1ROBÓTICA INDUSTRIAL

31 de octubre de 2013

NOMBRE:MARCELO CASA

ASIGNATURA:ROBÓTICA INDUSTRIAL

AGOSTO 2013 – ENERO 2014

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HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS CINEMÁTICO Y DINÁMICO DEL ROBOT INDUSTRIAL

1.ANÁLISIS CINEMÁTICOLa cinemática del robot (Barrientos, 2007) estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia. La cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares.

Existen dos problemas fundamentales al resolver la cinemática del robot, el primero que se conoce como problema cinemático directo y consiste en determinar cuál es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma de referencia conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot; el segundo denominado problema cinemático inverso resuelve la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación el extremo conocidas como se puede apreciar en la Figura 1.

Figura 1. Diagrama de relación entre la cinemática directa e inversa.

CINEMÁTICA DIRECTARESOLUCIÓN MEDIANTE MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEAUn robot de n grados de libertad (Barrientos 2006) está formado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulación-eslabón constituye un grado de libertad. A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia solidario a él y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones que componen el robot.

Normalmente, la matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se le suele denominar (i−1)1 /Ai. Así pues, 0Ai describe la posición y orientación del sistema de referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema de referencia solidario a la base, 1A2 describe la posición y orientación del segundo eslabón respecto del primero, etc. Del mismo modo, denominando 0Ak a las matrices resultantes del producto de las matrices (i−1)Ai con i desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemática que forma el robot. Así, por ejemplo, la posición y orientación del sistema solidario con el segundo eslabón del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante la matriz 0A2:

0 A2=0 A1(1 A 2)

De manera análoga, la matriz 0A3 representa la localización del sistema del tercer eslabón:

0 A3=0 A1(1 A2)(2 A3)

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Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz 0An se le suele denominar T. Así, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene que la posición y orientación del eslabón final vendrá dada por la matriz T:

T=0 A6=0 A 1(1 A2)(2 A3)(3 A4 )(4 A5)(5 A6)

ALGORITMO DE DENAVIT-HARTENBERG (D-H)Según la representación D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados para cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón.Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1. Las transformaciones en cuestión son las siguientes:

Rotación alrededor del eje Zi-1 un ángulo θi. Traslación a lo largo de Zi-1 una distancia di; vector di(0,0 , di). Traslación a lo largo de Xi una distancia ai; vector ai(0,0 , ai). Rotación alrededor del eje Xi, un ángulo αi.

Dado que el producto de matrices no es conmutativo, las transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

i−1 A i=T (z , θ i)T (0,0 , di)T (ai ,0,0)T (x , α i)

Los cuatro parámetros de DH (qi ,di , ai , ai) dependen únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente como se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Parámetros D-H para un eslabón giratorio.

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CINEMÁTICA INVERSARESOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODOS GEOMÉTRICOSSe suele utilizar para obtener los valores de las primeras variables articulares, que son las que posicionan el robot (prescindiendo de la orientación de su extremo) se hace uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos).

Este procedimiento es adecuado para robots de pocos grados de libertad o para el caso de que se consideren solo los primeros grados de libertad, dedicados a posicionar el extremo. El procedimiento se basa en encontrar un número suficiente de relaciones geométricas en las que intervendrán las coordenadas del extremo del robot, sus coordenadas articulares y las dimensiones físicas de sus elementos (Kryscia Ramirez, 2011).

Como se muestra en la Figura 3 la orientación del último enlace es la suma de las variables articulares.

Figura 3. Metodo Geométrico

RESOLUCIÓN MEDIANTE MATRIZ HOMOGÉNEASe trata de Despejar las n variables qi en función de las componentes de los vectores n ,o ,a y p (Barrientos 2006).

Se va a aplicar este procedimiento al robot de 3 grados de libertad de configuración esférica (2 giros y un desplazamiento) mostrado en la Figura 4. El robot queda siempre contenido en un plano determinado por el ángulo q1.

Figura 4. Robot- Configuración esférica

El primer paso a dar para resolver el problema cinemático inverso es obtener Tij correspondiente a este robot. Es decir, obtener la matriz T que relaciona el sistema de referencia (S0) asociado a la base con el sistema de referencia (S3) asociado a su extremo.La Figura 5 muestra la asignación de sistemas de referencia según los criterios de DH con el

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robot situado en su posición de partida (q1 = q2 = 0), y la tabla muestra los valores de los parámetros de DH.

