HACIA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Tomás OrtegaDidáctica de la Matemática. Universidad de Valladolidortega@am.uva.es

Introducción

El primer objetivo fundamental de este trabajo es dar a conocer una metodología deresolución de problemas para que pueda ser aplicada en las aulas de EducaciónPrimaria, metodología que se aplicará a ejemplos de problemas concretos.

El segundo objetivo es mostrar las posibilidades de uso de la calculadora básica, paraque se utilice como herramienta didáctica en este nivel educativo.

Finalmente se proponen cuatro problemas de geometría para que sean resueltos por losalumnos utilizando la calculadora.

Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura Tomás Ortega

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1. UN MODELO DE RESOLUCIÓN

Los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas (PAVOC) son problemasque se resuelven con más de una operación y requieren un proceso de resolución en elque se tiene que elaborar una estrategia de resolución con estas fases:

1. Qué operaciones se tienen que realizar.

2. Que datos intervienen en cada una de ella,.

3. En qué orden intervienen las operaciones.

4. Si se tienen que utilizar resultados parciales intermedios.

También conviene saber que en problemas de una etapa, con números pequeños, losniños pueden resolverlos con estrategias personales, y que tales estrategias dejan de serefectivas cuando los números tienen varias cifras. En la resolución de estos problemases fundamental el proceso de traducción del enunciado verbal al lenguaje aritmético, yla instrucción que se lleve a cabo, además, tiene que dotar de significado a lasoperaciones.

El hecho de que los procesos de traducción aritmética y la significación de lasoperaciones no sean biunívocos con el campo semántico verbal implica unos nivelescognitivos de los lenguajes implicados que sean adecuados, que les permitan construirunos enunciados esquemáticos (verbal, gráfico o simbólico) en los que se puedaidentificar la estructura del problema.

Desde la época griega (Euclides, 300 a C, Pappus 320 d C) es conocido el método deAnálisis-Síntesis, método que es eficaz para resolver problemas aritméticos y quebásicamente consiste en los siguiente:

I. Análisis

1. Identificar la incógnita del problema (cantidad desconocida que hay que calculary que resuelve el problema).

2. Determinar qué datos son necesarios para hacer ese cálculo

3. Si están todos hay que hacer el cálculo final

4. Si falta alguno, se considera como una incógnita intermedia.

5. Determinar qué datos son necesarios para calcular la incógnita intermedia yaplicar el proceso anterior a esta incógnita.

6. Iterar el proceso las veces necesarias hasta que:

- O bien se tienen todos los datos para calcular la incógnita del problema. Eneste caso se calcula y el problema termina felizmente

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- O bien alguno no se puede calcular, o se llega a contradicciones. En estecaso el problema no tiene solución

II. Síntesis: es la acción resolutora.

EJEMPLO DE ANÁLISIS-SÍNTESIS Y RESOLUCIÓN

Problema 1. El pasado lunes llegaron al aeropuerto de Valladolid cuatro avionesprocedentes del extranjero. El primero venía de Londres y trajo 218 pasajeros, elsegundo procedía Bruselas y en él vinieron 95 personas menos que en el de Londres, eltercero venía de París y de él se bajaron el doble de personas que del avión procedentede Bruselas, el cuarto venia de New York y el número de pasajeros era el mismo quejuntando los pasajeros de Bruselas y la tercera parte de los de París. ¿Cuántas personasllegaron a Valladolid en estos aviones?

Análisis:

1. ¿Cuál es la incógnita del problema? El número de personas llegaron a Valladolid

2. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de personas quellegaron en cada avión.

3. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Se sabe el número de pasajeros quellegaron en el avión de Londres, pero no los demás. Por tanto, el número depasajeros de estos aviones son incógnitas intermedias.

A. ¿Cuál es la primera incógnita intermedia? El número de personas quellegaron de Bruselas.

B. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número depersonas que llegaron de Londres.

C. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Son todos conocidos.

a) ¿Cuál es la segunda incógnita intermedia? El número depersonas que llegaron de París.

b) ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número depersonas que llegaron de Bruselas.

c) ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Es necesario que sehaya calculado el número de pasajeros que procedían deBruselas.

a. ¿Cuál es la tercera incógnita intermedia? El número depersonas que llegaron de New York.

b. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? Elnúmero de personas que llegaron de Bruselas y la terceraparte de los que llegaron de París.

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c. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Es necesario quese hayan calculado el número de pasajeros que procedíande Bruselas, pero no se conoce cuántos son la tercera partede los viajeros que venían de París. Por tanto esta es unacuarta incógnita intermedia.

- ¿Cuál es la cuarta incógnita intermedia? Cuál es latercera parte del número de personas que llegaronde París.

- ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla?El número de personas que llegaron de París.

- ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Habercalculado el número de pasajeros que procedíanParís.

Síntesis (lo redacto en primera persona, como si yo fuera el alumno):

1) Como sé el número de pasajeros que llegan de Londres, 218, y que de Bruselasllegaron 96 personas menos, para hallar el número de personas que llegaron deBruselas sólo tengo que hallar 218-95=123.

2) Como ya conozco los pasajeros procedentes de Bruselas, 123, puedo calcular losque venían de París, ya que sólo tengo que calcular 123·2=246

3) Como sé el número de personas que venían de París, 246, para hallar su terceraparte tengo que calcular 246:3=82

4) Como ya he calculado los pasajeros que venían de Bruselas, 123, y la terceraparte de los que venían de París, 82, para calcular los que llegaron de New Yorksólo tengo que calcular 95+82=177

5) Ahora ya conozco todos los datos necesarios para calcular la incógnita delproblema y para ello sólo tengo que hacer esta suma: 218+123+246+177=754.

LA ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS

La cadena deductiva que conecta los datos del problema con la incógnita es la estructuradel mismo y se puede elaborar un diagrama que recoja el proceso de resolución que, ensuma, debe contemplar los siguientes entes: Las etapas necesarias para ir desde laincógnita a los datos, el número de incógnitas auxiliares, las conexiones entre los datosy las operaciones que hay que realizar.

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En definitiva se trata de crear un esquema que facilite la traducción del lenguaje verbalal lenguaje aritmético junto a al proceso de resolución. Éste está implícito al consignarqué operaciones, con qué datos y enqué orden.

La figura 1 muestra el diagrama deresolución que corresponde alproblema enunciado. En él se puedeapreciar el número de incógnitasauxiliares, las operaciones que hayque realizar, el orden de las mismasy los datos que intervienen en cadauna de ellas. Se trata de un problemade cinco etapas y, por tanto, ya no esun problema fácil de resolver dentrodel nivel de estudios quecorresponde a todos los conceptosque están presentes en él, y lacomplejidad del diagrama deestructura es un fiel reflejo de ladificultad del problemacorrespondiente.

Problema 2. Para organizar la merienda de cumpleaños de Luis, a su mamá la cobran8,65 euros por cada niño. Fueron 13 niños y su mamá pagó con un billete de 100 € ycon otro de 50 €. ¿Cuánto dinero la tienen que devolver?

La figura 2 corresponde al diagramaestructural del problema 2, problema de dosetapas, y que, como es evidente, tiene unaestructura más sencilla. La dificultad delmismo está asociada a la complejidad de losnúmeros que intervienen, pero el uso de lacalculadora palia estas dificultades sin mermarlos aprendizajes de resolución (pero no lasalgorítmicas).

Problema 3. Se ha organizado una rifa en el colegio para recaudar dinero y así poderhacer una excursión. Se han hecho 500 papeletas para venderlas a 1,5 euros cada una,

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Figura 1.Diagrama estructura asociadoal problema1.

Figura 2.Diagrama estructural delproblema 2.

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pero sólo se consiguieron vender las tresquintas partes1. Al final van a la excursión 45niños y se quiere saber el dinero que se haahorrado cada niño2. Haced el diagramaestructural correspondiente en el recuadro dela figura 3 y resolver el problema.

Cuando se trata de problemas contables, laestructura de tabla proporciona unaorganización muy adecuada para ir anotandolos resultados parciales (soluciones de lasincógnitas intermedias) y llegar al resultadofinal (solución de la incógnita del problema).El problema siguiente es un ejemplo de este tipo.

