Hamilton Jacobi

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Teoría de Hamilton-Jacobi Nicolás Sánchez Marín 1. Introducción Las transformaciones canónicas se pueden utilizar para proporcionar un procedimiento general para la resolución de problemas mecánicos, un ejem- plo de esto es el mismo Hamiltoniano que se obtiene de una transformación canónica del Lagrangeano. Podemos buscar una transformación canónica de las coordenadas y mo- mentos, (q, p), en un tiempo t, a un nuevo conjunto de cantidades constan- tes, que pueden ser relacionadas con los 2n valores iniciales, (q 0 ,p 0 ), en t 0 . Con esta transformación, las ecuaciones de transformación que relacionan las viejas con las nuevas variables canónicas son exactamente la solución del problema mecánico: q = q(q 0 ,p 0 ,t) p = p(q 0 ,p 0 ,t) Se obtienen las coordenadas y los momentos como una función de sus valores iniciales y el tiempo. Este procedimiento es el más general, ya que en principio es aplicable incluso cuando el hamiltoniano posee dependencia temporal. De manera particular, si el hamiltoniano es conservativo, las nue- vas variables que nos arroja la transformación canónica son todas ciclicas, y por ello las soluciones de las ecuaciones de movimiento son triviales. 1

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Teoría de Hamilton-Jacobi

Nicolás Sánchez Marín

1. IntroducciónLas transformaciones canónicas se pueden utilizar para proporcionar un

procedimiento general para la resolución de problemas mecánicos, un ejem-plo de esto es el mismo Hamiltoniano que se obtiene de una transformacióncanónica del Lagrangeano.

Podemos buscar una transformación canónica de las coordenadas y mo-mentos, (q, p), en un tiempo t, a un nuevo conjunto de cantidades constan-tes, que pueden ser relacionadas con los 2n valores iniciales, (q0,p0), en t0.Con esta transformación, las ecuaciones de transformación que relacionanlas viejas con las nuevas variables canónicas son exactamente la solución delproblema mecánico:

q = q(q0, p0, t)p = p(q0, p0, t)

Se obtienen las coordenadas y los momentos como una función de susvalores iniciales y el tiempo. Este procedimiento es el más general, ya queen principio es aplicable incluso cuando el hamiltoniano posee dependenciatemporal. De manera particular, si el hamiltoniano es conservativo, las nue-vas variables que nos arroja la transformación canónica son todas ciclicas, ypor ello las soluciones de las ecuaciones de movimiento son triviales.

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2. Ecuación de Hamilton-Jacobi para la funciónprincipal de Hamilton

Para asegurar que las nuevas variables se mantengan constantes con eltiempo, el hamiltoniano tranformado K deber ser igual a cero, y con ello lasecuaciones de movimiento son

∂K

∂Pi= Qi = 0

− ∂K∂Qi

= Pi = 0 (1)

K esta relacionado con el viejo Hamiltoniano,H, por medio de la funcióngeneratriz por la ecuación

K = H + ∂F

∂t

Como exigimos K = 0

H(q, p, t) + ∂F

∂t= 0 (2)

Es conveniente tomar F en función de las viejas coordenadas qi, losnuevos momentos constantes Pj y el tiempo, así nos entregará de maneramas inmediata la solución de los qi y podremos relacionar de alguna formalas constantes de integración de alguna forma con los Pi Para escribir elhamiltoniano de la ecuación (2) como una función de las mismas variables,se puede hacer uso de las ecuaciones de transformación

pi = ∂F

∂qi

Reescribiendo la ecuación (2)

H(q1, ..., qn; ∂F∂q1

, ..,∂F

∂qn; t) + ∂F

∂t= 0 (3)

La ecuación (3) se le denomina ecuación de Hamilton-Jacobi, la soluciónF de esta ecuación diferencial parcial posee (n + 1) variables, q1, ..., qn,t.Denotaremos desde ahora a F como S y la llamarremos función principalde Hamilton.

La solución de la ecuación (3) sólo posee dependencia de las coordenadas”antiguas”(q) y el tiempo, de los nuevos momentos (P ) solo sabemos que

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son constantes, pero la naturaleza de la solución nos dirá que forma tienenlos Pi’s.

Matemáticamente la ecuaciń (3) tiene forma de una ecuación diferencialparcial de primer orden n+1 variables. Supongamos que existe una soluciónde esta ecuación con la forma

S = S(q1, ..., qn;α1, ..., αn+1; t) (4)

donde (α1, ..., αn+1) son n + 1 constantes de integración independien-tes. Tales soluciones se conocen como soluciones completas de la ecuaciondiferencial parcial de primer orden1

Pero una de estas constantes es irrelevante para la solución, ya que S noparticipa por si sola en la ecuación (3), sólo lo hacen sus derivadas parcialescon respecto a q o t. Por lo tanto, sí S es solución de la ecuación diferen-cial, S + a también lo será (a una constante cuanquiera). Uno de las n + 1constantes de integración (αi) es aditiva, así que podemos considerar estaconstante aditiva como parte de S.

Esto último no tiene ninguna importancia en la función de generación (ogeneratriz), ya que sólo participan las derivadas parciales de S en las ecua-ciones de transformación. Por esto podemos escribir la solución completacomo:

S = S(q1, ..., qn;α1, ..., αn; t) (5)

donde ninguna de las constantes de integración es aditiva, por lo tanto po-demos considerar las n constantes como los n momentos Pi.

