuerza. Velocidad tangencial promedio de un fluido. Integral de lnea de un campo gradiente. Teorema de Groen en el plano (enunciar). Superficies en forma paraintrica. Plano tangente. Vector normal. Areas de superficies. Integral respecto al diferencial de rea. Integral de superficie de un campo vectorial. Teorema de la divergencia en el plano enunciar. Teorema de Stokes (enunciar). Teorema de Gauss de la divergencia (enunciar). Aplicaciones.



BIBLIOGRAFIA

1. ANTON, Howard. Clculo y Geometra Analtica. Editorial Limusa. Mxico. 1984

2. BRADLEY, G. y SMITH, I\. Clculo de Varias Variables. Prentice Hall. Espaa. 1998.

3. DA SILVA, Jos. Clculo de Punciones Vectoriales. Facultad de Ingeniera. Universidad de Carabobo. Brbula. 1980.

4. FALCON, F. y VILLAMIZAR. L. Complemento de Funciones Vectoriales. Universidad de Carabobo. Brbula. 1993

t). GARCIA, V. y RODRIGUEZ, R. Integracin en J?n, Aplicaciones y Teoremas Asociados. Facultad de Ingeniera. Universidad de Carabobo. Brbula. 1989.

6. HERNANDEZ, Jaime. Funciones de Varias Variables. Facultad de Ingeniera. Universidad de Carabobo. Brbula. 1973.

7. MARSDEN, Y. y TROMBA, A. Clculo Vectorial. Fondo Educativo Interameri- cano. Espaa. 1981.

8. LEITHORD, Louis. El Clculo con Geometra Analtica. Editorial Hara. Mxico. 1993.

9. PITA, Claudio. Clculo Vectorial. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. Mxico. 1995.

10. RODRIGUEZ, R. y TOVAR DE SOUTO, Y. Las Formas Cuadrticas en el Estudio de Extremos de Funciones. Facultad de Ingeniera. Universidad de Carabobo. Brbula. 1981.

11."SMITH, R. y MINTON, R.. Clculo. Tomo 2. McGraw Hill. Colombia. 2001.

12. SPIEGEL, Murray. Clculo Superior. 'Editorial Interamericana. Mxico. 1972.

13. 8TEWARD, James. Clculo Multivariable. Editores Thompson. Tercera edicin. 1998.

14. THOMAS, G. y FINNEY, R. Clculo Varias Variables. Editorial Pearson. Novena Edicin. Mxico. 1999

15. WILLIAMSON, R., CR.OWELL, R. y TROTTER, H. Clculo de Punciones Vectoriales. Prentice Hall. New Jersey. 1972.



MATERIAL INSTRUCCIONAL DE APOYO

1. Demuestre que R4 con las operaciones:

X 4- Y {X\ 4- X\, X2 -r J/2. x3 + V'i *4 + Vi)A o A' = (A.r1: A.T2, Ax3, Ax4)

es un espacio vectorial, donde: A (xi,x2, r3, x4) e Y - (y , y2, ys-tk), A R.

2. Determine s el conjunto definido por:

5 = {(.T], 2-2, 2:3^ 4) | Ti = X2 = T3 = ;C4}

es un subespacio vectorial de R4.

3. Verifique si el conjunto formado por las ternas de nmeros reales (x , y , z ) tal que \x\ = \y\, es un subespacio vectorial de R3.

4. Sean los conjuntos:

A = {(a:, y) x > 0, y > 0}B = { ( x ,y ) \ x y > 0}

Verifique si definen un subespacio vectorial en R 2.

5. Determine si los conjuntos definidos por:

a) Si = { (x, y, z) | 3a- - 8y + 92 = 0}b) S2 {(x, y, z) \ x = 2t, y = t, z = 511 Re}

definen un subespacio vectorial en M3.

6. Dados los puntos Ap = (2,1), A i = (3 /2 ,1 /2 ) y la esfera abierta

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10. Sean A' U i.y i). V = (;r2. //_>) vectores en j?r. determine a la relacin d

20. Determine la norma y la distancia inducidas por el producto interno dado por:

j ' U - I /() ' f/(.r)d.rJ a

en [a.b\ Calcular ||/|| donde / : [l. 2] > R. /(.r) ,r~. Y.r 1. 2L

21. Sean U v V dos vectores en R t ales que:

lic/|: = p\'i! = r - v i !

Demuestre que el ngulo entre U y V es de ~/3. C ual es el ngulo entre C y - C .

22. Sean X e Y dos vectores en R" tales que:

a) ||Y|! = 5 . ||1'| - 4 y IjY + V'|| - 7. Calcule ||Y - V|!b) X e Y forman un ngulo de tt/G. ||Y|| = 4 y ||Y|| 3. Calcule |JA' 4 Y|, y

l|A '-r|i

23. Tres vectores A'. V y Z son tales que:

||Y|; = |z! ^ o . |:v|| ^ (J -v - y 4- z\\ = IIy 4- y ~ z |!

Si el ngulo que forman Ae Yes r / 8. Calcular el ngulo que forman V'v Z.

24. Mencione (s lo hay) un conjunto diferente al R 'que sea abierto y cerrado a la vez Justifique su respuesta.

25. Considere el conjunto:

.4 = {(x . ?/)j x > 0. y > 0. y < x. x < 3 }

Represente: El conjunto derivado de A. L4']. el conjunto clausura [Aj. el conjuntointerior .4]. el conjunto complementario \AC) y el conjunto frontera [AF],

26. Sea:.4 = {(x , y) | x = 1 n. y l/n. v = 1,2. 3. }

Describa los conjuntos interior, derivado, complementario y frontera de A. Es A un conjunto acotado7. Justifique su respuesta.

,27. Determine y represente el dominio de:

ln [y ln(l -f x + y)]


f ( x , y ) =V y ' c o s -r



28. Determine y represente el dominio de:

yj'xy ln sen y

log(or - y2) + y/4 - 2x 2 - y 2


f ( x , y ) arasen

30. Determine y represente el dominio de la funcin:

/(*>?/)

i. ( - % ) + v/36 - 4:r2 - % 2 \x + y j

V^ln(x - y2 + 6) - 1

log(senh ( f - 1)


in(cosx) + ln(cosy)

xyy j eosh ( 2 . r ) * log( 100 x2 y2)


are sen

Y x~v

( + f ) J


f { x , y ) -


f { x , y ) ~

log (x+y/y)

hi(5i) y s e n b (2 i-y )

.2 _ 2X* - y


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g(x, y) = logln(x 2) y/y + ^/x

senh(2x y)

36, Determine y represente el dominio de:

ln{l+.r+&)

_ v 4 ~ x 2 " y2 ' \/ij sbn x .


f ( x , y )\ / (3 - |s2 -y | )

are sen (y - x)


\ f S q j + ln(-/)

^/'ln(x + y + 3)

39. Obtenga y represente el dominio de la funcin:

f ( x , y ) =

ln[sen(a; + y) cosh(ln(y x))j

V x+ > J x?+ y


h(x, y) =


y) =

3- 3/tog(l/+3)

ln ( n H .

y/senh[r ln(y x2)]

* * ( ? d p )


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42, Determine y represente el dominio de:

/ p-^ /tt-senh (r2-.y) \

fh'.y)

18 ( ) ' ( @ 02) /43. Determine y represente el dominio de:

\/l(3~~ ! x 2 2y \ )f(:r-V)


H r ,y ) =


/ ( * .y ) =

arcsen(?/ - x)

\j z-V

^4-T2- y2 In(.Ty)

y^n ( t o t ) + 'y/v

v 2 - :ry


/(a"-y) =\/snh ( f ' ) \'y - I 2 + 6

I n ( ^ )


f (x,y) --x y + 1

+ Iny + 3x2 3 \ 36 4x2 9 y2


e'\//+2)'senh(;r2~2')


Universidad de Cara bobo

' V , - > U - n ;o ' I------ la to

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/ . H . xy) \

f ( x - V )

\ v/l2 -3r2-4j,2 +2 /


{ \Zsen [* ( y - t ) ] ^f ( x - y ) =

V51. Aplicando la definicin verifique que el limite de f ( x . y ) 3x2 + y es 5 cuando ( x ,y ) -> (1 ,2 ).

52. Sea la funcin:

f ( x - y ) =3 x2y

x 4 + 2 y4

6 E s posible definir el valor /(O. 0) de tal modo que / sea continua en este punto?. Si su respuesta os afirmativa, defnalo. Explique.

rtx. Sea:

/(a-, y) =si (x. y) (0. 0)

1 si (x. y) = (0, 0)

Estudie la continuidad de / en X q = (0. 0).

54. Estudie la continuidad de / en X Q (0,0). si:

f ( x - . y ) =

55. Estudie la continuidad de:

f ( x , y ) =

^ si (x. y) (0, 0)

0 si (x ,y ) (0, 0)

si (x, y) 7^ (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)



56. Dada la funcin :

f { x , y )^0 - si (x ,y) (0 , 0)

0 si (x, y) - (0 , 0)

a) Determine si / es continua.b) Verifique si / es diferenciable en (x ,y) = (0,0).

57. Sea:

2 ^ 5 si (x ,y ) (0 , 0 )/ ( s .v ) =

0 si (x, y) = (0 , 0 )

a) Determine si esta funcin es continua en (0,0).b) Estudie su diferenciabilidad en (0,0)

58". Porque en la definicin de derivada parcial de una funcin en un punto Xo, ste debe pertenecer al interior del dominio?.

59. Sea.

1 si x > 0 , y > 0/ ( x ,y ) = y)

x-'+V2

0 si (x, y) = (0 , 0 )

Verifique, si satisface el teorema de las derivadas cruzadas (Schwarz) en el punto * o = (0,0)

Dpartamento de Matemtica 12 Luis Villamizar

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61. Sea la funcin definida por:

f ( x - y ) =

si (x ,y) (0,0)

0 si (x ,y) (0,0)

a) Determine si f ( x , y ) es continua en (0,0).b) Verifique si f xy f yr en (0,0).

62. Sea la funcin:

f f a y )si x + y 0x + y * '

0 si x + y = 0

a) Calcule / x(0,y), si y 0 y f T\0,0).b) Que puede decir acerca de las derivadas cruzadas en el punto (0,0) tomando

en cuenta el resultado anterior?.

