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Universidad de AntioquiaFacultad de Ciencias Exactas y Naturales.Instituto de F´ ısica.

Laboratorio deF́ ı sica I e Integrado

Elaborado por:Jorge Mahecha G.

Daniel Jaramillo A.

(Recopilado y adaptado porNelson Vanegas A.)

Medell ı́n, 2013

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Normas de Trabajo en el Laboratorio

1. La asistencia y puntualidad a las sesiones del laboratorio, son obligatorias.

2. Las prácticas son realizadas por los estudiantes en grupos conformados en la primerasesión, los cuales no deben cambiarse sin la autorizaci´on del profesor.

3. Cada estudiante tiene la obligaci´on de leer cuidadosamente la gu´ıa de la correspondiente

práctica en forma individual antes del inicio de la sesi´on de laboratorio, y debe saberqué va a hacer.

4. Ningún estudiante podr´a retirarse del laboratorio antes de que el grupo haya terminadocompletamente la toma de datos y los ejercicios asignados por el profesor.

5. Cada grupo de trabajo debe tomar de la mesa central los elementos nesesarios quele hacen falta para ejecuci´on de la práctica, de igual manera all´ ı debe regresarlos al nalizar la pr áctica.

6. Cada estudiante debe ser muy cuidadoso en la manipulaci´ on de los aparatos y elementosde laboratorio. En caso de dudas debe consultar al profesor. Los da˜ nos y pérdidas enmateriales y equipos de laboratorio ser´an asumidos por el estudiante o por los miembrosdel grupo que los recibió.

7. Est á prohibido fumar y/o comer en las aulas de laboratorio o realizar otras accionesque di culten el desarrollo de las sesiones.

8. La evaluación se realiza con base en los informes semanales elaborados por cada grupoy en los exámenes individuales. Todos los miembros del grupo deben participar en laelaboraci ón de cada uno de los informes.

9. En cada experiencia el profesor determinar´ a el contenido del informe, por defecto se

supone el señalado en la gu´ıa. No olvide que las medidas y resultados debenllevar su respectiva incertidumbre como se explica en este manual .

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Errores e Incertidumbre

La f ı́sica, al igual que todas las ciencias, es un conocimiento l ógicamente estructuradosobre un conjunto amplio de fen ómenos ı́ntimamente relacionados. Como tal requiere dede niciones, postulados y leyes, los cuales enmarcados en una teor´ ıa procuran describir laestructura de una parte de la naturaleza. Por tanto su objetividad debe estar regulada porla veri cación experimental y la predicci´on de nuevos fenómenos.

Magnitudes, Unidades y Medidas

La descripción ingenua del mundo observado a nuestro alrededor hace uso de cali cativosopuestos: grande-peque˜no, muchos-pocos, ancho-estrecho, duro-suave, grave-agudo, liviano-pesado, claro-oscuro, r ápido-lento, ef ı́mero-durable, etc., para denotar diferentes propiedadesy comportamientos de los objetos. Sin embargo, estas descripciones cualitativas son relativase imprecisas pues un objeto puede ser grande comparado con uno mas peque˜ no y al mismotiempo ser á pequeño comparado con uno de mayor tama˜no. Por tanto, es conveniente tomarun objeto o sistema que, con respecto a esa propiedad, nos sirva de referencia. La propiedadcomparable de este objeto constituye un patr´ on. La elaboraci ón de una escala comparativabasada en un patr´on determinado nos permite establecer cuantitativamente la propiedadcorrespondiente en otros objetos.

El proceso de comparaci ón con algún patr´on es la esencia de la medida. El uso de escalasbasadas en los patrones facilita el proceso de medida. Los objetos que portan escalas com-parativas son denominados instrumentos de medida. Cualquier propiedad susceptible de sermedida es llamada magnitud f´ ısica.

Ejemplos de patrones de tiempo pueden ser el intervalo que existe entre dos amaneceres (d´ ı a), o entre dos lunas llenas (mes), entre dos prima-veras (a˜ no), etc; patrones de longitud pueden ser el tama˜ no de la ´ ultima falange del pulgar (pulgada), la m´ axima extensi´ on entre los dedos de una mano (cuarta), la m´ axima extensi´ on entre las manos (brazada), etc.

Los patrones en s ı́ mismos y sus múltiplos y subm últiplos constituyen unidades de medida.Por ejemplo: la semana que son siete d´ıas, el siglo que corresponde a cien años y la hora quees la veinticuatroava parte del d´ ıa, son unidades de tiempo.