Pi = αi (6)

La primera mitad de las ecuaciones de transformación (n ecuaciones)pueden ser escritas como:

pi = ∂S

∂qi(q;α; t) (7)

En el momento t0 existen n ecuaciones que relacionan las n α’s conlos valores iniciales de p y q, esto nos permite evaluar las constantes deintegración en función de las condiciones iniciales del problema que nos

1la ecuación (4) no es la única forma que tiene la solución, de manera general en lugarde constantes arbitrarias deberiamos tomar funciones arbitrarias. Y tampoco tiene porqueser única, solo nos interesa que sea una solución completa.

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encontramos estudiando. La otra mitad de las ecuaciones de transformación,que proporcionan las nuevas coordenadas constantes, aparecen como

Qi = βi = ∂S

∂αi(q;α; t) (8)

Las constantes β’s se puede obtener de manera similar a partir de lascondiciones iniciales, simplemente cálculando el valor del lado derecho de laecuación (8) en t = t0. Luego despejo y encuentro qj en términos de α, β yt:

qi = qi(α;β; t) (9)

con esto ya tengo mis coordenadas en función de mis condiciones iniciales(de manera implicita). En las Ecuaciones (7), puedo sustituir las ecuanciones(9) y con ello obtengo los momentos pi como funciones de α, β y t.

pi = pi(α;β; t) (10)

Las ecuaciones (9) y (10) constituyen la solución completa que buscabamosde ecuaciones de movimiento de Hamilton.

La Funciń principal de Hamilton,S, es por lo tanto el generador de unatransformación canónica a las coordenadas y los momentos constantes, cuan-do obtenemos la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, estamos almismo tiempo obteniendo una solución para el problema mecánico.

Hasta cierto punto, la elección de las αi’s como los nuevos momentos esarbitraria. De manera mas general podemos elegir una cantidad n de γi’s,que serán funciones dependientes de la de constantes de integración comolos nuevos momentos constantes:

Pi = γi = γi(α1, ..., αn) (11)

con ello la función principal de Hamilton puede escribirse como una funciónde qi, γi y t. De manera particular Pi = γi = αi.

Para una mayor comprensión del sentido físico de la función principal deHamilton S estudiaremos su derivada total con respecto al tiempo,

dS

dt= ∂S

∂qi

dqidt

+ ∂S

∂Pi

dPidt

+ ∂S

∂t

ya que

pi = ∂S

∂qi

dPidt

= 0 ∂S

∂t= −H

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nos queda

dS

dt= piqi −H = L (12)

obteniendo, la integral indefinida:

S =∫Ldt+ constante (13)

Ahora bien, el principio de Hamilton es una declaración acerca de laintegral definida de L, de donde se obtiene la solución del problema a travésde las ecuaciones de Lagrange. Aquí la misma acción integral, de formaindefinida, proporciona otra forma de resolver el problema. En los cálculosreales, el resultado expresado por la ecuación. (13) es de gran ayuda, yaque no podemos integrar el lagrangeano con respecto al tiempo hasta que seconocen qi y pi como funciones del tiempo, es decir, hasta que el problemaestá resuelto.

Cuando el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, la fun-ción principal de Hamilton puede escribirse en la forma2

S(q : α; t) = W (q, α)− at (14)

donde W (q, a) se llama función característica de Hamilton. El sentido físicode W se puede entender estudiando su derivada total:

dW

dt= ∂W

∂qi

dqidt

+ ∂W

∂αi

dαidt

la ecuación (7) nos queda

pi = ∂S

∂qi= ∂W

∂qi= 1qi

dW

dt(15)

dW

dt= piqi (16)

integrando

W =∫piqidt =

∫pidqi (17)

Y a esto se le conoce como accioón abreviada.2cuando estudiemos separación de variables tendremos una visi’on mas amplia de por-

que la puedo escribir de esta manera.

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3. El problema del Oscilador Armónico como ejem-plo para el método de Hamilton-Jacobi

3.1. Oscilador Armónico unidimensional

El hamiltoniano del sistema es

H = 12m

[p2 +m2ω2q2

]≡ E (18)

Donde

ω =

√k

m(19)

Tenemos que p = ∂S∂q , la ecuación de Hamilton-Jacobi nos queda

12m

[(∂S

∂q

)2+m2ω2q2

]+ ∂S

∂t= 0 (20)

ya que el hamiltoniano no posee dependiencia temporal, la función prin-cipal posee la forma S = W (q, α)− αt, así la ecuación de HJ queda

12m

[(∂W

∂q

)2+m2ω2q2

]= α (21)

Aquí ya se puede apreciar que la constante α es la energía del sistema.Así la función caracteristica es

W =√

2mα∫dq

√1− mω2q2

2α (22)

y la función principal es

S =√

2mα∫dq

√1− mω2q2

2α − αt (23)

Pero no nos interesa conocer S, solo nos interesan sus derivadas parciales.La solución para q sale de la ecuación (8)

β′ = ∂S

∂α= ∂

∂α

(∫dq√

2mα−m2ω2q2 − αt)

