H6
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Per´ u, DECANA DE AM ´ ERICA) FACULTAD DE CIENCIAS MATEM ´ ATICAS CURSO: C ´ ALCULO II HOJA DE EJERCICIOS 1. Utilice el teorema del valor medio para integrales para demostrar la desigualdad siguiente: a) ∫ 2 0 1 x 2 +4 dx 6 1 2 b) ∫ −3 −3 1 x 2 +6 dx 6 1 c) ∫ π 6 − π 6 cos 2 x dx 6 π 3 d) ∫ π 0 sen √ x dx 6 π 2. Suponga que f es integrable en [−4, 7]. Si el valor promedio de f en [−4, 7] es 17 4 , calcule ∫ 7 −4 f (x) dx. 3. Hallar el valor promedio de la funci´on f (x)= √ 1+ x 2 en el intervalo [−1, 2]. 4. Demuestre: a) ∫ 4 0 x x 3 +2 < ∫ 4 0 x dx b) ∫ 1 −1 x 2 √ x 2 +4 < ∫ 1 −1 x 2 dx c) ∫ π 0 x sen x dx < ∫ π 0 x dx d) − 7 20 6 ∫ 3/4 −1 (x 3 − x 2 ) dx 6 0 e) 3 126 6 ∫ 5 2 dx x 3 +1 dx 6 1 3 f)3 √ 2 6 ∫ 2 −1 √ x 4 − 2x 3 +5 dx 6 6 √ 2 5. Hallar: d dx ∫ (x 2 +x) √ x [ ln(sent) + 1 + tan ( 1 t +1 )] dt. 6. Sea f una funci´on continua en [a, b]. Definimos la media o valor esperado de f sobre [a, b] como E(f )= 1 b − a ∫ b a f (x) dx a) Sea M y m respectivamente el m´aximo y el m´ ınimo de f sobre [a, b]. Demostrar que m 6 E(f ) 6 M . si f es constante ¿cu´al es su valor esperado? b) Usando el teorema de los valores intermedios y el apartado anterior probar el siguiente resultado: Teorema.- Sea f una funci´on contina en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que 1 b − a ∫ b a f (x)= f (c) c) Supongamos que f es impar, es decir f (x)= −f (−x). Hallar E(f ) sobre [−a, a]. Sugerencia: interpretar la integral en t´ erminos de ´areas. d) Evaluar: ∫ a −a x 7 sen(x 4 ) dx
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Peru, DECANA DE AMERICA)
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
CURSO: CALCULO II
HOJA DE EJERCICIOS
1. Utilice el teorema del valor medio para integrales para demostrar la desigualdad siguiente:
a)
∫ 2
0
1
x2 + 4dx 6 1
2
b)
∫ −3
−3
1
x2 + 6dx 6 1
c)
∫ π6
−π6
cos2 x dx 6 π
3
d)
∫ π
0
sen√x dx 6 π
2. Suponga que f es integrable en [−4, 7]. Si el valor promedio de f en [−4, 7] es17
4, calcule∫ 7
−4
f(x) dx.
3. Hallar el valor promedio de la funcion f(x) =√1 + x2 en el intervalo [−1, 2].
4. Demuestre:
a)
∫ 4
0
x
x3 + 2<
∫ 4
0
x dx
b)
∫ 1
−1
x2
√x2 + 4
<
∫ 1
−1
x2 dx
c)
∫ π
0
x sen x dx <
∫ π
0
x dx
d) − 7
206
∫ 3/4
−1
(x3 − x2) dx 6 0
e)3
1266
∫ 5
2
dx
x3 + 1dx 6 1
3
f) 3√2 6
∫ 2
−1
√x4 − 2x3 + 5 dx 6 6
√2
5. Hallar:d
dx
∫ (x2+x)
√x
[ln(sent) + 1 + tan
(1
t+ 1
)]dt.
6. Sea f una funcion continua en [a, b]. Definimos la media o valor esperado de f sobre [a, b]como
E(f) =1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
a) Sea M y m respectivamente el maximo y el mınimo de f sobre [a, b]. Demostrar quem 6 E(f) 6 M . si f es constante ¿cual es su valor esperado?
b) Usando el teorema de los valores intermedios y el apartado anterior probar el siguienteresultado:Teorema.- Sea f una funcion contina en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que
1
b− a
∫ b
a
f(x) = f(c)
c) Supongamos que f es impar, es decir f(x) = −f(−x). Hallar E(f) sobre [−a, a].Sugerencia: interpretar la integral en terminos de areas.
d) Evaluar: ∫ a
−a
x7sen(x4) dx
7. Hallar el valor promedio de la funcion f(x) = a+ b cos x en el intervalo −π 6 x 6 π.
8. Comparar las integales
∫ π
−π
x2 sen2 x dx y
∫ 1
0
x2 sen2 x dx sin calcularlas.
9. Estimar el valor de las siguientes integrales:
a)
∫ 1
−1
dx
8 + x3.
c)
∫ π/2
π/4
sinx
xdx.
10. Encontrar una funcion f definida y continua en [0,∞⟩ tal que:∫ x2
0
(1 + t)f(t)dt = 6x4
11. Sea f : [0, 4] → R definida por:
f(x) =
{x2 si 0 6 x < 3x+ a si 3 6 x 6 4
¿Que valor debemos dar a ”a” para que exista una funcion F en [0, 4] con F ′(x) = f(x)?.Encontrar todas las funciones F posibles que cumplan la condicion anterior.
12. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) F (x) =
∫ x2
0
(sen t2) log(1 + t2) dt
b) G(x) =
∫ sen2x
−excos(log(2t2)) dt
13. Demuestre que si C1 y C2 son numeros reales cualesquiera, se tiene:∫ b
a
(C1x+ C2x2) dx = C1
∫ b
a
x dx+ C2
∫ b
a
x2 dx
.
