GUÍA PARA EL MAESTROcrd.edicionescastillo.com/secundaria/repositorio/... · 2017-02-13 · Figuras...

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S E C U N D A R I A T E R C E R G R A D OMatemáticas 3Guía para el maestro

Primera edición: noviembre de 2014Segunda edición: diciembre de 2016

Matemáticas 3Guía para el maestroTexto: Teresa Guadalupe Vergara Loera, Najla Amira Ochoa Leonor, José Germán Ávila Vicenteño y Ricardo Medel Esquivel.

Todos los derechos reservados.D. R. © 2016, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.Castillo ® es una marca registrada

Insurgentes Sur 1886, Col. Florida,Del. Álvaro Obregón,C.P. 01030, México, D. F.Tel.: (55) 5128-1350Fax: (55) 5128-1350 ext. 2899

Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan

www.grupomacmillan.comwww.edicionescastillo.cominfocastillo@grupomacmillan.comLada sin costo: 01 800 536 1777

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 3304

Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra por cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia, o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.

Subdirección editorial: Tania Carreño KingGerencia de secundaria: Fabián Cabral

Coordinación de secundaria: Mónica NobleDiseño de interiores y portada:

Gustavo Hernández Edición, diagramación y pruebas:

Letra CardinalSupervisión editorial: Javier Jiménez Alba

Supervisión de diseño: Sahie GarcíaCoordinación de imagen: Teresa Leyva

Supervisión de imagen: Mariana JiménezCoordinación de operaciones de diseño:

Gabriela Rodríguez CruzSubdirección de logística y producción:

Carlos Olvera Coordinación de producción: Ulyses Calvillo

La práctica docente exige diferentes recursos para lograr una educación de calidad. Conscientes de ello, en Ediciones Castillo queremos contribuir desde nuestras posibilidades a que su trabajo sea más sencillo.

Como una muestra de ese compromiso, hemos renovado la guía para el maestro de nuestros títulos de la serie Explora: se trata una herramienta que facilitará su trabajo diario en el aula porque incluye sugerencias y respuestas, página a página, para el libro del alumno.

Además de brindar las recomendaciones para instrumentar el trabajo en el aula, esta nueva guía Explora incluye:• El solucionario correspondiente a las evaluaciones Ponte a Prueba ENLACE y Ponte a prueba

PISA que contiene el libro del alumno• Avance programático bimestral

La nueva guía que ponemos a su alcance tiene como objetivo acompañarlo en cada etapa del proceso de trabajo con las secuencias didácticas, señalando elementos de utilidad: conceptos, habilidades, actitudes, propósitos de las actividades, así como cada momento de las secuencias (Inicio a partir de lo que sé, Resuelvo y aprendo y Consolido mis aprendizajes).

Los que participamos en la elaboración de esta nueva guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.

Los editores

Presentación para el maestro

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Estructura de la guía 4El trabajo con secuencias didácticas 8Evaluación 9Recursos digitales para el docente 10Avance programático 11

Bloque 1S1. La raíz del problema 18Inicio a partir de lo que sé 18Resuelvo y aprendo 19 Consolido mis aprendizajes 23

S2. A imagen y semejanza 24Inicio a partir de lo que sé 24Resuelvo y aprendo 25 Consolido mis aprendizajes 29

S3. ¿En qué se parecen? 30Inicio a partir de lo que sé 30Resuelvo y aprendo 31 Consolido mis aprendizajes 35

S4. Representaciones de una misma situación 36Inicio a partir de lo que sé 36Resuelvo y aprendo 36 Consolido mis aprendizajes 41

S5. Dos maneras de entender una variación cuadrática 42Inicio a partir de lo que sé 42

Índice

Resuelvo y aprendo 43Consolido mis aprendizajes 47

S6. Probabilidad de eventos 48Inicio a partir de lo que sé 48Resuelvo y aprendo 49 Consolido mis aprendizajes 53

S7. ¿Qué opinan los demás? 54Inicio a partir de lo que sé 54Resuelvo y aprendo 54Consolido mis aprendizajes 58

Habilidades digitales 59Ponte a prueba PISA 62Ponte a prueba ENLACE 64Ahora sé 65

Bloque 2 S9. Vamos por partes 68Inicio a partir de lo que sé 68Resuelvo y aprendo 68Consolido mis aprendizajes 73

S9. Girar y deslizar 74Inicio a partir de lo que sé 74Resuelvo y aprendo 75 Consolido mis aprendizajes 79


S10. Diseños con simetría, rotación y traslación 80 Inicio a partir de lo que sé 80Resuelvo y aprendo 81 Consolido mis aprendizajes 85

S11. La cuadratura del triángulo 86Inicio a partir de lo que sé 86Resuelvo y aprendo 86 Consolido mis aprendizajes 91

S12. El teorema de Pitágoras 92Inicio a partir de lo que sé 92Resuelvo y aprendo 92 Consolido mis aprendizajes 97

S13. Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes 98Inicio a partir de lo que sé 98Resuelvo y aprendo 99Consolido mis aprendizajes 102


Bloque 3S14. La fórmula infalible 112Inicio a partir de lo que sé 112Resuelvo y aprendo 112Consolido mis aprendizajes 117

S15. ¡Hágalo con triángulos! 118Inicio a partir de lo que sé 118Resuelvo y aprendo 118 Consolido mis aprendizajes 123

S16. Tales para cuales 124 Inicio a partir de lo que sé 124Resuelvo y aprendo 124 Consolido mis aprendizajes 128

S17. Dadme un punto de apoyo … y transformaré la figura 130Inicio a partir de lo que sé 130Resuelvo y aprendo 130 Consolido mis aprendizajes 135

S18. Gráficas de relaciones cuadráticas 136Inicio a partir de lo que sé 136Resuelvo y aprendo 137 Consolido mis aprendizajes 141

S19. Con rectas y curvas 142Inicio a partir de lo que sé 142Resuelvo y aprendo 143Consolido mis aprendizajes 147


S20. Probabilidad de eventos independientes 148Inicio a partir de lo que sé 148Resuelvo y aprendo 149 Consolido mis aprendizajes 152


Bloque 4S21. Dime la regla y te diré quién sigue 162Inicio a partir de lo que sé 162Resuelvo y aprendo 163 Consolido mis aprendizajes 166

S22. Sólidos de revolución 167Inicio a partir de lo que sé 167Resuelvo y aprendo 167 Consolido mis aprendizajes 172

S23. La pendiente, la tangente y el ángulo de inclinación de una recta 173Inicio a partir de lo que sé 173Resuelvo y aprendo 174 Consolido mis aprendizajes 177

S24. Seno, coseno y tangente 179Inicio a partir de lo que sé 179Resuelvo y aprendo 180 Consolido mis aprendizajes 184

S25. ¿Para qué sirve la trigonometría? 185Inicio a partir de lo que sé 185Resuelvo y aprendo 185 Consolido mis aprendizajes 189

S26. ¿Cuánto cambió? 191Inicio a partir de lo que sé 191Resuelvo y aprendo 192Consolido mis aprendizajes 196

S27. Dispersión de datos 197Inicio a partir de lo que sé 197Resuelvo y aprendo 198 Consolido mis aprendizajes 202



Bloque 5 S28. ¡Hágalo con álgebra! 212Inicio a partir de lo que sé 212Resuelvo y aprendo 212 Consolido mis aprendizajes 217

S29. Cortes a cilindros y conos 218Inicio a partir de lo que sé 218Resuelvo y aprendo 219 Consolido mis aprendizajes 223

S30. Volumen de cilindros y conos 225Inicio a partir de lo que sé 225Resuelvo y aprendo 225 Consolido mis aprendizajes 230

S31. Situaciones con conos y cilindros 231Inicio a partir de lo que sé 231Resuelvo y aprendo 231 Consolido mis aprendizajes 236

S32. Variaciones lineales y cuadráticas 237Inicio a partir de lo que sé 237Resuelvo y aprendo 238 Consolido mis aprendizajes 242

S33. Antes de apostar 244Inicio a partir de lo que sé 244Resuelvo y aprendo 245 Consolido mis aprendizajes 248


Conceptos clave ordenados pr ejes y temas 257Bibliografía general 260


Estructura de la guía

Avance programáticoEs una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula atendiendo los aprendizajes esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar (por temas o secuencias didácticas), además de las semanas y horas sugeridas para abordarlos.

Bloque 2Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas

9

Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co

Patrones y ecuaciones

8. Vamos por partesUso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

68-73

10

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Figuras y cuerpos

9. Girar y deslizarAnálisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

74-79

1110. Diseños con simetría, rotación y traslación

Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

80-85

12

Medida

11. La cuadratura del triángulo

Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

86-91

1312. El teorema de Pitágoras

Explicitación y uso del teorema de Pitágoras. 92-97

14

Mane

jo d

e la

in

form

ació

n

Nociones de probabilidad13. Probabilidad de evento mutuamente excluyentes

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

98-102

15 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 103-108


12

Bloque 3

Semanas Eje Tema Secuencia Contenido Páginas

16

Sent

ido

num

éric

o y

pen

sam

ient

o al

gebr

aico


14. La fórmula infalibleResolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.

112-117

17

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Figuras y cuerpos

15. ¡Hágalo con triángulos!

Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.

118-123

18 16. Tales para cualesResolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.

124-129

19

17. Dadme un punto de apoyo… y transformaré la figura

Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.

130-135

20

Mane

jo d

e la

info

rmac

ión

Proporcionalidad y funciones

18. Gráficas de relaciones cuadráticas

Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos.

136-141

21

Análisis y representación de datos

19. Con rectas y curvas

Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

142-147

2220. Probabilidad de eventos independientes

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).

148-152



13


4

Inicio del bloque Al inicio de cada bloque encontrará los aprendizajes esperados, las competencias que se favorecen y un resumen de los conocimientos que se estudiaron.

Eje Contenido Aprendizajes esperados

Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


• Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.

• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.

• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier fi gura.

Form

a, e

spac

io y

m

edid

a

Figuras y cuerpos

• Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.

• Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.

• Aplicación de la semejanza en la construcción de fi guras homotéticas.

Mane

jo d

e la

info

rmac

ión


• Lectura y construcción de gráfi cas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos.

• Lectura y construcción de gráfi cas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

Nociones de probabilidad

• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).

El puente del Alamillo en Sevilla, España, obra del arquitecto Santiago Calatrava, es una muestra de la combinación de la

geometría, el arte y la ingeniería en la construcción de obras que ayudan a resolver problemas de la población aunado con el embellecimiento de las ciudades. Los tirantes paralelos del puente cuyo objetivo funcional es el de dar sostén al tablero,

asemeja las líneas paralelas que se pueden trazar en un triángulo para formar triángulos menores semejantes entre sí,

como afi rma el teorema de Tales.

110110

Bloque 3 Competencias que se favorecen• Resolver problemas de manera autónoma.• Comunicar información matemática.• Validar procedimientos y resultados.• Manejar técnicas eficientemente.

Conceptos principales S14 Ecuación de segundo grado, incógnita, discriminante. S15 Congruencia, semejanza, criterios de congruencia y semejanza

de triángulos. S16 Teorema de Tales, división de un segmento en partes iguales,

proporción. S17 Semejanza, homotecia, centro de homotecia, razón de homotecia. S18 Variacíon cuadrática, parábola, valores máximos y mínimos. S19 Gráficas, rectas, curvas, movimiento, llenado de recipientes. S20 Probabilidad, espacio muestral, eventos dependientes, eventos

independientes, regla del producto.

Aprendizajes esperados• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo

grado.• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utili-

zar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.


110

111111

Sentido numérico y pensamiento algebraico. En este eje, con el estudio de la fórmula general y su aplicación, el alumno alcanza el primer aprendizaje esperado del bloque.

Forma espacio y medida. Los contenidos de este eje son tres: en el primero, se aplican los criterios de congruencia y semejanza de trián-gulos para resolver problemas; en el segundo, se resuelven proble-mas geométricos mediante el teorema de Tales. En el tercer contenido construirán figuras homotéticas, y con esto se concluye el segundo aprendizaje esperado del bloque.

Manejo de la información. Uno de los temas que se estudian en este eje es el de proporcionalidad y funciones, en dos contenidos. El primero consiste en la lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráti-cas para modelar diferentes fenómenos. En el segundo se extiende este mismo estudio a gráficas formadas por secciones rectas y curvas. En el último tema del eje y del bloque, se estudia el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes.


111

Sugerencias didácticas

En cada etapa de la secuencia hallará

algunas sugerencias didácticas.

SolucionarioSe han incluido las respuestas a las actividades del libro del alumno. Encontrará la leyenda R. L. (respuesta libre) cuando sea el caso, o bien, si se trata de respuesta modelo aparecen las iniciales R. M.

Dim

e la

regl

a y

te d

iré q

uién

sig

ue Inicio a partir de lo que séLa representación de números en forma visual con guijarros o piedras era una práctica regular entre los antiguos griegos; también, durante el Imperio romano, se usaban calculus, es decir, pequeñas piedras para contar y hacer operaciones.

Con esta representación, si se parte de la unidad y se añade un número impar de piedras alrededor de cada arreglo para formar el siguiente, se obtienen los números cuadrados. En la fi gura 4.1 se aprecian los primeros cinco números cuadrados. ¿Por qué piensas que reciben ese nombre?

Resuelvo y aprendo

Fig. 4.1

Fig. 4.2

a) Escriban una expresión algebraica para calcular el número de piedras en la base de cada arreglo con relación al número del arreglo.

b) Escriban también una expresión algebraica para determinar el número de piedras en la altura del mismo arreglo también con relación al número del arreglo.

c) A partir de las expresiones anteriores, escriban otra con la que se obtenga el número de piedras en cada arreglo.

d) ¿Un arreglo con 68 piedras pertenece a la sucesión? Justifi quen su respuesta en su cuaderno.e) ¿Cuántas piedras conformarían el arreglo 20?

Arreglo 1 Arreglo 2 Arreglo 3 Arreglo 4 Arreglo 5

Expresiones cuadráticas y sucesiones

1. En equipos resuelvan las siguientes situaciones.

a) Un equipo de trabajadores coloca losetas sobre el piso del salón de usos múltiples en la secundaria José Luis Cuevas en el orden que muestra la fi gura 4.2. Obsérvenlo.

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

162

SECUENCIA 21Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión

Antecedentes• Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las re-

glas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.

Inicio a partir de lo que sé

Página 162a) a � b, donde a es el número de piedras en la base y b, el número

del arreglo.b) c � b, donde c es el número de piedras en la altura y b, el

número del arreglo.c) ac � b 2, y como el producto ac corresponde al número de

piedras, entonces la expresión anterior puede expresarse como n � b 2, con n el número de piedras.

d) No, ya que no existe un número entero b tal que su cuadrado sea n � 68.

e) 400

Sugerencia didáctica. Comparen de manera grupal las respuestas ante-riores. Antes de iniciar, indique a los alumnos que considerarán a la literal b como el número de piedras en el base y a n como el número de piedras.

Plantee preguntas que les permitan justificar las respuestas que obtuvieron al trabajar en parejas: ¿cómo saben que un arreglo con 68 piedras pertenece o no a la sucesión?, ¿qué hicieron para saber cuántas piedras tendría el arreglo número 20?

S21


162

Consigan popotes, tijeras, tachuelas o alfi leres y pegamento. Recorten y unan los popotes con las tachuelas para construir un triángulo con-gruente con el de la fi gura 1.24.Con dos de los popotes con que construyeron el triángulo traten de formar un triángulo que no sea congruente con el anterior. ¿Pudieron hacerlo? ¿Por qué?

Con los tres popotes con que construyeron el triángulo inicial intenten formar un triángulo que no sea congruente con el triángulo de la fi gura 1.24. ¿Pudieron hacerlo? ¿Por qué?

b) Juan construyó un triángulo cuyos lados miden 2 cm, 5 cm y 6 cm. Si María hizo otro cuyos lados miden 5 cm, 2 cm y 6 cm, ¿cómo son entre sí los triángulos?

c) Recorten 2 segmentos de popote: uno de 4 cm y otro de 3.5 cm, y formen un ángulo de 45° uniéndolos por uno de sus extremos como se muestra en la fi gura 1.26. ¿Podrían completar un triángulo con esos segmentos? Recorten de un popote el segmento que falta para hacerlo.

¿Cuánto mide el lado opuesto al ángulo de 45°?

Comparen su construcción con la de otros equipos. ¿Cómo son entre sí los triángulos?

¿Podrían construir un triángulo no congruente con el anterior que conserve la medi-da de los popotes iniciales y el ángulo entre ellos? Escriban sus conclusiones.

d) Deshagan el triángulo que formaron. Con los segmentos más cortos formen un ángulo de 45° y con otro segmento de popote completen el triángulo. ¿Cuánto mide el lado faltante?

Analicen si para que dos triángulos sean congruentes es sufi ciente con que ten-gan dos lados y un ángulo iguales. Justifi quen su respuesta.

Fig. 1.25

Fig. 1.26

45°

31

BLOQUE 1

(Continúa de la página 30)b) R. L.c) R. L.

Resuelvo y aprendo

Criterios de congruencia entre triángulos

1. a) Celeste, ya que del modo que propone Emilio es posible trazar dos triángulos que coincidan en la medida de dos lados pero que difieran en el tercero. Lo anterior sucede cuando el ángulo entre los dos lados es diferente en cada triángulo.

Página 31• Sí, al modificar el ángulo que forman los dos popotes, la lon-

gitud del tercer lado cambia. • No, porque aunque se intente cambiar la manera en que se

acomodan los popotes, la abertura que se forma entre cada dos popotes siempre debe ser la misma para que pueda co-locarse el tercer popote.

b) Congruentes.c) Sí es posible.

• 2.91 cm• Congruentes.• No es posible. Cuando está determinada la medida de dos de

los lados y del ángulo comprendido entre ellos, la longitud del tercer lado será siempre la misma. Por lo anterior, todos los triángulos que se construyan serán congruentes.

d) 2.51 cm• Para afirmar que dos triángulos son congruentes es sufi-

ciente con que tengan dos lados iguales y que el ángulo comprendido entre esos lados también sea igual. Si los án-gulos iguales no son los comprendidos entre los lados igua-les, no se puede afirmar que los triángulos son congruentes.


31


5

Habilidades digitales Hacia el final del

bloque se presentan sugerencias

didácticas y las respuestas de esta

sección.

Ponte a prueba PISA Incluye las respuestas a la sección Ponte a prueba PISA.

Ahora selecciona el ícono Mueve Punto y modifica la posición de los vértices del polígono original para cambiar su forma.

a) ¿Cómo es el segundo polígono con respecto al original después de modificarlo?

b) ¿Qué características del primer polígono se conservan en el segundo? ¿Cuáles no?

3. Da clic en el ícono y dibuja una recta paralela a la primera, justo a un costado del segundo polígono, pero sin que lo corte. Repite las instrucciones del paso 2, ahora para los vértices del segundo polígono, y así obtener un tercer polígono (figura 5).

a) ¿Hay algún cambio en el perímetro y en el área del tercer polígono respecto al polígono original? ¿Por qué?

b) ¿Qué pasa con las medidas de los ángulos internos en el tercer polígono respecto al primero?

c) Haz clic en el ícono , mueve el punto que está sobre la segunda recta y hazlo coincidir con la primera. ¿Qué tipo de transformación permite obtener el tercer polígono a partir del primero?

Fig. 3

Fig. 4

104

HABILIDADES DIGITALES

Página 104

Respuestas2. a) Sigue siendo simétrico. b) Se conserva la forma del polígono. No se conserva la posición.3. a) No hay cambio. Porque el tercer polígono es el resultado de apli-

car dos veces simetría axial, la cual es una transformación que siempre da como resultado una figura congruente.

b) Son iguales. c) Traslación.


104

Transformaciones

Ahora trabajaremos con un software de dibujo distinto al que usamos en el bloque 1. Con esta herramienta digital libre desarrollarás habilidades en geometría y ejercitarás tu intuición, elaborarás hipótesis y validarás conjeturas. ¿Listo? ¡Comenzamos!

