CAPÍTULO 3

MEDIDAS DE POSICION

HAMLET MATA MATA 2008

OBJETIVO: Aplicar las características y propiedades de la media aritmética, la mediana, la moda, los cuartiles, percentiles como principales medida de tendencia central de una distribución de frecuencia de clase.

CONTENIDOS: Describir las propiedades de la media aritmética, la mediana, la moda, los cuartiles y los percentiles. Resolución de problemas aplicando el Spss13.0.

MEDIDAS DE POSICIÓN

El análisis estadístico de una serie de datos se elabora mediante el cálculo de diferentes parámetros y / o estadísticos. Después que los datos han sido reunidos y tabulados, se inicia el análisis con el fin de calcular un número único, que represente o resuma todos los datos. Por lo general, las frecuencias de los intervalos centrales de una serie de datos son mayores que el resto, ese número se le denomina medida de posición.

Las medidas de posición forman parte del conjunto de medidas descriptivas numéricas, entre las que se encuentran los parámetros y los estadígrafos. Una medida de posición es un número que se escoge como orientación para hacer mención a un grupo de datos.

Uno de los problemas fundamentales que presenta un análisis estadística, es el de buscar el valor más representativo de una serie de valores. El primer paso que hay que realizar para que se entienda una larga serie de valores u observaciones, es el de resumir los datos en una distribución de frecuencia; esto no es suficiente para fines practico, puesto que a menudo es necesario una sola medida descriptiva, y en especial cuando se requiere comparar dos o más serie estadísticas. Es necesario continuar el proceso de reducción hasta sustituir todos los valores observados por uno solo que sea representativo, de tal forma que permita una interpretación global del fenómeno en estudio; para que ese valor sea representativo debe reflejar la tendencia de los datos individuales de la serie de valores. Un valor o dato de la serie con estas características recibe el nombre de promedio, media o medida de posición, esto es debido a su ubicación en la zona central de la distribución. Las medidas de posición son de gran importancia en el resumen estadístico, ya que representan un gran número de valores individuales por uno solo.

El valor más representativo de un conjunto de datos por lo general no es el valor más pequeño ni el más grande, es un número cuyo valor se encuentra

en un punto intermedio de la serie de datos. Por lo tanto un promedio es con frecuencia un valor referido que representará la medida de posición de la serie de valores. Las medidas de posición se emplean con frecuencia como mecanismo para resumir un gran número de datos o cantidades con la finalidad de obtener un valor que sea representativo de la serie.

Las Principales Medidas de Posición son:

a) La Media Aritmética, b) La Mediana, c) La Moda, d) Los cuartiles, e) Los Deciles y f) Los Percentiles.

CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN

1. – Deben ser definidas rigurosamente y no ser susceptibles de diversas interpretaciones. 2. – Deben depender de todas las observaciones de la serie, de lo contrario no seria una característica de la distribución. 3. – No deben tener un carácter matemático demasiado abstracto. 4. – Deben ser susceptibles de cálculo algebraico, rápido y fácil.

SUMATORIA

En esta unidad y en las siguientes se utilizaran sumas de muchos términos, por lo cual es necesario introducir una notación denominada sumatoria, para

facilitar las sumas. La notación sumatoria implica el uso del símbolo , que no es otra cosa que la letra sigma mayúscula del alfabeto griego y que corresponde a la letra S de nuestro alfabeto. Siempre que se utilice el signo

se leerá “suma de o sumatoria de “.

Según, Leithold sumatoria se define así:

...........),.(.).1(.....).2(.).1(.).( nmyenterossonnymdondenFnFmFmFmFFn

mi

i

La ecuación de definición consiste de la suma de (n-m + 1) términos, donde el primer término se obtiene sustituyendo i por m en Fi, el segundo se obtiene remplazando i por (m+1) en Fi, y así sucesivamente, hasta alcanzar el último término al sustituir i por n en Fi. En la ecuación de sumatoria la letra m se le denomina límite inferior de la sumatoria y n se le llama límite superior de la sumatoria. El símbolo i se le denomina índice de la sumatoria. Ejemplos:

4321

4

1

XXXXXi

i . Observe que las notaciones colocadas arriba y

abajo del

signo sumatoria indican que solo deben ser sumados sucesivamente las primeras cuatro observaciones. También puede darse el siguiente caso:

76543

7

3

XXXXXXi

i . Se puede observar que las notaciones

colocadas arriba y abajo del signo sumatoria indican que solo deben ser sumados sucesivamente desde la tercera hasta la séptima observación.

Generalmente, con el objeto de simplificar más aun las formulas que permiten utilizar el símbolo sigma, se pueden suprimir los subíndices,

quedando el símbolo de sumatoria expresado de la siguiente manera: X. Esto se puede hacer cuando no hay ambigüedad al referirse a los diferentes valores que toma la variable X.

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

1. – La sumatoria de la suma de dos o más términos, es igual a La suma de las sumatorias separadas de los términos.

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

iii ZYXZYX1111

.

2. – L a sumatoria de la diferencia de dos o más términos, es igual a la diferencia de las sumatorias separadas de los términos.

.1111

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

iii ZYXZYX

3 – La sumatoria de una constante multiplicada por una variable, es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de la variable.

..............11

cualquiraconstanteunaesKdondeXKXKn

i

ii

n

i

4. – La sumatoria de una constante es igual a la constante multiplicada por el número de casos que indique el límite superior de la sumatoria.

............,1

cualquieraconstanteunaesKdondenKKn

i

Cuando se trabaja con el término sumatoria es bueno recomendar lo siguiente:

......,..111

2

11

2n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i YXYXyXX Ejemplos:

1.- Resolver las siguientes sumatorias, tomando en cuenta que:

2,..1,..1 321

2 XXXX i

23

1

3

1

2 )..,...)...i

i

i

i XbXa , c) 23

2

2 )1(i

iX

a) .6411)2()1()1( 2223

1

2

i

iX

b) .4)2(211)2()1()1( 222

23

1i

iX

c) .29254)5()2(1)2(1)1()1( 22222223

2

2

i

iX

2. – Exprese las siguientes operaciones utilizando la notación sumatoria: a) X1+ X2 + X3 +X4.

b) ....... 22

7

2

6

2

5 nXXXX

Estos problemas se resuelven así: 4

1

)......i

iXa . b) n

i

iX5

2 .

