CALCULO PROPOSICIONAL

Simbolización de proposiciones.

Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un

nombre. Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas.

Una proposición se denomina simple cuando en ella no interviene ninguna

conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si...entonces..., si y sólo si).

Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace,

se forma una proposición compuesta.

Los términos de enlace, "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si"; se

usan para ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se

agrega a una sola proposición.

Proposiciones simples o Atómicas.

Son aquellas que se pueden representar con una sola variable o

letra (No tiene Conectivos).

Ejemplos:

a) p : Pamela tiene 20 años.

b) q : 5 x 6 = 30

c) r : El mundial de futbol es en Sudáfrica.

Proposiciones Compuestas o Moleculares

Son aquellas que están constituidas por proposiciones simples

enlazadas entre si por conectivos lógicos. El valor de la verdad de una

proposición compuesta depende de los valores de la verdad de las

proposiciones que lo forman y de la manera como están unidas.

Conectivas lógicas

Conectiva Notación Ejemplo

de uso

Análogo

natural

Ejemplo de uso en

el lenguaje natural

Negación

no No está lloviendo.

Conjunción

y Está lloviendoy la

calle está mojada.

Disyunción

o Está lloviendoo la

calle está mojada.

Condicional

material

si...

entonces

Si está

lloviendo,entonces la

calle está mojada.

Bicondicional

si y sólo

si

Está lloviendosi y

sólo si la calle está

mojada.

Negación

conjunta

ni... ni Ni está lloviendo ni la

calle está mojada.

Disyunción

excluyente

o bien...

o bien

O bien está

lloviendo, o bien la

calle está mojada.

Ejemplo:

Hoy es jueves

Hay clases de matemáticas

Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se

pueden construir proposiciones compuestas tales como:

Hoy es jueves y hay clases de matemáticas.

Hoy es jueves o hay clases de matemáticas.

Si hoy es jueves entonces hay clases de matemáticas.

Hoy no es jueves.

La forma de las proposiciones compuestas depende del término de

enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones

simples. Es decir, si en una proposición compuesta se sustituyen las

proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la

forma de la proposición compuesta se conserva.

Ejemplo:

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.

Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden

colocarse las proposiciones dadas u otras proposiciones. Para representar

las proposiciones se utilizan letra latinas mayúsculas tales como P, Q, R,

etc. Por ejemplo, sea:

p: Hoy es jueves.

q: Hay clase de matemáticas.

Luego la proposición: Hoy es jueves y hay clase de matemáticas. Se

simboliza así:

p ^ q

En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o". Es tarde o

está muy oscuro. Otro giro de "o" es: O es tarde o está muy oscuro. En este

último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma

de la proposición es:

Es tarde = p

Está muy oscuro = q

p v q

En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso

indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener

distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se

presentan de acuerdo a la colocación de ciertas palabras o mediante la

puntuación. En lógica la agrupación se indica por medio de paréntesis o

por su jerarquía

Ejemplos:

a) ~ p : No aprobé el curso de matemática.

b) P Λ q : Hoy es sábado y mañana es domingo.

c) P → q : Si 5 es primo, entonces 15 es número par

d) r Λ s : Carlos es ingeniero y Luis tiene 10 años

e) p Ѵ q : Ronaldo gano el partido o esta enfermo.

Símbolo Lenguaje natural

~ No

^ Y

v O

→ Si…entonces; implica

↔ Si y solo si

Nota: para armar una tabla de la verdad y estar seguro que contamos con el número correcto de posibilidades o combinaciones Cn, aplicamos la siguiente formula cn = 2n , donde n representa el numero de variables y asi evitamos confusiones

Ejemplo:

Para 3 variables

2n =23=8

TABLAS DE LA VERDAD

Negación ( NO)

La negación es un operador que se ejecuta, sobre un

único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de

la proposición considerada.

