AREA DE FORMACIN GENERAL

CICLO 2015 - I

Clase

I DEFINICIN:

PENSAMIENTO

LGICO

COMPETENCIAINDICADORES

Aplica contenidos conceptuales y procedimentales de la Lgica Matemtica para solucionar problemas de la realidad, de manera acertada, responsable y proactiva. Resuelve problemas aplicando funciones cuadrticas.

Da a da existen fenmenos fsicos que el hombre y la naturaleza a travs de la historia han demostrado grficamente curvas parablicas.ejemplo: La trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un ro al caer desde lo alto de una montaa, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partcula es lanzada con una velocidad inicial.

Por este motivo, muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus clculos la ecuacin cuadrtica. En la actualidad los estudiosos hacen uso de ella para explicar situaciones de economa como por ejemplo saber sobre las ganancias que podran tener un negocio, o el hecho de minimizar sus costos de produccin.

Pero no son los nicos estudios donde este tema encuentra aplicaciones, pues puede ser aplicada en la ingeniera civil, para resolver problemas especficos tomando como punto de apoyo la ecuacin de segundo grado, en la construccin de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Todas estas situaciones se pueden representar mediante una funcin cuadrtica que a continuacin veremos:

I. TRMINOS:

En matemticas, una funcin cuadrtica o funcin de segundo grado es una funcin polinmica definida como:

y = f(x) = ax 2 + bx + c ; con a , b , c lR y a 0

En la expresin anterior:

EQUIPO de Docentes

PENSAMIENTO LGICO 2015 - I

Ejemplo:

f (x) = 5x2 3x + 7

5x2 es el trmino cuadrtico,

3x es el trmino lineal, y

7 es el trmino independiente

II. GRFICA:

Si pudisemos representar en una grfica "todos" los puntos[x,f(x)]de unafuncin cuadrtica, obtendramos siempre una curva llamadaparbola.Como contrapartida, diremos que unaparbola es la representacin grficade unafuncin cuadrtica.Dicha parbola tendr algunas caractersticas o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuacin que la generan.Estas caractersticas o elementos son:Orientacin o concavidad (ramas o brazos)Puntos de corte con el eje de abscisas (races)Punto de corte con el eje de ordenadasEje de simetraVrtice.

El dominio de la funcin es lR y su grfica es una curva llamada parbola. En la siguiente grfica identificamos los siguientes elementos:

III. ASPECTOS IMPORTANTES:

Sea f: A B;f(x) = ax2 + bx + c,

Donde: A y B son subconjuntos de lR; a, b, c lR , y a 0.

3.1. Concavidad

Si a > 0 cncava hacia arriba.

Si a < 0 cncava hacia abajo.

3.2. Intersecciones con el eje x

Para encontrar las intersecciones con el eje x debemos resolver f(x) = 0,

es decir, se resuelve: ax2 + bx + c = 0

la cual sabemos que tiene como solucin:

NOTA: La cantidad de intersecciones depende del valor del discriminante: = b2 4ac

Si 0: Corta en dos puntos al eje x : y

Si =0:Corta en un punto al eje x:

Si 0: La grfica de la parbola NO CORTA al eje x

As, las intersecciones corresponden a (x1, 0) y (x2, 0) nicamente (x1, 0)

3.3. Intersecciones con el eje y

Para encontrar la interseccin con el eje y basta calcular la imagen de 0, es decir, f(0). As, si f(x) = ax2 + bx + c, entonces f(0) = a(0)2 + b(0) + c = cSiempre es el punto (0, c)

Ejemplo: Grafique f(x) = x2 2x 3

Solucin.

1. Como a = 1, sabemos que la parbola es cncava hacia arriba.

2. La interseccin con el eje y es f(0) = 02 2(0) 3 = -3La interseccin con el eje y es (0,3)

3. Para encontrar las intersecciones con el eje x resolvemos f(x) = 0. Podemos verificar que 0, por lo tanto, corta al eje x en dos puntos.

f(x) = 0 x2 2x 3 = 0 (x + 1)(x 3) = 0es decir,x = 1 y x = 3.

Luego, las intersecciones con el eje xcorresponden a (1; 0) y (3; 0).

De aqu podemos ver que la grfica def(x) = x2 2x 3 corresponde a:

3.4. Eje de Simetra

Es la lnea vertical que divide la parbola a la mitad.

La ecuacin del eje de simetra est dada por:

3.5. Vrtice

Puede ser un punto mximo (cuando es cncava hacia abajo) o punto mnimo (cuando es

cncava hacia arriba).