63. Verifique si la funcin dada es diferenciable en X q = (0,0).

si (*,?,) ( 0 ,0 )+y

0 si {x ,y ) (0.0)f { x , y ) =

64. Sea:

si (x ,y) (0,0)

0 si (a:, y) = (0,0)

Verifique si / satisface el teorema de la derivadas cruzadas en X q = (0,0). Qu puede decir acerca de la diferenciabilidad de sta funcin en ese punto, con el resultado obtenido?.

65. Determine si la funcin:

xysen(l/y) s i y ^ O

0 si y = 0

Es de clase C 1 en (0,0). Es diferenciable en ese punto?.

f ( x , y )


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06. Dada la funcin:

(x~ + y~) sen si (x.y) -A (U.O)\jT-+y-

0 si (x. y ) - (0. 0 )

Determine si f es diferenciable en A'(, (0,0). Es continuamente difereneiable en X = (0. 0)7.

67, Sea:

x 1 sen(1 ,/.t ) 4 y2 cus 1/y) si .r 0 V y ^ 0/{r.y) =

0 si x 0 V y =

Determine si f es una funein diferenciable en (0.0). Es de clase C 1 all?

68. Sea:

/(r- y)) si ,/ - y i'- o

0 si x - y = 0

Determine se f es una funein de clase C'1 en (0,0). Es diferenciable nll?.

69. Sea

/(r ,y ) =xy2s e n ( l ) si x 0 '

0 si x = 0

a) Determine si / es una funcin de clase C 1 en (0,0)b) Podr encontrarse un funcin afn que permita aproximar a / en una bola

abierta centrada en (0.0)?. Justifique su respuesta.

70. Dada la funcin:

.9(2-, y) = 0. respectivamente. Estime el error mximo en el valor calculado de A si los errores mximos de x. y y d son 1.5 cm. 2.5 cm y 2". respectivamente.

89. El potencial elctrico en un punto (x. y) viene dado por \ '(.?. y) < ~2:r eos 2y. Para (xo-yo) = (0. tt/6 ) se pide: a) En que direccin disminuye con mayor rapidez ste potencial y cual es su valor numrico b! En que direccin el potencial se mantiene constante c) Cual es esta variacin en la direccin desde (.'u.yo) hacia el punto {tt/2. tt/3).

90. Al levantar topogrficamente un terreno triangular usted ha medido'dos de sus lados y el ngulo entre ellos. Si ha obtenido los valores de 120 m. 205 rn y 7T/3. i esportivamente. Que error podra tener en forma aproximada el clculo de su rea si en la medicin de los lados se tiene un error de + 3 % y 2 % en la medicin del ngulo. (El rea de un triangulo es (1/2 )6 s e n s ie n d o n y !> las longitudes de dos de sus lados y 0 la medida del ngulo incluido, use radianes).

91. Sea T{x. y) = 1 - 3a.-2 + 2y2 - 4xy + y - x. la temperatura en cada punto (x. y) del plano. Dos insectos frioleros (A y B) se encuentran respectivamente en los puntos A' i - (1. 2) y An ( 1, 4). Si A se mueve en la direccin del eje x y B en la direccin del eje y. 0.085 unidades, se desea saber en forma aproximada: a) Cual de ellos estara ms caliente al final de su recorrido b) Cual ser la variacin de su temperatura desde su ubicacin inicial si ambos se mueven hacia el origen con el incremento dado.

92. Se requieren construir envases cnicos de radio 30 cm y alt ura 40 cm. exigindose que la cantidad del material utilizado no se exceda en 507t cm2. Si la superficie de estos envases puede ser calculada por S(r.h) nry/r2 4- h2. Determine la tolerancia (variacin) 8 en forma aproximada en los siguientes casos: a) En el radio y la altura para cumplir lo exigido (Suponga igual tolerancia para r y h) b) En el radio si la variacin de la altura se restringe a 0.2 cm c) En la altura si la variacin del radio se restringe a 0.1 cm d) Igual al caso a si el envase lleva tapa.

93. El potencial elctrico viene dado por V{x. ?/, z) = 5.r2 - 3xy + xyz en un punto (x . y , z ) del espacio. Para X 0 = (3 .-1 .5 ) se pide: a) En que direccin disminuye con mayor rapidez, ste potencial y cual es su valor numrico b) Cual es la razn de cambio del potencial en X 0 en la direccin normal a la superficie definida por



Gi.r.tj. :} - 2y- 3: 2 .n/c - 4 en 3 .-2 . - 1) o) Cual es esta variacin cula direccin desde A u hacia el origen do coordenadas di ( uanto debe desplazarse desde el punto A en la direccin anterior para cjue el potencial Vari (J.2.

94. El radio y la altura de un cono circular recto se miden con errores mximos de 1 a y 4 (X . respectivamente. Estime el porcentaje de error en el volumen calculado. [V{r.I>) = ( l :3 )r2h

95. Se desea enviar cajas rectangulares con tapa de dimensiones 4. G y 3 metros. Si el precio a pagar por el transporte es de 100 Bs/enr por cada caja.. Cual es la mxima cantidad en forma aproximada que se deja de pagar por el envo de 500 cajas, si las dimensiones de stas tienen variaciones de 3 '/. J 1 (/ y 2 ('{ en el largo, ancho y alto respectivamente.

96. Sea 21.7. 18.3. 32.5 y 40.2 cuatro nmeros. Si stos se redondean al entero superior (parte decimal > 0.5) a,l entero inferior (parto decima! < 0.5) y luego se multiplican entre s. Calculo en forma aproximada el mximo error posible en el producto calculado que pueda resultar debido al redondeo.

97. En una cierta fbrica la produccin diaria en unidades es de:

Q (K .L) 60A'12L1/3

donde K designa el capital invertido (en miles de Bs) \ /, la fuerza laboral (en horas de trabajo). En la actualidad el capital invertido es do 900.000 Bs Y so emplean cada da 1.000 horas de trabajo Estime la variacin de la produccin que resultar de aumentar la inversin en 1.000 Bs. y disminuir en 2 el nmero de horas de trabajo.

98. Una banda limtrofe tiene 20 cm de espesor y se traza alrededor de un rectngulo cuyas dimensiones son 15 ni y 35 m. Determine en forma aproximada el nmero de metros cuadrados de pintura necesaria para trazar la banda limtrofe.

99. Usando una aproximacin lineal determine una valor para //( 2.05, 0.98). si se sabe que h es una funcin M2 - R difer.enciable en ( 2, 1 ) y .su derivada direccional en ese punto en la direccin que forma un ngulo de tt/3 con el eje x positivo es 4 y 6 cuando este ngulo es 2 -/3 . Adems se tiene que lm(,.y) ^ - 2 .\)h{x.y) = 2. Cual os la variacin do h si so desplaza 0.085 unidades en la direccin normal a la curva do nivel definida por la funcin g{.r.y) = 3x 2y x y 2x t y ~ 1 en ( 1. 1).

100. El periodo de un pndulo simple de longitud ! esta definido por la expresin: T(l.g) 2T7\,/TJg. Cual es el error mximo relativo cometido porcentualmente en la determinacin del periodo de pndulo si / 3 con una variacin de 0.05 y



el valor de g = 32 con una tolerancia de 2 %. Suponga un sistema universal de medidas.

101. La presin, el volumen y la temperatura de un mol de un gas ideal estn relacionar dos mediante la ecuacin P V - 8.25 T, en un sistema universal de medidas. Utilice una expresin lineal para calcular el cambio porcentual aproximado de la presin, si el volumen se incrementa de 12 a 12.03 unidades de volumen y la temperatura disminuye de 310 a 309 unidades de temperatura.

102. Se requiere construir un tanque cnieo-cilndrico de igual altura y del mismo radio. Con h = 3 y r = 2 (en metros), s pide: a) Cual debe ser la tolerancia en sus longitudes para que la capacidad del tanque no vare en ms de 2 % (suponga la

___ jTiisma tolerancia para ambas longitudes) b) En caso de incrementarse una sola, deestas dimensiones en 10 cm., cual hace que el volumen aumente ms?.

103. Una viga rectangular horizontal, soportada en ambos extremos, se flexionar al estar sometida a una carga uniforme (peso constante por metro lineal). La cantidad S de flexin se calcula con la frmula:

S(p, x, w, h) =

En esta ecuacin p es carga (newton por metro de longitud de la viga), x es longitud entre soportes (metros), w es ancho de la viga (metros), h es altura de la viga (metros) y c es una constante que depende de las unidades de medida y del material de que est hecha la viga. Encuentre la variacin en la flexin de una, viga de 4 m de largo, 10 cm de ancho y 20 cm de altura que est sometida a una carga de 100 N/m, si las vigas son construidas con un variacin de 3% en sus dimensiones y la carga varia en un 5%. Para cual variacin se logra una flexin ms pequea?, ( c = 1).

104. En una obra civil la pared de un edificio tiene la forma de un tringulo rectngulo. Si la hipotenusa debe medir 10 metros formando un ngulo con uno de los catetos de 7r/3, se requiere conocer cuanto es la variacin del rea cuando: a) su hipotenusa varia 1 % b) su ngulo varia 2 % c) ambas varan en esas cantidades.

105. Al levantar topogrficamente un terreno triangular usted ha medido dos de sus lados y el ngulo entre ellos. Si ha obtenido los valores de 120 m, 205 m y tt/3, respectivamente. Que error podra tener en forma aproximada el clculo de su rea si en la medicin de los lados se tiene un error de 4-3 % y 2 % en la medicin del ngulo. (El rea de un triangulo es (l/2)absen#, siendo a y. las longitudes de dos de sus lados y 6 la medida del ngulo incluido, use radianes)


iUniversidad de Carabobo 1 Facultad do Ingeniera

106. Sea la superficie definida por z x 2jrxy, determine la ecuacin del plano tangente a sta que sea perpendicular a los planos x 4- y z 3 y 2x y 4 z 4.

107. Determine un plano tangente al elipsoide x '2 -f 3y2 + 5z2 1 que sea paralelo al plano tangente a la superficie S, definida por f ( x , y) xy en el punto Xq = (1,1,1).

'^ 1 0 8 . Dada la superficie S definida por G (x ,y , z ) = x2 4 y2 - z = 0 y la curva C por H ( x ,y , z ) [x - 1 , z2 x - y2} [0,0]. Determine el plano tangente a 5 y el ngulo entre este plano y el vector director a C en uno de los puntos donde se interceptan.

109. Muestre que el producto de las intersecciones con los ejes cartesianos de cualquier plano'tangente a la superficie definida por F ( x , y , z ) = xyz c es una constante.