1. Abre el programa (figura 1), da clic en el ícono Polígono y observa que en la parte inferior de la ventana aparecen las instrucciones para usar la herramienta seleccionada. Dibuja un polígono con la forma que prefieras, pero asegúrate de que puedas reproducirlo más adelante. Con el botón secundario del ratón, haz clic sobre el polígono: en la parte superior de la pantalla aparecerá un menú; elige alguno de los íconos para colorear el polígono (figura 2).

Habilidades digitales

Te invito a…

entrar a la página www.edutics.mx/47k para obtener un software gratuito de geometría. (Consulta: 10 de julio de 2013).

Fig. 1

Fig. 2

2. Selecciona el ícono y dibuja una recta vertical adyacente al polígono, pero sin que lo corte (figura 3). Da clic en el ícono Simetría axial y dibuja puntos simétricos de los vértices del polígono respecto de la recta; para ello selecciona primero la recta y luego los vértices del polígono. Posteriormente, con la herramienta une los puntos simétricos para obtener un segundo polígono (figura 4).

Polígono

Menú para selección de colores

Instrucciones para el uso de

cada herramienta seleccionada

103

BLOQUE 2

Página 103

Sugerencia didáctica. En esta actividad se propone trabajar con un programa de dibujo diferente al que se usó en el bloque anterior. El propósito es que comente con sus alumnos que existen diferentes programas (muchos de distribución gratuita) con los que pueden realizar distintas tareas. En la sección “Te invito a…” se muestra una liga para acceder a la página electrónica oficial del programa y per-mite descargarlo de manera gratuita.

La actividad tiene la finalidad de que el alumno analice las propieda-des de la figuras geométricas con simetría axial, con doble simetría axial y con simetría rotacional.

Invítelos a hacer mediciones de ángulos, longitudes y áreas con los polígonos que trazaron y los comparen con sus imágenes simétricas.

Al final indique a sus alumnos que, por equipos, elaboren una conclu-sión sobre las propiedades de las figuras que se conservan al modifi-carse con los tipos de transformaciones vistas.


103

Ponte a prueba PISA1. Fabián construye cuadrados con palillos. En cada paso añade palillos para formar el siguiente cuadrado como

muestra la imagen. De esta manera, en el primer paso el cuadrado se forma con 4 palillos y en el segundo, con 12.

Paso 1 Paso 2

a) ¿Cuántos palillos debe añadir Fabián para formar el cuadrado en el paso 12?

2. En un momento del día, el monumento a la Independencia en la Ciudad de México, mejor conocido como El Ángel, con una altura de 52 m, proyecta una sombra que también mide 52 m.

a) ¿Cuál es el ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte?

b) Se llama equinoccio al momento en que el Sol se sitúa en el plano del ecuador terrestre. Cuando se produce un equinoccio, el día y la noche tienen igual duración. Si el día en que se midió la sombra del monumento coincide con el día en que se produce un equinoccio, y ese día el Sol salió a las 6 de la mañana, ¿en qué momentos se pudo realizar la medición de la sombra?

3. Responde con base en la figura.

a) ¿A cuánto equivalen las razones trigonométricas del ángulo A en el triángulo rectángulo que se construye a partir del triángulo equilátero de la figura 2?

• sen A ! • cos A ! • tan A !

Fig. 1

Fig. 2

A

2

206

PONTE A PRUEBA PISA

Ponte a prueba PISA

Respuestas 1. a) 312 2. a) 45°

b) A las 9:00 h o a las 15:00 h. 3. a) • sen A �� 1

2�� 0.5

tan A �� 1 � 3

• cos A ��2

� 3


206

Fig. 3

4. En dos agencias de renta de automóviles se cobran diferentes tarifas de acuerdo con los kilómetros que recorre un automóvil durante el tiempo en que se alquila. Al comparar las tarifas para un automóvil del mismo modelo y marca se obtuvo la información que presenta la gráfica.

a) ¿Cuáles son las condiciones de la tarifa que cobra la agencia A?

b) ¿Cuáles son las condiciones de la tarifa que cobra la agencia B?

c) Explica en qué condiciones conviene rentar un automóvil en cada agencia.

Agencia A:

Agencia B:

5. El número de horas a la semana que cada alumno de los tres grupos de tercer grado de la secundaria Quetzalcóatl estudia se muestra en la tabla siguiente.

a) ¿Qué grupo de alumnos dedica más horas a estudiar?• Grupo A • Grupo B • Grupo C

b) ¿En cuál de los tres grupos el tiempo de estudio es más uniforme?• Grupo A • Grupo B • Grupo C

Grupo A Grupo B Grupo C

17, 13, 10, 8, 4, 24, 12, 14, 5, 25, 8, 6, 16, 12, 18, 14, 12, 10, 7, 12, 10, 12, 10, 24, 18, 20, 15, 20, 20, 10, 8, 18, 18, 9, 4, 16, 10, 9.

7, 5, 15, 11, 17, 13, 11, 9, 8, 11, 19, 15, 12, 10, 6, 24, 14, 16, 7, 25, 9, 17, 19, 8, 5, 15, 9, 10, 9, 21, 11, 12, 11, 24, 3.

11, 13, 11, 25, 3, 19, 21, 16, 21, 21, 8, 19, 18, 10, 4, 17, 10, 10, 9, 20, 7, 7, 15, 13, 17, 15, 11, 11, 6, 13, 18, 14, 11, 9, 5, 25, 13.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

50

0

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200250

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600

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700

750

800

850900

950

Agencia A

Agencia B

Cost

o de

la re

nta

(pes

os)

Distancia (km)

207

BLOQUE 4

•

4. a) La agencia A no cobra cuotas iniciales y cobra $4.50 por cada ki-lómetro recorrido.

b) La agencia B cobra $300 de cuota inicial y aproximadamente $1.82 por cada kilómetro recorrido.

c) Agencia A: Conviene rentar un automóvil en esta agencia si la distancia por recorrer será menor que 110 km.

Agencia B: Conviene rentar un automóvil en esta agencia si la distancia por recorrer será mayor que 110 km

5. a) Grupo Ab) Grupo B


207


6

Ponte a prueba ENLACE

Contiene las respuestas a los

reactivos de esta evaluación.

Ahora sé En esta sección se proponen algunas sugerencias para trabajar esta autoevaluación.


1. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar el enésimo término de la sucesión: 4, 7, 14, 25, 40,…?

a) tn ! 3n 2 " 3n # 4 c) tn ! 2n 2 " 3n # 1

b) tn ! 2n 2 " 3n # 5 d) tn ! 2n 2 # 3n " 5

2. ¿Cuál debe ser la medida del segmento CD en el desarrollo plano del cilindro de la imagen?

a) AB $ c) $

b) AB

2

2 $ d) 2AB $

3. La presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene depende de su temperatura cuando su volumen es constante. La gráfica muestra la relación entre estas variables. Determina la razón de cambio entre el volumen y la temperatura.

a) 13 c) # 1

3

b) 23 d) 3

2

4. La tarifa por el servicio de taxi en la Ciudad de México está representada por la ecuación T ! 8.74 " 1.07d, donde T es la tarifa, $8.74 por “banderazo”, y d representa tramos de recorrido de 250 m. ¿Qué valor corresponde con la razón de cambio entre las variables involucradas?

a) 8.74

b) 1.07

c) Td

d) 1.078.74

5. Las calificaciones de un alumno en el tercer bimestre escolar fueron:8, 9, 7, 10, 7, 9, 8, 10.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera según esas calificaciones?

a) La desviación media es igual al rango.

b) El rango es 4.

c) La desviación media es 1.

d) La desviación media es 8.5.

CBA

D

E FH

0 1#1#2#3#4#5#6

2 3 4 5 6 7 8

Presión (Pa)

Temperatura (°C)x

234567

y

#1#2#3#4#5#6#7

1

208

PONTE A PRUEBA ENLACE


Respuestas

1. d) tn � 2n2 — 3n 5 2. d) 2(AB) /

3. b) � 23�

4. b) 1.07 5. c) La desviación media es 1.


208

Ponte a prueba ENLACE1. Observa el cono truncado de la imagen. Si se completara su parte superior hasta formar el cono completo, ¿cuál

sería su altura?1.3 cm

2 cm

4 cm

a) 2.6 cm b) 11.43 cm c) 6.6 cm d) 7.43 cm

2. ¿Cómo se debe hacer el corte a un cono para que la sección resultante sea una parábola?

a) Paralelo a la base. c) Perpendicular a la base.

b) Oblicuo a la base. d) Perpendicular a la base atravesando su diámetro.

3. Karol es siete años mayor que su hermana Dulce, y en seis años la mitad del cuadrado de la edad de Karol será igual al cuadrado de la edad que tendrá Dulce más 31. ¿Qué edad tienen?

a) Karol, 2; Dulce, !5. c) Karol, 15; Dulce, 8.

b) Karol, 20; Dulce, 13. d) Karol, 14; Dulce, 7.

4. El volumen de un cono recto cuya base tiene un radio de 9 cm es de 1 273.35 cm3. ¿Cuál es la altura de un cilindro con la misma medida del radio de la base del cono e igual volumen?

a) 45 cm c) 5 cm

b) 15 cm d) 27 cm

5. Una ruleta con 50 espacios iguales numerados del 1 al 50 se gira para ver el número donde la aguja se detiene. Algunos jugadores eligen las siguientes opciones:Jugador A: el número obtenido es múltiplo de 10.Jugador B: el número obtenido es menor que 5.Jugador C: el número obtenido es primo.Jugador D: el número obtenido es mayor que 45.¿Qué eventos son equiprobables?

a) Los eventos A y B. c) Los eventos B y C.

b) Los eventos C y D. d) Los eventos D y A.

255

BLOQUE 5

Respuestas 1. b) 11.43 cm 2. b) Oblicuo a la base 3. d) Karol, 14; Dulce, 7 4. c) 5 cm 5. d) Los eventos D y A


255

AutoevaluaciónMarca con una 3�la opción que demuestre tus alcances correspondientes a los aprendizajes esperados y responde la pregunta.

Contenido

¿Logré el aprendizaje? ¿Cómo puedo mejorar?

Sí No

Resuelvo problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulo problemas a partir de una ecuación dada.

Analizo las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Calculo las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

Construyo las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.

Estimo y calculo el volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.

Analizo situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.

Analizo las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Al terminar revisen la tabla con su profesor. Después, en grupo y con el apoyo de su profesor, elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su desempeño.

Ahora sé

256

AUTOEVALUACIÓN 5

Sugerencia didáctica. El objetivo de una autoevaluación es que el alumno desarrolle su capacidad autocrítica y con ello pueda recono-cer sus logros cognitivos y sus debilidades. Es importante hacer ver al alumno que esas “limitantes” son “oportunidades de desarrollo”, es decir, áreas que puede y debe mejorar. Su papel como docente, en esta etapa de la evaluación, debe consistir en proporcionar a cada alumno las técnicas para evidenciar sus capacidades y, una vez identificadas, procurarle elementos para potenciarlas. Una propues-ta consiste no en evaluar lo que “saben”, sino lo que “pueden hacer” con lo que saben. A través de un producto palpable (un ensayo, el diseño de un artefacto, la resolución de un problema comunitario o personal, una aplicación de la teoría aprendida, etcétera) usted podría medir el grado de comprensión que el alumno tuvo de los conocimientos teóricos. Además de que el producto implicaría ex-plicar técnicas y procedimientos, formular y comprobar hipótesis, diseñar experimentos y elegir problemas interesantes. Lo anterior contribuye al desarrollo de sus capacidades cognitivas, destrezas científicas, habilidades mentales, sus actitudes y valores.


256


Contenido


Sí No

Uso ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

Analizo las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

Construyo diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

Analizo las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

Explico y uso el teorema de Pitágoras.

Calculo la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).


Ahora sé

109

BLOQUE 2

Página 109

Sugerencia didáctica. La autoevaluación es un proceso clave en los enfoques constructivista y por competencias. Trabaje con sus alum-nos la habilidad para evaluar sus logros; para ello indique a cada uno que debe explicitar los avances alcanzados, explicar la forma en que los obtuvo, indicar cómo sitúa su trabajo con respecto al de sus com-pañeros y señalar qué puede hacer para mejorar

Para la autoevaluación es necesario que, junto con sus alumnos:

• Definan los criterios de autoevaluación. En este caso pueden ser los contenidos o aprendizajes esperados.

• Establezcan los resultados individuales que se esperan.

• Presenten las evidencias que demuestran esos resultados.

• Planteen juicios sobre los logros en los resultados.

• Elaboren un plan para mejorar las áreas que presentan dificultades.


109


7

Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.

Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares relacio-nados con dicho aprendizaje.

En esta fase es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situa-ción problemática.

Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alum-nos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar estos recursos es la de promover una comprensión profunda de las explicaciones que ofrecen los libros.

En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conoci-mientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de nuevos conocimientos.

En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro del aprendizaje esperado.

De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.

El trabajo con secuencias didácticas


8

La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo ENLACE y evaluación tipo PISA.

En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el aprendizaje esperado. Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.

Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta eva-luación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.

En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y compe-tencias adquiridas.

Evaluación


9

Recursos digitales para el docente

La propuesta de Ediciones Castillo tiene en cuenta que los docentes requieren una diversidad de recursos para la en-señanza y, por esto, presenta una oferta variada y flexible en distintos soportes. Así, para apoyarlo en sus tareas de planeación y evaluación, le sugerimos el uso de los siguientes Recursos digitales para el docente:

• Planificador editable por libro. Es la versión digital del “Avance programático” incluida en la guía del maestro. Su formato permite personalizar los datos de la escuela, el grupo y la asignatura. Funciona en cualquier sistema operativo y puede guardarse en su equipo e imprimirse. Adicional a la articulación entre el contenido de los libros, la dosificación y el currículo de secundaria, se incluyen sugerencias didácticas y recomendaciones de libros, películas y páginas de internet. Al presentar estos elementos de manera vinculada, se facilita la labor del docente, puesto que se ven el contenido, el aprendizaje esperado, el tiempo aconsejado, las páginas del libro, las sugerencias didácticas y las recomendaciones de otros recursos, por bloque.

• Generador de exámenes. Genera exámenes bimestrales y finales para cada asignatura, lo que brinda otros medios para evaluar a los alumnos y los familiariza con dicha evaluación. De manera sencilla, el docente puede generar exámenes seleccionando los reactivos que considere adecuados para el grupo. En éstos se incluye un espacio para que los alumnos registren su nombre, grupo y la fecha. Pueden imprimirse en dos versiones: para el alumno y para el maestro, en la que se marca la respuesta correcta de cada reactivo.

Además, los Recursos digitales para el docente incluyen el primer bloque del libro del alumno en formato digital para que el profesor revise su estructura y conozca la propuesta didáctica; la Guía para el maestro puede descargarse e imprimirse para trabajar en clase las sugerencias incluidas, y recomendaciones de ligas vinculadas con los contenidos de cada bloque.

Visite el Centro de Recursos Digitales para docentes; donde encontrará las herramientas anteriores y otras más: www.edicionescastillo.com/CRD_secundaria.html


10


1Se

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y

pens

amie

nto

alge

brai

co


1. La raíz del problemaResolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

18-23

2

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Figuras y cuerpos

2. A imagen y semejanzaConstrucción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

24-29

3 3. ¿En qué se parecen?Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

30-35

4

Mane

jo d

e la

info

rmac

ión


4. Representaciones de una misma situación

Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

36-41

55. Dos maneras de entender una variación cuadrática

Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

42-47

6 Nociones de probabilidad 6. Probabilidad de eventosConocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

48-53

7Análisis y representación de datos

7. ¿Qué opinan los demás?

Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

54-58

8 Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé 59–64

Avance programático


11


9

Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

coPatrones y ecuaciones

8. Vamos por partesUso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

68-73

10

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Figuras y cuerpos

9. Girar y deslizarAnálisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

74-79

1110. Diseños con simetría, rotación y traslación

Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

80-85

12

Medida

11. La cuadratura del triángulo

Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

86-91

1312. El teorema de Pitágoras

Explicitación y uso del teorema de Pitágoras. 92-97

14

Mane

jo d

e la

in

form

ació

n

Nociones de probabilidad13. Probabilidad de evento mutuamente excluyentes

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

98-102



12

Bloque 3


16

Sent

ido

num

éric

o y

pen

sam

ient

o al

gebr

aico


14. La fórmula infalibleResolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.

112-117

17

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Figuras y cuerpos

15. ¡Hágalo con triángulos!

Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.

118-123

18 16. Tales para cualesResolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.

124-129

19

17. Dadme un punto de apoyo… y transformaré la figura

Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.

130-135

20

Mane

jo d

e la

info

rmac

ión


18. Gráficas de relaciones cuadráticas

Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos.

136-141

21


19. Con rectas y curvas

Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

142-147

2220. Probabilidad de eventos independientes

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).

148-152



13

Bloque 4


24

Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

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alge

brai

co


21. Dime la regla y te diré quién sigue

Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

162-166

25

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Figuras y cuerpos

22. Sólidos de revolución

Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

167-172

26

Medida

23. La pendiente, la tangente y el ángulo de inclinación de una recta

Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

173-178

2724. Seno, coseno y tangente

Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.

179-184

2725. ¿Para qué sirve la trigonometría?

Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

185-190

28

Mane

jo d

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info

rmac

ión


26. ¿Cuánto cambió?

Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.

191-196

29Análisis y represenación de datos

27. Dispersión de datos

Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión.

197-202



14

Bloque 5


31

Sent

ido

num

éric

o y

pens

amie

nto

alge

brai

co


28. ¡Hágalo con álgebra!Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada.

212-217

32

Form

a, e

spac

io

y m

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a

Medida

29. Cortes a cilindros y conos

Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

218-224

3330. Volumen de cilindros y conos

Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.

225-230

3331. Situaciones con conos y cilindros

Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.

231-236

34

Mane

jo d

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in

form

ació

n


32. Variaciones lineales y cuadráticas

Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.

237-243

35 Nociones de probabilidad 33. Antes de apostar…Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

244-249



15

Eje Contenido Aprendizajes esperados

Sent

ido

num

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o y

pe

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o al

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aico


• Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

• Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Figuras y cuerpos

• Construcción de fi guras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

• Explicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Mane

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e la

info

rmac

ión


• Análisis de representaciones (gráfi cas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identifi cación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

• Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identifi cadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

Nociones de probabilidad

• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.


• Diseño de una encuesta o un experimento e identifi cación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de los datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

El juego de dados, así como otros juegos de azar, no depende de hechos causales, sino de sucesos fortuitos. Nadie puede

asegurar a ciencia cierta, lo que sucederá en ellos; sin embargo, la teoría probabilística nos permite hacer conjeturas

y predicciones, lo que nos da la posibilidad de tomar decisiones ante este tipo de situaciones.

16

Bloque 1 Competencias que se favorecen• Resolver problemas de manera autónoma.• Comunicar información matemática.• Validar procedimientos y resultados.• Manejar técnicas eficientemente.

Conceptos principalesS1 Ecuación cuadrática, incógnita, raíz o solución de una ecuación.S2 Proporción, congruencia, semejanza, lados y ángulos correspon-

dientes, razón de semejanza.S3 Criterios de congruencia y semejanza en triángulos, razón de

semejanza.S4 Proporción, razón, tablas y gráficas de una relación de proporcionalidad.S5 Variación proporcional, variación cuadrática.S6 Espacio muestral, escala de probabilidad, eventos complementa-

rios, eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes.S7 Estudio estadístico, población, muestra.

Aprendizajes esperados• Resolver problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo

grado.• Resolver problemas de congruencia y semejanza que implican utili-

zar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.• Leer y representar, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y

cuadráticas.• Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente

excluyentes e independientes.• Calcula y explica el significado del rango y la desviación media.


16

1717

Sentido numérico y pensamiento algebraico. El estudio de este eje comienza con una secuencia del tema “Patrones y ecuaciones”; en ella se resuelven problemas matemáticos o en contexto a partir del planteamiento de ecuaciones cuadráticas. Los alumnos tendrán que proponer sus propios procedimientos o utilizar operaciones inversas como “elevar al cuadrado” y “raíz cuadrada”.

Forma espacio y medida. Las secuencias 2 y 3 corresponden al tema “Figuras y cuerpos”. En ambas secuencias se trabajan los conceptos semejanza y congruencia de cuadrados, rectángulos y triángulos. Además, se establecen criterios para determinar si dos triángulos son semejantes o congruentes.