V = V =

Toda ecuacin cuadrtica de coeficientes reales f (x) = ax 2 + bx + c se puede escribir como

f (x) = a(x - h) 2 + k; siendo el par (h, k) el vrtice de la parbola.

h b2a

;k 4ac b4a2

o tambin k = f(h)

Ejemplo:Estudia y representa la grfica de la parbola de ecuacin: y = -x2 + 4x - 6

1. Como a = -1 a < 0, la parbola est abierta hacia abajo.2. Calculamos las coordenadas del vrtice.

Luego las coordenadas sern: (2; -2)3.Construimos una tabla de valoresHallando puntos simtricos respecto del eje de simetra.x-1012345

y-11-6-3-2-3-6-11

4. El eje de simetra es la recta de ecuacin x = 2.5. Hallamos los puntos de corte con los ejes.

El punto de corte con el eje Y es (0, f (0)) = (0, c) = (0, -6).

Para hallar los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuacin de segundo grado -x2 + 4x - 3 = 0:

6. La ecuacin no posee soluciones reales, por tanto, la grfica no corta al eje X.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 1: Grafica la funcin: f(x) = x2 4x + 6

Como a = 1 a > 0 b = -4 c = 6 V = (h, k)Donde

Luego las coordenadas sern: (2; 2)

Dom = lR Rango = 2 ; Su grfica es:

Ejemplo 2: Grafica la funcin: f(x) = -2x2 + 4x + 1

Como a = -2 a < 0 b = 4 c = 1V = (h, k)

Donde

Luego las coordenadas sern: (1; 3)

Dom = lR Rango = - ; 3

Su grfica es:

Ejemplo 3: Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, e indica cul es el vrtice de cada parbola:

x-4-3-2-101234

y

a) y = x2 + 3b) y = x2 4c) y = 2x2d) y = 0,5x2

Ejemplo 4: Grafica la funcin cuadrtica y 2x 2 6x 2 ; para x 1 ; 3.

Determina el dominio y el rango.

Solucin:

Los valores de los coeficientes son: a = 2, b = 6 y c = 2

Hallamos el vrtice de la parbola:

Reemplazamos en la frmula:

Los valores conocidos: =

Hallando el eje de simetra:

El eje de simetra es la recta x =

Hallando los interceptos en los ejes: Intercepto en y es el punto (0; c) que al reemplazar el valor de c se obtiene: (0,2).

El intercepto en x se obtiene cuando el valor de y es cero (y = 0).

Para hallar los interceptos en x, si es que los hay, debemos verificar que:

Como: , eso quiere decir que s hay interceptos en el eje x.

Hallemos entonces las soluciones de la ecuacin:

Resolvemos la ecuacin con la frmula:

Observa:El mximo de la funcin es y el mnimo es 2. Tenemos: x1 = 0,30

x2 = 3,30

Observacin:

Los nmeros que hemos obtenido no pertenecen al dominio de la funcin.Es decir: 0,30 1 ; 3

3,30 1; 3

Entonces NO hay interceptos en x

Como el dominio es un subconjunto de R, hallamos los puntos para sus valores extremos. Utilizamos la tabla de valores:

Dominio y rango de la funcin:

Del grafico podemos obtener:

D f = 1 ; 3R f = 2 ; 6,5

IV. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRATICAS:

Las funciones cuadrticas son de mucha utilidad para resolver los problemas de la vida cotidiana, en especial para maximizar y minimizar situaciones. Esto significa que podemos encontrar el valor mximo o mnimo a partir de las condiciones del problema o situacin. Para ello, es necesario utilizar las coordenadas del vrtice.Ejemplo 1.

La altura en metros de un objeto lanzado desde el suelo hacia arriba despus de t segundos est dada por la ecuacin: h (t) = 16t (6 t).

a. Calcule el tiempo en que vuelve al suelo.b. Calcule la altura mxima.

Solucin:

1. Si el objeto vuelve al suelo es porque h(t) = 0.

Sustituyendo la ecuacin: h(t) = 16t (6 t)= 96t 16t2 16t2 + 96t = 0

Resolviendo obtenemos t = 0 y t = 6. Pero t = 0 representa el momento en que fue lanzado el objeto, as que esa no es una solucin vlida. El objeto vuelve al suelo despus de 6 segundos.

2. Para la altura mxima se puede calcular la coordenada en y del vrtice de la funcin: h(t) = 16t2 + 96t

Se tiene que: a = 16, b = 96, c = 0 = (96)2 4(16)(0) = 9216

Por lo tanto la altura mxima es 144 m.

