Guia Teorica Topologia

ELEMENTOS DE TOPOLOGA PARA ECONOMA Y GESTINEDUARDO A. RODRGUEZ

DICIEMBRE 2007

NDICE1. TEORA DE CONJUNTOS Conjuntos .................................................................................................................................. 1 Operaciones con conjuntos ....................................................................................................... 1 Conjuntos de ndices y producto de conjuntos ......................................................................... 2 Relaciones ................................................................................................................................. 3 Relaciones especiales: las funciones y las correspondencias ................................................... 4 Descomposicin de conjuntos y relaciones de equivalencia .................................................... 8 Conjuntos finitos y conjuntos infinitos ..................................................................................... 9 Conjuntos numerables .............................................................................................................. 9 Equivalencia de conjuntos ........................................................................................................ 12 Orden y preorden ...................................................................................................................... 14 Aplicaciones econmicas Preferencias sobre planes de consumo .................................................................................. 20 Reglas de eleccin ................................................................................................................. 23 2. ESPACIOS TOPOLGICOS Topologa y conjuntos abiertos ................................................................................................. Entornos y sistema de entornos ................................................................................................ Conjuntos cerrados ................................................................................................................... Puntos de acumulacin ............................................................................................................. Clausura y conjuntos densos ..................................................................................................... Interior y frontera ...................................................................................................................... Relativizacin ........................................................................................................................... Bases y sub-bases ..................................................................................................................... Espacios separables .................................................................................................................. Espacios de Hausdorff y convergencia ..................................................................................... Funciones continuas ................................................................................................................. Homeomorfismos ..................................................................................................................... Espacios producto ..................................................................................................................... Espacios cociente ...................................................................................................................... Espacios compactos .................................................................................................................. Espacios conexos ...................................................................................................................... Semicontinuidad de correspondencias ......................................................................................

27 29 31 32 32 33 34 35 38 41 42 43 45 45 46 49 53

Aplicaciones econmicas Propiedades de los conjuntos de consumo ............................................................................ 56 Existencia de una funcin de utilidad del consumidor .......................................................... 58 3. ESPACIOS MTRICOS Espacios mtricos ..................................................................................................................... Topologa mtrica y espacios metrizables ................................................................................ Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados y conjuntos acotados ................................................. Funciones continuas, homeomorfismos e isometras ...............................................................

65 66 67 68

ELEMENTOS DE TOPOLOGA

Convergencia y completitud ..................................................................................................... 70 Funciones contractivas ............................................................................................................. 70 Espacios mtricos completos .................................................................................................... 70 4. CONJUNTOS CONVEXOS Espacios vectoriales .................................................................................................................. Espacios vectoriales topolgicos .............................................................................................. Conjuntos convexos .................................................................................................................. Hiperplano separador, hiperplano acotador e hiperplano soportante ....................................... Puntos extremos ........................................................................................................................ Conos convexos ........................................................................................................................ Cono dual .................................................................................................................................. Simplices ..................................................................................................................................

73 76 77 81 82 84 85 86

Aplicaciones econmicas Convexidad de los conjuntos de produccin ......................................................................... 87 Convexidad en el consumo .................................................................................................... 95 5. TEOREMAS DEL PUNTO FIJO Teorema del punto fijo de Brower ......................................................................................... Teorema del punto fijo de Lipschitz ...................................................................................... Teorema del punto fijo de Kakutani ...................................................................................... Aplicaciones econmicas Existencia del equilibrio walrasiano ...................................................................................

103 104 105

105

BIBLIOGRAFA ........................................................................................................ 115

ii

1. Teora de conjuntosConjuntos Definir conjunto es difcil debido a la generalidad del concepto. Tomamos la idea de conjunto tal como tomamos la idea de clase, familia, coleccin, etc. Un conjunto est formado por elementos, los cuales constituyen los elementos del mismo. Ejemplo Sea el conjunto A que se encuentra definido comoA = {a, b, c, d , e} .

De esta manera a, b, c, d y e constituyen los elementos de A. En base a esto podemos afirmar quea A b A

c A

dA

e A,

es decir que a, b, c, d y e pertenecen a A. Sin embargo, f no pertenece a Af A.

Por otra parte, el conjunto B = {a, b, c} est formado por elementos pertenecientes a A, lo que constituye un subconjunto de A, es decir B A 1. Adems, si tambin se verifica B A , decimos que B es un subconjunto propio de A. Cuando tratamos con conjuntos que no tienen elementos (como por ejemplo los nmeros reales cuyos cuadrados son nmeros negativos) hacemos referencia a l como el conjunto vaco .

Operaciones con conjuntos Unin: la unin de los conjuntos A y B, es decir A B , est formada por todos aquellos elementos que pertenecen tanto a A como a B. Grficamente:

A

B

1

Cuando decimos B A, consideramos la posibilidad de que B = A.


Interseccin: la interseccin de los conjuntos A y B, es decir A B , est formada por aquellos elementos que pertenecen a A y a B. Grficamente:A B

En el caso en que A B = diremos que A y B son conjuntos disjuntos. En trminos ms generales, sea F una familia de conjuntos tales que A B = para todo par de conjuntos A y B en F , entonces se dice que los conjuntos en F son disjuntos dos-a-dos.

Diferencia topolgica o complemento relativo: la diferencia entre los conjuntos A y B, es decir A B , est formada por aquellos elementos de A que no pertenecen a B. Grficamente:A B

Como consecuencia directa de las definiciones antes mencionadas, se deduce que las operaciones y son conmutativas y asociativas:

A B = B A A B = B A

( A B ) C = A (B C ) ( A B ) C = A (B C )

Adems, las operaciones y obedecen las siguientes leyes distrubutivas:

( A B ) C = ( A C ) (B C ) ( A B ) C = ( A C ) (B C )las cuales reciben el nombre de leyes de De Morgan.

Conjuntos de ndices y producto de conjuntos

Sea I un conjunto. Para cada I sea A un subconjunto de un conjunto S dado. Llamamos a I conjunto de ndices y a la coleccin de subconjuntos de S indicada por los

2

Eduardo A. Rodrguez

TEORA DE CONJUNTOS

elementos de I familia indicada de subconjuntos de S. Denotaremos a esta familia indicada de subconjuntos de S por {A }I . Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A y B, escrito mediante A B , es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados ( x, y ) tales que x A e y B . Una generalizacin del producto cartesiano de dos conjuntos es el producto directo de una coleccin finita de conjuntos. Sean los conjuntos A1 , A2 , , An , los1 cuales se encuentran indicados por { ,2, , n} , el producto directo Ai es el conjunton

consistente de todas las n-upla (a1 , a 2 ,, a n ) tales que ai Ai para todo i { ,2, , n} . 1

i =1

Relaciones

Una relacin es un conjunto de pares ordenados. Si R es una relacin, escribimos xRy, y decimos que x est relacionado con y. El dominio de una relacin R es el conjunto de todas las primeras coordenadas de R y su rango (o recorrido) es el conjunto de todas las segundas coordenadas de R.Ejemplos

Sea T el conjunto de los subconjuntos de un conjunto S. Una relacin definida en T podra ser est contenida en. EntoncesxRy

es equivalente a

X Y .

Otra relacin que podra definirse es no intersecta a. EntoncesxRy

es equivalente a

X Y = .

Si consideramos el conjunto de los nmeros naturales N, podemos establecer la relacin no es un sucesor de. Entonces

xRy

es equivalente a

x y.

La inversa de una relacin, es decir R 1 , se obtiene invirtiendo cada uno de los pares que pertenecen a R. Entonces

yR 1 x xRy .Ejemplos

Sea R la relacin est contenida en antes mencionada. Podemos definir R 1 como contiene a. Entonces yR 1 x es equivalente a Y X porque xRy es equivalente a X Y . 3

Eduardo A. Rodrguez


Sea R la relacin no intersecta a. En este caso R y R 1 coinciden en virtud de la conmutatividad de la operacin de interseccin, por la cual R 1 tambin quedar definido como no intersecta a. Entonces yR 1 x es equivalente a Y X = porque xRy es equivalente a X Y = . Sea R la relacin no es sucesor de. Podemos definir R 1 como no precede a. Entonces yR 1 x es equivalente a y x porque xRy es equivalente a x y .

Relaciones especiales: las funciones y las correspondencias

Una funcin es una relacin tal que no hay dos elementos diferentes de ella con la misma primera coordenada. Es decir, f es una funcin sii los elementos de f son pares ordenados y si ( x, z ) y ( x , y ) son elementos de f, entonces y = z . Si f es una funcin y x es un punto de su dominio (el conjunto de todas las primeras coordenadas de elementos de f), entonces f ( x ) es la segunda coordenada del nico elemento de f cuya primera coordenada es x. El punto f ( x ) es el valor de f en x, o la imagen de x por f, y decimos que f asigna a x el valor f ( x ) o toma el valor f ( x ) en x o lleva x a f ( x ) . Denotaremos a la funcin f mediante f : X Y

La imagen del conjunto A X bajo f : X Y es el conjuntof ( A) = {y : y Y , y = f (x ) para algn x A}

La restriccin de f : X Y a A X , la cual escribiremos fA , es la funcin

fA : A Y tal que fA ( x ) = f ( x ) para cada x A . Bajo estas circunstancias, f es

( )

llamada extensin de fA a X.Propiedades

Sean A y B dos conjuntos pertenecientes al dominio de la funcin f : X Y . Entonces 1- f () = ; 2- f ({x}) = { f ( x )} ; 3- A B f ( A) f (B ) ; 4- A f ( A) ; 5- f ( A B ) = f ( A) f (B ) ; 6- f ( A B ) f ( A) f (B ) .

4

Eduardo A. Rodrguez

TEORA DE CONJUNTOS

Ejemplo: Sea X = { ,2,3,4} e Y = { ,2} . Definimos los conjuntos A X y 1 1 B X de la siguiente manera:A = { ,2,3} 1 B = {2,3,4}

y la funcin f : X Y

x y = f(x)entonces tenemos que

1 2

2 1

3 1

4 2

A B = {2,3} , entonces f ( A B ) = { } ; 1 f ( A) = { ,2} y f (B ) = { ,2}, entonces f ( A) f (B ) = { ,2}. 1 1 11 1 Por lo tanto se ve que f ( A B ) f ( A) f (B ) , ya que { } { ,2}.

