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 Preparado por: Ing. Iris Luzardo Ocando 1/14 UEFM Área: TECNOLOGÍA Programa: INGENIERÍA MECÁNICA Departamento: MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN  Asignatura: ELEMENTOS DE MÁQUINAS I Profesor: IRIS J. LUZARDO OCANDO Tema: 3 DISEÑO DE EJES TEMA 3. Diseño de Ejes Introducción – definición Cargas sobre las flechas Ruedas dentadas Ruedas de cadenas Poleas de bandas Esfuerzos y concentración de esfuerzos en las flechas Chaflanes Cuñeros Ranuras para anillos de sujeción Diseño de Flechas Procedimiento general de diseño Consideraciones generales de diseño Diseño para flexión totalmente alternante con torsión uniforme Diseño para flexión fluctuante con torsión fluctuante Deformación en ejes Sujeción Cuñas o chavetas Pasadores Ranuras Ajustes

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UEFM

Área:TECNOLOGÍA 

Programa:INGENIERÍA MECÁNICA

Departamento:MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN 

Asignatura:ELEMENTOS DE MÁQUINAS I

Profesor:IRIS J. LUZARDO OCANDO

Tema:3 DISEÑO DE EJES 

TEMA 3. Diseño de Ejes

Introducción – definición

Cargas sobre las flechas

Ruedas dentadas

Ruedas de cadenas

Poleas de bandas

Esfuerzos y concentración de esfuerzos en las flechasChaflanes

Cuñeros

Ranuras para anillos de sujeción

Diseño de Flechas

Procedimiento general de diseño

Consideraciones generales de diseño

Diseño para flexión totalmente alternante con torsión uniforme

Diseño para flexión fluctuante con torsión fluctuante

Deformación en ejes

Sujeción

Cuñas o chavetas

Pasadores

Ranuras

Ajustes

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INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN

Casi toda la maquinaria rotatoria está dotada de flechas de transmisión, con el fin de

transferir movimiento y par de torsión de un sitio a otro. Una flecha o eje móvil es unelemento giratorio generalmente de sección transversal circular, cuya función entransmitir movimiento y potencia, constituye el eje de rotación u oscilación de elementoscomo engranes, poleas, volantes de inercia, manivelas, ruedas dentadas y elementossimilares y controla la geometría de su movimiento.

Un eje fijo es un elemento no giratorio o estático que no transmite movimiento y seutiliza sostener piezas giratorias. El diseño de un eje comienza después de un trabajopreliminar. Los elementos como engranes, poleas y otras ya deben haber sidoparcialmente analizados y tentativamente espaciados. En esta etapa deben estudiarse la

rigidez y deformación del eje (deformación por flexión, deformación por torsión,deformación por cortante en ejes cortos) y el esfuerzo y resistencia (Resistencia estática,resistencia a la fatiga, confiabilidad)

La configuración geométrica de un eje generalmente es la de una barra cilíndrica conescalonamientos. El uso de hombros o resaltos de un eje es un medio excelente paralocalizar axialmente elementos en un eje.

Los elementos comunes de transmisión de par de torsión son: cuñas, ejes estriados,tornillos de presión, pasadores, ajustes a presión o por contracción, ajustes ahusados.

CARGAS SOBRE LAS FLECHAS

Las cargas en las flechas de transmisión rotatoria son principalmente de torsióndebida al par de torsión transmitido, o de flexión proveniente de las cargas transversalespor engranes, poleas o ruedas dentadas. El carácter de las cargas puede ser uniforme ovariar con el tiempo, y pueden ocurrir en cualquier combinación. Cada elemento demáquina en particular genera ciertas cargas sobre el eje, algunos de ellos se especificana continuación:

Ruedas dentadas: la fuerza que se ejerce sobre los dientes de un engrane mientras se

transmite potencia actúa de manera perpendicular al perfil de los dientes. En el análisisde ejes, conviene considerar los componentes rectangulares de esta fuerza, las cualesactúan en sentido radial y tangencial a la rueda. En el caso de los engranes helicoidales ylos engranes cónicos se genera adicionalmente una componente axial. En la figura 1 seobservan las fuerzas que actúan sobre los dientes de un engrane recto.