^ V l lO. Sea lsUperficie implcita S definida por F(x, y, z) z x2 4 xy = 0 y la curva C definida en forma paramtrica por g(t) [t,t + 1,2]. Se pide:

a) El(los) punto (s) de interseccin de S con Cb) El plano tangente a S y la recta tangente a C en uno de esos puntos

111. Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie paramtrica S definida ' por g(u, v) [u2 + v 9 , 2 uv 4 , u + v 5] en el punto Xq = (5,2, 1).

Encuentre si los hay los puntos donde S no tiene plano tangente. Cul es el ngulo de interseccin en Xq entre esa superficie y la superficie definida explcitamente por f ( x , y) = I2xy - x 3 - y3 4- 2.

^ 1 1 2 . Dada la superficie S definida por G (x ,y , z ) x 2 + y2 z = 0 y la curva C por H ( x ,y , z ) [xl . z 2 x y2] [0,0]. Determine el plano tangente a 5 y el ngulo entre ste plano y el vector director a C en uno de los puntos donde se interceptan.

y 2 J2113. Sea el elipsoide = 1. Demuestre qiie la ecuacin de su plano tangente

en el punto (x0: yo, ^o) puede escribirse mediante la expresin ^ ^ ^ = 1

114. Determine la ecuacin cartesiana del plano tangente a la superficie paramtrica S definida por g(u, v) = [3u + v2 + 6 ,2uv + 1, u + v + 2] en el punto X 0 = (1, 3,1). Encuentre si los hay los puntos donde S no tiene plano tangente.

115. Dadas las superficies: Si definida por F ( x , y , z) 2z + 2y x 2 9 y 52 definida en forma paramtrica por g{u,v) = [2u 4- v,u 2v,u2 4 v2]. Se pide: a) El ngulo de interseccin entre Sy y 5 2 en el punto X = (1,3,2) b) La ecuacin vectorial de la recta tangente a la curva C definida por la interseccin de Si y S2 en el punto Xo c) Los puntos (si los hay) donde S2 no tiene plano tangente.

116. El plano x + z 3 cruza al cilindro x 2-i- y2 5 en una elipse. Determina la ecuacin paramtrica de la recta tangente a sta elipse en el punto (1, 2,2).


Universidad de Cara bobo Facultad de Ingeniera

117. Obtenga la ecuacin cartesiana del plano tangente a la superficie definida en forma paramtrion por


123. Sea el elipsoide definido por Fl.i. y. z) = x 2 4- y2 -r 2 :2 = 2. determino las ecuaciones de los planos tangentes en los puntos de interseccin de ste con la curva definida por: g(1) = (3t. 21. i).

124. Sea la superficie implcita S definida por F (x .y . z ) z .r2 + xy 0 y la curva C definida en forma paramtiica por no tiene plano tangente.

127. Sea / una funcin con derivadas parciales continuas y tiene derivada direecional mxima igual a 50 en An = (1. 2) que se alcanza en la direccin de Ao a punto A'i = (3 .-4 ) . Utilizando esta informacin calcule V / ( 1.2).

128. Suponga que necesita conocer una ecuacin del plano tangente a una superficie S en el punto Ao = (2.1.3). No se tiene una ecuacin para S pero se sabe que las curvas: n (t) = (1 -- ?r. 2a3 1. 2ii -f 1) y r->(f) = (2 4- 3v. 1 v 2. 3 - 4r + r2) estn en S. Encuentro una ex nacin del plano tangente a.S en A 0.

129. Suponga que la temperatura Celsius en el punto (x .y) es T(r. y) = . r y - 2xy ~ 1 y que la distancia en el plano xy se mide en metros. Si una partcula se mueve en sentido horario alrededor del crculo de radio 1 metro con centro en el origen, se 'pide: a) Con que rapidez cambia la temperatura de la partcula en el punto A 0 = (1/2, \^'2) b) Cual es sta rapidez si se desplaza desde el punto A (l hacia el origen.

130. Sea-la funcin f ( x , y , z ) = l / ( x 2 y2 + z2). Compruebe que la derivada direecional de / en la direccin del vector normal a la superficie implcita definida por G (x .y , z) = x2 + y2 az2 = 0 es nula en todo punto de sta superficie.

131. Un cultivo de bacterias ha sido infectado por un contaminante, cuya concentracin, medida con un sistema coordenado xy, esta dado por:

C(x .y ) 2 + 4sen2(.r + 3 y + 8 xy)

Departamento de Matemtic a 23 Luis Villamizar

Universidad de Carabcbo Facultad de Ingeniera

donde x e y se miden 011 centmetros y C en centigramos por litro. Una bacteria se encuentra en el punto de coordenadas (1,2). En que direccin se deber mover la bacteria en el cultivo para que no tenga ningn cambio en la concentracin del contaminante.

132. Supongamos que cierta funcin f ( x , y ) tiene derivada direccional 8 en el punto X q (1.2) en la direccin del vector ua (3, 4) y tiene derivada direccional 1 en X q en la direccin Ub = (12,5). Determine la derivada direccional de / en X q en la direccin uc = -3 i + 5j .

133. Sea / : K2 > M una funcin diferenciable en el punto (2 ,-1 ) . Determine un valor aproximado para / en (1.99, 1.01) si l m ^ )- ,^ , _ x ) .f ( x , y ) ~ 3, su derivada

direccional en (2 , -1 ) en la direccin del vector .4 = (3,4) es 6 y 2 en la direccin * = (1 2 ,-5 ).

134. Determine los valores a, 6 y c de F(x ,y , z) a,x2y + bxz2 + cyz para que sta tenga en el punto X 0 = (1 ,1, 1) una derivada direccional mxima de 25 en la direccin normal en Pq (0 ,0,0) a la superficie definida por: G(u, v) [u, v, u2 + v2].

135. Determine el valor de a, b y c para que la derivada direccional de la funcin f(x,y, z) = axy2 -f byz + cz2x 3 en X o(l, 2, 1) tenga un valor mximo de 64 en la direccin normal al plano xy.

136. La temperatura en un punto (x, y) do ma placa metlica es T (x ) y) \^ +yt Encontrar la razn de cambio de temperatura en (1, 1) en la direccin de a ~ 2i j . Una hormiga que est en (1,1) quiere caminar en la direccin en que la temperatura aumente con mayor rapidez, determine cual es esa direccin y ste valor numrico. Para otra hormiga en el punto (2,1), en que direccin debe moverse para mantenerse a la misma temperatura.

137. El potencial elctrico en un punto (x, y) del plano xy viene dado por la funcin V(x , y) e~2x eos 2y. Para (x0) yo) = (0, r / 6 ) se pide: a) En que direccin disminuye con mayor rapidez ste potencial y cual es su valor numrico b) En que direccin el potencial se mantiene constante c) Cual es sta variacin en la direccin desde (x0,/o) hacia el puiito (ir/2,ir/3).

'138. El periodo de un pndulo simple de longitud l esta dado por: T(l ,g ) = g.Cual es el error relativo porcentual cometido en la determinacin del periodo de pndulo si l 3 con una variacin de 0.05 y g = 32 con una tolerancia de 2%. Suponga un sistema universal de medidas.

139. Sea / una funcin de dos variables que tiene derivadas parciales continuas y considere los puntos ^4(1,3), B { 3,3), C (l. 7) y D (6 ,15). La derivada direccional de / en A en la direccin del vector A B es 3, y la derivada direccional en A en la direccin


Universidad de Carabobo f Facultad de IngenieraA C es 26. Encuentre la derivada direccional de / en A en la direccin del vector AD.

140. Suponga que est escalando una montaa cuya forma est dada por la ecuacin 2 = 1000 O.Olr2 0.02y2, y usted est ubicado en un punto con coordenadas (60,100,764). Sabiendo que el eje x apunta hacia el sur y el eje y hacia el este, se pregunta:

a) Qu direccin deber tomar al comienzo, para, alcanzar la cima con ms rapidez?.

b) Si asciende en esa direccin, a qu ngulo sobre la horizontal ascender al principio?.

c) Si se dirige hacia el nor-este. asciende desciende?.

141. Sea la superficie S definida por z2 + x2 2y 9. Si desde el punto X Q (1 ,4,4) se deja rodai un pelota, se pregunta: a) En cul direccin del plano X Y se desplazar?b) Cuando su cota haya disminuido 0.05, cuales sern sus nuevas coordenadas? c) En que direccin su cota so mantendra igual que en X 0.

142.' Sea / : R2 R. Determine un valor aproximado de / en el punto (0.99,2.01). Se conoce que el punto (1,2) pertenece a la curva de nivel definida por / de valor 5. Se sabe adems que la direccin de mayor crecimiento de / en (1,2) ocurre a 30 con el eje x y la derivada direccional mxima negativa es 10.

143. En cuanto cambiar la cota de la funcin:

f { x . y ,~ ) - y/x2 -f y2 + z2

Si se mueve desde Xo (3,4,12) una distancia de 0.1 unidades en la direccin de la recta normal en el punto X i = (2 , 3,18) a la superficie S definida porG\x, y , z) = x2 + y2 2xy x -+- 3y z 4 .

144. Sea T(x, y) 1 3a:2 + 2y2 Axy + y x, la temperatura en cada punto (x, y) del plano. Dos insectos frioleros (A y B) se encuentran respectivamente en los puntos (1, - 2 ) y (1 4). Si A se mueve en la direccin del eje x y B en la direccin del eje y, 0.075 unidades, se quiere saber en forma aproximada: a) Cual de ellos estara ms caliente b) Cual ser la variacin de su temperatura si ambos se mueven hacia el .origen, con el mismo incremento dado.

145. Sea / : R2 R una funcin diferenciable. Se sabe que la derivada direccional de / en la direccin tangente a la curva C definida por' g(t) = 2 t + 1,1 2t) en el punto X 0 (1 ,-1 ) , vale 4 y est direccin forma un ngulo de 7r/3 con



la direccin de mximo decrecimiento de f en el punto A'o. Cual es la derivada direccional de / en A'0. en la direccin ( 2,3).

14G. Suponga que dos alpinistas estn escalando una montaa cuya forma est dada por la ecuacin c = / { . r .y) 1000 6.r~ 4 y . Si el alpinista .4 se encuentra en la posicin (5.10.450) y el alpinista B en la posicin (5. -10.450). Se pregunta:a) Si ambos se mueven un distancia de 0.05 unidades en la direccin de mximo incremento. Cual es su nueva posicin en la montaa b) Si el eje .r apunta hacia el norte y el eje y al oeste, y desde su posicin inicial .4 se dirige al sur-oeste y B liacia el nor-oeste. quien se encuentra ms cerca de la cima fie la montaa.