Manejo de la información. En este eje se trabajan tres temas: el pri-mero “Proporcionalidad y funciones”, donde se representa la relación entre dos cantidades usando una gráfica, una tabla o una expresión algebraica, en particular se analizan relaciones de variación cuadrática. El segundo tema es “Nociones de probabilidad”, donde los alumnos estudiarán los conceptos eventos complementarios, mutuamente ex-cluyentes e independientes, además de establecer la escala de proba-bilidad. El último tema es “Ánalisis y representación de datos”, en el que los alumnos diseñarán una encuesta, discutirán cómo elegir una muestra de población y cómo representar los resultados.


17

Por tus propios medios

1. En parejas resuelvan el siguiente problema.

a) La fi gura 1.2 muestra el área del hueco circular de un pozo. ¿Cuál es su radio?

Describan el procedimiento que usaron para resolver el problema.

Escriban una ecuación que represente la situación anterior en términos de la medida del radio de la abertura del pozo y su área.

¿Cuáles son las diferencias entre la ecuación que propusieron y la fórmula para encontrar el área de un círculo?

Comparen su procedimiento con los de otras parejas. Verifi quen su resultado y corríjanlo si es necesario.

La ra

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Inicio a partir de lo que séEn parejas resuelvan lo siguiente.

Un grupo de niños exploradores quieren elaborar banderines para hacer señalamientos. Para ello utilizarán cuadrados de tela de colores rojo y blanco como se muestra en la fi gura.

a) Si el área del banderín es de 225 cm2, ¿cuánto mide el lado de cada retazo de tela?

b) Comparen sus resultados y procedimientos con otras parejas. Verifi quen que sean correctos y corríjanlos si es necesario.

Resuelvo y aprendo

Fig. 1.1

Área = 12.566 4 m2

Fig. 1.2

18

SECUENCIA 1Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Antecedentes• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de

las formas: x � a b; ax �b y ax � b c, donde a, b y c son números naturales y decimales.

• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax � b cx � d.

Ideas erróneas 1. Cuando una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, algunos

alumnos sólo consideran una de ellas. Desde el punto de vista mate-mático ambas son soluciones, pero será el contexto del problema lo que descarte una de ellas.

2. Es común que los estudiantes piensen que toda ecuación cuadrá-tica tiene solución en los números reales. Esto no es así; por ejem-plo, x 2 � 1 �0 no la tiene.

3. Los estudiantes a veces no identifican que algunas ecuaciones co-

mo x � 1x — 1 2 se pueden transformar en ecuaciones cuadrá-

ticas: si x � 1x — 1

2 se multiplica por (x — 1) y se simplifica el

resultado, obtenemos la ecuación cuadrática x 2 — 3x � 3 0.


Página 18a) 3 cm b) Respuesta libre (R. L.).

S1


18

2. En equipos resuelvan el siguiente problema.

a) Calculen las dimensiones de un rectángulo cuya base mide 2 metros más que su ancho y su área es de 35 metros cuadrados.

Describan el procedimiento que utilizaron.

Especifiquen las incógnitas del problema y represéntelas con las literales que ustedes elijan.

Según el planteamiento del problema, una de las dimensiones del rectángulo depende de la otra. Escriban ambas dimensiones a partir de una sola incógnita.

Anoten una expresión algebraica que represente la situación a partir de su respues-ta anterior.

Propongan una metodología para resolver la expresión algebraica anterior y pón-ganla en práctica. Anoten el valor de la incógnita y verifiquen que sea correcta.

Ana, Laura y Jéssica afirman que una solución a la ecuación que propusieron es −7, por lo que consideran que ese valor también corresponde a una de las dimen-siones del rectángulo. ¿Están en lo correcto? Justifiquen su respuesta.

Comparen sus respuestas y procedimientos con otro equipo, y verifiquen que sean correctos. Corríjanlos si es necesario.

3. En equipos de tres compañeros resuelvan el siguiente problema.

a) Se sabe que en un teatro hay 1 120 butacas dispuestas de forma tal que el número de filas es igual al número de columnas más 3. ¿Cuántas filas y columnas de butacas tiene el teatro?

Escriban el procedimiento que utilizaron para encontrar el número de columnas y filas que hay en el teatro.

Fig. 1.3

Columnas

Filas

19

BLOQUE 1

Resuelvo y aprendo

Por tus propios medios 1. a) 2 m

• R. L.• ¬r 2� �12.566 4 • La fórmula ¬r 2 es general, ya que r puede tomar cualquier va-

lor; pero ¬r 2 12.5664 es un caso particular, ya que el valor de r debe cumplir que al elevarse al cuadrado y multiplicarse por ¬ dé como resultado 12.566 4.

Página 19 2. a) La base mide 7 m y el ancho, 5 m.

• R. L.• La medida de la base y la del ancho.• La medida de la base depende de la medida del ancho. Si a

representa la longitud del ancho, la base mide a � 2.• a (a � 2) 35 o bien, a2 � 2a — 35 0. (Se omitieron las uni-

dades m y m2.)• R. L.• No, porque la solución a —7 no representa la medida del an-

cho, ya que una longitud o distancia siempre es un número positivo.

Sugerencia didáctica. Discutan la idea errónea 1 después de que se comparen los procedimientos.

3. a) Hay 32 columnas y 35 filas.• R. L.

(Continúa de la página 18)


19

Número consecutivo: es el que sigue a un número anterior. Ejemplo, 1, 2, 3 y 4 son números consecutivos, y 5, 7, 9 y 11 son números impares consecutivos.

Escriban una ecuación que exprese esta situación en términos de la cantidad de butacas y del número de columnas.

¿Cuál o cuáles números satisfacen la ecuación?

b) Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Discutan si la o las soluciones a su ecuación también resuelven la situación problemática planteada.

Una ecuación en la que el mayor exponente de la incógnita es 2, se denomina ecuación cuadrática. Así, x 2 ! 4 y x 2 " x ! 12 son ecuaciones cuadráticas.

Reflexionen. ¿Todas las ecuaciones que representan las situaciones anteriores son

ecuaciones cuadráticas? Justifiquen su respuesta.

4. En equipos resuelvan lo siguiente.

a) Si el producto de dos números consecutivos es igual a 240, ¿cuáles son esos números?

¿La solución al problema pueden ser números negativos?

Si la respuesta es afirmativa, indiquen de qué números se trata; si es negativa, justifiquen su respuesta.

Escriban una ecuación que represente esta situación.

¿Esta ecuación es cuadrática? ¿Por qué?

Describan su procedimiento para encontrar los números consecutivos que satis-

facen esta situación.

Comparen sus respuestas con las de otros equipos y determinen cuántas soluciones distintas puede tener la ecuación que representa esta situación. ¿Qué procedimiento les parece más adecuado?

20

SECUENCIA 1

20

Página 20• x (x � 3) 1 120, considerando que x es el número de columnas.• x 32 y x —35.b) Respuesta modelo (R. M). Aunque ambos valores son solución de

la ecuación, sólo x 32 es solución de la situación problemática porque no es posible tener un número negativo de filas.

Reflexionen. En Sr 2 12.566 4, la incógnita r tiene exponente 2. La ecuación a (a � 2) 35 es equivalente a a 2 � 2a — 35 �0, y la ecuación x (x � 3) 1 120 es equivalente a x 2 � 3x — 1 120 0; en ambas el expo-nente mayor de las incógnitas es 2.

Sugerencia didáctica. Discutan las ideas erróneas 1 y 2. Para la actividad siguiente comente que el consecutivo de un número sólo tiene sentido en los enteros {…�2, �1, 0, 1, 2,…}, ya que indica el siguiente número (sumar 1).

4. a) 15 y 16, si sólo se consideran números positivos.• Sí, porque al multiplicar los números consecutivos el pro-

ducto sería positivo, igual que 240.• —16 y —15.• n (n � 1) 240, donde n representa el número menor y n � 1,

el consecutivo. • Sí, porque n (n � 1) 240 es equivalente a n 2 � n — 240 0,

donde 2 es el mayor exponente de n.• R. L. Un procedimiento es: se busca un número cuyo cuadrado

sea cercano a 240, por ejemplo 162 256; luego se prueba con números consecutivos cercanos a 16, por ejemplo 15 y 16.


20

Opera a la inversa

7. En equipos resuelvan el siguiente problema.

a) El largo de una pintura mide 75 de su ancho. Si el área que ocu-

pa es de 3 500 cm2, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura?

Escriban una ecuación cuadrática que represente esta situación.

¿Cuánto miden los lados de la pintura?

Resuelvan el problema con operaciones inversas. Describan su procedimiento.

Te invito a…

visitar la dirección electrónica www.edutics.com.mx/ouV.Ingresa a Pequeño taller y resuelve las dos primeras actividades. Compara tus procedimientos con los de tus compañeros y validen sus respuestas con ayuda de su profesor. (Consulta: 29 de octubre de 2014).

Integración6. En grupo respondan lo siguiente con ayuda de su profesor.

a) ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación cuadrática? Justifi quen su respuesta.

b) Si existe más de una solución que satisfaga una ecuación cuadrática, ¿ésta será válida como respuesta o dependerá de la situación que represente esa ecuación cuadrática? Expliquen su respuesta.


a) Si el producto de dos números pares consecutivos es !24, ¿de qué números se trata?

Planteen una ecuación que represente el problema.

¿Qué números solucionan el problema?

Comparen su respuesta con la de otras parejas y en grupo refl exionen si todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución. Con apoyo del profesor escriban en su cuader-no las conclusiones.

Fig. 1.4 Giacomo Balla, Pesimismo y optimismo, 1923.

Largo

Anch

o

Operación inversa:es la que anula o revierte los efectos de una operación. Por ejemplo, la resta es la operación inversa de la suma; la división de la multiplicación, la potencia de la raíz, etcétera.

21

BLOQUE 1

Página 21 5. a) No hay solución para el problema.

• m (m � 1) —24, donde m representa el número menor y m ��1, al consecutivo.

• El problema no tiene solución, ya que —24, por ser negativo, es el resultado de multiplicar dos números con signo con-trario, pero los únicos números consecutivos que tienen signo contrario son 0 y 1 o —1 y 0; pero (0)(—1) 0 y (0)(1) 0.

Integración 6. a) R. M. Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, sólo

una o ninguna. b) Dependerá del contexto del problema.

Opera a la inversa 7. a) El ancho mide 50 cm y el largo, 70 cm.

• 75

2

3 500, donde a representa la medida del ancho de la pintura.

• Los lados miden 50 cm y 70 cm, respectivamente.

• R. M. Se busca despejar a, así que:

(5) 75

2

(5)3 500 (se multiplica por 5)

77

2 �= 17 500

7 �(se divide entre 7)

2 = 2 �= 2 500 �(se calcula la raíz cuadrada)

Así se obtiene a 50. Para obtener la medida del largo, bas-

ta con calcular: 75 (50)� 70.


21

Intercambien con otro equipo su procedimiento y resultado para que mutuamen-te los revisen. Si consideran que existen errores, coméntenlo con el otro equipo y corríjanlos.

8. En parejas resuelvan lo siguiente.

a) En un parque con forma cuadrada hay un jardín en el centro también cuadrado, como se muestra en la figura 1.5. El área que ocupa el jardín es de 900 m2.Escriban la ecuación cuadrática que represente el área del jardín en términos de sus dimensiones.

¿Cuánto mide la longitud de cada lado del jardín? Resuelvan el problema con operaciones inversas.

b) Se sabe que la parte del parque que no incluye el jardín ocupa un área de 1 600 m2. Anoten una ecuación cuadrática que exprese el área total del parque en términos de sus dimensiones.

Resuelvan la ecuación mediante operaciones inversas. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación anterior? Señalen la o las soluciones.

¿Cuál es la longitud de los lados del parque?

9. En equipos resuelvan lo siguiente.

a) La figura 1.6 muestra la vista superior de una casa con forma cuadrada. Las áreas del estacionamiento y el jardín se muestran en color amarillo y verde, respectiva-mente; cada una tiene una superficie de 13.5 m2. Si la superficie de la casa, sin contar el jardín y el estacionamiento, es de 73 m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? Resuelvan el problema utilizando operaciones inversas.

En grupo revisen los resultados y procedimientos de los problemas anteriores con ayuda de su profesor. Corríjanlos si es necesario.

900 m2

13.5 m2

13.5 m2

73 m2

Fig. 1.5

Fig. 1.6

22

SECUENCIA 1

Página 22 8. a) • L2 900, donde L representa la medida del lado del jardín.

• 30 mb) z2 2 500, donde z es la longitud del lado.

• z 50 y z —50.• 50 m

9. a) El lado del terreno mide 10 m.


22

Consolido mis aprendizajes1. Retoma la situación inicial y resuelve lo siguiente.

a) Uno de los miembros del grupo de exploradores propone elaborar los banderines según el diseño que muestra la fi gura. Se sabe que el área de color rojo es tres veces mayor que el área de color blanco.

• ¿Cuánto mide de largo la fi gura con forma de cruz? En grupo comparen sus procedimientos para resolver

los problemas de la lección con los que utilizaron para solucionar las ecuaciones que plantearon. Analicen las ventajas y desventajas de cada uno.

2. ¿Qué características debe tener un problema para que su resolución implique una ecuación de segundo grado?

3. Inventa una situación que se represente con la ecuación cuadrática x 2 ! 16 " 65.

4. La rapidez, v, de un tsunami en cualquier punto del mar está dada por la relación v 2 " 9.8d, donde d es la profundidad del fondo marino en ese punto.

a) ¿Cuál fue la rapidez del tsunami de Japón que ocurrió en 2011 si la profundidad del agua, d, donde sucedió el sismo es de 14 100 m?

5. La pantalla de televisión que ilustra la fi gura 1.8 tiene un área de 544.44 cm2. La relación entre el alto y el ancho de la pantalla se muestra en la fi gura.

a) Escribe una ecuación cuadrática que represente el área de la pantalla.

b) ¿Cuáles son las medidas de sus lados?

6. La fi gura 1.9 muestra la imagen de un disco compacto. La zona del disco que contiene los datos es una corona circular de área A, cuya medida se muestra en la imagen. El diámetro del cículo formado por la zona que no contiene datos, d, se indica en la fi gura.

a) ¿Cuánto mide el radio que corresponde a toda la circunferencia que forma el contorno del disco?

En grupo comparen sus respuestas y procedimientos. Verifi quen que sean correctos y determinen qué procedimientos resultan más prácticos.

15 cm

16 cmFig. 1.7

Fig. 1.9

Fig. 1.8

l

169

l

A " 100.531 2 cm2

d " 4 cm

23

BLOQUE 1

Consolido mis aprendizajes

Página 23 1. a) • 10.4 cm, aproximadamente. 2. R. M. El problema debe implicar que la incógnita se multiplique por

sí misma, así se obtendrá como exponente a 2. Si hay dos incógni-tas, el problema debe implicar que éstas se multipliquen y que una se pueda expresar en términos de la otra.

3. R. L. 4. a) v 371.72 m/s

5. a) 169

l!!!2 544.44

b) El ancho mide 31.11 cm y el largo, 17.5 cm.

6. a) 6 cm


23

A im

agen

y s

emej

anza Inicio a partir de lo que sé

Formen parejas y resuelvan el siguiente problema.

La fi gura 1.10 es un fragmento de una pintura cubista. Obsérvala.

En la clase de Artes Visuales de la secundaria Rufi no Tamayo se organizó un concurso entre los alumnos para ver quién hacía la mejor copia de esa obra. A continuación se muestran las obras fi nalistas. Supongamos que ustedes son los jueces y que el criterio para elegir al ganador es que la obra sea lo más parecida a la original. ¿A quién elegirías?

Luciana

Joao

María

Edson

a) Expliquen cómo eligieron la obra ganadora y por qué descartaron las otras.

Fig. 1.10

Fig. 1.11

Fig. 1.13

Fig. 1.12

Fig. 1.14

24

SECUENCIA 2Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

Antecedentes• Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las pro-

piedades de la figura original que se conservan.• Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las con-

diciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Ideas erróneas 1. Es común confundir el concepto matemático semejanza con su

significado coloquial: dos objetos son semejantes si se parecen. Por ejemplo, decir que un cuadrado y un rombo son semejantes es una expresión correcta coloquialmente, pero falsa desde la pers-pectiva matemática.

2. Algunas veces los alumnos comenten errores al calcular la razón de semejanza por no identificar los lados y ángulos correspon-dientes entre dos figuras.


Página 24a) R. M. La obra de Joao.

Sugerencia didáctica. Comenten la idea errónea 1. Permita a los estudiantes establecer sus propios criterios para elegir la obra más parecida a la original aunque su elección sea incorrecta; durante la secuencia se les proporcionarán herramientas matemáticas que les permitirán justificar o descartar su respuesta.

S2


24

Resuelvo y aprendo

Figuras semejantes

1. En equipos resuelvan los siguientes problemas.

a) El Colibrí es una reserva ecológica que ocupa un terreno rectangular de 20 km de largo por 5 km de ancho. Paco quiere representarlo a escala y comenzó a dibujarlo como se muestra en la fi gura 1.15. Ayúdenlo a comple-tar el contorno del terreno.

¿Con cuántos cuadritos representaron el ancho?

El papá de Paco también va a hacer una representación a escala del terreno; el trazo con el que inició su dibujo se muestra en la fi gura 1.16. Completen el contorno. ¿Con cuántos cuadritos representaron el largo del terreno?

Comparen sus dibujos con los de otros equipos. Con ayuda de su profesor lle-guen a una conclusión grupal acerca de los resultados y respondan.

Si dividen el número de cuadritos del largo de la fi gura que hizo Paco entre el número de cuadritos del ancho, ¿qué resultado obtienen?

Si dividen el número de cuadritos del largo de la fi gura que hizo el papá de Paco entre el número de cuadritos del ancho de la fi gura, ¿cuál es el resultado?

Expliquen el porqué de esos resultados.

Si en otra representación a escala del terreno el ancho es de 3 cuadritos, ¿cuántos

cuadritos medirá el largo?

Si en otra representación más, el largo es de 15 cuadritos, ¿cuántos cuadritos

medirá el ancho?

En los dos ejemplos anteriores, ¿cuánto vale el cociente de dividir el largo entre el

ancho de cada rectángulo a escala?

Se dice que los rectángulos que hicieron Paco y su papá son semejantes.

¿Un rectángulo de 2.5 cuadritos de ancho por 12.5 cuadritos de largo es semejan-te al terreno de la reserva ecológica? Justifi quen su respuesta.

Largo ! 20 km

Fig. 1.15

Fig. 1.16

Ancho ! 5 km

25

BLOQUE 1

Resuelvo y aprendo

Página 25

Figuras semejantes 1. a) El terreno a escala

que va a trazar Paco es el siguiente.

• Con 1.25 o 1 14

cuadritos. • El terreno a escala que va a trazar el papá de Paco es el siguiente. R. L.

Sugerencia didáctica. Discutan las respuestas a partir de lo que saben los alumnos de reproducciones a escala. Pida que determinen qué esca-

la usó Paco (1 km : 1——4 de cuadrito, o bien 4 km : 1 cuadrito) y la que usó

su papá (1 km: 2——5 de cuadrito, o bien 2.5 km : 1 cuadrito).

• 4 • 4• R. M. En ambos casos se obtiene 4 porque ese es el resultado de

dividir las dimensiones reales del terreno: 20 km———————5 km 4.

• 12 • 3.74 • También 4

• No, porque 12.5————2.5 55. Para que fuera semejante, la medida de su

largo entre la de su ancho debería dar como resultado 4.

largo = 20 km anch

o =

5 km

ancho = 5 km

larg

o =

20 k

m


25


a) En la clase de Arte de Ana quieren hacer una réplica de La Gioconda, también conocida como La Mona Lisa, la famosa obra de Leonardo da Vinci. Si las medidas de la pintura original son 77 cm ! 53 cm, y en la réplica el lado menor debe medir 70 cm, ¿cuánto tendrá que medir el lado mayor para que la réplica no presente distorsión?

En una hoja blanca tracen un rectángulo cuyos lados sean proporcio-nales a los lados del cuadro de La Gioconda, de manera que ambos rectángulos sean semejantes. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo que trazaron?

