UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Peru, DECANA DE AMERICA)

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS

CURSO: CALCULO II

HOJA DE EJERCICIOS

1. Utilice el teorema del valor medio para integrales para demostrar la desigualdad siguiente:

a)

∫ 2

0

1

x2 + 4dx 6 1

2

b)

∫ −3

−3

1

x2 + 6dx 6 1

c)

∫ π6

−π6

cos2 x dx 6 π

3

d)

∫ π

0

sen√x dx 6 π

2. Suponga que f es integrable en [−4, 7]. Si el valor promedio de f en [−4, 7] es17

4, calcule∫ 7

−4

f(x) dx.

3. Hallar el valor promedio de la funcion f(x) =√1 + x2 en el intervalo [−1, 2].

4. Demuestre:

a)

∫ 4

0

x

x3 + 2<

∫ 4

0

x dx

b)

∫ 1

−1

x2

√x2 + 4

<

∫ 1

−1

x2 dx

c)

∫ π

0

x sen x dx <

∫ π

0

x dx

d) − 7

206

∫ 3/4

−1

(x3 − x2) dx 6 0

e)3

1266

∫ 5

2

dx

x3 + 1dx 6 1

3

f) 3√2 6

∫ 2

−1

√x4 − 2x3 + 5 dx 6 6

√2

5. Hallar:d

dx

∫ (x2+x)

√x

[ln(sent) + 1 + tan

(1

t+ 1

)]dt.

6. Sea f una funcion continua en [a, b]. Definimos la media o valor esperado de f sobre [a, b]como

E(f) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx

a) Sea M y m respectivamente el maximo y el mınimo de f sobre [a, b]. Demostrar quem 6 E(f) 6 M . si f es constante ¿cual es su valor esperado?

b) Usando el teorema de los valores intermedios y el apartado anterior probar el siguienteresultado:Teorema.- Sea f una funcion contina en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que

1

b− a

∫ b

a

f(x) = f(c)

c) Supongamos que f es impar, es decir f(x) = −f(−x). Hallar E(f) sobre [−a, a].Sugerencia: interpretar la integral en terminos de areas.

d) Evaluar: ∫ a

−a

x7sen(x4) dx

7. Hallar el valor promedio de la funcion f(x) = a+ b cos x en el intervalo −π 6 x 6 π.

8. Comparar las integales

∫ π

−π

x2 sen2 x dx y

∫ 1

0

x2 sen2 x dx sin calcularlas.

9. Estimar el valor de las siguientes integrales:

a)

∫ 1

−1

dx

8 + x3.

c)

∫ π/2

π/4

sinx

xdx.

10. Encontrar una funcion f definida y continua en [0,∞⟩ tal que:∫ x2

0

(1 + t)f(t)dt = 6x4

11. Sea f : [0, 4] → R definida por:

f(x) =

{x2 si 0 6 x < 3x+ a si 3 6 x 6 4

¿Que valor debemos dar a ”a” para que exista una funcion F en [0, 4] con F ′(x) = f(x)?.Encontrar todas las funciones F posibles que cumplan la condicion anterior.

12. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) F (x) =

∫ x2

0

(sen t2) log(1 + t2) dt

b) G(x) =

∫ sen2x

−excos(log(2t2)) dt

13. Demuestre que si C1 y C2 son numeros reales cualesquiera, se tiene:∫ b

a

(C1x+ C2x2) dx = C1

∫ b

a

x dx+ C2

∫ b

a

x2 dx

.

14. Sea f una funcion definida en [0,+∞⟩ tal que su primera derivada es continua. Hallar lafuncion f , si ∫ x

0

[t f ′(t)− t2f(t)

]dt = x

∫ x

0

f ′(t)dt , x > 0.

15. Sean φ una funcion continua e impar y f(x) = 10+

∫ x

0

φ(t) dt, x ∈ R. Hallar la ecuacion

de la recta tangente a la grafica de f en el punto cuya abscisa es cero.

16. Dada la funcion f(x) = 5+

∫ x

0

t+ 1

1 + sen2(t2)dt. Hallar un polinomio P de grado 2 tal que:

P (0) = f(0), P ′(0) = f ′(0) y P ′′(0) = f ′′(0).

17. Sea f : R → R una funcion impar y continua en todo R. Se define: F (x) =

∫ x

0

f(t)dt.

Demuestre que F es una funcion impar.

18. Sea f : ⟨0,+∞⟩ → R una funcion continua y positiva, tal que f(x) = 2 +

∫ x2

1

f(√t)

t2dt.

Determine f(x).

