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Universidad de La Serena Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas

GUÍA DE EJERCICIOS PLAN REMEDIAL 2012

Números y Proporcionalidad Operatoria en Z, Q, IR: 1) a) Si a es un número natural , ¿cuál es la relación entre las fracciones

p =3

a, t =

3

a −1 y r =

3

a +1?

b) ¿ Cuál es el valor de ( 30 + 5 )2 – ( 30 + 5 ) ( 30 – 5 )?

c) ¿ Cuál de los siguientes números son racionales p = 2⋅ 8, q = 3 + 3 3, r =6

24?

d) Si n = 2 y m = -3 , ¿ cuál es el valor de – nm – ( m + n )? e) Ordene los números: m = 4,51 · 10-6 ; n = 45,1 · 10-5 y p = 451 · 10 -7 de menor a mayor. f) ¿Cuáles números naturales dividen al producto de tres naturales consecutivos? 2) Resuelva ordenadamente cada uno de los siguientes ejercicios, teniendo cuidado con la prioridad de la operatoria y paréntesis: a) [ ( -27 + 15 ) · 2 - 2 ] · -6 + 18 = b) [ 121 : ( 44 : -4 ) + 17 ] · -6 + 9 = c) { 121: (-45 : -9 + -3 · -2 ) }· -3 + 3 = d) {[( -25 - -40) · -2 + 6 ] ·4 + 11} · -3 +15=

e) 4

5

2

3

1

2

5

6− −

=: f)

4

18

2

27

4

541+ −

+ =:

g) =+

−3

23

3

23:

6

15 h)

4

21

4

5+

+ − =

i) 121

108

48

66

27

441⋅ ⋅ − − = j)

13

39

25

35

4

16

9

27: :+ =

k) 1+1+

1

2

1+ 1+

12

2

= l) 3+1+

2

3

3+ 1+

23

3

=

m) 0,00278 · 1000 – 4,5 = n) 19,17 : 1000 - 3,201 =

ñ) 0,08 ⋅ 1600000

0,0004 ⋅ 0,032 = o)

0,0001 ⋅ 54 ⋅ 1029 ⋅ 210 ⋅ 10−3

27 ⋅ 10−1 ⋅ 0,0042=

3) Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, exprese en la forma más simple posible y calcule su valor numérico si es posible:

a) 2+ 3 − 2( )2= b) 1− 18( ) 2 +

1

2

=

c) 543 + 3 403 = d) 16ab23 + 250ab23 − 3 4a2b46 =

e) 5

1− 2+

3

1+ 2= f)

27

2 −1⋅

3

1+ 2=

g) 2 3 − 2 − 2 3+ 2( )2

= h) 1− 3

3−

3 + 23

=

i) 9 18− 3 50− 4 72( )2= j) 1+ 2 + 5( )1− 5 + 2( )=

k) 2 + 18( )2 + 6 7− 4 3 ⋅ 7+ 4 3 = l) 3+ 2( ) 11− 6 2 =

m) 5⋅ 82

3 + 8⋅ 160,75 − 4⋅ 251,5 = n) a343 · a6 · a =

2

Potencias: 1) Exprese en la forma más simple cada una de las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las potencias y calculando su valor si es posible:

a) 2

3

−1

+ 2 14( )−2

+ 115( )−1

= b) 5−1 + 3−2

56

−1 =

c) 1258 ⋅ 625− 3

255 d) 165⋅ 84

326 + 0,6( )−1=

e) 1

2−

1

2

2

+1

2

3

−1

−2

= f) 0,4( )−3 + (−1)931 −2

3

−2

=

g) 5,04

0,000504

3

⋅ 0,001⋅0,0132

0,000132

− 4

= h)