La imagen inversa de un conjunto C Y designaremos f 1 (C ) , es el conjunto

bajo la funcin

f : X Y , que

f

1

(C ) = {x : x X , f (x ) C} ,

la cual tiene las propiedades que se detallan a continuacin.Propiedades

Sean los conjuntos A X , C Y y D Y , la relacin inversa2 f satisface las siguientes propiedades 12f ( x ) = y es equivalente a x f1

1

:Y X

( y ) 3;

f

1

( ) = ;1

3- C D f 4-

(C ) f1

f

1

(D ) ;

f

1

(C D ) =

(C ) f 1 (D ) ;

2

No confundir con funcin inversa, la cual ser definida ms adelante. Ntese que escribimos

3

x f

1

( y ) en lugar de lo que es realmente correcto:

x f

1

({y}) .5

Eduardo A. Rodrguez


5-

f

1

(C D ) =1

f

1

(C ) f 1 (D ) ;

6- A f 7-

[ f ( A)] ;

f f

[

1

(C )] C ;

Ejemplo

Sea X = { ,2,3,4,5} e Y = { ,2,3,4}. Definimos los conjuntos A X , B X y C Y 1 1 de la siguiente manera:A = { ,2,3} 1 B = {2,4,5} C = { ,2} 1

y la funcin f : X Y

x y = f(x)

1 3

2 3

3 4

4 1

5 4

Sea x = 2, entonces f (2 ) = {3} ; sin embargo si consideramos y = 3, tenemos que f 1 (3) = { ,2} . Se ve entonces que f ( x ) = y es equivalente a x f 1 ( y ) ya que 1 f (2 ) = 3 es equivalente a 2 { ,2} . 1 Sea A = { ,2,3} , entonces f ( A) = {3,4} y f 1 1 A f [ f ( A)] ya que { ,2,3} { ,2,3,5}. 1 11

[ f ( A)] = {1,2,3,5} . Se ve entonces que

Sea C = { ,2} , entonces f 1 (C ) = {4} y f f 1 1 f f (C ) C ya que { } { ,2}. 1 1

[

]

[

1

(C )] = {1} .

Se ve entonces que

Una funcin f : X Y es sobre Y sii Y es su imagen o recorrido (el conjunto de las segundas coordenadas de elementos de f, a veces llamado conjuntos de valores). En este caso diremos que la funcin es sobreyectiva. Si el recorrido de f es parte de Y, entonces f es en Y y la funcin no ser sobreyectiva. Si a elementos diferentes de X le corresponden elementos diferentes de Y, la funcin ser inyectiva. En general una funcin es pluriunvoca, en el sentido de que hay muchos pares con la misma segunda coordenada o, lo que es lo mismo, muchos puntos en los que la funcin toma el mismo valor. Una funcin f es biunvoca (o biyectiva) sii puntos diferentes tienen imgenes diferentes (inyectiva) e Y es su recorrido (sobreyectiva), es decir, si la relacin inversa f 1 es tambin funcin.

6

Eduardo A. Rodrguez

TEORA DE CONJUNTOS

Ejemplos

Funcin constante: es una funcin f : X Y tal que para algn y Y fijo, f ( x ) = y para todo x X . Funcin identidad sobre X: es una funcin i : X X que se representa como i( x ) = x para todo x X . Funcin inversa: Dada una funcin f : X Y , es una funcin f 1 : Y X tal que f 1 ( f ( x )) = x para todo x X y f ( f 1 ( y )) = y para todo y Y . Funcin compuesta: Si f : X Y y g : Y Z son funciones, entonces gf : X Z es la funcin definida por gf ( x ) = g ( f ( x )) para todo x X . Esta funcin compuesta suele escribirse tambin como g f .

Una sucesin es simplemente una funcin cuyo dominio es el conjunto de los enteros no negativos, expresndose de la siguiente manera:

S = {x n } = x0 , x1 , x 2 ,, x n ,Decimos que T es una subsucesin S sii existe una sucesin de enteros no negativos N tal que Ti = S N i para cada i, y para cada entero m existe un entero n tal que N i m cada vez que i n .

Sea f : X Y una funcin (relacin) que asocia a cada punto del dominio x X , un punto en el codominio y Y . Entonces X Y es el conjunto de pares ( x, f ( x )) en los cuales x X y f ( x ) Y . Si tomamos un par arbitrario ( x, y ) , podemos decir que y = f ( x ) o y f ( x ) , por lo que los pares ( x, y ) que satisfacen y = f ( x ) forman un subconjunto de X Y . A este subconjunto de X Y lo llamamos grfica de la funcin f.

Sea g : X Y una relacin que asocia a cada punto x X un conjunto (x ) Y . Llamamos a esta relacin correspondencia, siendo entonces la funcin un caso particular de sta. De igual manera podemos definir la grfica de una correspondencia como el subconjunto de X Y :Graf ( ) = {(x, y ) : y ( x ), x X , y Y }.

Eduardo A. Rodrguez

7


Ejemplo

Funcin f(x)

Correspondencia (x)y y=x

y

f ( x) = x2

(x)

y=x xGraf ( f ) = (x, y ) : y = x 2

xGraf ( ) = {( x, y ) : x y x}

{

}

Descomposicin de conjuntos y relaciones de equivalencia

Llamamos descomposicin o particin en clases de un conjunto A a toda representacin de dicho conjunto como la unin de una familia de conjuntos disjuntos dos-a-dos. Una descomposicin se hace usualmente en base a algn criterio, lo cual nos permitir poder asignar los elementos de A en una clase u otra. Para ello necesitamos definir relaciones de equivalencia. Una relacin R sobre A es una relacin de equivalencia (sobre A) si satisface las siguientes tres condiciones: 1- Reflexividad: aRa para todo a A ; 2- Simetra: aRb bRa para todo a , b A 4; 3- Transitividad: aRb, bRc aRc para todo a , b, c A ;Propiedad

Un conjunto A puede ser particionado en clases por una relacin R (que actuar como criterio para asignar dos elementos a la misma clase) sii R es una relacin de equivalencia. (Ver demostracin en KOLMOGOROV-FOMIN, pgs. 7-8). De esta manera, uno puede hablar de descomposicin de conjuntos en clases de equivalencia. En consecuencia, dos clases de equivalencia sern disjuntas o idnticas. El conjunto A/R

4

Otra forma de expresar la simetra de una relacin es la siguiente: la relacin R es simtrica sii R = R-1. Una relacin es antisimtrica sii nunca se presentan simultneamente aRb y bRa. Eduardo A. Rodrguez

8

TEORA DE CONJUNTOS

conformado por las clases de equivalencias de A utilizando como criterio la relacin R suele llamarse cociente de A por la relacin R.Ejemplos

Dentro de los nmeros reales , la relacin es igual a (=) es una relacin de equivalencia. En este caso la relacin es igual a define clases de equivalencia donde cada elemento constituye una clase de un nico elemento. Sin embargo, la relacin es menor a ( 0 . Llamamos a la suma p + q la altura del fraccin irreductible q p nmero racional = . Por ejemplo: q

0 = 0 es el nico nmero racional de altura 1; 11 1 y son los nicos nmeros racionales de altura 2; 1 1

2 2 1 1 , y son los nicos nmeros racionales de altura 3; y as , 2 1 1 2 sucesivamente.Entonces ahora podemos acomodar todos los nmeros racionales en orden de altura creciente 0 1 1 2 2 1 1 ; ; ; ; ; ; ; . 1 1 1 1 1 2 2 De esta manera, podemos asignar a cada nmero racional un nico entero positivo, es decir, podemos establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto Q de todos los nmeros racionales y el conjunto Z + de todos los nmeros enteros positivos, es decirQ: 0 1 1 1 1 1 2 3 2 1 4 2 1 5 1 2 6 1 2 7

Z+ : 1

Los conjuntos numerables poseen las propiedades que se detallan a continuacin:10Eduardo A. Rodrguez

TEORA DE CONJUNTOS

Propiedades

1- Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable. (Ver demostracin en AYALA-DOMINGUEZ-QUINTERO, pgs. 301) 2- La unin de una coleccin numerable de conjuntos numerables es numerable. (Ver demostracin en AYALA-DOMINGUEZ-QUINTERO, pg. 301) 3- Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito-numerable5. (Ver demostracin en KOLMOGOROV-FOMIN, pgs. 12-13)Un ejemplo de conjunto no numerable: el intervalo cerrado [0,1]

El conjunto de los nmeros reales contenido en el intervalo cerrado [0,1] es nonumerable. Para ver esto, supongamos que, de alguna manera, hemos podido contar algunos o todos los nmeros reales en [0,1] , acomodndolos en la siguiente lista

1 = 0, a11a12 a1n 2 = 0, a21a22 a2 n n = 0, an1an 2 ann donde aik es el k-simo dgito en la expresin decimal del nmero i . Consideremos el decimal

= 0, b1b2 bn construido de la siguiente manera: para b1 elegir cualquier dgito (entre 0 y 9) diferente de a11, para b2 cualquier dgito diferente de a22, y as sucesivamente, eligiendo para bn cualquier dgito diferente de ann. Entonces el nmero no puede coincidir con ningn decimal de la lista inicial. En realidad, difiere de 1 en al menos el primer dgito, de 2 en al menos el segundo dgito, y as sucesivamente puesto que en general bn a nn

para todo n. De este modo, ninguna lista de nmeros reales en el intervalo [0,1] puede incluir todos los nmeros reales en [0,1] .6 Otros ejemplos de conjuntos no numerables son:

Esta ltima propiedad muestra que los conjuntos infinito-numerables son los conjuntos infinitos ms pequeos. Esto se relaciona con algo que veremos inmediatamente: la potencia de un conjunto.6

5

Puesto que ciertos nmeros, como por ejemplo los de la forma p/10q pueden escribirse como decimales de dos maneras diferentes, es decir como una infinita corrida de ceros o una infinita corrida de nueves, el argumento anterior puede ser refinado ligeramente para contemplar esta situacin, ya que 0,5 y 0,49 no representan nmeros reales distintos, sino que ambos son iguales al nmero real . Para ello consultar KOLMOGOROV-FOMIN, pg. 15. La idea es restringirse a que no contenga ni ceros ni nueves. Eduardo A. Rodrguez

11


El conjunto de puntos en cualquier intervalo cerrado [a, b] ; El conjunto de puntos de la recta real; El conjunto de puntos en cualquier intervalo abierto (a, b ) ; El conjunto de todos los puntos en el plano o en el espacio; El conjunto de todos los puntos sobre una esfera o dentro de una esfera; El conjunto de todas las lneas del plano; El conjunto de todas las funciones reales continuas de una o varias variables.