Conjunción (Y)

La conjunción es un operador que opera sobre

dos valores de verdad, típicamente los valores de

verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de

verdad verdaderocuando ambas proposiciones son

verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es

verdadera cuando ambas son verdaderas

Disyunción (O)

La disyunción es un operador que opera sobre

dos valores de verdad, típicamente los valores de

verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de

verdad verdadero cuando una de las proposiciones es

verdadera, o cuando ambas lo son, y falsocuando

ambas son falsas.

Implicación o Condicional (Implica)

El condicional material es un operador que

opera sobre dos valores de verdad, típicamente los

valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el

valor de falso sólo cuando la primera proposición es

verdadera y la segunda falsa, y verdadero en

cualquier otro caso.

Equivalencia, doble implicación o Bicondicional

El bicondicional o doble implicación es un

operador que funciona sobre dos valores de verdad,

típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el

valor de verdadverdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo

valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad diferente.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Los deseos son caballos, a condición de que los caballos no vuelan.

También, los mendigos no cabalgan, a condición de que los deseos no sean

caballos. Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no

sean equinos, entonces los caballos vuelan. Si la imposibilidad de los

caballos para volar y la imposibilidad de los mendigos para cabalgar no

son alternativas, entonces los mendigos no son ricos. Pero los mendigos

cabalgan, ¿son ricos los mendigos?

El primer paso es convertir las frases resaltantes o las premisas

en variables tomándolas siempre como positivas o afirmativas, en

caso que aparesca de forma negativa se emplea en conector ( ~ )

Q W = los deseos son caballos

P Hf = los caballos vuelan

R brd = los mendigos cabalgan

S brch= los mendigos son ricos

Luego de asignar las variables, separamos la proposición en

oraciones y las representamos

1. Los deseos son caballos, a condición de que los caballos no vuelan.

La condición a cumplir es los caballos no vuelan por lo tanto toma el

~p→q

2. También, los mendigos no cabalgan, a condición de que los deseos

no sean caballos

~q→~r

3. Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean

equinos, entonces los caballos vuelan

Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean

equinos

r^~q

entonces los caballos vuelan

→p

Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean

equinos, entonces los caballos vuelan

(r^~q )→p

4. Si la imposibilidad de los caballos para volar y la imposibilidad

de los mendigos para cabalgar no son alternativas

~(~p v ~r)

entonces los mendigos no son ricos

→~s

Si la imposibilidad de los caballos para volar y la imposibilidad

de los mendigos para cabalgar no son alternativas, entonces los

mendigos no son ricos

~(~p v ~r)→~s

5. Pero los mendigos cabalgan r

2. Arma la tabla de la verdad para los siguientes ejercicios:

a) estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco.

p = estar seguro.

q = decir la verdad.

r = mentir como un bellaco

Cn=23=8

( p ˄ q ) ˅ r

cn p q r ( p ˄ q ) ( p ˄ q ) ˅ r

1 v v v v v

2 v v f v v

3 v f v f v

4 v f f f f

5 f v v f v

6 f v f f f

7 f f v f v

8 f f f f f

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Escriba la Simbolización de los siguientes enunciados:

a) Las computadoras trabajan más rápido que los hombres.

b) No tengo un auto azul.

c) Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja.

d) Bailamos o tomamos café.

e) Si cantamos entonces necesitamos viajar.

f) Leeré este libro si solo si tiene pocas hojas.

g) No es cierto que si no tomamos café implica que no es de día.

h) La tierra gira alrededor del sol ó no se da que la luna es un planeta.

i) Si trabajara los fines de semana y durmiera menos entonces no

perdería el vuelo.

j) 10. Es falso que vivo en Loja, pero visitaré a mi familia en Cuenca.

k) No iremos al partido a menos que salga el sol.

l) Ana es profesora o es estudiante pero no puede ser ambas cosas a la

vez.

II. Formaliza la siguiente inferencia:

Si Rosa participa en el municipio escolar entonces los estudiantes se

enojan con ella, y si no participa en el municipio escolar, los profesores se

enojan con ella. Pero, Rosa participa en el municipio escolar o no

participa. Por lo tanto, los estudiantes o los profesores se enojan con ella.

