Guia_de_ejercicios

Métodos Numéricos y Programación Guía de Ejercicios.

Mayo 2011 CJ DEI‐UCA

Guía de ejercicios

Representación Numérica.

1. Convierta los siguientes números binarios (base 2) a números decimales (base 10).

a) 101012 b) 11111111102 c) 1110002 d) 100001112

2. Una máquina X emplea los números de máquina siguiente F(16,13,‐1024,1023)

Representar en forma decimal el número de maquina siguiente:

0 1 00 0000 1010 1001 1001 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

NOTA. Recuerde el bit 1 es el signo del número. Los bits del 2 al 12 es el exponente. El Bit 2 corresponde al signo del exponente y del 3 al 12 representa el magnitud del exponente. Los otros 52 bits representa lo dígitos de la máquina.

Encuentre menor número positivo de máquina.

Encuentre mayor número positivo de máquina.

¿Cuántos números de máquina son?

Calcular la distancia entre los dos números positivos más pequeños.

Calcular la distancia entre los dos números positivos más grandes.

Redondeo y Corte. Error Relativo y Absoluto.

3. Realice los siguientes cálculos en forma exacta y mediante la aritmética de corte o redondeo a tres cifras significativas. Calcule los errores absolutos y relativos para cada literal.

4/3+1/3 b. (1/3‐3/11)+3/20 c. (4/5)*(1/3)

Error de truncamiento. Serie de Taylor.

4. Sea 2( )xxf x xe e

Use la aritmética de corte o redondeo a tres cifras para evaluar f(0.1)

Calcule el polinomio de Taylor de grado 3. Y repita el inciso a.

Analice el error de Truncamiento y diga cual es el máximo error que se puede cometer al evaluar x=0.1 en el polinomio de Taylor.

Para el ejercicio asuma x0=0

5. Sea ( ) cosxf x e x

Calcule el polinomio de Taylor de grado 4.

Evalúe f(π/6)

Analice el error de truncamiento para el inciso b. Para el ejercicio asuma x0=0

Rapidez de convergencia

6. Determine la rapidez de convergencia de los siguientes sucesiones cuando n∞

1

limsin 0n n

c.

21

lim sin 0n n

2

1limsin 0n n

d. lim ln( 1) ln( ) 0n

n n



7. Determine las razones de convergencia de las siguientes funciones cuando x0

0

sinlim 1x

x

x c.

0

1 coslim 0x

x

x

0

sin coslim 0x

x x x

x

d.

0

1lim 1

x

x

e

x

Raíces de ecuaciones. Solución de Ecuaciones No‐Lineales.

Método de Bisección. Método de Punto Fijo. Método de Newton Raphson. Método de la Secante

8. Para el método de bisección.

Se requiere encontrar el valor c que hace que f(c)=0. Dado el intervalo [a,b], que condición debe cumplir f(a) y f(b) para poder aplicar método de bisección.

Método de bisección es un método iterativo, ¿Cuál es el criterio de paro para este método?

9. Realice en código en Matlab para el método de Bisección.

El programa debe contener como entrada: los limites [a,b], la función f, y la tolerancia.

El programa debe realizar la verificación de que el método de Bisección puede realizarse, si el método no se puede realizar el programa debe enviar al usuario un mensaje de error, explicando el problema.

Recuerde el método de bisección 1. Calcular f(a) y f(b) 2. Si f(a) y f(b) tienen signos contrarios, hacer pasos 3‐9, de lo contrario pasar

al paso 11 3. Evaluar c=(b+a)/2. 4. Calcular f(c) 5. Si f(c) tiene mismo signo que f(a) 6. Entonces 7. a=c 8. de lo contrario 9. b=c 10. Repetir pasos 3 al 9 hasta que L/2=(b‐a)/2 sea menor que la tolerancia. 11. Respuesta para f(x)=0 es x = c. 12. Si no se cumple la condición en el paso 2, entonces el método de bisección

no se puede realizar.

Cómo salidas en pantalla de comando de matlab debe aparecer el número de iteración, su respectiva aproximación y su valor de error(L/2)

10. Para método de punto fijo

Dada la función g(x), y el intervalo de [a,b]. Enuncie los dos teoremas que deben de cumplirse para que x=g(x) converge a una única solución es decir, aun punto fijo.

¿Cuál es el criterio de parada de este método? 11. Realice un código en Matlab para el método de Iteración de punto fijo.

El programa debe pedir como entrada: la función g, la tolerancia tol, el punto inicial Po, Número máximo de iteraciones, Iter_max.

Recordemos método de iteración de Punto fijo 1. Evaluar Pn+1=g(Pn) 2. Repetir 1 mientras la diferencia de |Pn+1‐Pn| sea mayor que la tolerancia y el

número de iteraciones sea menor a Iter_max.



3. Si se cumple |Pn+1‐Pn| < que la tolerancia 4. Entonces la salida es Pn+1 5. Si no se cumple que |Pn+1‐Pn| < la tolerancia y el número máximo de

iteraciones se alcanzó 6. Entonces iteración de punto fijo no converge hacia la respuesta.

El programa debe dar como salida en cada iteración, el número de iteración, el nuevo valor de Pn+1 con su respectivo error, y la respuesta Final.

12. Realice un código en Matlab para el método de Newton‐Raphson.

El programa debe pedir como entrada: la función f, la tolerancia tol, el punto inicial Po, Número máximo de iteraciones Iter_max.