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Figura 1

Ruedas de cadenas: Las cadenas presentan un lado tensionado (preferiblemente ellado superior de la cadena) y un lado flojo, el cual no ejerce ninguna fuerza, por lo quetoda la fuerza de flexión en el eje que soporta la rueda es igual a la tensión en el ladotenso de la cadena. En la figura 2 se observan las fuerzas que se generan a partir de una

transmisión por cadena

Figura 2 

Poleas de bandas: El impulsor en banda presenta ciertas similitudes con el impulsor decadena, pues también existe un lado tensionado y un lado flojo, sin embargo en el casode los impulsores de banda el lado flojo si presenta cierta tensión, pero de magnitudmenor que la del lado tensionado. En la figura 3 se observan las fuerzas que se generan

a partir de una transmisión por bandas.

Rt 

Rr 

R

Wt 

Wr 

w

Piñón impulsorPunto de paso

Líneade paso

φ Tp

Lado apretado

Lado flojo

A BRuedadentadaimpulsora

Ruedadentadaimpulsada

F=0F=0

FcFc

TB 

TA 

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Figura 3 

ESFUERZOS Y CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS EN LAS FLECHAS

Dado que las principales cargas que existen sobre los ejes son fuerzas transversales ymomentos torsores pues los esfuerzos que se calculan son esfuerzos normales por 

momento flector  y esfuerzos de corte por momento torsor , y en algunos casosparticulares será necesario incluir el cálculo del esfuerzo normal por carga axial .Normalmente para una flecha rotatoria se calculan esfuerzos variables (alternantes ymedios) aun cuando las cargas aplicadas sean constantes a lo largo del tiempo.Adicionalmente los esfuerzos tendrán que ser calculados para una diversidad de puntos,considerados como críticos.

Ahora bien, para montar y ubicar correctamente los distintos tipos de elementos

mecánicos en las flechas, por lo regular el diseño final incluye varios diámetros, cuñeros,ranuras para anillos y otras discontinuidades geométricas que dan lugar aconcentraciones de esfuerzos. Estas concentraciones de esfuerzos deben ser tomadas encuenta para determinar los diámetros mínimos del eje en cada sección. Los elevadoresde esfuerzos más comunes que se presentan en los ejes son:

Chaflanes: Cuando un eje presenta cambios de diámetros para producir un hombrocontra el cual se coloca un elemento mecánico, se genera una concentración deesfuerzos que depende de la relación entre los diámetros y el diámetro del chaflán. Loschaflanes se clasifican en: con bordes cortantes y con bordes redondeados. Con bordes

cortantes describe un hombro con un radio de chaflán relativamente pequeño (porejemplo el chaflán resultante en un eje donde se coloca un rodamiento de bolas),mientras que con bordes redondeados representa aquellos de presentan radios grandesbien redondeados, por lo que el factor de concentración de esfuerzos es más pequeño.

Cuñeros: Un cuñero consiste en una ranura longitudinal que se corta en una flecha paramontar una cuña, ello permite transferir torque a partir del eje hacia un elemento que

Lado apretado

Lado flojo

A BPoleaimpulsora

Poleaimpulsada

F2F2

F1F1

TB 

TA  F1>F2

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transmite potencia o viceversa. Los dos tipos de cuñeros que se utilizan con mayorfrecuencia se muestran en la figura 4: el de perfil y el de corredera.

Figura 4

Ranuras para anillos de sujeción: Las ranuras permiten la colocación de anillos desujeción en las flechas. La geometría de la ranura la establece el fabricante del anillo. Suconfiguración común es una ranura hueca con los bordes de las paredes rectos al igualque su fondo y un chaflán pequeño en la base de la ranura

DISEÑO DE FLECHAS

En el diseño de ejes debe tomarse en cuenta tanto el esfuerzo como las deflexiones. Unadeflexión excesiva puede causar un desgaste rápido de los cojinetes de la flecha. Losengranes, las bandas o las cadenas impulsadas desde la flecha también llegan a sufrirpor falta de alineación introducidas por deflexiones en la flecha. La flecha por lo regularse diseña primero con base en consideraciones de esfuerzos, y una vez completamentedefinida la geometría a continuación se calculan las deflexiones.

