Hamilton-Capítulo 1-2010

8/9/2019 Hamilton-Captulo 1-2010

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Ecuaciones en Diferencias de Orden Uno

Estelibroestdedicadoalasconsecuenciasdinmicasdeloseventosalolargodeltiempo.

Digamosqueestamosestudiandounavariablecuyosvaloreseneltiempo t esdenotadopor

ty .Supongamosquesenosdaunaecuacindinmicaquerelacionaelvalor y quetomaenel

tiempo tconotravariable tw yconelvalorde y quetomaenelperodoprevio:

1t t t y y w = + (1.1)

Laecuacin(1.1)esunaecuacinendiferencialinealdeprimerorden.Unaecuacinen

diferenciaesunaexprecinquerelacionaunavariable ty consusvaloresprevios.Estaesuna

ecuacinendiferenciadeprimerordenporquesloelprimerrezagodelavariable

( )1ty apareceenlaecuacin.Notequeellaexpresaa ty comounafuncinlinealde 1ty y

tw .

Unejemplodelaecuacin(1.1)esGoldfelds(1973)funcindedemandadedineroparalos

EstadosUnidos.ElmodelodeGoldfeldrelacionaellogdelastenenciasrealesdedineropor

partedel

pblico

( )tm conellogdelingresorealagregado ( )tI ,ellogdelatasadeinters

sobrelosdepsitosbancarios ( )btr ,yellogdelatasadeinterssobrepapelescomerciales

( )ctr :

10.27 0.72 0.19 0.045 0.019 .

t t t bt ct m m I r r = + + (1.2)

Este

es

un

caso

especial

de

(1.1)

con

, 0.72 yt ty m = =


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3

0.27 0.19 0.045 0.019 .t t bt ct w I r r = +

Paralospropsitosdeanalizarladinmicadeunsistemacomoste,simplificaellgebraun

pocoresumirlosefectosdetodaslasvariablesdeinsumo ( ), ,t bt ct I r r entrminosdeun

escalar tw comoaqu.

Ms adelanteconsideraremosalavariabledeinsumo tw comounavariablealeatoria,ylas

implicacionesde(1.1)sobrelaspropiedadesestadsticasdelasseriesderesultado ty sern

exploradas.Enpreparacinparaestadiscusin,esnecesarioprimeroentenderlamecnicade

lasecuacionesendiferencias.Paraladiscusinenlosprimerosdoscaptulos,lasvariables

input{ }1 2, , ...,w w sernconsideradassimplementecomounasecuenciadenmeros

determinsticos.Nuestametaserresponderalasiguientepregunta:siunsistemadinmicoes

descritopor(1.1),cualessonlosefectossobre ty decambiosenlosvaloresde ?w

Resolviendo una Ecuacin en Diferencias por Substitucin

Recursiva

Lapresuncinesquelaecuacindinmica(1.1)gobiernaelcomportamientode y paratodos

los t.Porlotanto,paracadadatotenemosunaecuacinquerelacionaelvalorde y paraese

datoconsuvalorprevioyelvaloractualde w :

Dato Ecuacin

00 1 0 y y w = +


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5

1 1 2

1 1 2

1... .

j j j j

t j t t t t

t j t j

y y w w w

w w

+ + + +

+ +

= + + + +

+ + + (1.5)

Elefectode tw sobre t jy + estdadopor

.t j j

t

y

w

+ =

(1.6)

Estoeselmultiplicadordinmico(1.6)slodependede j ,ellargodeltiempoqueseparael

choquealinput ( )tw yelvalorobservadodeloutput ( )t jy + .Elmultiplicadornodependede

;t estoes,nodependedelostiemposdelaobservacinmisma.Estoesverdaderopara

cualquierecuacinendiferenciaslineal.

Comounejemploparacalcularelmultiplicadordinmico,consideremosdenuevola

especificacindedemandadedinerodeGoldfelds.Supongamosquequeremosconocerque

pasarala

demanda

por

dinero

dos

trimestres

desde

ahora

si

el

ingreso

actual

tI sefuera

a

incrementarporunaunidadhoyconlosingresosfuturos 1tI+ y 2tI + sinafectar:

22 2 .t t t t

t t t t

m m w w

I w I I + +

= =

(1.7)

De(1.2),unincrementounitarioen tI incrementar tw por0.19unidades,loquesignificaque

0.19.t

t

wI

=

Dado

que

0.72 = ,calculamos:

( ) ( )22 0.72 0.19 0.098.t

t

m

I

+ = =

(1.8)

Porque tI esellogdelingreso,unincrementoen tI de0.01unidadescorrespondeaun1%de

aumentoenelingreso.Unincrementoen tm de ( )( )0.01 0.098 0.001 correspondeaun

0.1%deincrementoenlastenenciasdedinero.Porlotantoelpblicoaumentarasus


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multiplicadordinmicoseincrementaexponencialmenteconeltiempocomoenelpanel(c).