ASIGNACIÓN: Elabore con sus propias palabras un concepto de

medidas de posición y de ejemplos.

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética ( X ) o simplemente la media es el parámetro de posición de más importancia en las aplicaciones estadísticas. Se trata del valor medio de todos los valores que toma la variable estadística de una serie de datos. Por lo tanto, la medida posicional más utilizada en los estudios estadísticos viene a ser la media. Por su fácil cálculo e interpretación, es la medida de posición más conocida y más utilizada en los cálculos estadísticos. La media es el valor más representativo de la serie de valores, es el punto de equilibrio, es el centro de gravedad de la serie de datos. La media aritmética por lo

general se le designa con X .

La media aritmética de una serie de N valores de una variable X1, X2, X3; X4,.........Xn, es el cociente de dividir la sumatoria de todos los valores que toma la variable Xi, entre el número total de ellos. La formula se puede expresar así:

N

X

X

n

1i

i

.

Desviaciones o desvíos.- Son diferencias algebraicas entre cada valor de la serie o cada punto medio y la media aritmética de dicha serie, o un valor cualquiera tomado arbitrariamente. Los desvíos o desviación se designan con la letra di.

Dado una serie de valores X1, X2, X3, .......Xn , se llama desvío a la diferencia entre un valor cualquiera Xi de la serie y un valor indicado k de esa misma serie. Si el valor indicado k de la serie corresponde precisamente a la media aritmética de esos valores dados, se dice entonces que los desvíos son con

respecto a la media aritmética. En símbolo: ).( XXd ii

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

1. – La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es igual a

cero. .0id

2. – La suma de las desviaciones al cuadrado de los diversos valores con respecto a la media aritmética es menor que la suma de las desviaciones al cuadrado de los diversos valores con respecto a cualquier punto K, que no sea la media aritmética.

3. 2

XX i 2

KX i .

4. – La media aritmética total o conjunta de dos o más serie de datos, se puede calcular en función de las medias aritméticas parciales y del número de datos de cada una de ellas, mediante la siguiente fórmula:

,...............

3

3

2

2

1

1332211

k

kkkt

n

X

n

X

n

X

n

X

N

XnXnXnXnX

Donde:

,......321 knnnnN en esta n1, n2, n3 y nk es el número de datos de

cada serie.

Además, sonXyXXX k .,.....,.,.,....,. 3.,21 las medias de cada una de las series.

4 – La media del producto de una constante por una variable, es igual al producto de la constante por la media de la variable.

.XKN

XK

N

KXX

ii

5 – La media de la suma de una constante más una variable, es igual a la media de la variable más la constante.

6 .KXn

K

n

X

n

KXX

ii

KX i ., de la misma forma se

cumple esta propiedad para la resta.

CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

1. – El valor de la media depende de cada una de las medidas que forman la serie de datos, y se halla afectada excesivamente por los valores extremos de la serie de datos. 2. – La media se calcula con facilidad y es única para cada caso y permite representar mediante un solo valor la posición de la serie de valores. 3. – La media es una medida de posición que se calcula con todos los datos de la serie de valores y es susceptible de operaciones algebraicas.

CÁLCULO DE LA MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la media de datos no agrupados en clases se aplica la siguiente fórmula:

N

XX

i

. En donde N es el número total de datos y iX son los valores

de la variable.

Ejemplo:

1. – Calcule la media aritmética de los siguientes valores:

14.,.11.,9,.8,.7,.5iX

.96

54

6

14119875

N

XX

i

Por lo tanto la media es 9.

CÁLCULO DE LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Cuando se construye una distribución de frecuencia, los datos se agrupan en clases definidas por unos límites. Cuando se trabaja con la distribución de frecuencia se parte del supuesto de que todos los datos comprendidos en un intervalo de clase se distribuyen uniformemente a lo largo de este, entonces

se puede tomar la marca de clase o punto medio ( X ) del intervalo como adecuada representación de los valores que conforman el mencionado

intervalo. El punto medio se designa con la letra X . Para calcular la media en estas condiciones se pueden utilizar tres métodos: El método directo o largo y dos métodos abreviados.

MÉTODO DIRECTO

Este método se le conoce también como método largo; el mismo resulta demasiado engorroso cuando las magnitudes de los puntos medios o de las frecuencias de clase son muy grandes, debido a que los cálculos son demasiados extensos. Los pasos a seguir para calcular la media con este método son los siguientes:

1. – Se agrupan los datos en clases y se llevan a una columna, se calculan los puntos medios de cada clase y se colocan en sus respectivas columnas, se determinan las frecuencias de cada clase y se ubican en sus respectivas columnas. 2. – Se multiplican los puntos medios de cada clase por sus respectivas frecuencias, luego se obtiene la sumatoria de las frecuencias (fi) multiplicadas por el punto medio

( X ) así: ii Xf .

3. – Luego se calcula la media aritmética aplicando la formula:

NDondeN

Xf

Nf

XfX

i

i

ii.....

es igual al número total de datos. Ejemplo:

1.-Calcule la media de la siguiente distribución de frecuencia correspondiente al peso en Kg de un grupo de obreros. Realice los cálculos respectivos para completar el siguiente cuadro.

CLASES if

75-------79 20

80-------84 40

85-------89 60

90-------94 100

95 ------99 140

if N =360

CLASES X if Xf i

75-------79 77 20 1540

80-------84 82 40 3280

85-------89 87 60 5220

90-------94 92 100 9200

95 ------99 97 140 13580

TOTAL if N =360

ii Xf 32820

Aplicando la formula se tiene:

.17.91360

32820

N

XfX

ii

MÉTODOS ABREVIADOS

Los métodos abreviados para calcular la media son preferibles en la mayoría de los casos, especialmente cuando el número de clases de las distribuciones de frecuencias son grandes. Es un método fácil de aplicar. Existe un método abreviado que se utiliza para cualquier tipo de distribución de frecuencia sin importar si tiene o no intervalos constantes de clase y hay otro que se utiliza solamente cuando en la distribución el intervalo de clase es constante, en esta cátedra se analizará el primero.

