UTILIZACIÓN DEL MATLAB PARA HALLAR LA TRANSFORMADA DELAPLACE.

CRISTIAN SUAREZ VANEGASCRISTIAN CAMILO GARCIA

NAYIB SESIN ESPELETA

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICAUNIVERSIDAD DE IBAGUE

SEPTIEMBRE 10 DE 2012IBAGUE TOLIMA

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UTILIZACIÓN DEL MATLAB PARA HALLAR LA TRANSFORMADA DELAPLACE.

PROFESOR:MSc. Ing. RICARDO ENRIQUE TRONCOSO

LABORATORIO #3 DE CIRCUITOS IV

CRISTIAN SUAREZ VANEGASCRISTIAN CAMILO GARCIA

NAYIB SESIN ESPELETA

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICAUNIVERSIDAD DE IBAGUE

SEPTIEMBRE 10 DE 2012IBAGUE TOLIMA

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TABLA DE CONTENIDO

CONTENIDO PAG

INTRODUCCIÓN/ ABSTRACT………….....................................................................4OBETIVOS.......................................................................................................................5ANEXO.............................................................................................................................6MARCO TEORICO……………………………………………………………………..7PRACTICA………...........................................................................................................9DESARROLLO DE LA PRÁCTICA.............................................................................10CONCLUSIONES...........................................................................................................25BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................26

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INTRODUCCION

Matlab es un programa interactivo de cálculo numérico y de visualización de datos basado en software de matrices, en un entorno de desarrollo totalmente integrado y orientado a proyectos que requieren un elevado cálculo numérico y visualización gráfica. En las universidades Matlab se ha convertido en una herramienta básica tanto para estudiantes, como para docentes e investigadores por su amplio abanico de programas especializados llamados Toolboxes que cubren casi todas las áreas del conocimiento, como por ejemplo las utilizadas en este trabajo para resolver ecuaciones diferenciales con ayuda de la transformada de la place y los comandos laplace para hacer la transformada de la place y ilaplace para hacer la inversa de la place

ABSTRAC

Matlab is an interactive program for numerical computation and data visualization software based on matrices, in a fully integrated development environment-oriented projects that require a large numerical and graphical display.In Matlab universities has become a basic tool for both students and for teachers and researchers for its wide range of specialized programs called Toolboxes covering almost all areas of knowledge, such as those used in this work to solve differential equations using the transform of the place and commands laplace transform to the place and ilaplace to the inverse of the place

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OBJETIVOS

Actualizar nuestros conocimientos frente el uso de MATLAB y sus diferentes Symbolic Math Toolbox para resolver ecuaciones diferenciales de manera fácil u rápida

Resolución de ecuaciones diferenciales con ayuda de la transformada de la place, introducción de la función de transferencia y análisis de estabilidad a partir de ella.

Solución de ecuaciones diferenciales lineales que podrían sermodelos matemáticos de circuitos eléctricos..

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ANEXO

Anexo a este trabajo se encuentran los respectivos archivos .m que genera Matlab para que pueda revisar nuestros códigos de las soluciones de las ecuaciones diferenciales y ver cada una de las graficas de estas mismas, expuestas en este trabajo mas adelante. Cada archivo esta enumerado respectivamente con su punto correspondiente a la guía de trabajo dejada por el profesor

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MARCO TEORICO

TRANSFORMADA DE LA PLACE

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

 es llamado el operador de la transformada de Laplace.

TRANSFORMADA INVERSA DE LA PLACE

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad

donde   es la transformada de Laplace.La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Forma integralUna fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de F(s).

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PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamientoSi se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s)

desplazada en el eje s por la cantidad a , tal como se muestra en la figura 7.11.Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el simbolismo siguiente:

Donde ass significa que la transformada de Laplace F(s) de f(t) el símbolo s se remplaza por s-a siempre que aparezca.

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento

En el teorema anterior se puede observar que un múltiplo exponencial de f(t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) en el eje s. Como una consecuencia del segundo teorema se nota que siempre que F(s) se multiplique por una función exponencial 0, ae as

, la transformada inversa del producto )(sFe as

es la función f desplazada a lo largo del eje t, tal como se muestra en la figura 7.16 (b)

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PRACTICA

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DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Solución realizada a mano:

Primero tenemos que descomponer f(t) en funciones singulares y obtenemos que f(t) es :F(t) = 1 + r(t-3) - r(t-6) - 2μ(t-6)Remplazando f(t) obtenemos que:d2 y ( t)

d x2 +3dy (t )

dx+2 y (t )=¿1 + r(t-3) - r(t-6) - 2μ(t-6)

Aplicamos la place a la ecuación y obtenemos:

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S2 y ( s )−Sy (0 )− y ' (0 )+3 [ Sy (s )− y (0 ) ]+2 y ( s )=1S+ 1

S2e−3 s− 1

S2e−6 s−2

1S

e−6 s

Remplazando condiciones iniciales y dejando a un lado de la igualdad todos los elementos de Y(s) obtenemos:

S2 y ( s )+3 Sy (s )+2 y ( s )= 1S+ 1

S2e−3 s− 1

S2e−6 s−2

1S

e−6 s+2 S+5

Sacando factor común de y(s) a un lado de la igualdad y al otro factorizando términos semejantes obtenemos que:

y (s )(S¿¿2+3 S+2)=1S+2S+5+ 1

S2e−3 s−( 1

S2+2

1S)e−6 s ¿

y (s )(S¿¿2+3 S+2)=2 S2+5 S+1S

+ 1S2 e−3 s−( 1

S2 +21S)e−6 s¿

y (s )(S¿¿2+3 S+2)=2S2+5 S+1S

+ 1S2 e−3 s−( 1

S2 +21S)e−6 s¿

y (s)(S+1)(S+2)=2 S2+5 S+1S

+ 1S2 e−3 s−(2 S2+1

S2 )e−6 s

Ahora despejamos Y(s) pasando el polinomio al otro lado de la igualdad y obtenemos:

y (s)= 2S2+5S+1S(S+1)(S+2)

+ 1S2(S+1)(S+2)

e−3 s−( 2 S2+1S2(S+1)(S+2)

)e−6 s

Ahora vamos a hallas las constantes de los 3 polinomios

K 1=

SY (S)S=0

=s ( 2 S2+5 S+1

S (S+1)(S+2))

S=0=1

2

K 2=(S+1)Y (S)

S=−1=

(s+1)( 2 S2+5 S+1S(S+1)(S+2)

)

S=−1=2−5+1

−1=2

K 3=(S+2)Y (S)

S=−2=

(s+2)( 2 S2+5 S+1S (S+1)(S+2)

)

S=−2=8−10+1

2=−1

2

K 4=S2Y (S)

S=0=

S2( 1

S2(S+1)(S+2))

S=0=

( 1(S+1)(S+2)

)

S=0=1

2

K 5=

11 !

dds

( 1(S+1 ) ( S+2 )

)

S=0=−¿¿

K 6=(S+1)Y (S)

S=−1=

(s+1)( 1S (S+1)(S+2)

)

S=−1=1

1=1

K 7=(S+2)Y (S)

S=−2=

(s+2)( 1S (S+1)(S+2)

)

S=−2= 1

(−1 ) .4=−1

4

K 8=S2 Y (S)

S=0=

S2( 2 S+1

S2(S+1)(S+2))

S=0=

( 2S+1(S+1)(S+2)

)

S=0=1

2

11

K 9=

11!

dds

( 2 S+1(S+1 ) (S+2 )

)

S=0=−¿¿

K 10=(S+1)Y (S)

S=−1=

(s+1)( 2S2+1S2(S+1)(S+2)

)

S=−1= 2+1

(2−1 ) .1=3

K 11=(S+2)Y (S)

S=−2=

(s+2)( 1

S2(S+1)(S+2))

S=−2= 8+1

(−1 ) .4=−9

4

y (s )=

12S

+2

(S+1)−

12

( S+2 )+( 1

2

S2 −

34S

+1

( S+1 )−

14

(S+2 ) )e−3 s+( 12

S2 −

34S

+3

( S+1 )−

94

(S+2 ) )e−6 s

Ahora aplicamos la inversa de laplace y obtenemos el resultado de la ecuación diferencial:

y (S )=12

μ ( t )+2e−t−12

e−2 t+ 12

tμ (t−3 )−34

μ ( t−3 )+e−t μ ( t−3 )−14

e−2 t μ ( t−3 )+ 12

tμ ( t−6 )−34

μ ( t−6 )+3 e−t μ ( t−6 )−94

e−2t μ ( t−6 )

Para comprobar en Matlab que los residuos que hallamos a “mano”, estén correctosdigitamos el siguiente código:

% Laboratorio No 3 % Problema No 2% Codigo para hallar los residuos Kn clear all; close all; clc; numerador1 = [2 5 1]; denominador1 = [1 3 2 0 ]; [residuos, polos, ganancia] = residue(numerador1, denominador1) numerador2 = [0 0 1]; denominador2 = [1 3 2 0 0]; [residuos, polos, ganancia] = residue(numerador2, denominador2) numerador3 = [2 0 1]; denominador3 = [1 3 2 0 0]; [residuos, polos, ganancia] = residue(numerador3, denominador3)

Matlab nos muestra en pantalla los siguientes resultados

residuos = -0.5000 2.0000 0.5000

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residuos =-0.25001.0000-0.75000.5000

residuos =-2.25003.0000-0.75000.5000

Comprobando así que las constantes halladas están bien ya que coinciden con las halladas en matlab

La grafica de y(s) se puede obtener así:

Solución realizada en Matlab:

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CONCLUSIONES

El cálculo de la transformada de laplace y de la inversa es muy fácil usando matlab. para calcular la transformada de la place basta usar el comando laplacey para hallar la inversa de la placa basta con utilizar el comando ilaplace

El análisis de cada una de las graficas obtenidas mostrando cada una de sus características de las ecuaciones diferenciales permite sacar conclusiones reales acerca de la estabilidad y los polos de la función de transferencia que se puede obtener a partir de las ecuaciones diferenciales

Se puede comparar de forma directa las ecuaciones hechas en Matlab con las calculadas a mano para asi poder comprar y corregir en caso de errores pudiendo concluir que con Matlab podemos resolver ecuaciones diferenciales de forma muy fácil y rápida

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BIBLIOGRAFIA

Señales y Sistemas continuos y discretos - 2da Edición - Samir S. Soliman & Mandyam D. Srinath

http://programatpic.wikispaces.com/file/view/Informe2.2.pdf

http://www.ceduvirt.com/resources/TutorialMatlab.pdf

http://cnx.org/content/m12978/latest/

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_inversa_de_Laplace

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