Recordemos método de Newton‐Raphson

1. Evaluar 1

( )

'( )n

n nn

f PP P

f P

2. Repetir 1 mientras la diferencia de |Pn+1‐Pn| sea mayor que la tolerancia y el número de iteraciones sea menor a Iter_max.




13. Realice un código en Matlab para el método de la secante.

El programa debe pedir como entrada: la función f, la tolerancia tol, el punto inicial Po y P1, Número máximo de iteraciones Iter_max.

Recordemos método de la secante.

7. Evaluar 11

1

( )( ) ( )

nn n

n n

n n

f PP P

f P f P

P P

8. Repetir 1 mientras la diferencia de |Pn+1‐Pn| sea mayor que la tolerancia y el número de iteraciones sea menor a Iter_max.




14. Encuentre la intersección de estas dos funciones:

2 1

tan( ),0 2

y x

y x x

En encuentre el punto por método de bisección. Realice tres iteraciones y coloque sus respuestas en la tabla siguiente. Sugerencia emplee el intervalo de [0.8,1]

It a. b. c. f(a) f(b) f(c) L/2

0 0.8 1.0

1



2

3

Corra el programa que ud ha diseñado en el punto 9 y muestre el resultado final, para una tolerancia < 10‐5.

15. La configuración superficial del ala NACA 0012 con cuerda de 1m de longitud y espesor máximo de 0.2 está dada por:

2 3 4( ) 0.2969 0.126 0.3516 0.2843 0.1015y x x x x x x

Donde los signos + y – se refieren a las superficies superior e inferior, respectivamente. El ingeniero de diseño necesita obtener la siguiente información:

a) La coordenada x en la que el espesor del ala es máximo. b) Las coordenadas x y y del ala en las que el espesor es la mitad del

máximo.

Encuentre las respuestas por método de bisección.

En encuentre el punto por método de bisección. Realice tres iteraciones y coloque sus respuestas en la tabla siguiente. Sugerencia emplee el intervalo de [0,1]


0 0 1.0

1

2

3


0 0 1.0

1

2

3

16. Un kilogramo mol de CO está contenido en un recipiente a T=215K y p =70bar. Calcule el volumen del gas utilizando la ecuación de estado de van der Waals para un gas no ideal dada por:

2( )

aP b RT

Donde, R = 0.08314 bar m3/(kg mol K), a=1.463bar m6/(kg mol)2 y b=0.0394 m3/kg mol. Determine el volumen específico (m3/kg mol) y compare el resultado con el volumen

calculado por la ecuación de los gases ideales, P RT Realice Bisección, Iteración de punto fijo y Newton Raphson. Coloque los resultados de tres iteraciones en cada una de las tablas. Bisección


0 0 1.0

1

2

3

Punto Fijo

It Pn Error

0 0



1

2

3

Newton raphson.

It Pn Error

0 0

1

2

3

17. Encuentre el polinomio de Lagrange y de Diferencias divididas de newton para la siguiente

serie de datos:

i xi f(xi)

1 0 0.9162

2 0.25 0.8109

3 0.5 0.6931

4 0.75 0.5596

5 1.0 0.4055

Polinomio de Lagrange:___________________________________________________. Coeficientes de Newton

Q(1,1)=

Q(2,1)= Q(2,2)=

Q(3,1)= Q(3,2)= Q(3,3)=

Q(4,1)= Q(4,2)= Q(4,3)= Q(4,4)=

Q(5,1)= Q(5,2)= Q(5,3)= Q(5,4)= Q(5,5)=

Evalue en x=0.6 18. La ley de Hooke establece que cuando una fuerza es aplicada a un resorte construido de

material uniforme, la longitud del resosrte es una función lineal de la fuerza aplicada. Como se muestra en la figura.

a) Encuentre la aproximación por mínimos cuadrados para el valor de k y E. empleando los siguientes datos:

b)

c) Mediciones adicionales son hechas, dados en la siguiente tabla los datos adicionales.

Recalcule una nueva aproximación por mínimos cuadrados. Compare soluciones.

F(l) l

2 7.0

4 9.4

6 12.3

F(l) l

3 8.3

5 11.3

8 14.4

10 15.9



19. Ajuste 1 2 3 4( ) sin( ) sin(2 )g x c c x c x c x a los siguientes datos. Grafique g(x) junto

con los datos.

Para este caso, las funciones normales son: 1 2 3 41, , sin( ), sin(2 ),x x x Arme el

sistema de ecuaciones para resolver y encontrar c1, c2, c3 y c4. Complete la matriz que se encuentra

acontinuación.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

c c c c

c c c c

c c c c

c c c c

20. Un investigador ha reportado los datos tabulados abajo para un experimento que determina

la tasa de crecimiento de una bacteria k(por dia), como función de la concentración de

oxigeno c (mg/L). Se sabe que los datos pueden ser modelados por la siguiente ecuación

2

max2

s

k ck

c c

Donde cs y kmax son parámetros. Linealice esta ecuación. Luego utilice regresión lineal por

mínimos cuadrados, para estimar cs y kmax y luego prediga el tasa de crecimiento para

c=2mg/L.

i xi f(xi)

1 0.1 0.0000

2 0.2 2.1220

3 0.3 3.0244

4 0.4 3.2568

5 0.5 3.1399

6 0.6 2.8579

7 0.7 2.5140

8 0.8 2.1639

9 0.9 1.8358

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