Equivalencia de conjuntos

Decimos que los conjuntos X e Y son equivalentes cuando puede establecerse una correspondencia uno a uno entre los elementos de ambos conjuntos. El concepto de equivalencia es aplicable tanto a conjuntos finitos como infinitos. Dos conjuntos finitos son equivalentes sii tienen la misma cantidad de elementos, por lo tanto podemos definir conjunto infinito-numerable como un conjunto equivalente al conjunto de todos los nmeros enteros positivos. Resulta obvio entonces que si dos conjuntos son equivalentes a un tercero, entonces son tambien equivalentes entre ellos y que, en particular, cualquier par de conjuntos infinito-numerables son equivalentes entre si.Ejemplos

Todo conjunto infinito-numerable es equivalente a Z + ya que puede establecerse una correspondencia uno a uno entre los elementos de ambos conjuntos. Los conjuntos de puntos en dos intervalos cerrados [a, b] y [c, d ] son equivalentes. 0 La siguiente figura muestra cmo se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre ellos. Aqu los puntos p y q se corresponden entre s sii subyacen ambos en el mismo rayo que parte del punto 0, en el cual las extensiones de los segmentos ac y bd se intersectan.

a

p

b

c

q

d

El conjunto de todos los puntos contenidos en el intervalo abierto (0,1) es equivalente al conjunto de todos los puntos sobre la totalidad de la recta real. Por ejemplo la frmula

12

Eduardo A. Rodrguez

TEORA DE CONJUNTOS

y=

1

arc tg x +

1 2

establece una correspondencia uno a uno entre ambos conjuntos, como puede verse en el siguiente grfico: y 1

y=

1

arc tg x +

1 2

-xPropiedades

0

x

Todo conjunto infinito no numerable es equivalente a uno de sus subconjuntos propios. (Ver demostracin en KOLMOGOROV-FOMIN, pg. 14)Teorema de Cantor-Bernstein: Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, supongamos que A contiene un subconjunto A1 equivalente a B, mientras que B contiene un subconjunto B1 equivalente a A. Entonces A y B son equivalentes. (Ver demostracin en KOLMOGOROV-FOMIN, pgs. 17-18)

Si dos conjuntos cualesquiera M y N son equivalentes se dice que tienen la misma potencia. Si adems ambos conjuntos fueran finitos, esto equivaldra afirmar que tienen la misma cantidad de elementos, con lo cual el concepto de potencia de un conjunto se reduce a la nocin usual de nmero de elementos de un conjunto. La potencia del conjunto Z+ de todos los enteros positivos, y por ende la potencia de cualquier conjunto infinito-numerable, se denota con el smbolo 0 , que se lee alef cero. Un conjunto equivalente al conjunto de los nmeros reales contenidos en el intervalo [0,1] , y por ende el conjunto de todos los nmeros reales, se dice que tiene la potencia del continuo, que se denota por c (o bien 1 ). Para las potencias de conjuntos finitos tenemos las nociones de mas grande que y ms chico que, como as tambin la nocin de igualdad. Este concepto es extendible al caso de los conjuntos infinitos. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera con potencias m(A) y m(B) respectivamente. Pueden darse los siguientes casos: 1- Si A es equivalente a B, entonces m(A) = m(B) por definicin.

Eduardo A. Rodrguez

13


2- Si A es equivalente a un subconjunto de B y si ningn subconjunto de A es equivalente a B, por analoga con el caso finito consideramos m(A) < m(B). 3- Si B tiene un subconjunto equivalente a A y A tiene un subconjunto equivalente a B, entonces por aplicacin del teorema de Cantor-Bernstein A y B tienen la misma potencia. 4- Si A y B no son equivalentes, como as tampoco ninguno de los dos conjuntos tienen subconjuntos equivalentes entre ambos, entonces en principio parecera que las potencias de ambos conjuntos no podran ser comparadas. Sin embargo puede demostrarse a partir del teorema de buena ordenacin7 que tal situacin no puede darse. De esta manera ocurre que m(A) = m(B), m(A) < m(B) o bien m(A) > m(B). Por ejemplo, 0 < c. Ya ha sido mencionado que los conjuntos infinito-numerables son los conjuntos infinitos ms pequeos. Tambin ha sido mostrado que existen conjuntos infinitos con una potencia ms grande que la de un conjunto infinito-numerable, aquellos conjuntos que tienen la potencia del continuo. Sin embargo hay conjuntos infinitos de potencia mayor a la del continuo.Propiedad

Dado un conjunto cualquiera M, sea M el conjunto cuyos elementos son todos los posibles subconjuntos de M. Entonces la potencia de M es ms grande que la potencia del conjunto original M. (Ver demostracin en KOLMOGOROV-FOMIN, pg 17) De esta manera, dado cualquier conjunto M, existe un conjunto M con potencia ms grande, un conjunto M* de potencia an ms grande, y as indefinidamente. En particular, no existe un conjunto que tenga la mayor potencia8.

Orden y preorden

Una relacin R sobre un conjunto M se dice que es un preorden (parcial) y que el conjunto M est preordenado (parcialmente) si 1- R es reflexiva: aRa , a M 2- R es transitiva: aRb, bRc aRc , a, b, c M Cuando adems R es antisimtrica, es decir xRy, yRx x = y , la relacin se denomina orden (parcial). Para designar un preorden suele utilizarse el smbolo .

7

El cual veremos en el siguiente apartado.

8

El conjunto M formado con todos los posibles subconjuntos de M se lo conoce como conjunto potencia (o conjunto de partes) de M. Si M tiene n elementos, M tendr 2n elementos. Eduardo A. Rodrguez

14

TEORA DE CONJUNTOS

Por definicin y x significa x y9. Por otra parte, cuando tengamos x y e y x, escribiremos x y, mientras que si ocurre que x y pero no y x, entonces escribiremos x y (o y x )10.Ejemplos

Sea el conjunto de todos los nmeros reales y R la relacin es menor o igual a , que denotamos con el smbolo . De esta forma R constituye un preorden porque

aaa b, b c a c Adems se verifica:a b, b a a = b

por lo cual la relacin constituye un orden. Sea M el conjunto de todas las funciones continuas f , g ,... definidas en el intervalo [ , ] . De esta forma tenemos un preorden haciendof g f (t ) g (t )

para todo t [ , ] .

La relacin no intersecta a, equivalente a X Y = , no es una relacin de preorden ya queX X X Y = e Y Z = no implica X Z =

La relacin est contenido en, equivalente a X Y , no slo es un preorden (parcial) sino tambin un orden (parcial).

Sean M y M dos conjuntos preordenados. Si existe una relacin f uno a uno entre ambos conjuntos tal que:f (a ) f (b ) a b

llamamos a esta relacin f isomorfismo y a los conjuntos M y M isomorfos.

9

De esta manera como el smbolo se corresponde con la relacin R, el smbolo corresponder con la relacin R-1. Ntese que si bien y son reflexivas, no lo es. Adems es antisimtrica.

se

10

Eduardo A. Rodrguez

15


Ejemplos

Sea A el conjunto de los nmeros enteros positivos ordenados de la manera usual y 1 2 3 n B el conjunto de las fracciones , , , , , tambin ordenadas de la manera 2 3 4 n +1 usual. La transformacin f : A B definida por f (n ) = n n +1

es una correspondencia uno-a-uno y preserva orden. Adems, en lo que al orden concierne, no hay manera de distinguir entre A y B. A y B son isomorfos y f es un isomorfismo. Sea M el conjunto de los nmeros enteros positivos mayores a 1, parcialmente ordenados mediante la relacin es divisor de. Por otra parte sea M el mismo conjunto parcialmente ordenado mediante la relacin es menor o igual a. Entonces la correspondencia de M sobre M que relaciona todo nmero entero n con si mismo preserva orden. Sin embargo no es un isomorfismo porque no puede establecerse una relacin del tipo si y solo si ya que si bien un divisor de un nmero tiene que ser menor o igual a l, todo nmero menor o igual a ste no necesariamente es un divisor suyo. Tendremos entonces que para los pares (a, b) de ambas relaciones tales que a b se verifica:M : 2 3 4 5 6 7 8 ... 4 8 ... M: 2 3 6 ... 5 7 ... ...

El isomorfismo entre conjuntos parcialmente ordenados es una relacin de equivalencia. Por ende, una familia dada de conjuntos parcialmente ordenados puede ser particionada en clases de conjuntos disjuntos isomorfos. Claramente, dos conjuntos isomorfos parcialmente ordenados pueden ser considerados idnticos en los casos donde el elemento de inters sea la estructura de ordenacin parcial y no los elementos de los conjuntos.

Por otra parte, dados dos elementos a y b de un conjunto preordenado, puede ocurrir que ninguna de las relaciones a b y b a se cumpla. En este caso decimos que a y b son no-comparables. Lo mismo puede ocurrir con una relacin de orden. En general, este tipo de relaciones se encuentra definida para ciertos pares de elementos, por eso a estas relaciones se las conoce como preorden parcial y orden parcial. Cuando un conjunto M no tiene elementos no-comparables, entonces hablamos de preorden completo y orden completo.

16

Eduardo A. Rodrguez

TEORA DE CONJUNTOS

Ejemplos

Los conjuntos completamente ordenados con las relaciones usuales de mayor o igual que y menor o igual que ms simples son: el conjunto de todos los enteros positivos; el conjunto de todos los nmeros racionales; el conjunto de los reales contenidos en el intervalo [0,1] . Sin embargo, el conjunto de las funciones continuas sobre [ , ] , si bien es un conjunto preordenado no lo es de manera completa, ya que puede ocurrir para un par de funciones f* y g*f * (t ) g * (t ) para todo t [ , t )

y

f * (t ) g * (t ) para todo [t , ]

Sea M un conjunto parcialmente preordenado y sea y M : si no existe ningn x M tal que y x , entonces decimos que y es un elemento maximal de M; es decir, no existe ningn elemento mayor a x. si no existe ningn x M tal que x y , entonces y es un elemento minimal de M; es decir, no existe ningn elemento menor a x. si para todo x M se verifica que x y , entonces decimos que y es un elemento mximo de M; es decir, todos los elementos son menores o iguales a y. si para todo x M se verifica que y x , entonces decimos que y es un elemento mnimo de M; es decir, todos los elementos son mayores o iguales a y.Ejemplo

1 1 1 1 Sea B = 1, , , , , ; un conjunto ordenado mediante la relacin es mayor n 2 3 4 o igual a. De esta manera, B tiene Un elemento maximal (1) porque no existe ningn elemento mayor a 1; Un elemento mximo (1) porque es el mayor de los elementos de B; Sin embargo, B no tiene ni minimales ni mnimos.

Sea S = { ,2,3,4,5} un conjunto parcialmente ordenado por la relacin es divisor 1 de. El conjunto de pares ordenados R (relacin) ser entoncesR = {(1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , (1,5 ) , ( 2, 4 ) , (1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 ) , ( 5,5 )}

es decir que los diferentes elementos de S se encuentran relacionados de la siguiente manera.Eduardo A. Rodrguez

17


S: 1 2 3 1 2 1 3 1

4 4

5

5

donde significa es divisor de11. Entonces vemos que S tiene Tres elementos maximales (3, 4 y 5), ya que no existe ningn elemento de S que sea divisible ni por 3 ni por 4 ni por 5. Sin embargo 4 es divisible por 2 y todos los elementos de S son divisibles por 1; por ello 2 y 1 no son maximales de S. Ningn elemento mximo, ya que no existe ningn elemento de S que sea divisible por todos sus elementos. Un elemento minimal, ya que no existe ningn elemento de S tal que 1 sea divisible por l. Un elemento mnimo (1), ya que todo elemento de S es divisible por 1.Propiedades

Sea M un conjunto parcialmente preordenado. Entonces

Un mximo de M es maximal; a su vez un mnimo es minimal, pero cuando el preorden es completo la distincin entre mximo y maximal desaparece. Lo mismo ocurre con la distincin entre mnimo y minimal. Si el preorden es un orden existe a lo sumo un mximo y a lo sumo un mnimo; es decir que existe un mximo o ninguno y un mnimo o ninguno.

