FS-200 FISICA GENERAL II UNAH UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURASFACULTAD DE CIENCIASESCUELA DE FISICA

ANEXO

OBTENCIN DE ERRORES Y ANLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES

INTRODUCCINTodas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisin inevitable debida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la informacin. El principal objetivo de la denominada teora de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. Dado que el valor de las magnitudes fsicas se obtiene experimentalmente por medida (bien directa de la magnitud o bien indirecta, por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con la magnitud problema mediante una frmula fsica) debe admitirse como postulado fsico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de comparacin con el patrn correspondiente en las medidas directas, viene siempre afectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible encontrar en la prctica el valor "cierto" o "exacto" de una magnitud determinada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los lmites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.

CLASIFICACIN DE LOS ERRORESEl error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen est en mltiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes grupos, errores sistemticos y errores accidentales.

Se denomina error sistemtico a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medida y, por tanto, afecta a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y las causas probables pueden ser las siguientes:

Errores instrumentales (de aparatos). Por ejemplo el error de calibrado es de este tipo.

Error personal. Este es, en general, difcil de determinar y es debido a limitaciones de carcter personal. Un ejemplo de ste sera una persona con un problema de tipo visual.

Error de la eleccin del mtodo. Corresponde a una eleccin inadecuada del mtodo de medida de la magnitud. Este tipo de error puede ponerse de manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador, o el mtodo de medida.

Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen en las pequeas variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Las variaciones no son reproducibles de una medicin a otra, y no presentan ms que por azar la misma magnitud en dos mediciones cualesquiera del grupo. Las causas de estos errores son incontrolables para un observador.

Los errores accidentales son en su mayora de magnitud muy pequea y para un gran nmero de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valores ms concordantes con el real, si se emplean mtodos estadsticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor ms probable en un conjunto de mediciones.

CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIN Y SENSIBILIDADEn lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos a definir exactitud, precisin, y sensibilidad.

La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. De modo que, un aparato es exacto si las medidas realizadas con l son todas muy prximas al valor "verdadero" de la magnitud medida.

La precisin hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, un aparato ser preciso cuando la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sea muy pequea.

La exactitud implica normalmente precisin, pero la afirmacin inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sistemticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es ms fcil conocer la precisin de un aparato que su exactitud. La sensibilidad de un aparato est relacionada con el valor mnimo de la magnitud que es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviacin. Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la divisin ms pequea de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo errneo, se toman como idnticos los conceptos de precisin y sensibilidad, aunque hemos visto ya que se trata de conceptos diferentes.

ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVOSi medimos una cierta magnitud fsica cuyo valor "verdadero" es , obteniendo un valor de la medida , llamaremos error absoluto en dicha medida, a la diferencia:

Donde en general se supone que El error absoluto nos da una medida de la desviacin, en trminos absolutos respecto al valor "verdadero". No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviacin. Para tal fin, se usa el error relativo. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor "verdadero":

En forma porcentual se expresar multiplicado por cien. Cuando indiquemos el valor de una medida de una magnitud, tendremos que indicar siempre el grado de incertidumbre de la misma, para lo que acompaaremos el resultado de la medida del error absoluto de la misma, expresando el resultado en la forma:

Cifras SignificativasLas cifras significativas son aquellas que estn medidas con precisin, segn el instrumento utilizado; o tambin, si se realizan clculos a partir de los valores medidos, son las cifras del resultado en las que podemos tener confianza de que son precisas. Para saber cuntas cifras significativas hay en un resultado se pueden utilizar ciertas reglas que veremos a continuacin.

Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el nmero 103 tiene tres cifras significativas, y el 0.000000103 tambin. Esto se debe a que los ceros a la izquierda no le aaden precisin a la medicin, sino que solamente sirven para establecer la posicin del punto decimal. Generalmente es mejor hacer esto utilizando la notacin exponencial; as, los nmeros mencionados se convertiran en 1.03x102 y 1.03x10-7. Entonces, para contar las cifras significativas se parte del primer dgito distinto de cero y se cuentan todos los dgitos a partir de ste.