147. Determine el gradiente fie la funcin /(.r. y .c). sabiondo que en la direccin fiel vector i = (1 .0 .0 ) . . / sufre una variacin de 4 en el punto A'o (1 ,1.1). En la direccin u- = (0,1.0) se tiene que -(A 0) = 3 4 a. y en la direccin del vector normal a la superficie paramtriea definida por g(u. r) [u.v. yw 2 + r'-j en (u0,V(i) = (1, 0) alcanza / su mxima variacin.

148. Estime en cunto cambia el valor de fi'x.y. z) :rly'te : . si en el punto (2. 1,0) se mueve 0.2 unidades en la. direccin tangente a la curva paramtriea definida por f ( t ) \2 + 1. i. ( ( 1] en el pimo Pa = (1, 0, 0).

149. Sea / : R2 > R, la funcin:

( ^ si (x .y) ^ (0, 0 )fi - i-y; = l

[ 0 si (x.y) (0. 0)

Cual es la derivada direccional de / en A'o (0. 0). en 1 direccin del vector tangente a la curva definida por g(x, y) = i x 2y 4 = 0 en el punto (2.1).

150. Determine un valor aproximado de la funcin / : M2 > R en el punto (1.01. 1.99). Si se conoce que el punto pertenece a la curva de nivel definida por f ( x . y ) = 3. adems / tiene una derivada direccional mxima de 50 en A'o = (1 , -2 ) en la direccin de A'i = (1.3) a X i (3 4).

151. Sea / : M2 > R, la funcin f { x , y ) = x 2 4 3xy. Considere la funcin compuesta F (x .y ) f ( f (x ,y ) . f ( x ,y ) ) . Determine la derivada direccional de F en (1. 2) y en la- direccin tangente a la curva' C definida implcitament e por f ( x , y ) = 4 en el punto (1, 1).

152. Sea / : R2 > R. la funcin diferenciable f { x , y ) = 2xy - x2. Considere la funcin F{x ,y ) f { f ( x , y ) , f ( x , y ) ) . Sin obtener la expresin literal de sta funcin, obtenga un valor aproximado para F{- 0.98.1.02).



153. Sea F(./\ (/) f l x y 2 3y..r~y 2x). siendo f : R 2 > R una funcin de dase C 1. Obtenga la ecuacin del plano tan Rente a la superficie definida por F en ( 1. - 1 . si se sabe que la recta tangente a la curva de nivel definida por f .r .y) - 4 en el punto (2.1) viene dada por 4.r 4 2y + C 0.

154. Sea F(:r.y) = f { f (x . y). f ( x . y)). donde f : R2 > R es una funcin diferenciable tal que /(0 .0 ) = 0 y V / ( 0.0) = (1.2). Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie S definida por F en (0.0).

155. Sea / : R2 r R la funcin f ( x . y ) 3.r2 + 5:n/. y : R 3 R J la funcin definida por la expresin y[ii. v. ir) = (ir 2iinr. v - r ir) y la funcin h : R 2 R '! dada por h(r.s) (r s .r s.rs). Calcule la ecuacin del plano tangente a la superficie S definida por la composicin de las funciones ( / o y) o h f o (g oh) = f o g o h en- el punto !r(). .s(l) (2. - 1).

150. Encuentre la ecuacin cartesiana del plano tangente en el punto (.r. y(l. ) a la superficie S. definida paramtrkatnente por la composicin de las funciones:

ir - r ~ 3 T(u .r ) = r2 - 1 g(r.s .t ) - ,s

u -T- r /

Si es paralelo al plano: 2.r y 8 : = 4. Determine si los hay. el (los) punto(s) donde la ,S no tenga plano tangente.

157. Sea F : R 2 -4 R una funcin que involucra a cierta funcin diferenciable f con otra funcin continua y : R R. Si:

F.r.y'- - / y(t i diJ r y

Determine un valor aproximado de la funcin F en el punto (1.01.-1.98). si se sabe que: V / ( - l , - 3 ) - ( - 1. 2). / ( - 1 . - 3 ) = 2. g(2) = 1.


160. Sea / : M2 > R la funcin f { x . y) = 3xy2 - 2x2y. g : R3 R2 la funcin definida por la expresin g{u.x\ ir) = (ir + 2uvu\ u + r + ;) y h : R2 -+ R3 la funcin dada por h(r.s) = (r + s .r s.rs). Determine la derivada direccional de ( f og )oh cuando (i/(j. o. = (1. 3. 2) en la direccin tangente a la curva definida por f(.r. y) 5en (.?'!. ;/i) = (1. 1).

101. Dadas las superficies definidas por:

a) Calcule el ngulo de interseccin entre Si y S2 en el punto (2.1.3).b) Determine (si los hay) los puntos donde S2, no tenga, plano tangente.c) La ecuacin vectorial de la recta tangente a la curva determinada por la

interseccin de stas superficies en (2.1.3).

162. Sea G : R2 -+ R 2 una funcin diferenciable en el punto A'o = (2,1). donde tiene por matriz Jacobiana a:

F c G en A'0 = (2.1) es (1,1). Calcule la derivada direccional de F en el punto CJ'o) } en la direccin tangente a la curva C definida por h(t) = (cos,sen/.) en t0 = 7T/4.

163. Sea h : K2 > R2 una funcin de clase C\ de modo que /?,(0,0) = (0,0). Suponga que la matriz Jacobiana de h en Ao = (0.0), es:

Sea g : R2 '* R2 la funcin definida por g{x,y ) h{h(h(x, y)) ) (u, v). Determine si es posible definir y~l (u.v) = (x.y) en un entorno de Ay. En caso cierto, calcule la derivada direccional de x(u,v) en la direccin de mximo incremento de y(u.v) en (0.0).

Sea F : R2 > R una funcin diferenciable. Suponga que el gradiente de la funcin



164. Sea F(x .y ) = f { x y 2 - y , x 2y + 2.r). siendo / : R2 - R una funcin de clase C 1. Obtenga la ecuacin del plano tangente a la superficie definida por F en ( 1.1). si se sabe que la recta tangente a la curva de nivel definida por f (x .y) 4 en el punto (2.1) viene dada por 4.t + 2y + 6 = 0.

105. Sea f : R2 R 2 una funcin diforenciablc de modo que / ( 1. 1) = (2.1). Suponga que:

Sean f , / 2 : R2 R las funciones componentes de / . Determine la mat riz jacobiana en A'0 = ( 1, 1) de F : R2 > R2, si:

167. Sea / : R2 R una funcin de clase C 2. si / satisface la ecuacin de Lapla.ce dada por ) f ss(r. s) = . Demuestre que G(x.y ) = f ( f eos y, e* sen y) tambin la satisface.

168. Dada la funcin z = z(x ,y ) (suficientemente diferenciable). muestre que su lapla- ciano denotado por V 2r(x ,y ), y definido por:

viene dado en coordenadas polares por: V 2z(r,0) = ^ 5f + 5f + ;^

169. Sea / : R2 R una funcin de clase C2, si / satisface la ecuacin de Laplace dada por f rr(r,s) + fs(r,s) = 0. Demuestre que: G(x ,y ) = / ( e 3' eos y, ex sen y) tambin la satisface.

170. Sea / : R2 R una funcin de clase C 2, si / satisface la ecuacin de Laplace dada por f XT(x. y) + .fyy(x , y) = 0. Demuestre que: F{x, y) = / (x2 - y2,2xy) tambin la

166. Si c = f ( x . y ) es diferenciable y:

satisface.

Departamento de Matemtica 29 Luis Viliamizar

Universidad de Carabobo

Si

4Facultad de Ingeniera

171. Sea F(x, y, z) = xag{y/x , z/x), donde g : R2 > R es una funcin diferenciable y a un nmero real. Demuestre que:

172. Sea F{x ,y ) aa(y/x), donde ti> es una funcin real de clase C~ y a un nmero real. Demuestre que:

lT2L-S&&.E(x,y) = / ( x j , i^ yE1). Demuestre que f uu + f vv =

174. Sea F(x, y) (x2 f y2) f (x . 2y). Obtenga las derivadas de segundo orden de F en (-2 ,1 ) , si se sabe que / ( - 2 , 2 ) = 2 y V / { - 2, 2) (1.3), v:

175. Sea / , g : R2 R las funciones de clase C 1 definidas por f ( x , y ) = x2y 2y y g(xyy) 2xy2 - x 2 + 3xy. Considere la funcin G (x ,y ) = f (g (x ,y ) ,g (x ,y ) ) . Sin obtener la expesin literal de sta funcin, obtenga un valor aproximado para G(0.98, 1.02).

176. Sea G : R3 R4 a a funcin diferenciable en el punto X q = (2. 3,1), y la funcin F : R 4 y R 2 una funcin diferenciable en el punto Yq - G (X o) = (1,0,2,1). Suponga que:

Sean

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V*

Facultad de Ingeniera

177. Sea g : B2 -4 R2 una funcin difcreneiable en el punto P0 R2, donde tiene por matriz jacobiana a:

^ ) = ( 1 o )Sea / : R2 > R una funcin diferenciable. Suponga que el vector gradiente de la funcin compuesta / o g : M2 > R en el punto P0 es V ( / o # ) ( P 0) = (1,1). Determine la derivada direccional de f en el punto g(P0), en la direccin del vector (2,3).

178. Sea g(x.y) f { 2 x 2y y2, x 2 4 y1 4 2xy). Si V / ( l ,4 ) = ( -2 ,3 ) , determine la. derivada direccional de g(x,y) en (1.1), en una direccin tangente a la curva C en

(-2,1) definida por c(x, y) = 3x 2y - 2y2 -+ 2x = 6.

179. Sea A : R 2 > R2 una funcin de clase C 1 de modo que h.(0,0) = (0,0). Supongaque la matriz Jacobiana de h, en X 0 = (0,0), es:

Sea g la funcin definida por g(x, y) = h(h(3x 4 2y, 2x y)) (u, v). Determine si es posible definir g~l (u,v ) = (x, y) en un entorno de X 0. En caso cierto, calcule el ngulo de interseccin entre las superficies definidas explcitamente por x = x(u, v) y y y{u ,v ) en (0,0).

180. Sea la funcin:

-Si g : R2 > R2 viene definida por g(x .y ) = f o f ( x , y ) (u,v). Determine si esposible definir en un entorno de (1 ,-1 ) la ftmcin g~l (u , v). En caso cierto, obtenga su matriz Jacobiana en (o ,fo ) (7,13) .