Si se selecciona un punto medio ( X ) de la distribución de frecuencia que sea diferente de la media aritmética de esa, entonces la suma algebraica de

las desviaciones ( id ) con respecto al valor seleccionado será diferente de

cero. Si la suma algebraica de las desviaciones es dividida por el número de datos totales (N) de la serie y el cociente resultante es sumado al valor seleccionado, el resultado final será igual al de la media aritmética de la serie. Este método permite ahorrar una considerable cantidad de tiempo cuando en una serie de valores el conjunto de datos es grande. La media seleccionada arbitrariamente o media imaginaria se le designará con la letra A y los desvíos di vendrán a ser la desviación de cada valor de la serie con respecto a la media imaginaria A. La fórmula para este caso será:

N

dfAXo

N

AXfAX

iiii.......

)(

La fracción N

df ii se le denomina factor de corrección, A es la media

arbitraria o supuesta.

El factor de corrección, será positivo o negativo según que A sea menor o mayor que la media aritmética de la serie de valores.

PASOS PARA APLICAR EL MÉTODO ABREVIADO

1. – Se organizan los datos de la serie en clases con sus respectivas frecuencias (fi), los mismos se colocan en columnas con sus respectivos

puntos medios ( iX ).

1. – Se escoge un punto medio cualquiera de la distribución, el cual será una media imaginaria que se le denominara A, esta deberá ser lo más central

posible para que los cálculos se hagan más fácil, se calculan los di de los puntos medios de la distribución con respecto a esa media imaginaria,

aplicando la formula: )( AXd ii , los mismo se colocan en su columna

respectiva.

3 – Sé efectúan los productos ii df de cada clase y al final se calcula la

sumatoria de estos productos aplicando la formula: iidf .

4 – Finalmente se calcula la media aplicando la formula: N

dfAX

ii.

1.-Dada la siguiente distribución de frecuencia, correspondiente al peso en Kg de un grupo de obreros, calcule la media aritmética, aplicando el método abreviado.Realice los cálculos respectivos para completar el siguiente cuadro.

En este caso se tomará como media arbitraria el punto medio, A = 87.0.

CLASES if

75------79 20

80------84 40

85------89 60

90------94 100

95------99 140

TOTAL N = 360

CLASES iX if ( )AX i

di ii df

75------79 77 20 87 – 77 = - 10 - 200

80------84 82 40 87 – 82 = - 5 - 200

85------89 87 60 87 – 87 = 0 0

90------94 92 100 87 – 92 = 5 500

95------99 97 140 87 – 97 = 10 1400

N = 360 1500iidf

Ahora se aplica la formula así: .17.91360

150087

N

dfAX

ii Como se

puede observar la media obtenida es idéntica a la obtenida por el método largo. El estudiante puede realizar este problema utilizando cualquier punto medio de la distribución, se le deja como practica para que se ejercite con este método, siempre obtendrá el mismo resultado utilizando cualquiera media imaginaria diferente a la utilizada en la resolución de este problema.

2 – Calcule la media aritmética de la siguiente distribución aplicando el método abreviado. Realice los cálculos respectivos para completar el siguiente cuadro.

CLASES if

50------54 5

55-----59 10

60-----64 20

65-----69 40

70-----74 100

75-----79 38

80-----84 22

85-----89 9

90-----94 6

Totales N = 250

Para calcular la media en este caso sé escogió como media imaginaria A = 72, por ser este el punto medio más céntrico de la serie, se pudo haber tomado otro punto medio diferente de este y el resultado hubiese sido el mismo. Ahora se aplica la formula:

CLASES iX if ( )AX i

di ii df

50------54 52 5 72 – 52 = - 20 - 100

55-----59 57 10 72 – 57 = -15 - 150

60-----64 62 20 72 – 62 = -10 - 200

65-----69 67 40 72 – 67 = -5 - 200

70-----74 72 100 72 – 72 = 0 0

75-----79 77 38 72 – 77 = 5 190

80-----84 82 22 72 – 82 = 10 220

85-----89 87 9 72 – 87 = 15 135

90-----94 92 6 72 – 92 = 20 120

TOTALES N = 250 15iidf .

06.7206.072250

1572

N

dfAX

ii. El estudiante hará como

ejercicio el cálculo de la media con los restantes puntos medios de la distribución de frecuencia.

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a la medida de

posición LA MEDIA ARITMÉTICA, los pasos para su cálculo y de por lo menos un ejemplo.

LA MEDIANA

La mediana (Md) es una medida de posición que divide a la serie de valores en dos partes iguales, un cincuenta por ciento que es mayor o igual a esta y otro cincuenta por ciento que es menor o igual que ella. Es por lo tanto, un parámetro que está en el medio del ordenamiento o arreglo de los datos organizados, entonces, la mediana divide la distribución en una forma tal que a cada lado de la misma queda un número igual de datos.

Para encontrar la mediana en una serie de datos no agrupados, lo primero que se hace es ordenar los datos en una forma creciente o decreciente y luego se ubica la posición que esta ocupa en esa serie de datos; para ello hay que determinar si la serie de datos es par o impar. Si el número N de datos es impar, entonces la posición de la mediana se determina por la formula:

2

1Np

Md, luego el número que se obtiene indica el lugar o posición que

ocupa la mediana en la serie de valores, luego la mediana será el número que ocupe el lugar de lo posición encontrada. Para obtener la posición de la mediana en una serie de datos no agrupados, en donde el número N de

datos es par, se aplica la formula 2

NPMd El resultado obtenido, es la

posición que ocupara la mediana, pero en este caso se ubica la posición de la mediana por ambos extremos de la serie de valores y los dos valores que se obtengan se le saca la media y esta será la mediana buscada, por lo tanto la mediana, en este caso, es un número que no se encuentra dentro de la serie de datos dados. Ejemplos:

1– Sean los siguientes datos, 5, 12, 7, 8, 10, 6, y 9, los años de servicios de un grupo de trabajadores. Determine la mediana. Lo primero que se hace es ordenar los datos en forma creciente o decreciente; luego se aplica la

formula 2

1NPMd , para ubicar la posición de la mediana. Los datos

ordenados quedaran así: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12. La posición .42

17Mdp

Esto indica que la mediana ocupa la posición 4 en la serie de valores y por lo tanto esa posición corresponde a los números 8 y 9 que en este caso ocupan la posición por la izquierda y por la derecha, por lo tanto la Md viene a ser la

semisuma de ambas posiciones 5.82

98en este caso 8.5 es la mediana

buscad, y esto es así, ya que el número 8.5 divide la serie de valores en dos partes iguales, una mitad que es mayor que la mediana y otra mitad que es menor que esta.