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En el sistema métrico decimal los m´ultiplos y subm últiplos usuales corresponden a po-tencias enteras de 10. Los nombres correspondientes a estos m´ ultiplos y subm últiplos est ánrelacionados con pre jos que se le añaden a la unidad. Estos pre jos están dados a continua-ción:

101 → Deca 10− 1 → deci

102 → Hecto 10− 2 → centi

103 → Kilo 10− 3 → mili

106 → Mega 10− 6 → micro

109 → Giga 10− 9 → nano

1012 → Tera 10− 12 → pico

Es usual asociar a cada magnitud f´ısica una dimensi ón. Por ejemplo, la altura de unapersona tiene dimensi ón de longitud y su peso dimensión de fuerza. El producto o divisi ón de

dimensiones constituyen nuevas dimensiones, sin embargo, de ninguna manera est´ a de nidala suma de cantidades con dimensiones diferentes. Es un buen h´ abito, por tanto, probar laconsistencia dimensional de los expresiones matem´aticas, esto es, que todos los sumandos deuna expresi ón tengan la misma dimensi´on.

En din ámica existen b ásicamente tres dimensiones fundamentales: longitud ( L), tiempo(T ) y masa (M ), todas las otras dimensiones se pueden reducir a productos de las potenciasde estas. En el sistema internacional de medidas (SI) las unidades asociadas a esas magnitudesfundamentales son respectivamente el metro (m), el segundo (s) y el kilogramo (Kg).

Errores en la Medida

Para el examen de un fen ómeno o proceso es conveniente provocarlo de manera con-trolada, esto es realizar un experimento, y observarlo utilizando instrumentos de medici´ on,quienes nos permiten traducir a n´umeros reales las distintas magnitudes f´ ısicas involucra-das en la experiencia. Estos n úmeros satisfar án ciertas relaciones matem´aticas que puedenestar contenidas en las leyes f´ısicas. Sin embargo, como en todo procedimiento humano elmontaje experimental y el proceso de medici´on no son perfectos lo que conduce a errores eincertidumbres en los valores de las magnitudes medidas, por tanto las leyes podr´ an parecer

satisfechas solo de forma aproximada. La estimaci´on de estas de ciencias puede llevarnos avalorar adecuadamente nuestras experiencias y a determinar la validez de las leyes f´ ısicassubyacentes en lo observado. El error en la medida est´ a determinado por la discrepancia queexiste entre los valores real y observado de la magnitud considerada. Basicamente los erroresson de tres tipos: de escala, aleatorios y sistematicos.

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Errores de Escala

Este tipo de error está determinado por la precisi´ on del aparato de medida. Es entendibleque con una simple regla cuya divisi ón m ı́nima es un mil ı́metro no es posible medir fraccionesde esta cantidad con total certeza, sin embargo, casi siempre podemos asegurar con todacon anza que el valor de la longitud de un objeto medido con este instrumento estar´ a entredos múltiplos consecutivos de esta unidad. En ese caso el error en la medida no excederá lam ı́nima división de la escala utilizada.

Errores Aleatorios

En muchos experimentos cuando se tienen instrumentos de alta precisi´ on, al realizar me-didas consecutivas de una cierta magnitud se pueden obtener valores diferentes de la medidadebido a ciertos factores que, de manera sutil pero perceptible por nuestro instrumento, pue-den afectar la medida en forma aleatoria. Por eso estos errores se denominan aleatorios. Un

ejemplo de ello es cuando manualmente debemos accionar un cron´ ometro para determinar unintervalo de tiempo, siendo nuestro tiempo de reacci´ on mayor que la incertidumbre de esteinstrumento. Para obtener una buena estimaci´ on de la medida, debemos realizar la medici ónvarias veces con lo que obtenemos una regi ón donde, con cierta con anza, podemos a rmarque all ı́ se halla el valor real.

Errores Sistemáticos

Contrariamente a los aleatorios existen otros factores que sistem´ aticamente producenerror en la medida, puesto que dependen del sistema o montaje experimental, por esto ellos

son llamados sistem áticos. Este es el caso de cuando se tienen instrumentos de medidadescalibrados. Tambíen dentro de ese tipo de errores est´ an incluidos los inducidos por losmodelos teóricos cuando son usados para medidas indirectas. Por ejemplo, cuando queremoshallar la profundidad de un pozo midiendo el intervalo de tiempo que existe entre el momentoen que se deja caer una piedra en su interior y, el instante en que se escucha el chasquido dela piedra al golpear el fondo, utilizando las ecuaciones de ca´ıda libre para el descenso de lapiedra; en este caso no considerar la fricci ón del aire ni el retardo del sonido produce erroressistemáticos, que pueden despreciarse en caso de no requerirse mucha exactitud.