Procedimiento general de diseño:1.  Determine la velocidad de giro del eje2.  Calcule la potencia o el torque que va a transmitir3.  Determine el diseño de los componentes transmisores de potencia u otros

dispositivos que se pretendan montar en el eje y especifique la ubicación que sedesea dar a cada dispositivo.

Cuñero fresado enel eje con unapunta en la fresa

con diámetro igualal ancho de la cuñaResultado: Ranurade fondo plano conextremos deesquinas agudas aescuadra

Fabricado con unacortadora circularpara fresar conespesor igual al

ancho de la cuña.Resultado: cuñerocon un radiocontinuo

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4.  Precise la ubicación de los cojinetes en los que se apoyará el eje, se supone que lasreacciones en los cojinetes que soportan cargas radiales ejercen acción en el puntomedio de lo cojinetes. Casi siempre se utilizan dos cojinetes para soportar una flecha,deben colocarse de ser posible, en cualquier extremo del eje, para proporcionarsoporte estable a la flecha y generar una carga razonable bien balanceada en los

cojinetes, estos se deben colocar cerca de los elementos que transmiten potencia afin de minimizar los momentos de flexión. Además la longitud total de la flecha debeser mínima para mantener las deflexiones en un nivel aceptable.

5.  Proponga la forma general de geometría de la flecha, considerando de qué manera semantendrá en posición axial y cómo se llevará a cabo la transmisión de potencia

6.  Calcule la magnitud del torque en todos los puntos del eje, elaborar un diagrama demomento torsor

7.  Calcule las fuerzas que ejercen acción sobre el eje, tanto radial como axial8.  Determine las fuerzas radiales en componentes y sentidos perpendiculares9.  Calcule las reacciones en todos los cojinetes de soportes en cada plano

10. Elabore los diagramas de corte y de momento flector para determinar su distribucióna lo largo del eje

11. Elija un material con el cual se va a fabricar el eje12. Analice cada punto crítico de eje para determinar el diámetro mínimo aceptable del

eje, para verificar la seguridad bajo aplicación de carga en cada punto. Los puntoscríticos son numerosos, incluyen, donde se generan los máximos valores de torque,momento flector y cambios de la sección transversal

13. Especifique las dimensiones finales de cada punto del eje, tolerancias, radios de loschaflanes, altura de los hombros y dimensiones de los cuñeros.

14. Calcule las deflexiones y pendientes en las localizaciones de los elementos demáquina.

Consideraciones generales para el diseño:Mantener la longitud de la flecha tan corta como sea posible para minimizar tantodeflexiones como esfuerzosEvitar ejes en voladizos para disminuir las deflexionesUbicar elevadores de esfuerzos lejos de las zonas de grandes momentos flectoresEmplear radios de muescas tan grandes como sea posibleLas deflexiones en los engranes no deben exceder de 0.005pulg, y la pendiente

relativa entre ejes de engranes debe ser menor que 0.03°Si se emplean cojinetes de elementos rodantes las deflexiones no deben exceder a lasrecomendadas por los fabricantesSi están presentes cargas de empuje axial deberán ser transmitidas a tierra a travésde un solo cojinete de empuje por cada dirección de la carga. No debe dividirse lacarga axial entre varios cojinetes de empuje, ya que la expansión térmica sobre laflecha puede sobrecargar dichos cojinetes.

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A fin de minimizar las deflexiones se pudiese seleccionar un acero al bajo carbonocomo el material para la flecha.

