h; k h+p/2; k LR = 2p - UTN Facultad Regional Mendoza · Halle la ecuación normal y general de la...

Facultad Regional Mendoza. UTN

Álgebra y Geometría Analítica

2016

Trabajo Práctico N°9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

Ejercicio 1:

Halle la ecuación normal y general de la circunferencia sabiendo que el segmento de extremos (- 2; 3) y (4; -5) es diámetro de la misma. Represente gráficamente. Ejercicio 2:

Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.

Ejercicio 3:

Halle la ecuación normal y general de la parábola cuyo foco es F(- 4, 3) y su directriz es la recta de ecuación y = 5. Represente gráficamente.

R

L

R L

y

p/2

h

k

x

F V

p/2

●

h

k

x

F

V

y

ECUACIÓN CANÓNICA

2 p ( x – h ) = ( y – k)²

EJE FOCAL //

EJE X

VÉRTICE

V( h; k) Ecuación de la

DIRECTRIZ x = h – p/2

FOCO

F(h+p/2; k) LADO

RECTO LR = 2p.

●

p/2

DIRECTRIZ

p/2 DIRECTRIZ

EJE FOCAL

ECUACIÓN CANÓNICA

2 p ( y – k ) = ( x – h)²

EJE FOCAL //

EJE Y

VÉRTICE

V( h; k) Ecuación de la

DIRECTRIZ y = k – p/2

FOCO

F(h; k+p/2) LADO

RECTO LR = 2p.

EJE FOCAL EJE FOCAL EJE FOCAL



2016

Ejercicio 4: Dos postes de alambrados ubicados en bordes opuestos de una carretera, distantes 8 m entre sí y con 10 m de altura cada uno, sostienen en sus extremos superiores un cable que forman un arco parabólico cuya proyección en el suelo es perpendicular a los bordes de la carretera. A un metro de la base de cada poste, el cable está a 7 m del suelo. ¿Cuánto dista de la carretera el punto más bajo del cable?

Ejercicio 5:


R L

R

L

A`

y

B`

B`

B

AA` b

a

c h k

y

x

B

A

A`

b

a c

h

k

x

F

F

F` ●

EJE FOCAL // EJE X

ECUACIÓN CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

CENTRO C( h, k) VÉRTICES

A( h + a; k ) A`( h – a; k ) B( h; k + b ) B`( h; k – b )

SEMIEJES MAYOR: a

MENOR : b FOCOS:

F( h + c; k ) F`( h – c; k )

SEMIDISTANCIA FOCAL

c FÓRMULA DE

CÁLCULO

a2 = b²+ c²

EXCENTRICIDAD a

ce LADO RECTO

a

bLR

22

C

●

●

F` ●

EJE FOCAL

EJE FOCAL // EJE Y

ECUACIÓN CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx


A( h; k + a ) A`( h; k – a ) B( h + b; k ) B`( h – b; k )

SEMIEJES MAYOR: a

MENOR : b FOCOS:

F( h; k + c ) F`( h; k – c )

SEMIDISTANCIA FOCAL

c FÓRMULA DE

CÁLCULO

a2 = b²+ c²

EXCENTRICIDAD a

ce LADO RECTO

a

bLR

22

EJE FOCAL



2016

Ejercicio 6: Sabiendo que los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Encuentre la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad. Represente gráficamente. Ejercicio 7:

Un río es cruzado por una carretera por medio de un puente cuyo arco central tiene la forma de media elipse. En el centro del arco la altura es de 20 m. El ancho total del arco elíptico es de 50 m. a) Determine la ecuación de la elipse que describe dicho puente. b) A una distancia de 5 m de cada uno de los pilares, se encuentran estructuras de protección para los mismos. ¿Cuál es la altura del arco del puente en correspondencia con estos elementos?

Considerando como origen de coordenadas el centro de la elipse que describe el puente. El semieje menor de la elipse sería 20m y el semieje mayor sería 25 m. De esta manera la ecuación de la elipse que describe el puente es:

1²20

²

²25

²

yx

Para x = 5 m, 1²20

²

²25

²5

y de donde

25

²20.24²20.

25

11²

y por lo tanto

my 6,196862.5

20

25

²20.24

Por lo tanto, la altura del puente correspondiente a la estructura de protección es de 68 m

19,6 m



2016

Ejercicio 8:


Ejercicio 9:

Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3, 2) y (–3, –2) y la longitud de su eje conjugado es 6. Encuentre la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. Represente gráficamente.