Cuando los valores de los datos brutos de un conjunto de datos se agrupan en una distribución de frecuencia de clase, cada valor pierde su identidad, por tal motivo la mediana obtenida de una distribución de frecuencia de datos puede no ser la misma que la mediana obtenida de los datos sin arreglar en clases, pero el resultado será una aproximación. Cuando se obtiene la mediana para datos agrupados se utiliza el método de interpolación. La interpolación parte del supuesto de que los datos de cada intervalo de la distribución están igualmente distribuidos.

PASOS PARA DETERMINAR LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS

1. – Se elabora la tabla de frecuencia de datos con sus diferentes intervalos de clases, se ubican las frecuencias fi y se calculan las frecuencias acumuladas Fa de esa distribución.

2. – Se determina la ubicación o posición de la mediana en el intervalo de

la distribución de frecuencia, mediante la fórmula 2

NPMd . El resultado

obtenido determinará la clase donde se encuentra ubicada la mediana, lo cual se conseguirá en la clase donde la frecuencia acumulada Fa sea igual o superior a este resultado. Luego

se aplica la formula: ,2 Icfm

FaaN

LiMd en esta fórmula Md es la

mediana, Li es el límite real inferior de la clase donde se encuentra ubicada la mediana, Faa es el valor de la frecuencia acumulada anterior a la clase donde se encuentra la mediana, fm es el valor de la frecuencia fi de la clase donde se encuentra la mediana, Ic es el valor o longitud del intervalo de clase y N es el número total de datos de la distribución en estudio.

1.- Dada la siguiente distribución de frecuencia referida a las horas extras laboradas por un grupo de obreros. Calcule la mediana. Realice los cálculos respectivos para completar el siguiente cuadro.

N° de horas Extras

Obreros

CLASES fi

55------59 6

60------64 20

65------69 18

70------74 50

75------79 17

80------84 16

85------89 5

N = 132

Cuadro con las frecuencias acumuladas:

N° de horas Extras

Obreros Obreros

CLASES fi fa

55------59 6 6

60------64 20 26

65------69 18 44

70------74 50 94

75------79 17 111

80------84 16 127

85------89 5 132

N = 132

Ahora se aplica la formula: Icfm

FaaN

LiMd 2

N = 132, ,662

132

2

N luego la mediana se encuentra en la clase 70----74,

por lo tanto el limite real inferior de esa clase es 69.5 = Li. La frecuencia fi de esa clase es 50 = fm , Faa = 44 y el Ic = 5. Aplicando la formula se tiene:

.70.712.25.695.50

225.695

50

44665.69Md

Luego la mediana de esa distribución es 71.70. Esto quiere decir que un 50 % de los obreros trabajaron horas extras por debajo de 71.70 horas y el otro 50 % trabajaron horas extras por encima de 71.70 horas.

CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIANA

* La mediana no es afectada por los valores extremos de una serie de valores, puesto que la misma no es calculada con todos los valores de la serie.

* La mediana no está definida algebraicamente, ya que para su cálculo no intervienen todos los valores de la serie.

* La mediana en algunos casos no se puede calcular exactamente y esto ocurre cuando en una serie de valores para datos no agrupados el número de datos es par, en este caso la mediana se calcula aproximadamente.

* La mediana se puede calcular en aquellas distribuciones de frecuencia de clases abierta, siempre y cuando los elementos centrales puedan ser determinados.

* La suma de los valores absolutos de las desviaciones de los datos individuales con respecto a la mediana siempre es mínima.

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a la medida de

posición LA MEDIANA, los pasos para su cálculo y de por lo menos un ejemplo.

LA MODA

La moda es la medida de posición que indica la magnitud del valor que se presenta con más frecuencia en una serie de datos; es pues, el valor de la variable que más se repite en un conjunto de datos. De las medias de posición la moda es la que se determina con mayor facilidad, ya que se puede

obtener por una simple observación de los datos en estudio, puesto que la moda es el dato que se observa con mayor frecuencia. La moda se designa con las letras Mo.

En las representaciones gráficas la moda es el punto más alto de la gráfica. La obtención de la moda para datos agrupados no es un valor exacto, ya que varía con las diferentes formas de agrupar una distribución de frecuencia.

En algunas distribuciones de frecuencias o serie de datos no agrupados o agrupados se presentan dos o más modas, en estos casa se habla de serie de datos bimodales o multimodales, según sea el caso. Estos tipos de distribuciones o series de valores se deben a la falta de homogeneidad de los datos.

Cuando una serie de valores es simétrica, la media, la mediana y el modo coinciden, y si la asimetría de la serie es moderada, la mediana estará situada entre la media y el modo con una separación de un tercio entre ambas. Tomando en cuenta esta relación, cuando se tengan dos de esta medidas se puede determinar la tercera; sin embargo es conveniente utilizar esta relación para calcular solamente la moda ya que para calcular la media y la mediana existen formulas matemáticas que dan resultados más exactos; la fórmula matemática para calcular la moda por medio de la relación antes mencionada es:

MdXXMo 3 .

Para calcular la moda en datos agrupados existen varios métodos; cada uno de los métodos puede dar un valor diferente de la moda: En este curso se dará un método el cual se puede considerar uno de los más precisos en el cálculo de esta. Es un método matemático que consiste en la interpolación mediante la siguiente fórmula:

IcLiMo .21

1 , en donde Mo es la moda, Li es el límite real de la

clase

que presenta el mayor número de frecuencia; la clase que presenta el mayor número de frecuencias fi se le denomina clase modal y a las frecuencias de

esa clases se les denomina frecuencia modal fm, 1 es la diferencia entre la

frecuencia de la clase modal ( fm) y la frecuencia de la clase anterior a la

modal, la cual se designa con fa , entonces, )(1 fafm ; 2 es la

diferencia entre la frecuencia de la clase modal (fm) y la frecuencia de la

clase siguiente a la modal, esta se designa con fs , entonces, ).(2 fsfm

1. – Dada la siguiente distribución de frecuencia correspondiente al peso en Kg de un grupo de trabajadores de una empresa, calcule la moda.

