ECUACIONES DIFERENCIALES – NIVEL 4 GUIA UNIDAD 2

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GUÍA DE APRENDIZAJE

UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Objetivos específicos :

� Reconocer cuando una ecuación diferencial de primer orden puede ser resuelta por separación de variables.

� Resolver ecuaciones diferenciales lineales usando factores de integración

� Comprender el término de "ecuación exacta"

� Obtener la solución general de una ecuación exacta

� Comprender cómo los métodos de sustitución pueden ser usados para simplificar las ecuaciones diferenciales de primer orden

� Resolver problemas planteados desde física que puedan ser

� modelados por ecuaciones diferenciales de primer orden

� Interpretar la solución y sus partes constituyentes en términos del problema físico

� Usar un paquete de software apropiado para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

� Comprender cómo las tasas de cambio pueden ser modelados usando la primera y segunda derivada

1. PREREQUISITOS

Los temas necesarios para esta unidad son :

� Conocimientos de reglas de derivación. � Conocimiento de reglas y métodos de integración. � Graficar funciones en ℝ2. � Todos los conceptos revisados en la Guía de Aprendizaje 1

2. MATERIAL DE APOYO

���� AUTOR: ZILL DENNIS G,; CULLEN, MICHAEL R. TITULO: “Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera / Cengage Learning. Mexico 7ma. edición . 2009.

� Tabla de integrales y fórmulas extraída del texto

� Software matemático

� Calculadora con CAS 3. ACTIVIDADES ESPECÍFICAS

� Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en

clase. � Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada

etapa del desarrollo de ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados.

� Análisis crítico de los ejercicios desarrollados.

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4. METODOLOGÍA DE TRABAJO

� El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad para facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje.

� En clase los estudiantes organizan equipos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar las actividades de la guía propuesta

� El docente realiza el control de desarrollo de guías

5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)

Realizar los siguientes ejercicios para la siguiente sesión como preparación para el estudio de la unidad 2 sobre EDOS de primer orden. Esta tarea extraclase será evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como prerrequisitos de la unidad 2.

5.1 Indique que fórmulas básicas de integración conoce

5.2 Describa cuando se aplica integración por partes

5.3 Describa casos de integración por descomposición en fracciones parciales

5.4 Determinar las siguientes integrales :

�) � �� cos�) ���) � � − 1

� + 2 �� �) � �����)

cos �) ��

�) � tan 2��|�|)� ��

6. REVISIÓN DE CONCEPTOS 6.1 ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES ��

�� = ��, �) Esta ecuación diferencial de primer orden se la puede escribir de modo que las variables x y y (junto con sus respectivos diferenciales dx y dy ) queden en los dos lados opuestos de la ecuación como:

ℎ�)�� = ��)�� Así, f(x, y) debe tener la forma factorizada:

��, �) = ��). 1ℎ�)

Pero para tener una mejor forma de entender que es una ecuación de Variable Separables tenemos el siguiente concepto: 6.1.1 Concepto de Variables Separables Si el lado derecho de la ecuación

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���� = ��, �) 1)

Se puede expresar con una función g(x) que solo depende de x, por una función p (y) que solo depende de y, entonces la ecuación diferencial es separable. De tal manera que la nueva ecuación se la pueda escribir de la siguiente forma: !"

!# = $#)%") &) 6.1.2 Método para la resolución de Ecuaciones de Variables Separables Para resolver la ecuación: ��

�� = ��)'�) Multiplicamos por dx y por h (y):=1/p(y) para obtener :

ℎ�)�� = ��)�� Luego se integra a los dos lados:

� ℎ�)�� = � ��)�� Con los cual nos queda una ecuación que proporciona una solución implícita de la ecuación diferencial:

(�) = )�) + * Ejemplo 1 dy = 2·√(y + 1)·COS(x) dx Valor Inicial: y(L)=0 dy = COS(x)·dx 2·√(y + 1) ⌠ 1 dy = ∫ COS(x) dx ⌡ 2·√(y + 1) √(y + 1) = SIN(x) Reemplazamos el valor inicial: √(0 + 1) = SIN(L) + C SOLVE(√(0 + 1) = SIN(L) + C, C) C = 1 1/2 (y + 1) = SIN(x) + 1