Comparen el rectángulo que construyeron con el de otras parejas y anoten las diferentes bases y alturas en la siguiente tabla.

Base (cm) 53 70

Altura (cm) 77

A partir de los datos que recabaron, localicen en el siguiente plano cartesiano los puntos que corresponden a la base y a la altura. Las medidas de la base pertene-cen al eje horizontal y las de la altura, al vertical. Cada par de datos de base y altura constituyen un par ordenado P (base, altura). Unan los puntos.¿Qué característica tiene la gráfica que resulta de unir los puntos que localizaron?

53 cm

77 cm

¿Qué relación tiene la forma de la gráfica con las características de los rectángulos?

Encuentren dentro de la gráfica las coordenadas de un punto distinto a los que localizaron. Indiquen sus coordenadas.

¿Ese punto corresponde a la base y la altura de otro rectángulo semejante? ¿Por qué?

Localicen en la gráfica la medida de la altura del rec-tángulo cuya base es de 40 cm y es proporcional al cuadro de La Gioconda. Anoten su valor.

Fig. 1.17

Fig. 1.18

Altura

Base

(53, 77)

00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

110

26

SECUENCIA 2

Página 26 2. a) 101. 7 cm

• R. L. • R. L. • R. L. • La gráfica resultante es una línea recta que pasa por el ori-

gen de coordenadas.• Como el cociente medidas de la base

medidas de la altura siempre es 1.45, apro-ximadamente, entonces la altura es proporcional a la base. Una relación de proporcionalidad siempre se puede representar con la expresión y kx, donde k es la constante de proporcio-nalidad, cuya gráfica es una línea recta. En este caso la expre-sión es y 1.45x, donde x representa la medida de la base y y, la de la altura.

• R. L.• Sí. Que un punto esté en la recta indica que cumple la ecua-

ción y 1.45x, así que el valor de x corresponde a la medida de la base de un rectángulo cuya altura mide el valor de y. El cociente entre las dimensiones de ese rectángulo es 1.45 igual que en la pintura original.

• El punto tiene coordenadas (40, 58.1).


26

3. Al resolver los problemas anteriores han construido rectángulos semejantes e iden-tifi cado algunas de sus características. A continuación trabajaremos la semejanza de triángulos. Realicen las siguientes actividades en equipo.

a) En una hoja de reúso construyan un triángulo con un lado de 5 cm y cuyos ángulos adyacentes a ese lado midan 105° y 45°, respectivamente. Nómbrenlo como triángulo B.Tracen otros dos triángulos cuyos ángulos tengan las mismas medi-das que el triángulo anterior, pero uno de menor tamaño (triángulo A) y otro de mayor tamaño que el original (triángulo C).Recorten los tres triángulos y háganlos coincidir sobre alguno de sus ángulos idénticos como se muestra en la fi gura 1.19.Midan los lados de los triángulos y anoten sus resultados en la tabla.

TriánguloMedida del

lado menor (cm)Medida del

lado mediano (cm)Medida del

lado mayor (cm)

AB 5C

Elijan pares de triángulos y dividan los lados correspondientes como se indica a continuación. Completen las operaciones.

Lado mayor del triángulo CLado mayor del triángulo B ! !

Lado mediano del triángulo CLado mediano del triángulo B ! !

Lado menor del triángulo CLado menor del triángulo B ! 5 cm !

Lado mayor del triángulo CLado mayor del triángulo A ! !

Lado mediano del triángulo CLado mediano del triángulo A ! !

Lado menor del triángulo CLado menor del triángulo A ! !

Lado mayor del triángulo BLado mayor del triángulo A ! !

Lado mediano del triángulo BLado mediano del triángulo A ! !

Lado menor del triángulo BLado menor del triángulo A ! !

Comparen los resultados de cada pareja de triángulos. ¿Qué observan?

Comparen con otros equipos sus resultados y procedimientos; discutan acerca de las propiedades que observaron en las fi guras.

IntegraciónLos triángulos con los que trabajaron son semejantes.

4. En grupo, con ayuda de su profesor, identifi quen las propiedades de los triángulos semejantes.

a) Respecto a la medida de sus ángulos:

b) Respecto a la medida de sus lados:

En general, todas las fi guras geométricas que cumplen estas propiedades se dice que son semejantes.

C

B

A

105°

5 cm45°

Fig. 1.19

27

BLOQUE 1

Página 27 3. a) Los alumnos

obtendrán el siguiente triángulo.

• R. L.• Los alumnos pueden hacer coincidir los triángulos en cual-

quiera de los tres vértices.• Los resultados de la tabla son:

TriánguloMedida del lado

menor (cm)Medida del lado mediano (cm)

Medida del lado mayor (cm)

A R. L. R. L. R. L.

B 5 7.07 9.66

C R. L. R. L. R. L.

• R. L.• Los cocientes de lados correspondientes para un par de trián-

gulos son iguales. Por ejemplo, para los triángulos C y B:

Integración 4. a) Los ángulos correspondientes en los triángulos semejantes tie-

nen la misma medida.b) En los triángulos semejantes la razón entre la medida de dos

lados correspondiente siempre es la misma.

Triángulo B

105q45q

5 cm

9.66 cm7.07 cm

lado mayor de C lado mediano de C lado menor de C lado mayor de B lado mediano de B lado menor de B= =


27

NotaciónPara denotar la semejanza de dos figuras geométricas, como los triángulos de la imagen, se utiliza el símbolo ~. Por ejemplo, para indicar que el triángulo, cuyos vértices son A, B y C, es semejante al triángulo con vértices K, J y L, se escribe:

'ABC ~ 'KJL

BA

L

J K

C

Al cociente de dividir los lados correspondientes de figuras semejantes se le conoce como razón de semejanza.

5. Contesten a partir de los triángulos trazados en la actividad 3 de la página anterior.a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo original y la primera copia?

b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo original y la segunda copia?

c) Si invirtieran el orden en el que dividen los lados correspondientes, ¿obtendrían

la misma razón de semejanza? d) ¿Por qué es importante conservar el orden en el que se realiza la división de los

lados correspondientes?

Figuras congruentes

6. En equipo realicen la siguiente actividad.

a) De las siguientes figuras semejantes identifiquen y marquen las que tengan razón de semejanza 1.

Las figuras con esa propiedad se denominan congruentes.

b) Analicen las figuras congruentes y marquen como falsa o verdadera cada afirmación.

Afirmaciones V F

Tienen sus ángulos correspondientes iguales.

Tienen sus lados correspondientes de diferente tamaño.

Tienen igual perímetro.

Fig. 1.20

¿Qué datos necesitan para obtener y verificar sus respuestas?

¿Cómo las obtuvieron?

28

SECUENCIA 2

Página 28 5. a) R. L.

b) R. L.c) No.d) Si se tienen los triángulos M y N, donde M es menor en

tamaño que N, las razones de la forma lado de N——————————lado de M tienen un valor

mayor que 1 ya que los lados de M tendrían que crecer para

alcanzar las medidas de los lados de N, pero las razones lado de M——————————lado de N tienen un valor menor que 1 ya que los lados de N

tendrían que disminuir para llegar a la medida de los lados de

M. Por lo anterior, la razón de semejanza con la que se obtiene la

figura N a partir de M es lado de N——————————lado de M y la razón para obtener M a

partir de la figura N es lado de M——————————lado de N .

Sugerencia didáctica. Discutan la idea errónea 2 y la última respues-ta. Dibujen un triángulo rectángulo de dimensiones 3 cm, 4 cm y 5 cm y calculen las medidas de uno semejante con razón de semejanza 2, después tracen el triángulo. Luego retomen el primero y tracen uno semejante pero con razón 1——2 . Por último, calculen la razón de seme-janza para obtener el triángulo grande a partir del pequeño, el resul-tado es 4.

Figuras congruentes 6. a) Los triángulos morado y naranja.

• Las medidas de los ángulos y los lados de ambos triángulos.• Midiendo directamente las figuras.b) Afirmaciones V F

Tienen sus ángulos correspondientes iguales. X

Tienen sus lados correspondientes de diferente tamaño.

X

Tienen igual perímetro. X


28

Integración7. Comparen sus respuestas con las de otros equipos y lleguen a una conclusión grupal sobre las

características de las fi guras congruentes. Anótenlas en su cuaderno.

a) Expliquen la diferencia entre fi guras congruentes y fi guras semejantes.

Las fi guras congruentes son un caso especial de semejanza, en las cuales la razón de semejanza es 1.

8. De manera individual elabora en tu cuaderno una composición trazando una o varias veces fi guras congruentes a las que se muestran a continuación. Pregunta a tu maestro de Artes Visuales qué es una composición plástica.

a) Compara tu composición con las de tus compañeros de grupo. Pidan a su profe-sor de Arte que las valore y expliquen cómo construyeron fi guras congruentes.

b) Observen el caso de los cuadrados. ¿Cómo son los ángulos de todos los cuadrados?

¿Cómo son entre sí los lados de todos los cuadrados?

¿Cómo son entre sí los cuadrados que no son congruentes?

De acuerdo con sus respuestas, indiquen cómo son entre sí todos los cuadrados.

Consolido mis aprendizajes1. De manera individual realiza las siguientes actividades.

a) Indica quién es el ganador del concurso en el problema de la página 24.• Argumenta por qué lo seleccionaste.

b) Identifi ca en la obra cubista dos parejas de triángulos congruentes y márcalos.

c) Construye una réplica de un sector que elijas de la pintura de manera que la razón de semejanza entre la copia y la imagen sea 1 a 2. Usa tu juego de geometría y considera las propiedades de las fi guras semejantes.

Fig. 1.21

Fig. 1.22

29

BLOQUE 1

Página 29

Integración 7. R. L.

a) Si A y B son figuras congruentes, entonces los lados y ángulos de A miden lo mismo que los lados y ángulos que les corresponden en B; sin embargo, si A y B son semejantes, los ángulos miden lo mismo pero los lados son proporcionales.

Sugerencia didáctica. Retomen la idea errónea 1 y pida a sus alum-nos que den ejemplos de figuras congruentes y semejantes en contex-tos reales, por ejemplo, la superficie de una mesa y el vidrio que se pone sobre ella para protegerla son figuras congruentes.

8. R. L. a) R. L. b) • Todos los ángulos miden 90°.

• Los lados son proporcionales.• Semejantes.• Todos los cuadrados son semejantes. Y si dos cuadrados tie-

nen lados de la misma medida, también son congruentes.


1. a) El ganador es Joao.• Porque conserva las proporciones de la pintura original, ya

que el conciente del largo de la obra de Joao entre el ancho es igual al cociente del largo y el ancho de la figura 1.10.

b) R. L.c) R. L.


29

¿En

qué

se p

arec

en? Inicio a partir de lo que sé

En parejas resuelvan el siguiente problema.

En una ventana rectangular que mide 161.7 cm ! 40 cm, Sandra quiere hacer un vitral como muestra el siguiente modelo a escala.

Resuelvo y aprendo

Sandra sólo quiere dar al vidriero las medidas indispensables para que corte los vidrios en forma triangular como indica el modelo.

a) Escriban en sus cuadernos las medidas que Sandra debe dar al vidriero para que corte todos los vidrios de manera correcta.

b) Compartan sus medidas con las de otras parejas y, con base en ellas, reproduzcan en sus cuadernos los triángulos a escala.

c) Verifi quen que los triángulos que trazaron correspondan con los del vitral. Si no coinciden, corrijan las medidas.

En grupo concluyan cuáles son las medidas indispensables que deben dar al vidriero para que reproduzca los triángulos con las medidas que Sandra necesita.


1. En equipos realicen las siguientes actividades.

a) Emilio y Celeste necesitan construir dos marcos de made-ra triangulares como los de la fi gura 1.24, pero de manera que ambos sean congruentes. Emilio piensa que para cons-truir los triángulos congruentes es sufi ciente que dos de sus lados correspondientes sean iguales. Celeste, en cambio, dice que todos los lados correspondientes deben ser iguales.¿Quién tiene razón? Escriban los argumentos en los que basa-ron su elección.

L

R Q

30°

120° 60°

90°

K N

J I O

Fig. 1.23

Fig. 1.24

30

SECUENCIA 3Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Antecedentes• Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las pro-

piedades de la figura original que se conservan.• Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las con-

diciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.• Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos,

cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

Ideas erróneas 1. Es común que los alumnos empleen el criterio LAL de manera erró-

nea, pues no toman en cuenta que los ángulos que se deben com-paran son los que se forman entre los lados.

2. Los estudiantes podrían no tener claro que si dos triángulos son congruentes, también son semejantes, pero que sean semejantes no asegura que los triángulos son congruentes.


Página 30a) R. M. Se corta un triángulo que tenga un lado de 40 cm y que los

ángulos adyacentes midan 90° y 30°. Se corta un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan lo mismo que la hipotenusa del primer triángulo y que el ángulo formado entre dichos lados sea de 120°. Después se corta un triángulo que tenga un lado de la misma medida que el lado de mayor longitud del triángulo isósceles; los ángulos adyacentes a ese lado deben medir 90° y 30°. Al final, se corta un triángulo congruente a cada uno de los tres triángulos que ya se cortaron.

S3


30

Consigan popotes, tijeras, tachuelas o alfi leres y pegamento. Recorten y unan los popotes con las tachuelas para construir un triángulo con-gruente con el de la fi gura 1.24.Con dos de los popotes con que construyeron el triángulo traten de formar un triángulo que no sea congruente con el anterior. ¿Pudieron hacerlo? ¿Por qué?

Con los tres popotes con que construyeron el triángulo inicial intenten formar un triángulo que no sea congruente con el triángulo de la fi gura 1.24. ¿Pudieron hacerlo? ¿Por qué?

b) Juan construyó un triángulo cuyos lados miden 2 cm, 5 cm y 6 cm. Si María hizo otro cuyos lados miden 5 cm, 2 cm y 6 cm, ¿cómo son entre sí los triángulos?

c) Recorten 2 segmentos de popote: uno de 4 cm y otro de 3.5 cm, y formen un ángulo de 45° uniéndolos por uno de sus extremos como se muestra en la fi gura 1.26. ¿Podrían completar un triángulo con esos segmentos? Recorten de un popote el segmento que falta para hacerlo.

¿Cuánto mide el lado opuesto al ángulo de 45°?

Comparen su construcción con la de otros equipos. ¿Cómo son entre sí los triángulos?

¿Podrían construir un triángulo no congruente con el anterior que conserve la medi-da de los popotes iniciales y el ángulo entre ellos? Escriban sus conclusiones.

d) Deshagan el triángulo que formaron. Con los segmentos más cortos formen un ángulo de 45° y con otro segmento de popote completen el triángulo. ¿Cuánto mide el lado faltante?

Analicen si para que dos triángulos sean congruentes es sufi ciente con que ten-gan dos lados y un ángulo iguales. Justifi quen su respuesta.

Fig. 1.25

Fig. 1.26

45°

31

BLOQUE 1

(Continúa de la página 30)b) R. L.c) R. L.

Resuelvo y aprendo


1. a) Celeste, ya que del modo que propone Emilio es posible trazar dos triángulos que coincidan en la medida de dos lados pero que difieran en el tercero. Lo anterior sucede cuando el ángulo entre los dos lados es diferente en cada triángulo.• R. L.

Página 31• Sí, al modificar el ángulo que forman los dos popotes, la lon-

gitud del tercer lado cambia. • No, porque aunque se intente cambiar la manera en que se

acomodan los popotes, la abertura que se forma entre cada dos popotes siempre debe ser la misma para que pueda co-locarse el tercer popote.

b) Congruentes.c) Sí es posible.

• 2.91 cm• Congruentes.• No es posible. Cuando está determinada la medida de dos de

los lados y del ángulo comprendido entre ellos, la longitud del tercer lado será siempre la misma. Por lo anterior, todos los triángulos que se construyan serán congruentes.

d) 2.51 cm• Para afirmar que dos triángulos son congruentes es sufi-

ciente con que tengan dos lados iguales y que el ángulo comprendido entre esos lados también sea igual. Si los án-gulos iguales no son los comprendidos entre los lados igua-les, no se puede afirmar que los triángulos son congruentes.


31

e) Identifiquen en la figura 1.27 qué tienen en común todos los triángulos.

Identifiquen los triángulos congruentes.

Expliquen qué condiciones deben cumplir dos triángulos para ser congruentes si se conocen dos de sus lados correspondientes y uno de sus ángulos.

Comparen sus respuestas con las del grupo y establezcan una conclusión general.

f) Por separado cada integrante del equipo trace en su cuaderno un segmento de recta de 8 cm de longitud, y en sus extremos dos ángulos, uno de 45° y el otro de 30°. Extiendan el lado de los ángulos que no coincide con la recta de 8 cm de longitud hasta que se intersequen.

C B

A

3

4

K

L

J

3

4

F

ED 3

4

I

G

H

3

4

Lean las siguientes instrucciones y subrayen aquellas con las que obtendrían triángulos congruentes con el anterior. En sus cuadernos corrijan aquellas con las que no se obtienen. Agreguen la información mínima necesaria o eliminen la que no sea útil.

Traza un ángulo de 45° y prolonga ambos lados: uno debe tener 8 cm de longitud. En el otro traza un ángulo de 30° de manera que uno de sus lados pase por el extremo opuesto del lado de 8 cm para formar un triángulo.Traza un segmento de 8 cm. En uno de sus extremos traza un ángulo de 30° y en el otro, un ángulo de 45°. Prolonga los lados de ambos hasta que coincidan.Traza un segmento de 8 cm. En uno de los extremos marca un ángulo de 30°, pro-longa el otro lado del ángulo y sobre él traza un ángulo de 45° de modo que su otro lado pase por el extremo del segmento de 8 cm donde no se trazó el ángulo de 30°.

Comparen sus respuestas con las de otros equipos y, con ayuda de su profesor,

lleguen a una conclusión sobre las condiciones necesarias para obtener triángulos con-gruentes a partir de las medidas de dos de sus ángulos y uno de sus lados.

Midan los lados del triángulo que trazaron y el ángulo que se formó en la intersección.

Comparen los triángulos que trazaron con los de otros equipos. ¿Cómo son los triángulos entre sí?

30°45° 8 cm

Fig. 1.27

Fig. 1.28

32

SECUENCIA 3

Página 32e) Todos son triángulos rectángulos que tienen un lado de 3

unidades y otro de 4.• Los triángulos ABC, IGH y JKL son congruentes.• Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y

el ángulo comprendido entre ellos también es igual en am-bos triángulos.

• La conclusión grupal debe ser igual a la respuesta anterior.

Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos que la conclusión anterior se conoce como el criterio de congruencia lado-ángulo-lado (LAL). Además, discutan la idea errónea 1.

f) Los alumnos deben obtener el siguiente triángulo.

• Los lados miden 4.14 cm y 5.86 cm, respectivamente. El án-gulo formado en la intersección mide 105°.

• Congruentes.• Traza un segmento de 8 cm. En uno de sus extremos traza

un ángulo de 30° y en el otro, un ángulo de 45°. Prolonga los lados de ambos hasta que coincidan.

• Las instrucciones corregidas para obtener triángulos con-gruentes son las siguentes: • Traza un ángulo de 45° y prolonga ambos lados: uno debe

tener 8 cm de longitud. En el otro traza un ángulo de 105° de manera que uno de sus lados pase por el extremo opuesto del lado de 8 cm para formar un triángulo.

• Traza un segmento de 8 cm. En uno de los extremos marca un ángulo de 30°, prolonga el otro lado del ángulo y sobre él traza un ángulo de 105° de modo que su otro lado pase por el extre-mo del segmento de 8 cm donde no se trazó el ángulo de 30°.

45°

105°4.14 cm 5.86 cm

30°8 cm


32

Las condiciones mínimas que dos triángulos deben cumplir para que sean con-gruentes se conocen como criterios de congruencia.