CLASES fi

30-----39 2

40-----49 2

50-----59 7

60-----69 11

70-----79 12

80-----89 16

90-----99 2

TOTAL

La clase modal es 80----89, entonces Li = 79.5 y su fm = 16, fa = 12 y fs

= 2, 10Ic , entonces:

14216ff;..41216ffsm21am1

Aplicando la formula se tiene:

.71.8122.25.7918

405.7910.

144

45.79MoLMo

21

1

i

Este resultado de la moda se interpreta así: La mayoría de los trabajadores tiene un peso aproximadamente de 81.71 Kg.

CARACTERÍSTICAS DE LA MODA

* El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de elaboración de los intervalos de clases.

* El valor de la moda no se encuentra afectado por la magnitud de los valores extremos de una serie de valores, como sucede en la media aritmética.

* La moda se puede obtener en una forma aproximada muy fácilmente, puesto que la obtención exacta es algo complicado.

* La moda tiene poca utilidad en una distribución de frecuencia que no posea suficientes datos y que no ofrezcan una marcada tendencia central.

* No es susceptible de operaciones algebraicas posteriores.

* La moda se utiliza cuando se trabaja con escalas nominales aunque se puede utilizar con las otras escalas.

* La moda es útil cuando se está interesado en tener una idea aproximada de la mayor concentración de una serie de datos.

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a la medida de

posición LA MODA, los pasos para su cálculo y de por lo menos un ejemplo.

OTRAS MEDIDAS POSICIÓNALES

Cuando se estudio la mediana se pudo detectar que esta divide la serie de valores en dos partes iguales, una generalización de esta medida da origen a unas nuevas medidas de posición denominadas:

Cuartiles; Deciles y Percentiles. Estas nuevas medidas de posición surgen por la necesidad de requerir de otras medidas que expresen diferentes situaciones de orden, aparte de las señaladas por la mediana. Por lo tanto es interesante ubicar otras medidas que fraccionen una serie de datos en diferentes partes. Es bueno destacar que los cuarteles, los Deciles y los Percentiles son unas variantes de la mediana: De la misma forma los percentiles abarcan tanto a los cuarteles como a los Deciles.

LOS CUARTILES.- Son medidas posiciónales que dividen la distribución de frecuencia en cuatro partes iguales. Se designa por el símbolo Qa en la que a corresponde a los valores 1, 2 y 3., que viene a ser el número de Qa que posee una distribución de frecuencia de clase. El Q1 divide la distribución de frecuencia en dos partes, una corresponde a 25 % que está por debajo de Q1 y el otro 75 % por encima de Q1. El Q2 divide la distribución de frecuencia en dos partes iguales, un 50 % que está por debajo de los valores de Q2 y otro 50 % que está por encima del valor de Q2. El Q2 es igual a la mediana.

CÁLCULO DE LOS CUARTILES.- Para datos no agrupados no tiene ninguna utilidad práctica calcular los cuartiles. Para el cálculo de los cuartiles en datos agrupados en una distribución de frecuencia existe un método por análisis gráfico y otro por determinación numérica, por fines prácticos en esta cátedra se utilizara el último método. Para calcular los cuartiles por el método numérico se procede de la siguiente manera:

1 – Se localiza la posición del cuartil solicitado aplicando la formula de

posición: 4

aNPQa , en donde a viene a ser el número del cuartil solicitado,

N corresponde al número total de datos de la distribución y 4 corresponde al número de cuartiles que presenta una distribución de frecuencia.

2 – Luego se aplica la fórmula para determinar un cuartil determinado, así:

..4 Icfm

FaaaN

LiQa En esta fórmula, Qa = El cuartil solicitado, en esta a

corresponde al número del cuartil solicitado; Li = Limite real inferior de la clase donde se encuentra ubicado el cuartil; Faa = Frecuencia acumulada

anterior a la clase donde se encuentra el cuartil; fm = Frecuencia fi que

posee el intervalo de clase donde se encuentra el cuartil; 4

aNPQa =

Posición que ocupa el cuartil en la distribución de frecuencia, este resultado obtenido determinará la clase donde se encuentra ubicado el cuartil, el mismo se encontrará en la clase donde la frecuencia acumulada Fa sea igual o superior a este resultado.

DECILES. – Son medidas de posición que dividen la distribución de frecuencia en diez partes iguales y estas van desde el número uno hasta el número nueve. Los deciles se les designa con las letras Da, siendo a, el número de los diferentes deciles, que en este caso son nueve. El D2 es el punto debajo del cual se encuentran ubicados el 20 % de los valores de la distribución o también el punto por sobre el cual se encuentra el 80 % de los valores de la serie de datos. La mediana es igual al D5, puesto que este decil divide la distribución en dos partes iguale tal como lo hace la mediana, de la misma forma el decil cinco es igual al cuartil dos.

CÁLCULO DE LOS DECILES – El cálculo de los deciles es similar al cálculo de los cuartiles, solo que en estos varía la posición, la misma se calcula con la formula:

10

aNPDa , en esta a corresponde al número del decil que se desea calcular,

N equivale al número de datos de la distribución y 10 corresponde a las diez partes en la que se divide la serie de valores de la distribución.

La fórmula para su cálculo es: Icfm

FaaaN

LiDa .10 . En este caso se

aplica la formula de la misma manera que se hizo para calcular los cuartiles, solo que en esta fórmula varia la posición de ubicación de la clase donde se encuentra ubicado el decil.

LOS PERCENTILES – Son medidas posicióneles que dividen la distribución de frecuencia en 100 partes iguales. Con estos se puede calcular cualquier porcentaje de datos de la distribución de frecuencia. Los percentiles son las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación de valor de una serie de datos ubicados en una distribución de frecuencia. El número de percentiles de una distribución de frecuencia es de 99. El percentil 50 es igual a la

mediana, al decil 5 y al cuartil 2, es decir: %50.5052 PDQMd por

encima y 50 % por debajo de los datos de la distribución.