Unincrementodadoen tw tieneunmayorefectocuantomslejosvamosenelfuturo.Para

1, < elsistema(1.1)exhibeoscilacionesexplosivascomoenelpanel(d).

Porlotanto,si 1 < ,elsistemaesestable;lasconsecuenciasdeuncambiodadoen

tw eventualmenteirndesapareciendo.Si 1 > ,elsistemaesexplosivo.Uninteresantecaso

escuando 1 = .Enestecaso,lasolucin(1.5)sevuelve

1 1 1... .t j t t t t j t j y y w w w w+ + += + + + + + (1.9)

Aqulavariableoutput y eslasumadeloshistricosinputs w .Unincrementounitarioen

w causarunpermanenteincrementodeunaunidaden :y


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8

1 para 0,1,...t j

t

yj

w

+ = =

(1.10)

Tambinpodramosestarinteresadosenelefectode w sobreelvalorpresentedeunflujode

futurasrealizaciones

de

y .

Para

un

flujo

dado

de

futuros

valores

1 2, , ,...t t t y y y+ + yunatasade

intersconstante 0r > ,elvalorpresentedelflujoeneltiempo t estdadopor

( ) ( )1 2 3

2 3...

1 1 1

t t tt

y y yy

r r r

+ + ++ + + ++ + +

(1.11)

Latasadeintersesmedidaaqucomounafraccinde1;porlotanto 0.1r = correspondea

un10%deinters.

Seaelfactordedescuento:


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10

Encalculandolosmultiplicadoresdinmicos(1.6)o(1.14),nosotrosnospreguntamosque

pasarasi tw seincrementaraenunaunidadsinque 1 2, ,...,t t t jw w w+ + + permanecierasin

afectarse.Porlotanto,encontramosslolosefectosdeuncambiopuramentetransitorioen

w .Elpanel(a)delaFigura1.2muestralatrayectoriatemporalde w asociadaconesta

cuestin,yelpanel(b)muestralatrayectoriatemporalpara .y Porqueelmultiplicador(1.6),

calculalarespuestade y querespondeaunsimpleimpulsoen w ,estambinreferidocomo

lafuncinimpulsorespuesta.

Avecesestamosinteresadossinembargoenlasconsecuenciasdeuncambiopermanenteen

.w Uncambiopermanenteen w significaque 1, ,...,t t t jw w w+ + podraincrementarseporuna

unidad.Desdelafrmula(1.6),elefectosobre t jy + deuncambiopermanenteen

w empezandoenelperodo testardadopor

1

1 2

... ... 1.t j t j t j t j j j

t t t t j

y y y y

w w w w

+ + + +

+ + +

+ + + + = + + + +

(1.15)

Suponiendoque 1 < ,ellmitedeestaexpresinenlamedidaque j vaainfinitodescrita

comoelefectodelargoplazode w sobre y :

( )

2

1 2

lim ... 1 ...

1.

1

t j t j t j t j

jt t t t j

y y y y

w w w w

+ + + +

+ + +

+ + + + = + + + =

=

(1.16)

Porejemplo,laelasticidaddelargoplazodelademandapordineroenelsistema(1.2)est

dadopor


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11

0.190.68

1 072=

(1.17)

Unincrementodel1%enelingresollevareventualmenteaun0.68%deincrementoenla

demandapor

dinero.

Otrapreguntarelacionadaconciernealasconsecuenciasacumulativaspara y deuncambio

deunavezen w .Aquseconsideraunaperturbacintransitoriaa w ,perodeseamos

acumularlasumadelasconsecuenciasparatodoslosvaloresfuturosde y .Otraformade

pensarestoeselefectosobreelvalorpresentede y conunatasadedescuento 1 = .

Haciendoque 1 = en(1.14)muestraqueesteefectoacumulativoesiguala

( )0

1,

1

t j

j t

y

w

+

=

=

(1.18)

suponiendoque 1 < .Notemosqueelefectoacumulativosobre y deuncambiotransitorio

en w (1.18)eslomismoqueelefectodelargoplazosobre y deuncambiopermanenteen

w (expresin1.16)).