Los ceros a la derecha s son significativos. Esto es muy importante: los ceros a la derecha deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medicin. Por lo tanto, no es lo mismo decir que algo pesa 1 kg que decir que pesa 1.00kg. La primera magnitud implica que la medicin se realiz con una balanza graduada en kilogramos. La segunda medicin fue realizada en una balanza graduada en centsimas de kilogramo. La segunda medicin es cien veces ms precisa que la primera; la primera tiene una cifra significativa y la segunda tiene tres cifras significativas. Por ello es extremadamente importante no olvidar escribir los ceros a la derecha cuando se sabe que son significativos. Por ejemplo, en una balanza analtica que tiene precisin de diezmilsimas de gramo, si la balanza marca 0.5700g es necesario registrar el nmero con los dos ceros a la derecha, y no como 0.57g.

DETERMINACIN DE LOS ERRORES COMETIDOS EN LAS MEDIDAS DIRECTASCuando realicemos la medida de cualquier magnitud deberemos indicar siempre una estimacin del error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor "verdadero" de la magnitud que deseamos medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimacin tanto del valor "verdadero" de la magnitud, como de una cota de error, que nos indique la incertidumbre en la determinacin realizada. Distinguiremos dos casos bien diferenciados:

A. Caso en el que se realiza una nica medida de una magnitud.En este caso consideramos que el error absoluto coincide con el valor de la sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo el resultado de una medida lo indicaremos en la forma:

( : Sensibilidad)

B. Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud.Con el fin de alcanzar cierta validez estadstica en los resultados de las medidas, es muy conveniente repetir varias veces la determinacin del valor de la magnitud problema. Los resultados de las medidas individuales pueden presentarse poco o muy dispersas, en funcin de esta dispersin ser conveniente aumentar o no, el nmero de determinaciones del valor de la magnitud. Para decidir el nmero determinaciones del valor de una magnitud fsica que deseamos medir seguiremos el siguiente procedimiento. Se realizan siempre tres medidas de la magnitud, se calcula el valor medio de estas tres medidas, dado por:

y se halla la dispersin total D de las mismas, es decir, la diferencia entre los valores extremos de las medidas (valor mximo de las medidas obtenidas menos el valor mnimo) y finalmente se obtiene el tanto por ciento de dispersin, , que viene dado por:

Si el valor de la dispersin total no es mayor que el valor de la sensibilidad del aparato de medida, , en este caso se toma como estimacin del valor "verdadero" de la magnitud el valor medio de las tres medidas y como error absoluto la sensibilidad. Ahora bien, si el valor de la dispersin total es mayor que el de la sensibilidad del aparato, > , procedemos a aumentar el nmero de medidas de la magnitud. El criterio a seguir en este aumento viene condicionado por el valor del porcentaje de dispersin del modo indicado en la siguiente tabla:

en las tres primeras medidasCantidad de medidas necesarias

2%Bastan las 3 medidas realizadas

2% < 8%Hay que hacer 3 medidas ms, hasta un total de 6

8% < 15%Hay que hacer un total de 15 medidas

15% < Hay que hacer 50 medidas como mnimo

Una vez realizadas las medidas necesarias se toma como valor verdadero de la magnitud, el valor medio de la misma calculado sobre el nmero total de medidas realizadas.

C. Error estadsticoEl error estadstico de un conjunto de medidas de una misma cantidad corresponde a la desviacin estndar de la media, para el caso de un conjunto de medidas realizadas las dispersin la medimos con la desviacin estndar

Sin embargo el valor medido tambin variar de un conjunto de medidas a otro por lo que podemos definir la desviacin estndar de la media el cual corresponde al error estadstico de un conjunto de medidas

DETERMINACIN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTELa medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicacin de una frmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha frmula se obtiene tambin el error de la medida segn pasamos a explicar. Antes de continuar, debemos indicar que si en dicha frmula aparecen nmeros irracionales tales como pi, e, etc., debemos elegir el nmero de cifras significativas con que deben tomarse a la hora de realizar los clculos correspondientes, de modo que los errores cometidos al aproximar estos nmeros irracionales no afecten a la magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar.

