UNIVERSIDAD DE CHILE

FACULTAD DE MEDICINA

UNIDAD DE BIOMATEMATICA

GUIA N°2 “LOGARITMOS, EXPONENCIALES Y

APLICACIONES”

EQUIPO DOCENTE:

CAROLL CUELLAR GODOY

ALEJANDRA DECINTI WEISS

INGRID GALAZ PAREDES

RENE PRADO YAÑEZ

GIOVANNA TICCHIONE TRONCOSO

SANTIAGO – CHILE 2011

I. Operatoria

1. Resuelva:

a) 9 x + 2 = 240 + 9 x e) 4 x - 4 x – 1 = 24

b) 3 x + 1 = 4 x + 1 f) 2 x + 1 + 4 x = 80

c) 3 x + 2 + 9 x + 1 = 810 g) e 2x - 3e x + 2 = 0

d) 2 x + y = 64 h) z x = y 2x

64 x – y = 0,5 12 xZ 422 si x 0

x + y + z = 16

2. Escriba en notación logarítmica:

a) 3 5 = 243 d) 17 0 = 1

b) 0,2 4 = 0,0016 e) 24/1 = 0,0625

c) 10 –5 = 0,00001 f) e 0,69315 = 2

3. Escriba en notación exponencial:

a) log 3 27 = 3 d) log 0,5 4 = -2

b) log 10 = 1 e) ln 3 = 1,09861

c) ln 10 = 2,3026 f) log 28 = 1,4472

4. Calcule el valor de:

a) log 5 25 f) log 25 5

b) 9 log3

g) log 4 2

c) log 3 33 h) log 0,75 3

4

d) log 0,125 8 i) 12 log32

e) 8 log2

j) 3 log27

1

5. Encuentre el valor de x si:

a) log x 2 = 1/8 f) log x 25 = 2

b) log x 3 = 1/2 g) log 2 x = 6

c) log 0,1 = x h) ln e = x

d) log 2 (x2 – 1) = log 2 8 i) log (x2 + 64) = 2

e) log 5 125

1 = x j) log x2 = -4

6. Desarrolle:

a) log c

ab 2

d) log 32rn

m

b) ln 45

2

v z

y x e) log

3r

pq

c) log 5

r q f) log x log x

7. Exprese empleando un sólo logaritmo:

a) 2log a + log b

b) 5log m - 3

1log n

c) 2

1log x -

3

2log y + log z

d) log a

1 - 2 log b + log a2 - log

b

1

e) b log

a log

8. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 2log x = log 121 l) log x - 5log3= -2

b) log a x = -log a b m) log x + log(x+4)= a

c) a + ln x = ln (a + x) n) x)- (1 log

) x- (7 log 3

= 3

d) x

x

10 - 1

10 1 = a ñ) log

1 -x

x = a

e) e 2 + ln x = x + 2 o) x log x = 100x

f) x log x = 1000x2 p) log 2 3 2x

x

= 0

g) log x + xlog

15 = 8 q) x x x x

h) 3x = 6 r) 7x + 3 = 5

i) 22x + 3 - 6x – 1 = 0 s) e3(x – 2) = 2

1

j) ln (2x – 1) = 7 t) ex = 4e8x

k) log x 100 - log y 10 = 0

log x + log y = 1

II. Aplicaciones

1. Existen datos empíricos sustanciales para demostrar que si x e y miden los

tamaños de dos órganos de un animal en particular, entonces x e y están relacionados por una ecuación alométrica de la forma: lnclnxklny , donde k y c son constantes

positivas que dependen únicamente del tipo de partes u órganos que son medidos y

son constantes entre los animales que pertenecen a la especie. Resuelva esta ecuación

para x, y, k y c.

2. Un modelo frecuentemente usado en estudios de epidemias es: rtclnyy)ln(1 , donde y es la parte de la población que padece una enfermedad

específica al tiempo t.

a) Resuelva la ecuación para y en términos de las constantes C y r.

3. El modelo empírico de Ehrenberg 1,8hln(2,4)ln(w) es una fórmula que

relaciona la estatura h, en metros, con el peso promedio w, en kilogramos, para niños

de 5 a 13 años de edad. Determine:

a) Exprese W como función de h, que no contenga logaritmo.

b) Estime el peso promedio de un niño de 8 años de 1,5 m de altura.

4. La escala de decibelios mide la intensidad de sonido en todo el rango de las

diferentes frecuencias audibles (diferentes tonos), y posteriormente utiliza un sistema

de ponderación teniendo en cuenta el hecho de que el oído humano tiene una

sensibilidad diferente a cada frecuencia de sonido. Generalmente oímos mejor a

frecuencias medias (rango vocal) que a bajas o altas frecuencias. Así el nivel de

intensidad viene dado por:

0I

I10 logdB decibelios, donde I0 corresponde a la

intensidad de un sonido justo debajo del sonido más ínfimo que una persona pueda oír,

Io=10−12.

a) Si la intensidad del sonido emitido por un jet durante su despegue fue de 100

watts/m2, calcule el nivel de intensidad en decibelios.

b) Calcule la intensidad de una conversación común que tiene una intensidad de 65 dB.

c) Expresa la intensidad I de un sonido en función de su nivel en decibelios dB.

d) Si el sonido viajando dentro del metro es de 100dB, calcule la intensidad del sonido.

5. Dada la fórmula: pH = -log H+.

Calcule el pH de una solución si H+ es:

a) 3,8 10 –6 c) 6,4 10 –4

b) 7,2 10 –3 d) 9,1 10 –5

Encuentre la concentración de protones de:

e) La sangre arterial si el pH es 7,4.

f) La sangre venosa si el pH es 7,37.

g) La saliva si el pH es 6,3.

h) El jugo gástrico si el pH es 1,5.

i) La orina si pH es 4,4.

j) ¿Cuántas veces es la concentración de protones en la sangre arterial con respecto a

la concentración de protones en la orina?.

k) ¿Cuál solución tiene una concentración más alta de protones, una con pH = 7,2

o una con pH = 6,5?

