henderson cap 9 microeconomia

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1 W.Nicholson:Capítulo 3 Preferencias y Utilidad

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W.Nicholson:Capítulo 3

Preferencias y Utilidad

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Axiomas:Elección Racional

• Completitud

– Si A y B son dos situaciones cualquiera, un

individuo puede siempre especificar

exactamente una de las siguinetes

posibilidades:

• A is preferible a B

• B is preferible a A

• A y B son igualmente preferibles

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Axiomas: Elección Racional

• Transitividad

– Si A es preferible a B, y B es preferible a C,

entonces A es preferible a C.

– Asuma que las elecciones de un individuo

son internamente consistentes.

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Axiomas: Elección Racional

• Continuidad

– Si A es preferible a B, entonces aquellas

situaciones de “vecindario” o bien “close to”

A deben ser estrictamente preferibles a B.

– Utiuzada para analizar las respuestas de

los individuos a cambios relativamente

pequenos en ingresos y precios.

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Utilidad • Dados estos supuestos , es posible

mostrar que las personas son capaces de

clasificar ordenadamente todas las

posibles situaciones desde la menos

hasta la más preferible.

• Los economistas lo denominan como

“ranking de utilidad”

– Si A es preferible a B, entonces la utilidad

asignada a A excede a la utilidad asignada a

B: U(A) > U(B)

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Utilidad • Los rankings de utilidad son de

naturaleza ordinal.

– Registran la preferencia relativa de grupos

de commodities.

• Dado que las medidas de utilidad no son

únicas, no tiene importancia considerar

cuanta utilidad adicional se ha obtenido

con A en relación a B.

• Es también, imposible comparar las

utilidades entre personas.

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Utilidad • La Utilidad es definida por el consumo de

bienes físicos, actitudes psicológicas,

presiones de grupos relacionados,

experiencias personales, y en general,

por el ambiente cultural.

• Los Economistas generalmente prestan

atención a las opciones cuantificables,

mientras mantienen constantes las otras

variables que definen la utilidad.

– Supuesto: ceteris paribus

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Utilidad

• Suponga que un individuo debe elegir

entre el consumo de los siguientes

bienes: x1, x2,…, xn

• Los rankings de los individuos pueden

expresarse a partir de una función de

utilidad de la forma:

utilidad = U(x1, x2,…, xn; otras variables)

– Esta función es única de acuerdo a un

ordenamiento determinado.

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Bienes Económicos • En la funcón de utilidad, suponemos que

las x’s representan a los bienes. – Más es preferible a Menos.

Cantidad de x

Cantidad de y

x*

y*

Preferido a x*, y*

?

?

Peor que

x*, y*

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Curvas de Indiferencia • Una curva de indiferencia muestra un conjunto

de canastas de consumo, entre las cuales un

individuo se encuentra indiferente.

Cantidad de x

Cantidad de y

x1

y1

y2

x2

U1

Combinaciones (x1, y1) & (x2, y2)

Proveen el mismo nivel de Utilidad

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Tasa Marginal de Sustitución • La pendiente negativa de una curva de

indiferencia, en cualquier punto, se denomina

como Tasa Marginal de sustitución (TMS)

Cantidad de x

Cantidad de y

x1

y1

y2

x2

U1

1

UUdx

dyTMS

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Tasa Marginal de Sustitución • TMS cambia en función a cambios en X e Y

– Refleja la disposición de un individuo para intercambiar Y por

X

Cantidad de x

Cantidad de y

x1

y1

y2

x2

U1

En el punto (x1, y1), la curva de indiferencia es más empinada.

La persona estará dispuesta a sacrificar más del bien y para

obtener unidades adicionales del bien x

En el punto (x2, y2), la curva de

indiferencia es más plana. La persona

estará dispuesta a sacrificar menos del

bien y para obtener unidades adicionales

de x

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Curvas de Indiferencia: Mapa • Cada punto debe tener una curva de

indiferencia que pasa sobre él.

Cantidad de x

Cantidad de y

U1 < U2 < U3

U1

U2

U3

Utilidad Creciente

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Transitividad • Pueden intersectarse dos curvas de

indiferencia de un mismo individuo?

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

U2

A

B C

El individuo es indiferente entre A y C.

El individuo es indiferente entre B y C.

La transitividad sugiere que el individuo debe

encontrarse indiferente entre A y B.