El cálculo de los percentiles es similar al cálculo de los cuartiles y los deciles con una variante en la posición de ubicación de estos, que viene expresada por la siguiente fórmula:

100

aNPPa . Con esta posición se aplica la formula: Ic

fm

FaaaN

LiPa .100 .

1. – Dada la siguiente distribución correspondiente al salario semanal en dólares de un grupo de obreros de una empresa petrolera trasnacional. Calcule: a) Q1, b) Q2, c) Compare los resultados con la mediana D3, d) D5, e) P25, f) P50, g) P7

SALARIO EN $ fi Fa

200-----299 85 85

300-----399 90 175

400-----499 120 295

500-----599 70 365

600-----699 62 427

700-----799 36 463

Totales = N 463

a) Para calcular Q1, se determina primero la posición así:

PQ1 = 115.75. Con ese valor de la posición encontrado se busca en las frecuencias acumuladas para ver cuál de esas contiene ese valor. Observando las frecuencias acumuladas se puede detectar que la posición 115.75 se encuentra en la clase 300------399, por lo tanto el Li = 299.5, fm = 90, y la Faa = 85 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene:

.67.33317.345.29990

30755.299100.

90

8575.1155.2991Q

Este valor de Q1 indica que el 25 % de los obreros en estudio, devengan un salario semanal por debajo de 333.67 $ y el 75 % restante gana un salario por encima de 333.67 $.

b) Para calcular Q2=Md se determina primero la posición de este así.

5.2314

46322

xPQ , ahora se ubica esta posición en las frecuencias

acumulados para determinar la posición de Q2, se puede observar en la distribución que esta posición de Q2 esta ubicada en la clase 400----499, entonces, Li = 399.5, fm = 120, Faa = 175 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene:

.58.44608.475.399120

56505.399100.

120

1755.2315.3992Q

Este resultado de Q2 establece que el 50 % de los obreros de este estudio, devengan un salario semanal por debajo de 446.58 $ y el otro 50 % devenga un sueldo por encima de 446.58 $. Calcule la mediana y compárela con este resultado.

c) Para determinar D3 = P30 hay primero que calcular la posición de este

así: 9.13810

46333

xPD , ahora se ubica esta posición en las frecuencias

acumuladas para determinar la posición de D3, en la tabla de la distribución de frecuencia se observa que D3 se encuentra en la clase 300----399, luego, Li = 299.5, fm = 90, Faa = 85 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene:

39.35989.595.299100.90

859.1385.2993D . Esto indica que un 30 %

de

los obreros ganan un salario semanal por debajo de 359.39 $ y el 70 % restante devenga un sueldo por encima de 359.39 $.

d) Calcular, D5 = Q2 = P50, además P25 = Q1, la comprobación de estos resultados se le deja como practica al estudiante.

g) Para calcular P70 lo primero que se hace es determinar la posición,

10.324'100

4637070

xPP . Ahora se ubica este resultado en la columna de

frecuencias acumuladas para encontrar la posición de P70 en la distribución de frecuencia. Como se puede observar en la tabla de distribución de frecuencia, P70 se encuentra ubicado en la clase 500-------599, entonces, Li = 499.5, fm = 70, Faa = 295 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene:

.07.54157.415.49970

29105.499100.

70

29510.3245.49970P

Esto indica que el 70 % de los obreros devengan un sueldo semanal que esta por debajo de 541.07 $ y que el 30 % de los restantes obreros, ganan un salario por encima de 541.07 $.

PORCENTAJES DE VALORES QUE ESTÁN POR DEBAJO O POR ENCIMA DE UN VALOR DETERMINADO

Muchas veces necesitamos conocer el porcentaje de valores que están por debajo o por encima de un valor determinado; lo que representa un tipo de problema contrario al estudiado anteriormente, esto es, dado un cierto valor en el eje de abscisa (X) del plano cartesiano, determinar en la ordenada (Y) el tanto por ciento de valores inferiores y superiores al valor dado. Operación que se resuelve utilizando la siguiente fórmula matemática:

NI

LPffaap

c

ii 100(, donde:

porcentajep que se quiere buscar.

P Valor dado en el eje de las X (valor que se ubica en las clases).

faa Frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase donde se encuentra

ubicado P.

if Frecuencia de la clase donde se encuentra ubicada P.

iL Límite inferior de la clase donde se encuentra ubicada P.

cI Intervalo de clase.

N = Número total de datos o total de frecuencias.

EJEMPLO: Utilizando los datos de la distribución de frecuencia anterior, Determine que porcentaje de obreros ganan un salario semanal inferior a 450 $.

Solución:

Datos: ?p

P 450

faa 175

iL 400

cI 100

N = 463

Ahora se aplica la formula:

NI

LPffaap

c

ii 100( , Sustituyendo valores se tiene:

75.50463

100

100

400450(120175 pp

De acuerdo con el resultado se puede afirmar que el 50.75 % de los obreros devengan un salario inferior a 450 $ y el 49.25 % de los obreros ganan un salario superior a 450

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a las medida de

posición LOS CUARTILES, LOS DECILES Y LOS PERCENTILES, los pasos para su cálculo y de por lo menos un ejemplo de cada uno.

Con los problemas 16,17 18 del problemarío PROBLEMAS Y SOLUCIONES ubicados en la dirección: http://www.slideshare.net/hamletmatamata/1-

problemas-de-estadistica-i-y-soluciones. Elabore: A). Una distribución de

frecuencia de clase completa, para determinar el número de clases, utilice el método de Herbert A. Sturges. B) Un Histograma, un Polígono de Frecuencias y un Polígono de Frecuencias Acumuladas. C) Elabore un cuadro

de cálculo estadístico. D) Calcule la X , la Md, el 2Q , el 5D , el 50P , la Mo.

La media aritmética de una distribución de frecuencia que es moderadamente asimétrica, es de 65.78 y la mediana de esa misma distribución es de 65.43, entonces, ¿cuál es la moda de esa distribución? Resultado: 64.43.