R L

B’ k

B

x

F ●

y

A’ k

B B’

Aa b

c

h

x F`

F

●

●

y

F`

A’ ● b a

h

Ac

x

EJE FOCAL // EJE X

ECUACIÓN CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx


A( h + a; k ) A`( h – a; k ) B( h; k + b ) B`( h; k – b )

SEMIEJES REAL: a

IMAGINARIO: b FOCOS:

F( h + c; k ) F`( h – c; k )

SEMIDISTANCIA FOCAL

c FÓRMULA

DE CÁLCULO

c2 = a²+ b²

EXCENTRICIDAD a

ce LADO

RECTO a

bLR

22

ECUACIÓN ASÍNTOTAS khxa

by )(

EJE FOCAL // EJE Y

ECUACIÓN CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

b

hx

a

ky


A( h; k + a ) A`( h; k – a ) B( h + b; k ) B`( h – b; k )

SEMIEJES REAL: a

IMAGINARIO: b FOCOS:

F( h; k + c ) F`( h; k – c )

SEMIDISTANCIA FOCAL

c FÓRMULA

DE CÁLCULO

c2 = a²+ b²

EXCENTRICIDAD a

ce LADO

RECTO a

bLR

22

ECUACIÓN ASÍNTOTAS khxb

ay )(

EJE FOCAL

L

R

EJE FOCAL



2016

Ejercicio 10:

Un barco envía una señal de auxilio en el momento en el que se encuentra a 100 millas de la costa. Dos estaciones guardacostas Q y R, ubicadas a 200 millas de distancia entre sí, reciben la señal. A partir de la diferencia entre los tiempos de recepción de la señal, se determina que la nave se encuentra 160 millas más cerca de la estación R que de la estación Q. Elija un sistema de referencia apropiado e indique las coordenadas correspondientes a la ubicación de la embarcación. Represente gráficamente.

Por definición de hipérbola sabemos que es el lugar geométrico formado por todos los puntos del plano tales que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos permanece constante y esta diferencia es igual a 2a, siendo a el semieje real. Teniendo en cuenta esta definición, si consideramos que las guardacostas Q y R son los focos y que el barco es un punto ubicado sobre la hipérbola, entonces, conociendo la ecuación de la misma, podremos determinar las coordenadas del barco. d + 160 - d = 2 a D(R,Q) = 2c = 200 mi ( distancia focal) 160 = 2 a c = 100 mi a = 80 mi c² = a² + b² b² = c² - a² b² = 100² - 80² b² = 3600 b = 60 mi

Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola será: 1²60

²

²80

²

yx

De donde si y = - 100 mi entonces x será: Reemplazando el valor de y en la ecuación y despejando x obtenemos x = 155,49 mi El barco se encuentra a 100 millas al sur de la costa y a 155,49 mi al este medida desde el punto medio ubicado entre ambos guardacostas.



2016

Ejercicio 11:

Dadas las ecuaciones de las siguientes cónicas, encuentre su ecuación normal, determine sus elementos principales y grafique. Escriba la ecuación trasladada respecto de las coordenadas del nuevo sistema.

a) 4 y2 + 9 x2 – 16 y – 20 = 0

b) y2 + 4 x – 4 y + 16 = 0

c) y2 – x2 + 4 y – 2 x – 1 = 0

d) y2 + 2 x – 10 y + x2 + 22 = 0 Ejercicio 12:

Dadas las siguientes ecuaciones:

i) 4 x y – 3 2 x + 2 y – ½ = 0

ii) 5 x2 – 4 x y + 8 y2 – 36 = 0

iii) 9 x2 – 24 x y + 16 y2 – 40 x – 30 y + 250 = 0

iv) 4 x2 – 4 x y + 4 y2 – 3 = 0

v) x2 - 2 x y + y2 – 2 y – 2 x = 0

a) Exprese la ecuación en forma matricial b) Identifique la cónica a partir de los valores propios c) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática d) Verifique que la matriz hallada representa una rotación e) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado f) Halle el ángulo de rotación g) Grafique

i) 4 x y – 3 2 x + 2 y – ½ = 0

1) Forma matricial

02/122302

20

y

x

y

xyx , siendo A =

02

20

2) Valores y vectores propios de A

0402

2 2

22 21 y

SOLUCIÓN:



2016

Para 21

0

0

22

22

y

x - 2 x + 2 y = 0 x = y v1 =

x

x

Para 22

0

0

22

22

y

x 2 x + 2 y = 0 x = - y v1 =

x

x

3) La matriz P para la diagonalización ortogonal es : P =

21

21

21

21

La matriz diagonal semejante a la matriz de la forma cuadrática es: D = P-1 A P =

20

02

4) Considerando que X = P X´, la nueva ecuación matricial es:

02/1´

´

21

21

21

21

223´

´

21

21

21

21

02

20

21

21

21

21

´´

y

x

y

xyx

02/1´

´

21

21

21

21

223´

´

20

02´´

y

x

y

xyx

2 x´2 – 2 y´2 – 2 x´ + 4 y´ = 1/2 2 ( x´2 – x´ ) – 2 ( y´2 – 2 y´ ) = ½ 2 ( x´2 – x´ + ¼ - ¼ ) – 2 ( y´2 – 2 y´ + 1 – 1 ) = 1/2 2 ( x´ – ½ )2 – ½ – 2 ( y´ – 1)2 + 2 = ½ 2 ( x´ – ½ )2 – 2 ( y´ – 1)2 = - 1 - 2 ( x´ – ½ )2 + 2 ( y´ – 1)2 = 1