Sea M un conjunto preordenado y considrese un subconjunto A M . Un elemento y M tal que para cualquier x A se tenga que x y se denomina cota superior de A; si ocurre que y x , entonces y se llama cota inferior de A. Teniendo en cuenta el conjunto de todas las cotas superiores de A, llamamos supremo de A ( Sup A ) al elemento mnimo de las cotas superiores de A, mientras que llamamos nfimo de A ( Inf A ) al elemento mximo de las cotas inferiores.Ejemplos

Considrese el intervalo abierto A = ( 1,1) en la recta real. Entonces tenemos que: todo nmero mayor o igual a 1 es una cota superior de A, la cota superior mnima es 1, por lo cual Sup A = 1 , a pesar de no pertenecer al conjunto.

11

En este caso, la relacin inversa sera es divisible por o es mltiplo de. Eduardo A. Rodrguez

18

TEORA DE CONJUNTOS

todo nmero menor o igual a -1 es una cota inferior de A, la cota inferior mxima es 1 , por lo cual Inf A = 1 , a pesar de no pertenecer al conjunto.

El conjunto A no tiene elementos mximos ni elementos mnimos.

Si bien es un conjunto completamente ordenado con la relacin de orden usual, 2 no lo es ya que la relacin de orden solamente puede establecerse entre puntos pertenecientes a una recta que tenga pendiente positiva.x2 x xa Cc

B A

xb

x1

Como puede verse en el grfico, una relacin de orden puede establecerse sobre los puntos de la recta A y sobre los puntos de la recta B, pero nunca sobre los puntos de la recta C porque en este ltimo caso c b podremos tener que x1c < x1b pero x 2 > x 2 , es decir que el sentido de la desigualdad cambia cuando se comparan las primeras componentes y las segundas componentes.

Una manera de definir una relacin de orden completo en 2 a partir de la relacin de orden usual en es a travs del llamado orden lexicogrfico: diremos que

(a1 , b1 ) < (a 2 b2 ) si

a1 < a 2 a1 = a 2

y b1 < b2

Sea el intervalo I = [a, b) . El conjunto I no tiene mximo, pero su supremo es b. Su mnimo coincide con su nfimo, el cual es a.

Un conjunto completamente ordenado M se dice que est bien ordenado si todo subconjunto no vaco A de M tiene un mnimo, es decir que posee un elemento tal que a para todo a A .Ejemplos

Todo conjunto finito completamente ordenado es bien ordenado. Todo subconjunto no vaco de un conjunto bien ordenado es bien ordenado. El conjunto M de nmeros racionales en el intervalo [0,1] est completamente ordenado pero no es bien ordenado. Es cierto que M tiene un mnimo, el nmero 0, pero el subconjunto de M conformado por todos los nmeros racionales positivos no tiene mnimo.

Si bien no todo conjunto completamente ordenado es bien ordenado, todo conjunto puede bien ordenarse, como lo afirma el siguiente teorema.Eduardo A. Rodrguez

19


Propiedad

Teorema de buena ordenacin (Zermelo): todo conjunto X puede bien ordenarse; es decir que siempre existir una relacin de orden sobre X tal que X sea un conjunto bien ordenado. (Ver demostracin en KELLEY, pgs 47-48). La demostracin de este ltimo teorema se basa en el axioma que se menciona a continuacin.

existe una funcin f : I Ai tal que f (i ) Ai para todo i I . Esto es,iI

Axioma de eleccin: Sea A = {Ai }iI una familia de conjuntos no vacos. Entonces

podemos elegir simultneamente un elemento de cada conjunto demostracin en KELLEY, pg 47)

Ai . (Ver

Aplicaciones econmicasPreferencias sobre planes de consumo

Un consumidor debe tomar decisiones con el objetivo de definir su plan de consumo. Dicha decisin no slo se limita a elegir las cantidades de bienes a consumir, sino tambin las cantidades que tiene en su posesin (riqueza) que deber entregar para conseguir aquellos bienes que desea. Para ello el consumidor debe basar su decisin sobre el conjunto de las mercancas (que pueden ser una cantidad finita o infinita) existentes en la economa, al cual llamamos espacio de mercancas M. Representaremos un plan de consumo mediante el punto xi M , el cual puede ser posible o imposible de alcanzar por el consumidor i. Llamamos conjunto de consumo Xi al conjunto de todos los consumos posibles para el i-simo consumidor.

Preferencias del consumidor

Dados dos consumos xi1 , xi2 en Xi, se supone que uno y solamente uno de los siguientes tres casos puede darse para el consumidor: a) xi1 es preferido a xi2 ; b) xi1 es indiferente a xi2 ; c) xi2 es preferido a xi1 . En base a estas situaciones se puede establecer la relacin no es preferido a, que simblicamente representamos comoxi1 xi2 .

20

Eduardo A. Rodrguez

TEORA DE CONJUNTOS

Esta relacin constituye un preorden, ya que para todo xi1 , xi2 , xi3 X i tenemos que 1) es reflexiva: xi1 xi1 ; 2) es transitiva: xi1 xi2 y xi2 xi3 , entonces xi1 xi3 , Llamamos a esta relacin preorden de preferencias. En virtud de que los planes de consumo son todos comparables entre s, la relacin constituye un preorden completo. Por otra parte, la relacin permite definir la relacin de indiferencia como:xi1 xi2 xi1 xi2 , xi2 xi1

la cual se lee xi1 es indiferente a xi2 . En gran parte de la teora microeconmica se supone que las preferencias individuales son racionales. La hiptesis de racionalidad est personificada en dos supuestos bsicos sobre las relaciones de preferencias que ya hemos mencionado: completitud y transitividad.completitud: este supuesto dice que los individuos tienen una preferencia bien definida entre dos alternativas dadas. Este es un supuesto fuerte ya que equivale a suponer que el individuo ha realizado un importante trabajo de introspeccin. Bajo este supuesto los individuos solo toman decisiones luego de haberlo meditado detenidamente. transitividad: este es otro supuesto fuerte y va al centro del concepto de racionalidad. La transitividad implica que es imposible tomar decisiones que tengan carcter circular del tipo a es preferido a b, b es preferido a c y c es preferido a a.

Ambos supuestos pueden ser de difcil concrecin si las alternativas a evaluar se encuentran lejos de la experiencia habitual del consumidor.

Relacin de indiferencia

La relacin de indiferencia del consumidor es una relacin de equivalencia ya que, para todo xi1 , xi2 , xi3 X i : 1) es reflexiva: xi1 xi1 ; 2) es simtrica: xi1 xi2 xi2 xi1 ; 3) es transitiva: xi1 xi2 y xi2 xi3 , entonces xi1 xi3 . De esta manera, la existencia de una relacin de equivalencia (la relacin de indiferencia) en Xi permite particionar Xi en clases de equivalencia. Entonces, dado un plan de consumo xi ' X i , el conjuntoEduardo A. Rodrguez

21


{xi X i : xi

xi '}

es decir el conjunto de consumos xi formado por aquellos planes de consumo que son indiferentes a xi ' , constituye una clase de indiferencia en Xi. No es difcil ver que un consumo arbitrario en Xi pertenece a una y solo una clase de indiferencia, es decir que el conjunto de las clases de indiferencia constituye una particin de Xi. De esta manera, el conjunto de las clases de indiferencia del consumidor es el cociente de X por la relacin de indiferencia , es decir X/.

El supuesto de transitividad12

Dentro de los problemas generales de eleccin, el supuesto de transitividad puede fallar por una cantidad de razones. Una de las dificultades aparece a causa del problema de las diferencias apenas perceptibles: Supongamos que una persona debe elegir entre dos variedades muy similares de gris para pintar su habitacin. ste puede no ser capaz de notar la diferencia entre los colores y les resultar indiferentes. Supngase ahora que se le ofrece elegir entre el gris ms claro de los dos y uno an ms claro. Puede ser que este nuevo par de colores le vuelva a resultar indiferente porque no distingue la diferencia entre ambos. Podemos continuar de esta forma, haciendo que los colores se tomen progresivamente ms claros en los sucesivos experimentos de eleccin, pudiendo ocurrir que esta persona exprese indiferencia entre ambos colores cada vez que deba tomar una decisin. Una vez realizados varios experimentos, ofrecemos a este individuo elegir entre la primera variedad de gris (la inicial ms oscura) y la final (muy cercana al blanco). En este caso el individuo podra ser capaz de distinguir ambos colores y decidirse por uno de ellos. De esta manera se violara la transitividad. A veces la aparente intransitividad puede ser explicada como el resultado de la interaccin de varios individuos racionales, es decir varios individuos con preferencias transitivas. Consideremos el siguiente ejemplo: Una casa integrada por la madre (m), el padre (p) y el hijo (h) toman decisiones por mayora de votos. Las alternativas para el viernes a la tarde son ir al teatro (T), a un concierto (C) o a patinar (P). Los tres miembros de la casa tienen preferencias individuales racionales, a saber:TPm

CT

m

PC

(padre) (madre)

p

p

12

Los ejemplos citados en el presente apartado son tomados de MAS COLLEL-WHINSTON-GREEN, pgs. 7-8. Eduardo A. Rodrguez

22

TEORA DE CONJUNTOS

C

h

P

h

T

(hijo)

Ahora imaginemos que se hacen tres votaciones por mayora. Considerando las relaciones mencionadas anteriormente, obtenemos los siguientes resultados:T vs. C gana T C vs. P gana C T P vs. T gana P

C

P

T

lo que hace que las preferencias del grupo sean intransitivas. Este ejemplo es conocido como paradoja de Candorcet. Puede ocurrir que la intransitividad en las preferencias de un individuo sea manifestacin de cambios en los gustos. Un potencial fumador de cigarrillos puede preferir fumar un cigarrillo por da a no fumar y puede preferir no fumar a fumar mucho, pero una vez que est fumando un cigarrillo por da, sus gustos pueden cambiar, pudiendo desear incrementar la cantidad de cigarrillos que fuma. Formalmente en la situacin inicial tendremos: un cigarrillo ningn cigarrillo muchos cigarrillos.

mientras que luego de fumar un cigarrillo ocurrir que muchos cigarrillos un cigarrillo ningn cigarrillo.

De esta manera pareciera haber una intransitividad del tipo muchos cigarrillos un cigarrillo muchos cigarrillos.

Si nos apegamos a nuestra definicin de consumidor racional, tal situacin implica que un consumidor racional debera poder anticipar estos posibles cambios inducidos en los gustos.

El supuesto de insaciabilidad

Suele suponerse que no existe un consumo de saciedad para el i-simo consumidor, es decir, sea cual fuere su consumo (en Xi), hay otro (en Xi) que el i-simo consumidor prefiere.

Reglas de eleccin

Existe una segunda aproximacin al problema de la decisin del consumidor, la cual se desarrolla considerando la conducta de eleccin como el objeto primario de la teora en lugar de las preferencias.