Del ebook denominado ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ubicado en la dirección: http://books.google.co.ve/books?id=VJNpI4_U9SYC&printsec=frontcover&dq=estadistica+descriptiva&hl=es&ei=0GdbTJL3CYH98AbG2cHfAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CFQQ6AEwCA#v=onepage&q=estadistica%20descriptiva&f=false , Estudie el Tema: VIII y resuelva los problemas propuestos. Y el CAPITULO 3 Del ebook denominado ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ubicado en la dirección: http://books.google.co.ve/books?id=31d5cGxXUnEC&pg=PA17&dq=estadistica+descriptiva&hl=es&ei=0GdbTJL3CYH98AbG2cHfAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCcQ6AEwAA#v=onepage&q=estadistica%20descriptiva&f=false, estudie el capitulo y resuelva los problemas.

BIBLIOGRAFÍA

Anderson D.R. / Sweeney, D.J. / Williams, T.A. (1999): Estadística para la

administración y economía. International Thomson Editores. México.

Babbie, E. (2000): Fundamentos de la Investigación Social. International Thomson

Editores. México.

Begoña Gros, Salvat (2006) FORMACIÓN DEL PROFESORADO COMO

DOCENTE EN LOS ESPACIOS VIRTUALES DE APRENDIZAJE.

Universidad de Barcelona – España. [Documento en Línea] disponible en:

http://www.redkipus.org/aad/images/recursos/31-959Gros.pdf. [Consulta: 2008,

mayo 30]

Berenso, Mark.(1.992): Estadística Básica en Administración. Editorial. Harla. Cuarta

Edición. México.

Bruner, J. S. (1965/1960). El proceso de la educación. Cambridge, MA: Harvard

University Press.

Cadoche, L. S.; G. Stegmayer, J. P. Burioni y M. De Bernardez (1998). Material del

Seminario de Encuestas en Educación, impartido vía internet por parte de la

Universidad Nacional del Litoral, en Santa Fe, y de la Universidad Tecnológica

Nacional, Regional Santa Fe, en la República de Argentina.

De Oteyza de O., E; Emma Lam O., Carlos Hernández G. y Ángel M. Carrillo H.

(1998). Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall. México

Enciclopedia Microsoft Encarta 2008 (2008): Censo- Cuestionario- Encuesta.

Estadística. Editorial Microsoft corporation. USA.

Gros, B. (2002). Constructivismo y diseños de entornos virtuales de aprendizaje,

Revista de Educación, 328, 225-247.

Ferrán Aranaz, Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows: Análisis Estadístico.

Editorial McGraw-Hill. Madrid.

Ferrán Aranaz, Magdalena (2001) SPSS para Windows: Análisis Estadístico. Editorial

McGraw-Hill. Madrid.

Filgueira, Ester (2001). Análisis de datos con SPSS Win. Alianza Editorial. Madrid.

Hamdan González, Nijad (2005) Métodos Estadísticos en Educación. EDICIONES DE

LA BIBLIOTECA. Caracas.

Hernández Sampieri, R./ Fernández Collado, C./ Baptista Lucio, P. (2003): Metodología

de la Investigación. Editorial McGraw-Hill. México.

Holmberg, B. (1989) La teoría y la práctica de la educación a distancia, Londres /

Nueva York: Routledge.

Ivicl, Ivan (1999) LEV SEMIONOVICH VYGOTSKY. Revista trimestral de educación

comparada (París, UNESCO: Oficina Internacional de Educación), vol. XXIV,

nos 3-4, págs. 773-799. UNESO: Oficina Internacional de Educación, 1999.

Paris – Francia.

Jonassen, D. H., Peck, K.L. & Wilson, B.G. (1999). Learning with technology: A

Constructivist Perspective. Upper Saddle, NJ: Merrill, Prentice Hall.

LARSON HAROLD, J. (1985): Introducción a la Teoría de Probabilidades e

inferencia Estadística. Editorial Limusa. México.

LEITHOLD, LOUIS (1992): El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial HARLA

México.

LINCON L., CHAO (1996): Estadística para Ciencias Administrativas. Cuarta edición.

Editorial McGaw-Hill. Usa.

LOPEZ CASUSO, R. (1984): Introducción al Cálculo de Probabilidades e Inferencia

Estadística. Editorial Instituto de Investigaciones Económicas, UCAB. Caracas-

Venezuela.

López, R. (1996), Constructivismo radical de Protágoras a Watzlawick”,

www.rehue.csociales.uchile.cl/rehuehome/facultad/publicaciones/Excerpta/exc

erpta7/construc.htm

Mason, Robert (1.992): Estadística para la Administración y Economía. Ediciones

Alfaomega S.A.N. México.

Murria, R.(1993): Estadística. Edición Interamericana.2da

Edición. México.

Pardo Merino, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel (2002). SPSS 11. Guía para Análisis

de Datos. Editorial McGraw-Hill. Madrid.

Pardo Merino, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel (2005). Análisis de datos con SPSS

13 Base. Editorial McGraw-Hill. Madrid.

Parica Ramos, A. T.; Bruno Liendo, F. J. y Abancin Ospina, R. A. (2005) Teoria del

Constructivismo Social. Teoria del Constructivismo Social de Lev Vygotsky en

comparación con la Teoria Jean Piaget. Universidad Central de Venezuela.

Facultad de Humanidades y Educación. Escuela de Educación. Departamento de

Psicología Educativa. Cátedra de Psicología Educativa. Caracas – Venezuela.

PARZEN, E. (1986): Teoría Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial

Limusa: México

Peña, Daniel y Romo, Juan (1999). Introducción a la estadística para las Ciencias

Sociales. Editorial McGraw-Hill. Madrid.

Pérez López, César. 2002. Estadística aplicada a través de Excel. Editorial Pearson

Prentice Hall. Madrid.

Pérez López, C. (2005): Técnicas Estadísticas con SPSS 12. Editorial Pearson Prentice

Hall. Madrid.

Pérez López, C. (2004): Técnicas de Análisis Multivariante de Datos: Aplicaciones con

SPSS . Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.