Diseño para flexión totalmente alternante con torsión uniforme: Se trata de uncaso de fatiga multiaxial simple. Se han definido varias teorías que tratan de predecir la

falla de los eje y de los elementos den general cuando están sometidas a carga estáticas,entre ellas están la Teoría de Soderberg, la Teoría de Goodman, la Teoría de Gerber y elprocedimiento de ASME. Uno de los más aceptados para el diseño de flechas sometidas aflexión totalmente alternante y torsión uniforme es el Procedimiento de ASME. Lasenvolventes de falla de cada una de las teorías se muestran en la figura 5

Figura 5 

Diseño para flexión fluctuante con torsión fluctuante: Es el caso general de diseñode flechas, en el cual tanto la flexión como la torsión presentan componentes medios yalternantes. En estos casos es común recurrir a envolvente de fallas de la línea deGoodman y la línea de fluencia, por lo que se realiza el análisis de carga variableaplicando las ecuaciones correspondientes a la Teoría de Goodman y posteriormente severifica la posibilidad de falla por fluencia.

DEFORMACIÓN EN EJES

Una flecha es una viga que se flexiona transversalmente y también es una barra detorsión que se flexiona a torsión. Es necesario calcular los dos modos de deformación:

Deflexión en ejes: El método de doble integración es un procedimiento práctico parael cálculo de la pendiente y deflexión en las flechas, adicionalmente por ser un

S yt 

S e 

S ut 

S yt 

ASME line

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método analítico proporciona resultados precisos y su aplicación se simplifica haciendouso de las funciones de singularidad. El análisis se complica por os cambios de lassecciones transversales del eje en su longitud, por lo que ahora tanto M como EI sonfunciones de la longitud de la flecha.Torsión en ejes: El ángulo de rotación θ es una función del par torsor T, la longitud

de la sección L, el módulo de corte G y el momento polar de inercia J, por lo que elcálculo se complica con la variación de las secciones transversales a lo largo de lalongitud del eje, pues el momento polar de inercia se convierte en variable. Encualquier caso el conjunto de secciones adyacentes puede considerarse como unconjunto de resortes en serie, y las deformaciones se suman pues el par de torsiónpasa sin modificaciones.

SUJECIÓN

CUÑAS:   “Pieza de maquinaria desmontable, la cual al ensamblarse en un cuñeroproporciona un medio positivo de transmisión de un par de torsión entre flecha y maza o

cubo” (ASME).

Figura 5

Tipos de cuñasCuñas ParalelasSon las de uso más comúnSección transversal cuadrada o rectangularAltura y ancho constante en toda su longitudANSI define los tamaños de la sección transversal de las cuñas específicas y lasprofundidades del asiento de cuñas en función del diámetro de la flecha en elasiento de la cuñasLas cuñas cuadradas se recomiendan para diámetros de flecha de hasta 6.5pulg dediámetro

Las cuñas rectangulares se recomiendan para diámetros mayores que 6.5pulgLa cuña paralela se coloca con la mitad de su altura dentro de la flecha y la otramitad en la mazaSe fabrican usualmente de barra rolada estándar, y con una tolerancia negativaLa longitud de la cuña deberá ser inferior a 1.5 veces el diámetro de la flecha a finde evitar demasiada torsión con la deflexión de ésta

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Fallas de las cuñas:Falla por Corte: Ocurre cuando la cuña es degollada en su ancho en el contacto entrela flecha y maza. La fuerza que genera la falla es una función directa del par detorsión aplicado en la flecha, y resulta del cociente entre el par de torsión aplicado yel radio de la flecha. El área corresponde al producto del ancho por la longitud de la

cuña

Falla por aplastamiento: Ocurre por apretar cualquiera de los lados a compresión. Lafuerza que genera la falla continua siendo una función del momento torsor y el áreade apoyo corresponde al área de contacto entre el costado de la cuña y la flecha o lamaza:

Área de cuña paralela: Producto de la semialtura por la longitud de la cuñaÁrea de cuña Woodruff: Sobre la maza, pues más pequeña, fallará primero

Procedimiento para el Diseño de Cuñas Paralelas:

1.  Termine el diseño del eje en el cual va a instalar la cuña y especifique diámetro realdonde se ubica el cuñero

2.  Seleccione el tamaño de la cuña de las tablas. Utilice cuña cuadrada con W=H si eldiámetro del eje es de 6.5pulg o menos. Utilice cuñas rectangulares si el diámetro deleje excede 6.5pulg, así el ancho W será mayor que la altura H.

