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SEMAJANZA DE TRINGULOS

De acuerdo a lo visto en la gua anterior, sabemos que dos tringulos son semejantes, si tienen sus ngulos correspondientes congruentes y sus lados correspondientes proporcionales. En la figura siguiente los tringulos ABC y ABC son semejantes, es decir ABC ABC. Esto significa que los ngulos correspondientes son congruentes, es decir: 1. 2. 3. Adems los lados correspondientes deben ser proporcionales, es decir:

4. a b=

a' b' 5.

a c=

a' c' 6.

b c=

b' c'

Para verificar que dos tringulos son semejantes, debemos entonces realizar 6 comprobaciones o clculos, lo cual es bastante tedioso. Surge entonces la pregunta: Es necesario realizar siempre las seis comprobaciones? O basta comprobar slo algunas de ellas? Y si basta comprobar slo algunas de ellas, cules se deben comprobar? Hay algn criterio? La respuesta es que s lo hay. De hecho estos criterios se conocen como criterios de semejanzas. Los criterios de semejanza establecen las condiciones mnimas que deben cumplir dos tringulos para ser semejantes.

C

a

B

b

A

A

C

B c

a' b'

c'

' '

'

Colegio Santo Toms Puerto Montt

Docente:

Nombre:

Equipo Tcnico Pedaggico Curso:

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ACTIVIDADES

1. Qu sucede si slo verificamos dos pares de ngulos?

Supn que = 40 y = 60. a) Dibuja un tringulo con esas caractersticas. (Primero dibuja el trazo AB de la medida que quieras, luego mides ambos ngulos y as obtendrs el tringulo) b) Compara tu tringulo con el que dibuj tu compaero. Son semejantes?

2. Qu sucede si slo verificamos un par de ngulos y una de las proporciones? Supn que = 50, c = 4 cm y b = 3 cm. a) Dibuja un tringulo con esas caractersticas. (Primero dibuja el trazo AB de 4 cm, luego mides el ngulo de 50 y despus mide los 3 cm del lado b. As obtendrs el tringulo) b) Dibuja ahora un tringulo, pero duplicando los lados c y b, es decir, con = 50, c = 8 cm y b = 6 cm. Compara este nuevo tringulo con el que dibujaste en la parte a). Son semejantes?

3. Qu sucede si slo verificamos las proporciones de los lados? Supn que a = 4 cm, c = 5 cm y b = 3 cm. a) Dibuja un tringulo con esas caractersticas. (Primero dibuja el trazo AB de 5 cm. Luego pones el comps en A, lo abres 3 cm (lo que mide b) y trazas un arco. Pones el comps despus en B, lo abres 4 cm (lo que mide a) y trazas un arco. As obtendrs el tringulo) b) Dibuja ahora un tringulo, pero duplicando los lados a, b y c, es decir, con a = 8 cm, c = 10 cm y b = 6 cm. Compara este nuevo tringulo con el que dibujaste en la parte a). Son semejantes?

Criterios de semejanza Generalicemos lo que acabas de analizar: Criterio ngulo - ngulo (AA) Dos tringulos son semejantes, si tienen dos de sus ngulos respectivamente congruentes. Criterio lado - ngulo - lado (LAL) Dos tringulos son semejantes, si dos de sus lados son proporcionales y si los ngulos que forman estos lados son congruentes. Criterio: lado - lado - lado (LLL) Dos tringulos son semejantes, si sus tres lados son proporcionales.

A

C

B

b

A

C

B c

a b

A

C

B c

3

ACTIVIDADES

1. Qu tringulos son semejantes? Segn qu criterio?

2. Dos tringulos ABC y ABC son semejantes y su razn de semejanza es 3

2. Calcula los

lados del tringulo ABC, si sabemos que : AB = 12 m, BC = 9 m y AC = 7,8 m.

3. En la figura de la derecha, por qu son semejantes los tringulos APQ y ACB?

4. Hay tringulos semejantes en la figura? Cules? Segn qu criterio?

4

GUA N 4 TEOREMA DE TALES

Tal vez recuerdes una propiedad de ngulos entre paralelas que estudiaste hace algn tiempo:

Si L1 y L2 son paralelas, entonces el ngulo es congruente con el ngulo .

Estos ngulos se conocen como ngulos correspondientes. (Hay muchos otros ngulos congruentes en la figura, pero para lo que nos concierne basta que recuerdes que .) Si tres o ms paralelas son cortadas por transversales, los tringulos que se forman son semejantes, debido a que hay ngulos correspondientes entre paralelas. En la figura, UPS VQS WRS. Entonces podemos formar proporciones, por ejemplo entre los lados

de los tringulos SUP y SVQ: SP SU UP

= =

SQ SV VQ.

Lo interesante es que adems, usando propiedades de las proporciones, se pueden comparar los segmentos que se forman sobre una transversal con los segmentos correspondientes de la otra.

Por ejemplo, segn la figura: SU UV

=

SP PQ .

O tambin: UV VW

=

PQ QR

Esto lo descubri Tales de Mileto, quien vivi hacia el ao 600 A.C.

Aunque se sabe poco de su vida, se le considera el padre de la Geometra. Aristteles lo considera el primer filsofo griego, cientfico y matemtico y es uno de los Siete Sabios Griegos. Fue el primero en tratar de explicar fenmenos naturales sin recurrir a la mitologa, sino estableciendo hiptesis. El hecho concreto que ms asegur su reputacin fue la prediccin de un eclipse de sol en 585 a.C., que tuvo lugar exactamente el da que l haba predicho. Igualmente fue el primero en mantener que la luna brilla por el reflejo del sol.

L1

L2

5

ACTIVIDADES

1. Para los siguientes ejercicios, use la figura de la derecha con L1 // L2.

a) PC = 12 cm, PB = 6cm, BD = 2 cm. Determina el valor de AC. b) CD = 7 cm, PA = 2 cm, AC = 5 cm. Determina el valor de AB.

2. Para los siguientes ejercicios, use la figura de la derecha con L1 // L2 // L3.

a) a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm. Cul es el valor de d? b) a = 14 cm, c = 10 cm, b + d = 36 cm. Cul es el valor de b? c) a = 6 cm, a + c = 14 cm, b + d = 18 cm. Cul es el valor de d?

3. El teorema de Tales sirve para medir alturas de lugares inaccesibles, como por ejemplo la altura de una gran araucaria. Primero medimos la altura de una persona (en la figura aparece arrodillada, pero podra tambin estar parada). Esta persona observa la punta del rbol usando un tringulo rectngulo (por ejemplo una escuadra) cuyos lados hemos medido previamente. Adems medimos la distancia de la persona hasta la araucaria (AB) y usamos el teorema de Tales para determinar AE. Supn que una persona cuyos ojos estn a 1,60 m de altura se ubica a 30 m de la araucaria y que utiliza la escuadra cuyas medidas aparecen en la figura de la derecha. Cul es la altura de la araucaria?

a

d c

b

L1

L2

L3

B

D

A

EA

20 cm

10 cm

A

D C

B L1

L2

P