Problema 4. Calcula el importe total de la siguiente compra hecha en el supermercado:3 Kg de naranjas a 0,95 euros el kilo (0,95 €/kg), 4 Kg de plátanos a 1,25 €/Kg. 16 litrosde leche a 0,79 €/l, 6 litros de aceite a 3,24 €/l (Solución 42,03 €).

Concepto Unidades Precio por unidad Totales

Naranjas 3 0,95

Plátanos 4 1,25

Leche 16 0,79

Aceite 6 3,24

Coste total

Se puede y se debe utilizar la calculadora para hacer estos cálculos, y se procede así:

La figura 4 presenta la estructura de este problema, y se puede pensar que también estáen la propia tabla. No es así, ya que en ésta no figuran las opera-ciones que hay querealizar.

1 En este enunciado intervienen representaciones numéricas muy diferentes: naturales,fracciones y decimales.2 Aquí los números casan muy bien pero conviene pensar en la dificultad que conlleva unosresultados parciales y finales que no sean tan ajustaditos.

Figura 3. Recuadro para eldiagrama estructural del problema3.

Sucesión de Teclas de calculadora que facilitan los cálculos.

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En este tipo de problemascontables, cuando hay unainversión en el flujo deresolución del problem, ladificultad aumenta deforma considerable. Elproblema 5, que estárelacionado con el anterior,es un ejemplo en el que ladisposición de los datos en la tabla facilita los cálculos. Tanto en el caso directo comoen el inverso, hay que hacer una traducción del lenguaje verbal, el enunciado delproblema, al lenguaje numérico, que es el de las tablas, que ordena los cálculos y quesiempre tienen que hacerlo los alumnos. Siempre son los alumnos y no el profesorquienes tienen que hacer las tablas.

Problema 5. El coste total de la compra hecha en el supermercado ha sido de 42,03 €.Se ha comprado una bolsa de 3 Kg de naranjas que valía 2,83 €, plátanos a 1,25 €/Kgque valían 5,00 €, 16 litros de leche a 0,79 €/l, un “pack” de 6 litros de aceite. Con éstosdatos se pregunta cuál es el precio del litro de aceite.

Concepto Unidades Precio por unidad Totales

Naranjas 3 2,85

Plátanos 1,25 6,00

Leche 16 0,79

Aceite 6

Coste total 42,03

Este problema tiene dos incógnitas intermedias,que en ocasiones se formulan de formaexplícita, incluso se pide que se calculen todoslos conceptos que corresponden a huecos enblanco en la tabla: el precio del Kg de naranjas,los Kg de plátanos que se compraron, el importede la leche, el importe del aceite y, finalmente,el precio del litro de aceite. Sinceramente, conesta formulación no es un problema, sino unejercicio de cálculo. La estructura del problemaevidencia lo que se acaba de decir y se pide quese haga en el recuadro adjunto.

Figura 5. Estructura del problema 4.

Figura 4. Estructura del problema 4.

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Otra aplicación para la que es apropiedo el uso de tablas y calculadora son los cálculosestadísticos. Cuando, por ejemplo. se trata de calcular una media aritmética de unavariable, la estructura es siempre la misma y lo más importante es ordenar los datos ylas operaciones.

Problema 6. Las puntuaciones que han alcanzado los alumnos de 5º curso en la pruebade matemáticas han sido las siguientes: 3 sólo sacaron 3,25 puntos; 5 alumnos hanobtenido 4,75; 4 alumnos han sacado 6,00; 6 alumnos llegaron a 7,25; 3 obtuvieron8,50, 2 alumnos 9,75. Halla la puntuación media de la clase.

Puntuaciones alcanzadas(valores: x)

Número de alumnos(frecuencias: n)

Productos: x*n

3,25 3 9,754,75 5 23,506,00 4 24,007,25 6 43,508,50 3 25,509,75 2 19,50

Sumas de frecuencias y deproductos

23 145,75

Los problemas de geometría Tomás Ortega

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LOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

Es evidente que en muchas ocasiones la interpretación de los datos de los problemas degeometría permite hacer ciertas transformaciones geométricas que convierten la figuradada en otra que tiene la misma superficie, pero que simplifica muchísimo los cálculos.Este el caso del problemaPR1 y, antes de hacer lacorrespondiente traducciónaritmética, hay que hacerun análisis del esquemagráfico que reproduce losdatos del problema.