Incertidumbre

Debido a los errores los valores obtenidos, como resultado de los procesos de medida,poseen incertidumbre. La utilizaci´on de instrumentos en buen estado, el manejo adecuadode los aparatos y la consideraci ón de correcciones a los modelos ideales nos permite reducirlos errores sistemáticos; sin embargo, no es posible deshacernos totalmente de los errores

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aleatorios y de escala. Mientras m´as preciso es nuestro instrumento de medida mas signi- cativos se vuelven los errores aleatorios. Debido a esta incertidumbre el resultado de unamedida, en ciertas unidades, no puede ser un n´ umero exacto, sino que debe ser un intervalonumérico; esto es, un rango de valores donde podemos a rmar con mucha con anza que all ı́

se halla el valor de la medida. La incertidumbre puede ser de

nida como el semiancho delm ı́nimo intervalo donde podemos a rmar con relativa seguridad (mas o menos con un 70 %de con anza) que all ı́ se alla el valor real de la medida real.

Al hacer varias medidas de una misma magnitud, bajo las mismas condiciones en general,distinguimos dos casos: o las medidas repetidas dan valores iguales o valores diferentes. Enel primer caso dominan los errores de escala, entonces la incertidumbre corresponder´ a a unafracción (1, 2/3 ó 1/2 ) de la división m ı́nima del instrumento de medida. En el segundo casodominan los errores aleatorios y la incertidumbre corresponder´ a a la desviación cuadr áticamedia (desviaci ón estándar) de las medidas.

Para un conjunto de valores x1 , x2 , ....x n arrojados por medidas repetidas de una mismamagnitud la desviaci´on estándar est á de nida como

Δ x =� 1nn

i =1

(x i − x̄)2 ,

donde x̄ es el promedio de las medidas,

x̄ = 1n

n

i =1

x i .

Reporte de Medidas

Las incertidumbres deben ser expresadas en forma expĺ ıcita en nuestro reporte de lamedición. Expresaremos el resultado de una medida ( m) por el valor medio (m̄) más omenos la incertidumbre ( Δ m): m = m̄ ± Δ m. Esto quiere decir que la medida real se hallacon alta probabilidad en el intervalo ( m̄ − Δ m, m̄ + Δ m). A la razón Δ m/ m̄ la llamaremosincertidumbre relativa, esta se puede escribir en forma porcentual como Δ m/ m̄ × 100%

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Ejemplo: queremos estimar la velocidad de ca´ ı da de una esfera en un medio viscoso, midiendo el tiempo que tarda en caer una distancia deter-minada. El experimento se repite varias veces bajo las misma condiciones y los tiempos medidos en cinco lanzamientos son: 10.01s, 10.03s, 10.07s,10.04s y 10.05s; vemos que la imprecisi´ on del cron´ ometro, 0.01s, es in- ferior a los errores aleatorios, por tanto la incertidumbre viene dada por estos errores y nuestro reporte del tiempo debe ser (10.04 ± 0.02)s, donde 10.04s es el valor medio y 0.02s la desviaci´ on est´ andar de las medidas.Ahora supongamos que contamos con una fotopuerta que nos permite accionar el cron´ ometro sin errores perceptibles, en este caso las cincomedidas del tiempo podr´ ı an ser 10.06s en todos los casos, por tanto aho-ra la incertidumbre de la medida est´ a dada por la resoluci´ on del aparato:0.01s y nuestro reporte del tiempo debe ser (10.06 ± 0.01)s

Valor aceptado

Es imposible conocer el valor exacto de una medida con total presici´on debido tanto alos errores sistematicos como a los aleatorios y de escala. Sin embargo podemos suponer queel valor de una cierta magnitud tiene un valor real muy aproximado a lo que llamaremosvalor aceptado, que puede ser el resultado de consideraciones te´ oricas (por ejemplo el valordel número π ) o de múltiples mediciones (como por ejemplo, el valor de la gravedad, la masadel electr ón, etc).