Ejemplo 2.Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contena un 10% de protena. La protena consista en levadura y harina de maz. Variando el porcentaje p de levadura en la mezcla de protena, se estim que el peso promedio ganado (en gramos) de una rata en un perodo fue de f(p) ; donde:

Encuentre el mximo peso ganado.Solucin:

El mximo peso ocurre en el vrtice V de la funcin cuadrtica f(p), donde: b = 2c = 20

V (h; k) Donde: h = Porcentaje de levadura en la mezcla de protena. k = peso ganado por la rata

En consecuencia, el mximo peso ganado de la rata fue de 21 gramos, a un 50% de levadura en la mezcla de protena.

Ejemplo 3.PRECIOPESOINGRESO

140,001,00140,00

135,001,05141,75

130,001,10143,00

125,001,15143,75

120,001,20144,00

115,001,25143,75

110,001,30143,00

105,00 1,35141,75

100,00 1,40140,00

95,00 1,45137,75

El administrador de un minimarket observa que tiene 200 kg de naranjas que hoy se venderan a 0,40 soles el kilogramo. Cada da que pasa se estropea 1 kg y el precio aumenta en 0,01 soles cada kilogramo. Cundo se debe de vender las naranjas para obtener el mximo beneficio?Cul ser ese beneficio? Resolucin:Si x es el nmero de das transcurridos, entonces 200 x es el nuevo peso de las naranjas que no se estropearon. Adems el nuevo precio por kilogramo de naranja sera: 0,40 + 0,01x, con lo que el nuevo Ingreso sera:

P(x) =(200-x)(0,40+0,01x), que al efectuarlo sera equivalente a: 0,01x2 + 1,6x + 80, Luego:

1 Sea V (h; k) el vrtice de la funcin cuadrtica P (x) = 0,01x2 + 1,6x + 80, donde al aplicar la forma general se tiene que: a = 0,01 b = 1,6

2 Adems h representa el nmero de das transcurridos y k es el mximo beneficio obtenido al vender dichas naranjas, luego:

3 El beneficio mximo que se obtiene por la venta de naranjas es:

k = f (80) = 0,01(80)2 + 1,6(80) + 80 = S/.144

Ejemplo 4.

Los estudiantes de Turismo y Hotelera plantean realizar una capacitacin sobre Representante comercial de una o muchas firmas que deseen operar en el extranjero y/o en el pas. Para llevar adelante el desarrollo de esta capacitacin, determinan que los costos fijos es S/.1 000 y el costo variable que pagar cada participante ser S/.50.a) Determine la funcin costob) Si el ingreso est dado por la funcin I (x) = -5x2 + 200x + 2000, determine el nmero de participantes que debern asistir para maximizar la ganancia. Indicar dicha ganancia.

Resolucin: Sea x el nmero de participantes, por dato se tiene: CF = 1 000 CV = 50xLuego:a) Sabemos que: CT = CF + CV La funcin costo ser:C (x) = 50x + 1 000

b) La funcin Ingreso est dado por la funcin: I (x) = -5x2 + 200x + 2000; entonces como: U (x) = I (x) C (x). Reemplazando se tiene: U (x) = -5x2 + 200x + 2000 (50x + 1 000) U (x) = -5x2 + 150x + 1 000

Sea (h; k) el vrtice de la funcin cuadrtica: U (x) = -5x2 + 150x + 1 000 donde a = -5 b = 200siendo h el nmero de participantes y k la ganancia mxima, luego:

K = f (15) = -5(15)2 + 150(15) + 1 000 k = S/.2125

Rpta: El nmero de participantes que deben asistir a dicha capacitacin debe ser de 15 para que la ganancia mxima sea de S/.2125.

Ejemplo 5

El Gerente Deportivo de un equipo profesional de ftbol desea maximizar sus ingresos, para ello modela el ingreso por ventas de boletos mediante la funcin: I(x) = 100x - x2 + 2 000. Determine:a) El nmero de boletos que deben venderse con el objetivo de maximizar el ingreso. b) Cul es el ingreso mximo que se obtendra?

Resolucin

Por dato, la funcin ingreso sera:I(x) = 100x x2 + 2000

Ordenando:

I(x) = - x2 + 100x + 2000

Donde:

a= -1b= 100

c= 2000

si: a < 0

v (h,k) ingreso mximo

# boletos

h = = = 50 boletos

reemplazando: k = - 502 + 100(50) + 2000 k = S/. 4 500

Rpta. : 50 boletos deberan venderse con el objeto de maximizar el ingreso.