Eduardo A. Rodrguez

23


Formalmente la conducta de eleccin es representada a travs de una estructura de eleccin. Una estructura de eleccin es un par ordenado (B, C ()) tal que:B es una familia de conjuntos no vacos de Xi; es decir que todo elemento de B es un conjunto B X i . Llamamos a los elementos de B B conjuntos presupuestarios. Los conjuntos presupuestarios en B deben ser pensados como una lista exhaustiva de todos los experimentos de eleccin concebibles que pueden ser llevados a cabo por el consumidor, ya sea a nivel institucional, fsico, etc.C () es una regla de eleccin (tcnicamente es una correspondencia) que asigna un conjunto no vaco de elementos seleccionados C (B ) B a cada conjunto presupuestario B B . Cuando C (B ) contiene un nico elemento, ese elemento es la eleccin individual entre todos los elementos de B. De todos modos, el conjunto C (B ) puede contener ms de un elemento. Cuando esto ocurre, los elementos de C (B ) son las alternativas en B que el consumidor puede considerar y elegir; esto es, son las alternativas aceptables en B.

Ejemplo

Supongamos que X i = {x, y, z} y B = {{x, y}, {x, y, z}} . Una posible estructura de eleccin podra ser (B,C1 ()) donde la regla de eleccin C1 () es:C1 ({x, y}) = {x}

y

C1 ({x, y, z}) = {x}

En este caso vemos que ser elegido x sin importar cul sea el conjunto presupuestario que el consumidor enfrente. Otra posible estructura de eleccin podra ser (B,C 2 ()) , donde la regla de eleccin C 2 () es:C 2 ({x, y}) = {x}

y

C 2 ({x, y, z}) = {x, y}

En este ltimo caso vemos que x siempre es considerado, pero para el conjunto presupuestario {x, y, z} el consumidor tambin considerar y. Impondremos ahora algunas restricciones razonables a la regla de eleccin: La estructura de eleccin (B, C ()) satisface el axioma dbil de la preferencia revelada si se cumple la siguiente propiedad: Si para algn B B con x, y B tenemos x C (B ) , entonces para cualquier B B con x, y B e y C (B ) debemos tener x C (B ) . En otras palabras, el axioma dbil de la preferencia revelada dice que si x es elegido cuando y est disponible, entonces no puede haber ningn conjunto presupuestario en donde se elija y y no x cuando ambas alternativas son consideradas. Por ejemplo si

24

Eduardo A. Rodrguez

TEORA DE CONJUNTOS

C ({x, y}) = {x} entonces no puede ocurrir C ({x, y, z}) = {y}; en realidad deberemos tener C ({x, y, z}) = {x} o C ({x, y, z}) = {z} o C ({x, y, z}) = {x, z} o bien C ({ x, y, z} ) = { y, z} .

Una manera ms simple de expresar el axioma dbil de la preferencia revelada es a travs de la relacin de preferencia revelada * : dada una estructura de eleccin (B, C ()) , la relacin de preferencia revelada * se encontrar definida de la siguiente manera:x * y existe algn B B tal que x, y B y x C (B ) .

donde x * y se lee x se revela al menos tan preferido como y. Ntese que la relacin de preferencia revelada no necesita ser ni completa ni transitiva, como puede verse en el siguiente ejemplo.Ejemplo

Consideremos la estructura de eleccin estructura tenemos quex *y

(B,C1 ())yx

del ejemplo anterior. Con esta

*z

pero no existe una relacin de preferencia revelada que pueda inferirse entre y y z. Sin embargo esta estructura de eleccin satisface el axioma dbil de la preferencia revelada, porque y y z nunca son elegidos. Podemos afirmar tambin que x se revela preferido a y (o x * y ) si existe algn B B tal que x, y B , x C (B ) e y C (B ) . Esto quiere decir que si x es siempre elegido sobre y cuando ambos son posibles, entonces x se revela preferido a y. Con esta terminologa podemos afirmar lo siguiente: Si x se revela al menos tan preferido como y, entonces y no puede revelarse preferido a x. Formalmente: si xEjemplo* y y / *x .

Consideremos ahora la estructura de eleccin (B,C 2 ()) , tambin del primer ejemplo de reglas de eleccin. Si tenemos en cuenta el primer conjunto presupuestario {x, y, z} , tenemos que:C 2 ({x, y, z}) = {x, y} y * x; x * y; x *z ; y * z

Sin embargo al considerar el segundo conjunto presupuestario {x, y}, tenemos

Eduardo A. Rodrguez

25


C2 ({ x, y} ) = { x} x

*y ,

*x e x * y , lo cual resulta ser una contradiccin, no es decir que tenemos y cumplindose el axioma dbil de la preferencia revelada.

El axioma dbil de la preferencia revelada restringe la conducta de eleccin del consumidor en la misma manera que lo hace el principio de racionalidad para las relaciones de preferencias. Sin embargo, si bien puede demostrarse que cualquier estructura de eleccin generada por preferencias racionales satisface el axioma dbil de la preferencia revelada, para que exista una relacin de preferencias racional compatible con una estructura de eleccin (B, C ()) que satisfaga el axioma dbil se requiere que B est formado por todos los subconjuntos del espacio de mercancas (o alternativas) M de hasta tres elementos. (Ver demostracin en MAS COLLEL-WHINSTON-GREEN, pgs.13-14)

26

Eduardo A. Rodrguez

2. Espacios topolgicosTopologa y conjuntos abiertos Sea X un conjunto no vaco. Una clase I de subconjuntos de X es una topologa de X (o en X) sii I verifica los siguientes axiomas: 1. X y pertenecen a I; 2. la unin de cualquier nmero de conjuntos de I pertenece a I; 3. la interseccin de un nmero finito de conjuntos de I pertenece a I. Los elementos de I se llaman conjuntos I-abiertos, o simplemente conjuntos abiertos, y X conjuntamente con la clase I, es decir el par (X,I), es un espacio topolgico. Ejemplos Sea D la clase de todos los subconjuntos de X. Se ve que D cumple con los axiomas, por lo tanto es una topologa de X y se la llama la topologa discreta de X. El par ( X , D ) es un espacio topolgico discreto. La clase G = { X , } es una topologa de X. Esta topologa es la topologa trivial o topologa indiscreta de X. En este caso, el par ( X , G ) es un espacio topolgico indiscreto. Sea X = el conjunto de los nmeros reales, llamado comnmente recta real. Sea U la coleccin de todos aquellos conjuntos que contienen un intervalo abierto alrededor de cada uno de sus puntos. Entonces U constituye una topologa de llamada topologa usual de . Esto quiere decir que un subconjunto A es abierto sii para cada punto x A hay nmeros a y b tales que a < x < b y el intervalo abierto (a, b ) = {y : a < y < b} es un subconjunto de A. De esta manera el conjunto I = (1,2 ) es un conjunto abierto ya que todos los elementos de I pueden encerrarse en un intervalo abierto contenido en I. Por ejemplo el punto 1.1 puede encerrarse en el intervalo abierto (1.05,1.15) , el punto 1.5 en el intervalo (1.4,1.6 ) y as con todo y I . En general todo intervalo abierto es un conjunto abierto, aunque no son los nicos conjuntos abiertos, ya que el conjunto formado por la unin de dos intervalos disjuntos, como por ejemplo J = (1,2 ) (3,4 ) , tambin es un conjunto abierto. Sin embargo, el intervalo K = [1,2 ) no es un conjunto abierto porque el punto 1 no puede encerrarse en un intervalo abierto que pertenezca a K, por ejemplo 1 (0.95,1.05) K .


Cabe destacar que la interseccin de una cantidad infinita de conjuntos abiertos no necesariamente es abierta. Por ejemplo consideremos para todo n N los conjuntos (intervalos) abiertos

n 1 n +1 , Cn = . n n Entonces puede verse que

Cn =1

n

= {} 1

no es un conjunto abierto porque no puede ser representado mediante la unin de intervalos abiertos. Sea X un conjunto cualquiera y sea C la familia de conjuntos que tienen complementos finitos junto con X y . Entonces C define una topologa sobre X llamada topologa cofinita (o topologa de los complementos finitos). En el caso en que X sea un conjunto finito, la topologa cofinita y la topologa discreta coinciden. Sea X el conjunto que contiene solamente dos elementos distintos: a y b. Sean I1 = {X , } , I2 = {X , {a}, } , I3 = {X , {b}, } , I4 = {X , {a}, {b}, } . Entonces ( X , Ii ) i = 1,2,3,4 son cuatro espacios topolgicos diferentes para el mismo conjunto X. Considrese las siguientes clases de subconjuntos de X

X = {a , b, c , d , e}I1 = { X , , { a } , {c , d }, {a , c , d }, {b, c , d , e}} I 2 = { X , , { a } , {c , d }, {a , c , d }, {b , c , d }} I 3 = { X , , { a } , {c , d }, {a , c , d }, {a , b, d , e}} Ntese que I1 es una topologa de X porque cumple con los axiomas. Sin embargo, I2 no es una topologa de X porque

{a, c, d } {b, c, d } = {a, b, c, d } I2Tampoco I3 es una topologa de X porque

{a, c, d } {a, b, d , e} = {a, d } I3Si I y L son dos topologas de X entonces I es menor que L y L es mayor que I sii I L . En otras palabras, I es menor que L sii cada conjunto I-abierto es L-abierto. Tambin se dice en tal caso que I es menos fina (o ms dbil) que L, y que L es ms28Eduardo A. Rodrguez

ESPACIOS TOPOLGICOS

fina (o ms fuerte) que I. Si I y L son topologas arbitrarias de X, puede suceder que I no sea ni mayor ni menor que L; en tal caso se dice que I y L no son comparables.Ejemplo

Considrese la topologa discreta D, la indiscreta G y cualquier otra topologa V de un conjunto cualquiera X. Entonces, V es menos fina que D, pero V es ms fina que G. Esto es, G V D .

Entornos y sistema de entornos

Un conjunto U de un espacio topolgico ( X , I ) es un I-entorno (o simplemente entorno o vecindad) de un punto x X sii U contiene un conjunto abierto al cual x pertenece. Un entorno de un punto no es forzosamente abierto1, pero todo conjunto abierto es entorno de cada uno de sus puntos. Cada entorno de un punto contiene un entorno abierto de ese punto. Llamamos sistema de entornos de un punto a la familia de todos los entornos del punto.Propiedad

Si Ux es el sistema de entornos de un punto, entonces las intersecciones finitas de miembros de Ux estn en Ux, y todo conjunto que contiene a un miembro de Ux est en Ux. (Ver demostracin en KELLEY, pg. 52)Ejemplos

Sea a . Entonces, todo intervalo cerrado [a , a + ] con centro en a es un entorno de a porque contiene el intervalo abierto (a , a + ) , que contiene a a.Considrese la siguiente topologa de X = {a , b, c , d , e} ,K = { X , , { a}, {a , b}, {a , c, d }, {a, b, c, d }, {a, b, e}}

Un entorno del punto e es cualquier conjunto que contenga a un conjunto abierto al cual e pertenece. Los conjuntos abiertos que contienen a e son:

{a, b, e}; XLos conjuntos que contienen conjuntos abiertos a los cuales e pertenece son:

1

En algunos textos se exige que un entorno sea necesariamente un conjunto abierto.