III Realice la tabla de verdad de las siguientes expresiones, indicando

si es una contradicción, una tautología o una proposición empírica.

1. p ∧ q

2. (p ∧ q) ∧ r

3. ¬(p → ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)

4. (p ∧ q) ∨ (p ∨ ¬q)

5. p ∧ q ∧ r

6. ¬(p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)

7. ¬¬(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬q)

8. p ∨ q ∧ r

9. ¬(¬p ∧ ¬q) ∧ (¬p ∧ ¬q)

10. p ∨ q ∧ ¬r

11. p ∧ q → r

12. p ∧ q → ¬r

13. p ↔ ¬ p

14. ¬ (p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)

15. ¬¬ p ∨ ¬¬ q

16. p ∨q

17. p ↔ q v r

18. [ (¬p ∨ q) v (p ∧ q)] →[ (¬p ∨ q) v ¬p ]

19. (p ∨ ¬q) → ( ¬p → ¬q)

20. (p ↔ ¬q) v (p ∨ ¬q)

21. (¬p ∧ q) ∨ (¬p → q)

22. ¬q ∨ ¬p

23. (p → q ∧ r) ↔ ¬(¬q v r) v ¬r

24. (¬q ∧ r) → ¬(¬q v r) v ¬r

25. (p → q ) ∧ r Æ ¬(p v r) v ¬r

26. (p → q) ∧ (q → r) → (p ∧ ¬r)

27. ¬p ↔ (q ∧ r) ∨ ¬(¬q v r)

28. [ (p v ¬ q) → (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p] v ¬p

29. [ ¬(p v q) v (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p]

30. (p → q) ∧ (q → r) → (p ∧ r)

31. (p ∧ q → r) → (p v r )

60. (¬p v q → p ∧ r) ↔ ¬(¬q ∧ ¬r) ∧ r

61. (p v q) ↔ (¬p →¬q v r)

62. p v q → (p ↔ q)

63. ¬p v (¬q ∧ r) → (¬r↔ p)

64. (p → ¬q) ∧ (r v ¬p ↔ ¬r)

65. ((p v ¬r Æ ¬p) ∧ ¬(¬q Æ r) ↔ ¬r

66. (p Æ q → r) → p ∧ r*

67. (p ↔ q ∧ ¬r ) ↔ ¬¬(¬q v ¬r) v(r v s)

68. (¬p ↔ q) ← (p v ¬p → ¬q v r)

69. (p v ¬q→ p ∧ r) ↔ [ ¬(¬q v ¬r) v (r→ ¬q) ]*

70. (p Æ q) ∧ (q Æ r) Æ(p Æ r)

71. (p ← q → p) → (q v r) ∧(¬q ∧ ¬r)

72. ¬(p ∧ ¬q → r) → ¬(q ↔ s v t) ∧ ¬(¬ p ∧ ¬ s)

73. ¬(p ∧ ¬q → r) → ¬(q ↔ ¬r v q) ∧ ¬(¬ p ∧ ¬ ¬¬p)

74. (¬q → r) v (¬r ∧ ¬p ↔ ¬¬r) →p ∧ ¬¬r

IV Descubra si las siguientes expresiones son EQUIVALENTES, es

decir, si tienen la misma tabla de verdad.

1.- (p ↔ q) v (p → q)

(p v q) ∧ (¬p →¬q)

2.- p ∧ ¬q → ¬p

(p ↔ ¬q) v q

3.- ¬p v q ↔ p

p ∨ q

V. Si p es V y q es F, determínese el valor de verdad de las siguientes

fórmulas:

1.- ¬p ← q.

2.- ¬p v ¬p

3.- ¬¬p v ¬¬q

4.- ¬q → ¬p

5.- p →¬(p v¬q)

6.- p v q →q

7.- ¬(¬q→p) v (¬p →q)

8.- (¬p v ¬q) ↔ (¬p v ¬q → p)

9.- (p → q) v ¬q → ¬p

10.- ¬¬¬p → ¬p

.

Link de interés

https://www.youtube.com/watch?v=pwJK-4Op438