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1/2 SOLVE((y + 1) = SIN(x) + 1, y) 2 y = SIN(x) + 2·SIN(x)

Ejemplo 2 : Suponga que una solución salina con 3kg de sal por litro se introduce en un tanque que contenía originalmente 400 litros de agua y 20kg de sal. Si la solución entra a razón de 10 litros/minuto, la mezcla se mantiene uniforme revolviéndola, y la mezcla sale con la misma razón, determine la masa de sal en el tanque después de 10 minutos. Sugerencia : sea A el número de kilogramos de sal en el tanque, t minutos después de iniciar el proceso y aplique el siguiente planteamiento Razón de incremento A = razón de entrada – razón de salida

A(t) es el número de kilogramos de sal en el tanque Entonces tenemos: dA(t) = proporción de sal ingreso - proporción sal que sale dt L 3(t) kg 30 Kg proporción sal ingreso = 10··· = · min L min Desde que el tanque guarda uniformemente, A(t)/400 es la masa de sal por litro que está fluyendo fuera del tanque en el tiempo t. L A(t) kg A(t) Kg proporción sal fuera = 10··· = · min 400 L 40 min

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entonces: dA(t) A 1200 - A = 30 - = dt 40 40 dA(t) 1200 - A = dt 40 40·dA(t) = dt 1200 - A ⌠ 40 dA = ∫ 1 dt ⌡ 1200 - A - 40·LN(A - 1200) = t + C t C LN(A - 1200) = - -40 40 -C/40 l dejamos solamente como C Aplicamos exponencial: - t/40 -A + 1200 = C·T - t/40 A = C·T - 1200 Hay 20 kg de sal inicialmente en el tanque, así A(0) = 20. Usando esta condición inicial, nosotros encontramos: 0/40 20 = C·T - 1200 0/40 SOLVE(20 = C·T + 1200, C) C = 1180 Substituimos en la solución: - t/40 A = - 1180·T + 1200 - 10/40 A(10) = - 1180·T + 1200 = 281·kg

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6.2 ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Tiene la siguiente forma:

+,�) ���� + +-�)� = .�) 1)

Donde +,�), +-�)� .�) solo dependen de la varibale independiente x, no asi de y. La cual se escribirá en la forma canoníca dividiendo por +,�), como: ��

�� + /�)� = 0�) 2) Si b(x) es igual a 0, la ecuación diferencial se la denominara como ecuación diferencial lineal de primer orden homogénea Si b(x) es diferente de 0, la ecuación será denominada como Ecuación Diferencial lineal de primer orden completa. 6.2.1 Factor Integrante A partir de la siguiente ecuación: ��

�� + /�)� = 0�) Se quiere determinar 1�) de modo que el lado derecho de la ecuación multiplicada

1�) ���� + 1�)/�)� = 1�)0�)

Es claro que para esto 1 debe satisfacer

12 = 1/ Para hallar tal función, reconocemos que la ecuación 12 = 1/ es una ecuación diferencial separable, que podemos escribir como

,3 �1 = /�)��. Al integrar ambos lados obtenemos:

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4 = 56 7#)!#

6.2.2 Método para resolver ecuaciones lineales

• Escriba la ecuación en forma canónica ���� + /�)� = 0�)

• Calcule el factor integrante 1�) mediante la formula

1 = �6 89):9

• Multiplique la ecuación en forma canónica por 1�) y, recordando que el lado izquierdo es precisamente

::9 1�)�), obtenga:

1�) ���� + 1�)/�)� = 1�)0�)

��� 1�)�) = 1�)0�)

• Integre la ultima ecuación y determine y dividiendo entre 1�) para obtener ��) = 1

1�) ;� 1�)0�)�� + *< 6.2.3 Teorema de existencia y unicidad de la solución Supóngase que P(x) y Q(x) son continuas en un intervalo (a,b) que contiene al punto x-. Entonces para cualquier elección del valor inicial y-, existe una única solución y(x) en (a,b) al problema de valor inicial ��

�� + /�)� = 0�), ��-) = y- De hecho, la solución es dada por:

��) = 1

1�) ;� 1�)0�)�� + *< Para un valor adecuado de C 6.2.4 Ecuaciones Lineales Homogéneas. Son de la forma:

�′�) + '�) ��) = 0 1) Propiedad: El conjunto de soluciones de la Ecuación Diferencial Ordinaria (1) tiene su estructura de espacio vectorial de dimensión 1 Nota: la función ��) = 0 es una solución de (1) la cual se la denomina solución trivial. Puesto q (1) es una ecuación diferencial ordinaria de variables separables su solución general será de la forma:

��) = @. �A 6 B9):9

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Ejemplo 3 : dy y x - = x·T dx x y(1) = e - 1 Sacamos el factor integrante mediante la formula 1 P(x) = - x ∫(- 1/x·dx) µ = e ⌠ 1 - dx ⌡ x - LN(x) - LN(x) µ = e -1 µ = x 1 µ = x 1 dy y x · - = T x dx 2 x Procedemos a Integrar d y x = T dx x ⌠ y ⌠ x d = ⌡ T dx ⌡ x y x = T + C x y x SOLVE = T + C, y x x y = x·T + C·x Aplicamos el valor inicial y(1)=e-1 e - 1 = T + C SOLVE(e - 1 = T + C, C)

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C = -1 x y = x·T - x

6.3 VARIACIÓN DE PARÁMETROS Este método es de gran utilidad para resolver ecuaciones lineales de orden superior, este se basa en la idea de conocer tan solo la forma de la solución, podemos sustituirla en la ecuación dada y hallar el valor de todas las incógnitas, aquí se ilustra el método para las ecuaciones de primer orden: a) Muestre que la solución general de ��

�� + /�)� = 0�) 1) Tiene la forma

��) = *Cℎ�) + CB�), Donde �ℎes una solución de la ecuación (1) cuando 0�) = 0, C es una constante, y �B�) =D�)�ℎ�) para una función adecuada D�). Al conocer la forma de, podemos determinar la función incógnita �ℎ resolviendo una ecuación separable. Después, una sustitución directa en la ecuación original separable. Después, una sustitución directa en la ecuación original dará una ecuación sencilla donde puede hallarse v. Aplique este procedimiento para determinar la solución general de: ��

�� + 3� � = ��, � > 0 2)

Completando los siguientes pasos: b) Determine una solución no trivial �ℎ de la ecuación separable ��

�� + 3� � = 0, � > 0 3)

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c) Suponiendo que (2) tiene una solución de la forma �B�) = D�)�ℎ�), sustituya esto en la ecuación (2) y simplifique para obtener D′�) = 9G

Hℎ9). d) Ahora, se integra para obtener v(x).

e) Verifique que ��) = *Cℎ�) + D�)�ℎ�) es una solución general de (2) 6.4 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

6.4.1 Definición de Ecuación Exacta Una ecuación diferencial IJ, �)�J + KJ, �)�� = 0 es exacta si existe una función LJ, �), llamada función potencial de la ecuación diferencial, cuya diferencial coincide con IJ, �)�J + KJ, �)��, es decir:

MNMO = IJ, �) y MN

MH = KJ, �)

Si I, K, MPMH , MQ

MO son continúas en un rectángulo R de plano,

Entonces I�J + K�� = 0 es exacta en R si y solo si MPMH = MQ

MO �� R 6.4.2 Método para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas

� Si I �� + K�� = 0 es exacta, entonces SL S�T = I. Se integra esta ultima ecuación

con respecto a x para obtener:

L�, �) = � I�, �) �� + ��) 1) � Para determinar g(y), se calcula la derivada parcial con respecto de y de ambos

lados de la ecuación (1) y se sustituye en N en vez de SL S�T . Ahora podemos hallar �′�).

� Se integra �′�) para obtener ��) salvo una constante numérica. Al sustituir ��) en la ecuación (1) se obtiene L�, �)

� la solución de I�� + K�� = 0 esta dada de manera implícita por: L�, �) = *

Ejemplo 4 : 1 2 2 ^_ + 2·y ·x·dx + (2·y·x - COS(y))·dy = 0 x Valor inicial: y(1)=L My = 4xy Nx = 4xy , por lo tanto es una EDO exacta .