Eduardo A. Rodrguez

29


{a, b, e}; {a, b, c, e}; {a, b, d , e}; XPor consiguiente, el sistema de entornos de e esU e = {{a , b, e}, {a , b, c, e}, {a , b, d , e}, X }

La definicin de una topologa sobre un conjunto X la hemos hecho especificando la totalidad de los conjuntos abiertos de X. A partir de all hemos podido definir el concepto de entorno y sistema de entornos. Sin embargo existe un punto de partida alternativo para la definicin de una topologa: a travs de la especificacin de un sistema de entornos. Una vez especificado este sistema de entornos sobre un conjunto X, y definido el espacio topolgico correspondiente, se define conjunto abierto como aquel conjunto que es entorno de cada uno de sus puntos, que en nuestro esquema de trabajo constitua una propiedad en lugar de una definicin. La principal ventaja que tiene la definicin de una topologa a travs de un sistema de entornos consiste en enfatizar el hecho de que, cuando sta se especifica, lo que se hace en realidad es definir las relaciones de cercana entre los diferentes elementos del conjunto. De esta manera, el primer paso en la especificacin de una topologa consiste en definir cundo una coleccin de conjuntos es un sistema de entornos de un punto. Entonces diremos lo siguiente: Sea X un conjunto y para cada punto x X sea U x = {U ( x )} una familia novaca de subconjuntos de X asociados con x, tales que 1- x U ( x ) para cada U ( x ) U x ; 2- si V U ( x ) para algn U ( x ) , entonces V U x ; 3- si U y V U x , entonces U V U x ; 4- si U U x , existe un V U x tal que si y V entonces U U y . Entonces Ux es llamado sistema de entornos de x. Sea I = {U x : x X } un sistema de entornos para cada x X , entonces el par ( X , I ) es llamado espacio topolgico e I es llamada topologa del espacio ( X , I ) . Ntese que las condiciones exigidas para que una familia de conjuntos sea un sistema de entornos constituye una propiedad de los entornos en nuestro esquema de trabajo.2

2

Vase adems que, bajo esta especificacin, todo entorno es necesariamente un conjunto abierto. Eduardo A. Rodrguez

30

ESPACIOS TOPOLGICOS

Conjuntos cerrados

Un conjunto A de un espacio topolgico ( X , I ) es cerrado sii su complemento relativo (XA) es abierto. El complemento del complemento de A es A, y por lo tanto un conjunto es abierto sii su complemento es cerrado. Siempre es cierto que el espacio y el conjunto vaco son abiertos y cerrados al mismo tiempo ya que X X = y X = X .Ejemplos

Si I es la topologa usual de , entonces los nicos conjuntos a la vez cerrados y abiertos son y . En el espacio topolgico discreto ( X , D ) todo subconjunto es abierto. Entonces todo subconjunto de X es tambin cerrado ya que su complemento es abierto. En otras palabras, todos los subconjuntos de ( X , D ) son, a la vez, abiertos y cerrados. La claseX = {a, b, c, d , e} . Los subconjuntos cerrados de X son: ; X ; {b, c, d , e}; {a , b, e}; {b, e}; {a}

T = { X , , { a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d , e}}

define una topologa de

es decir, los complementos de los subconjuntos abiertos de X. Conviene observar que existen subconjuntos de X, tales como {b, c, d , e} y {a} que son al mismo tiempo abiertos y cerrados, y que, por otra parte, existen subconjuntos de X tales como {a, b} que no son ni abiertos ni cerrados.

Propiedad

La unin de un nmero finito de conjuntos cerrados es necesariamente cerrada y la interseccin de los miembros de una familia arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada. (Ver demostracin en BAUM, pg. 33)Ejemplo

Es importante remarcar que la unin de una cantidad infinita de conjuntos cerrados no necesariamente es cerrada. Por ejemplo consideremos para todo n N los conjuntos (intervalos) cerrados sobre la recta real con la topologa usual1 Fn = ,1 . n Entonces puede verse que

Eduardo A. Rodrguez

31


F = (0,1]n n =1

no es un conjunto cerrado.

Puntos de acumulacin

Un punto x X es un punto de acumulacin (punto de aglomeracin o punto lmite) de un conjunto A de un espacio topolgico ( X , I ) sii cada entorno de x contiene puntos de A diferentes de x. Si x es un punto de acumulacin de A suele decirse (intuitivamente) que hay puntos de A arbitrariamente cerca de x. Es importante aclarar que un punto de acumulacin de A no necesariamente tiene que pertenecer a A. Sea A un conjunto de un espacio topolgico, llamamos conjunto derivado A al conjunto de los puntos de acumulacin de A.Ejemplos

Sobre la recta real con la topologa usual, tanto a como b son puntos lmite del intervalo abierto (a, b ) , aunque los mismos no pertenezcan al conjunto. Por otra parte, todos los puntos pertenecientes al mencionado intervalo son tambin puntos de acumulacin de (a, b ) . La claseX = {a, b, c, d , e} . Considrese el subconjunto A = {a , b, c} de X. Ntese que b X es un punto de acumulacin de A porque los conjuntos abiertos que contienen a b son {b, c, d , e} y X, y cada uno de ellos contiene un punto de A diferente de b, es decir c. Por otra parte, el punto a X no es un punto de acumulacin de A porque el conjunto abierto { a} que contiene a a, no contiene ningn otro punto de A diferente de a. Del mismo modo, los puntos d y e son puntos de acumulacin de A, y el punto c no es punto de acumulacin de A. As pues, A ' = {b, d , e} es el conjunto derivado de A.

T = { X , , {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d , e}}

define

una

topologa

de

Clausura y conjuntos densos

Dado el conjunto A perteneciente al espacio topolgico ( X , I ) llamamos clausura (o I-clausura) de A, la cual la denotaremos A , a la unin del conjunto con su conjunto derivado. Es decirA = A A' .

32

Eduardo A. Rodrguez

ESPACIOS TOPOLGICOS

Propiedades

Un conjunto A perteneciente a ( X , I ) es cerrado sii A = A . (Ver demostracin en HOCKING-YOUNG, pg. 5). Por ende A = A ya que A es un conjunto cerrado.

El conjunto A es el mnimo conjunto cerrado que contiene a A. (Ver demostracin en AYALA-DOMINGUEZ-QUINTERO, pg. 38). Sean A y B dos conjuntos de un espacio topolgico tales que A B , entonces A B . (Ver demostracin en BAUM, pg. 30).

Un conjunto A es denso en un espacio topolgico ( X , I ) sii la clausura de A es X, o sea A= X.Ejemplos

El conjunto de los nmeros racionales Q es denso en con la topologa usual. Intuitivamente, esto equivale a decir que podemos aproximar todo elemento irracional perteneciente a con elementos de Q. Por ejemplo tenemos que 2 1,41421 Q , pero

7071 707 141 7 = 1,4 Q; = 1,41 Q; = 1,414 Q; = 1,4142 Q; 5000 500 100 5 Considrese la topologa T = { X , , {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d , e}} X = {a, b, c, d , e} donde los subconjuntos cerrados de X son; X ; {b, c, d , e}; {a, b, e}; {b, e}; { a} ,

de

por consiguiente, como la clausura de un conjunto es el mnimo conjunto cerrado que lo contiene, para los siguientes tres casos tenemos

{b} = {b, e}

{a , c} =

X

{b , d }= {b , c , d , e}.

Puede verse que el conjunto {a, c} es un subconjunto denso en X, pero no as {b} y {b, d }.

Interior y frontera

Un punto x X de un conjunto A de un espacio topolgico ( X , I ) es un punto interior de A sii A es un entorno de x, y el conjunto de todos los puntos interiores de A es el interior de A, indicado A. El exterior de A es el interior del complemento de A, es decir (XA).

Eduardo A. Rodrguez

33


Propiedades

Sea A un conjunto de un espacio topolgico ( X , I ) . Entonces el interior A de A es abierto, y es el mximo abierto contenido en A. (Ver demostracin en AYALADOMINGUEZ-QUINTERO, pg. 38) Un conjunto A es abierto sii A = A . (Ver demostracin en KELLEY, pgs. 57-58)

La frontera de un conjunto A, b( A) , de un espacio topolgico ( X , I ) , es el conjunto de todos los puntos que no son interiores ni de A ni de XA.Propiedad

unin del interior y la frontera de A, es decir, A = A b( A ) . Esto nos lleva a afirmar que un conjunto es cerrado sii contiene a su frontera, mientras que diremos que un conjunto es abierto sii es disjunto con su frontera.Ejemplos

Sea A un subconjunto de un espacio topolgico ( X , I ) . Entonces la clausura de A es la

Sea el intervalo I = (0,1] en la recta real con la topologa usual. De esta manera tenemos por definicin que I = (0,1) , b(I ) = {0,1} e I = [0,1] , los cuales verifican [0,1] = (0,1) {0,1} . Considrese la topologaX = {a, b, c, d , e} , y el subconjunto A = {b, c, d } de X. Los puntos c y d son interiores de A porque c, d {c, d} A

T = { X , , { a}, {c, d }, {a, c, d }, {b, c, d , e}}

de

donde {c, d } es un conjunto abierto, y por lo tanto A constituye un entorno de c y d. El punto b A no es un punto interior de A; por lo tanto, int ( A) = {c, d } . El nico punto exterior de A es a X , esto es as porque el complemento es

XA= {a , e} ,entonces (XA) = { a} . Por consiguiente, la frontera de A consiste en los puntos b y e, o sea b( A ) = {b, e} .