181. Dado el sistema:

u v x 4 y ; u 4 v = x y

El cual define las funciones implcitas u = u(x.y), v v(x,y) . x = x(u,v) y y = y(u,v). Demuestre que:

d(u ,v ) _ d(x,y) = d(x,y) d(v.v)



182. Se requiere construir un recinto rectangular con una capacidad de 6 ms disponindose de 20 m2 del materia] apropiado para su construccin. Se desean conocer las expresiones que permitan determinar en cual proporcin debern modificarse el largo y el ancho si la altura debe aumentarse ligeramente. De esas expresiones calcule como variaran tales dimensiones en el caso en que la altura se de 3 ni.

183. La ecuacin G(x. y. z) () defino a z implcitamente como una funcin do x e y. Sea c = g(x. y) esa funcin, estimar un valor para g en el punto (2.05.2.97). sabiendo que g{2,3) = 5 y que la derivada direccional de g en (xlh y) (2.3) es 2 cuando forma un ngulo de 30 con el eje x positivo y 8 cuando este ngulo es de 150.

184. La funcin - = f (x , y) esta dada como ~ = u+v. donde u. v son funciones implcitas determinadas por las expresiones:

Obtenga si es posible, la ecuacin del plano tangente a. z = , f{x,y) en el punto (x0.ya,'Uo,v0) = (L 1,0,0).

185. Sea F : R 3 -> R2 tal que:

Suponga que g(x) = (gi(x) .g2(x)) es una funcin diferenciable que satisface la ecuacin F(x, gi(x). gn{x)) = (0,0). Determine un valor aproximado para g en

186. Sea w = x2 + y2 -+- z2 y z2 xy -+ yz -+- y3 = 1. Considerando a z como una funcin de (x. y), determine un valor aproximado parat en ( t 0, y0) = (1.99.1.01). (Use un valor para Zg ^ 0)

187. Suponga que la expresin:

define implcitamente una funcin difcrcnciablc z f ( x , y ) . donde g. h : R > R son funciones continuas. Calcule el plano tangente a la superficie S definida por / en (1,2-1) si se sabe que: 5 (1) = 5. g(1) = 1, h( 1) = 4 y h(5) 20.

188. Sea z f ( x , y ) definida implcitamente por F (x ,y , z ) xyz e.z ~ 0. Determine:

0 , r v >u __ v - y = 0

1.99.

g{t)dt + h(t)dt = 0


Universidad de Carabobo . Facultad de Ingeniera

189. La funcin:

2:: -i- y + 2 z + u v -- 1 \ / 0G( x. y. z .u. v) - | x y -f ~ - v + 2v - 1 1 ( 0

y z + xz + ir + v J y 0definen un funcin y(u.v) (.x . y , z ). Encuentre la ecuacin del plano tangente ay en el punto (a:0. y, z0) = (1. 1. - 1).

190. Sea F : R3 > R. definida como F(x az.y bz) 0. demuestre que se satisfaceazx -i- bz,, = 1.

191. Suponga que la expresin F{x. y ,z ) = 0 determina implcitamente funciones diferenciables'x = x(y.z) . y y(x.z) . z z(x,y) . Demuestre que:

dx dy dz _ dy dz dx

192. Sea u = xy y v = y2 x 2. Considerando que es posible definir x x(u,v) yy = y(v. '). verifique que y uT + yv vr 0.

193. Las ecuaciones:

2x iy 4- yx2 + t2 0 : x + y -r t 1 ~ 0

definen implcitamente una curva C: f ( t ) = [x,y) que satisface /(1 ) ( 1.1) Calcule la ecuacin de la recta tangente C en 0 = 1,

194. Sea y = y(x) la solucin do:

o d2 y dy a2 xr--h; + 2x + y = 0

d.x~ dx x-

Si hacemos x - , demuestre que 1a, ecuacin se transforma en + a2y = 0.

195. Sea F : R3 M una funcin de clase C 1. Suponga que la expresin dada por:

F f - , - , - 0 \ y Z X )

determina implcitamente la funcin de clase C 1. z f (x ,y ) . Calcule las derivadas parciales de sta funcin en A'0 - (2 .1,4). S el gradiente de F en (-2.-1/4.2) es (3.-1.5).


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196. La funcin z f ( x . y ) est dada por z = bu 2v donde u y v son funciones implcitas do x e y dadas por las expresiones:

2u e2,/_'3r x = 0 3t; - e2v-'3v - y = 0

Obtenga si es posible, V / ( 1 ,-1 ) . Considere (o, v0) = (0,0).

197. Sea y = f ( x ) una funcin diforenciable definida implcitamente por F (x .y ) 0. Demuestre que y"(x) viene dada por:

(PjJ __ Fx A F y f - 2 FxyFXFy -f Fyy(FX}2-------- d X ^ ' (Fy)3

198. Sea y = y{x) la solucin de:

t d2u dy a2x~t~2 4 + ~ y = 0dx dx x

. Si hacemos x demuestre que la ecuacin se transforma en ^ -f a2y = 0.

199. Sea F : R 3 > R, definida como F(x az, y bz) 0, demuestre que se satisface(XZx ~~ bZy 1-

200. Considere las expresiones:

uv 3x i- 2y 0 ; u4 v x x~ - y2

Habiendo verificado que stas definen funciones v = n(x,y). v = i'(x,y) en los alrededores del punto (u , v, x. y) = (1 ,1 .1 .1). determine las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies definidas por u(x.y) y v(i\y).

201. Dada la funcin / : R3 > R3. definida por:

/ u + v + ew \f(u,v,w) = I u + w + e2* 1

\ v 4- ui + e3u JDetermine si es posible formar en un entorno del punto (u-o,t'o, Wo) = (0,0,0) las ecuaciones u = u (x , y , z ), v = i'(x,y, z) y w = u( x , y , z ) para calcular luego laderivada direccional de u u(x ,y ,z ) en (x0,y0,zQ) ?= (1,1,1) y en la direccinnormal a la superficie de nivel definida por v(x, y , z) 4 en (x q , yo, 20) = (1,1,1).


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V

Facultad de Ingeniera.

202. Considere la funcin:

f (u, v) = (tt3 -r v.u2 + uv) = (x,y)

Determine si es posible formar las ecuaciones u = u(x. y), v v(x, y) en un entornode (0,2/0) (9)3) Para calcular el ngulo entre las superficies Si, S2 definidas poru u(x,y) y v v(x,y) respectivamente.

203. Sea la funcin:

h{x,y)

Si g : R2 > R2 viene definida por g(x,y) h o h (x ,y ) (u,,v). Determine si es posible definir en un entorno de = ( 1,1) la funcin g~l (u,v). En caso cierto, obtenga la TAA, que aproxima a g~'{u, v) en un entorno de (u0,v0) (3,5) .

204. Sea la funcin:

x 2xy 2f ( x -y ) x + y

Nos interesa conocer si es posible formar las funciones x = x(u,v), y y{u,v) para calcular la variacin absoluta de x en (uo,Vo) (1,0), en la direccin tangente a la curva definida por G(u. v) = u2 -r v 1 = 0 en (tx0, uij- En caso afirmativo, obtngalo.

205. Sea g : R > R una funcin continua tal que p(0) = 1. Considere la funcin / : R 2 -4 E2 dgwia por:

f ( x , y ) =

Demuestre que sta funcin admite inversa en un entorno de (0,0). Determine la matriz jacobiana. de f ~ l en (0,0).

206. Sea u = xy y v y2 x2. Considerando que es posible definir .7; = x(u,v) y y ~ y(u ,v ), verifique que yu ux + yv v3. = 0.



207. Considere la funcin de clase C \ / : > R~:

u{x. y)f U . y ) v{x,y)

Suponga que las funciones u, v : R~ > R tienen por gradiente en el origen a: Vi(O.O) = (3.1) y V t(0 .0) = ( 1.2). Si / ( 0.0) = (0.0) demuestre que existen funciones de clase C 1, x x(u. v) y y = y{u, v) definidas en un esfera abierta 5 con centro en el origen, de modo que f ~ l {u,v) [x(ti.r).y(u.v)}. V(w.r) S. Calcule en forma aproximada x(0.1,-0.1) y y(O.l.-O.l).

208. Sea / : R2 > R2 una funcin de clase C 1 de modo que /(1 ,1 ) = (2. 1). Suponga que la matriz J acobiana de / en A'o = (1,1). es:

(JxJ) =5 21 -1

Sean / 1? / 2 : R2 > R las funciones coordenadas de / . Sea y : R2 > R2 la funcin definida por g(x.y) (x~ / i ( x ,y ) ,y 2 / 2(:r,y)) = (','() Determine si es posible definir g~1(u, v) (x ,y) en un entorno de A'o- En caso cierto, calcule ( R2 viene dada por g(x,y) = / ( / ( / ( x , y ) ) ) = (u,v). se pide: a) Determine si es posible definir g~l {u, i1) = (x , y) en un ent orno de (x0, yo) ~ (~ 1- !)b) Usando una transformacin afn, obtenga un valor para g~l(u. v) en (2.99.9.02).

210. Sea / : R2 > R2 una funcin de clase C 1 de modo que /(0 ,0 ) = (0,0). Suponga que la matriz Jacobiana de / en A () = (0,0). es:

(J x J ) = ( 2 _1

Sean / i , / 2 : R2 -> R las funciones coordenadas de f . S g : R 2 -4 R2 viene definida como g(x,y) = (.x , / i ( x ,y )) y la funcin h : R2 -> R 2 como h(x,y) = ( / 2(x ,y ),y ). Determine si es posible definir (g o /?,) ~1 (u, v) (x, y) en un entorno de Ay. En caso cierto, calcule en (u0,vQ) = (0.15, 0.10) un valor aproximado para (yo ft,)-1 (it, r)



211. Sea f ( x . y ) {j\(x.y), fo(x.y)} una funcin continuamente di'ereneiable de modo que / ( 1. 2) = (2 .1). Suponga que la matriz jacobiana de / en A'0 = (1.2) viene dada por:

U x J )3 -1 1 - 2

Si g : R* -> R 2 se define como g(r .y ) = [.r./,(.r\y) + / 2(j\y)] y h : R 2 - R2 como h{x.y) \ y) f2(x.y)/2, y). Determine si es posible definir (g o /i)_1(?/. v) en un entorno de A'0 (1.2). En caso cierto determine un valor aproximado de ( g o h ) ' 1 (0.99,1.01).