Los valores aceptados de constantes f´ ısicas se obtienen realizando muchos experimentoscon montajes diferentes, con el n de eliminar los errores sistematicos, porque, aunque loserrores sistematicos en un mismo montaje afectan el valor de la medida de forma invariable,para diferentes montajes actuan de manera aleatoria. En ese caso el valor aceptado se obtiene

a trav́es de lo que se conoce como promedio ponderado. Si {m̄1 ± Δ m1 ,.., m̄ i ± Δ m i , ..} sonlos valores, digamos de la gravedad, obtenidos en n diferentes experimentos entonces el valoraceptado se obtiene como

M̄ =

n

i =1

m̄ i / (Δ m i )2

n

i =1

1/ (Δ m i )2

y la incertidumbre correspondiente es

Δ M =�

1n

i =1

1/ (Δ m i )2

Con estas de niciones se consigue darle mayor peso a las medidas m ás precisas y menor pesoa las más imprecisas por eso M̄ es llamado el promedio ponderado.

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Error relativo

Si conocemos el valor aceptado de una medida, o el valor te´orico predicho por un modelo,podemos evaluar la exactitud de nuestra medida, la medida ser´ a exacta si el valor aceptado oteórico está dentro del intervalo de la medida. En otras palabras diremos que nuestra medidaes exacta si el error relativo con respecto al valor aceptado es menor que la incertidumbrerelativa de la medida, donde el error relativo esta de nido a traves de

E m = |M − m̄ |

M ,

Siendo M es el valor aceptado. También hablaremos de diferencia porcentual que simplementecorresponde al error relativo expresado de forma porcentual.

Exactitud y Precisi´ on

La exactitud de una medici´on está determinada por el hecho que el valor real aceptadoesté contenido en el intervalo arrojado por la medida. La medida se considerará inexactasi el valor real aceptado est á por fuera de este intervalo. La precisi´on de la medida est árelacionada con la incertidumbre relativa, y ser´ a tanto m ás precisa cuanto m ás pequeña seaesta. Por ejemplo, siendo mi altura 1.75m, yo puedo a rmar que mi estatura esta entre uno ydos metros (si me comparo con un bast´on que tiene un metro de longitud) con lo cual estoyhaciendo una descripci ón exacta pero imprecisa (en este caso mi altura puede ser escritacomo (1.5± 0.5)m, donde la incertidumbre relativa es 0.5/1.5=0.33); pero si yo digo que miestatura es (1.77 ± 0.01)m (si al medirme no me quite los zapatos) estoy dando un valor m´ aspreciso pero inexacto (la incertidumbre relativa es 0.01/1.77=5.6 × 10− 3 ).

Los errores sistemáticos son los responsables de la inexactitud en la medida y los aleatorios

y de escala de la imprecisión.En un experimento bien realizado cada una de las cantidades a medidas, directa o indi-

rectamente, debe presentar un error relativo menor que su incertidumbre relativa. Este ser´ anuestro criterio de exactitud.

Propagaci´ on de Incertidumbres

Las leyes fı́sicas, se expresan a través de ecuaciones que relacionan magnitudes, es poresto importante saber como se expresa la incertidumbre de una funci´ on de magnitudes f ı́sicasdebido a las incertidumbres de estas. Si suponemos que las incertidumbres relativas son

pequeñas podemos hacer uso de la siguiente aproximaci´on:

f (x̄ ± Δ x) ≃ f (x̄) ± df dx̄

Δ x ≡ f̄ ± Δ f,

aśı el valor medio de f y su incertidumbre son

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f̄ = f (x̄) y Δ f =df dx̄

Δ x.

Por simple extrapolaci´on cuando se tenga una funci´on f de dos magnitudes observadas ( x, y)con x = x̄ ± Δ x y y = ȳ ± Δ x tendremos que f = f̄ ± Δ f con

f̄ = f (x̄, ȳ)

yΔ f =

∂ f ∂ x̄

Δ x +∂ f ∂ ȳ

Δ y,

donde ∂ f / ∂ x es la derivada parcial de f con respecto a x evaluada en x = x̄ que correspondea una derivada manteniendo a y constante.

Con las propiedades arriba enunciadas no es di cil comprobar las siguientes relaciones:Δ xn = |n | xn − 1 Δ x

Δ (x ± y) = Δ x + Δ y

Δ (xy) = xyΔ xx

+ Δ y

y

Δxy

= x

yΔ xx

+ Δ y

y .

Δ (xn ym ) = xn ym |n |Δ

xx + |m |Δ

yy .