Relativizacin

Si ( X , I ) es un espacio topolgico e Y es un subconjunto de X, podemos construir una topologa U de Y que se llama topologa relativa (o heredada) de I a Y. La topologa 34Eduardo A. Rodrguez

ESPACIOS TOPOLGICOS

relativa U se define como la familia de todas las intersecciones de miembros V de I con Y; es decir, U pertenece a la topologa relativa U sii U = V Y para algn conjunto Iabierto de X. U es una topologa y al espacio topolgico (Y , U ) se lo llama subespacio del espacio (X,I).Ejemplos

Considrese la topologa usual U de y la topologa relativa TA del intervalo cerrado A = [3,8 ] . Obsrvese que el intervalo semiabierto en [3, 5) es abierto en la topologa relativa de A, es decir, es un conjunto TA-abierto, porque [3, 5) = (2,5) A , donde (2,5) es un subconjunto U-abierto de . As, un conjunto puede ser abierto respecto a un subespacio pero no ser abierto ni cerrado en el espacio original (en este caso, ). Sea Q el conjunto de los nmeros racionales y la recta real con la topologa usual. Entonces Q con la topologa usual heredada constituye un subespacio de . Lo mismo puede hacerse con los naturales, los enteros y los irracionales. Sean la topologaT = { X, , { a } , {c , d }, {a , c , d }, {b, c , d , e}}

de

X = {a, b, c, d , e} , y el subconjunto A = {a, d , e} de X. Ntese que XA= A

{a }

A = {a } A = {d }

{a , c , d }

A = {a , d }

A =

{c , d }

{b. c. d . e} A = {d , e}

Entonces la relativizacin de T a A es

T A = { A, , { a}, { d }, {a, d }, {d , e}}

Bases y sub-bases

Definir una topologa en un espacio X significa especificar un sistema de conjuntos abiertos en X. Sin embargo, suele ser conveniente especificar algn sistema de subconjuntos que determine de manera unvoca todos los conjuntos abiertos, en lugar de enumerarlos a todos ellos. Una familia B de conjuntos de un espacio topolgico ( X , I ) es una base de la topologa I sii todo conjunto abierto en X puede representarse como la unin de conjuntos de B.3

A diferencia de lo que ocurre con la expresin de un vector mediante la combinacin lineal de los elementos de una de sus bases (Cap. 4), la expresin de un conjunto abierto a travs de la unin de elementos de una base de un espacio topolgico puede no ser nica. Eduardo A. Rodrguez

3

35


Ejemplos

El conjunto de todos los intervalos abiertos constituye una base para la topologa usual de , ya que todo conjunto abierto de puede ser interpretado como una unin de intervalos abiertos. Sea X un conjunto completamente ordenado. La topologa generada por la base formada por los conjuntos del tipo S a = {x : x > a} es llamada topologa del orden a la derecha sobre X. (Una topologa del orden a la izquierda sera definida de manera similar utilizando los conjuntos Pa = {x : x < a} ). De esta manera los conjuntos abiertos de X sern aquellos conjuntos que puedan expresarse como uniones de conjuntos del tipo Sa, que son en realidad conjuntos del tipo Sa. Sea X el conjunto de todos los nmeros reales. Elegimos como base de una topologa T la familia de todos los conjuntos de la forma [a, b ) , donde a, b X . Esta topologa es llamada topologa del intervalo semiabierto a la derecha. Entonces los conjuntos de la forma ( , a ) , [a, b ) o [b, ) son tanto abiertos como cerrados. Conjuntos de la forma (a, b ) o (a, ) son abiertos en X puesto que (a, b ) = { [ , b ) : a < < b}. Ellos no son cerrados porque los conjuntos de la

forma ( , a ] , [a, b] y {p} no son abiertos al no poder expresarse como unin de los elementos de la base.

Est claro que podemos definir una topologa I especificando una base B. De esta manera, la topologa I ser solamente el sistema que puede ser representado como uniones de conjuntos de B. Sera prctico conocer los requisitos que deben cumplir los elementos de una familia de conjuntos B para que el sistema formado por todas las uniones posibles de B conformen una topologa de I.Propiedad

Una familia B de conjuntos pertenecientes a X es base de la topologa I sii 1- B I 2- para cada punto x X y cada entorno U de x, existe un miembro V B tal que x V U . (Ver demostracin en KOLMOGOROV-FOMIN, pg. 82) Esta propiedad induce a preguntarnos si cualquier coleccin de subconjuntos de X constituye una base de alguna topologa. La respuesta es no y la justificacin de la misma es la siguiente propiedad.Propiedad

Una familia B de subconjuntos de X es base de alguna topologa de X sii

36

Eduardo A. Rodrguez

ESPACIOS TOPOLGICOS

1- X =

B B

B

2- para cada punto x X y cada par de conjuntos U , V B , donde x U V , existe un conjunto W B tal que x W U V . (Ver demostracin en BAUM, pg. 46)

Una familia de conjuntos de X es una sub-base de una topologa I sii la familia de todas las intersecciones finitas de miembros de es base de I.Ejemplos

Una sub-base natural para la topologa usual de es la familia de los intervalos semifinitos del tipo ( , b ) = {x : x < b} y (a, ) = {x : a < x}, ya que todo intervalo abierto (a, b ) = {x : a < x < b} puede ser representado por la interseccin finita de estos tipos de conjuntos. Sea X un conjunto completamente ordenado. Definimos la topologa del orden sobre X tomando como sub-base los intervalos semifinitos ( , z ) = {x : x z} y ( y, ) = {x : y x}. Entonces los conjuntos ( y, z ) = {x : y x z} son abiertos y forman una base del espacio topolgico X. De esta manera, los conjuntos abiertos de X sern aquellos conjuntos que puedan ser expresados como unin de conjuntos de la forma ( y, z ) .4

La prxima propiedad permite ver qu requisitos debe cumplir una coleccin de subconjuntos de un conjunto dado para constituir una sub-base de alguna topologa del mismo.Propiedad

Sea X un conjunto y sea una familia de subconjuntos de X tal que 1- ; 2- X = S ;S

entonces es una sub-base de alguna topologa para X. (Ver demostracin en BAUM, pgs. 50-51)

4

Ntese que cuando X = , ambos ejemplos coinciden. La topologa usual sobre es efectivamente la topologa del orden derivada del orden usual de .

Eduardo A. Rodrguez

37


Puede verse que los requisitos que tienen que cumplir una coleccin de subconjuntos de X para ser sub-base de una topologa son claramente menos restrictivos que los que debera cumplir para ser una base de una topologa de X. Hasta el momento, podemos definir una topologa de X de tres maneras: 1- especificando la totalidad de los conjuntos abiertos (o un sistema de entornos) de X; 2- especificando una base; 3- especificando una sub-base. Cualquiera de los tres mtodos es igualmente vlido y cumple con los objetivos5. As como hemos definido el concepto de base de una topologa, puede hacerse algo similar para un sistema de entornos. Una base del sistema de entornos del punto x X (o base local de x) es una familia de entornos de x tal que todo entorno de x contiene algn miembro de esa familia6.Ejemplos

La familia de los entornos abiertos de un punto es siempre una base del sistema de entornos de ese punto, porque todo entorno, para ser tal, debe contener un conjunto abierto que contenga a dicho punto.Propiedad

Sea X un espacio topolgico y A una familia de subconjuntos abiertos. Entonces A ser una base de la topologa sii cada familia A x = {A A : x A} es una base local. (Ver demostracin en AYALA-DOMINGUEZ-QUINTERO, pg. 107)7.

Espacios separables

Un espacio topolgico X se dice que cumple con el primer axioma de numerabilidad (o que es 1 N) si el sistema de entornos de cada x X tiene una base numerable.Propiedad

Una base local numerable Bx = {Bn : n N } de un espacio 1 N forma una familia decreciente de subconjuntos, es decir

5

Ms adelante veremos una cuarta manera de representar una topologa: definiendo una mtrica sobre X.

6

Comprese esta definicin con las condiciones que tiene que cumplir una coleccin de conjuntos para ser una base de una topologa determinada.

Esta propiedad permite ver la relacin entre los conceptos de base de una topologa y base de un sistema de entornos. Eduardo A. Rodrguez

7

38

ESPACIOS TOPOLGICOS

B1 B2 Bn . (Ver demostracin en AYALA-DOMINGUEZ-QUINTERO, pgs. 109-110)Ejemplos

Todo espacio topolgico discreto X no numerable es 1 N ya que para cada x X podemos fijar como base local del punto x la coleccin de conjuntos Bx = {x}, es decir una base de entornos para cada punto x que consta de un solo elemento: el conjunto formado por el mismo punto. De esta manera el sistema de entornos de cada x X tiene una base numerable (de un solo elemento) y por ende cumple con el primer axioma de numerabilidad. Todo espacio topolgico indiscreto es 1 N ya que solamente existen dos conjuntos abiertos: X y , con lo cual implica todo punto x X tiene como nico entorno a X. De esta manera el sistema de entornos de cada x X tiene un solo elemento, por lo tanto es numerable y cumple con el primer axioma de numerabilidad. Un espacio ( X , C ) donde C es la topologa cofinita y X es un conjunto numerable es un espacio 1 N. Ello es as porque al ser X numerable, su familia de conjuntos cerrados F tambin es numerable porque F coincide con la familia de las partes finitas de X, que son complementos de los conjuntos abiertos pertenecientes a C. De esta manera, C es numerable ya que existe una correspondencia biunvoca entre F y C tomando complementos. Entonces cualquier subfamilia de C es numerable y en particular lo ser la subfamilia de abiertos que contengan a un punto dado x. Sin embargo si X no es numerable, la topologa cofinita no es 1 N. Supongamos que lo es, entonces en algn punto x existe una base local numerable. De esta manera existir una coleccin numerable de conjuntos abiertos Bx cada uno conteniendo a x, tal que todo entorno de x contiene algn conjunto B Bx . Entonces debera ocurrir que Bx = {x} porque toda base numerable de un espacio 1 N forma una familia decrecientes de subconjuntos mediante relaciones de inclusin. Por lo tanto tenemos:X {x} = X Bx =

BBx

(X B) .

Cada uno de los X B son finitos por definicin (porque B es un conjunto abierto el cual fue definido como aquel cuyo complemento X B es un conjunto finito) y la unin numerable de conjuntos finitos es numerable. Entonces X {x} debe ser numerable, lo cual es una contradiccin porque X no era numerable.

Un espacio topolgico ( X , I ) se dice que cumple con el segundo axioma de numerabilidad (o que es 2 N) si su topologa tiene alguna base numerable.

Eduardo A. Rodrguez

39


Ejemplos

El conjunto de los nmeros reales con la topologa usual satisface el segundo axioma de numerabilidad ya que el conjunto de todos los intervalos abiertos (a , b) , donde a y b son nmeros racionales, constituye una base numerable de . Un espacio discreto numerable es 2 N. De esta manera la topologa podr tener una base numerable y as cumplir con el segundo axioma de numerabilidad.Propiedad

Todo espacio 2 N es 1 N, lo cual se sigue de la propiedad que establece que si X es un espacio topolgico y A es una familia de subconjuntos abiertos, A ser una base de la topologa sii cada familia A x = {A A : x A} es una base local de x. De esta manera la numerabilidad de A asegura la numerabilidad de los Ax, pero la recproca no es necesariamente cierta.Un espacio topolgico ( X , I ) es separable sii posee un subconjunto numerable que es denso en X.Ejemplos

El conjunto Q de nmeros racionales es numerable y es un subconjunto propio de . Como adems Q = , el espacio es separable. El conjunto de los nmeros reales con la topologa cofinita es separable ya que N (el conjunto de los nmeros naturales, conjunto numerable) es denso en . Esto es as porque es el nico conjunto cerrado que es infinito, debido a que los cerrados son por definicin complementos finitos de los abiertos. De esta manera, por definicin de clausura, N es el mnimo cerrado que contiene a N, y por lo tanto es igual a .La relacin entre los conceptos de base numerable y separabilidad es la siguiente.Propiedad

Sea ( X , I ) un espacio topolgico con una base numerable. Entonces ( X , I ) es separable. Sin embargo, la recproca no es necesariamente cierta8. (Ver demostracin en BAUM, pg. 48)Ejemplo

La recta real dotada con la topologa cofinita no es 2 N porque no es 1 N, por lo tanto su topologa no tiene una base numerable. Sin embargo es separable porque el conjunto de los nmeros naturales es denso en .