6. Dada la fórmula: pH = pK + log ácido

sal. Determine:

a) pH si: pKa=7,4; sal =0,45M ; ácido = 0,036

b) pH si: pKa=4,21; sal =0,72M ; ácido = 0,017

c) ácido si: pH=4,2; sal =0,05M ; pKa=2,2

d) sal si: pH=2,9; ácido =0,01M; Ka = 0,032

7. Calcule el pH de una solución si:

a) pOH = 10,2 c) OH- = 3,4 10 –4

b) pOH = 5,4 d) H- = 1,1 10 –5

8. Dos pacientes A y B, padecen trastornos con producción excesiva de ácido en el

cuerpo. El laboratorio notifica la acidez de la sangre del individuo A en términos de

H+ y la acidez de la sangre del individuo B en términos de pH. El sujeto A tiene una

H+ arterial de 6,5 10 –8 y el sujeto B un pH arterial de 7,3.

a) Determine el pH del sujeto A.

b) ¿Qué paciente tiene más alta de H+ en la sangre?

9. La ecuación de W. Nernst se emplea para calcular el potencial de equilibrio de un ión

a una determinada diferencia de concentración a través de una membrana, asumiendo

que la membrana es permeable a dicho ión.

Por definición, el potencial de equilibrio se calcula para un ión a la vez, usando la

siguiente fórmula:

Ce

C i ln

zF

2,3RTE , donde:

E = potencial de equilibrio (mV); zF

2,3RT=constante (60mV a 37ºC)

z = carga sobre el ion (+1 para Na+; +2 para Ca2+; -1 para Cl- )

Ci = concentración intracelular (mM/L)

Ce = concentración extracelular (mM/L)

Determine la concentración extracelular si:

E = 129 mV ; F

RT= 60mV ; z = 2; Ci = 10-7 mM/L

10.

Los terremotos son medidos en la escala de Richter, expresados en términos de una

magnitud variable R.

0I

ElogR ; donde E es la intensidad de las vibraciones del terremoto medido y I0 es la

intensidad de la unidad de un terremoto estándar. Esta unidad estándar es medida por

un instrumento conocido como un sismógrafo, el cual detecta las vibraciones en la

corteza terrestre.

Considerando la escala Richter. ¿Cuánto más grande es la intensidad de un terremoto

grado 7,8 a uno de grado 4,2°?

Soluciones

I. Operatoria

1.

a) 0,5

b) -1

c) 2

d) x = 2; y = 4

e) 5/2

f) 3

g) x1 = 0; x2= ln2

h)

x

x

1 1 1

2 2 2

4 3 9

55

9

11

3

121

9

; ;

; ;

y z

y z

2.

a) log3 243 5

b) log ,,0 2 0 0016 4

c) log ,0 00001 5

d) log17 1 0

e) 20625,0log 25,0

f) ln ,2 0 69315

3.

a) 3 273

b) 10 101

c) e2 10,3026

d) 0 5 42,

e) e1 3,09861

f) 10 281,4472

4.

a) 2

b) 4

c) 1,5

d) –1

e) 6

f) 0,5

g) 0,25

h) -1

i) 1

j) -1/6

5.

a) 256

b) 3

c) -1

d) 3

e) -3

f) 5

g) 64

h) 1

i) 6

j) 0,01

6.

a) loga + 2logb - logc

b) 2lnx+ 1

2lny - 5lnz-

1

4lnv

c) log(q + r) - log5

d) logm - 2logn - 3logr

e) 1

2logp +

1

2logq - 3logr

f) log2x o (logx)

2

7.a) log a2

b b) logm

n

5

3

c) log3 2

y

xz d) log

a

b e) log b

8.

a) 11 b) 1/b

c) a

ea 1 d)

1a

1alog

e) 1

2e

2

f) x1= 1.000 y x2 = 0,1

g) x1= 1.000 y x2 = 100.000

h) 1,6309 i) 9,5475 j) 2

17

e

k) x = 1003 ; y = 103 l) 2,43

m) -2 + a

104 n) -1

ñ) 1

a10

a10

o) x1= 100 y x2= 0,1

p) x=-3 q) x1= 0; x2= 1; x3= 4

r) -2,17 s) 1,76

t) -0,19

II Aplicaciones

1. k

c

yx y ;

kcxy ;

lnx

c

yln

k

; kx

yc

2.a) 1e

1y

rtc

b)

2rtc

rt-c

1)(e

erdy/dt

3.

a) 1,8h

2,4ew Kg b) 35,711 Kg

4.

a) 140 dB

b) 61016,3 watts/m2

c) 12

10

dB

10I

10 watts/m2

d) 10-2 watts/m2

5.

a) 5,42

b) 2,14

c) 3,19

d) 4,04

e) 81098,3

f) 81027,4

g) 71001,5

h) 21016,3

i) 51098,3

j) La concentración de protones en la orina

es 1000 veces mayor que la concentración

de protones en la sangre.

k) La concentración de pH = 6,5

6. a) pH=8,5 b) pH=5,8

c) ácido=4105 d) sal=

2105,2

7. a) pH = 3,6 c) pH = 10,5

b) pH = 8,6

d) pH = 9,04

8.

a) pH = 7,2

b) El individuo A tiene un pH sanguíneo

menor, que refleja una condición más alta

[H+] y ácida.

9. 7

106,48Ce

mM/L

10.

a) La intensidad es aproximadamente 3981

veces mayor.