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⌠ 1 2 F = ^_ + 2·y ·x dx ⌡ x 2 2 F = LN(x) + x ·y + g(y) ⌠ 2 F = ⌡ (2·y·x - COS(y)) dy 2 2 F = x ·y - SIN(y) + h(x) Comparando las dos funciones solución queda : 2 2 x ·y - SIN(y) + LN(x) = C Remplazando valor inicial 2 2 1 ·L - SIN(L) + LN(1) = C 2 L = C 2 2 2 x ·y - SIN(y) + LN(x) = L

6.4.3 Ecuación Diferencial no exacta transformada en exacta La ecuación diferencial no lineal de primer orden:

�� �� + 2�� + 3�� − 20)�� = 0 No es exacta, si definimos a I = ��, K = 2�� + 3�� − 2, se determinan las derivadas parciales IH = � y K9 = 4�. Como podemos observar no es exacta, para poder convertir se utiliza cualquiera de las siguientes formulas dependiendo del factor que se desee encontrar:

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1) 1�) = �6VWXYZY :9 2) 1�) = �6YZXVW

V :H Para nuestro caso utilizaremos la formula (2) ya que el factor que vamos a encontrar no debe quedar en función de x y y K9 − IH

I = 4� − ��� = 3

�

Entonces el factor que encontramos es �6[W:H = �\ ]^ H = �]^ H[ = �\

Una vez encontrado el factor se lo multiplica a toda la ecuación por el dicho factor:

��_ + 2���\ + 3�` − 20�\)�� = 0 Después de haber multiplicado se debe comprobar que se transformo a una ecuación exacta. Ejemplo 5 2 2 2·x·y·dx + (y + 3·x )·dy = 0 d (2·x·y) dy d d 2 2 (2·x·y) ≠ (y + 3·x ) dy dx 2·x ≠ 6·x

La EDO no es exacta y se la debe multiplicar por un factor integrante : ∫((Nx - My)/m) u = T ∫ (6·x - 2·x)/(2·x·y) dy u = T ∫ 4·x/(2·x·y) dy u = T ∫ 2/y dy u = T 2 u = y se multiplica el Factor encontrado por toda la Ecuación 3 4 2 2 2·x·y ·dx + (y + 3·x ·y )·dy = 0 d 3 d 4 2 2 (2·x·y ) = (y + 3·x ·y ) dy dx 2 2 6·x·y = 6·x·y Una vez que ya se haya multiplicado por el factor integrante encontrado la ecuación diferencial se convierte en Exacta y se continua con el proceso normal para resolver una ecuación diferencial exacta.

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3 4 2 2 (2·x·y )·dx + (y + 3·x ·y )·dy = 0 ⌠ 3 F = ⌡ 2·x·y dx 2 3 F = x ·y + g(x) ⌠ 4 2 2 F = ⌡ (y + 3·x ·y ) dy = 0 5 y 2 3 F = ^_ + x ·y + h(y) 5 5 y 2 3 ^_ - x ·y = c 5

6.5 ECUACIONES CONVERTIBLES (SUSTITUCIONES) Las ecuaciones diferenciales que son más fáciles de poder resolver mediante la conversión a variables separables son fáciles de reconoces ya q estas son ecuaciones diferenciales homogéneas, existen varias formas de definir este tipo de ecuaciones para lo cual tenemos: 6.5.1 Definición de Ecuación Diferencial Homogénea Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden de la forma:

�′ = L�, �) Se dice q es Homogénea si al hacer el cambio de variable � = a. �, donde a es una nueva funcion incógnita, en la expresión de L�, �) es posible, mediante algebra, eliminar todos los términos en �, es decir:

L�, �) = L�, a × �) = L1, a) Para poder reconoces estas ecuaciones se debe tener en cuenta: � L�, �) debe ser una fracción.

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� Tanto en el numerador como el denominador de L�, �) el grado de los términos deben ser el mismo. 6.5.2 Resolución de ecuaciones homogéneas Una ecuación diferencial ordinaria homogénea puede resolverse usando la siguiente estrategia:

� Se cambia: � = a � a �′ = a + � :c:9 en la ecuación diferencial

� Se simplifica y despeja a′: la nueva ecuación diferencial debe ser de variables separables confirmada quela ecuación es homogénea.