8164

− 8

⋅1627

− 8

43

6 +1,6 =

i) 9n ⋅ 32⋅

1

3−n − 27n

33n ⋅ 9 = j) 9

n

2 + 9−n

2

2

− 32n − 3−2n =

2) Aplicando propiedades de potencias, exprese cada uno de los siguientes ejercicios en la forma más simple: a) 2 · 4n · 8-3n = b) ( na + 1 – 2 na – 2 + n-3 ) · 3na + 3 = c) { a8 : ( a4 : a-3 ) } : a-4 = d) 16 2 – 3x : 8 1 – 5x =

e) a4b5

m3n2 :m4n7

a5b−2

3

:a8b9

m12n14 = f) ( ) =⋅

⋅⋅

−−

−

nn

nn

81

3

327

3921

43

Proporcionalidad Directa e Inversa: 1) Define con tus propias palabras proporcionalidad directa (cuida tu redacción y ortografía). 2) Escribe 5 ejemplos de proporcionalidad directa. 3) Dos amigas tienen una amasandería y venden pan integral (entre otros productos). Ellas saben que 1 kg. de harina les rinde para hacer 1,250 kg. de pan. ¿Cuánta harina necesitan para hacer 30 Kg de pan? ¿Hay alguna proporción entre la cantidad de harina y los kilos de pan? 4) Identificar cuáles son las variables involucradas en el siguiente problema: En una fiesta de colegio se van a comprar bebidas y tortas. Los organizadores estiman que una bebida alcanza para 4 personas y una torta alcanza para 15 personas. ¿Cómo averiguar cuántas bebidas y tortas comprar? 5) De acuerdo al ejercicio anterior expresar mediante fórmulas cuántas bebidas y cuántas tortas se debe comprar. Para esto considerar que a la fiesta irán N personas. 6) Un automóvil rinde 15 km/litro de gasolina. Si en el estanque había 23 litros de gasolina y hemos recorrido en un viaje 90 km., ¿cuánta gasolina nos queda? 7) Si un pantalón cuesta 17.500 pesos y nos hacen un descuento del 20%, ¿cuánto debemos pagar? 8) Para hacer arroz con leche para 6 personas se necesitan 2,5 litros de leche y ¼ kg. de arroz. ¿Qué cantidades se necesitarán para 13 personas? 9) Si el precio de un kilo de nueces fue de $4.250 la temporada pasada y ahora subió un 22,5 %, ¿cuánto debo pagar ahora? 10) Si 12 litros de pintura cuestan $15.000, ¿cuánto costarán 9 litros? 11) Si 20 mecánicos arman 8 máquinas en un día. ¿Cuántos mecánicos se necesitarán para armar en un día 12 máquinas? 12) En un establo con 50 animales, el alimento dura 18 días. ¿Para cuantos días alcanzaría la misma cantidad de alimento si los animales fueran 60? 13) Un grifo que da 0,9 litros de agua por segundo llena un estanque en 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo un grifo que da 0,6 litros por segundo?