212. Considere la funcin:

f U - y ) = (x3 + y3 x 2 + x y

Nos interesa conocer si es posible formar las funciones x r(u.v) . y y(u. v) para calcular un valor aproximado cuando (u, v) = (8.97,3.04) de x e y. En caso afirmativo, obten gal o .

213. Las ecuaciones de transformacin de coordenadas parablicas son:

x uv eos(/:) y uvsen(t) z ~(ii2 v2)

Para (u.r . t ) (3, l ,| j. obtenga, mediante la liealizacin correspondiente, una aproximacin para los nuevos valores de (u.i\t) si se produce una variacin en (x. y. z) dada por A x = 0.02. A y = 0.02. Az - 0.02.

214. Sea / : R 2 > R2 la funcin f ( x . y ) [(/i (x. y), / 2(x, y)] una funcin diferenciable de modo que / ( 0 , 0) = (0.0). Suponga que la matriz Jacobiana de / en A'u = (0,0)es:

U u.o)/ ) ~ ( - 2 1 )

Si g : R2 > R2 viene definida como g(x, y) = f ix , y)), h ( f i ( x , y). ?/))Determine si es posible definir en un entorno de (o, v(l) (0.0), la funcin g" \u, v) = (x, y) . En caso cierto, calcule un valor aproximado de y-1 (0.02. 0.03).

215. Considere las funciones F : R 2 > R2, F (x .y ) = (2x y ,x y + 1) = (u. v) y G : R4 -4 R2 G(x, y. r, s) (rs 3x + 2y, r s x2 + y2) (0,0). Determine si es posible definir a r = r (u ,v) y s = s(u.v) en el punto (it0,o) (1,1)- En caso cierto, obtenga ru(l, 1) y st.(l, 1).



216. Sea la funcin:

o 2y - 2xy x 2 + y2 x

Si g : R2 > R 2 viene definida por g(x ,y ) ~ f o f(x,%j) = (u,v). Determine si es posible definir en un entorno de (1, 1) la funcin g~1(u, v). En caso cierto, obtenga su matriz Jacobiana en (uo,vo) = (7,13) .

217. Sea la fruicin / : R 3 - t R , hallar para que valores de (x,y, z) la forma cuadrtica diferencial segundo de / en Xq se define en forma positiva si su matriz asociada en Xa viene dada por:

/ x 0 1{dxof) = 0 - y 0

\ 1 0 X

218. Obtenga un polinomio que aproxime el cos(.r + y) para valores pequeos de x, y y utilice sta expresin para justificar que:

,. 1 - cos(x + y) 1hn - -

(a-,v)->(,) (x + y y 2

219. Considere la funcin i f ( x , y) que en los alrededores del punto (2, 2,1) est definida implcitamente por: F ( x , y, z) x 3 + y3 + z3 3x 3y + z 2 = 0. Obtenga una aproximacin de / en el punto (2.1,-1.9) mediante el desarrollo de Taylor de segundo orden.

220. Sea el sistema:

-- f uv(x + 1 ) = 8\ u(v + x) 4- v(u + x) = 3

Determine si es posible formar u = u(x) y v v(x) en un entorno de x0 = 1. En caso cierto obtenga un valor aproximado de ?/ (1.02) usando un desarrollo de Taylor de 2do orden.

221. Sea F (x ,y , z ) = - x 2+ 2 y 2 x z - r x y + x + 2 z + y = 0, que en una vecindad del punto (xa,y0, z0) (1 ,1 ,4) define implcitamente a la funcin y = f ( x , z ) . Determine un valor aproximado para /(1.01, 3.98) usando un desarrollo en Serie de Taylor.



222. Considere la funcin y f ( x , z ) que, en los alrededores del punto (1,1,1) esta definida implcitamente por:

F(x, y , z) = y3 + 3x 2z zsy + z2 3a; 1 = 0

Determine el desarrollo de Taylor de segundo orden de tal funcin en el punto (x0. Zq) = (1,1). Con esta expresin estime un valor para /(0.912,1.087).

223. Considere las expresiones:

x + y eu ev x2 + y u + y

Si estas expresiones determinan funciones implcitas u u(x\y), v = v(x ,y ) en los alrededores del punto (0,0,0 ,0). Determine un valor aproximado de u(0.02, 0.01), usando el desarrollo de Taylor de segundo orden.

224. Estudie los extremos de: f { x , y ) = :c3 - 3axy + en funcin de a.

225. Determine y clasifique los valores extremos relativos de la. funcin definida por: f [ x , y) = x3 + y + 3x2 - 18y2 -I- Sl-i/ + 5

226. Determine los extremos relativos de la funcin: f ( x , y ) = 6xy2 2x3y -h y2.

227. Sea la funcin definida por f ( x , y ) (x3y 2xy + xy2 -r 3y) g(x2y ,x y 2), si en el punto Xq = (2 , -1 ) se tiene que V /(2 , - 1 ) = (0,0). Determine si en ese punto la funcin tiene un valor extremo. Se sabe que el desarrollo de Taylor de segundo orden de la funcin g en ( -4 ,2 ) viene dado por la expresin:

T2g(x + 4, ?/ - 2) = 2 0 + ll (a : + 4) + 8 (| /-2 )+ (x + 4)2 - 6(x + 4)(y - 2) - 2(y - 2)2

228. Sea w = x2y2 + yz - z3 y G (x , y, z) xr + y2 + z2 = 6. Use un desarrollo de Taylor de 2do orden para obtener un valor aproximado de w(x,y) en (lo* yo) = (1.99,1.01). (Use un valor para 2o < 0 ).

229. Sea F (x ,y , z) 3x2+2y2+ z 2+ 3 x y + 2 x z y z + x + y l5 0. Obtenga el desarrollo de Taylor de segundo orden de la funcin 2 = f ( x , y ) definida implcitamente en en el punto (x0,y0) = (2 ,-1 ) .

230. Sea F (x , y , z ) ys + 3x2z z3y + z 2 3x 1, si y = f ( x , z ) viene definida en forma implcita en F ( x , y , z ) 0. Obtenga la forma cuadrtica diferencial de segundo orden de / en Xq = (1,1,1) y clasifquela.


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231. Sea F(.r.tj) f { x 2y 4- 2x.xy~ y), siendo f : RJ > R tina iunc in tic clase C2Obtenga un desarrollo de Taylor de segundo orden de F e u (1. - 1). si se sabe que en el punto (1. 2) la recta tangente a la curva de nivel definida poi f ( x . y ) = _/(1 - ) 4 viene dada por 2x 4y + G 0 y adems:

de Taylor de segundo orden, un valor aproximado de cuando [x. y ) - (1.99. 1.01). torne < 0. Y la tasa de crecimiento de ir a partir del punto (2. 1) en la direccin definida por el vector norma! a la curva dada en forma paramtrica por r( l ) = (eos/, sen/) en / r. i. Cunto vale la mnima tasa de crecimiento de w en este caso?

233. Sea cj : R -+ R una funcin diferencial)le. tal que y(l ) g(2 ) Considerla funcin

Demuestre que f ( x . y ) tiene un punto critico en (1.1). Estudie la naturaleza de ste punto crtico para: R una funcin diferenciable. Suponga que g tiene solamente una raz en el punto .r0 = 2 y que g'ix ()) > 0. Estudie la naturaleza de el (los) pimto(s) crtico(s) de:

235. Sean g. i : R R funciones de cla.se C 2. Suponga que g tiene solam(;nte un extremo local en xv. el cual es un mximo que vale g(x0) = a. y que h tiene solamente un extremo local en y0, el cual es un mnimo que vale h(y0) h. Suponga adems que las segundas derivadas de g y h son no nulas en sus puntos crticos, y que las grficas de estas funciones no cruzan al eje de las abeisas. Determine la naturaleza de los puntos crticos de: f ( x . y) g{x)h(y). Si: i) a > 0 . b < 0 ii) a < 0. b > 0

236. Sea.ii y. h : R > R funciones de clase C2. Suponga que g tiene solamente un extremo local en ,ru. ('1 cual es un mnimo que vale gxo) = a y que h tiene solamente un extremo local en y0, el cual es un mximo que vale h(yn) = b. Suponga adems que las segundas derivadas de g y h son no nulas en sus puntos crticos, y que las grficas de estas funciones no cruzan al eje de las abscisas. Determine la naturaleza

2.32. Sean ir = x~y~ yz - y g(x. y. z ) ~ .r y2 4- = 6. Halle, usando un desarrollo

/ : R2 R:



del punto crtico de la funcin: f( .r .y) (.


244. Supngase que la produccin de un cierto artculo depende de dos compras. Los montos de stas estn dados por 100a: y 100y, cuyos precios por unidad son respectivamente 4$ y 1$. El monto de la produccin est dado por lOOz, el precio por unidad es 9$. Si la funcin de la produccin esta condicionada por los valores 2 = f ( x , y ) = 5 \/x l/y. Determine la mxima utilidad.

245. Un negocio vende dos marcas A y B de tapas de tanques de gasolina. El dueo del negocio compra la marca del tipo A a Bs. 30 la unidad y la del tipo B a Bs. 40 la unidad. Estima que si vende a x Bs. la tapa del tipo A y a y Bs. la tapa del tipo B, entonces podr, vender 70 bx + 4y tapas de la marca del tipo A y 80 + 6x 7y tapas de la marca del tipo B, en cada da. Cunto debe cobrar por cada tapa de tanque de gasolina, a fin de elevar al mximo su utilidad proveniente de tal venta.

246. Determina la menor distancia del origen a la recta definida por la interseccin de los planos y + 2z = 12 y x + y = 6.

247. El plano x + y + z = 1 corta al cilindro x 2 + y2 1 en una elipse. Determine los puntos sobre la elipse que se encuentran ms cercanos y ms alejados al origen.

248. Determine los semiejes de la elipse que se obtiene al intersectar la superficie cilndri- ca x2 + y2 1 con el plano x + y + z 0.

249. Determine el punto que est ms prximo al origen de la, curva definida por la interseccin del plano x + 2y + z 10 con el paraboloide z x2 + y 2 .

250. Determine los puntos (x , y , z ) del elipsoide 2a:2 4- 4y2 + 12z2 = 120 donde su suma de coordenadas es mxima y donde es mnima.

251. Use el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para resolver el siguiente problema: Los cursos de dos ros tienen aproximadamente la forma de la parbola y = \x2 y de la recta x y 3. Se desea construir un canal rectilneo para unir estos dos ros de tal manera que este tenga la menor longitud posible. Por cuales puntos habr que trazar el canal? Haga un dibujo.