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12


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13

Ecuaciones en Diferencias de Orden .thp

Generalicemosahoraelsistemadinmico(1.1)permitiendoqueelvalorde y eneltiempo

tdependade p desuspropiosrezagosconelvaloractualdelavariabledeinput tw :

1 1 2 2 ... .t t t p t p t y y y y w = + + + + (1.19)

Laecuacin(1.19)esunaecuacinendiferenciaslinealdeordenp.

Esconvenientereescribiraestaecuacin(1.19)queesunaecuacinendiferenciasdeorden

penelescalar ty comounaecuacinendiferenciasdeprimerordenenunvector t .

Definamosel

vector

( )1p t ,por:


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14

1

2

1

.

t

t

tt

t p

y

y

y

y

+

=

(1.20)

Estoes,elprimerelementodelvector entiempoteselvalorqueytomeneltiempot.El

segundoelementoeselvalordeyeneltiempot1yassucesivamente.Definamoslamatriz

F de ( )p p dadapor:

1 2 3 1

1 0 0 0 0

.0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

p p

F

(1.21)

Porejemplo,para 4p = , F serefierealasiguientematrizde4x4:

1 2 3 4

1 0 0 0 .0 1 0 0

0 0 1 0

=

F

(1.22)

Parap=1, F essloelescalar . Finalmente,definimoselvector tv por

0

.0

0

t

t

w

v

(1.23)

Consideremoslasiguienteecuacinendiferenciasvectorialdeprimerorden:

1t t t= + F v (1.24)

Esteesunsistemadepecuaciones.Laprimeraecuacinenelsistemaesidnticaalaecuacin

(1.19).La

segunda

ecuacin

es

simplemente

la

identidad:


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16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

11 1 12 2 1 11 0

1 1

11 1 11 1

...

... .

t t t t

t p p

t

t t

y f y f y f y f w

f w f w w

+ + +

= + + + + +

+ + + + (1.30)

Estodescribeelvalordeyeneltiempotcomounafuncinlinealdelospvaloresinicialesdey

( )1 2, ,..., p y y y ylahistoriadelavariableinputwdesde0 ( )0 1, , ..., tw w w .

Laobviageneralizacinde(1.5)es

1 2

1 1 2

1

...

...

t j j j j

t j t t t t

t j t j

+ + + +

+ +

= + + + +

+ +

F F v F v F v

Fv v

(1.31)

desdedondepodemosobtener:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

11 1 12 2 1 11

1 2 1

11 1 11 2 11 1

...

... .

j j j j

t j t t p t p t

j j

t t t j t j

y f y f y f y f w

f w f w f w w

+ + +

+

+ + + +

= + + + + +

+ + + + + (1.32)

Porlotanto,paraunaecuacinendiferenciasdeordenp,elmultiplicadordinmicoestdado

por

( )11

t j j

t

yf

w

+ =

(1.33)

donde( )

11

jf denotaelelemento(1,1)de .jF Paraj=1,estoessimplementeelelemento(1,1)de

F ,oseaelparmetro 1 .Porlotanto,paraunsistemadeordenp,elefectosobre 1ty + deun

incrementounitarioen tw estdadoporelcoeficientequerelacionaa ty con 1ty enla

ecuacin(1.19):

11.

t

t

y

w+

=

(1.34)

Lamultiplicacindirectade F revelaqueelelemento ( )1,1 de 2F es ( )21 2 , + demanera

que:


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17

221 2

t

t

y

w +

= +

(1.35)

enunsistemadeordenp.

Paravaloreslargos ,j uncaminofacilparaobtenerunvalornumricoparaelmultiplicador

dinmico

t j

t

y

w

+

(1.36)

essimularelsistema.Estoeshechodelasiguientemanera.Seestablece

1 2 0... 0, 1,p y y y w = = = = = yseestableceelvalorde w paratodoslosotrosperodos

igualesa0.Luegousamos(1.19)paracalcularelvalorde ty parat=0(estoes, 0 1).y = Luego

substituimosestevalorenconjuntocon 1 2 1, ,...,t t t p y y y + devueltaen(1.19)paracalcular

1ty + ycontinuamosrecursivamentedeestamanera.Elvalorde y enelpasotnosdaelefecto

deuncambiounitarioen 0w sobre ty .

Apesardequelasimulacinnumricapuedeseradecuadaparamuchascircunstancias,es

tambinconvenientetenerunacaracterizacinanalticasimpledet j

t

y

w

+

,lacual,sabemos

estdadaporelelemento(1,1)dej

F .Estoesbastantefacildeobtenerentrminosdelos

eigenvaloresdelamatriz F .Recordemosqueloseigenvaloresdeunamatriz F sonaquellos

nmeros paraloscuales

0. =F I (1.37)

Porejemplo,para 2p = loseigenvaloressonlassolucionesa:


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18

1 2 00

1 0 0

=

(1.38)

o

( ) 21 21 2 0.

