Volumen de sólidos de revolución

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS

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VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Sea f(x) una función continua en el intervalo ba, de su dominio, se llama sólido de revolución al sólido que se genera cuando se hace girar en torno al eje equis, la región limitada entre la curva de la función f(x) , el eje x y las rectas x = a , x= b .

Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).

Consideremos una partición nP del intervalo ba, determinada por el conjunto de

números nii xxxxx ,.....,,,.......,, 110

Donde iii xxx 1 , con ni ,.....,3,2,1 .

Consideremos ahora los discos circulares, cuyos espesores son ni xxxx ,....,......,, 21 , y cuyas bases tienen radios )(),...(),......,(),(),( 210 ni xfxfxfxfxf .

)( ixf

ix

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2

El volumen del i-ésimo disco es: iii xxfV 2)(

El volumen del sólido de revolución generado es igual a la suma de los volúmenes de todos los discos en los cuales se ha dividido, es decir

n

iii

n

ii xxfVV

1

2

1)(

Ahora, si el numero de discos es considerablemente grande (tendiendo al infinita) entonces los espesores ix tienden a cero y así el volumen del sólido será:

n

iiix

xxfLimV1

2

0)(

Como el limite de las sumas de Riemann define la integral definida, se tiene que el volumen es:

b

a

dxxfV 2)(

Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje

, la región limitada por la gráfica de xxf )( y las rectas 1x , 4x .

Solución: Graficamos primero la función dada en el intervalo 4,1

Al hacerla girar en torno al eje de las equis, se obtiene el sólido mostrado en la figura.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

f(x)=x1/2

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3

El volumen del sólido esta dado por :

215

21

24

2

)(

22

4

1

24

1

4

1

2

2

V

xxdxdxxV

dxxfVb

a

Ejemplo 2:

Hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de

Y = 2 – x , x = 0 ; y = 0 gira alrededor del eje x.

Solución:

La gráfica de la izquierda representa la región que se hace girar en torno al eje de las equis y en la grafica de la derecha se muestra el solidó que resulta.

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

f(x)=2-x

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4

Luego, el volumen del sólido está dado por:

38

380

302

322

3222

)(

23

2

0

32

0

22

0

2

2

V

xdxxdxxV

dxxfVb

a

EJEMPLO: Hallar el volumen engendrado cuando la superficie limitada por la curva

Senxxf )( , y eje equis en el intervalo ,0 se gira en torno al eje .

Solución: La representación gráfica es la siguiente:

El solido generado por la rotación en torno al eje de las equis es:

El volumen del solido engendrado viene dado por:

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

f(x)=Senx

222

222

2

221

)(

2

0

00

2

0

2

2

SenxSenxV

dxxCosxdxSendxSenxV

dxxfVb

a

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ACTIVIDAD.

1. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al

eje de las equis la región del plano limitada por la curva 63)( 2 xxxf y el eje x.

2. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al eje de las equis la región del plano limitada por la curva

23)( 23 xxxxf y el eje x. 3. El triangulo cuyos vértices son ( 0,0 ) , ( 0 , 6 ) y ( 4 , 0 ) se hace girar en torno

al eje equis. Determine el volumen del sólido generado. 4. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al

eje de las equis la región del plano limitada por la curva 53)( 2 xxxf , el eje x y las rectas x= 1 , x= 5.

5. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al

eje de las equis la región del plano limitada por la curva 63)( 2 xxxf y el eje x.

6. Determine el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar en torno al

eje de las equis la región del plano limitada por la curva xxf 21)( , el eje

x y las rectas x= 0 , x= 4. 7. Determine el volumen del sólido que se genera al hacer el área mostrada en la

figura en torno al eje equis.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

f(x)=1+2-2x

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-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

f(x)=e-x+Senx

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

x

y

f(x)=l4-x2l

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Si el área esta comprendida entre la curva, el eje y y las rectas cy , dy y esta se hace girar en torno al eje y .

x

y

f(x)

y=c

y=d

radio=x

El radio de cada disco o cilindro esta dado por x y el espesor viene dado por y . El volumen del sólido es:

d

cdyxV 2 .

EJEMPLO: Determine el volumen del solido de revolución generado al hacer girar en torno al eje de las y, la región limitada por las rectas y= 0 , y= 2 , el eje y y

la curva xy . La grafica muestra la región que hace girar en torno al eje y.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

f(x)=v x

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Como el volumen esta dado por d

cdyxV 2 , entonces se debe despejar x en la

función dada. xy se tiene que xy 2. Luego el volumen viene dado por:

532

52

5

)(

5

2

0

5

2

0

4

2

0

22

2

V

yV

dyyV

dyyV

dyxVd

c

ACTIVIDAD Encuentre el volumen del sólido que se genera cuando se hace girar en torno al eje y la región sombreada. a)

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)=4-2x

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-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

f(x)=4-x2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)=4x-x2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)=1+x2