β′ =√m

∫dq√

1− mω2q2

− t

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Para integrar esto haremos el siguiente cambio de variable

sin θ = ω

√m

2αq cos θdθ = ω

√m

2αdq

Nos queda la integral

∫dθ = 1

ωarcsinω

√m

2αq = β′ + t (24)

despejando q de esta última expresión se obtine q en función del tiempo ylas 2 constantes de integración α y β = β′ω

q =√

2αmω2 sin (β + ωt) (25)

que es la solución a la que estamos familiarizados para el oscilador ar-mónico. Para encontrar la solución del impulso utilizamos la ecuación detransformación (7), la cual, usando la ecuación. (22), se puede escribir

pi = ∂S

∂q= ∂W

∂q=√

2mα−m2ω2q2 (26)

Con la solución encontrada para q, la ecuación(25) se convierte

pi =√

2mα cos(β + ωt) (27)

Notar que este resultado cumple con p = mq.Para completar la historia, las constantes α y β deben relacionarce con

las condiciones iniciales q0 y p0 en el tiempo t = 0. Al elevar al cuadrado lasecuaciones (25) y (27)encontraremos la naturaleza de α en términos de q0 yp0.

q20 = 2α

mω2 sin2 β

p20 = 2mα cos2 β = 2mα(1− sin2 β)

uniendo las ecuaciones nos queda

q20 = 2α

mω2 sin2 β

p20 = 2mα

(1− mω2q2

02α

)

2mα = p20 +m2ω2q2

0 (28)

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Mostrando nuevamente que α es la energía del sistema. La fase constante βesta relaciona con q0 y p0 por

tan β = sin βcosβ =

q0

√mω2

p0√

12mα

= q0p0mω (29)

Notemos que cuando q0 = 0, β = 0, esto corresponde a iniciar el movi-miento con el oscilador en su posición de equilibrio q = 0.

Por lo tanto, la función principal de Hamilton es la generador de unatransformación canónica a una nueva coordenada que mide el ángulo de fasede la oscilación y a un nuevo impulso canńico identificado como la energíatotal.

Si la solución para q se sustituye en la ecuación(23), función principal deHamilton puede escribirse como

S =√

2mα∫ √

1− mω2

2α2αmω2 sin2 (β + ωt)

√2αmω2 cos(ωt+ β)ωdt− αt

S = 2α∫

cos2(ωt+ β)dt− αt

S = 2α∫ [

cos2(ωt+ β)− 12

]dt (30)

Estudiemos el lagrangiano directamente, tenemos

L = 12m

(p2 −m2ω2q2

)L = 1

2m

(2mα cos2(β + ωt)−m2ω2 2α

mω2 sin2(β + ωt))

L = α cos2(β + ωt)− α sin2(β + ωt)L = 2α[cos2(β + ωt)− 1/2]

por lo que S es la integral de tiempo de la función de Lagrange, deacuerdo con la relación general (13). Note que la identidad no se pudo pro-bar hasta que se haber obtenido la solución del problema.

3.2. Oscilador Armónico bidimensional anísotropico

Otro ejemplo instructivo es considerar la bidimensional oscilador armó-nico anísotrópico. Si dejamos que m sea la masa del cuerpo oscilante y kx y

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ky son las constantes elasticas en las direcciones x e y, respectivamente, elhamiltoniano es

H = E = 12m

[p2x + p2

y +m2ω2xx

2 +m2ω2yy

2]

Dado que las coordenadas y momentos pueden ser separados en dosgrupos distintos, la función principal puede ser escrita como una suma de lafunción característica de cada variable.

S(x, y;αx, αy; t) = Fx(x, αx) + Fy(y, αy)− αt (31)

donde α = α(αx, αy) es una constante que las αx y αy de alguna manera.Sea W = Fx + Fy, la ecuación de Hamilton-Jacobi asume la forma

12m

[(∂W

∂x

)2+(∂W

∂y

)2+m2ω2

xx2 +m2ω2

yy2]

= α (32)

Dado que las variables son separables, la parte y de la ecuación. (32)debe ser igual a una constante, lo que llamamos αy, por lo

12m

[(∂W

∂y

)2+m2ω2

yy2]

= αy (33)

sí sustituimos el (33) en (32) tenemos

12m

[(∂W

∂x

)2+m2ω2

xx2 + 2mαy

]= α

12m

[(∂W

∂x

)2+m2ω2

xx2]

= α− αy = αx (34)

Lo que muestra la simetría de las ecuaciones (33) y (34). Estas ecuacionestienen una solución análoga a las ecuaciones. (25) y (27), de modo que

x =√

2αxmω2

x

sin (βx + ωxt) y =√

2αymω2

y

sin (βy + ωyt)

px =√

2mαx cos(βx + ωxt) py =√

2mαy cos(βy + ωyt) (35)

donde los βi’s son constantes de fase y la energía total está dada por

E = α = αx + αy

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3.3. Oscilador armónico bidimensional isotrópico

Como un tercer ejemplo ilustrativo de la teoría de Hamilton-Jacobi,dconsideraremos de nuevo el oscilador armónico bidimensional pero de ma-nera isotrópica, asi que k = kx = ky y ω = ωx = ωy. Y usilizaremos coorde-nadas polares para escribir el hamiltoniano

x = r cos θ r =√x2 + y2

y = r sin θ θ = arctan yx

(36)px = mx py = my

pr = mr pθ = mr2θ

Entonces

p2x = m2x2 = m2(r cos θ − rθ sin θ)2 = m2(r2 cos2 θ + r2θ2 sin2 θ − 2rrθ cos θ sin θ)p2y = m2y2 = m2(r sin θ + rθ cos θ)2 = m2(r2 sin2 θ + r2θ2 cos2 θ + 2rrθ cos θ sin θ)

por lo tanto

p2x + p2

y = m2r2 +m2r2θ2 = p2r + p2

θ

r2

El hamiltoniano ahora escribe como

E = 12m

[p2r + p2

θ

r2 +m2ω2r2]