Pero B es preferible a A,

Porque contiene más de

x e y que A

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Convexidad • Un conjunto de puntos es convexo si cualquiera de

dos puntos pueden unirse por una línea recta que está

contenida completamente en dicho conjunto.

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

El supuesto de una TMS decreciente es

equivalente al supuesto por el cual todas las

Combinaciones de x e y, que son preferidos

a x* e y* forman un conjunto convexo.

x*

y*

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Convexidad • Si la curva de indiferencia es convexa, entonces la

combinación:

(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2

será preferida a cualquiera: (x1,y1) or (x2,y2)

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

x2

y1

y2

x1

Implica que los conjuntos quedan “bien equilibrados”

cuando alguno de ellos tiene un peso proporcional

fuertemente mayor en uno de los bienes.

(x1 + x2)/2

(y1 + y2)/2

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Utilidad y TMS • Suponga que las preferencias de un individuo

por las Hamburguesas (y) y por refrescos (x)

pueden ser representadas por

yx 10 utilidad

• Resolviendo para y, obtenemos

y = 100/x

• Resolviendo para la TMS = -dy/dx:

TMS = -dy/dx = 100/x2

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Utilidad y la TMS

TMS= -dy/dx = 100/x2

• Nótese que mientras x se incrementa,

la TMS disminuye.

– cuando x = 5, TMS = 4

– cuando x = 20, TMS = 0.25

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Utilidad Marginal • Suponga que un individuo tiene una

función de utilidad de la forma:

utilidad = U(x,y)

• La diferencial total de U es

dy

y

Udx

x

UdU

• A lo largo de cualquier curva de

indiferencia, la utilidad es constante

dU = 0

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Derivando la TMS • Entonces, obtenemos:

y

Ux

U

dx

dyTMS

constanteU

• LaTMS es el ratio de la utilidad marginal

de x, con la utilidad marginal de y.

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Utilidad Marginal Decreciente y la TMS

• Intuitivamente, parece que el supuesto de la utilidad marginal decreciente está relacionado con el concepto de la TMS decreciente. – La TMS decreciente requiere que la función de

utilidad sea cuasi-cóncava • Esto es independiente de cómo la utilidad sea medida.

– La utilidad marginal decreciente, depende de cómo se mida la utilidad

• Por lo tanto estos dos conceptos son diferentes.

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Curvas de Indiferencia: Convexidad

• Asuma una función de utilidad:

yx utilidad

• Podemos simplificar el álgebra, con el

logaritmo de ésta función

U*(x,y) = ln[U(x,y)] = 0.5 ln x + 0.5 ln y

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Curvas de Indiferencia: Convexidad

x

y

y

x

y

Ux

U

TMS

5.0

5.0

*

*

• Entonces,

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Curvas de Indiferencia: Convexidad

• Ahora bien, si la función de utilidad es:

U(x,y) = x + xy + y

• No existen ventajas al transformarla en logaritmos, por lo tanto:

x

y

y

Ux

U

MRS

1

1

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Curvas de Indiferencia: Convexidad

• Nuevamente, suponga que la función de utilidad es

22 utilidad yx

• En este ejemplo, es más fácil trabajar

con la transformación logarítmica:

U*(x,y) = [U(x,y)]2 = x2 + y2

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Curvas de Indiferencia: Convexidad

y

x

y

x

y

Ux

U

TMS

2

2

*

*

• Entonces,

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Funciones de Utilidad: Ejemplos

• Cobb-Douglas

utilidad = U(x,y) = xy

donde: & son constantes positivas

– Los tamaños relativos de & indican la

importancia de los bienes.

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Funciones de Utilidad: Ejemplos

• Sustitutos Perfectos

utilidad = U(x,y) = x + y

Cantidad de x

Cantidad de y

U1 U2

U3

Las curvas de indiferencia serán lineales.

La TMS será una constante a lo largo de la

curva de indiferencia.

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Funciones de Utilidad: Ejemplos

• Complementarios Perfectos

Utilidad = U(x,y) = min (x, y)

Cantidad de x

Cantidad de y Las curvas de indiferencia tendrán la

forma de “L”. Solamente escogiendo

más de ambos bienes (al mismo tiempo)

se podrá incrementar la utilidad.

