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República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza ArmadaCiclo Básico de IngenieríaMatemática ISemana 3: 24/09/2007 al 28/09/2007
Guía conjunta de Ejercicios resueltos Nº 2
Tema 1.2. Límites por definición. Propiedades y teoremas sobre límites. Evaluación de límites (por sustitución). Límites laterales.
1. En el siguiente ejercicio, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:
2. Evalúe el siguiente límite:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del Teorema dado en clase, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del Teorema:
1
3. En el siguiente ejercicio, completar la tabla y el utilizar el resultado para estimar el límite
x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1f(x)
Al sustituir los valores de x se obtiene lo siguiente:
Se concluye que el límite de función cuando x tiende a 2 se aproxima a 0,3333
4. Probar por de definición el siguiente limite
0 < | x-1| < δ entonces | (3x +1)-4| < ε
Puesto que la elección de δ depende de ε, es necesario establecer una relación entre los
valores absolutos.
| (3x +1)- 4| y |x-1|
|3x-3| = |3x-3| = 3| x-1|
De tal manera, para cada ε > 0 dado, se puede tomar δ = ε /3. Esto es porque
0< | x-1| < δ entonces 3 |x-1| <ε => |x-1| < ε /3 δ = ε/3
Implica que 3|x-2| < 3 (ε/3 ) = 3
5. Trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no existe, dé la razón:
x 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1f(x) 0,344828 0,334448 0,333444 0,333222 0,332226 0,322581
2
Solución:
Si existe se cumple el teorema del límite lateral, debido a que existen los límites laterales y son iguales.
6. Hallar el valor del límite cuando n tiende a infinito.lim (-7n n + 5n + 6 n - 3)
(11n n - 4 n + 10) Evaluando la expresión nos damos cuenta que es un límite indeterminado de la forma: Infinito / InfinitoDividimos la expresión en el numerador y el denominador por n n, nos queda:Lim (-7 + 5 / n + 6 /n - 3 / n n)
(11 - 4 / n + 10 / n n) Volvemos a evaluar para n= Infinito y obtenemos como resultado -7/11 la indeterminación se ha eliminado.
7. Dada la función F(x) determinar los valores de c y k para los cuales los límites existan.
Solución
Para que el límite exista debe cumplirse que:
Limite cuando x→1 por la izquierda
3
Limite cuando x→1 por la derecha
Para que el límite exista:
Limite cuando x→4 por la izquierda
Limite cuando x→4 por la derecha
Para que el límite exista debe cumplirse que:
Resolviendo el sistema de ecuaciones no da el valor de c y k
8. Dada la función F(x) determinar si el límite existe.
Solución
4
Para que el límite exista en -3 debe cumplirse que:
Limite cuando x→-3 por la izquierda
Limite cuando x→-3 por la derecha
Limite cuando x→-3 no existe
Para que el límite exista en 3 debe cumplirse que:
Como el límite cuando c→3 no existe.
9. Calcular los siguientes límites:
5
a.
Solución
b.
Solución
c.
Solución
10. Dada , hallar
Solución
Como y
11. Encontrar la solución de la siguiente expresión:
Solución: Multiplicando por la conjugada arriba y abajo
3232
323222
22
xxxx
xxxx
6
Tenemos:
22
4
321
321
4lim
321
321
4lim
321
321
4lim
3232
3232lim
3232
32323232lim
2222
2
2
2
222
22
22
2222
xxxxxxx
xxx
x
xxx
xxx
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
xx
xx
x
12. Encontrar la solución del siguiente limite
Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma cero entre cero. Podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes: Debido a que se puede expresar como Por lo que:
13. Sea
Encuentre los valores de a y b tales que y el existan.
Solución:Procedemos a graficar las funciones por partes conocidas, obteniendo la gráfica siguiente:
7
Si
Si
Si
x
x
x
2
22
2
62
2
x
bax
x
xf
1 2 3-1-2-3-4-5-2-3-4
4
De la gráfica anterior se puede observar que el y el
Para que exista el , se debe cumplir que:
= , esto quiere decir que el debe ser 4 para que exista el .