Integración2. En grupo respondan las preguntas y completen los enunciados con ayuda de su profesor.

a) ¿Qué elementos se consideraron para construir triángulos congruentes en la actividad del

inciso a) de la página 30?

b) ¿Qué elementos consideraron en el inciso c) de la página 31?

c) ¿Y cuáles en el inciso f) de la página anterior?

d) Para determinar si dos triángulos son congruentes, se pueden usar los siguientes criterios:

• Criterio LLL. Cada uno de los lados correspondientes de ambos triángulos deben ser

• Criterio LAL. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo

comprendido entre ellos mide

• Criterio ALA. Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los

ángulos correspondientes, adyacentes a ese lado, son

NotaciónPor lo común, para nombrar los criterios de congruencia se utiliza una combinación de las letras L y A. La L significa lado y la A, ángulo. El orden en que se escriben es importante porque indica el orden de los elementos del triángulo que se considerarán para verificar la congruencia. Para nombrar el criterio, las letras pueden repetirse.

Criterios de semejanza entre triángulos

3. Así como existen criterios para identificar si dos triángulos son congruentes, tam-bién los hay para identificar si dos triángulos son semejantes. Estos criterios se tra-bajarán a continuación. En equipos resuelvan los siguientes problemas.

a) Observen los triángulos e identifiquen los que son semejantes. Completen los enunciados.

1.6

1.71.4

NM

QW

Z

P

95.2°

30°

F

GE

3.4 2.8

3.2

TS

R

40.2°

4.8

3.6

I

KJ

40.2°

2.4

1.8

Fig. 1.29

AC

B

30°

95.2°

El triángulo ABC es semejante al triángulo

El triángulo es semejante al triángulo NQM.

El triángulo JKI es semejante al triángulo

33

BLOQUE 1

Página 33

Sugerencia didáctica. Comente que para indicar que un lado de un triángulo tiene la misma medida que un lado de otro triángulo se pue-de decir que los lados son congruentes. Este vocabulario les servirá para contestar la siguiente sección.

Integración 2. a) Las medidas de los tres lados del triángulo.

b) Las medidas de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.c) Las medidas de dos ángulos y del lado que éstos comparten.d) • Criterio LLL. Cada uno de los lados correspondientes de

ambos triángulos deben ser iguales o congruentes.• Criterio LAL. Dos triángulos son congruentes si tienen dos la-

dos iguales y el ángulo comprendido entre ellos mide lo mis-mo en ambos triángulos.

• Criterio ALA. Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos correspondientes, adyacen-tes a ese lado, son iguales.

Criterios de semejanza entre triángulos 3. a) • El triángulo ABC es semejante al triángulo PZW.

• El triángulo EFG es semejante al triángulo NQM.• El triángulo JKI es semejante al triángulo STR.


33

b) Cada integrante del equipo construya un triángulo con un ángulo de 30° y otro de 95.2°.

¿Cuánto mide el tercer ángulo?

Midan la longitud de los lados del triángulo que trazaron y dividan cada una entre las longitudes correspondientes de los lados del triángulo ABC. ¿Qué observan?

Repitan el paso anterior con las longitudes del triángulo PZW. ¿Qué observan?

¿Cómo son entre sí los ángulos de los tres triángulos?

c) Tracen un triángulo cuyos lados midan 4.8 cm, 4.2 cm y 5.1 cm.Multipliquen las medidas de los lados del triángulo MQN por 3, y comparen los resultados con las medidas del triángulo que trazaron. ¿Qué observan?

¿Existe un número por el que al multiplicar las longitudes de alguno de los trián-gulos de la imagen (distinto al triángulo MQN) obtengan las del triángulo que trazaron?

Si su respuesta es afirmativa, indiquen cuál es ese número y de qué triángulo se trata.

Midan los ángulos de los triángulos con los que han trabajado en este inciso. ¿Qué observan?

¿Cómo son entre sí estos triángulos?

d) Construyan un triángulo con dos lados, de 0.9 cm y 1.2 cm, y que ambos formen un ángulo de 40.2°.Dividan las medidas de los lados del triángulo que acaban de trazar entre las medi-das de los lados que forman el ángulo de 40.2° del triángulo IJK. ¿Qué observan?

Repitan el paso anterior dividiendo entre las medidas de los lados que forman el triángulo RST. ¿Qué observan?

¿Cómo son entre sí los tres triángulos?

Comparen sus respuestas con las del resto del grupo y con ayuda de su maestro escriban una concusión sobre los criterios de semejanza entre triángulos.

34

SECUENCIA 3

Página 34b) • Mide 54.8°.

• El resultado de los tres cocientes es el mismo.• Los tres cocientes también son iguales.• Los tres triángulos tiene los mismos ángulos.

c) • Las nuevas medidas coinciden con las del triángulo que se trazó en este inciso.

• Sí.• El triángulo trazado se obtiene al multiplicar por 1.5 cada

una de las medidas de los lados del 'GFE.• Los triángulos tienen los mismos ángulos.• Semejantes.

d) • El resultado de los dos cocientes es el mismo.• Nuevamente los cocientes son iguales.• Semejantes.


34

Integración4. En grupo enuncien los criterios de semejanza de triángulos con ayuda de su profesor. Completen

los enunciados.

a) Criterio LLL. Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son .

b) Criterio AA. Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos correspondientes son

.

c) Criterio LAL. Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados correspondientes son

y el ángulo comprendido entre ellos es .

Consolido mis aprendizajes1. Identifi ca en el problema inicial las parejas de triángulos congruentes y el criterio de congruencia

que utilizaste para reconocerlos.

a) Triángulos JKL y Criterio

b) Triángulos LQK y Criterio

c) Triángulos NOI y Criterio

2. Identifi ca una pareja de triángulos semejantes que no sean congruentes y el criterio que utilizaste para reconocerlos.

a) Triángulos Criterio

3. Escribe en tu cuaderno las medidas indispensables que darías al vidriero para que cortara los triángulos como Sandra los necesita.

4. Utiliza los criterios de congruencia o semejanza de triángulos para determinar si las siguientes afi rmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser verdaderas, escribe el criterio de congruencia o semejanza que empleaste para responder.

Afi rmación Verdadero o Falso Criterio

Dos triángulos con dos ángulos iguales son congruentes.

Si los lados de un triángulo miden la mitad que los lados de otro triángulo, entonces son semejantes.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales y uno de los lados de un triángulo mide lo mismo que uno de los lados del otro triángulo, son congruentes.

Todos los triángulos isósceles rectángulos son semejantes.

Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

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35

BLOQUE 1

Página 35

Integración 4. a) Criterio LLL. Dos triángulos son semejantes si sus lados corres-

pondientes son proporcionales.b) Criterio AA. Dos triángulos son semejantes si dos de sus

ángulos correspondientes son iguales.c) Criterio LAL. Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados

correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido entre cada respectiva pareja de lados correspondientes es el mismo.


1. a) Triángulos JKL y KJN. Criterio LAL.b) Triángulos LQK y NIJ. Criterio ALA.c) Triángulos NOI y LRQ. Criterio LLL.

2. a) Triángulos NOI y NJK. Criterio AA. También son semejantes los triángulos LRQ y LKJ.

3. La respuesta es la misma que la descrita en el inciso a de la sec-ción “Inicio a partir de lo que sé”.

4.

AfirmaciónVerdadero

o falsoCriterio

Dos triángulos con dos ángulos iguales son congruentes.

Falso

Si los lados de un triángulo miden la mitad que los lados de otro triángulo, entonces son semejantes.

Verdadero LLL

Dos triángulos tienen dos ángulos iguales y uno de sus lados mide lo mismo que uno de los lados del otro triángulo, son congruentes.

Falso

Todos los triángulos isósceles rectángulos son semejantes.

Verdadero AA

Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Verdadero LLL o AA


35

Repr

esen

taci

ones

de

una

mis

ma

situ

ació

n Inicio a partir de lo que séOrganicen el grupo en parejas y resuelvan lo siguiente.

La fi gura A muestra un vaso graduado que contiene 3 gotas de colorante azul completamente disuelto en la cantidad de agua que se indica. El vaso de la fi gura B contiene agua pura en la cantidad que se muestra.

Resuelvo y aprendo

a) ¿Qué cantidad de colorante azul se requiere disolver en el vaso de la fi gura B para que el agua tenga la misma tonalidad que la del vaso de la fi gura A? Expliquen su procedimiento.

b) ¿Esta situación corresponde a una relación de proporcionalidad? Justifi quen su respuesta.

Análisis de representaciones que corresponden a una misma situación

1. Resuelvan en equipos lo siguiente. Al terminar comparen sus respuestas con las de otros equipos.

a) En cierta época del año, en la comunidad El Olivo se raciona el agua por falta de lluvias. El director del sistema hidráulico municipal ha decidido abastecer cada casa sólo tres días a la semana. Por tal motivo, la familia de Carlos deja abierta la llave de la cisterna, en esos días, para que se llene. La gráfi ca muestra la cantidad de agua que llega, por minuto, a la casa de Carlos: el eje horizontal corresponde al tiempo y el eje vertical, a la cantidad de agua.

Si la cisterna tiene una capacidad de 1 200 L, ¿cuánto tiempo tarda en llenarse?

Agua (L)100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

00

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Tiempo (min)

Figura A Figura B

Fig. 1.30

Fig. 1.31

36

SECUENCIA 4Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

Antecedentes• Análisis de las características de una gráfica que represente una

relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.• Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la

física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y ax + b.

• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.


Página 36a) 4 gotas. En el vaso A hay 0.04 gotas por mililitro ya que 3 y 75 0.04.

Así el producto 0.04 u 100 �4 indica la cantidad de gotas para 100 mL.b) Sí, porque la cantidad de gotas por mililitro siempre es 0.04,

que corresponde al cociente del total de gotas y la cantidad de agua en que están disueltas.

Resuelvo y aprendo

Análisis de representaciones que corresponden a una misma situación

1. a) • 720 min

S4


36

¿Qué cantidad de agua recibe la familia de Carlos en 30 minutos durante los días

en los que se les distribuye?

¿En cuánto tiempo reciben 100 L?

¿Qué cantidad reciben en un minuto?

Escribe una expresión algebraica que represente el problema. Recuerda que una

relación lineal tiene la forma y = ax ! b.

b) ¿Cuál o cuáles de las siguientes situaciones se pueden representar con la gráfica anterior? Justifiquen su respuesta.

La tarifa nocturna de un servicio de taxi, si el banderazo de salida es de $20.00 y por cada kilómetro de recorrido se cobra $1.00, de modo que al recorrer 30 km, el precio a pagar es $50.00.El precio de cierta cantidad de harina de arroz y su masa, si se sabe que 100 gra-mos de harina cuestan 60 centavos.Un automóvil se mueve con rapidez constante y recorre 50 kilómetros en 30 minutos.

Comparen sus respuestas y sus explicaciones con las de sus compañeros. Discutan

las diferencias y corrijan los posibles errores.

2. Resuelvan en parejas las siguientes actividades.

a) Completen la siguiente tabla, la cual relaciona la tarifa que se paga por el servicio de taxi del problema anterior de acuerdo con la distancia recorrida.

Tarifa (pesos) 50 40 30 20

Distancia (km) 30

Escriban una expresión algebraica que represente esta relación.

b) Realicen lo que se indica con base en el precio de la harina de arroz del problema anterior.

¿Cuánto cuesta 1 kg de harina de arroz?

Completen la tabla.

Cantidad de arroz (g) 100 50 30 77

Precio del arroz (centavos) 60

Escriban una relación algebraica que represente esta relación.

37

BLOQUE 1

Página 37• 50 L

• 60 min

• 5——3 L

• y 5——3 x, donde x representa el tiempo y y, la cantidad los litros.

b) Las últimas dos situaciones, ya que son de proporcionalidad

directa con constante de proporción igual a 5——3: con 1 centavo se

compran 5——3 g de harina y en 1 min se recorren 5——3

km.

Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos que en el inciso an-terior la razón 5——3

compara la cantidad de harina respecto a lo que se pagó, o bien, la distancia recorrida respecto del tiempo. Recuerden que para comparar el precio a pagar respecto a la cantidad de harina se usa la razón recíproca 3——5

.

2. a)Tarifa (pesos) 50 40 30 20

Distancia (km) 30 20 10 0

• — + 20, donde x representa la distancia y y, la tarifa.

b) • 6 pesos (600 centavos) •

Cantidad de arroz (g) 100 50 30 77

Precio del arroz (centavos) 60 30 18 46.2

• y 3——5x, donde x representa a cantidad de arroz y y, el precio.


37

c) Respondan lo siguiente a partir de la relación entre la distancia que recorre el automóvil y el tiempo que emplea en hacerlo según el problema del inciso b) de la página anterior.¿Qué distancia recorre el automóvil en un minuto?


Tiempo (min) 60

Escriban la relación algebraica que representa esta relación.

d) Comparen las tres situaciones y sus diferentes representaciones.¿Las tres situaciones se pueden representar con la misma expresión algebraica? ¿Cuáles sí y cuáles no?

Comparen las situaciones que se representan con la misma gráfica con las que se representan con la misma ecuación. ¿Qué observan?

¿Qué situaciones podrían representarse con la misma tabla?

Compartan y comenten en grupo sus resultados.

3. Analicen en equipos la siguiente situación y respondan.

a) La constructora Hogar, S. A. está por entregar un lote completo de casas unifamiliares, por lo que ha contratado a varios pintores para terminar a tiempo. El contratista encar-gado estima que un pintor, en promedio, pinta una superficie de 8 m2 en una hora.¿En cuánto tiempo pintarán dos trabajadores la misma superficie?

Si por la urgencia de la entrega el contratista necesita que se pinten 8 m2 cada 15 minutos, ¿cuántos pintores deberán trabajar en esa superficie? Consideren que todos trabajan al mismo ritmo.

Completen la tabla.

Número de pintores 1 2 8 16

Tiempo en el que pintan una superficie de 8 m2 (h) 1

Tracen en su cuaderno la gráfica que corresponde a esta situación.Escriban una expresión algebraica que describa esta situación.

38

SECUENCIA 4

Página 38c) • 1.67 km

•


Tiempo (min) 60 36 18 46.2

• y 3——5x, donde x representa la distancia y y, el tiempo.

d) • No. Sólo la de la harina y el recorrido del automóvil se pueden representar con la misma ecuación.

• Son las mismas ecuaciones.• Las situaciones que tienen la misma expresión algebraica y

la misma gráfica, también tendrán la misma tabla.

3. a) • 1——2 h

• 4•

•

Tiem

po (h

)

Número de pintores1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

00

1 2 8 16

1 0.5 0.125 0.062 5

• y 1——, donde x es el número de pintores y y, el tiempo.


38

¿Cuál o cuáles de las siguientes situaciones es posible representar con la misma ecuación y una tabla similar? Subráyen sus respuestas.

La relación entre el tiempo que se tarda en descargar en una computadora un archivo de datos si se sabe que en un 1 segundo se baja de internet un archivo a 8 megabytes, y que la rapidez de descarga es constante.El tiempo en que se vacía el tinaco de agua en una casa habitación depende del número de llaves abiertas dentro del inmueble. Si se sabe que el flujo de agua en las llaves es el mismo y que con una sola llave abierta el tinaco tarda 8 horas en vaciarse, ¿en cuánto tiempo se vaciará con dos llaves abiertas?¿Cuánto tarda un tren bala en recorrer 8 km si se desplaza con una rapidez de 1 km/min? ¿Cuánto tiempo tarda si viaja a 2 km/min? ¿Y si su rapidez es de 4 km/min?, etcétera.

Tracen en su cuaderno la gráfica correspondiente a cada situación anterior y escri-ban a continuación su respectiva expresión algebraica.

Comparen las gráficas y las expresiones algebraicas. ¿Cuáles fueron similares?

¿Qué tipo de relación representan las situaciones cuyas gráficas y expresiones algebraicas fueron similares?

b) Inventen en parejas dos situaciones distintas que se puedan representar con la siguien-te expresión algebraica: y ! 3x " 1.

Integración4. Completen en grupo, con la supervisión de su profesor, los siguientes enunciados.

a) Una relación de proporcionalidad entre dos cantidades o dos conjuntos de cantidades pueden

expresarse de distintas maneras, por ejemplo, mediante una tabla, y

.

b) De igual manera, una misma expresión algebraica, tabla o gráfica puede representar distintas

.

39

BLOQUE 1

Página 39• La segunda y la tercera.• Primera situación: = 8 , donde y es el total de megabytes

descargados y x, el tiempo.

Segunda situación: y = 8——, donde y es el tiempo y x, el número de llaves.

Tercera situación: y = 8——, donde y es el tiempo y x, la rapidez.

• Las dos últimas.• De proporción inversa.

b) R. L.

Integración 4. a) una expresión algebraica; una gráfica.

b) situaciones.

Mega

byte

s

Tiempo (seg)1 2 3

8

10

12

14

16

4

2

0

Tiem

po (h

)

Número de llaves1 2 3 4 5 7

7

6 8

8

5

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 7

7

6

6

8

8

9

5

4

3

2

1

0

Tiem

po (h

)

Rapidez (km/h)


39

A partir de la información de las tablas anteriores tracen las gráficas corres-pondientes.

Situaciones que corresponden a una relación de proporcionalidad

5. Completen en parejas las tablas que corresponden a las siguientes situaciones.

a) La temperatura de un calentador eléctrico para acuario si al conectarlo a la corrien-te eléctrica su temperatura era de 0 °C y en un minuto alcanzó 18 °C. Su aumento de temperatura es uniforme.

b) La edad de Andrés y Verónica si se sabe que cuando Andrés cumpla 18 años, ten-drá 2 veces la edad de Verónica.

Tiempo (minutos) Temperatura (°C)

0 0

1

3

5 90

6

Edad de Verónica (años) Edad de Andrés (años)

9

18

20

50

80 71

¿Las situaciones anteriores representan una relación de proporcionalidad directa?

Si sólo pudieran ver las gráficas de cada situación, ¿cómo sabrían si son de pro-porcionalidad directa? Expliquen su respuesta.

Comparen sus respuestas y discútanlas en grupo. Al final anoten sus conclusiones en su cuaderno.

6. Inventen en equipos dos situaciones: una que corresponda y otra que no correspon-da a una relación de proporcionalidad directa. Anótenlas en su cuaderno.

Verónica (años)

Andrés (años)

00

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 1300

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

1 2 3 4 5 6 7

Temperatura (ºC)

Tiempo (min)Fig. 1.32 Fig. 1.33

40

SECUENCIA 4

Página 40

Situaciones que corresponden a una relación de proporcionalidad 5. a)

b)

• La gráfica que corresponde a las temperaturas es la siguiente.

La gráfica que corresponde a las edades es la siguiente.• No, sólo la primera.• Si la gráfica es una recta

que pasa por el origen de coordenadas, la situación es de proporcionalidad directa.

6. R. L.

Tiempo (minutos) Temperatura (°C)0 0

1 18

3 54

5 90

6 108

Edad de Verónica (años)

Edad de Andrés (años)

9 18

18 27

20 29

50 59

80 89

Veró

nica

(año

s)

10 20 30 40 50 60 70 80 90

90

80

70

60

50

40

30

20

10

00

0 1 2 3 4 5 6 7 9

20

40

60

80

100

120

140

Tem

pera

tura

(°C)

Tiempo (minutos)


40

Te invito a…

visitar la siguiente dirección electrónica: www.edutics.mx/outdonde podrás encontrar situaciones de proporcionalidad. (Consulta: 29 de octubre 2014).

Integración7. Completen en grupo, con ayuda de su profesor, los siguientes enunciados.

a) Una relación de proporcionalidad directa se expresa algebraicamente mediante una expresión

de la forma , donde es la constante de proporcionalidad.

b) La gráfi ca que corresponde a una relación de proporcionalidad directa tiene la siguiente

característica: es una que pasa por

c) En una relación de proporcionalidad directa, el cociente de los datos correspondientes

dispuestos en una tabla es un valor que corresponde con la

de proporcionalidad.

Consolido mis aprendizajes1. Resuelvan en parejas la siguiente variante del problema inicial.

a) En la fi gura A se muestra un vaso graduado con 3 gotas de tinta verde disueltas en la cantidad de agua que se indica. En la fi gura C el vaso contiene 4 gotas de la misma tinta. ¿Qué cantidad de agua se le debe agregar para que tenga el mismo color que la solución del vaso de la fi gura A? Expliquen cómo encontraron su respuesta.

• ¿La situación anterior corresponde a una relación de proporcionalidad directa? Expliquen.