252. Determine el mximo valor del producto de tres nmeros reales x, y, z. Si la suma de stos debe ser cero y la suma de sus cuadrados debe ser uno.

'253. Calcule la derivada direccional de la funcin/(a;, y, z) x 2 xyz en el punto X\ (1 ,1,1) en la direccin del vector tangente a la curva 7 , definida por: g(t) = (cos, sen, sen(/2)). En g(t.0) (xq, yo, zq), punto que esta ms lejos del origen.

254. Determine los valores extremos de la funcin f ( x , y , ) = x + 2y + 3z sobre la curva de interseccin del plano x t; + z = 1 y el cilindro x 2 + y2 1. Utilice


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multiplicadores de Lagrange y verifique la existencia de los valores extremos con el mtodo de parametrizacin.

255. Disee una lata cilindrica (con tapa) que contenga 1000 cm3 de agua, usando la mnima cantidad de metal.

256. Para erigir un radiotelescopio en un planeta recin descubierto, usted ha sido contratado para determinar donde el campo magntico es ms fuerte y donde es ms dbil. El planeta es esfrico con radio seis unidades. Con base en un sistema de coordenadas cuyo origen est en el centro del planeta, la intensidad del campo magntico esta dada por M (x, y, z) 6x - y2 + xz + 60-. Donde ubicara usted esos puntos?.

257'.*'i'a fonda espacial con la forma del elipsoide Ax2+ y 2+Az2 16 entra a la atmsfera de 1a. Tierra. Despus de una hora, la temperatura (x.y, z) sobre la superficie de la sonda es T (x , y , z) 8,r2 + Ayz - 16z 4- 600. Encuentre el punto ms caliente sobre la superficie de la sonda.

258. Determine el mximo volumen de una caja rectangular con tapa, cuya superficie es de 1500 cm2 y cuya longitud total de sus aristas es de 200 cm.

259. Determinar los exremos de la funcin F ( x , y , z ) = xyz. sobre la interseccin de las superficies definidas por las funciones G (x ,y , z ) x2 + y 2 + z2 1 = O y H(x ,y , z) = x + y + z = 0.

260. Sabiendo que el rea de una elipse con semiejes a y b es nab. Use Multiplicadores de Lagrange para calcular el rea de la elipse definida por: 5a:2 - 6xy + by2 32 = 0

261. Determinar los valores extremos de la funcin f ( x , y ) = ar2 4- 3y2, en la regin R definida por: R { ( x ,y ) \ x? 2x-~-y* 3 < 0 }

262. Determine los extremos absolutos de la funcin f ( x , y, z) x ^ z 3 en la regin B definida por: B = { ( x ,y , z) \ x z + y2 + z2 < 1 }

263. Determine los extremos absolutos de la funcin f ( x , y) ~ x 2 - 2xy + 2y sobre el rectngulo D '= {(ir ,y) j 0 < x < 3 , 0 < y < 2 }.

'264. Determine los extremos absolutos de f ( x , y ) 2x 3 + xy2 + 5x' -f y2 en la regintriangular de vrtices (0,0), (2,2) y ( - 2 , - 2 ) .

265. Determine los valores extremos de f ( x , y ) = 1 + xy x y sobre la regin Dacotada por la parbola y x 2 y la recta y = 4.

266. Obtenga los valores extremos de f ( x , y) = x2 + xy 4- y2 en la regin B definida por B = { ( x ty) | x 2 + y2 < 1 , y < x }


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.1U112G7. Determine los extremos absolutos de f ( x . y ) x 2 2xy 31/2 sobre la rej triangular cerrada D con vrtices en ( 1.1). (2.1) y ( 1 2).

2G8. Determine los extremos absolutos de /(.r. .


277. Sea D la regin del plano limitada por las rectas . 2y. 2.r 4 y r>. 2y -- ./ = 5 yi/ 2.r. Use la transformacin 7"( u. r) = 2

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285. Dado el paralelogramo D en el plano xy con fronteras x = 3, x 0, y x y y x + 1. Usando la transformacin u = 2x 3y y v = x 4- y , evalu:

286. Use la transformacin u, x y, v 2x + y para evaluar JJD 2x 2 xy y2dxdy.Siendo D la regin del plano en el primer cuadrante limitada por las rectas dadas:y 2x 4- 4, y = 2x + 7, y = x 2 y y ~ x + 1.

287. Transformar y evaluar:

y = x + 2, si (x ,y ) = y - 2x|.

289. Determinar el centro de gravedad de la regin del primer y segundo cuadrante limitada por las curvas: Ci : x2 + y2 = 4, C2 : x 2 + (y l ) 2 = 1 y C3 : y 0. Si 5(x,y) = |x|.

290. Determine el centro de masa de la placa plana de densidad S(x,y) \x 4- y\ que ocupa la regin D limitada por la parbola y 2 x 2 y la recta y = x.

291. Sea D la regin del plano xy limitada por el paralelogramo de vrtices (0,0), (1,1), (2,1) y (1,0). Determine usando la transformacin x u + v y y v, la integral

segn el cambio: u = ~ li; v J, Dibujar las regiones correspondientes.

288. Determine la masa de la placa plana encerrada por las parbola y = x2 y la recta

f fD(2x - y)dydx.

292. Usando un cambio de variables apropiados, transforme y evale la integral:

donde D es la regin del plano limitada por las curvas y = x2, y = 2x2, y2 x y y2 = 2x\

293. Use la transformacin u. = x y, v 2x + y para evaluar:

2x2 xy y2dxdyj

Siendo D la regin del plano en el primer cuadrante limitada por las rectas dadas:y = 2x + 4, y 2x 4-7, y = x 2 y y = x + l.



294. Calcule:

Jj {x2 + y)dyd.rSiendo R la regin dol plano limitada por y 2:r + 3, y 2x + 1, y = 5 - x y y = 2 x. Usando un cambio apropiado.

295. Evale, usando un cambio de variables apropiado:

V * + y (y ~ 2x fd yd x Jo Jo

296. Calcule la integral doble de la funcin f ( x , y ) = \x-t-y\ sobre el rectngulo D definido por [1,1] x [1.1].

297. Determine la masa de la lmina B { { x ,y ) | x\ + \ y 1| < 1} si la densidad viene dada por S(x,y) = i y | x!|

298. Calcule: f fRe*+vdydx. Siendo R la regin del plano limitada por x + y 1, x = 0, y ~ 0. Usando la transformacin x y u y x + y v.

299. Considere la transformacin T definida por:

Sea R^y la parte del disco en el primer cuadrante definido por las curvas: u2+ v 2 < 1, u > 0 y v > 0. Se pide: a) Dibuje la regin imagen RIy = T{RUV) b) Calcule:ff dxdyJJRtv

300. Dada la regin en el primer octante limitada por los planos coordenados, el plaro y + z = 2 y el cilindro x 4 - y2. Se pide: a) Dibujar el slido b) El volumen encerrado por l, usando dos integrales iteradas con diferente orden en la integral ms interna.

301. Sea el slido limitado inferiormente por el plano xy lateralmente por la superficie x2 -f y2 + z 2 = 4 y superiormente por z = y/3(.r2 + y2). Dibuje el slido, determine su masa si 6(x, y, z) = z y el rea de la pared lateral del slido.

302. Dado el slido limitado por la superficie z 4x2 + 4y2, el plano xy y comprendido entre los cilindros x 2 + y2 1 y ,T2 + y2 - 9. Se pide: a)Dibuje el slido b) Plantee la masa del slido en coordenadas cartesianas si 5(x ,y ,z ) = 2 c.) Calcule dicha masa usando un cambio de variables apropiado.


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303. Sea la regin en el espacio limitada entre las superficies 5] : x2 4- y2 -+ ~J =S-2 ' -r //- c2 = 4 y encima de .% : Vo \/x* 4 r/2 = 0. Plantee la masa encoordenadas c artesianas s 6{x.y. c) c. use un cambio apropiado para calcularla.

304. Determine el volumen del slido limitado por la superficie y1 r2^-z2. comprendida entre los planos y = 1 y y 4.

305. Calcule el volumen del slido del primer octantc limitado superiormente por el paraboloide c = ,rJ 4 3//-. inferormente por el plano .y y lateralmente por y x2 y V =

306. Calcular la masa del slido en el primor ociante acotado por los planos y = 0.z = 0. x 4 y 2. 2y 4- x = 6 y el cilindro y2 4- z~ -- 4. si {x. y. z) = z.

307- Calcule la masa del slido limitado por las superficies ,r~ = z- 4 y2. x~ = 3(c2 + y2), x 4 y x 12. Dibuje el slido y su proyeccin en el plano de integracin.sealando claramente los sentidos de integracin, plantee la masa en coordenadas cartesianas, cilindric as y esfricas. Determnela usando el cambio de variables mas apropiado. d(x.y.z) = x.

308. Determine el volumen del slido limitado por las superficies parabloieas x = /~4-c* y-.r = 2 - y2 - z2.

309. Dada la regin en el primer octante limitada por los planos coordenados, el plano y 4- ; 2 y el cilindro x 4 y2. Se pide: a) Dibujar el slido b) El volumen encorrade ]>oi c;l. usando dos integrales iteradas con diferente orden en la integral ms interna.

310. Sea el slido acotado por el cono r2 = r 2 4- y2, el cilindro x2 4- y2 = 2x y el plano xy. Determine su masa, si la densidad es d(x.y. z) = \/.r2 +- y2.

311. Calcule el volumen del slido limitado por las superficies explcitas definidas por: y = 12 x2 y 2x2 -i- 2s2 y y x 2 4 z2. Dibuje el slido y su proyeccin en el plano de integracin correspondiente, sealando claramente los sentidos de integracin.

312. Calcule la masa del slido que esta encima del cono ; = y/.r2 4- y2 y dentro de la esfera ce radio 2 y centro (0.0.2). Si 6(x. y. z) = (.r2 4- y2 + z2) ' 1. Dibuje el slido, plantee la masa en coordenadas cartesianas. Use coordenadas apropiadas.

313. Dado el slido limitado por la superficie ; = 4x2 4 4y2, los cilindros x2 y2 4. x2 4- y2 = 16 y el plano xy. Se pide: a) Dibuje el slido b) Plantee la masa del slido en coordenadas cartesianas s S(x. y . z) z c) Calcule dicha masa usando un cambio de variables apropiado.