3.  Especifique el material de la cuña (por lo general Acero AISI 1020 CD).4.  Calcule la resistencia a punto de cedencia de los materiales para la cuña, el eje y la

maza.5.  Calcule la longitud de la cuña6.  Especifique la longitud de la cuña como igual o más larga que la mínima que se

calculó. Debe especificarse un tamaño estándar conveniente utilizando los tamañosbásicos. La cuña debe extenderse a lo largo de la longitud total de la maza o unaparte sustancial de ella.

7.  Concluya el diseño del cuñero en el eje y en la maza.

Cuñas TrapezoidalesTiene un ancho constante pero su altura varía con una inclinación de 1/8 de pulgpor pie.Es empujada a una ranura también trapezoidal en la maza hasta que se bloquea

La cabeza es opcional para tener una superficie de agarre, para poder retirar lacuña cuando el extremo pequeño no quede accesibleSirve para bloquear axialmente la maza sobre la flechaPara un diámetro dado de flecha el ancho de la cuña trapezoidal es el mismo queel de la cuña paralela

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  Cuñas Woodruff Es un plano semicircular de ancho constanteSe insertan en flechas más pequeñasSon de autocierre, por lo que son preferidas para flechas cónicasLa cuña Woodruff se coloca con la mitad de su altura dentro de la flecha y la otra

mitad en la mazaLa forma semicircular genera en la flecha un asiento de cuña más profundo, lo queimpide el giro de la cuña, pero debilita la flechaLos anchos de la cuñas vienen en función del diámetro de la flecha

Materiales para las cuñas:Se emplean materiales dúctiles porque están sometidas a esfuerzos de corteElección común acero dulce al bajo carbonoUtilice cuñas de latón o acero inoxidable en ambientes corrosivosLas cuñas rectangulares o cuadradas se fabrican casi siempre a partir de barra

estándar rolada en frío.Las cuñas trapezoidales y las Woodruff normalmente son fabricadas de acero dulcerolado en frío

Recomendaciones de diseñoEl diámetro de la flecha en el asiento de la cuña determina su anchoEl ancho de la cuña determina la altura de la cuña y la penetración en la mazaLas únicas variables de diseño asignadas por el diseñador son la longitud de la cuña yen número de cuñas utilizadas por mazaUna cuña recta o trapezoidal puede ser tan larga como lo permita la mazaMientras mayor número de cuñas se utilicen más debilitado resultará la flechaEs recomendable diseñar la cuña de manera que en casos de sobrecarga falle la cuñay no el cuñero o cualquier otra parte de la flecha, ya que la cuña es menos costosa yrelativamente fácil de reemplazar, siempre que no haya sido dañado el cuñero.

PASADORES: Se emplean para fijar la posición axial y transferir momento de rotación oempuje o bien ambas cosas. Son esencialmente útiles cuando la carga principal escortante y cuando existen rotación o torsión y empuje

Tipos de pasadores:CilíndricosAhusadosDe resorte

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Figura 6

Esfuerzos: El momento torsor de un eje rotatorio genera una fuerza cortante sobre lospasadores, por lo tanto el esfuerzo que se origina sobre el pasador es un esfuerzo decorte con dos áreas sometidas a esfuerzo.

A veces el diámetro del pasador se hace más pequeño con el fin de asegurar que elperno se romperá si se encuentra una sobrecarga moderada, para proteger las partescríticas de un mecanismo. A un perno de ese tipo se le denomina de perno cortable opero rompible. Un problema del perno cilíndrico es que es difícil ajustarlo en formaadecuada para darle ubicación precisa a la maza y evitar que el pasador se salga de sulugar. El perno ahusado y el de resorte partido solucionan alguno de estos problemas.