PR1. El dibujo de la figura7 representa un solar aescala 1:750. Mide lo quenecesites y calcula el áreadel solar. Expresa elresultado en m2.

La incógnita del problema es el cálculo del área. La expresión del resultado en m2 es unejercicio de “ajuste de unidades” del que se tiene una tabla de conversión.

- La idea fundamental es hacer transformacionesgeométricas orientadas a construir el menor número derectángulos y triángulos posibles. Hallar las áreasparciales y finalmente a total.

- Estos problemas tienen una estructura fundamental detres etapas, como se muestra en la figura 8, pero la etapaintermedia tiene una subestructura asociada a la aritméticade las formas que intervienen en la figura transformada.

PR2. Determinar la longitud del circuito de la figura 9, sabiendo que la escala deldibujo es 1:12.500.

El análisis debe combinar las estrategias de medición y de cálculo, y cuándo, como eneste caso, hay que efectuar muchos cálculos, la ordenación de los mismos forma partede la estrategia de solución. La elaboración, por los alumnos, de una tabla de cálculo (ode resultados parciales) puede garantizar el éxito o fracaso en la resolución., ya que setrata de un problema similar a los “problemas contables”. Aquí no se calcula con dinerosino con metros; hay una factor constante, que es el factor de escala, y salvo los tramos7-11 y 14-1 , que son iguales, los demás son diferentes y, por tanto, los cálculos son

Figura 7. Plano de un solar a escala 1:750

Figura 8. Estructura.

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distintos. Para ser más ordenados y evitar errores (confusión de un tramo con otro, uolvido o repetición de alguno) conviene poner letras en los puntos de tangencia (A, B,C, ...) y en los centros de las circunferencias (O, P, Q, R, S, T). Los puntos de tangenciadelimitan los “tramos de medida y cálculo” en el propio dibujo (los segmentos sontramos de medida y los arcos son tramos de cálculo).

Una vez que se tengan las medidas para poder hacer los cálculos sería conveniente hacer

el correspondiente diagrama estructural.

Todavía surge otra pregunta a nivel metodológico. Se recuperan las longitudes realesaplicando a cada medida el factor de escala y se hacen los cálculos con éstas o, por elcontrario, se hacen los cálculos con las medidas del dibujo y después se tiene en cuentala escala. La respuesta es obvia desde la propia matemática y para elegir la opciónadecuada sólo hay que pensar en la propiedad distributiva del producto respecto de lasuma.

PR3. Suponiendo que se trate de un circuito plano, se puede determinar el áreadelimitada por el propio circuito.

Todas las consideraciones hechas en el problema anterior son válidas en éste, peroademás hay que tener el cuenta que el funcionamiento de la escala en las áreas es

El recorrido del circuito es elmarcado por las flechas.

Los coches entran en el tramo circulardel puente por debajo de éste.Recorren la circunferencia completa ysalen por encima del puente.

Figura 9. Plano de un circuito automovilístico a escala 1:12500.

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cuadrático; es decir, si laescala de un plano es E, larazón entre el área de unrecinto en ese plano y lacorrespondiente área en larealidad es E2.

PR4. Determinar lasdimensiones y el área delsalón que está representadaen el plano de la figura 10.

El diagrama del análisis delproblema, figura 11, indicaque lo primero que hay quehacer es determinar la escalacon la que se ha hecho elplano, y para ello loprimero que hay quehacer es un análisis de loselementos que estánrepresentados, eidentificar aquellos cuyamedida es estándar y quese conoce o se puedeconocer. Por razones de“errores en la medida”convine medir más de unelemento y aplicar a cadauno la correspondienteregla de tres. Figura 11. Estructura del problema PR4.

Figura 10. Plano de una vivienda

Hacia la resolución de Problemas. La calculadora básica Tomás Ortega

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