Pérez López, C. (2001). Técnicas estadísticas con SPSS. Editorial Pearson Prentice

Hall. Madrid.

Pérez López, C. (2005): Métodos Estadísticos Avanzados con SPSS. Internacional

Thomson Editores Spain. Madrid.

Piaget, J. (1952). Autobiografía. Historia de la psicología en la autobiografía. Vol. 4.

Worcester, MA: Clark University Press.Ausubel, D. P., Novak, J. y Hanesian, H.

Psicología educativa: un punto de vista cognoscitivo, 2ª ed., Trillas, México,

2000.

Ritchey, F.J. (2002): Estadística para las Ciencias Sociales. Ed. McGraw – Hill.

México.

Rivas González, Ernesto (2003) Estadística General. Ediciones de la Biblioteca UCV.

Caracas – Venezuela.

Salama, David (2002) Estadística. Metodología y Aplicaciones. Editorial Torino.

Caracas.

Salmon, G. (2000). E-moderador: La clave para la enseñanza y el aprendizaje en línea,

Londres: Kogan Page.

Sánchez Carrión, Juan Javier (2004). Manual de análisis estadístico de los datos.

Alianza Editorial. Madrid.

Spiegel, M.R. y Stephens Larry j. (2002): Estadística. Mc Graw Hill Interamericana de

España. S.A. Madrid.

Stephen P., Shao (1986): Estadística para Economistas y Administradores

deEmpresa.Editorial Herreros Hermanos, Sucs., S.A., México.

Visauta Vinacua, Bienvenido (2002) Análisis estadístico con SPSS para Windows

Volumen I: Estadística Básica. Editorial McGraw – Hill INTERAMERICANA

DE ESPAÑA, S.A.U. México.

Visauta Vinacua, Bienvenido (2005) Análisis estadístico con SPSS para Windows

Volumen II: Estadística Multivariante. Editorial McGraw – Hill

INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. México.

WATZLAWICK, P., y Krieg, P., (1994), “El ojo del observador: Contribucionesal

constructivismo, homenaje a Heinz von Foerster”, Editorial Gedisa, Barcelona.

WATZLAWICK, P., (1981), “Es real la realidad?: confusión,

desinformación,comunicación”, Editorial Herder, Barcelona.

WATZLAWICK, P., (1992), “La coleta del Varón de Münchhausen: Psicoterapia y

Realidad”, Editorial Herder, Barcelona.

Webster, Allen L (2001) Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Editorial

McGraw – Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA, S.A.U. Colombia.

Webster, Allen L. (1996): Estadística Aplicada a la Empresa y la Economía. Editorial

Irwin. Segunda edición. Barcelona – España.

Weimer, Richard C. (1996) Estadística. Compañía Editorial Continental, SA de CV.

México.

Wonnacott, Thomas H. y Wonnacott, Ronald J. (1999). Introducción a la Estadística.

Editorial Limusa. Méjico.

Wonnacott, T. H. y Wonnacott, R: J. (1989): Fundamentos de Estadística para

Administración y Economía. Editorial LIMUSA. México.

BIBLIOWEB

http://www.mipagina.cantv.net/hamletmatamata

http://es.geocities.com/hamletmatamat/estadistica. html

http://es.geocities.com/hamletmatamat/

http://es.geocities.com/hamletmatamata48/educacion.html

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/

http://www.hrc.es/bioest/Mdocente.html#tema1

http://www.mailxmail.com/curso/informatica/spssespanol/capitulo1.htm

http://www.aulafacil.com/investigacionspss/Lecc-6.htm

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre504S.htm

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm

http://www.bioestadistica.freeservers.com/farpro.html

http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/36/estapro.htm

http://www.hrc.es/bioest/Reglin_8.html

http://www.monografias.com/trabajos20/estadistica/estadistica.shtml

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tvariablealeatoria.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/lecciones_html/un2/2_6_1.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/lecciones_html/un2/2_6_2.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/lecciones_html/un2/2_7_1.html

http://www.eio.uva.es/~mcruz/ingenieria/Probabilidad.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tinferencia.htm#muestreoaleatoriosimple

http://www.seh-lelha.org/noparame.htm

http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa_signos/nopa_signos.htm

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t18_variable_aleatoria_discreta.htm

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t20_variable_aleatoria_continua.htm

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm

http://sapiens.ya.com/matagus/unidad6.htm

http://zip.rincondelvago.com/?00044092

http://www.seh-lelha.org/regresion1.htm

http://www.eumed.net/cursecon/medir/introd.htm

http://ftp.medprev.uma.es/libro/node40.htm

http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/distribucion_de_probabilidad.html

http://ftp.medprev.uma.es/libro/node61.htm

http://www.seh-lelha.org/concor2.htm

http://www.seh-lelha.org/noparame.htm

http://www.telefonica.net/web2/biomates/regr/regr_simple/regr_simple.htm

http://www.telefonica.net/web2/biomates/regr/regr_multilin/regr_multilin.htm

http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa.htm

http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa_wilcoxon/nopa_wilcoxon.htm

http://mibuscador.net/enciclopedia/es/wikipedia/d/di/distribucion_de_probabilidad.html

http://mibuscador.net/enciclopedia/es/wikipedia/p/pr/probabilidad.html

http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/distribucion_de_probabilidad.html

http://www.uib.es/depart/gte/edutec-e/revelec15/albert_sangra.htm

http://www.mailxmail.com/curso/excelencia/paradigmaeducacionsuperior/capitulo9.htm

http://ocw.mit.edu/index.html

http://www.tuobra.unam.mx/publicadas/010909003010.html#fn1

http://www.angelfire.com/az2/educacionvirtual/educavir.html

http://www.universia.com.ar/portada/actualidad/noticia_actualidad.jsp?noticia=10895 http://www.angelfire.com/az2/educacionvirtual/ventajasdelavirtualidadenlaeducacion.htm

http://www.el-mundo.es/su-dinero/noticias/act-111-14.html

http://www.uoc.edu/inaugural04/esp/carnoy1004.pdf

http://www.nextlearning.cl

http://www.educar.org/articulos/educacionvirtual.asp

http://www.pignc-ispi.com/articles/distance/kearsley-virtualprofessor.htm#espano l