(37)

donde tenemos una coordenada ciclica que es θ. La función de principalpuede escribise de la forma

S(r, θ, αr, αθ) = Wr(r, α) +Wθ(θ, αθ)− αtS(r, θ, αr, αθ) = Wr(r, α) + θαθ − αt (38)

donde, como veremos más adelante, una coordenada cíclica qi siempre tieneuna función característica de la forma Wqi = qiαi. El momento canónico pθasociado con la coordenada cíclica, θ, se calcula desde la función generatriz.

pθ = ∂Wθ

∂θ= αθ

tiene un valor constante, como se esperaba.

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Cuando este pθ es sustituido en las ecuaciones (39) y (38), Wr(r, α)satisface la ecuación de HJ:

12m

(∂Wr

∂r

)2+ α2

θ

2mr2 + 12mω

2r2 = α (39)

Para encontrarWr debemos hacer el siguiente cambio de variable para poderresolver la integral

U = mω2√α2 − α2

θω2

(r2 − α2

θ

2mα

)+ α2

θω2 − 2α2

4α2√mω2/qα

Pero en lugar de resolver esta ecuación directamente, vamos a escribir lasolución de coordenadas cartesianas para estas condiciones

x =√

2αmω2 sin (β + ωt) y =

√2αmω2 sin (ωt)

px =√

2mα cos(β + ωt) py =√

2mα cos(ωt)

la fase total la estamos expresando solo en x ya que nos interesa solo su dife-rencia de fase, no sus fases ”absolutas”. y desde estos obtenemos la soluciónen polares,

r =√x2 + y2 =

[ 2αmω2 sin2(β + ωt) + 2α

mω2 sin2(ωt)] 1

2

r =√

2αmω2

√sin2(β + ωt) + sin2(ωt) (40)

θ = arctan( sin(ωt)

sin(β + ωt)

)Tenemos dos casos límite.

1. El caso lineal cuando β = 0, para el cual

r =√

4αmω2 sin(ωt) pr = mr =

√2mα cos(ωt) (41)

θ = π

4 pθ = mr2θ = 0

Donde el movimiento en el plano xy es diagonal.

2. El otro caso extremo es aquel donde β = π2 asi que3

r = r0 =√

2αmω2 pr = mr = 0 (42)

θ = ωt pθ = mr20ω

3sin(ωt+ π/2) = sinωt cosπ/2 + sinπ/2 cosωt = cosωt

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El movimiento en un gráfico xy para este caso límite es un círculo deradio r0.

Para otros valores de β (0 < β < π/2), la órbita en el espacio de coor-denadas es una elipse.

Figura 1: Esfera Celeste

4. Ecuación de Hamilton-Jacobi para la funcióncaracterística de Hamilton

Fue posible integrar la ecuación de Hamilton-Jacobi para el osciladorarmónico simple principalmente porque S se puede separar en dos partes,una que implica solo q y la otra solo el tiempo. Esta separación de variablesmediante la función característica de Hamilton W (q, a) (Ec.(14)) siempre esposible mientras que el viejo hamiltoniano no tenga dependencia temporalexplícita. Esto nos da la ecuación de Hamilton-Jacobi restringida

H(q; ∂S∂q

) + ∂S

∂t= 0

H(q, ∂W∂q

) = α1 (43)

Una de las constantes de integración, llamemosla α1, es por lo tanto igualal valor constante de H. (H Normalmente será la energía, pero esto no tieneque ser siempre asi).

LLa función característica de W Hamilton independiente del tiempo,aparece aquí como una parte de la función generatriz de S cuando H esconstante. También puede demostrarse queW genera por separado su propia

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transformación conónica con propiedades muy diferentes de las generadaspor S.

Para ello consideremos una transformación canónica en que los nuevosmomentos son todos constantes del movimiento αi, y donde en particularα1, es la constante de movimiento de H.

si denotamos la función generatriz para esta transformación W (q, p),entonces las ecuaciones de transformación son

pi = ∂W

∂qi

Qi = ∂W

∂Pi= ∂W

∂αi(44)

Mientras que estas ecuaciones se asemejan a las Ecs. (7) y (8), respecti-vamente para la función principal de Hamilton,S. La situación ahora paradeterminar la naturaleza de W es que H es el nuevo momento canónico α1

H(qi, pi) = α1

Usando las ecuaciones (44), este requisito se convierte en la ecuacióndiferencial parcial:

H(q, ∂W∂q

) = α1

que se idéntica a la ecuación (43). Dado que W no depende del tiempo,el nuevo y el viejo hamiltoniano son iguales, se deduce que K = H = α1

W es la función característica de Hamilton por lo tanto genera una trans-formación canónica donde todas las nuevas coordenadas son cíclicas. Se haseñalado en la introducción de este capítulo que cuando H es una constantedel movimiento, una transformación de esta naturaleza resuelve el problemamecánico relacionado, y la integración de las nuevas ecuaciones de movi-miento es entonces trivial. Las ecuaciones canónicas para Pi, de hecho, essimplemente repetir la afirmación de que el conjugado de una coordenadacíclica es una constante de movimiento:

Pi = − ∂K∂Qi

= 0 Pi = α1 (45)

Ya que el nuevo hamiltoniano, K,depende sólo uno de los momentos αi,las ecuaciones de movimiento para Qi son

Q1 = − ∂K∂α1

= 1 Qi = −∂K∂αi

= 0

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con las soluciones inmediatas

Q1 = t− β1 ≡∂W

∂α1Qi = βi ≡

∂W

∂αi(46)

La única coordenada que no es simplemente una constante de movimien-to es Q1, que es igual al tiempo de más una constante. Aquí tenemos otroejemplo de la relación conjugada entre el tiempo como una coordenada y elhamiltoniano como su momento conjugado.

La dependencia de W en las viejas coordenadas qi está determinada porla ecuación diferencial parcial (43), que al igual que la ecuación (3) tambiense conoce como la ecuación de Hamilton-Jacobi. Ahora habrán n constantesde integración en la solución completa, pero una vez más una de ellas debeser simplemente una constante aditiva.

Los n−1 constantes independientes que quedan, α2, ..., αn, junto con α1se pueden tomar como los nuevos momentos canónicos constantes.

Si evaluamos en la primera mitad de las ecuaciones (44) podemos rela-cionar las n constantes αi con los valores iniciales de qi y Pi. Por último lasecuaciones (45) y (46) se pueden resolver y encontrar qi como una funciónde αi, βi y el tiempo t, encontrando así la solución del problema.

Notemos que en las n− 1 Ecs. (46) que no implican el tiempo, podemoselegir uno de los qi’s como una variable independiente, y el resto de coorde-nadas se podrá expresar en términos de la misma mediante la resolución desólo estas ecuaciones independientes del tiempo.

No siempre es necesario tener α1 y las constantes de integración de Wcomo los nuevos momentos canónicos constantes. De vez en cuando es con-veniente en lugar de utilizar un conjunto determinado de n funciones depen-dientes de los αi’s como los momentos transformados4. Designaremos estasconstantes como γi, y la función característica W se puedrá expresar entérminos de qi y γi como las variables independientes. El hamiltoniano engeneral, depende de más de uno de estos γi’s y las ecuaciones de movimientopara Qi

Qi = ∂K

∂γi= vi(γi)

donde los vi’s son funciones de γi. En este caso, todas las nuevas coordenadasson funciones lineales de tiempo:

Qi = vi(γi)t− βi (47)4De manera analoga a lo que se hizo en la sección 2.

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La forma que tiene W no se puede determinar, a priori, sin que integrarcompleta la ecuación de Hamilton-Jacobi. Los procedimientos involucradosen la solución de un problema mecánico por la función principal o la funcióncaracterística de Hamilton pueden resumirse de la siguiente forma:

1. Estos métodos de soluci’on son aplicables cuando el hamiltoniano

H(q, p, t) H(q, p)

2. Buscamos tranformaciones canonicas a las variables.

Todas las coordenadas Todos los momentosy momentos Qi y Pi son Pi son constantes.constantes de movimiento.

3. Para que se cumpla lo antior es sufieciente que:

Deben ser ciclicasK = 0 todas las coordenadas

K = H = α1

4. Con estas condiciones, las ecuaciones de movimiento quedan:

Qi = ∂K∂Pi

= 0 Qi = ∂K∂Pi

= vi

Pi = − ∂K∂Qi

= 0 Pi = − ∂K∂Qi

= 0

5. Con las soluciones:

Qi = βi Qi = vit+ βi

Pi = γi Pi = γi

que deben cumplir lo siguiente,

6. La función generación debe generar el hamiltoniano que queremos:

Función principal Función caracteristicaS(q, P, t) W (q, P )

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7. Que satisfacen la ecuación de Hamilton-Jacobi

H(q, ∂S∂q , t) + ∂S∂t = 0 H(q, ∂W∂q )− α1 = 0

8. Una solución completa a estas ecuaciones contiene:

n constantes de integración n− 1 constantes de integraciónno triviales alpha’s no triviales, que con α1 son un

conjunto de n constantes independientes.

9. Los nuevos momentos constantes se pueden elegir como cualquiera dela n funciones de la n constantes de integración

Pi = γi(α1, ..., αn) Pi = γi(α1, ..., αn)

10. La solución completa de la ecuación HJ puede considerarse como fun-ción de los nuevos momentos:

S = S(qi, γi, t) W = W (qi, γi)

En particular las γi’s pueden ser iguales a αi

11. La mitad de las ecuacionesde transformación

pi = ∂S∂qi

pi = ∂W∂qi

12. la otra mitad de las ecuaciones

Qi = ∂S∂γi

= βi Qi = ∂W∂γi

= vit+ βi

Pueden ser resueltos para qi en terminos de t y las 2n constantes βi yγi

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La solución al problema se completa entonces mediante la evaluación deestas 2nconstantes en términos de los valores iniciales q0i y p0i.