Universidad do Carabobo Fac ultad d(' Ingeniera

314. Sea el slido limitado por ; = 1 - \/x2 - y- y : - v''l - x- - y2. Dibujo el slido,determino su volumen y el rea de la superficie de la parto do ste que esta porenc ima del plano c = U.

315. Determine la masa del slido de densidad (x.y. z) = x que sta limitado por las superficies .r = y2 z2. y1 -f z2 = 2 ; y el plano yz.

316. Calcule el volumen del slido limitado por y = 1 -r x 2 z2 y y 3 .r2 - z'2. Dibuje el slido, plantee el volumen en coordenadas cartesianas. Use coordenadas apropiadas.

317. Darlo el cono definido por c = y/x~ + y2 y el cilindro x 2 + y2 2y. so pido:a) Determine el rea de la superficie del cono que esta dentro del cilindro b) Elvolumen del slido limitado por al cono, el cilindro y el plano xy.

318. Dado el slido limitado por los conos z2 = x 2 + y2 y z2 3x2 + 3y2 y el plano z 2. Si S(x,y. z) = (x2 + y2 s2)' 1. se pide plantear la masa del slido en coordenadas cartesianas. Calcule dicha masa usando coordenadas esfricas.

319. Dado el slido limitado por las superficies: c = 6 y. z 0. x 2 + (y - l ) 2 = 1 y X 2 \-{y~ 2)'2 = 4. Se pide: a) La masa con d(x.y.z) |r| b) El rea do la su]>erfieio total ]u

Universidad de Carabobo$


325. Dada la integral, la cual representa la masa de un slido:

/:Dibuje el slido, transforme la integral a coordenadas esfricas y luego calcule la masa.

326. Sea B el slido en el interior del cilindro x? + y2 1 entre z 8 2x y y z y/x2 + y2. a) Dibuje el slido b) Determine el rea do. superficie de la parte del cilindro que recubre al slido c) La masa del slido si S(x,y. z) 2.

-327. Sea #-el-slido limitado por las superficies de ecuaciones y2 + z =~l-y-a-Hs = 1 situado en el primer oetantc. Se pide;: a) Dibuje el slido b) Plante las integrales: Jffg dzdydx, f[ fB dydxdz y f[ fB dxdzdy c) Calcule dos de stas integrales.

328. Dada la siguiente integral iterada:

1 j:2 r\~XI zdydzdx

Jo

se pide: a) Dibuje la regin de integracin b) Escriba cambiando el orden de integracin de al menos la primera integral, una de las otras cinco integrales iteradasb) Calcule dichas integrales, comparando los resultados obtenidos.

329. Dada la integral:

i dxdzdyJo

Se pide: a) Dibuje la regin de integracin B b) Determine f f fB dzdA y f f f g dydA

330. Dada la regin limitada por el cilindro parablico z = 1 x2 y los planos y + z 2, y 0 y z = 0. Se pide: a) Dibujar el slido b) El volumen encerrado por l, usando dos integrales iteradas con diferente orden en 1a. integral ms interna.

331. Dada la integral:

/ I r 1 f l - y/ / dzdydx

1 Jx~ J)

Se pide: a) Dibuje la regin de integracin B b) Determine f f jB dydA y ff fB dxdA

f Jo Jo

/ J * 2 + y2 + z2')*1 dzdydx s/l J yjr2 +J/2


Universidad de Carabobo r Facultad de Ingeniera332. Dada la integral:

i-vxdzdydx

Se pide: a) Dibuje la regin de integracin b) Exprese esta integral como una integral iterada que sea equivalente, en los otros cinco rdenes.

333. Dada la integral que representa la masa de un slido B:

n 'l W r'~2z/ zdydzdx

i JO

Dibuje el slido y calcule las integrales: J[ff zdxdydz y f ffB zdzdydx.

334. Sea el slido limitado por el plano y ~ z 2, el cilindro x 2 + y2 1 y el plano xy. Dibuje claramente el slido y determine: a) Volumen b) Area total de la superficie que recubre el slido.

335. Sea B el slido limitado por la parte de la superficie esfrica x2 + y2 + z2 4z que esta dentro del paraboloide z x 2 + y2, se pide: a) Dibuje el slido b) Plantee el volumen del slido en coordenadas cartesianas c) Determine el valor numrico del volumen d) Calcule el rea de la superficie esfrica que sta dentro del paraboloide.

336. Sea el slido interior a la superficie x 2 + y2 -I- z~ 12, entre los conos 2 = yjx2 + y2 y \/3 z \Jx2 -i- y2- Dibuje el slido, plantee su volumen en coordenadas cilindricas y calcule el valor numrico usando coordenadas esfricas. Obtenga adems el rea de toda la, superficie que recubre el slido.

337. Calcule la masa de la regin limitada interiormente por el cilindro x2 + y2 = 9 entre el paraboloide x 2 + y2 4^ 16 y el plano z 1 con 5(x, y, z) z.

338. Determine el rea de superficie de la pu'te de superficie z = x 2 + 2y que est encima de la regin triangular en el plano xy con vrtices (0,0), (1,0) y (1,1).

339. Determine el rea, de la superficie de la. parte de la esfera x 2 4- y2 + z2 = 4 que est dentro del cilindro x2 + y2 2x y encima del plano xy.

340. Un anillo con la forma de la. curva x2 -f y2 = a2 est formado por un alambre delgado cuya densidad viene dada por 6(x ,y) \x\ + |y|. Hallar la masa del anillo.

341. Calcule el Jo del alambre modelado por C = {(x,y)\x2 + y2 9 ,y2 < 8.r}, con densidad fi(x, y) = x 2.



342. Del .ormino la integral do lnea:

{7y f* " ' )dx + (15.r sen(// Sy)dy

Siendo C. la frontera do la regin limitada por: .r2 -f y2 < 4. j.rl > ://|. ,r > 0.

343. Evale lc {< xscvy y)dr ( 4. x2 y2 < 9, y > x y y > 0.a) directamente b) aplicando Green



351. Evale:

ifd.i -r Sxydy

donde C. es la frontera de la regin semianular D de la parte superior del plano que est entre los crculos .r2 y1 1 y x 2 + y- = 4. Directamente y usando Green.

352. Evale la int egral de lnea $>c {cr -r 0xy)rlx J (8.r2 sen y~)dy donde C es la fronl erade la regin limitada por x 2 + y2 > 1- x ~ y2 < 9. y > x.

353. Evale la integral de lnea:

y2dx + '.rydy

Siendo C la frontera de la regin D del primer cuadrante limitada por las curvasx2 + y2 4. x2 -r (y - 1)2 = 1 y y 0.

354. Verifique el teorema de Creen si F(x .y ) ~ [xy,2x + y: y C es la curva orientada positivamente frontera de la regin D - { (.r, y) | ,r2 + y2 < 4 . y/Sy > x , ,r > 0 }.

355. E^ ,ale:

2xydx 4- 3xdy

donde C os la frontera de la regin ('n el plano xy definida por 1 < x 2 -f- y2 < 4 y - x < y %/3x. a) directamente b) a])licando Green

356. Verifique el teorema de Green si F(x .y ) [2x y .xy ] y C es la curva orientada positivamente frontera de la regin D = { (x. y) | x 2 4- y2 < 4 . y3.r < y . . ( ) } .

357. Evale:

y2dx + 3 xdy

Donde C es la frontera de la regin en la parte superior del plano que esta entre los crculos x 2 + y2 = 1. x 2 - t y 2 = 9 y la recta y = x. Directamente y por Green.

358. Sea F(x .y ) = (y. x 2) v C la frontera de la regin D definida por x -f y > 4 y x 2 + y2 < 16. Verifique el teorema de Green.



359. Utilice una integral de lnea para demostrar que el rea encerrada por la elipse' ftr + fr ~ 1- viene dada por: rrab.

360. Calcule F di con F(x \/9 ~ x2,y > 0}.

36-5. Encuentre el centro de masa de un cascarn delgado de densidad constante 6 del cono ; \/.r2 + y2 cortado por los planos : = 1 y = 2.

366. Integre y{x, y. z) = xyx sobre la superficie del cubo cortado del primer octante por los planos x = l, y = l y : = l,

367. Encuentre el flujo del campo F(x, y, z) = z2i + x j 3zk hacia arriba a travs de la superficie cortada del cilindro parabloico z = 4 y2 por los planos x = 0, x = 1y ~ = 0.

368. Encuentre el flujo del campo f { x , y , z) 4xi + 4y j + 2 hacia, afuera a travs de la superficie cortada del fondo del par aboloide z = x2 + y2 por el plano z = 1.

369. Encuentre el flujo de F (x, y, z) = y z i + z 2k hacia el exterior a travs de la superficie S cortada del cilindro y2 4- z2 = 1, por los planos x = 0 y x = 1.

370. Encuentre el flujo de F(x, y, z) - [yz , x, z2} hacia el exterior a travs del cilindro parabloico y x2, 0 < x < 1 y 0 < z < 4.

371. Evale s (x2y + zs)dS, S es la parte del cilindro x2 + y2 9 que est entre los planos z = 0 y z = 2.



372. Evalo: s zdS. Donde S os la superficie cuyos lados Si estn dados por el cilindro x 2 -f y~ 4- 1 que tiene como fondo So el disco x 2 + y ~ < 1 en el plano c = 0. y cuya tapa S-i es la parte del plano c = a* + 1 que esta sobre ,S2.

373. Evale : c$>? F dS. Donde F(x. y. z) = yi + x j + zk y S es la frontera de la regin slida encerrada por el paraboloide c = 1 - x2 - y2 y el plano c = 0.

374. Sea F (x .y . z ) = [y2/2.z.x] y C la curva de interseccin del plano , r + : = 1 y el elipsoide x2 + 2y2 4- z2 = 1. Determine c^ ., F di.

375. Sea F (x ,y . z ) (y2. x , z 2) un campo vectorial y C la curva de interseccin del plano y + z 2 y el cilindro x 2 -+- y2 = 1. Muestre que

Universidad de Cara.boboI

Facuitad de- Ingeniera

380. Sea el campo vectorial F ( x , y , z) jx 4- 2z.y - x. z - y) y C la curva frontera del tringulo en que el plano x -t-2y + z 3 corta al primer ociante. Compruebe que f e F ' di ~ Jfs rotF dS

381. Sea D el prisma cuya base es el tringulo en el plano xy limitado por el eje x, las rectas y = x y r = 1, y su parte superior se encuentra en el plano z 2 y. Si F(x , y , z) xzt -t x j + z2k. demuestre que:

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