3

14) Si X es inversamente proporcional con Y; y además X = 8 cuando Y = 0,5. Calcular X cuando Y = 5. 15) Define con tus propias palabras proporcionalidad inversa (cuida tu redacción y ortografía). 16) Escribe 5 ejemplos de proporcionalidad inversa. 17) Si 4 hombres necesitan 20 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 16 hombres para realizar el mismo trabajo? 18) Una piscina se llena en 14 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse la piscina si el grifo arroja 360 litros por minuto? 19) Si un vehículo demora 5 horas en llegar a su destino a una velocidad de 80 km/h, ¿cuánto demora a 120 km/h? 20) Si entre tú y una amiga demoran 30 minutos en tomarse un litro de chocolate, ¿cuánto demorarías tú solo(a)? ¿Cuánto demorarían entre tres? 21) Suponer que G y H son variables con constante de proporcionalidad inversa 20. ¿Qué pasa con G si H aumenta al doble? ¿Y si disminuye a su tercera parte? 22) En el curso van a organizar una gran rifa, a fin de juntar dinero para un paseo de fin de año. Se necesita juntar $100.000 para el paseo. Además, van a gastar $20.000 para comprar los premios. ¿Cuántos números de rifa deben vender, y a qué precio será cada número? ¿Cuántos números de rifa se deben vender para que cada número cueste $100? 23) Indica cuáles de los siguientes pares de variables son inversamente proporcionales, y cuáles no lo son: a) Números de boletos vendidos en una rifa; total recaudado por la venta de los números. b) Velocidad para recorrer una distancia; tiempo en recorrerla. c) Distancia recorrida por un avión; combustible utilizado por el avión. d) Cantidad de insecticida usado para combatir una plaga de mosquitos; mosquitos que sobreviven. e) Varios amigos desean juntar un cierto capital para iniciar una mini empresa: número de amigos; capital que pondrá cada uno. f) Número de cuotas para pagar una deuda de $500.000; valor de cada cuota. 24) Si un maestro demora 1 día en pintar una habitación, ¿cuánto demoran 2 maestros en pintar 5 habitaciones? ¿Cuántos maestros necesito, si quiero pintar esas 5 habitaciones en un día? 25) Los números 4 y 5 tienen razón inversa 20. ¿Qué número tiene esta misma razón inversa con 6? 26) Encontrar 10 pares de números que tengan razón inversa 36. 27) Un club social organiza una carrera de larga distancia en la cual hay que inscribirse pagando $2.000. La mitad de lo recaudado será repartido entre todos los que demoren menos de 1 hora en recorrer la distancia fijada. ¿Cuánto se llevará de premio cada uno de los que demore menos de 1 hora? 28) Rocío ha comprado una grabadora portátil que cuesta $120.000. La pagará en cuotas y no le cobrarán intereses. Escribe una fórmula que relacione el número total de cuotas N con el valor V de cada cuota. Si no desea pagar más de $25.000 por cada cuota, ¿cuál es el mínimo de cuotas que deberá pagar? 29) Para alimentar 12 caballos durante 20 días se necesitan 174kg de alimento. ¿Cuántos kilos de alimento se necesitarán para alimentar 15 caballos durante 40 días? 30) Con 14 rollos de papel mural de 60 cm de ancho, alcanzan para cubrir una pared de 72m2. ¿Cuántos rollos de 50 cm de ancho se necesitarán para empapelar 75 m2 de pared? 31) Un caminante recorre 120 km andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas diarias tendrá que caminar para recorre 192 km en 12 días?

4

Geometría Ángulos en la circunferencia:

1.- En la figura, los diámetros BDyAC se intersecan en P. Si m ∠ABC = 40, determinar la medida en grados de cada uno de los arcos menores de la circunferencia. 2.- Dos puntos de una circunferencia determinan un arco menor y un arco mayor. Si la medida del arco mayor es 40 grados menos que 4 veces la medida del arco menor. Determinar la medida en grados de cada uno.

3.- En la figura,KSes tangente a la circunferencia en T y la secante KR contiene al punto P, centro de la circunferencia. Si m ∠ K = 35, determinar

la medida del arco QT y m ∠ STR.

4.- En la figura, AB es tangente a la circunferencia. Si las medidas de los arcos BD es 128º, DE es 38º y CE mide 104º, ¿cuáles son las medidas de los seis ángulos. 5.- En la figura, si m ∠ M = 75, la medida del arco MK es 90º y la medida del arco GH es 70º, determinar las medidas de todos los ángulos. Elementos del triángulo: 1.- Demostrar que la mediana o transversal de gravedad correspondiente a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base y biseca al ángulo opuesto de la base. 2.- Demostrar que en un triángulo isósceles, las bisectrices de los ángulos en la base son congruentes. 3.- Demostrar que, las medianas o transversal de gravedad correspondiente a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes. 4.- Demostrar que las alturas de un triángulo equilátero son congruentes. 5.- Demostrar que el perímetro de un triángulo es mayor que la suma de las longitudes de las tres alturas. 6.- En un triángulo equilátero, se dibujaron una mediana o transversal de gravedad, una bisectriz de un ángulo y una altura, desde vértices diferentes. ¿Qué relación hay entre sus longitudes?. Justifique. Teorema de Pitágoras: 1.- En un triángulo rectángulo ∆ ABC, c es la longitud de la hipotenusa, a y b son las longitudes de los catetos. a) Si a = 13 unidades y b = 16 unidades, entonces c = ¿? b) Si a = 24 unidades y c = 25 unidades, entonces b = ¿? c) a) Si a = 13 unidades y b = 16 unidades, entonces c = ¿? d) Si b = 18 unidades y c = 20 unidades, entonces a = ¿? e) Si a = 7 unidades y b = 7 unidades, entonces c = ¿? f) Si a = 6 unidades y c = 12 unidades, entonces b = ¿? 2.- La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 17 centímetros y la de uno de sus catetos es 15 centímetros. Calcular el área del triángulo. 3.- Los lados de un triángulo miden 6 centímetros, 9 centímetros y 11 centímetros, respectivamente. ¿Es éste un triángulo rectángulo? Si lo es, ¿cuál de los lados es la hipotenusa?