Cuando el hamiltoniano no depende del tiempo explícitamente, ambosmétodos son adecuados, y las funciones generadoras se relacionan entre síde acuerdo con la fórmula

S(q, P, t) = W (q, P )− α1t

5. Separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi

Podría parecer de la sección anterior que poca ventaja práctica se haadquirido a través al utilizar el procedimiento de Hamilton-Jacobi. Pero enla práctica, la técnica de Hamilton-Jacobi se convierte en una herramientacomputacional útil sí podieramos separar todas las variables.

Una coordenada qj"se dice que es separable en la ecuación de Hamilton-Jacobi cuando (digamos) la función principal de Hamilton se puede separaren dos partes aditivas, una de las cuales depende sólo de la coordenada qj yel otro es totalmente independiente de qj . Por lo tanto, si q1 se toma comouna coordenada separables, entonces ela función principal debe ser

S(q1, ..., qn;α1, ..., αn; t) = S1(q1;α1, ..., αn; t) ++ S′(q2, ..., qn;α1, ..., αn; t) (48)

y la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede dividir en dos ecuaciones,una para S1 y la otra para S′. Similarmente diremos que la ecuación deHamilton-Jacobi es completamente separable (o simplemente, separable) sitodas las coordenadas en el problema son separables. Una solución para lafunción principal de Hamilton es

S =∑

Si(qi;α1, ..., αn; t) (49)

y tendremos n ecuaciones de HJ de la forma

Hi(qj ;∂Sj∂qj

α1, ..., αn; t) + ∂Sj∂t

= 0 (50)

Si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, cada Si es dela forma

Si(qj ;α1, ..., αn; t) = Wi(qj ;α1, ..., αn)− αit (51)

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que entregan n ecuaciones restringidas de Hamilton-Jacobi,

Hi(qi;∂Wi

∂qj;α1, ..., αn) = α1 (52)

(No hay sumatoria de las Ecs. (50) a (52))Las funciones de Hi en las ecuaciones (50) y (52) pueden o no ser hamil-

tonianos, y αi puede ser una energía, un momento angular al cuadrado, oalguna otra cantidad dependiendo de la naturaleza de qi. Vamos a demostraresto con el ejemplo en el problema de Kepler en la siguiente sección.

Las constantes αi se conocen ahora como las constantes de separación.Cada una de las ecuaciones (52) implica sólo una de las coordenadas qi y laderivada parcial correspondiente deWi con respecto a qi. Por lo tanto, son unconjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de una forma particularmentesimple. Dado que las ecuaciones son sólo de primer orden, siempre es posiblereducir a cuadraturas, sólo tenemos que resolver la derivada parcial de Wi

con respecto a qi y luego integrar sobre qi. En la práctica, cada Hi sólocontiene uno o como mucho un par de α’s. Tambián existen casos en los quesolo se tienen r varialbes separables, quedando n−r variables no separables.

Sin embargo, casi todas las aplicaciones útiles del método de Hamilton-Jacobi implican hamiltonianos no dependientes explícitamente del tiempo,por lo que t es una variable separable.

6. coordenadas ignorables y el problema de KeplerPodemos demostrar fácilmente que cualquier coordenada cíclica o igno-

rable es separable. Supongamos que la coordenada cíclica es q1, el momentoconjugado P1 es una constante, digamos γ. La ecuación de Hamilton-Jacobipara W es luego

H(q2, ..., qn; γ; ∂W∂q2

, ...,∂W

∂qn) = α1 (53)

Si intentamos una solución separada de la forma

W = W1(q1, α) +W ′(q2, ..., qn;α) (54)

entonces es obvio que la ecuación (53) implica únicamente la funciónseparada W ′, mientras que W1 es la solución de la ecuación

p1 = γ = ∂W1∂q1

(55)

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Por lo tanto γ es la constante de separación,α1, y la solución obvia paraW1 (sin considerar la constante aditiva) es

W1 = γq1

y W está dado por

W = W ′ + γq1 (56)

Existe una semejanza evidente entre la ecuación (56) y la forma queadopta S cuando H no es una función explícita del tiempo, Eq. (43). Enefecto, ambas ecuaciones pueden ser consideradas como el resultado en cir-cunstancias similares. Hemos visto que t puede considerarse en cierto sentidocomo una coordenada generalizada con H como su momento canónico. Si Hse conserva, entonces t se puede tratar como una coordenada cíclica.

Si de las n coordenadas, m no son cíclicos (es decir, que aparecen demanera explícita en el hamiltoniano), entonces el hamiltoniano es de la for-ma H(q1, ..., qm;α1, ..., αn; t). La función característica entonces se puedeescribir como

W (q1, ..., qm;α1, ..., αn) =m∑i=1

Wi(qi;α1, ..., αn) +n∑

i=m+1αiqi

y tenemos m ecuaciones de Hamilton-Jacobi por resolver:

H(q1,∂W1∂q1

;α2, ..., αn) = α1 (57)

Como se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordenpara la variable independiente q1, se puede reducir de a cuadraturas y esfacil obtener las soluciones completas de W .