� Se resuelve la nueva ecuación diferencial para a (por variables separables). � En la solución se cambia a por � �T . Ejemplo 6 : - y·dx + (x + √(x·y))·dy = 0 y u = ^_ x y = u·x dy = d·(u·x) dy = du·x + u·dx y x x·y - ^_·dx + ^_ + √^_·dy = 0 x x 2 x se sustituye los valores de y/x con u y dy = dux + udx - u·dx + (1 + √u)·dy = 0 - u·dx + (1 + √u)·(du·x + u·dx) = 0 3/2 x·(√u + 1)·du = u ·dx √u + 1 dx ^_·du = ^_ 3/2 x u ⌠ 3/2 ⌠ 1 ⌠ 1 ⌡ u du + ^_ du = - ^_ dx ⌡ u ⌡ x 5/2 2·u LN(u) + ^_ = - LN(x) + C 5 y 5/2 2·^_ y x LN^_ + ^_ = - LN(x) + C x 5

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6.5.3 Ecuaciones de la Forma !"/!# = ef# + g") Cuando al lado derecho de la ecuación S�/S� = ��, �) se puede expresar como una función de la combinación de +� + .� donde a y b son constantes, es decir, ��

�� = )+� + .�),

Entonces la sustitución es: h = +� + .�

transforma la ecuación en una ecuación separable. Ejemplo 7 dy 2 ^_ = (x - y + 5) dx se realiza el siguiente cambio de variable: z = x - y dz dy ^_ = 1 - ^_ dx dx dy dz ^_ = 1 - ^_ dx dx Se reemplaza en la ecuacion anterior: dy 2 ^_ = [(x - y) + 5] dx dz 2 1 - ^_ = (z + 5) dx dz 2 - ^_ = (z + 5) - 1 dx dz 2 ^_ = 1 - (z + 5) dx ⌠ 1 ^_ dz = ∫ 1 dx 2 ⌡ 1-(z + 5)

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Resulta una EDO de variables separables.

6.5.4 Ecuación de Bernoulli La Ecuación de Bernoulli es una ecuación de primer orden la misma que se puede escribir en la forma: !"

!# + 7#)" = i#)"j

Donde P(x) y Q(x) son continuas en un intervalo (a,b) y n es un numero real, es una ecuación de Bernoulli. En el caso de que n=0 o 1, la ecuación de Bernoulli es una ecuación lineal la misma q se puede resolver mediante la sustitución para todos los valores de n, la sustitución

k = "lAj

Esto hace que ecuación de Bernoulli se transforme en una de ecuación lineal como se puede demostrar en la siguiente ecuación:

�Am ���� + /�)�,Am = 0�) 1)

Al hacer k = "lAj y usar la regla de la cadena vemos que �D

�� = 1 − �)�Am ����

De modo que la ecuación (1) se convierte en: 1

1 − ��D�� + /�)D = 0�)

Como 1/(1-n) es solo una constante, la ultima ecuación obtenida realmente es lineal. Ejemplo 8 dy 3 ^_ = y·(x·y - 1) dx 4 y' = x·y - y 4 y' + y = x·y n = 4 -3 v = y -4 v' = - 3·y ·y' -4 -4 4 - 3·y ·(y' + y) = (- 3·y )·x·y -4 -3 - 3·y ·y' - 3·y = - 3·x v' - 3·v = - 3·x se obtiene una ecuación lineal en v y se resuelve con factor integrante z = EXP(∫ -3 dx)

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- 3·x z = T - 3·x - 3·x T ·(v' - 3·v) = T ·(- 3·x) - 3·x - 3·x T ·(v' - 3·v) = - 3·x·T d - 3·x - 3·x ^_·(T ·v) = - 3·x·T dx - 3·x ⌠ - 3·x T ·v = ⌡ - 3·x·T dx - 3·x - 3·x - 3·x T T ·v = x·T + ^_ + C 3 - 3·x - 3·x - 3·x T SOLVET ·v = x·T + ^_ + C, v 3 3·x 1 v = C·T + x + ^_ 3 -3 3·x 1 y = C·T + x + ^_ 3 1 3·x 1 ^_ = C·T + x + ^_ 3 3 y

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7. EJERCICIOS PROPUESTOS

LIBRO SECCIÓN EJERCICIOS

Nagle - 4ta edición

2.2 12,15,18,28,30,32,35

Nagle - 4ta edición

2.3 12,22,26,35,37,39

Nagle - 4ta edición

2.4 14,26,33(a)

Zill - 7ma edición

2.5 8,13,17

Zill - 7ma edición

2.6 14,20,22,42