El ingreso mximo que se obtendra sera de S/. 4 500

PENSAMIENTO LGICO 2015 - I

RESUMEN

Cncava hacia abajo

Funcin cuadrticaCncava hacia arriba

Cuando a0a, b y c y Su grfica es una parbola

Vrtice

HOJADETRABAJO# 13

I. Grafica las siguientes funciones, indicando el mximo o mnimo segn sea el caso:a) f(x)= x2 - 4x - 5

b) f (x) = x2 +2 x + 7

c) f(x) = - 2x2 + 8

d) f (x) = - x2+16

e) f (x) = 4x2+2x+ 1

f) f(x) = (x + 2) (4 + x)

g) f (x) = (x + 3) (x - 5) 3 + x

h) f (x) = (x + 4)2 7(2x+1)

II. Resuelve las siguientes situaciones problemticas haciendo uso de las funciones cuadrticas.

Para este verano Bicicletas Monark S.A.C. desea producir bicicletas montaeras, para lo cual el gerente obtiene la funcin que permite calcular la utilidad: P(x) = -x2 + 60x; donde x representa el nmero de bicicletas diarias a vender. Determine el nmero de bicicletas que deben producirse y venderse con el objetivo de maximizar la utilidad. Cul es la utilidad mxima diaria que se obtendra?

Trbol S.A.C. empresa dedicada a la produccin de maylicas tiene un costo promedio en soles de: C(q): 0,005q2 0,1q + 0,30 al producir q unidades de millar. Cul es el nivel de produccin para que el costo promedio sea mnimo? y Cul es dicho costo?.

0201

PENSAMIENTO LGICO 2015 I

Rpta:Rpta:

Una empresa de Publicidad estima que x aos despus de la introduccin al mercado peruano de celulares mediante la nueva empresa Entel, la cantidad de personas en millones que lo usarn est dada por la funcin:

F(x) = -x2 + xDetermine: Cuntas personas como mximo utilizarn celulares de Entel? A los cuantos aos ocurre?

03

La empresa Master Construccin ofrece productos para Arquitectura donde desea minimizar el costo promedio del papel utilizado para hacer los planos. Si el costo promedio por unidad (en dlares) para producir x unidades de dicho papel est dado por la funcin: C(x) = 0,0002x2 0,06x + 20,Qu cantidad de papel se deber producir para minimizar el costo promedio? Cul es dicho costo mnimo por unidad?

Rpta:04Rpta:

El precio de venta de un artculo viene dado por:P = 12 0,01x ; (x : nmero de artculos fabricados, P : precio en soles) Cuntos artculos se deben fabricar para que los ingresos sean mximos? A cunto ascienden dichos ingresos?

Eternit S.A.C. mediante una de sus lneas de produccin que son la fabricacin de tanques de 1000 litros para almacenar agua, tiene costos fijos mensuales de S/. 2000 y el costo variable por unidad de dicho tanque es de S/. 25. Si el ingreso obtenido por vender x unidades est dado por: I(x) = 60x 0,01x2. Determine: a) El nmero de unidades que deben venderse al mes para maximizar el ingreso. Cul es este ingreso mximo?b) Cuntas unidades deben producirse y venderse al mes con el propsito de obtener una utilidad mxima? Cul es esta utilidad mxima?

05 06

Rpta:

Los estudiantes de arquitectura estn ejecutando un proyecto para cercar un jardn rectangular, sabiendo que se cuenta con 24 m de alambre y cuatro estacas para hacerlo.a) Halla la frmula del rea con respecto al ladob) Cundo es mxima el rea? Cunto vale?

07

Rpta:

Rpta:

Un maestro carpintero quiere hacer marcos rectangulares para ventanas que tienen 12 m de permetro.a) Escribe la frmula que expresa el rea rectangular en funcin del lado x.b) Para qu valor de x se hace mxima el rea del marco rectangular para ventana?

08

Rpta:

El nmero de personas que padecen de Tifoidea cada da por una mala higiene alimenticia viene dado por la funcin: f(x) = -x2 + 40x +84, donde x representa el nmero de das transcurridos desde que se descubri la enfermedad.a) Cuntas personas enferman el quinto da? b) Cundo deja de crecer la enfermedad? c) Cundo desaparecer la enfermedad?