RANURAS Una ranura puede describirse como una serie de cuñas axiales que semaquinan en un eje, con las correspondientes ranuras maquinadas en el diámetrointerior de la parte de la máquina que se embona, un engrane, una polea, una rueda

dentada y demás. Las ranuras desempeñan la misma función que una cuña en latransmisión de torque hacia la pieza que embona. Presentan como ventaja sobre lascuñas que permite la transferencia de un torque más uniforme y de magnitud máselevada, pues se pueden maquinar mayor número de ranuras, que el número de cuñasque se pueden utilizar. Las ranuras son parte integral del eje, por lo tanto no puedegenerarse movimiento relativo como entre una cuña y el eje. La superficie de la ranurase endurece a menudo para resistir el desgaste y facilitar su uso en aplicaciones en lasque se desea movimiento axial del elemento que embona.

Las cargas en una ranura normalmente son de torsión pura, por lo que al igual quelas cuñas son posibles dos modos de falla, por apoyo o por corte. Por lo general la fallapor corte es el modo limitante.

Tipos de ranurasRanuras de lados rectos

Son fabricadas con especificaciones SAEPor lo regular contienen 4, 6, 10 o 16 ranuras

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  Las dimensiones básicas dependen del diámetro exterior de la ranura y seencuentran tabuladasExisten diferentes ajustes dependiendo de la necesidad o no de permitir elmovimiento axial de la parte que se embona una vez instalada en el eje. Estostipos de ajustes son A, B y C.

La magnitud del par de torsión que se puede transmitir depende del número deranuras y los diámetros mínimo y máximo de la ranuraEn la figura 7 se observa una versión de lados rectos de 6 ranuras

Figura 7 

Ranuras envolventesSe hacen por lo regular con ángulos de presión de 30º, 37.5º y 45º,considerándose 30º como estándarEl tamaño básico de ranura se rige por el paso diametral, el cual relaciona elnúmero de dientes en la ranura con el diámetro de pasoLos pasos diametrales estándar preferidos se encuentran tabulados.

La nomenclatura es similar a la de los engranes por lo que también se define unpaso circular, por medio del cual se calcula el espesor de cada diente de la ranura.Las ranuras estándar llegan a tener de 6 a 50 dientes.En los diseños comunes se utilizan longitudes de ranura de 0.75D a 1.25D

En la figura 8 se observa el perfil de las ranuras rectas y de envolvente

D: diámetro mayord: diámetro menorW: espesor o ancho dela ranurah: profundidad de la

ranura

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Figura 8 

AJUSTES

Un procedimiento común para acoplar una maza sobre una flecha es mediante elajuste forzado por interferencia. Un ajuste forzado se obtiene maquinando la perforaciónen la maza a un diámetro ligeramente inferior al diámetro de la flecha, como se observaen la figura 7:

Figura 7

Las dos piezas se acoplan a presión mediante una prensa, preferiblemente con unlubricante aplicado en la unión. La fuerza de fricción transmite el par de torsión de la

maza

flecha

∆r

r

r

rO 

ri 

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flecha a la maza, resistiendo también el movimiento axial. Sólo piezas relativamentepequeñas se pueden colocar a presión, sin exceder la capacidad de fuerza de una prensade taller típica. En piezas más grandes se puede hacer un ajuste por encogimiento,calentando la maza fin de expandir su diámetro interior y/o un ajuste por expansión,enfriando la flecha para reducir su diámetro.

La interferencia necesaria para crear una unión apretada varía según el diámetro dela flecha. Una regla práctica de mecánico es aplicar un milésimo de pulgada deinterferencia para diámetros de hasta 1pulg, y dos milésimas de pulgada para diámetrode 1 a 4pulg. Para diámetros aun mayores es recomendable aproximadamente 0.001unidades de interferencia por unidad de diámetro de la flecha.

Un acoplamiento forzado por interferencia genera el mismo estado de esfuerzos en laflecha que una presión externa uniforme sobre su superficie. La maza experimenta losmismos estados de esfuerzos que un cilindro de pared gruesa sujeto a presión interna,por lo tanto las ecuaciones de cilindros de pared gruesa a presión pueden ser aplicadasen este caso, y el par de torsión que puede ser transmitido será directamente

proporcional a la presión generada. A su vez la presión que se genera entre la maza y laflecha es función de la interferencia de los diámetros de la flecha y la maza.