GUMBEL

Con datos de la Estación Sapitos al Agua, calcular el caudal máximo con la función de Gumbel en periodos de retorno de 25, 50, 100, 200, 500, 1000 años

Calcular el caudal de diseño para los periodos de 15 y 20 años de retorno y compararlos

Calculo de la media y desviación estándar de los caudales

media= 141,6 xmedDesvia, Tipica

51,94 S

T, años y K x, mcs15 2,67 2,02 246,6825 3,20 2,52 272,3350 3,90 3,18 306,70

100 4,60 3,84 340,82200 5,30 4,49 374,82500 6,21 5,35 419,671000 6,91 6,01 453,57

años Q mcs1960 2091961 1131962 1021963 1661964 1881965 1811966 831967 1791968 1361969 1351970 1011971 1101972 2031973 311974 1361975 1251976 1921977 1141978 2411979 87n = 20

Análisis de valores extremos.

Puede ser numérico o gráfico, entre los numéricos se tiene Gumbel la distribución de Gumbel corresponde a las máximas extraídas de una distribución Normal, F(x)

F(x), es la función de densidad, es decir, la probabilidad de no superar x, este puede ser un caudal, una precipitación

y, es la variable de Gumbel

Según la teoría de la probabilidad: G(x) = 1- F(x)

G(x), representa la probabilidad del suceso complementario, es decir, la probabilidad de superar la magnitud x.

El periodo de retorno se calcula de la siguiente manera.

Para un T= 15 años

En el método de Gumbel el valor de la variable x, estimado para un periodo T, se obtiene según la formula.

K, es función de la variable y de Gumbel

es la media de los datos conocidos

S= 51.94 desviación típica de esos valores

El valor de K se obtiene de la fórmula de la variable de Gumbel

donde yn, y σn, función de la longitud de la muestra n, para n =20

F ( x )=e−e−y

y=∝ (x−xo )

y=−LnLn TT−1

y=−LnLn 1515−1

y=2.674

x=x+KS

x́=141.6

y= yn+K σn

VALORES DE yn, y σn EN FUNCIÓN DE n

n yn σ n8 0,4843 0,9043

10 0,4952 0,949712 0,5035 0,983314 0,51 1,009515 0,5128 1,0205718 0,5202 1,049320 0,5236 1,062822 0,5268 1,075424 0,5296 1,086426 0,532 1,09145

28 0,5343 1,104730 0,53622 1,1123832 0,538 1,119334 0,5396 1,125536 0,541 1,131338 0,5424 1,133940 0,54362 1,1413242 0,5448 1,145844 0,5458 1,149946 0,5468 1,153848 0,5477 1,157450 0,54854 1,16066

La distribución de Gumbel queda como:

Para T=20 años

La distribución de Gumbel queda como:

K=y− ynσ n

y=−LnLn TT−1

=2.674

x=x−LnLn

TT−1

+ yn

σnS

K=2.674−0.52361.0628

=2.023

x=141.6−LnLn

1515−1

+0.5236

1.062851.94

x=264.68m 3/s

y=−LnLn TT−1

=2.970

Calculamos φ=1−1T

- Para T=15 años φ=0.933- Para T=20 años φ=0.950

Calculamos el intervalo de confianza, como en ambos casos el φ es mayor que 0.90, se utiliza la ecuación:

y=± 1.14∗51.941.0628

y=±55.713m 3/s Calculamos el caudal de diseño:

- Para T=15 años ydiseño=264.68+55.713=320.39m3/ s- Para T=20 años ydiseño=261.167+55.713=316.88m3/ s

Conclusión:

Para un periodo de retorno de 15 años, el caudal de diseño es de 320.39 m3/2 y para un periodo de retorno de 20años es de 316.88 m3/s, lo que indica que cuando es mayor el periodo de retorno el caudal de diseño disminuye.

x=x−LnLn

TT−1

+ yn

σnS

x=141.6−LnLn

2020−1

+0.5236

1.062851.94

x=261.167m 3/s