1

= =

(1.39)

Losdoseigenvaloresde F paraunaecuacindiferencialdeordendosestnporlotantodados

por:

2

1 1 2

1

2

1 1 2

2

4

2

4

2

+ +

=

+=

(1.40)

Paraunsistemadeordenp,eldeterminantede(1.37)esunpolinomiodeordenpen cuyas

psolucionescaracterizanlospeigenvaloresde F .Estepolinomiotieneunaformamuysimilar

a(1.39).ElsiguienteresultadoesprobadoenelApndicealfinaldeestecaptulo.

Proposicin 1.1

Loseigenvaloresdelamatriz F sonlosvaloresde quesatisfacen:

1 2

1 2 1... 0. p p p

p p

= (1.41)

Unavezqueconocemosloseigenvalores,esdirectocaracterizarelcomportamientodinmico

delsistema.Primeroconsideramoselcasocuandoloseigenvaloresde F sondistintos;por

ejemplo,requerimosque 1 y 2 seannmerosdiferentes.


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Solucin General de una Ecuacin en Diferencias de Orden p con

Eigenvalores Diferentes

Recordemosquesiloseigenvaloresdeunamatriz ( )p p F sondistintos,entoncesexisteuna

matriz ( )p p T talque:

1=F TT (1.42)

donde es

una

matriz

( )p p conloseigenvaloresde F enladiagonalprincipalycerosen

lasdemspartes:

1

2

0 0 0

0 0 0.

0 0 0 p

=

(1.43)

Estonospermitecaracterizarelmultiplicadordinmico(elelemento(1,1)dej

F en(1.33)muy

fcilmente.Porejemplo,desde(1.42)podemosescribir2

F como:

( )

2 1 1

1

1

2 1.

p

= =

= =

= =

=

-1

F TT TT

T T T T

T I T

T T

(1.44)

Laestructuradiagonalde implicaque2

estambinunamatrizdiagonalcuyoselementos

sonloscuadradosdeloseigenvaloresde F :

2

1

2

22

2

0 0 0

0 0 0.

0 0 0p

=

(1.45)


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Msgeneralmente,

1j j =F T T (1.46)

donde:

1

2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

j

j

j

j

p

=

(1.47)

Sea ijt elelementodelafilaiylacolumnaj,enlamatriz T yseaij

t elelementodelafilai,

columnaj,de1T .Laecuacin(1.46)escritaenformacompletaseconvierteen:

11 12 111 12 1 1

21 22 221 22 2 2

1 21 2

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

j pp

j ppj

j p p pp p p pp p

j j j

p p

j j j

p p

j j

p p pp

t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t

t t t

t t t

t t t

= =

=

F

11 12 1

21 22 2

1 2

p

p

j p p ppp

t t t

t t t

t t t

(1.48)

desdelacualelelemento(1,1)delamatrizj

F estdadapor:

( ) 11 12 111 11 1 12 2 1...

j j j p j

p p f t t t t t t = + + + (1.49)

o

( )11 1 1 2 2 ...

j j j j

p p f c c c = + + + (1.50)

donde

1

1 .i

i ic t t = (1.51)

Notemosquelasumadelos ic trminostienelasiguienteinterpretacin:


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21

11 21 1

1 2 11 12 1... ... ,p

p pc c c t t t t t t + + + = + + + (1.52)

elcualeselelemento(1,1)de1

TT .Dadoque

1TT

(1.53)

esslolamatrizidentidad ( )p p implicaquelasumadelos ic debeserigualauno.

Sustituyendo(1.50)enlafrmuladelmultiplicadordinmiconosdaelmultiplicadordinmico

paraunaecuacinendiferenciasdeordenp:

1 1 2 2 ... .t j j j j

p p

t

yc c c

w

+ = + + +

(1.54)

Laecuacin(1.54)caracterizaalmultiplicadordinmicocomounpromedioponderadodecada

unodelospeigenvaloreselevadosalapotenciaj.

Elsiguienteresultadoproveeunaexpresinenformacerradaparalasconstantes .ic

Proposicin 1.2

Silos

eigenvalores

( )1,..., p delamatriz F sondistintos,entonceslasmagnitudes ic en

(1.54)puedenserescritascomo:

( )

1

1

.p

i

i p

i k

kk i

c

=

=

(1.55)


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22

Parasintetizar,

Hamilton-Capítulo 1-2010

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