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Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas) Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612 1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial – 2da Guía de Estudio Recopilado y digitalizado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

Repaso General de Funciones Vectoriales y Funciones en Varias Variables Página 1 de 14

2da Guía de Estudio del 1er Parcial

Funciones Vectoriales Modelación de Movimiento de Proyectiles Superficies en el Espacio Tridimensional

Coordenadas Cilíndricas y Esféricas Límites de Funciones en Varias Variables Derivadas Parciales – Conceptos Básicos

Guía Complementaria No.02 – v 3.0 Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el primer examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas erróneas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo II, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes libros de Cálculo en varias variables y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas de Entrega: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja y

como mínimo grapada. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás

elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su

respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.

e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual. A.-) En los problemas del No.01 – No.08, dada la función vectorial de desplazamiento, determine la distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo establecido.

1) 1034 tktjtittr

R/= 26

2) 2032 tktjtitr

R/= 8108027

1



3) 230,cos,4 ttsentt

R/= 172

3

4) ttttsen 0cos2,5,2

R/= 29

5) ctesbatkbtjtasenitatr ,20cos

R/= 22 ba2

6) 20,cos,cos 2 tttttsenttsent

R/= 8

52

7) 2021

34 22

3 tktjtittr

R/= 816.43ln2

31134ln

2

3132

8) 202cos tktjtsentitttr

R/= 126.43ln2

372ln

2

37

C.-) En los problemas del No.09 – No.11, dada la función vectorial de desplazamiento, determine las características físicas y vectores especiales solicitados

9) Dada 3;143cos737 tktjtitsentr , determine tBtNtTt ,,, .

10) Dada 12

;2cos24 tktsenjtittr , determine tBtNtTt ,,, .

11) Dada ktjtitsentr 52cos626 , determine t .

B.-) En los problemas del No.12 – No.17, utilice el método de modelo a través de proyectiles para resolver las preguntas planteadas.

12) Determinar la altura máxima y el alcance de un proyectil disparado desde una altura de 3 pies sobre el nivel del suelo con V0 de 900 pies/s y con ángulo de 45° sobre la horizontal.

R/=> altura máxima= 6,331.13 pies Alcance= 25,315.50 pies



13) Un jugador de béisbol en segunda base lanza una pelota al jugador de primera base a 90 pies, la

pelota es lanzada desde 5 pies sobre el nivel del suelo con una V0 de 50mi/hr y con un ángulo de 15° con la horizontal. ¿A qué altura cacha la pelota el jugador de primera base?

R=> 3.286 pies

14) El mariscal de campo de un equipo de futbol americano lanza un pase a una altura de 7 pies sobre el campo de juego y el balón de futbol lo captura un receptor a 30 yardas a una altura de 4 pies sobre el nivel del suelo. El pase se lanza con un ángulo de 35° con respecto a la horizontal.

a.-) hallar la rapidez del balón de futbol al ser lanzado. b.-) hallar la altura máxima del balón de futbol. c.-) hallar el tiempo que el receptor tiene para alcanzar la posición apropiada después de que el mariscal de campo lanza el balón de futbol.

R=> a) 54.09 pies/s b) 22 pies & c) 2 segundos

15) Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3,200 pies con una velocidad de 400

pies/s cuando suelta una bomba. Un proyectil se lanza 5 segundos después desde un cañón orientado hacia el bombardero y abajo a 5,000 pies del punto original del bombardero, como se muestra en la figura. El proyectil va a interceptar la bomba a una altitud de 1,600 pies. Determinar la velocidad inicial y el ángulo de inclinación del proyectil. (Despreciar la resistencia del aire.)

R=>V0=447.2 pies/s Angulo=63.43°

Fuente: Cálculo 2 de varias variables, 9ª edición, Ron Larson y Bruce Edwards (pag.883)

16) Un bombardero vuela a una altitud de 30,000 pies a una velocidad de 540 millas por hora (ver figura). ¿Cuándo debe lanzar la bomba para que impacte en el blanco? (Dar la respuesta en términos del ángulo de depresión del avión con respecto a la horizontal.), ¿Cuál es la velocidad de la bomba en el momento del impacto?

R/=>1,596 pies/s; ángulo de 41.18° (Sugerencia: utilice como referencia el triángulo rectángulo pintado en rojo)

∝

∝



17) Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo, se aleja del bate con un ángulo

de 45° y es cachada por un jardinero a tres pies sobre el nivel del suelo y a 300 pies del plato de lanzamiento. ¿Cuál es la rapidez inicial de la pelota y que altura alcanza?

R=> rapidez inicial= 95.98 pies/s Altura máxima= 78 pies

18) Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150m con una velocidad inicial de 180 m/s a un ángulo de 30° con la horizontal. Si se ignora la resistencia del aire, encuentre:

a) la distancia horizontal desde el cañón hasta el punto donde el proyectil golpea el suelo,

b) la elevación máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.

19) Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 800 ft/s a un blanco ubicado a 2000 ft por arriba del cañón A y a una distancia horizontal de 12,000 ft. Si se ignora la resistencia del aire, determine el valor del ángulo de disparo α.