5

4.- En el ∆ ABC, el ∠ C es un ángulo recto, AC = 20pulgadas y BC = 15 pulgadas. Determinar: Área del ∆ ABC, AB, altura correspondiente a la hipotenusa. 5.- Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son 24 y 32 unidades. Determinar la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa. 6.- Una mediana o transversal de gravedad de un triángulo equilátero mide 17 pulgadas de largo. Determinar el área del triángulo.

Álgebra Operatoria Algebraica: 1) Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, expresando sus resultados en la forma más simple: a) 22b – [ 8a + { 41b – ( 56a - 31b ) } ] = b) -( 9y -23b) - [ 42y - ( 33b - 21y ) + 18b] = c) ( 17x – 8a ) – [ 23x – ( 14a - 19x) + 31a ]= d) 4 –{51x – (15y + 23x) + [8y + (41 + 26x)]}= e) {2 (3 a – 7b) – 3 (4 a – 3b)}· (2 a – 5b) = f) ( 2 + 4x - 6x2 )( 3 - 6x + 2x2 ) =

g) 3( 2x – 3)2 + 4(5x – 1)(5 x + 1) + 2(2x + 1)(3x – 2) = h) 2m

3+

3n

2

3

=

i) 5 ( x + 4 ) ( x – 4 ) + 6 ( x + 5 ) ( x – 4 ) + 2 ( 2x – 1 )2 + 3 ( 1 + 2x ) ( 2x – 1 ) = j) 3 ( x – 1 )3 + 2 ( 2x – 3 )3 – ( 4x3 – 5x2 + 11x – 36 ) = k) 24x – { - ( 4x –11y ) + ( 21y – 2x ) – 6x } + 31y + [ 19x – { 28y – ( 14x – 51y ) } ] = Factorización: 1) Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones: a) a2 + a - ab - b = b) 2x3 – 2x2 – 60x = c) x4 - 5x2 - 36 = d) 9n2 + 4a2 - 12an = e) 42n + n2 – n3 = f) 2x5 - 72x = g) 64 - x8 = h) x3 – 6x2 – 7x = i) (a + 1)25x2 - (a + 1)30x + 9(a + 1)= j) 4(a + 2)2 - 1 = k) 12x3 – 10x2 – 12x = l) 20 a2 + 7 a – 40 = m) 27 b3 + 64 = n) 5 – 5 x9 = ñ) 12a3 - 111a2 - 90a = o) 4a4 – 17a2 + 4 = p) 120 a + 52 a2 – 12 a3 = q) 6ab2 + 31ab – 30 a = 2) Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

a) 49x2 −25

49x2 + 70x + 25= b)

x2 −3x −28

x2 − x − 20=

c) 3x2 −13x +4

x2 −7x +12= d)

x2 + 3x −10

ax − 2b + bx − 2a=

e) 2x2 −18x +40

3x2 −48= f)

15xy − 5y

9x2 − 6x +1=

6

g) n3+n2 −n −1

n3 −n −2n2 +2= h)

2x3 −2x2y −4xy2

3x2y − 9xy2 +6y3 =

i) x2 −4( ) x2 + x −12( )

x2 + 2x − 8( ) x2 −7x +12( )= j) x4 −13x2 + 36

x2 + 5x + 6( ) x2 − 5x + 6( ) =

3) Resuelva cada una de las siguientes expresiones, simplificando según sea posible y expresando su resultado en la forma más simple:

a) x −2x −1

x2 + 2

: x2 +1−

x −1

x

= b) 1+

x

y

⋅ 1−

y

x

⋅ 1+

y2

x2 − y2

=

c) 1+1

a −1

: 1+

1

a2 −1

= d)

x

y−

y

x

: 1+

x

y

=

e) a −1−

5

a + 3

a + 5 −35

a + 3

= f) x − 6 −10

x + 3

: x + 2 −

2

x + 3

=

g) 2x +1x + 3

−x3 −1

x⋅

2

x2 + x +1= h)

b

a2 − b2 −a

a2 + ab

:

1

a + b+

1

a − b

=

i) =

+−

+

x1

1

x1

x1 j) =

+−

+−++

+−

ba

1

b

1:

bab

a

ab

ba

aba

ba22

k) 15x13x6

10x7x62

2

−+−+

l)2)1x3(

9

1x3

2

+−

+

m)9a9

7a2a

6a6

2a

3a3

1a2

2

−−++

−−−

+−

n) 2x

x:

4x

8x2

3

+−−

ñ)1

1

1

3

1 23

3

+−

−+−

++

+ a

a

aa

a

a

a o)

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

−+÷

−−⋅

−+

−+⋅

−+

22

22

22

22

2

2

)(

)(

4) Demostrar las siguientes igualdades:

a) yx

yx

yx

xy

xy

yx

yx

yx

yx

yx

−+=

+

++

−++

+−

22

22

12

b) 55

55

−++−−+

xx

xx=

5

252 −− xx

c) b

b

b

b

b

b

b

b

b

−=

+−−−−

+−−+

+−−−+

+−−+

1

1)1(

221

1)1(

221

1)1(

221

1)1(

221

22

22

Ecuaciones de primer y segundo grado: 1) Determine la solución de cada una de las siguientes ecuaciones en IR:

a) x −1

6−

2x − 3

8− 5 =

x +10

4 b) ( x – 2 )2 – ( 3 – x )2 = 1 ( 3 )

c) (7x – 3) – 2{ 4x – 7(2 - 3x) – 11x} = 4 – 11x d) 16 – 2(3x–2)(2x–1) = 20– 3(2x+1)(2x – 5)

e) (3x – 2 )2 - 9 ( 7 – 2x + x2 ) = - 1 – 5x f) 3(x −1) −2x − 3

4+

15

6=

4x −1

3+ x +

1

12

g) 3x−1

x 2+7x+12= 1

2x+6 + 76x+24 h)

2x 2+3x−28

− 5x 2+12x+35

= 3x 2+x−20

7

i) 4 · 8 2x + 3 = 32 1 – 3x j) 3x – 2 + 3x + 1 – 2 · 3x = 30

k) 6 14( )3x−7

: 2,5( )2−5x = 0,4( )3− x2

2) Resuelva ordenadamente cada una de las siguientes ecuaciones, puede aplicar las factorizaciones , la fórmula de la ecuación de 2º grado o incógnita auxiliar:

a)x +1

x= 2

1

2 b) 1

2x

62x =

+−+

c) 2x −1 + x + 3 = 3 d) 6

x + 4=

x − 4

0,5

e)32x+3 − 55 = 28⋅ 3x − 2( ) f) 2 − x

x + 3

2

= 82 − x

x + 3

− 15

g) ( x + 4 )2 + ( x – 3 )2 = ( x + 5 )2 h) x − 7 +4

x − 7= 2x + 9

i) x4 + 4ab x2 – ( a2 – b2 ) = 0 j) 4x2 + m2 = 4m x + n2

k) t 2x−3( )x : t 3 = t x−2( )x+2 l) x + x( )+ 1 =2

x + x

m) x + 514 =+x n) 3312 =++− xx

o) 54 =+x

x p) xxx 28 =+

q) 3342 =−+ xx r) 1413 =+−+ xx

Problemas que involucran ecuaciones: 1) Resuelva los siguientes problemas: a) ¿Cuál es el número de tus discípulos? Se le preguntó un día a Pitágoras. “ La mitad, respondió él, estudian Matemáticas, un cuarto los misterios de la Naturaleza, un séptimo meditan en silencio y además hay tres mujeres” . ¿Cuántos discípulos varones más que mujeres tenía Pitágoras? b) La suma de tres números impares consecutivos es 57¿Cuál es el producto entre el mayor y el menor de los números? c) En un triángulo isósceles el ángulo basal tiene 18º más que el ángulo menor ¿Cuánto mide el ángulo exterior basal? d) La suma de un número con su tercera parte es igual a su diferencia con cuatro.¿Cuál es el número? e) La distancia recorrida por un tren es seis veces la distancia recorrida por un camión. Si la distancia total recorrida por ambos es de 700 km, ¿cuánto recorrió el camión? f) La edad de Juan es el triple que la de Felipe y dentro de 20 años será el doble. Hallar la edad actual de Juan. g) de acuerdo con un testamento, una herencia se repartirá entre dos nietas y dos instituciones de caridad. Las dos nietas, Daniela y Macarena, deben recibir el doble de lo que obtenga cada una de las instituciones de caridad, la Cruz Roja y el Hogar de ancianos Atardecer. Si la herencia es de $240.000.000, ¿cuánto recibirá cada nieta? h) Dos números suman 21. Dividiendo el mayor por el menor se halla por cuociente 3 y por resto 1. ¿Cuáles son estos números? i) Se reparten $180.000 entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio de la de C.¿Cuánto recibe B? j) Dos ángulos son suplementarios. Si el doble del menor excede en 45º al mayor, ¿cuánto mide éste último? k) Encuentra dos números pares consecutivos cuyo producto sea 4.224. l) Si el número de diagonales de un polígono es 54,¿cuántos lados tiene el polígono?

m) La diagonal de un rectángulo mide 10cm y su área 48 2cm . ¿Cuáles son las medidas de los lados de el rectángulo?

n) La suma de las áreas de dos cuadrados es 1702cm y la suma de sus perímetros es 72 cm. ¿Cuánto miden sus lados? ñ) Encuentra un número real positivo tal que tres veces su cuarta potencia más siete veces su cuadrado sea igual a 76. o) Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son los números?

p) La suma de un número con su inverso multiplicativo es 5

26, calcula el número.

8

q) Determina dos números si su diferencia es 6 y la de sus cubos es 504.

s) ¿Cuál es el número racional que sumado con su recíproco es igual a 12

25?

2) Plantee la ecuación o sistema que representa al enunciado y resuelva: a) Encuentra la fracción igual a 0,6 si la suma de los cuadrados del numerador y del denominador es 306. b) El área de un rectángulo es 120 cm2 y su diagonal mide 17 cm. Calcula el perímetro del rectángulo. c) Calcula el área de un rectángulo si su perímetro mide 68 cm y su diagonal , 26 cm. d) La diferencia de dos números es 7 y la suma de ellos multiplicada por el número menor es 184. ¿Cuáles son los números? Sistemas de ecuaciones: 1) Determine la solución, si existe, de cada uno de los siguientes sistemas:

a) y(x −1) − x(y − 2) = 3

x(y − 3) − y(x + 5) = 2 b)

5y −19

=2x +1

3− 2

4x − 27

=y + 28

10−1

c)

y(x − 4) = x(y − 6)

5x − 3

−11

y −1= 0

d)

x − y

7= 2x −1

2x −y − 8

2= x

e)

81y2

33x5

11y2

43x2

=+

−−

−=+

+− f)

3⋅ 2x − 5 y =14

5⋅ 2x + 7 y = 54

g)

5y2x3

15

y3x5

4

2y2x3

5

y3x5

6

=+

+−

=+

−−

h) 3x + y = 6

x2 + y2 =18

i) 19y2x3

6xy22 =−

= j) ¿ Para qué valor de a el sistema tiene solución

3x + 5y = 4

(2a − 3)x − 3y =1?