Un grupo de Parasitlogos estudian en un laboratorio los factores que inciden en el crecimiento poblacional de una clase de parsitos. Inicialmente, tenan una poblacin de 1000 parsitos. Luego, alteraron algunos factores y caractersticas y pudieron modelar el crecimiento de esta poblacin mediante la expresin: P(t) = -t2 + 30t + 1 000, siendo t la cantidad de das y P(t) la poblacin existente en ese da. Al cabo de cuntos das se alcanza la mxima poblacin? Cundo deja de existir el ltimo parsito?

1009

Rpta:Rpta:

Un nutricionista proporciona cierto tipo de vitaminas a un grupo de deportistas que van a participar en los juegos Inter-universitarios del presente ao. Su concentracin t minutos despus en mg/lt es:

C(t)=(300 t);donde: 0 t 240. Se desea maximizar la concentracin. Determine: a) Qu tiempo deber transcurrir desde que la vitamina ingresa a su organismo? b) Cul es dicha concentracin mxima?

11

Rpta:

Las funciones de la oferta y la demanda para un producto son respectivamente: O(p) = p2 - 400D(p) = 2600 40p + p2Donde O(p) y D(p) estn en dlares. Determinar el precio y la cantidad de equilibrio del mercado.

12

Rpta:

Una Empresa de Marketing estima que x meses despus de la introduccin al mercado peruano del nuevo celular Comuncate; la cantidad de personas en miles que lo usarn est dada por la funcin:

C(x)= x(12 x) ; donde: 0 x 12. Determine: a) Cuntas personas como mximo utilizarn el Comuncate? b) A los cuantos meses ocurre?

Un grupo de Arquitectos analizan la rentabilidad de un complejo de departamentos econmicos como Proyecto Social a presentar en la Municipalidad de San Juan de Lurigancho, el cual consta de 100 departamentos con dos dormitorios. Sabiendo que la utilidad mensual est dada por A(x)= - 10 x2 + 1760x - 50000, dlares. a) Cuntos departamentos se deben rentar para maximizar la utilidad mensual?b) A cunto asciende la utilidad mensual?

13

14

Rpta:

Un profesor de Educacin Primaria desea poner a la venta un texto elaborado por l, de actividades ldicas para nios de 4 aos; y sabe que en este rubro la funcin demanda para la lnea de libros educativos es: P = 6 0,003q, donde p es el precio (en soles) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (por da). a) Determine el nivel de produccin que maximizar el ingreso total de la venta de los libros por da b) Determine su ingreso.

15

Rpta:16

La comisin medio ambiental de la Municipalidad de San Juan de Lurigancho cuenta con varios viveros a nivel de todo el distrito, y as como se agencia para sembrar sus propios rboles ornamentales, tambin pone en venta otros. La utilidad diaria de la venta de estos rboles est dada por: P(x) = - x2 + 18x + 144, en donde x es el nmero de rboles vendidos. Determine la utilidad mxima mensual obtenida Cuntos rboles deberan venderse diario?

Rpta:Rpta:

Un ingeniero de sistemas propone a una empresa distribuidora de procesadores, incrementar los ingresos de la venta de procesadores en el mercado, considerando la funcin de la demanda , en donde p es el precio (en dlares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (semanales). Determine el nmero de procesadores que debe vender la empresa para maximizar sus ingresos. Halle dicho ingreso.El sector del medio ambiente de la Municipalidad de San Juan de Lurigancho dispone de viveros a nivel de todo el distrito, y as como se agencia para sembrar sus propios arboles ornamentales, tambin pone en venta otros. La utilidad diaria de la venta de estos rboles est dada por: , en donde x representa el nmero de rboles vendidos. Determine la utilidad mxima obtenida Cuntos rboles deberan venderse al da?

1817

Rpta:

Un estudiante de Enfermera observa que la concentracin de cierto analgsico suministrado mediante suero vara en su efectividad en el tiempo modelado por la funcin Donde C es la concentracin del analgsico en el suero medido en miligramos por litro para que haga efecto durante T horas .Determinar el instante en que la concentracin es de 27 miligramos por litro.

19

Rpta:

Rpta:

Un estudiante de Ingeniera Civil realiza un experimento de su proyecto de fsica. Disea un modelo donde h es la altura que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso y est dada por: Donde h est en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. Al cabo de cuntos segundos la pelota alcanza su altura mxima?,Cul es la altura mxima de la pelota?