U1

U2

U3

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Funciones de Utilidad: Ejemplos

• Función CES (Elasticidad de Sustitución Constante) :

utilidad = U(x,y) = x/ + y/

Cuando 0 ; y

Utilidad = U(x,y) = ln x + ln y

Cuando = 0 – Sustitutos Perfectos = 1

– Cobb-Douglas = 0

– Complementarios Perfectos = -

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Funciones de Utilidad: Ejemplos:

• Función CES (Elasticidad de Sustitución Constante):

– La elasticidad de sustitución () es igual a

1/(1 - )

• Sustitutos Perfectos =

• Proporciones Fijas = 0

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Preferencias Homotéticas

• Si la TMS depende solamente de la relación

(ratio) de costos de dos bienes, y no así en

las cantidades, entonces, la función de

utilidad es homotética

– Sustitutos Perfectos TMS es la misma en

cualquier punto

– Complementarios Perfectos

TMS = si y/x > /,

TMS = no definida si y/x = /,

TMS = 0 si y/x < /

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Preferencias Homotéticas

• Para el caso general: Función Cobb-

Douglas, la TMS puede ser calculada

de la manera siguiente:

x

y

yx

yx

y

Ux

U

TMS

1

1

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Preferencias No-Homotéticas

• Algunas funciones de utilidad no

muestran preferencias homotéticas.

• Sea:

utilidad = U(x,y) = x + ln y

y

yy

Ux

U

TMS

1

1

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Caso n-bienes

• Suponga una función de utilidad de n

bienes, dada por:

utilidad = U(x1, x2,…, xn)

• La diferencial total de U es:

n

n

dxx

Udx

x

Udx

x

UdU

...2

2

1

1

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Caso n-bienes

• Podemos encontrar la TMS entre

cualquier par de bienes, fijando dU = 0

j

i

i

j

ji

x

U

x

U

dx

dxxxTMS

)for (

j

j

i

i

dxx

Udx

x

UdU

0

• Reordenando, obtenemos:

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Superficies de Indiferencia para el Caso n-bienes

• Definimos una superficie de

indiferencia, como el conjunto de

puntos en “n”dimensiones que

satisfacen la ecuación:

U(x1,x2,…xn) = k

donde k es cualquier constante pre-

definida.

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Superficies de Indiferencia para el Caso n-bienes

• Si la función de utilidad es cuasi-

cóncava, el conjunto de puntos para los

cuales U k será convexa

– De todas las observaciones sobre una

línea que une dos puntos en la función

U = k la superficie de indiferencia

también tendrá U k

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Características Importantes

• Si los individuos obedecen a ciertos

postulados de conducta, entonces podrán dar

un ranking de todas las canastas de bienes.

– Este ranking podrá ser expresado por una función

de utilidad.

– Al realizar las elecciones, los individuos actuarán

de la misma manera que en una maximización de

la función de utilidad.

• Las funciones de utilidad para dos bienes

pueden ser ilustradas con un mapa de curvas

de indiferencia

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Características Importantes

• La pendiente negativa de una curva de

indiferencia, representa la Tasa Marginal

de Sustitución (TMS)

– La tasa a la cual un individuo puede

intercambiar una cantidad del bien Y por

una unidad adicional del bien X

• TMS decrece a media que X es

sustituída por Y

– Los individuos prefieren cierto equilibrio en

sus elecciones de consumo.

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Características Importantes

• Pocas formas funcionales (simples) pueden

capturar las diferencias importantes entre

las preferencias de los individuos, para dos

ó más bienes.

– Función Cobb-Douglas

– Función Lineal (Sustitutos Perfectos)

– Función de Proporciones Fijas

(Complementarios Perfectos)

– Función CES

• Que incluye a los otros tres casos especiales

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Características Importantes

• Es sencillo generalizar los eemplos de dos

bienes a n-bienes.

– Estudiar las elecciones de las personas entre

varios bienes puede dar muchas ideas sobre

microeconomía.

– Las matemáticas aplicadas al caso de n-

bienes, no es precisamente intuitiva, por lo

tanto, nos mantendremos en caso de dos

bienes para construir la intuición

microeconómica.

Preferencias y Utilidad

• Fin de la lección!

• Revisar el capitulo correspondiente a:

– W. Nicholson (cap 3)

– H. Varian (cap 3 y 4)

Hasta la proxima clase!

Muchas gracias!

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