Racionalización: 1)Racionalizar los denominadores:

a) 4 12

3 b)

ba

a

− c)

531

35

−−

d) w−3

4 e)

527

527

−

+ f)

72432

5

++

g) 2

44

+−

t

t h)

325

32

+− i)

ba

abb5a5a2

+−−+

Logaritmos: 1) Determine el valor de cada una de las siguientes expresiones, indicando sus resultados parciales:

a) 3log0,2125− 4log3 3

81= b) 34

log8127+ 23

log2781 =

c) 10⋅ log3216

12⋅ log8 32− log168= d) log4

8 ⋅ 323

128−2=

2) Encuentre el valor de x en: a) log

2128= x b) logx 0,4= −2

3

c) log4 4 163 = x d) log 1

53

x = − 92

3) Descomponga cada una de las expresiones como sumas y/o restas de logaritmos de números primos, sin

9

exponentes:

a) log 96 · 37 = b) log723

304=

4) Encuentre el(los) valor(es) de x en las siguientes ecuaciones: a) log ( x2 – 18 ) = log 3 + log x b) log2{l og3[log2(4x +1)]} =1

c) logx logx log x

= −8 d) 3 · 45x+1 = 7 e) 4 · 53x – 1 = 61 – 2x 5) Determine :

a) 27log

81log

5

5 b) 5log2 66

c) log(10a), si log(a) = x d) log p3 , si log p = x

e) logab

, si log a = m y log b = n f) log(x), si log x25 = 0,4

g) x, si xlog 1)3x5(log 22 =−− h) el desarrollo de log x2 − 7x +10( ) i) logx y ⋅ logy z, expresado como un solo logaritmo. j) el valor de log2 9 ⋅ log3 8

6) La variación de la masa de cierta cantidad de Carbono-14, a través del tiempo puede calcularse por la función M (t) = Mi · e0,886 t donde Mi ( en gramos) es la masa inicial , t (en miles de años) es el tiempo transcurrido y M (en gramos) es la masa de carbono que queda como consecuencia de la desintegración radiactiva. Utilizando esta fórmula se puede calcular la edad aproximada de cualquier fósil. Supongamos que se halló un fósil con 100 g de Carbono-14 y se sabía que cuando estaba vivo, contenía 200 g de Carbono-14. ¿Cuántos años de antigüedad tiene el fósil?

7) La fórmula de interés compuesto es n

if

tCC

++++⋅⋅⋅⋅====100

1 siendo Cf el capital final, Ci el capital inicial, t

la tasa de interés del periodo y n el número de periodos de capitalización. Determine el número de períodos que se debe depositar un cierto capital C, para que al 4% anual de interés permita duplicar el capital inicial.

10

Anexo

Definición:

;log naab bn =⇔=

Casos especiales aa loglog10 =

1,0;0 ≠<> bbacon

aae lnlog =

Propiedades de Potencias 0b,0apara >>

Propiedades de logaritmos 1b,0bpara ≠>

yxbb yx =⇔= ; 1bcon ≠ yxyx bb =⇔= loglog

yxyx bbb +=· yxxy bbb loglog)(log +=

yxyx bbb −=: yxyx bbb loglog):(log −=

xyyx bb =)( xnx bn

b log·)(log =

xxx baba )(· = )(log:)(loglog baa ccb = ; 1c,0ccon ≠>

xxx baba ):(: = 1log =bb

10 =b 01log =b

Importante 2)( ba + = 22 2 baba ++

2)( ba − = 22 2 baba +−

2)( cba ++ = bcacabcba 222222 +++++

3)( ba + = 3223 33 babbaa +++

3)( ba − = 3223 33 babbaa −+−

22 ba − = ))(( baba −+

33 ba − = ))(( 22 bababa ++−

33 ba + = ))(( 22 bababa +−+

2a = a

nba )( + ≠ nn ba +

ba + ≠ ba +

Bibliografía de apoyo para ejercicios de reforzamiento:

� Lehmann, Charles. Álgebra. Limusa. México. Año2008. � Baldor, Aurelio. Álgebra. Compañía Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos.

Venezuela. Año 1990. � Baldor, Aurelio. Aritmética Teórico-Práctica. Cultural. VMéxico. Año 2000. � Swokowski, Earl. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. International Thomson Editores.

Año 1998. � Moise, Edwin. Geometría. Fondo Educativo Interamericano. Colombia. Año 1972. � Pröschle, Francisco. Álgebra. Ediciones Ceres. Chile. Año 1930.