La propagacion de incertidumbres expresada en las f´ ormulas anteriores es la que usual-mente se utiliza con las incertidumbres asociadas a los errores de escala. Las incertidumbresprovenientes de los errores aleatorios (cuando se dan valores diferentes para medidas repeti-das) se deben tratar de forma diferente. En este caso la incertidumbre, para una funci´ on dedos variables f (x, y), viene dada por

Δ f =� ∂ f ∂ x̄ Δ x2

+∂ f ∂ ȳ

Δ y2

,

que en los casos particulares de sumas o productos toma las siguientes formas

Δ xn = |n | xn − 1 Δ x

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Δ (x ± y) = (Δ x)2 + ( Δ y)2Δ (xy) = xy� Δ xx

2

+Δ yy

2

Δ xy

= xy� Δ xx

2

+Δ yy

2

.

Δ (xn ym ) = xn ym� n Δ xx2

+ mΔ yy

2

.

Cifras Signi cativas

Debido a la presencia de incertidumbre en las medidas, no es pr´ actico expresarlas conmuchas cifras numéricas o digitos, pues no todas tendr´ an signi cado, esto es, si una medidatiene una incertidumbre del uno por ciento, la cuarta cifra numérica que est´ a relacionadocon precisiones mayores que el uno por mil, no tiene ning ún signi cado.

Los ceros a la izquierda no corresponden a cifras signi cativas, en tanto que los que estana la derecha pueden tenerlo.

Ejemplo: desde el punto de vista experimental las cantidades 5m, 5.0m y 5.00m son diferentes; mientras la primera tiene una cifra signi cativa,la segunda tiene dos y la tercera tres. Las mismas cantidades escritas en kilometros ser´ ı an 0.005km, 0.0050km y 0.00500km. Supongamos que queremos expresar la ´ ultima cantidad en mil´ ı metros, si decimos que es equivalente a 5000mm le estar´ ı amos aumentando una cifra signi cativa,por tanto par evitar confusiones es conveniente la notaci´ on cient´ ı ca, as´ ı escribiremos 5.00 × 10 3 mm o equivalentemente 5.00 × 10 − 3 km.

Las constantes te´oricas que aparecen en las f órmulas f ı́sicas o geométricas poseen un n úmeroin nito de cifras signi cativas, p.ej. en la expresi´on de la energ ı́a cinética se tiene un factorde un medio que multiplica a la masa por la velocidad al cuadrado, este factor de un mediono es 0.5 sino 0.500000000000000000000000000000000... etc. (aunque no lo escribiremos as´ı).Esto debe ser tenido en cuenta para el buen manejo de las cifras signi cativas.

Para simpli car el manejo de datos asumiremos que las incertidumbres asociadas atodas las medidas realizadas en este laboratorio no tendŕan más de dos cifrassigni cativas, utilizaremos dos cifras signi cativas solo cuando la primera cifra

signi cativa sea menor que tres , de acuerdo a esto, solo la última cifra signi cativa delos resultados experimentales será incierta. Considerando que en las pr´ acticas que siguentendremos exactitudes del 1-5 % la totalidad de los datos obtenidos se presentar´ an con nomás de cuatro cifras signi cativas.

Las dos principales reglas para el uso adecuado de cifras signi cativas son las siguientes:

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Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el n´umero de cifras signi cativasen el resultado es igual al n úmero de cifras signi cativas del n úmero de menos cifrassigni cativas que participa en la operaci´ on.

Cuando se suman o restan números, el número de decimales signi cativos del resul-tado debe ser igual al n úmero de decimales signi cativos del sumando que tiene menosdecimales.

Al hacer la reducci ón de cifras se ha de tener en cuenta las propiedades del redondeo.

Ejemplo: supongamos que se quiere estimar el ´ area de una placa rec-tangular que mide (51.3 ± 0.1)cm de ancho y (0.7 ± 0.1)cm de largo, noes correcto entonces expresar el ´ area como (35.91 ± 5.13)cm 2 ni como(35.9 ± 5.1)cm 2 sino que lo correcto es (36 ± 5)cm 2 .

F́ ı jese que en este ejemplo se rompió la regla de las cifras signi cativas para el producto delos valores medios, sin embargo no se la violó para las incertidumbres. De ahora en adelanteel criterio para el n úmero de cifras signi cativas de los valores medios es que estos tengan elmismo número de decimales signi cativos que las incertidumbres, donde est´ as tendr án, a losumo, dos cifras signi cativas y satisfar´an las reglas arriba enunciadas.

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