2. La ley de Boyle-Mariotte, formulada de manera independiente por Robert Boyle y Edme Mariotte en el siglo XVII, describe la relación entre el volumen de un gas y la presión a la que está sometido. Para formular esta relación, Boyle introdujo un gas en un cilindro con un émbolo y midió las distintas presiones al bajar el émbolo, mientras se mantenía una temperatura constante dentro del cilindro. La tabla siguiente muestra los resultados de un experimento similar.

Figura A Figura C

Fig. 1.34

Presión (atm) Volumen (L)

0.5 60

1.0 30

1.5 20

2.0 15

a) ¿Esta situación corresponde a una relación de proporcionalidad? Expliquen su respuesta.

b) Si la temperatura dentro del cilindro se mantiene constante, ¿cuál es el volumen en litros que corresponde a una presión de 3.0 atm dentro del cilindro?

c) Al hablar de la ley de Boyle-Mariotte se menciona que la temperatura es constante, ¿consideras

que está información es necesaria? ¿Por qué? Puedes preguntar a tu maestro de ciencias.

Comparen con otras parejas sus respuestas y procedimientos para determinar cuándo una situación corresponde a una relación de proporcionalidad directa.

41

BLOQUE 1

Página 41

Integración 7. a) y mx; m. b) recta; el origen. c) constante; razón.


1. a) 93.3 mL. Se plantea la proporción 70 ml——————3= �70 ml ——4= , de donde se tiene

x 93.3. • Sí, ya que para mantener la misma coloración, se debe con-

servar la misma proporción entre la cantidad de agua y de gotas.

2. a) Sí, es de proporción inversa. El producto (presión)(volumen) es igual a 30.b) 10 Lc) Sí, la ley de Boyle establece que a temperatura y masa constantes

la presión y el volumen son inversamente proporcionales.


41

Dos

man

eras

de

ente

nder

una

var

iaci

ón c

uadr

átic

a

Inicio a partir de lo que séEn equipos resuelvan la siguiente situación.

Los fi nes de semana, Delia vende playeras en un tianguis. Preocupada por incrementar las ganancias de su negocio, decidió llevar un registro de la cantidad de playeras que vende, lo cual depende de su precio; por ejemplo, si el precio de cada playera es de $40.00, en promedio vende 20 piezas; pero si reduce el precio en $1.00, vende 4 piezas más, si lo reduce en $2, vende 8 más, etcétera.

a) Completen la tabla de registro y los párrafos a partir de la información anterior, y contesten.

Descuento (pesos)

Precio (pesos)

Piezas vendidasIngresos (pesos)

0 40 20 40 ! 20 " 800

1 40 # 1 " 39 20 $ 4(1) " 24 (40 # 1)(20 $ 4(1)) " 936

2 40 # 2 " 38 20 $ 4(2) " 28

3 40 # 3 " 37

4

5

6

b) En la tabla anterior se observa que cuando el descuento , el número

de piezas vendidas y los ingresos .

c) Si continúa la misma tendencia, ¿de cuánto serían los ingresos de Delia si el descuento para

cada playera fuera de $10.00?

d) ¿Y si el descuento fuera de $25.00, $30.00 y $40.00?

e) ¿Se pueda afi rmar que la relación entre el descuento y el ingreso es proporcional? ¿Por qué?

f) Escriban dos expresiones algebraicas, una para el precio de la playera en función del descuento y otra para el número de playeras vendidas también en función del descuento.

g) Con base en la respuesta anterior escriban una expresión algebraica para los ingresos de Delia en función del descuento al precio de las playeras.

42

SECUENCIA 5Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

Antecedentes• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas),

que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

Ideas erróneas 1. Los alumnos pueden pensar que en una relación de la forma

x 1——2 gt 2, no puede haber una relación de variación lineal, sin em-bargo, hay variación lineal entre x y t 2. Por ello, la gráfica de x respecto a t 2 es una recta, mientras que la gráfica de x repecto a t es una curva.


Página 42a) Las literales d, c, p, i que se agregaron en los títulos se usarán

en las ecuaciones de los incisos f y g.

b) aumenta; aumenta; aumentan.c) $1 800.00d) $1 800.00, $1 400.00 y $0.00, respectivamente.

S5

Descuento

(d)Precio

(c)Piezas

vendidas (p)Ingresos

(i)

0 40 20 800

1 39 24 936

2 38 28 1 064

3 37 32 1 184

4 36 36 1 296

5 35 40 1 400

6 34 44 1 496


42

Resuelvo y aprendo

Expresiones algebraicas y tablas para situaciones de variación cuadrática

1. En equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones.

a) Observen las fi guras y resuelvan lo que se indica.

Dibujen los arreglos que corresponden a los pasos 4, 5 y 6.Completen la tabla que en cada paso relaciona el número de elementos de cada fi gura.

Paso 1 2 3 4 5 7 10 12

Número de elementos 1 4 9

Subrayen la expresión algebraica que relaciona cada paso con el número de ele-mentos de cada fi gura.

y ! 2x y ! x 2 y ! 2x 2 y ! 2x 2 " x

y = 2x + 1 y = x 2 + x y = 2x 2 y = 2x 2 + x

A partir de la expresión algebraica que eligieron, respondan ¿en qué paso la fi gu-

ra tendrá 49 elementos?

b) Analicen la siguiente sucesión.

¿Cuál es la característica distintiva de los “rectángulos” de la sucesión?

Dibujen las fi guras que corresponden a los pasos 4, 5 y 6.Completen la tabla de acuerdo con la relación entre cada paso y el número de elementos de la fi gura respectiva.

Paso 1 2 3 4 5 7 10 12

Número de elementos

Subrayen la expresión algebraica que relaciona el número de elementos de cada fi gura con su paso correspondiente.

¿Cuál es el mayor exponente de la expresión algebraica que relaciona cada paso

con el número de elementos de cada fi gura?

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Fig. 1.35

Fig. 1.36

43

BLOQUE 1

(Continúa de la página 42)e) No, porque si el descuento es poco, los ingresos aumentan conforme

aumenta el descuento, mientras que si el descuento es alto, los in-gresos disminuyen conforme aumenta el descuento.

f) c 40 — d; p 20 � 4dg) i (40 — d)( 20 � 4d), o bien, i 800 � 140d — 4d 2.

Resuelvo y aprendo

Página 43

Expresiones algebraicas y tablas para situaciones de variación cuadrática

1. a) • Lo arreglos son:

•

• y x2

• En el 7.b) • Cada rectángulo puede verse como un cuadrado que por lado

tiene tantos elementos como el número de paso y una columna extra con una cantidad de elementos igual al paso.

• Las figuras son:

•

1 2 3 4 5 7 10 12

2 6 12 20 30 56 110 156

• y x2 + x• 2

4 5 6

4 5 6

Paso 4 5 7 10 12

Número de elementos 16 25 49 100 144


43

2. En equipos resuelvan el problema.

a) Una fábrica de materiales didácticos produce cubos de madera de diferentes tamaños y colores. Para estimar los costos de la pintura utilizada se elaboró la siguiente tabla.Complétenla a partir de sus conocimientos de geometría.

Medida del lado del cubo (cm) Área de una cara (cm2) Área total de las caras (cm2)

1 1 6

2 4 24

3 9

4

5

6

¿Qué opción expresa la relación entre el área total de las caras de un cubo y la medida de uno de sus lados?

¿Cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es de 384 cm2?

Anoten en las afirmaciones una V si las consideran verdaderas o una F si son falsas.

El área de una cara del cubo es función lineal de la longitud de sus lados.

El área total del cubo es función cuadrática de la longitud de sus lados.

El área total del cubo es función lineal del área de una de sus caras.

3. En equipos analicen la siguiente situación y respondan.

a) La producción alimentaria se ha incrementado en las últimas décadas gracias al uso de fertilizantes. Supongamos que un modelo cuadrático para la produc-ción de trigo con relación al uso de fertilizantes se representa por la relación: y ! 828 " 33.52x # 0.272x 2, donde y es la cantidad de trigo producido en kilo-gramos por cada hectárea, y x la cantidad de fertilizante, también en kilogramos por hectárea.

Según esa relación, ¿cuántos kilogramos de trigo se producirían en una hectárea

si no se usara fertilizante?

En términos de la situación que describe el modelo, ¿cómo interpretarían este

resultado?

¿Cuántos kilogramos de trigo se producirían con 55 kg de fertilizante? ¿Y con 70?

A partir de la información que brinda el modelo, ¿es mejor usar 55 o 70 kg/ha de

fertilizante?

a

a

a

y ! 6a y ! 6a2 y ! a2 + 5 y ! 3(a + 1)

Fig. 1.37

44

SECUENCIA 5

Página 44 2. a) •

Sugerencia didáctica. Antes de que contesten la tabla anterior, pida a sus alumnos que expliquen en su cuaderno cómo se calcula el área total de un cubo y que verifiquen que los valores de la tabla son co-rrectos. Después, indique que completen la tabla.

• y = 6a2

• 8• • F • V • V

3. a) • 828 • En un hectárea se pueden producir sin fertilizante 828 kg de trigo. • Con 55 kg de fertilizante se producen 1 848.8 kg de trigo y

con 70 kg de fertilizante, 1 841.6 kg.• Es mejor usar 55 kg de fertilizante, se produce más trigo y se

gasta menos fertilizante que si se usaran 70 kg de fertilizante.

Medida del lado del cubo

(cm)

Área de una cara (cm2)

Área total de las caras (cm2)

1 1 6

2 4 24

3 9 54

4 16 96

5 25 150

6 36 216


44

Completen la tabla con el modelo propuesto.

Fertilizante (kg/ha) 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Trigo producido (kg/ha) 1 733.6

¿Si se proporciona más fertilizante la producción de trigo será mayor?

Determinen la cantidad de fertilizante necesaria para obtener la mayor cantidad

de trigo por hectárea.

4. En parejas resuelvan la siguiente situación.

a) En sus clases de Física estudiaron la caída libre. Supongan que una esfera de 1 kg de masa se deja caer desde una altura de 180 m, se registra cuidadosamente su altura de descenso, y se calcu-la tanto su rapidez como su energía cinética. Completen la tabla.

¿Cuánto tiempo tardó la esfera en llegar al suelo?

¿Cuál fue su rapidez en ese momento?

¿Y su energía cinética?

Anoten una V si la afirmación es verdadera y una F si es falsa.

Si la esfera recorre 80 m en 4 s, entonces en 8 s recorrería 160 m.

La rapidez de la esfera es directamente proporcional al tiempo.

La energía cinética de la esfera es directamente proporcional al tiempo.

Escriban una expresión algebraica para cada una de las siguientes relaciones.

La distancia de caída en términos del tiempo.

La rapidez de la esfera con relación al tiempo.

La energía cinética en función de la rapidez.

De las expresiones anteriores podemos concluir que la distancia varía de

manera respecto al tiempo, y la rapidez varía de manera en

relación con ; mientras que la energía cinética varía de manera

respecto a .

b) ¿La masa es un dato necesario para obtener la relación entre la distancia y el

tiempo? ¿Por qué?

En grupo compartan sus resultados y procedimientos, y valídenlos con ayuda de su profesor.

Tiempo (s)

Distancia de caída (m)

Rapidez (m/s)

Energía cinética (kg m2/s2)

0

1 5 10 50

2

3 45 30 450

4

5 125 50 1 250

45

BLOQUE 1

Página 45•

40 45 50 55 60

1 733.6 1 785.6 1 824 1 848.8 1 860

65 70 75 80

1 857.6 1 841.6 1 812 1 768.8

• No. Si se agrega más de 60 kg de fertilizante, la producción de trigo disminuye.

• 60 kg

4. a) Las literales t, x, v, T que se agregaron en los títulos de la tabla servirán más adelante.

Tiempo (t)

Distancia de caída

(x)

Rapidez (v)

Energía cinética (T)

0 0 0 0

1 5 10 50

2 20 20 200

3 45 30 450

4 80 40 800

5 125 50 1 250

6 180 60 1 800

• 6 s• 60

• 1 800 kg

• • F • V • F

• • x 1——2 gt 2

• v gt • T 1——2 mv 2

• cuadrática; proporcional; el tiempo; cuadrática; la rapidez.

——m2

s2

ms——


45

6. En equipos resuelvan las siguientes situaciones.

a) Consideren un triángulo cuya base mide igual que su altura.¿Cómo expresarían algebraicamente su área en relación con su altura?

Si su altura se incrementa en 3 unidades y la base disminuye en 2, ¿cómo se expresaría su área?

¿En este caso sería razonable que la altura del triángulo fuera de 2 unidades o menos? Argumenten su respuesta.

¿El área podría crecer indefinidamente o alcanzaría un valor máximo?, ¿cómo podrían saberlo?

b) La altura de una caja con forma de prisma de base rectangular es de 8 unidades, mientras que el largo de su base es el triple de su ancho.¿Cómo se expresa algebraicamente su volumen en función del ancho de la caja?

Si el volumen de la caja es de 216 unidades cúbicas, ¿cuáles son las dimensiones

de la base?

c) De una lámina cuadrada de metal se corta un círculo de radio r, como se muestra en la figura 1.38.Escriban una expresión algebraica que represente el área de la porción remanen-te de lámina.

Si se cortara un círculo cuyo radio fuera la mitad del radio r, ¿cómo se expresaría

entonces el área remanente? Fig. 1.38

r

Integración5. Completen los siguientes enunciados en grupo y valídenlos con ayuda de su profesor.

a) Una relación de variación cuadrática entre dos variables se puede representar con una

ecuación de la forma .

b) Para analizar una relación de variación cuadrática podemos usar una representación

o bien elaborar pues estas dos representaciones resultan ser .

46

SECUENCIA 5

(Continúa de la página 45)

b) No. En la expresión x � 1——2 gt 2 la constante de variación cuadrática entre x y t es 1——2

g, en donde sólo está involucrada g, la aceleración gravitacional.

Página 46

Integración 5. a) y Ax 2, donde A es constante.

b) algebraica; una gráfica; equivalentes.

6. a) • A ——2h2

, donde A es el área y h, la altura.

• A �(h � 3) (h � 2)2 � � h 2 � h � 6

2

• No, porque si la base disminuye 2 unidades, entonces su me-dida será 0, así que el rectángulo no podría formarse. Si la base disminuye más de 2 unidades, el área sería negativa, lo que tampoco tiene sentido.

• Podría crecer indefinidamente. Si se traza la gráfica de

A � h 2 � h � 62 se puede ver que mientras aumente el valor

de h, el de A continuará creciendo.

Sugerencia didáctica. Sugiera que tracen la gráfica tomando valores de �4 a 4 en eje horizontal (la altura) y de �5 a 20 en el eje vertical (el área).

b) • V 24b 2, donde b representa la medida del ancho de la base y V el volumen.

• El ancho mide 3 u y el largo mide 9 u.c) • A 4r 2 � Sr 2 (4 � S)r 2

• A 4r 2 � S 4 (4 � π

4)r 2


46

d) De una esquina de un cuadrado, cuyos lados miden 14 unidades, se corta un cuadrado más pequeño con lado de x unidades de longitud.

¿Cómo se expresa algebraicamente el área remanente?

e) Si un objeto se suelta desde cierta altura, h, después de un tiempo, t, habrá reco-rrido una distancia de caída dada por d ! 5t 2. ¿Qué distancia habrá recorrido el objeto a los 2 segundos después de soltarlo?

Fig. 1.39

Consolido mis aprendizajes1. En parejas resuelvan las situaciones.

a) Volvamos al problema de la sección inicial. Analicen la situación y determinen qué descuento le aportaría a Delia los mayores ingresos. Argumenten su respuesta y compárenla con las de otras parejas. Indiquen qué procedimientos o criterios usaron.

• ¿Existe una única solución? Si hay más de una, cuál sería la mejor y por qué.

2. Completen la tabla que muestra distintos arreglos hechos con canicas de colores.

Etapa Figura Canicas

1

2

3

4

5

a) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas relaciona el número de canicas de cada fi gura con cada etapa?

y ! 12 n (n " 1) y ! n (n " 1)

y ! (2n # 1) y ! n 2 # 1

b) Con la expresión algebraica que eligieron determinen el número de canicas que corresponde a la etapa 25.

3. A partir del análisis de las situaciones propuestas en esta secuencia, ¿consideran correcto afi rmar que en una relación de variación cuadrática la cantidad que varía siempre alcanza un valor máximo o un valor mínimo? Argumenten su respuesta.

4. En el problema 4 se vio que la energía cinética es una variación cuadrática de la rapidez y que ésta varía linealmente con respecto al tiempo. Entonces, ¿qué tipo de relación existe entre la energía cinética y el tiempo? Expresen algebraicamente esta relación.

5. Individualmente propongan una situación que implique una relación cuadrática y pidan a su pareja que realice una tabla con las variables y deduzca la ecuación que la representa. Hagan lo mismo con la situación que proponga su compañero. Al fi nal validen sus respuestas.

Comparen sus procedimientos con los de otras parejas; si hubo errores, expliquen en qué consistieron y corríjanlos.

xx

14

14

47

BLOQUE 1

Página 47d) • 196 � x 2

e) • 20 unidades de longitud.


1. a) El mejor descuento sería de $17.50, ya que al trazar la gráfica de i 800 � 140d � 4d 2, el punto más alto en la gráfica tiene como abscisa a 17.50.

• La única solución del problema es $17.50. 2.

Etapa Figura Canicas

1 1

2 3

3 6

4 10

5 15

a) y 1——2 n (n + 1)

b) 325 canicas

3. En todas las gráficas de variación cuadrática la variable depen-diente alcanzó un máximo o un mínimo.

4. Cuadrática; T � 1——2mg 2t 2

5. R. L.


47

Prob

abili

dad

de e

vent

os Inicio a partir de lo que séAborden en parejas la siguiente situación y argumenten sus respuestas.

Necesitan: 3 monedas distintas (de $1.00, $2.00 y $5.00, por ejemplo). Reglas del juego: cada jugador elige “águila” o “sol” y se lanzan las monedas; se gana cuando al menos 2 de las 3 monedas al caer muestran la cara elegida.

a) Realicen 10 lanzamientos y registren al ganador de cada uno. ¿Quién ganó más juegos, el que eligió “águila” o quien eligió “sol”?

b) ¿Este juego es equitativo o algún jugador tiene mayores probabilidades de ganar?

c) Señalen todos los resultados posibles de lanzar las monedas y con base en ellos argumenten en su cuaderno su respuesta a la pregunta anterior. Retomen los procedimientos de conteo que aprendieron en sus cursos anteriores de Matemáticas.

d) ¿Es posible empatar en un lanzamiento? ¿Por qué?

Modifi quen el juego. Ahora, para ganar, en cada lanzamiento 2 monedas deben mostrar la cara elegida, y si las 3 monedas muestran esa misma cara, se considera empate.

e) ¿Con esta variación los jugadores siguen teniendo iguales probabilidades de ganar?

f) ¿Qué es más probable, empatar o no empatar?

Resuelvo y aprendo

Espacio muestral y escala de probabilidad

1. Analicen y resuelvan en equipos las siguientes situaciones.

a) En la kermés del día del estudiante en la secundaria Simón Bolívar se sortearán varios premios utilizando ruletas como las que se muestran en la fi gura 1.40. En las dos primeras, cada división ocupa la misma área; en la tercera ruleta,

14 de

círculo se rotuló con el número 2, 18 con el 3 y

116 con el 6; al resto se le asignó el 1.

48

SECUENCIA 6Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Antecedentes• Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.• Explica la relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la

probabilidad teórica.

Ideas erróneas 1. Cuando se calcula la probabilidad de un evento, los alumnos de-

ben verificar que están considerando todas las veces que sucede el evento, ya que en algunas ocasiones el espacio muestral se pre-senta con una notación que no permite que se repitan elementos.

2. Los alumnos pueden pensar que si un evento ha resultado muchas veces en un experimento aleatorio, entonces tiene mayor probabi-lidad de salir nuevamente. Por ejemplo, si al lanzar una moneda al aire 10 veces, se obtienen 8 veces “águila”, pueden creer que el si-guiente volado también dará como resultado “águila”.