Supongamos que la magnitud es funcin de otras magnitudes fsicas, estando relacionada con ellas por Supongamos adems, que se han realizado medidas de las citadas variables, y se han determinado su valor y su error. Para realizar el clculo del error absoluto de , en funcin de los errores absolutos cometidos en las determinaciones directas de ... se proceder de la siguiente forma:

En primer lugar se obtiene la diferencial total de en funcin de las diferenciales de las variables mediante:

A continuacin asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos, y adems consideramos que en el clculo del error de debemos ponernos en el caso ms desfavorable, es decir, error mayor, para lo cual tomaremos los valores absolutos de las derivadas parciales, con el fin de tener una suma de trminos positivos, obteniendo para el valor del error absoluto de el resultado:

La ecuacin anterior representa una sobre estimacin del error de la variable dependiente , en donde cada termina de la sumatoria representa una incertidumbre independiente, por lo que la incertidumbre adecuada o no sobreestimada de la medida indirecta corresponde a la suma cuadrtica de las incertidumbre independientes

Donde es la medida indirecta de los mejores valores medidos de las variables independientes o medidas directas

Ejemplo numrico del clculo de errores

Suponiendo que se pretende medir la aceleracin de la gravedad midiendo el periodo de un pndulo de longitud , la expresin que relaciona las tres variables es

Previamente se determinarn y a travs de medidas directas. Sean y los resultados de las mediciones. Ahora se calcula la diferencial total de tomando a y a como variables

Finalmente se sustituyen las variables por sus valores medidos, los diferenciales por los errores y se da signo positivo a todos los sumandos. Con todas las consideraciones anteriores calculamos el error adecuado para

CONSTRUCCIN DE GRFICASLa representacin grfica de los fenmenos fsicos que estudiemos debe ajustarse a las siguientes normas:

A. Grficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados, y en cuyo centro indicaremos la magnitud representada, en las unidades en que ha sido medida (con letra grande y clara). El ttulo de la grfica ser claro y vendr indicado en la parte superior.

B. La variable independiente del fenmeno debe ir representada en abscisas y la dependiente en ordenadas.

C. Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rpida y sencilla. Para ello se elegirn las escalas con intervalos de 1, 2, 5, 10, 20,... etc. unidades (poniendo pocos nmeros).

D. Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y slo el citado intervalo.

E. Sobre los ejes slo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala (que han de quedar as uniformemente espaciadas). Nunca se sealan los valores correspondientes a las medidas realizadas.

F. Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas (punto experimental) y rodeado por el denominado rectngulo de error, cuya base abarca desde hasta y cuya altura se extiende desde hasta , siendo las coordenadas del punto experimental. En el caso de que o sean despreciables en comparacin con la escala utilizada, el rectngulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, segn sea el caso.

G. Las grficas han de ser lneas finas "continuas " nunca quebradas, que han de pasar por todos los rectngulos de error, aunque para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o izquierda de la grfica. Si al hacer esta operacin, alguno de los rectngulos de error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la grfica, es prueba de que esa medida es falsa por alguna causa accidental, y debe repetirse.

AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIN POR EL MTODO DE MNIMOS CUADRADOSCon frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresin matemtica del tipo , de la ley fsica que rige el comportamiento de un determinado fenmeno, a partir de una serie de N medidas , de las magnitudes e que lo caracterizan. Cuando la representacin grfica del fenmeno estudiado proporciona una distribucin de los puntos experimentales en forma prcticamente lineal, es conveniente determinar la ecuacin de la recta que ser expresin de la ley fsica que rige el fenmeno estudiado, utilizando para ello el mtodo de mnimos cuadrados. Dicha recta debe cumplir la condicin de que los puntos experimentales, queden distribuidos simtricamente a ambas partes de la misma, y adems, lo ms prximos posible. Esta condicin se cumple si se obliga a que la recta de ecuacin:

Cumpla con la expresin:

Donde corresponde a un parmetro de desviacin entre la recta y los valores discretos. Las condiciones para que tenga un valor mnimo se calculan derivando respecto a y , y anulando ambas derivadas, tras una serie de operaciones se obtiene

Donde

Para efectuar la estimacin de la incertidumbre de los parmetros, es decir cul es el error de y , se utiliza la varianza de los datos, obteniendo

Donde

Adems de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es interesante obtener el denominado coeficiente de correlacin lineal , que nos da una medida del grado de correlacin entre los valores de las variables e , es decir, hasta qu punto e estn relacionadas mediante una funcin lineal. La expresin de es

El cual vara entre 0 (no existe correlacin) y (correlacin completa).