guia logica
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Universidad Cat´olica del Maule Algebra (ICI) Gu´ ıa 1 - L´ogica 1. Simbolice y determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (a) No ocurre que, si 2 + 2 = 0 o 2 + 1 = 3, entonces 4 + 5 = 9. (b) Si 2 + 2 ̸= 4, entonces no es verdad que, 3 + 3 ̸= 6 si y s´olo si 1+1 = 2. (c) No es verdad que 3 + 2 = 4 si y solo si 1 + 1 = 0 implica 3 · 2=7 (d) No es verdad que, 2 + 7 = 9 y si 2 + 1 = 5 implica 5 + 5 = 8 (e) Si 2+3 = 9, entonces no es verdad que, 3+4 = 7 si y s´olo si 1+1 = 0 2. En cual de sus significados est´a ”o” (no excluyente) en las siguientes proposiciones: (a) Si gan´ase mucho dinero o ganara la loter´ ıa, har´ ıa un viaje (b) El lunes ir´ e a la estaci´on de trenes o al terminal de buses (c) x =3´o x = -2 3. • Si dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad, entonces son l´ogicamente equivalentes. • Dos proposiciones no son l´ogicamente equivalentes. ¿Cu´al es la conclusi´on l´ogica de estas premisas?. 4. Verifique, utilizando tablas de verdad, cu´ales de las siguientes proposiciones son equivalentes: (a) p Y ∼ q (b) ∼ p ∨ q (c) (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧∼ q) (d) (p ∨∼ q) ∧ (∼ p ∨ q) 5. Encuentre el valor de verdad de [∼ (p ⇒ q) ∧ (∼ p ∧ q)] ∨ (r ⇒∼ p) si p : el n´ umero 2 es par, q es F y r : los gatos tienen 5 patas. 6. Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones: (a) [(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ⇔ (p ∨∼ q) (b) p Y (q ∨ r) (c) ∼ (∼ p ⇔ q) (d) (p ∧∼ q) ⇒ (∼ p ∨ q) (e) [p ∧ (∼ q ⇒ p)] ∧ [(p ⇔∼ q) ⇒ (q ∨∼ p)] 7. Pruebe que son tautolog´ ıas:
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Universidad Catolica del Maule Algebra (ICI)
Gua 1 - Logica
1. Simbolice y determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
(a) No ocurre que, si 2 + 2 = 0 o 2 + 1 = 3, entonces 4 + 5 = 9.
(b) Si 2 + 2 6= 4, entonces no es verdad que, 3 + 3 6= 6 si y solo si 1 + 1 = 2.(c) No es verdad que 3 + 2 = 4 si y solo si 1 + 1 = 0 implica 3 2 = 7(d) No es verdad que, 2 + 7 = 9 y si 2 + 1 = 5 implica 5 + 5 = 8
(e) Si 2 + 3 = 9, entonces no es verdad que, 3 + 4 = 7 si y solo si 1 + 1 = 0
2. En cual de sus signicados esta "o" (no excluyente) en las siguientes proposiciones:
(a) Si ganase mucho dinero o ganara la lotera, hara un viaje
(b) El lunes ire a la estacion de trenes o al terminal de buses
(c) x = 3 o x = 2
3. Si dos proposiciones tienen los mismos valores de verdad, entonces son logicamenteequivalentes.
Dos proposiciones no son logicamente equivalentes.>Cual es la conclusion logica de estas premisas?.
4. Verique, utilizando tablas de verdad, cuales de las siguientes proposiciones son equivalentes:
(a) pY q(b) p _ q
(c) (p ^ q) _ ( p^ q)(d) (p_ q) ^ ( p _ q)
5. Encuentre el valor de verdad de
[ (p) q) ^ ( p ^ q)] _ (r ) p)
si p : el numero 2 es par, q es F y r : los gatos tienen 5 patas.
6. Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:
(a) [(p) q)) (q ) p)], (p_ q)(b) p Y (q _ r)(c) ( p, q)
(d) (p^ q)) ( p _ q)
(e) [p ^ ( q ) p)] ^ [(p, q)) (q _ p)]
7. Pruebe que son tautologas:
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(a) [p _ (p ^ q), p](b) (p ^ q)) ( p^ q)(c) q ) (p) q)(d) (p ^ q)) r , (p) r) _ (q ) r)
(e) p) [q ) (p ^ q)]
(f) (p ) (q ^ r)), ((p) q) ^ (p ) r))
(g) [p _ (p ^ q)], p
8. Probar las siguientes equivalencias:
(a) p Y (q Y r) (p Y q) Y r(b) p ^ (q Y r) (p ^ q) Y (p ^ r)(c) p _ q (p Y q) Y (p ^ q)(d) p ^ q p Y (p^ q)
(e) p ^ (p _ q) p
(f) (p ^ q) p_ q
(g) p ^ (q _ r) (p ^ q) _ (p ^ r)
9. Averiguar si son equivalentes las proposiciones:
(p ^ q)) r y [(p) r) ^ (q ) r)]
10. Encuentre el valor de verdad de: [(p) q) _ ( p ^ q)] ^ (r ) q) si
(a) p es V, q es V y r es F
(b) p; r son F y q es V
(c) p es F, q es F y r es F
(d) si son todas verdaderas
11. Simplicar las siguientes proposiciones:
(a) p ^ (q ^ p)(b) (p ^ q) _ p(c) (p) q)_ p(d) (p) q) _ p(e) (q ) p) ) p(f) (p) q) ) p(g) (p) q) _ q
(h) p^ (q ) p)(i) [p _ (q , p)] ) q(j) [ (p) q) ^ ( p ^ q)] _ [r ) (p _ r)](k) p ^ (q ^ p)(l) [p) ( p _ r)] ^ [r ) p]
(m) [ (p) q)) (q ) p)] ^ (p _ q)
12. Derive a partir de las equivalencias elementales, las siguientes equivalencias:
(a) ((p ^ q)) r) ((p) r) _ (q ) r))(b) ((p) q) ^ q)) p q ) p
13. Demostrar sin el uso de tablas de verdad:
(a) p _ (p ^ q) p(b) p ^ (p _ q) p(c) (p _ q) _ ( p ^ q) p(d) (p) q), (p ^ q)
(e) (p^ q)) r p _ (q _ r)(f) [f(p ) q) ^ (p ) t)g _ f(r ) q) ^ (r )
t)g] f(p ^ r)) (q ^ t)g
14. Si las proposiciones a y b son tales que la proposicion (a ^ b) ) (a _ b) es verdadera,determinar el valor de verdad de (a ^ b) _ (a _ b):
15. Escribir en smbolos las siguientes expresiones. Considere como universo el conjunto de losnumeros naturales.
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(a) Todo numero es mayor o igual que s mismo.
(b) Si el numero x es menor que y, entonces no es mayor que 9.
(c) x sumado con algun numero resulta x.
(d) El producto de x con y es mayor que x, y mayor que y.
16. Demuestre las siguientes equivalencias sin uso de tablas de verdad.
(a) (p) q) [(p^ q)) q](b) (p, q) ( p, q)(c) [p) (q ^ r)] [(p) q) ^ (p) r)](d) [(p ^ q)) r] [(p^ r)) q](e) [p) (p^ (q _ r))] p _ ( q ^ r)(f) [( p _ q) _ ( r^ p)] (q _ p)
17. Indique en cuales de los siguientes casos p es condicion suciente para q; y en cuales p escondicion necesaria y suciente para q.
(a) p : A es multiplo de 4 q : A es numero par
(b) p : A y B son pares, q : A+B es par.
18. Dadas las proposiciones: p : 2 + 2 = 4, q : 2 + 5 = 3 , r : 2 3 = 6, y, s : 23 = 6. Determinelos valores de verdad de las siguientes proposiciones:
(a) [ (p^ q)^ (r_ s)]) [p^ s];(b) ( p) q), ( p ^ r)^ s
19. Sean: P y Q proposiciones verdaderas; R y S son proposiciones falsas. Usando diagramasdetermine el valor de verdad de:
(a) [ P ) (R) Q)]) (P ) Q);(b) (P ) R)) (R) P );(c) (P ^Q)) ( P_ Q);(d) [(P_ R) ^ (S _R)];(e) [( P _ S) _ ( S ^R)];(f) (P ) Q), (Q) P );(g) (P^ Q) ^R) ( P ==> Q^ R);(h) [(P ^Q)) S]) [P ) (Q) S)].
20. Si la proposicion (p^ q) ) ( r ) t) es falsa, determine el valor de verdad de laproposicion (p ^ t)) (r _ q)) (u, v).
21. Se denen los conectivos y 4 por:
P Q, (P ) Q) P4Q, ( P _Q)Determina el valor de verdad de :
P^ ( P4 R) _ P^ ( P4Q)_ ( S P )) (P S):
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