S6

Página 48a) R. L.b) R. M. El juego es equitativo.c) En el diagrama hay 4 casos favora-

bles para quien escoja águila y 4 ca-sos para quien escoja sol.

d) No, obtener una águila indica que hay dos soles y obtener un sol indica que hay dos águilas. De otro modo las tres monedas muestran águila o sol.

Moneda 3

Moneda 2

Moneda 1

Águila

Águila

Sol

Águila

Sol

Águila

Sol

Águila

Sol

Águila

Sol

Águila

Sol

Sol



48

¿Cuántos y cuáles resultados pueden obtenerse con cada ruleta? Represéntenlos de modo que los consideren todos.

El conjunto de todos los resultados que se pueden obtener en un experimento se llama espacio muestral, y es muy útil para analizar la probabilidad de que ocurra un evento.

Si se hacen girar las ruletas, ¿en cuál será más probable que, al detenerse, la mar-ca indique el área con el número 6?

¿Qué fracción o porcentaje del círculo corresponde al 6 en cada ruleta?

¿Cuál es la relación entre la probabilidad y la fracción o porcentaje del círculo que corresponde al 6 en cada ruleta?

¿Cómo debería ser una ruleta donde la probabilidad de obtener un 6 fuera igual a 1?

¿Puede existir una ruleta donde la probabilidad de obtener 6 fuera mayor que 1?

¿Por qué?

¿Cuál es la probabilidad de obtener 5 en la primera ruleta? ¿Por qué?

¿Cuál es la probabilidad de que en la primera ruleta el resultado sea 1?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera ruleta el resultado sea 1 o 6?

Fig. 1.40

64

3

2

23

6

11

6

5

1

Uno Dos Tres

49

BLOQUE 1

(Continúa de la página 48)e) Todavía tienen las mismas probabilidades de ganar. f) No empatar.

Resuelvo y aprendo

Página 48 y 49

Espacio muestral y escala de probabilidad

1. a) • Ruleta 1. Se obtienen 2 resultados: {1, 6}.Ruleta 2. Se obtienen 6 resultados: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Ruleta 3. Se obtienen 4 resultados: {1, 2, 3, 6}.

• En la ruleta uno.

• 50% o 1——2 en la ruleta uno; 16.7% o 1——6

, en la ruleta dos, y 6.25% o 1——16

, en la ruleta tres.

• Tienen el mismo valor.• La superficie de toda la ruleta tendría que corresponderle a 6.• No, porque esto implicaría que el área que corresponde a

6 es mayor que la de la ruleta.• La probabilidad es 0 porque a ninguna parte de la superficie

le corresponde el número 5.• 1——2

b) 1


49

Integración2. Respondan en grupo con la ayuda de su profesor.

a) ¿Qué significa que la probabilidad de que ocurra un evento sea igual a 0? ¿Y que tenga una

probabilidad igual a 1?

b) La probabilidad de un evento P (A) se cuantifica con un número entre y .

Este hecho se conoce como escala de probabilidad.

c) La probabilidad de un evento se puede expresar en tres formas equivalentes:

Eventos y sus características

3. Analicen en equipos las siguientes situaciones.

a) Se tienen dos dados: uno azul y otro verde. El experimento consiste en lanzar los dados y observar y sumar los números de sus caras superiores. ¿Cuántos resulta-dos posibles existen? Obtengan el espacio muestral completando la tabla.

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

Dado verde Dado

azul b) Sumen los números de ambas caras superiores y consi-deren los siguientes eventos:

Evento A: La suma es un número par. Evento B: La suma es un número impar.

¿Estos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo?

Si del espacio muestral se eliminan todos los resulta-dos que corresponden al evento A, ¿cómo es el resto del espacio muestral respecto al evento B?

c) Consideren los siguientes eventos: Evento C: La suma es igual a 7. Evento D: La suma es distinta de 7.

¿Ambos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo? Expliquen su respuesta.

50

SECUENCIA 6

Página 50

Integración 2. a) La probabilidad igual a 0 indica que un evento no ocurrirá, es de-

cir, no está en el espacio muestral. La probabilidad 1 indica que un evento siempre ocurrre, es decir, es todo el espacio muestral.

Sugerencia didáctica. Pida a sus alumnos que den ejemplos en con-textos reales de eventos con probabilidad 0. Puede explicar que hay eventos cuya probabilidad es muy baja pero no es cero, por ejemplo, que caiga un rayo en el árbol más cercano a su casa.

b) 0 y 1.c) Como número decimal, como fracción o como porcentaje.

Eventos y sus características 3. a) Hay 36 resultados posibles.

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Sugerencia didáctica. Discutan la idea errónea 1. Explique que el es-pacio muestral anterior como conjunto es {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

b) • No. • El espacio muestral restante son los casos favorables del

evento B. c) • No. Si la suma da 7, no puede ser al mismo tiempo distinta de

7 y viceversa.


50

¿Cuál es la probabilidad del evento C, P (C)?

¿Cuál es la probabilidad del evento D, P (D)?

¿Cuál es la probabilidad de que al sumar las caras de los dos dados el resultado sea 7 o distinto de 7?

¿Al lanzar ambos dados y sumar sus caras superiores es seguro que el resultado sea 7 o distinto de 7?

d) Evento E: La suma es mayor que 8. Evento F: La suma es menor que 8.

¿Los dos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo? ¿Por qué?

Si del espacio muestral se eliminan todos los resultados que corresponden al evento E, ¿cómo es el resto del espacio muestral respecto al evento F?

¿Cuál es la probabilidad del evento E, P (E)?

¿Cuál es la probabilidad del evento F, P (F)?

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dados y sumar sus caras superiores

el resultado sea mayor o menor que 8?

¿Al lanzar ambos dados y sumar sus caras superiores es seguro que el resultado sea mayor o menor que 8? ¿Por qué?

e) Evento G: El dado azul cae en número par. Evento H: El dado azul cae en número non.

¿Estos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo?

De acuerdo con el espacio muestral, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento G?

De acuerdo con el espacio muestral, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento H?

Comparen sus respuestas con las de el resto del grupo, revísenlas y valídenlas con ayuda de su profesor.

51

BLOQUE 1

Página 51

• 6———36

• 30———36• 1

• Sí.

d) • No, si la suma es mayor que 8, no puede ser al mismo tiempo menor que 8 y viceversa.

• El nuevo espacio muestral incluye los casos favorables del evento F y los casos en que la suma es 8.

• 10———36

• 21———36

• 31———36

• No, porque la probabilidad no es 1 ya que puede ocurrir el evento “obtener 8”.

e) • No.

• 1——2

• 1——2


51

Eventos independientes

5. En equipos analicen las siguientes situaciones. Argumenten sus respuestas.

a) Si en 5 volados ha salido 4 veces “sol” y 1 vez “águila”, ¿existe alguna ventaja si en el siguiente lanzamiento elegimos sol? Justifi quen su respuesta.

¿Cuál es la probabilidad de que también en esta ocasión caiga sol? Expresen el resultado como número decimal.

b) En una bolsa oscura se guardan tres bolas: dos blancas y una roja.El primer experimento consiste en extraer una bola, registrar su color y regresar-la a la bolsa.

¿Cuál es la probabilidad de sacar la bola roja en el primer intento? Expresen el

resultado como fracción.

¿Cuál es la probabilidad de sacar otra vez la bola roja en el segundo intento?

Expresen el resultado como fracción.

En una variante, la bola sustraída no se regresa a la bolsa y se hacen dos extrac-ciones. Para la variante del experimento:

¿Cuál es la probabilidad de sacar la bola roja en el primer intento? Expresen el

resultado como porcentaje.

¿Cual es la probabilidad de extraer la bola roja en el segundo intento? Consideren

todas las posibilidades e indiquen las respuestas como porcentaje.

Integración4. Completen en grupo las siguientes frases con ayuda de su profesor.

a) Dos eventos que en conjunto completan y no pueden ocurrir de manera

simultánea se llaman eventos complementarios.

• El valor numérico de la probabilidad de que ocurra uno de los eventos complementarios al

realizar un experimento aleatorio en relación a su evento complementario es:

b) Los eventos que no pueden ocurrir de manera simultánea al realizar un experimento se

denominan eventos mutuamente excluyentes. Por ejemplo,

Fig. 1.41

52

SECUENCIA 6

Página 52

Integración 4. a) el espacio muestral.

• P(A) 1 � P(B), donde A es uno de los eventos y B es el com-plementario.

b) R. L.

Eventos independientes

Sugerencia didáctica. Analicen la idea errónea 2.

5. a) No, porque la probabilidad de que caiga “águila” es de 50%, al igual que la de obtener “sol”.• 0.5

b) • 1——3

• 1——3

• 0.33%• 0% si en la primera extracción se sacó la bola roja. Y 50% si

en la primera extracción se sacó bola blanca.


52

Integración6. Completen en grupo la siguiente frase con la ayuda de su profesor.

a) Dos eventos se llaman independientes si, al ocurrir cualquiera de ellos, la probabilidad de que

ocurra el segundo (al repetir el experimento) no se ve afectada. Por ejemplo,

Consolido mis aprendizajes1. Resuelvan en parejas el siguiente problema.

a) Toda la superfi cie de un cubo de madera de 3 cm por lado se pinta de color gris. Después se hacen 6 cortes para obtener 27 cubitos de 1 cm3 cada uno. Todos los cubitos se introducen en una bolsa oscura y luego se extrae uno de ellos, se registra cuántas de sus caras están pintadas de gris y por último se regresa a la bolsa.

Supongan que en el primer intento salió la bola roja. ¿Cuál es la probabilidad de

sacar la bola blanca en el segundo intento?

Ahora supongan que en la primera extracción se sacó la bola roja. ¿Cuál es la

probabilidad de extraer la bola roja en el segundo intento?

Fig. 1.42

• ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes eventos?• Evento A: que al sacar un cubo tenga 3 caras pintadas: P (A) !• Evento B: que al sacar un cubo tenga 2 caras pintadas: P (B) !• Evento C: que al sacar un cubo tenga 1 cara pintada: P (C) !

• Evento D: que al sacar un cubo no tenga ninguna cara pintada: P (D) !• ¿Cuál es el evento más probable? • ¿Es más probable que ocurra ese evento o que no ocurra?• Escriban dos eventos que sean complementarios.• Escriban dos eventos que sean mutuamente excluyentes.

Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otros equipos y valídenlos en grupo con ayuda de su profesor.

53

BLOQUE 1

Página 53• 1 • 0

Integración 6. a) R. L.


1. a) • • P (A) 8———27

• P (B) 12———27

• P (C) 6———27

• P (D) 127

• El B.

• Que no ocurra.

• R. L.

• R. L.

Sugerencia didáctica. Al resolver la actividad planteada, el alumno pondrá a prueba los conocimientos acerca de eventos complementa-rios y mutuamente excluyentes que adquirió en la secuencia.


53

¿Qué

opi

nan

los

dem

ás? Inicio a partir de lo que sé

En parejas resuelvan lo siguiente.

Alba quiere iniciar un negocio de venta de tenis en el mercado de su colonia.

a) ¿Qué le recomendarías a Alba para que pueda saber cuáles son los modelos de tenis que más compran las personas que viven en su colonia y así tener mayores posibilidades de éxito en su negocio? ¿Por qué?

Resuelvo y aprendo

Identifi cación de la población en un estudio estadístico

1. En equipos respondan las preguntas a partir de las situaciones siguientes.

a) Los maestros de la escuela secundaria 23 han detectado una baja en el desempeño académico de sus alumnos, y algunos piensan que en parte se debe al uso excesi-vo de las redes sociales por parte de los alumnos. Para sustentar su hipótesis, los maestros revisaron la consulta que el Instituto Mexicano de la Juventud realizó a personas entre 12 y 29 años sobre si tenían una cuenta en redes sociales. La grá-fi ca muestra los resultados de acuerdo con las respuestas.

Fig. 1.43 Fuente: http://www.juridicas.unam.mx/invest/areas/opinion/envaj/pdf/11-redes.pdf

¿A qué grupo de personas se le aplicó la encuesta?

¿Qué información se puede conocer a partir de la gráfi ca?

¿Esta información es representativa de los alumnos de la secundaria 23? Justifi quen su respuesta.

Sí

No

No sabe o no contestó

0.1 %

37.4 %

62.5 %

54

SECUENCIA 7Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

Antecedentes• Lee información presentada en gráficas de barras y circulares.

Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.• Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas

poligonales.• Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar

las propiedades de la media y la mediana.

Ideas erróneas 1. Algunos alumnos asocian el término población sólo con cuestio-

nes demográficas. Sin embargo, en estadística se refiere a cual-quier conjunto susceptible de estudio.


Página 54a) R. M. Hacer una encuesta en su colonia acerca de modelos,

colores y tallas de tenis.

Resuelvo y aprendo

Identificación de la población en un estudio estadístico 1. a) • A personas entre 12 y 29 años de edad.

S7


54

Estudio estadístico: es un proceso o método mediante el que se obtienen, organizan, representan y analizan datos para obtener conclusiones acerca de ellos.

¿Consideran que los resultados de la encuesta demuestran que los alumnos de secundaria pasan mucho tiempo en redes sociales? Justifica tu respuesta.

¿Qué datos necesitarían para saber si la hipótesis de los maestros es correcta?

Escriban una pregunta con la que se pueda conocer cuáles son las redes sociales más populares.

Comparen sus respuestas con las de otros equipos y con apoyo de su profesor veri-fiquen que sean correctas.

En una encuesta, la población es el grupo total de personas o cosas que se considera como objeto de estudio o del cual se obtiene información.

b) No siempre es posible conocer las características o el comportamiento de una población mediante una encuesta; por ejemplo, si se quiere saber cuántas veces un foco se enciende y apaga antes de fundirse, o la distancia que cubren en el salto de longitud un grupo de atletas. En estos casos es necesario realizar un experimento estadístico, es decir, un experimento para observar y medir las carac-terísticas deseadas.Escriban cuáles son las poblaciones en estudio de los dos ejemplos mencionados en el párrafo.

¿Cómo obtendrían los datos en ambos casos?

¿Qué tipo de medida de tendencia central será la más adecuada para resumir el número de veces que se pude encender y apagar un foco antes de fundirse?

¿Cuál será la medida más representativa para indicar la distancia que puede cubrir un grupo de atletas en el salto de longitud?

Integración2. En grupo y con ayuda de su profesor realicen en su cuaderno lo que se pide.

a) Escriban cómo identificar la población de un estudio estadístico.b) Expliquen cómo identificar cuándo es adecuado aplicar una encuesta o un experimento

estadístico para obtener información en un estudio estadístico.

55

BLOQUE 1

(Continúa de la página 54)• Más de la mitad de personas entre 12 y 29 años tienen una

cuenta en redes sociales.• R. M. No, ya que el rango 12 a 29 años involucra varias edades

mayores a las de los alumnos de secundaria. Además, los re-sultados representan en general a los jóvenes de México, más que a los alumnos de la secundaria 23.

Sugerencia didáctica. Discuta con los alumnos la idea errónea 1.

Página 55• R. M. No, porque los resultados representan información de

personas con edades mayores a las de los alumnos de se-cundaria.

• R. M. El porcentaje de alumnos de la secundaria 23 que tiene una cuenta en las redes sociales y el tiempo que ocupan en las redes sociales.

• R. M. Si usas alguna red social, ¿cuál es tu favorita?b) • Los focos y los atletas del grupo.

• R. M. Habría que encender y apagar varios focos y registrar hasta qué momento se funde cada uno. Y cada atleta tendría que hacer el salto de longitud para registrar las distancias.

• R. M. El promedio o media aritmética.• R. M. Si el grupo de atletas está en igualdad de condiciones

físicas, el promedio puede ser la medida más representati-va. De otro modo, conviene usar la mediana.

Integración 2. a) R. M. Hay que determinar qué objeto o tipo de persona lleva

a cabo la actividad que interesa para el estudio estadístico. b) R. M. Se usa una encuesta para recolectar datos que se quieren

conocer acerca de una población. Se usa un experimento cuando se busca obtener el resultado de una acción sobre la cual se tiene un poco de control.


55

Elegir una muestra

1. En equipos realicen lo que se indica.

a) En 2012 se llevó a cabo la Encuesta Nacional de Valores en Juventud 2012 para conocer las actitudes, opiniones y valores de la población joven de México. Para ello se entrevistó en sus viviendas a 5 000 personas entre 12 y 29 años. En la figura 1.44 se muestran los resultados a la pregunta: ¿Alguna vez intentaste o has intentado comenzar tu propio negocio?Si en 2012 en México había 36.2 millones de jóvenes entre 12 y 29 años, ¿qué porcentaje de la población se consultó para realizar la encuesta?

A partir de esta respuesta, y teniendo en cuenta que se realizó una encuesta aleatoria, ¿los resultados se pueden considerar representativos de los habitantes de la República Mexicana de entre 12 y 29 años? Justifiquen su respuesta en su cuaderno.

Reflexionen. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de realizar una encuesta a toda la población en estudio en vez de encuestar a una fracción de ella?

2. En equipos contesten lo siguiente.

a) El Instituto de Cultura de la ciudad de Valparaíso realizó una encuesta a dos muestras de la población para conocer cuántos libros al año leen los habitantes mayores de 7 años.

Muestra 1: 2 000 personas en distintas bibliotecas y círculos de lectura. Muestra 2: 450 personas en la calle en distintos puntos de la ciudad.

b) Una compañía de telecomunicaciones del estado de Veracruz eligió dos muestras para saber con qué frecuencia se conectan a internet, en promedio, jóvenes cuyas edades se encuentran entre 12 y 16 años.

Muestra A. 5 000 personas de 12 a 16 años en establecimientos de renta de computadoras del estado de Veracruz.

Muestra B. 1 000 personas con edades entre los 12 y 16 años en la vía pública en 25 municipios del estado de Veracruz.

¿Cuál de las dos muestras es más representativa de la población en estudio?

¿Por qué?

Fig. 1.44

Te invito a…

visitar la siguiente página electrónica www.edutics.com.mx/4c5 y diseñar una encuesta en línea sobre cuáles son los alimentos que consumen los adolescentes en la escuela. (Consulta: 9 de julio de 2013).

Muestra: conjunto representativo de la población en un estudio estadístico. El número de individuos de la muestra es menor que el de la población.

83.1 %

16.4 %

0.5 %

Sí

No

No sabe o no contestó

56

SECUENCIA 7

Página 56

Elegir una muestra 1. a) • 0.013 8%

• R. M. Sí se pueden considerar resultados representativos, si se realizaron considerando las condiciones de la población del país en sus debidas proporciones.

Reflexionen. Las ventaja es que se obtendrían los datos exactos que se quieren conocer acerca de la población. La desventaja es que si la población es muy grande, se requerirían muchas personas dedicadas a hacer la encuesta, además de mucho tiempo y recursos económicos.

2. a) • Los habitantes mayores de 7 años de edad.• La muestra 2, ya que seleccionaron personas al azar. La

muestra 1 altera los resultados de la encuesta, pues sólo in-cluye a personas que tienen el hábito de la lectura.

b) • La muestra B, ya que las personas encuestadas fueron elegidas al azar.


56

Si la muestra estuviera formada sólo por personas con acceso a internet, ¿sería representativa de toda la población? ¿Por qué?

c) En una estación de radio se quiere saber quién es el cantante de moda entre los adolescentes. ¿Cuál de las siguientes mues-tras es más representativa de la población en estudio?

200 adolescentes que llamaron libremente a la estación de radio.

200 adolescentes entrevistados a la salida de varias secundarias.

d) En equipos analicen las siguientes maneras de elegir una muestra. Señalen si en general éstas son representativas de la población en estudio o sólo en algunos casos. Justifiquen sus respuestas en sus cuadernos e incluyan ejemplos.

Una muestra está formada sólo por voluntarios. Los individuos de la muestra se eligen al azar.

Cuando una muestra conserva las mismas características de la población en estudio se llama muestra representativa.

Comparen sus respuestas con las de otros equipos, discútanlas y con apoyo de su profesor escriban sus conclusiones.

Integración3. En grupo, con ayuda de su profesor, elijan un estudio estadístico sobre

un tema que les interese, y con base en él escriban un procedimiento para elegir la muestra representativa.