En general, una coordenada qj puede separarse si el qj y su momentoconjugado pj se pueden “separar” en el hamiltoniano en alguna funciónf(qj , pj) que no contenga ninguna de las otras variables. Si probamos conuna solución de la forma

W = Wj(qj , α) +W ′(qi, α)

donde qi representa el conjunto de todos q’s menos a qj , entonces laecuación de Hamilton-Jacobi aparece como

H(qi,∂W ′

∂qi; f(qj ,

∂Wj

∂qj)) = α1 (58)

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En principio la ecuación anterior podrá invertirse poder encontrar f :

f(qj ,∂Wj

∂qj) = g(qi,

∂W ′

∂qi, α1) (59)

Notemos que f solo depende de qj , g en cambio es independiente de qj .Por lo tanto, la ecuación (59) es cierta sólo si ambos lados son iguales a lamisma constante, independiente de todos q:

f(qj ,∂Wj

∂qj) = αj

g(qi,∂W ′

∂qi) = αj (60)

y la separación de la variable se ha logrado.Tenga en cuenta que la separabilidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi

depende no sólo en el problema físico, sino que también en la elección delsistema de coordenadas generalizadas que se emplea. Por ejemplo, el pro-blema de fuerza central de un cuerpo es separable en coordenadas polares,pero no en coordenadas cartesianas. Para algunos problemas, no es posibleseparar completamente la ecuación de Hamilton-Jacobi, el famoso problematres cuerpos es un ejemplo de ello. Por otra parte, en muchos de los proble-mas básicos de mecánica y física atómica la separación es posible en más deun conjunto de coordenadas. En general, es factible resolver la ecuación deHamilton-Jacobi en forma cerrada sólo cuando las variables son totalmenteseparables. Por lo tanto, el ingenio juega un papel importante a la hora deresolver un problema.

Un criterio simple se puede dar para indicar que los sistemas de coor-denadas llevan a ecuaciones de Hamilton-Jacobi separables para cualquierproblema particular. En el caso de sistemas de coordenadas ortogonales,las condiciones de Staeckel han demostrado ser útiles. Estos proporcionancondiciones necesarias y suficientes para la separabilidad en determinadascircunstancias.

6.1. Condiciones de Staeckel para la separación de las ecua-ciones de Hamilton-Jacobi

1. El hamiltoniano es conservativo.

2. El lagrangeano no es mas que una funcion cuadratica de las velocidadesgeneralizadas, por lo que el hamiltoniano tiene la forma:

H = 12(~p− ~a)T−1(~p− ~a) + V (q)

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donde, ~p = T ~q + ~a, son matrices columna, T es una matriz cuadradaque representa el factor de la energía cinetica.

3. Los elementos ai del vector ~a dependes solo de su coordenada corres-pondiente ai = ai(qi)

4. El potencial como una sumatoria de la forma

V (q) =∑ Vi(qi)

Tii(61)

5. Considere una matriz φ−1, con inverso φ donde sus elementos son

δijφ−1 = 1

Tii(62)

Donde (∂Wi

∂qi− ai

)= 2δikφkjγj

Con γ un vector constante desconocido. Si los elementos de la dia-gonal de φ y φ−1 dependen sólo de la coordenada asociada, es decir,φii y φ−1

ii son constantes o funciones de qi,podemos asegurar que lascondiciones1-4 se cumplen, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi es sepa-rable.

Como hemos supuesto que las coordenadas generalizadas qi forman unsistema de coordenadas ortogonales, la matriz de T es diagonal. Entonces lamatriz inversa T−1, también es diagonal, y si se trata de una partícula en uncampo de fuerzas externas, los elementos de la diagonal son los siguientes:

φ−1ii = 1

Tii= 1m

(63)

por lo que se cumple la quinta condición de Stackel.Si se cumplen las condiciones de Staeckel, entonces la función caracte-

rística de Hamilton es completamente separable:

W (q) =∑

Wi(qi)

donde las ecuaciones Wi satisfacen(∂Wi

∂qi− ai

)2= −2Vi(qi) + 2φijγj (64)

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donde γj son constantes de integración (sólo existe suma sobre el índicej).

Si bien estas condiciones parecen misteriosas y complicadas, su apli-cación suele ser bastante simple. Como una ilustración de algunas de lasideas desarrolladas aquí acerca de separabilidad, discutiremos la ecuaciónde Hamilton-Jacobi para una partícula que se mueve en una fuerza centralen coordenadas polares. El problema será generalizado a las leyes potencialesarbitrarias, para proporcionar una aplicación de las condiciones de Staeckel.

6.2. Fuerzas centrales

6.2.1. separabilidad de las variables en coordenadas polares

Consideremos en primer lugar el problema de la fuerza central en térmi-nos de las coordenadas polares (r,Ψ) en el plano de la órbita. El movimientose involucra sólo dos grados de libertad y el hamiltoniano tiene la forma

H =(P 2r

2m + P 2Ψ

2mr2

)+ V (r) (65)

Ψ es una coordenada cíclica, consecuentemente, la función característicade Hamilton es

W = W1(r) + αΨΨ (66)

donde αΨ es el momento angular conjugado constante de Ψ. La ecuaciónde Hamilton-Jacobi se convierte en(

∂W1∂r

)2+ α2

Ψr2 + 2mV (r) = 2mα1 (67)

donde α1 es la constante identificada como la energía total del sistema.Resolviendo la ecuación (66) para la derivada parcial de W1 obtenemos

∂W

∂r=(

2mα1 −α2

Ψr2 − 2mV (r)

) 12

entonces W es

W =∫dr

(2m(α1 − V )− α2

Ψr2

) 12

+ αΨΨ (68)

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Con esta forma de la función caracterśtica, las ecuaciones de transfor-mación (46) nos quedan