20

Rpta:

El administrador de la editorial Navarrete por la campaa escolar adquiere varias enciclopedias MENTOR cuya demanda ha sido modelada por la funcin: donde p es el precio unitario al por mayor en dlares y x la cantidad demandada por mes, medida en cientos. Por encima de qu precio ya no habr demanda?Cul es la cantidad mxima demandada?

Un grupo de estudiantes de Psicologa de la adquieren varios SMARTPHONE marca SAMSUNG , cuya demanda ha sido modelada por la funcin: donde p es el precio unitario al por mayor en dlares y x la cantidad demandada por mes, medida en cientos. Arriba de qu precio ya no habr demanda? Cul es la cantidad mensual mxima demandada?2222241 21

Rpta:

Rpta:Las funciones de la oferta y la demanda para un producto son: , ,, donde O(x) y D(x) estn expresadas en dlares determine:a) El precio y el punto de equilibrio del mercado.b)Cul es el precio oferta?

23

Rpta:

Un administrador de Negocios Internacionales modela el beneficio obtenido en un estudio sobre Rentabilidad de una inversin en publicidad mediante la funcin: ; siendo x la inversin en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo . Para qu valores de la inversin la empresa tiene prdidas? Cunto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible? 24

Rpta:

El administrador del hipermercado METRO dispone de 100 kg de fresas para la venta del da a S/2,00 por kilogramo .Adems ,cada da transcurrido se malogra 1 kg , por el cual el precio aumenta en S/. 0,1 por kilogramo. Determine la funcin que representa el costo en relacin al nmero de das transcurridos. En cuntos das debe vender para que obtenga el mximo beneficio? Cul ser el mximo beneficio obtenido?

Un estudiante de Ingeniera Ambiental se intoxic al ingerir accidentalmente un medicamento vencido. Si al realizarse un anlisis serolgico result que su sangre estaba contaminada y se estima que el porcentaje de sangre contaminada t horas despus de ocurrida la intoxicacin ha sido modelada por la funcin: . Si se considera que el paciente en riesgo vital cuando el porcentaje de sangre contaminada es ms de un 69%. En qu intervalo de tiempo ocurre esta situacin?

2625

Rpta:Rpta:

Un estudiante de nutricin estima que cierta marca del producto de semilla CHIA en el mercado est modelado por la funcin : donde P es el precio unitario al por mayor en soles , y x representa la cantidad en unidades de millar Cul es el precio mnimo que debe colocarse en el mercado?

Un epidemilogo experimenta cierto cultivo de bacterias ,vara de acuerdo a la funcin: , siendo x el tiempo de exposicin a fuentes de energa calrica. Despus de qu tiempo la temperatura es mxima?

27

Rpta:Rpta:28

3000

Una profesora de Educacin inicial estima que la utilidad en nuevos soles, que se obtiene al producir y vender mandiles en determinada empresa ha sido modelada por la funcin donde x representa el nmero de mandiles. Determinar la utilidad en soles Cuntos mandiles hay que vender para obtener la mxima utilidad?

Un Ingeniero Industrial de la cadena hipermercado METRO de SJL estima que la utilidad de la empresa ha sido modelada por la funcin donde p es el precio unitario en soles de un determinado artculo .Determine el mnimo y mximo precio que alcanza el artculo.

29Rpta:Rpta:

Un estudiante de la facultad de Contabilidad estima que la funcin ganancia en nuevos soles de una empresa de ventas ha sido modelada por la funcin donde x representa el tiempo de venta en das .Determinar el nmero de das de venta que hace mxima la funcin y la ganancia mxima obtenida.

Si las plantas de quinua se siembran con una densidad de x plantas por m2, la produccin de quinua ha sido modelada por la funcin kilogramos.Para qu valor de x, la produccin de quinua ser mxima?

322311Rpta:Rpta:

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Cdigo de bibliotecaTEXTO

519 A79Arya J, Lsrdner, R. Matemticas aplicadas a la administracin y a la economa. Mxico: Prentice Hill. 2009. [104] pp. ISBN: 9684444370

519 B92Budnick, F. Matemticas aplicadas para administracin, economa y ciencias sociales. 4a ed. Mxico: Mc Graw Hill. 2007. [1033]. pp.ISBN: 9789701056981

650.0151H13Haeussler, E. Matemticas para Administracin y Economa. 10. ed. Mxico: Pearson. 2008. [105] pp.ISBN: 9789702611479

519 T16MSoo T. Tan. Matemticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida. [s.n.] [s.l.]. 2011. [105]. pp. ISBN: 9786074816044

PENSAMIENTO LGICO 2015 - I