8

La reciprocidad, como veremos ms adelante, se da en los espacios mtricos. Eduardo A. Rodrguez

40

ESPACIOS TOPOLGICOS

Espacios de Hausdorff y convergencia

Una sucesin de puntos {x n } = x1 , x 2 , , x n , en un espacio topolgico ( X , I ) se dice que converge al punto x X (llamado lmite de la sucesin) si, dado cualquier entorno de x, al que llamamos G ( x ) , existe un nmero entero N G tal que G ( x ) contenga a todos los puntos x n con n > N G . En espacios topolgicos arbitrarios puede ocurrir que el lmite de una sucesin no sea nico. Puesto que estamos acostumbrados a que las sucesiones tengan lmite nico, sera cmodo contar con alguna propiedad que garantice dicha unicidad. Para ello necesitamos definir lo que se conoce como espacios de Hausdorff. Un espacio topolgico ( X , I ) es un espacio de Hausdorff (llamado tambin espacio 9 T2 ) si para cada par de puntos x e y diferentes pertenecientes a X existe un entorno U del punto x y un entorno V del punto y tal que U V = . Llamamos a I topologa de Hausdorff. Una propiedad muy importante de esta topologa se enuncia a continuacin.Propiedad

Sea ( X , I ) un espacio de Hausdorff y sea {x n } una sucesin en X tal que x es un lmite de la sucesin. Entonces x es el nico lmite de la sucesin {x n } . La recproca no es necesariamente cierta10. (Ver demostracin e BAUM, pg. 41)Otra cosa que puede ocurrir en espacios topolgicos generales es que una sucesin {x n } converja a un punto x sin que x sea un punto lmite del conjunto {x n : n = 1,2, } . Por otra parte, puede ocurrir que la sucesin {x n } tenga un punto lmite pero que {x n } no converja a ese punto o a ningn punto. Sin embargo esto no pasa en los espacios de Hausdorff, como puede verse en la siguiente propiedad.Propiedad

Sea ( X , I ) un espacio de Hausdorff, {x n } una sucesin en X que converge a algn punto x X y adems y es un punto lmite del conjunto {x n : n = 1,2, } , entonces x = y . (Ver demostracin en BAUM, pgs. 41-42)

9

Un espacio topolgico X es T1 cuando todo subconjunto de X formado por un nico elemento es

que no es T2 es el intervalo cerrado [0,1] en el que se consideran como conjuntos abiertos el intervalo, el conjunto vaco y todos los subconjuntos que se obtienen omitiendo del intervalo una cantidad numerable de puntos.10

cerrado. Todo espacio T2 es T1 , pero la recproca no es necesariamente cierta. Un ejemplo de espacio T1

Si bien la reciprocidad no se da para sucesiones, s se da para redes [Ver demostracin en KELLEY, pg. 83]. Una relacin binaria dirige a un conjunto D si: a) m, n, p D tales que m n y n p, entonces m p; b) m D implica m m; c) m, n D implica que existe p D tal que p m y p n. Una red es un par (S, ) tal que S es una funcin y dirige a su dominio. Eduardo A. Rodrguez

41


Ejemplos

Sea X un conjunto dotado con la topologa indiscreta. De esta manera X es el nico entorno de todos sus puntos, por ello toda sucesin converger al mismo tiempo a todos los puntos de X. Esto equivale a decir que la sucesin {x n } en X para un n lo suficientemente grande se encuentra cerca de todos los puntos de X. El espacio indiscreto no es un espacio de Hausdorff. El conjunto infinito X dotado de la topologa cofinita no es un espacio de Hausdorff porque dos conjuntos abiertos nunca son disjuntos.

Funciones continuas

Una funcin f de un espacio topolgico X en Y es continua en el punto x sii la inversa por f de cada entorno de f ( x ) es un entorno de x. Diremos que f es continua sii es continua en todo su dominio. La nocin intuitiva de funcin continua de un espacio en otro es la idea de que los puntos que estn cerca en X permanecen cerca en Y despus de haber sido aplicada la funcin f.Propiedades

a) Sean X e Y dos espacios topolgicos y f : X Y una funcin. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1- f es continua; 2- para todo conjunto abierto O Y , f1

(O ) es abierto en X;

Contraejemplo: Sea Y = {a, b} un subespacio de con la topologa heredada de la topologa usual de y X = con la topologa usual. Entonces definimos la funcin f : X Y de la siguiente manera:a si f (x ) = b si

x>0 x01

ab

Puesto que el conjunto {b} Y es abierto, pero f entonces f no es una funcin continua. 3- para todo conjunto cerrado C Y , f 4- si A X , entonces f (A ) f ( A) . (Ver demostracin en BAUM, pg. 59)1

({b}) = ( ,0] no es abierto,

(C ) es cerrado en X;

42

Eduardo A. Rodrguez

ESPACIOS TOPOLGICOS

b) Sean X e Y dos espacios topolgicos y f : X Y una funcin continua biunvoca. Si A X y x A' , entonces f ( x ) f ( A)' . (Ver demostracin en BAUM, pg. 60) c) Sea X un espacio separable y f : X Y una funcin continua sobre Y; entonces Y es separable. (Ver demostracin en BAUM, pg. 100) d) Si f : X Y y g : Y Z son funciones continuas, entonces gf : X Z es una funcin continua. (Ver demostracin en MENDELSON, pg. 90)

Homeomorfismos

Dos espacios, uno de los cuales es la imagen continua del otro, estn relacionados en algn sentido, como pudo verse en las propiedades anteriores. Sin embargo, puede haber una relacin muy fuerte entre ambos en trminos de estructura. Un homeomorfismo o transformacin topolgica es una funcin biunvoca continua de un espacio topolgico ( X , I ) sobre un espacio topolgico (Y , I ' ) tal que f 1 tambin es continua. Si se desea expresarlo de una manera intuitiva, se puede decir que un homeomorfismo entre dos conjuntos de puntos es una correspondencia tal que a todo punto de uno de los dos conjuntos corresponde un punto, y slo uno, del otro, y que a dos puntos vecinos de uno corresponden dos puntos vecinos del otro11.

Si existe un homeomorfismo en un espacio sobre otro, ambos espacios se dicen homeomorfos. Esta relacin es homeomorfo a tiene las siguientes propiedades: 1- reflexividad: ya que la funcin identidad i es un homeomorfismo; 2- simetra: ya que si f : X Y es un homeomorfismo, entonces f tambin es un homeomorfismo;1

:Y X

3- transitividad: ya que si f : X Y y g : Y Z son homeomorfismos, tambin lo es la funcin compuesta gf : X Z . Entonces la relacin es homeomorfo a, que denotaremos con el smbolo , es una relacin de equivalencia. Por consiguiente, la coleccin de todos los espacios topolgicos pueden dividirse en clases de equivalencia, tales que cada espacio topolgico es homeomorfo a cada miembro de su clase de equivalencia y slo a ella. Dos espacios son topolgicamente equivalentes cuando son homeomorfos.

11

Comprese con la idea intuitiva de funcin continua.

Eduardo A. Rodrguez

43


Ejemplo

El conjunto de los nmeros reales con la topologa usual es homeomorfo al intervalo abierto (0,1) con la topologa heredada de la topologa usual de ya que la funcin f (x) =es un homeomorfismo. 2x 1 x( x 1)x (0,1)

f(x)

f (x ) =

2x 1 x( x 1)

1

x

Observando el grfico adjunto puede verse con claridad que la imagen de la funcin f abarca la totalidad del conjunto de los nmeros reales. Tambin puede observarse que los elementos del dominio de la funcin se encuentran contenidos nicamente en el intervalo abierto (0,1) . Del grfico tambin surge que tanto la funcin f como la funcin f 1 son continuas.

Sea f : X Y una funcin de un espacio topolgico en otro. Si para cada conjunto abierto O X , f (O ) es abierto en Y se dice que f es una funcin abierta (o funcin interior). Si para cada conjunto cerrado C X , f (C ) es cerrado en Y, entonces se dice que f es una funcin cerrada. Una propiedad que, cuando es poseda por un espacio topolgico, tambin la poseen sus homeomorfos se llama invariante topolgico12. Las siguientes propiedades muestran que, hasta el momento, hemos visto dos invariantes topolgicos.Propiedades

Sean X e Y dos espacios topolgicos y f : X Y un homeomorfismo. Si X es un espacio de Hausdorff, entonces Y tambin lo es. (Ver demostracin en BAUM, pg. 63). Es decir que la propiedad de ser espacio de Hausdorff es un invariante topolgico. Sean X e Y dos espacios topolgicos y f : X Y un homeomorfismo. Si X tiene una base numerable, entonces Y tambin la tiene. (Ver demostracin en BAUM, pg. 63). Es decir que la propiedad de tener una base numerable es un invariante topolgico.13

12

La topologa es el estudio de los invariantes topolgicos. Ntese que esta propiedad implica afirmar que la separabilidad tambin es un invariante topolgico. Eduardo A. Rodrguez

13

44

ESPACIOS TOPOLGICOS

Espacios producto

Sean X e Y dos espacios topolgicos y sea B la familia de todos los productos cartesianos U V , donde U es un conjunto abierto en X y V es un conjunto abierto en Y. Entonces B es la base de una topologa X Y llamada topologa producto. Llamamos espacio producto al producto cartesiano X Y provisto de la topologa producto. De esta manera, un conjunto W X Y es abierto con respecto a la topologa producto sii para cada punto ( x, y ) W hay entornos abiertos U de x y V de y tales que U V W . Si X 1 , X 2 , , X n son espacios topolgicos, entonces una base de la topologa producto de X 1 X 2 , X n (o X i ) es la familia de todos los productos cartesianosi =1 n

U 1 U 2 , U n (o U i ) donde cada U i es abierto en X i .i =1

n

Ejemplo

Si cada X i es el conjunto de los nmeros reales con la topologa usual, entonces el espacio producto es el espacio eucldeo n-dimensional.

Con relacin al espacio X Y , puede decirse que X e Y constituyen los ejes de coordenadas del espacio producto. Por otra parte, las funciones PX y PY que llevan un punto ( x, y ) de X Y al punto x X e y Y respectivamente son las proyecciones sobre los ejes de coordenadas.Propiedades

Sea f : Z X i una funcin. Entonces decimos que f es continua sii la funcini =1i

n

compuesta PX f : Z X i es continua para todo i. (Ver demostracin en BAUM, pg. 67)

El producto cartesiano de espacios de Hausdorff es un espacio de Hausdorff. (Ver demostracin en KELLEY, pg. 111)

Espacios cociente

Sea f : X Y una funcin continua. Llamamos topologa cociente de Y (con respecto a f y a la topologa de X) a la coleccin de todos los conjuntos U Y para los cuales f 1 (U ) es abierto en X. De esta manera la topologa cociente es la mxima topologa de Y para la cual la funci

Guia Teorica Topologia

Documents

Transcript of Guia Teorica Topologia