Así:
Para que exista el , se debe cumplir que:
= , esto quiere decir que el debe ser -2 para que exista el .
Así:
De ,
De ,
De , despejamos b:
Sustituimos b en :
Resultado: y , para que exista el y el
14. Halle el valor del
Evaluamos el límite en el denominador antes de aplicarlo, así:
8
42
baxLímx
1
22
baxLímx
2
1 3
2 4
3
4
, no se puede aplicar el límite a una función racional cuando el denominador es 0
(Cero). Además, evaluando el límite de: obtenemos la forma indeterminada . Por
tanto, se deben factorizar ambos polinomios, para luego, simplificar la expresión. Después, se aplican los teoremas del límite a la expresión simplificada, de la forma siguiente:
15. Sea h(x) una función cuya gráfica se adjunta:Indique:
Respuesta:
9
7
1
12
65
7
1
7
1
43
23
4
2
4
2
34
23
12
65
2
2
3
33
33
332
2
3
xx
xxLím
LímxLím
LímxLím
x
xLím
xx
xxLím
xx
xxLím
x
xx
xx
xxx
1 2 3 40
-1-2-3-4-5-6
0,5
1
2
3
4
5h(x)
x
16. Evaluar los siguientes límites:
Solución:
Solución:
17. Calcular el siguiente límite por sustitución:
10
Lim -------------- x 3 x – 3
Solución: Al sustituir nos resulta cero dividido entre cero, lo cual es una indeterminación, entonces factorizamos el numerador
Lim (x – 3)(x + 4) ---------------- x 3 x – 3
Ya que por definición el Límite no considera la función en el punto x = 3, entonces podemos eliminar el binomio x – 3, quedando:
Lim (x + 4) x 3
Sustituimos y resulta que el límite es: 7
18. Calcular el siguiente límite por sustitución: Lim x 4
Solución: Al sustituir nos queda la raíz cuadrada de – 4, por definición no existe la raíz de números negativos; por lo tanto este límite no existe en el conjunto de los números reales.
19. Sea:
20. Dada:
11
1
-1
21. Demuestre que utilizando la definición de límite.
Para hacer la demostración basta con encontrar un tal que:
< (I)
Ya que por definición, el existe siempre que
Para efectos de simplificación, asumimos un valor de =1 y obtenemos:
Sustituyendo en (I) se obtiene que 8 < y que < /8; ya que
por definición .
22. Encuentre .
Solución:
= = = =
=
23. Usando la definición rigurosa del límite de una función, pruebe que:
Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:
(1)
12
Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).
(V.A.5)
(factorizando)
(2)
Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger . (Por supuesto, cualquier valor menor funcionará para .) Prueba formal.
Dado , existe, , tal que,
En particular, si A escoge un , en este ejemplo, entonces B responderá con un.
Si A propone , B escogerá (cualquier valor menor también satisface).
Al graficar la recta , se nota que para obligar a (9 - 3x) estar cerca de -6, se debe obligar a x que este cerca de 5.
24. Usando la definición del límite de una función, demostrar que:
Análisis preliminar. Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:
13
Si , entonces (1) Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1).
(factorizando)
(simplificando, puesto que x - 1 0)
(2)
Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger (cualquier valor menor funciona). Prueba formal.
Dado ,
existe , tal que,
En particular, si en este ejemplo, A escoge un , entonces B responderá con un . Si A propone , B escogerá (cualquier valor menor también cumple). La gráfica de la
función es la misma que corresponde a la recta de ecuación
, con x 1.
En la figura siguiente, aparece la gráfica de la función dada. Nótese que si el ancho de la banda alrededor del punto y = 3 es , entonces, el ancho de la banda alrededor del punto x = 1 es .
14
15