20) Determine el ángulo θ más

pequeño, medido desde la horizontal, con el cual la manguera debe ser dirigida de manera que la corriente de agua toque el fondo de la pared en el punto B. La rapidez del agua en la tobera es VC = 48 pies/s.



21) Una pelota de golf es golpeada con

velocidad de 80 pies/seg. como se muestra. Determine la distancia d a la que llegará.

22) Una pelota de béisbol, bateada por un jugador de los Medias Rojas de Boston con un angulo de 20° a 3 pies sobre el suelo, pasó sobre el extremo izquierdo del “Monstruo Verde”, como se le conoce a la pared del jardín izquierdo en el estadio Fenway Park. Esta pared tiene 37 pies de altura y está a 315 pies del home (ver figura adjunta). a) ¿Cuál fue la rapidez inicial de la

pelota? b) ¿Cuánto tiempo tardó la pelota en

llegar a la pared?

23) Una pelota de golf es golpeada con una rapidez inicial de 116 pies/s con un ángulo de elevación de 45° desde el tee hasta un Green que tiene una altura de 45 pies sobre el tee, como se muestra en el diagrama. Si el pin, a 369 pies de distancia horizontal, no estorba, ¿Dónde caerá la pelota en relación con el pin?



C.-) En los problemas del No.24 – No.32, indique el nombre de la ecuación en función de las características calculadas, sus trazas en los planos (xy, xz, yz) y bosqueje de forma aproximada dicha función en el espacio tridimensional.

24) 032284 222 zyxzyx

25) 024688222 zyzyx

26) 842 222 zyx

27) 02510222 zzyx

28) 051616644 222 zyxzyx

29) 032442 222 zyxzyx

30) 084 222 xzyx

31) 036363216916 222 yxzyx

32) 045445499 222 zyxzyx

Respuestas Sugeridas 24.-) hiperboloide de una hoja con centro en (1,1,-1)

25.-) Esfera 26.-) Cono elíptico 27.-) Cono elíptico

28.-) Hiperboloide de una hoja 29.-) Elipsoide 30.-) Elipsoide

31.-) Elipsoide con centro en (1,2,0) 32.-) Cono elíptico con centro en (3,2,-3)



Gráficas sugeridas de las respuestas pertenecientes a las funciones cuádricas de los ejercicios 15–23. 24.)

25.-)

26.-)

27.-)

28.-)

29.-)



30.-)

31.-)

32-)

D.-) En los problemas del No.33–No.37, hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas de la ecuación dada en rectangulares, e intente nombrar la superficie determinada.

33) 4z 34) 9x

35) 17222 zyx

36) 1122 yxz

37) 03222 zzyx

E.-) En los problemas del No.38–No.42, hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la ecuación dada en cilíndricas, e intente nombrar la superficie determinada.

38) 3r 39) 2z

40) 6

41) 22 cosrz

42) cos2r



F.-) En los problemas del No.43 – No.47, hallar una ecuación en coordenadas esféricas de la ecuación dada en rectangulares, e intente nombrar la superficie determinada.

43) 2y

44) 49222 zyx

45) 03 222 zyx

46) 222 2zyx

47) 09222 zzyx

G.-) En los problemas del No.48–No.52, hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la ecuación dada en esféricas, e intente nombrar la superficie determinada.

48) 5

49) 43

50) 2

51) sec2

52) seccsc4

H.-) En el Ejercicio No.53 y 54, asocie la ecuación (dada en coordenadas cilíndricas o esféricas), con su respectiva gráfica.

53.1.-) 5r

53.2.-) 4

53.3.-) 5

53.4.-) 4

53.5.-) zr2 53.6.-) sec4



54 Asocie la ecuación con su respectiva gráfica completando el cuadro mostrados al costado

derecho.

Respuestas sugeridas para los ejercicios del No.27 al No.46

33. 4, zigual

34. sec9r

35. 1722 zr

36. 112 rz

37. 0322 zzr

38. 922 yx

39. 2, zigual

40. 03 yx

41. 2xz

42. 11 22 yx

43. csccsc2

44. 7

45. 3

46. 2tan

47. cos9

48. 25222 zyx

49. 0 yx

50. 0z 51. 2z 52. 4x

Ecuación Inciso

54.1.-) 19z

16y

9x 222

54.2.-) 4z15y4x15 222

54.3.-) 4z4yx4 222

54.4.-) 222 z9x4y

54.5.-) 0zy4x4 22

54.6.-) 0z4yx4 22



I.-) En los problemas del No.55 – No.61, realice un análisis del límite propuesto en función del requerimiento y/o métodos recomendados para establecer su existencia o no existencia.