Figura 5. Criterios DH

A partir de estos es inmediato obtener las matrices A y la matriz T.Obtenida la expresión de T en función de las coordenadas articulares (q1, q2, q3), y supuesta una localización de destino para el extremo del robot definida por los vectores n, o, a y p se podría intentar manipular directamente las 12 ecuaciones resultantes de T a fin de despejar q1, q2, y q3 en función de n, o, a y p.

DESACOPLAMIENTO CINEMÁTICOComo es sabido, en general no basta con posicionar el extremo del robot en un punto del espacio, sino que casi siempre es preciso también conseguir que la herramienta que aquel porta se oriente de una manera determinada. Para ello, los robots cuentan con otros tres grados de libertad adicionales, situados al final de la cadena cinemática y cuyos ejes, generalmente, se cortan en un punto, que informalmente se denomina muñeca del robot.

Si bien la variación de estos tres últimos grados de libertad origina un cambio en la posición final del extremo real del robot, su verdadero objetivo es poder orientar la herramienta del robot libremente en el espacio.

El método de desacoplo cinemático saca partido de este hecho, separando ambos problemas: Posición y orientación. Para ello, dada una posición y orientación final deseadas, establece las coordenadas del punto de corte de los 3 últimos ejes (muñeca del robot) calculándose los valores de las tres primeras variables articulares (q1, q2, q3) que consiguen posicionar este punto. A continuación, a partir de los datos de orientación y de los ya calculados (q1, q2, q3) obtiene los valores del resto de las variables articulares (Barrientos 2006).

MODELO DINÁMICO DE UN ROBOT MEDIANTE LA FORMULACIÓN DE LAGRANGE-EULERLa formulación de Lagrange-Euler presenta un modelo simple y elegante, dando como resultado una serie de ecuaciones diferenciales no lineales de 2º orden acopladas útiles para el estudio de estrategias de control en el espacio de estados de las variables articulares del robot, pero que se presentan ineficaces para aplicaciones en tiempo real dado el elevado tiempo de computación que requieren las operaciones con matrices de transformación homogénea.

Uicker en 1965, utilizo la representación de D-H basada en las matrices de transformación homogénea para formular el modelo dinámico de un robot mediante la ecuación de Lagrange.

Este planteamiento utiliza, por tanto, las matrices i-1Ai que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el elemento i-1. Se realizan en este caso operaciones de producto y suma innecesarias. Se trata de un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional.

Puede comprobarse que el algoritmo es de un orden de complejidad computacional O (n²²), es decir, el número de operaciones a realizar crece con la potencia 4 del número de grados de

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libertad. Sin embargo, conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento.

MEDIANTE LA FORMULACIÓN DE NEWTON-EULERLa formulación de Newton-Euler parte del equilibrio de fuerzas y pares:

∑ F=mv∑T=I .w+wx ( I .w )

Un adecuado desarrollo de estas ecuaciones conduce a una formulación recursiva en la que se obtienen la posición, velocidad y aceleración del eslabón i referidos a la base del robot a partir de los correspondientes del eslabón i-1 y del movimiento relativo de la articulación i.

El algoritmo se basa en operaciones vectoriales (con productos escalares y vectoriales entre magnitudes vectoriales, y productos de matrices con vectores) siendo más eficiente en comparación con las operaciones matriciales asociadas a la formulación Lagrangiana.

De hecho, el orden de complejidad computacional de la formulación recursiva de Newton-Euler es O(n), lo que indica que depende directamente del número de grados de libertad (Kryscia Ramirez, 2011).

BIBLIOGRAFÍAKryscia Ramirez. (2011). Cinemática Inversa del Robot. Recuperado de http://www.kramirez.net/Robotica/Material/Presentaciones/CinematicaInversaRobot.pdf

Barrientos, P., Penín, L.F., Balaguer C. y Aracil R. (2007). Fundamentos de Robótica, Segunda Edición. Herramientas matemáticas para la localización espacial y cinemática del robot (pp 76-81,119-146). McGraw Hill (Ed).