2

19. Hallar F ′′(1), si F (x) =

∫ x

−1

(xt)2sen

(πt

2

)dt.

20. Sea y = f(x) una funcion tal que, bajo su grafica y sobre el eje X, determina una regionde area:

A(x) =√1 + 3x− 1 , para cada x > 0.

Calcular el valor promedio de f(x) para 1 6 x 6 8.

21. Demostrar que:d

dx

∫ x

0

(y − x)f ′(y)dy = f(0)− f(x).

22. Una funcion f esta definida por:

f(x) = 3 +

∫ x

0

1 + sen t

2 + t2dt, ∀ x ∈ R

Sin intentar el calculo de esta integral, hallar un polinomio cuadratico p(x) tal que:

p(0) = f(0), p ′(0) = f ′(0), p ′′(0) = f ′′(0)

23. Sea f una funcion continua y decreciente (estrictamente) en [0,+∞[. Definimos la funcion

F (x) =

∫ x

0

f(t)dt

¿F es decreciente en ]0,+∞]?.

24. Sea f(x) una funcion positiva, derivable en I = [−1, 1]. Calcular f(x) si:

f(x) = 1 +

∫ x

0

tf 2(t)dx, x ∈ I

25. Si f es un funcion definida por:

f(x) =

{t si 0 6 t < 1

t2 − 1 si t > 1

Encuentre explıcitamente la funcion g definida por

g(x) =

∫ x

0

f(t)dt, x > 0

26. Determinar una funcion f(x) que es derivable y positiva en R+, y ademas se cumple:

f(x) = 2 +

∫ x

1

f(t)

t2dt, x > 0

27. Sea f : R → R una funcion real derivable (con derivada finita) en todo R, estrictamentecreciente y que se anula en el punto t = 0. Si la funcion G : R → R es definida por:

G(x) =

∫ x2−5x+6

0

f(t)dt.

a) Demuestre queG(x) admite primera y segunda derivada. Hallar la expresion de dichasderivadas.

b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de G(x) y determinar sus extremos relativos.

3

28. Demostrar que:

a) 1 6 lnx 6 x

e, si x > e.

b) 2√e 6

∫ 4

3

dx3√lnx

6 1.

29. Hallar la longitud de arco de la catenaria y =a

2

(e

xa + e−

xa

)entre los puntos (0, a) y (b, c).

30. Hallar la longitud total del lazo de la curva 6y2 = x(x− 2)2; si x ∈ [0, 2].

31. Calcular la longitud total de la curva: 8y2 = x2(1− x2).

32. Hallar la longitud del segmento de arco de la parabola y2 = 4px comprendida entre elvertice y un punto (x0, y0), con y0 > 0.

Sug.- En la evaluacion de la integral puede usar el cambio variablep

x+ 1 = z2.

33. Un punto se mueve en el plano XY con una ley de movimiento: x = e−2t cos 3t, y =e−2t sin 3t. Encontrar la longitud de la trayectoria recorrida por el punto desde t = 0 at = π.

34. Las coordenadas de un punto P (x, y) que se mueve en un tiempo t > 0 son: x =1− cos 2t, y = 4 cos t. Hallar la longitud de la trayectoria que describe el punto.

35. Hallar la longitud de arco de la curva C : y = arcsen (e−x) desde x = 0 hasta x = 1.

36. Halle la longitud de la curva C : cosh x =1

2

(ex + e−x

)entre x = 0 y x = 1.

37. Calcular la longitud de la parabola P : 2y = x2 entre el origen y el punto

(1,

1

2

).

38. Calcular la longitud de la curva C : y2 = x3 entre los puntos x = 1 y x =4

3.

39. Determinar la longitud de arco del arco de curva descrito por:

a) f(x) =x4 + 3

6x, x ∈ [1, 3] d) f(x) =

arcsenx

4− x

4

√1− x2, x ∈

[0,

√3

2

]b) f(x) = ln(−x), x ∈

[−√8,−

√3]

e) y = arcsen(e−x), x ∈ [0, 1]

c) y = ln(cosx), x ∈[0, π

3

]f)x =

y2

4− 1

2ln y, y ∈ [1, e]

40. Calcular la longitud de la curva:

a) C : x = 2t2, y = 2t3, t ∈ [−2, 2]

b) x = (t2 − 2) sen t+ 2t cos t, y = (2− t2) cos t+ 2t sen t, t ∈ [0, π]

c)[xa

]2/3+[yb

]2/3= 1, donde a, b > 0

r

Prof. Richard S. Quispe Rivas

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