14. Sea f una funcion definida en [0,+∞⟩ tal que su primera derivada es continua. Hallar lafuncion f , si ∫ x
0
[t f ′(t)− t2f(t)
]dt = x
∫ x
0
f ′(t)dt , x > 0.
15. Sean φ una funcion continua e impar y f(x) = 10+
∫ x
0
φ(t) dt, x ∈ R. Hallar la ecuacion
de la recta tangente a la grafica de f en el punto cuya abscisa es cero.
16. Dada la funcion f(x) = 5+
∫ x
0
t+ 1
1 + sen2(t2)dt. Hallar un polinomio P de grado 2 tal que:
P (0) = f(0), P ′(0) = f ′(0) y P ′′(0) = f ′′(0).
17. Sea f : R → R una funcion impar y continua en todo R. Se define: F (x) =
∫ x
0
f(t)dt.
Demuestre que F es una funcion impar.
18. Sea f : ⟨0,+∞⟩ → R una funcion continua y positiva, tal que f(x) = 2 +
∫ x2
1
f(√t)
t2dt.
Determine f(x).
2
19. Hallar F ′′(1), si F (x) =
∫ x
−1
(xt)2sen
(πt
2
)dt.
20. Sea y = f(x) una funcion tal que, bajo su grafica y sobre el eje X, determina una regionde area:
A(x) =√1 + 3x− 1 , para cada x > 0.
Calcular el valor promedio de f(x) para 1 6 x 6 8.
21. Demostrar que:d
dx
∫ x
0
(y − x)f ′(y)dy = f(0)− f(x).
22. Una funcion f esta definida por:
f(x) = 3 +
∫ x
0
1 + sen t
2 + t2dt, ∀ x ∈ R
Sin intentar el calculo de esta integral, hallar un polinomio cuadratico p(x) tal que:
p(0) = f(0), p ′(0) = f ′(0), p ′′(0) = f ′′(0)
23. Sea f una funcion continua y decreciente (estrictamente) en [0,+∞[. Definimos la funcion
F (x) =
∫ x
0
f(t)dt
¿F es decreciente en ]0,+∞]?.
24. Sea f(x) una funcion positiva, derivable en I = [−1, 1]. Calcular f(x) si:
f(x) = 1 +
∫ x
0
tf 2(t)dx, x ∈ I
25. Si f es un funcion definida por:
f(x) =
{t si 0 6 t < 1
t2 − 1 si t > 1
Encuentre explıcitamente la funcion g definida por
g(x) =
∫ x
0
f(t)dt, x > 0
26. Determinar una funcion f(x) que es derivable y positiva en R+, y ademas se cumple:
f(x) = 2 +
∫ x
1
f(t)
t2dt, x > 0
27. Sea f : R → R una funcion real derivable (con derivada finita) en todo R, estrictamentecreciente y que se anula en el punto t = 0. Si la funcion G : R → R es definida por:
G(x) =
∫ x2−5x+6
0
f(t)dt.
a) Demuestre queG(x) admite primera y segunda derivada. Hallar la expresion de dichasderivadas.
b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de G(x) y determinar sus extremos relativos.
3
28. Demostrar que:
a) 1 6 lnx 6 x
e, si x > e.
b) 2√e 6
∫ 4
3
dx3√lnx
6 1.
29. Hallar la longitud de arco de la catenaria y =a
2
(e
xa + e−
xa
)entre los puntos (0, a) y (b, c).
30. Hallar la longitud total del lazo de la curva 6y2 = x(x− 2)2; si x ∈ [0, 2].
31. Calcular la longitud total de la curva: 8y2 = x2(1− x2).
32. Hallar la longitud del segmento de arco de la parabola y2 = 4px comprendida entre elvertice y un punto (x0, y0), con y0 > 0.
Sug.- En la evaluacion de la integral puede usar el cambio variablep
x+ 1 = z2.
33. Un punto se mueve en el plano XY con una ley de movimiento: x = e−2t cos 3t, y =e−2t sin 3t. Encontrar la longitud de la trayectoria recorrida por el punto desde t = 0 at = π.
34. Las coordenadas de un punto P (x, y) que se mueve en un tiempo t > 0 son: x =1− cos 2t, y = 4 cos t. Hallar la longitud de la trayectoria que describe el punto.
35. Hallar la longitud de arco de la curva C : y = arcsen (e−x) desde x = 0 hasta x = 1.
36. Halle la longitud de la curva C : cosh x =1
2
(ex + e−x
)entre x = 0 y x = 1.
37. Calcular la longitud de la parabola P : 2y = x2 entre el origen y el punto
(1,
1
2
).
38. Calcular la longitud de la curva C : y2 = x3 entre los puntos x = 1 y x =4
3.
39. Determinar la longitud de arco del arco de curva descrito por:
a) f(x) =x4 + 3
6x, x ∈ [1, 3] d) f(x) =
arcsenx
4− x
4
√1− x2, x ∈
[0,
√3
2
]b) f(x) = ln(−x), x ∈
[−√8,−
√3]
e) y = arcsen(e−x), x ∈ [0, 1]
c) y = ln(cosx), x ∈[0, π
3
]f)x =
y2
4− 1
2ln y, y ∈ [1, e]
40. Calcular la longitud de la curva:
a) C : x = 2t2, y = 2t3, t ∈ [−2, 2]
b) x = (t2 − 2) sen t+ 2t cos t, y = (2− t2) cos t+ 2t sen t, t ∈ [0, π]
c)[xa
]2/3+[yb
]2/3= 1, donde a, b > 0
r
Prof. Richard S. Quispe Rivas
4