¿Qué actividad realizas en tu tiempo libre?

Reunirse con amigos 512

Ver televisión 283

Hacer deporte 293

Escuchar música 241

Otra 691

Reunirse con amigos 25.3%

Hacer deporte 14.5%

Ver televisión 14.0%

Escuchar música 12.0%

Otra 34.2%

Fig. 1.45

Fig. 1.46

Fig. 1.47

Fig. 1.48

Presentar los resultados

4. En equipos resuelvan en su cuaderno las siguientes situaciones.

a) Para conocer las actividades que realizan los alumnos en su tiempo libre, los maestros de la secundaria 23 decidieron realizar una encuesta. Los resultados presentados en las figuras 1.45, 1.46, 1.47 y 1.48 muestran las respuestas a la pre-gunta: “¿Qué actividad realizas con mayor frecuencia en tu tiempo libre?”.

8007006005004003002001000

512

Reunirsecon

amigos

Vertelevisión

Hacerdeporte

Escucharmúsica

Otra

283 293 241

691

8007006005004003002001000

Reunirsecon

amigos

Vertelevisión

Hacerdeporte

Escucharmúsica

Otra

512

283 293 241

691

57

BLOQUE 1

Página 57• No, porque no se considerarían a los jóvenes entre 12 y 16

años que no tienen acceso a internet.c) La segunda muestra, ya que la población de la encuesta es más

representativa de la población general. d) R. M. Si se busca conocer un dato acerca de un conjunto de

personas que tienen una característica en común, entonces la muestra puede estar formada por voluntarios que tengan esa característica. Si se quiere conocer un dato de la población en general, los integrantes de la muestra deben ser elegidos al azar.

Integración 3. R. L.


57

¿Cuáles de las presentaciones muestran prácticamente la misma información? ¿Con cuál de las presentaciones no es posible saber el total de individuos que conformaron la muestra? ¿Por qué? ¿Con cuál presentación es más fácil comparar la información? ¿Por qué?

b) Supongamos que se desea llevar un registro del valor del oro en los últimos meses. ¿Cuál de las presentaciones sería más conveniente para mostrar sus fl uc-tuaciones? ¿Por qué?

Consolido mis aprendizajes1. En parejas retomen el problema inicial y respondan en su cuaderno.

a) ¿Qué tipo de estudio estadístico es útil para que Alba tenga éxito en su negocio?b) ¿Cuál es la población en estudio?c) ¿El estudio estadístico se podría realizar a toda la población o sólo a una muestra? Si fuera

una muestra, ¿cómo la elegirían para que fuera representativa? Argumenten su respuesta.d) ¿Qué representación sería la más adecuada para presentar los resultados? Justifi quen su

respuesta.

2. Elijan uno de los siguientes temas para realizar una encuesta o sugieran algún otro que les parezca más interesante.

a) ¿Cuál es el grado de estrés de las personas?b) ¿Cuánto tiempo dedican los estudiantes de tu escuela a jugar videojuegos? ¿Esto afecta su

nivel de aprovechamiento escolar?c) ¿Cuál es el grado de acoso escolar o bullying en tu escuela?

d) Otro tema:

• Anota cuál es la población en estudio para realizar la encuesta. • Apliquen la encuesta en equipos y registren los datos en su cuaderno.• ¿Qué tipo de representación gráfi ca es la más adecuada para presentar los resultados de la

encuesta? • Obtengan conclusiones, escríbanlas en su cuaderno y preséntelas a sus compañeros.• Propongan acciones a seguir con base en sus resultados y conclusiones.

3. Dividan el grupo en equipos; la mitad elegirá uno de los siguientes experimentos y la mitad el otro.

a) Número de palabras por minuto que lee una persona en voz alta.b) Cantidad de objetos o nombres que pueden memorizar tus compañeros en determinado

tiempo.• Indiquen la población en estudio en cada caso y decidan el tamaño de la muestra.• ¿Cuántas veces deben repetir los experimentos para obtener los datos sufi cientes y que su

respuesta sea confi able?

En grupo comparen sus procedimientos y resultados. Discutan cuáles les parecen más acertados y expliquen su elección.

58

SECUENCIA 7

Página 58Presentar los resultados 4. a) • Figuras 1.45, 1.46 y 1.48, ya que muestran cantidades absolu-

tas en lugar de porcentajes.• Con la figura 1.47, ya que los resultados se presentan como por-

centajes y no se conoce a cuántas personas equivale el 100%.• R. L. Se espera que los alumnos escojan la gráfica de barras,

aunque algunos podrían preferir la gráfica poligonal o de pastel. No se espera que elijan la tabla.

b) R. L. La figura 1.48, ya que recorrer la línea de izquierda a derecha se puede interpretar como el transcurso del tiempo (sus valores se indicarían en el eje horizontal). Además, el aumento o la disminución del valor del oro se podría apreciar con facilidad como el ascenso o descenso de la línea poligonal que se usa en este tipo de gráfica.


1. a) Una encuesta.b) Las personas que viven en su colonia.c) R. M. Si el número de personas que vive en su colonia es pequeño,

entonces puede encuestar a toda la población; de lo contrario, tendrá que elegir una muestra. Los integrantes de la muestra deben ser elegidos al azar.

d) La gráfica de pastel o de barras pero usando porcentajes, ya que si se considera una muestra de la población y los resultados se indican con cantidades absolutas, estos pueden no tener sentido. Por ejemplo, si en la colonia vivieran 700 personas y se toma una muestra de 100 para conocer el color favorito en tenis y como resultado se obtiene que 20 personas prefieren el azul, para expresar este dato en una gráfica se tendría que especificar el tamaño de muestra y la población; sin embargo, decir que el 20% de la población prefiere el color azul aporta información de inmediato.

2. R. L. 3. R. L.


58

Congruencia y semejanza de triángulos

En esta sección aprovecharemos las ventajas que brindan los software de matemáticas que combinan geometría, álgebra y cálculo. En internet puedes obtener uno gratuito y de libre distribución, pregunta a tu maestro cuál es el más adecuado.

1. Abre el programa (figura 1), da clic en el botón de Vista gráfica y desactiva, si es necesario, las opciones Ejes y Cuadrícula (las herramientas de cada programa varían, incluso en las versiones del mismo programa, busca las que sean análogas a las que aquí mostramos).


Te invito a…

entrar a la páginawww.edutics.mx/4hC donde podrás obtener un software gratuito de geometría, álgebra y cálculo. (Consulta: 29 de octubre de 2014).

Fig. 1

Fig. 2

2. Haz clic en el triángulo inferior del icono y selecciona que corresponde con la opción Recta que pasa por Dos Puntos (figura 2). Da clic dos veces sobre el espacio de trabajo para elegir dos puntos, A y B, por los que pasará la recta.

3. Haz clic sobre el triángulo inferior del ícono , selecciona la opción para dibujar una recta paralela a la primera, colócala en un punto C no colineal con la recta AB .

Recta que pasa por Dos Puntos

59

BLOQUE 1


Página 59

Sugerencia didáctica. La sección de “Habilidades digitales” es una oportunidad para que los alumnos desarrollen destrezas computacio-nales. El uso de programas de geometría dinámica permite visualizar distintos aspectos matemáticos con ejemplos concretos gracias a su facilidad para trazar figuras geométricas y manipularlas de distintas formas.

Apoye a los alumnos en cada paso propuesto en la actividad, especial-mente cuando las funciones del programa que usted utilice no coinci-dan exactamente con las que aquí se muestran.

La primera parte de la sección consiste en observar la propiedad de que los triángulos internos formados por las diagonales de un para-lelogramo son congruentes. Esta propiedad se visualiza al rotar los triángulos y ver que sus vértices coinciden con los vértices correspon-dientes del triángulo congruente.


59

4. Con la herramienta dibuja una recta que pase por los puntos B y C, y otra que sea paralela a esta última y que pase por el punto A; da clic sobre el ícono

A, selecciona

la opción Nuevo Punto y coloca en el punto D en la intersección de las rectas paralelas a AB y a BC . Así obtendrás un paralelogramo. Haz clic sobre el triángulo inferior del ícono , selecciona la opción Segmento entre Dos Puntos y dibuja las diagonales del paralelogramo. Coloca el punto E sobre las intersección de las diagonales (figura 3).

Fig. 3

Fig. 4

5. Da clic en el ícono y selecciona la herramienta Polígono, traza uno de los triángulos formados por el paralelogramo y sus diagonales. Después da clic sobre el ícono

a = 2

y selecciona la opción Deslizador. A continuación haz clic en la parte inferior del área de trabajo; aparecerá una ventana con las opciones del Deslizador. Selecciona el campo Ángulo y escribe un nombre para el ángulo; en el campo Intervalo especifica un mínimo de 0° y un máximo de 180°, en el incremento escribe 1° y oprime el botón Aplica. En el campo Entrada escribe: Rota[nombre_del_poligono, nombre_del_angulo, E], para conocer el nombre del polígono coloca el cursor sobre el polígono que trazaste, el nombre del ángulo es el que habías elegido, y presiona la tecla Entrar.

6. Traza otro triángulo que sea adyacente con el primero en forma análoga a como se trazó el primero, y repite las instrucciones anteriores; mueve los puntos sobre los deslizadores de los ángulos y observa lo que ocurre (figura 4).

a) ¿Cómo son los triángulos ADC, AED y AEB en comparación con los triángulos CDB, CEB y DEC, respectivamente?

Para conocer cuál es el nombre de un objeto basta colocar el cursor sobre él

Desliza de 0° a 180°

Entrada

60

HABILIDADES DIGITALES

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Respuestas 6. a) Los triángulos son congruentes, respectivamente.


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Fig. 5

b) ¿Cuál criterio de congruencia usaste para saber si estos triángulos son o no congruentes?

Para una segunda actividad con el programa de dibujo abre una nueva ventana a partir del menú Archivo.

7. Da clic en el triángulo inferior del ícono , selecciona la opción y traza una semicircunferencia. Luego, con la herramienta Polígono, traza un triángulo inscrito a la semicircunferencia (figura 5). Traza una recta perpendicular a la hipotenusa del triángulo que pase por el vértice opuesto. Haz clic sobre el triángulo inferior del icono A

, selecciona la opción Intersección de Dos Objetos y añade un punto D en la intersección de la hipotenusa y la recta perpendicular.

Con la herramienta Polígono traza los triángulos que se forman al intersecar el primer triángulo con la recta perpendicular a la hipotenusa. Da clic en el ícono , selecciona la herramienta Ángulo y señala los ángulos interiores de ambos triángulos (figura 5).

8. Abre el menú Vista y selecciona la opción Hoja de Cálculo. Identifica sobre la Vista Algebraica el nombre de los catetos de los tres triángulos y su magnitud. Para ello da clic sobre el cateto que desees identificar. De acuerdo con el nombre que los representa en la Vista Algebraica escribe en las celdas de la hoja de cálculo los siguientes cocientes: AC

CB, AD

CD, CD

BD, AB

AC, AC

AD, BC

CD (figura 5).

9. Haz clic en el ícono y selecciona la opción Elige y Mueve. Mueve el punto C, que corresponde al vértice del triángulo que no está en los extremos de la semicircunferencia y observa qué ocurre con los datos en la Vista Algebraica y la Hoja De Cálculo.a) ¿Cómo son los dos triángulos que se forman al intersecar cualquier triángulo

rectángulo con la línea recta que pasa por la altura respecto a su hipotenusa?

b) ¿Con cuál o cuáles criterios de semejanza sabes si el triángulo original es o no semejante a los triángulos formados a partir de la intersección de la recta?

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Sugerencia didáctica. En la segunda parte se observa la semejanza de los triángulos que se forman al dividir un triángulo rectángulo en dos triángulos trazando una recta perpendicular a su hipotenusa que pasa por el vértice opuesto. Aquí se aplica la proporcionalidad entre los lados correspondientes para verificar la semejanza.

El trazo del triángulo rectángulo se logra gracias a la propiedad de que el ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del ángulo central con el que tiene un arco común. En nuestro caso, el triángulo se traza en una semicircunferencia con su lado mayor igual al diáme-tro de la circunferencia, por lo que el ángulo central del diámetro es de 180° y, por tanto, el ángulo inscrito (que se encuentra en el vértice opuesto al diámetro) medirá 90°.

b) Los triángulos ADC y CDB son congruentes por el criterio LLL. Las congruencias 'AED { 'CEB y 'AEB { 'DEC se pueden justificar con el criterio ALA.

9. a) Semejantes. b) Con el criterio AA.


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Ponte a prueba PISA1. A las diez de la mañana la sombra de un árbol mide 2.6 m; a la misma hora, un palo que mide 1.4 m de largo

clavado verticalmente tiene una sombra de 0.84 m.

a) Explica si los triángulos que se forman entre el árbol y su sombra y entre el palo y su sombra son semejantes.

b) ¿Cuánto mide la altura del árbol?

2. El tercer grado de una escuela secundaria está formado por tres grupos: A, B y C. Se sabe que de los 35 alumnos del grupo A, 10 hablan inglés; 12 de los 30 alumnos del grupo B también lo hablan, y en el grupo C, de los 28 escolares que forman el grupo, 15 hablan ese idioma.

a) Si en una urna se coloca una tarjeta con el nombre de cada uno de los estudiantes de los tres grupos y se toma uno al azar, se lee y se regresa a la urna, ¿cuál es la probabilidad de que la tarjeta seleccionada sea la del nombre de un alumno que sepa inglés?

• Y, ¿cuál es la proabilidad de que sea el nombre de un alumno que no hable inglés?

• Si al sacar una tarjeta ésta corresponde a la de un alumno que sabe inglés, ¿en la segunda extracción cambiaría la probabilidad de que la tarjeta seleccionada sea la de un alumno que también hable inglés? Explica tu respuesta.

• ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción una tarjeta tenga el nombre de un alumno del

grupo A?

• Si la tarjeta siempre se regresa a la urna, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar otra el nombre sea el de

un alumno del grupo B?

b) Si ahora, después de sacar una tarjeta de un alumno que no sabe inglés, no se regresa a la urna, ¿cambiará la probabilidad de que en la segunda extracción se saque el nombre de un alumno que sí sabe inglés con respecto a la situación anterior? ¿Por qué?

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PONTE A PRUEBA PISA

Ponte a prueba PISA

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Respuestas 1. a) Los triángulos que se forman sí son semejantes.

b) El árbol mide 4.33 m de alto. 2. a) La probabilidad es aproximadamente 0.4.

• Aproximadamente 0.6.• No, no cambiaría. Después de seleccionar una tarjeta, ésta

se regresa a la urna, entonces en la segunda extracción la probabilidad es la misma.

• Aproximadamente 0.38.• Aproximadamente 0.32.

b) Sí, cambiaría. Como la tarjeta que se seleccionó es de un alumno que no habla inglés, en la segunda extracción habría más tarjetas de alumnos que hablan inglés con respecto al total, es decir, habría 37 tarjetas de alumnos que hablan inglés de un total de 92 tarjetas.


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a) ¿Qué periodo abarca la información?

b) Si la información se obtuvo mediante una encuesta, ¿qué pregunta se pudo plantear para obtenerla?

c) ¿A qué grupo de personas se aplicó la encuesta?

d) Si en el ciclo escolar 2010–2011 en el nivel medio superior se inscribieron 4 187 528 alumnos, ¿cuál fue el porcentaje de deserción para en ciclo?

e) La proporción entre el número de hombres que desertaron en relación con el número de mujeres fue de 1.22.

¿Cómo se obtiene esa proporción y cuál es su significado?

3. Para obtener el campeonato en un torneo de tenis de mesa, cada participante debe enfrentarse al resto; es decir, todos los participantes deben jugar una partida contra todos los demás. De esta forma, el número de encuentros depende del número de participantes como se puede observar en la siguiente tabla:

Participantes 1 2 3 4 5 6

Número de encuentros 0 1 3 6 10 15

a) Subraya el número de partidas que se jugarían si participan en el torneo 20 jugadores.

• 40 juegos • 210 juegos • 190 juegos • 171 juegos

4. La gráfica siguiente presenta información sobre la deserción escolar en el país.

Fig. 1

Desertores totales en la educación media superior en México

Ciclo escolar 2010 - 2011

50 0000

100 000

150 000

200 000

250 000

300 000

350 000

400 000

Hombres Mujeres

Hombres342 929 Mujeres

282 213

Fuente: SEMS con información de las Estadísticas del Sistema Educativo Nacional, DGP, SEP.

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Respuestas 3. a) • 190 juegos 4. a) El ciclo escolar 2010-2011.

b) R. M. “¿Durante el ciclo escolar 2010-2011 desertaste tus estudios?”

c) A los alumnos de educación media superior en México.d) 15%e) Se obtuvo al dividir el número de hombres que desertaron

entre el número de mujeres que lo hicieron, es decir, 342 929 y�282 213 |�1.22.

Significa que por cada mujer que deserta, lo hacen aproximadamente 1.22 hombres.


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Ponte a prueba ENLACE1. El producto de dos números consecutivos es 870. ¿Cuáles son esos números?

a) 29 y 30 c) !30 y !29b) 30 y 31 d) Las respuestas a) y c) son correctas.

2. ¿Qué opción expresa una propiedad de las figuras geométricas semejantes?

a) Sus lados correspondientes son congruentes y sus ángulos distintos, pero proporcionales.b) Sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos distintos, pero proporcionales.c) Sus ángulos correspondientes son iguales.d) La suma de los ángulos de una figura es proporcional a la suma de los ángulos de la otra.

3. Las medidas de los lados de un triángulo son 7 cm, 9 cm y 15 cm. Si al construir un triángulo semejante al anterior se traza un lado de 7.7 cm y otro de 16.5 cm, ¿cuál es la medida del tercer lado?

a) 9.7 cm c) 15.5 cmb) 9.9 cm d) 10.5 cm

4. ¿A cuál de las siguientes tablas de datos le corresponde la gráfica?

x y

!2 0

!1 1

0 2

1 3

2 4

x y

0 0

1 3

2 6

3 9

4 12

x y

0 2

1 2

2 2

3 2

4 2

x y

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

a) b) c) d)

5. Si dos triángulos rectángulos tienen las medidas de dos de sus lados correspondientes iguales, entonces son:

a) congruentes. c) semejantes. b) proporcionales. d) isósceles.

6. Los datos de una encuesta muestran la frecuencia de edades por sexo en una comunidad. ¿Cuál de los siguientes tipos de gráficas es más conveniente para representarlos?

a) De sectores. c) De barras.b) Circular. d) De caja-brazos.

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PONTE A PRUEBA ENLACE


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Respuestas 1. d) Las respuestas a) y c) son correctas, 2. c) Sus ángulos correspondientes son iguales. 3. b) 9.9 cm 4. b) x y

0 0

1 3

2 6

3 9

4 12

5. a) congruentes 6. c) de barras


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Contenido


Sí No

Resuelvo problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Construyo figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y analizo sus propiedades.

Explico los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

Analizo representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación.Identifico las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

Represento tabular y algebraicamente relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

Conozco la escala de la probabilidad. Analizo las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

Diseño una encuesta o un experimento e identifico la población en estudio. Discuto sobre las formas de elegir el muestreo. Obtengo los datos de una muestra y busco herramientas convenientes para su presentación.


Ahora sé

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Ahora sé

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Sugerencia didáctica. La sección Autoevaluación es una oportuni-dad para que evalúe los avances en el conocimiento y el desarrollo de las habilidades de sus alumnos. La ventaja que ofrece esta sección es la evaluación que realiza cada alumno de manera personal. Esta autoevaluación no debe limitarse a la respuesta con un sí o un no al logro del alcance que establece cada contenido del bloque, sino a la justificación de esa respuesta. A partir de la justificación de sus alum-nos y de los resultados de su evaluación continua, establezca con ellos las formas de mejorar su aprovechamiento.


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Libros del alumno

Código SEP: S00136ISBN SEP: 978-607-463-937-7ISBN: 978-607-463-938-4

Código SEP: S00149ISBN SEP: 978-607-463-967-4ISBN: 978-607-463-968-1

• Libro del alumno (Bloque muestra)

• Guía del maestro

• Planificador editable• Generador de exámenes • Ligas de interés

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