55) Estudie

6446

5335

1,1,lim

yxyx

yxyx

yx a través de herramientas algebraicas.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

56) Estudie

42

42

0,0, 53

2lim

yx

yx

yx en la trayectoria x = ky2 (k constante).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

57) Estudie

33

33

0,0, 32

75lim

yx

yx

yx en la trayectoria y = kx (k constante).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

58) Estudie

221,4, 16

123lim

yx

yx

yx utilizando límites reiterados.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

59) Estudie

22

2222

0,0,

coslim

yx

yxyxsen

yx a través de coordenadas polares.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

60) Estudie

422

22

0,0, 2lim

yxyx

yx

yx utilizando la trayectoria y = kx (k cte).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

61) Estudie

9822

524lim

22

22

2,1, yxyx

xyyx

yx utilizando la trayectoria y + 2 = m(x – 1).

J.-) En los problemas del No.62 – No.66, dada la función f(x,y), hallar las dos derivadas parciales de primer orden (Fx & Fy).

62)

xyx

yxxyxf

3649

24ln,

22

2

63) 22

22 4,

yx

yxyxf

64) 3636729364 222 xxyyz

65) yxsenz 5cos5



66) yxzyzw ey 42coslogcscarctancsc 32ln

K.-) En los problemas del No.67 – No.70, calcular las derivadas parciales de primer orden con respecto a x, y & z

67) zyxsenzyxH 32,,

68) 222 zyxw

69)

222ln zyxw

70) 2221

1,,

zyxzyxG

L.-) En los problemas del No.71 – No.72, encontrar la primera derivada parcial con respecto a x.

71) zyzezyzyxf222tan,,

72) 122

,,

yyz

zyxsenhzyxf

M.-) En los problemas del No.73 – No.76, hallar las primeras parciales de z ( z/ x & z/ y)

73) 122 zyzx

74) 1tantan zyyx

75) zysenez x

76) 8ln 22 zzyyx N.-) En los problemas del No.77 – No.79, hallar las parciales de w ( w/ x, w/ y & w/ z)

77) 5 wxwzyzxy

78) 2105 2222 wywzyx

79) 20cos wzyzsenxy

O.-) En los problemas del No.80 – No.83, desarrolle las demostraciones solicitadas

80) En física se demuestra que la temperatura u(x, t) en el momento t en el punto x de un cilindro largo y aislado, que se encuentre a lo largo del eje x, satisface la ecuación del calor

unidimensional:2

2

x

uk

t

u

(donde k es una constante)



Demuestre que la función: nxsenetxuu tkn 2,

Satisface la ecuación del calor unidimensional para cualquier valor de la constante n. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

81) La ecuación del calor bidimensional para una placa delgada y aislada es:

2

2

2

2

y

u

x

uk

t

u

Demuestre que la función: nymxsenetyxuu tknm cos,,22

Satisface esta ecuación para cualquier valor de las constantes m y n. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

82) Una función de temperatura de estado estable u = u(x, y) para una placa delgada y plana satisface la ecuación de Laplace.

02

2

2

2

y

u

x

u

Determine cuál de las funciones siguientes satisface la ecuación de Laplace:

a)

22ln yxu

b) 22 yxu

c)

x

yu arctan

d) yseneu x

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 83) Una cuerda se estira a lo largo del eje x, se fija en cada extremo y luego se sujeta a vibración.

En física se demuestra que el desplazamiento y = y(x, t) del punto de la cuerda ubicado en x en el momento t, satisface la ecuación de onda unidimensional

2

22

2

2

x

ya

t

y

Donde la constante a depende de la densidad y tensión de la cuerda. Demuestre que las funciones siguientes satisfacen la ecuación de onda unidimensional: a) taxseny

b) taxy 3cosh

c) takxkseny cos donde k es una constante.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bibliografía utilizada para la recopilación y elaboración de los ejercicios propuestos en ésta Guía. 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México D.F, México. Pearson Educación. 2. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México D.F, México. Thomson Editores. 3. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México D.F, México. Grupo Editorial

Iberoamericana. 4. Stewart, J. (2008). Cálculo Varias Variables, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México D.F, México.

Cengage Learning Editores.



5. Stewart, J. (2012). Cálculo Varias Variables, Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México D.F, México. Cengage Learning Editores.

6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México D.F, México. Pearson Educación.

7. Thomas, G. (2010). Cálculo Varias Variables, 12ª ed. México D.F, México. Pearson Educación. 8. Zill, D. (2011). Cálculo Varias Variables. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México D.F, México. McGraw-

Hill Educación. 9. Larson, R.; Edwards, B. (2010). Cálculo 2 de Varias Variables, 9ª ed. México D.F, México. McGraw-Hill

Educación. 10. Zill, D.; Wright, W. (2011). Matemáticas 3. Cálculo de Varias Variables. 1ª ed. México D.F, México.

McGraw-Hill Educación. 11. Juárez, I.; Moreno, J.; Tomeo, V. (2007). Cálculo en Varias Variables Paso a Paso. 1ª ed. Madrid, España.

Thomson Editores. 12. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas.

Universidad de Chile. Santiago de Chile. 13. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. Cengage Learning

Editores. 14. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República

Bolivariana de Venezuela. 15. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José

Antonio Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. 16. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001.

Santiago de Chile, Chile. 17. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de

Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.

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