Q1 = t+ β1 = ∂W

∂α1=∫

mdr

(2m(α1 − V )− α2Ψ/r

2)12

Q2 = QΨ = βΨ = ∂W

∂αΨ=∫

αΨdr

r2(2m(α1 − V )− α2Ψ/r

2)12

+ Ψ (69)

La primera ecuación de (69) nos entrega a r como una función del t Lasegunda Ecucación de (69) nos proporcionar la ecuación de la órbita. Si lavariable de integración de esta última se cambia a u = 1/r, la ecuación sereduce a

Ψ = βΨ −∫

du2mα2

Ψ(α1 − V )− u

6.2.2. separabilidad de las variables en coordenadas esféricas

Como un ejemplo adicional de separación de variables, vamos a examinarel mismo problema la fuerza central, pero en coordenadas polares esféricas,es decir, olvidando nuestro conocimiento a priori de que las órbitas están enun plano. El hamiltoniano apropiado es:

H = 12m

(p2r + p2

θ

r2 +p2φ

r2 sin2 θ

)+ V (r) (70)

Si las variables de esta ecuación de Hamilton-Jacobi son separables, lafunción característica de Hamilton debe tener la forma

W = Wr(r) +Wθ(θ) +Wφ(φ) (71)

como φ es cíclica, entonces

Wφ(φ) = αφφ (72)

αφ es una constante de integración. En terminos de W , la ecuación deHamilton-Jacobi nos queda(

∂Wr

∂r

)2+ 1r2

[(∂Wθ

∂θ

)2+

α2φ

sin2 θ

]+ 2mV (r) = 2mE (73)

donde explicitamos directamente la constante de Hamilton con la ener-gía total E. Notemos que todas las funciones cuya dependencia es de θ, y la

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variableθ por sí sola, se han escrito en la expresión dentro de los corchetes.Asi que en este caso la ecuación de Hamilton-Jacobi, se ajusta a la expre-sión (58), y por los argumentos entregados allí esta cantidad debe ser unaconstante: (

∂Wθ

∂θ

)2+

α2φ

sin2 θ= α2

θ (74)

Finalmente, la dependencia de W en r está dada por el resto de la ecua-ción de Hamilton-Jacobi:(

∂Wr

∂r

)2+ α2

θ

r2 = 2m(E − V ) (75)

Las variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi son por lo tanto comple-tamente separables. Las ecuaciones (74) y (75) pueden reducirse fácilmentea cuadraturas que proporcionan al menos una solución para Wθ y Wr, res-pectivamente.

Notar que las constantes de integración α1, αθ, αφ tienen significadosfísicos directamente reconocibles. La cantidad αφ es el valor constante delmomento angular alrededor del eje polar (Ec. (44).):

αφ = pφ = ∂Wφ

∂φ(76)

Para identificar αθ utilizamos la ecuación (44) para volver a escribir laecuación (74) como

p2θ +

p2φ

sin2 θ= α2

θ

asi que el hamiltoniano (70) queda como

H = 12m

(p2r + α2

θ

r2

)+ V (r)

Si lo comparamos con la ecuación (65) que es el hamiltoniano en coorde-nadas polares en el plano de la órbita, se ve que αθ es igual αφ, la magnitudtotal del momento angular:

αθ = pΨ ≡ l (77)

y por supuesto alpha1 es E. De hecho, las tres ecuaciones diferencia-les para las partes de W pueden ser vistos como ejemplos del teorema de

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conservación. La ecuación (75) dice que el componente z del vector de mo-mento angular, ~L, se conserva, mientras que la ecuación (74) establece laconservación de la magnitud, l, del momento angular. tambien la Ec. (75)nos muestra la connservación de la enegía.

En este sencillo ejemplo, se muestra el potencial y la elegancia del métodode Hamilton-Jacobi. Pocos pasos son suficientes para obtener la dependenciade r en t y la ecuación de la órbita, ecuaciones (69). Las cantidades que seconservan del problema de fuerza central aparecen automáticamente. Laseparación de variables para el problema de la fuerza central también ocurreen otros sistemas de coordenadas, por ejemplo, coordenadas parabólicas,y las cantidades conservadas aparecen allí en formas apropiadas para esascoordenadas en particular.

Finalmente, podemos emplear las condiciones de Staeckel para encontrarla forma más general de un potencial escalar V para una sola partícula parael que la ecuación de Hamilton-Jacobi sea separable en coordenadas polaresesféricas. La matriz φ de las condiciones de Staeckel depende sólo del sistemade coordenadas y no del potencial. Puesto que la ecuación de Hamilton-Jacobi es separable en coordenadas esféricas para al menos un potencial, esdecir, el potencial de fuerza central,la matriz φ existe. La forma específicade φ no es necesaria para responder a nuestra pregunta. Además, puesto quepor hipótesis ~a es cero, lo único que debemos hacer es aplicar la ecuación(62) para encontrar la forma separable más general de V . A partir de laenergía cinética, los elementos de la diagonal de T son

Trr = m, Tθθ = mr2, Tφφ = mr2 sin2 θ

Desde la Eq.(62) se deduce que el potencial deseado debe tener la forma

V (q) = Vr(r) + Vθ(θ)r2 + Vφ(φ)

r2 sin2 θ(78)

Es fácil de verificar directamente que con este potencial de la ecuaciónde Hamilton-Jacobi es todavía completamente separable en coordenadas es-féricas.

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