5) La ecuación normal de la cónica es: 12/1

)1´(

2/1

)´( 222

1

yx

▪ Tipo de cónica: Hipérbola



2016

▪ Centro: C ( ½; 1) [ C (h; k) ]

▪ Semiejes: a = b = 1/ 2 ▪ Semidistancia focal: c = 1 [ c2 = a2 + b2 ]

▪ Vértices: A ( ½ ; 1 + 2/1 ) A´ ( ½ ; 1 - 1/ 2 ) [ A ( h; k a ) ]

B ( ½ + 1/ 2 ; 1 ) B´ ( ½ - 1/ 2 ; 1 ) [ B ( h b; k ) ] ▪ Focos: F ( ½ ; 2 ) F´( ½ ; 0 ) [ F ( h; k c )]

▪ Lado recto: LR = 2 [ LR = 2 b2/a ]

Ejercicio 13:

Analice las relaciones que existen entre las gráficas dadas y las ecuaciones indicadas.

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas



2016

Elipsoide

Superficie cónica

Paraboloide elíptico

Paraboloide hiperbólico

Cilindro elíptico

12

2

2

2

b

y

a

x

Cilindro hiperbólico

12

2

2

2

b

x

a

y

Cilindro parabólico

2yax Cilindro circular

222 ayx

Ejercicio 14:

Halle los elementos de la siguiente cuádrica e identifique el nombre:

4 x² + 36 y² – 9 z² – 16 x – 216 y + 304 = 0 Completando cuadrados en x y en y: 4 x² – 16 x + 36 y² – 216 y – 9 z² + 304 = 0



2016

4 ( x² – 4 x ) + 36 (y² – 6 y ) – 9 z² + 304 = 0

4 ( x² – 4 x + 4 – 4 ) + 36 (y² – 6 y + 9 – 9 ) – 9 z² + 304 = 0

4 [( x – 2)² – 4 ] + 36 [(y – 3)² – 9 ] – 9 z² + 304 = 0

4 ( x – 2)² – 16 + 36 (y – 3)² – 324 – 9 z² + 304 = 0

4 ( x – 2)² + 36 (y – 3)² – 9 z² – 36 = 0 dividiendo por 36

14

²

1

)²3(

9

)²2(

zyx hiperboloide de una hoja

Ejercicio 15:

Dada la siguiente ecuación:

144 x2 + 100 y2 + 81 z2 – 216 x z – 540 x – 720 z = 0

a) Exprese la ecuación en forma matricial. b) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática. c) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado.

Dada la ecuación de la cuádrica:

a x2 + b y2 + c z2 + d xy + e xz + f yz + g x + h y + i z + j = 0

expresamos dicha ecuación en forma matricial:

XT A X + K X + [ j ] = O

SOLUCIÓN:



2016

Siendo:

cfe

fbd

eda

A

2/2/

2/2/

2/2/

ihgK

z

y

x

X

a)

07200540

810108

01000

1080144

z

y

x

z

y

x

zyx

Con

810108

01000

1080144

A y 7200540 K

b) Buscamos los valores propios:

0

810108

01000

1080144

IA

( 144 - ) ( 100 - ) ( 81 - ) – 1082 . ( 100 - ) = 0

( 100 - ) ( ² - 225+ 11664 – 1082 ) = 0

( 100 - ) ( ² - 225) = 0

1 = 0 2 = 100 3 = 225

1 = 0

0

0

0

810108

01000

1080144

c

b

a

081108

0100

0108144

ca

b

ca

a = 3/4 c ; b = 0 ; v1 =

4

0

3

;

5/4

0

5/3

ˆ1v

2 = 100

0

0

0

190108

000

108044

c

b

a

019108

010844

ca

ca a = c = 0 ; b IR; v2 =

0

1

0

;

0

1

0

ˆ2v



2016

3 = 225

0

0

0

1440108

01250

108081

c

b

a

0144108

0125

010881

ca

b

ca

a = - 4/3 c ; b = 0 ; v3 =

3

0

4

;

5/3

0

5/4

3̂v

P =

5/305/4

010

5/405/3

P - 1 =

5/305/4

010

5/405/3

c) Reemplazando X por P X’

'

'

'

5/305/4

010

5/405/3

7200540

'

'

'

22500

01000

000

'''

z

y

x

z

y

x

zyx

0'900'225'100 22 xzy

0'36'9'4 22 xzy

4

'

9

''

22 zyx PARABOLOIDE ELÍPTICO

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