Herramientas Matemáticas Financieras · Porcentaje de interés que se fija para el pago de las...

Herramientas

Matemáticas

Financieras Ejercicios Resueltos y Propuestos

Quito

,

Novi

embr

e del

2015

Quito, Noviembre del 2015

Flavio Florencio Parra

Milton Efraín Guamán

Carlos Patricio Ruales

Dieter Alfredo Kolb

PRIMERA EDICION

2

DATOS DE LOS AUTORES

Ing. Flavio Florencio Parra

Profesión: Ingeniero Civil

Docencia: Universidad Central del Ecuador

Universidad Politécnica Salesiana

Correo: [email protected]

Ing. Milton Efraín Guamán Msc. MBA.

Profesión: Ingeniero Informático

Magister en Finanzas y Gestión de Riesgos

Magister en Dirección de Empresas



Universidad Internacional del Ecuador

Instituto de Altos Estudios Nacionales – IAEN

Fundación Tecnológicas de Latinoamérica – FATLA


Ing. Carlos Patricio Ruales Mgt.

Profesión: Ingeniero Administración de Empresas

Magister en Administración Pública




mailto:[email protected]



3

Ing. Dieter Alfredo Kolb MBA.

Profesión: Ingeniero en Sistemas

Ingeniero Comercial

Magister en Administración de Empresas

Docencia: Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE”

Universidad de las Américas

Universidad Central del Ecuador



4

INTRODUCCIÓN

Herramientas Matemáticas Financieras se trata

temas referentes a:Tasas equivalentes,

anualidades, amortizaciones, fondos de valor

futuro, documentos financieros, bonos, tasas de

interés internacionales, tasa real, análisis de

conveniencia de invertir a través de indicadores

como VAN, TIR, Payback, Relación Costo Beneficio,

que son necesarios en las actividades financieras

especialmente en el largo plazo, para financiar

compras de bienes inmuebles y muebles,

financiamiento, negociación con documentos, y

aseguramiento de todos los bienes; que tienen

aplicación en la formación del administrador

profesional

5

IMPORTANCIA

La Matemática financiera se puede dividir en dos grandes bloques de

operaciones financieras que se dividen en operaciones simples, con un solo

capital, y complejas, las denominadas rentas, que involucran corrientes de

pagos como es el caso de las cuotas de un préstamo.

La Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al estudiante, en

el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección

en una empresa sea pública o privada, tenga las técnicas, herramientas y

destrezas para la toma de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y

emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o

informes realizados, que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y

sobre todo financieros, para ver si es rentable o no una inversión.

En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al

apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las

negociaciones y transacciones financieras y afectaciones, se hacen en tiempo

real, por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que

permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y

tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas

de la empresa.

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INDICE DE CONTENIDOS

CAPÍTULO I ............................................................................................................................ 7

1. GENERALIDADES ...................................................................................................... 7

1.1. ANUALIDADES O RENTAS ............................................................................. 7

1.2. AMORTIZACIONES Y FONDOS DE AMORTIZACION .............................. 22

CAPÍTULO II ......................................................................................................................... 39

2. EVALUACION FINANCIERA .................................................................................... 39

2.1. VALOR ACTUAL NETO VAN, LA TASA INTERNA DE RETORNO TIR,

RELACIÓN IR BENEFICIO/COSTO Y LA TASA REAL ........................................... 39

2.2. DOCUMENTOS FINANCIEROS Y BONOS ................................................. 53

ANEXOS ............................................................................................................................... 62

APENDICE 1 ANUALIDADES o RENTAS .................................................................. 62

APENDICE 2 INTERPOLACIÓN LINEAL ................................................................... 95

APENDICE 3 ANUALIDADES GRADIENTE ARITMETICO Y GEOMETRICO ..... 104

APENDICE 4 MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE INVERSIÓN Y

TOMAR LA DECISIÓN. ................................................................................................. 119

APENDICE 5 BONOS ................................................................................................. 139

BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA ........................................................................................ 153

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 153

NETGRAFIA ................................................................................................................... 153

7

CAPÍTULO I

1. GENERALIDADES

1.1. ANUALIDADES O RENTAS

CONCEPTOS PRINCIPALES

Anualidad:

Una anualidad o renta es una serie de pagos periódicos, que cumplen con las

siguientes propiedades:

1. Todos los pagos son de igual valor.

2. Los pagos se efectúan a iguales intervalos o periodos de tiempo.

3. Todos los pagos son llevados al principio (Valor Actual = C o A) o al final (Monto = S) de

la serie a la misma tasa de interés.

4. El número de pagos es igual al número de periodos.

5. La denominación de anualidad se mantiene pese a que el periodo de pago no sea anual.

Pudiendo ser quincenales, mensuales, trimestrales, etc..

Renta (R):

Es el pago periódico.

Periodo o Intervalo de renta:

Es el tiempo que transcurre entre los pagos periódicos continuos.

Tasa de interés (i):

Porcentaje de interés que se fija para el pago de las rentas, el cual puede estar

expresado como una tasa nominal o como tasa efectiva; pero para el cálculo debe

expresarse conforme el periodo de pago de la renta.

Plazo de una Anualidad (n):

Es el tiempo que media entre el inicio del primer periodo y el final del último periodo.

Clasificación de las anualidades:

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1.- Ciertas: La serie de pagos tienen definida la fecha en la que se efectuará cada uno de

ellos. Debido a la forma de pago pueden ser Vencidas (Ordinarias), Anticipadas o Diferidas.

1.1.- Anualidades Simples: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés coincide

con el periodo de pago de la renta.

1.1.1.- Vencidas (Ordinaria)

1.1.2.- Anticipadas

1.1.3.- Diferidas

1.2.-Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés no

coincide con el periodo de pago de la renta. Ejemplo: Una serie de pagos mensuales con una

tasa efectiva trimestral, o una serie de pagos semestrales con una tasa que se capitaliza

trimestralmente.

2.- Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de inicio del

primer pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un evento que se sabe que

sucederá pero que se desconoce cuándo. Igualmente pueden ser Vencidas (Ordinarias),

Anticipadas o Diferidas. Ejemplos: Un seguro contra incendios, un seguro de vida, etc.

3.-Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas, se trata de una anualidad que

en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad se presenta cuando se coloca

un capital y únicamente se retiran intereses periódicamente.

4.- Anualidades con gradiente. Se denomina gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos

o desembolsos)periódicos que poseen una ley de formación, que hace referencia a que los

flujos de caja pueden incrementar o disminuir, con relación al flujo de caja anterior, en una

cantidad constante o en un porcentaje.

Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente, deben cumplir lassiguientes

condiciones:

Los flujos de caja deben tener una ley de formación.

Los flujos de caja deben ser periódicos

Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente.

La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.

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EXPLICACIONES Y EJEMPLOS

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS

1. Si el problema se enuncia por escrito, léelo cuidadosamente tantas veces como sea necesario, piensa en los datos que le dan, junto con la cantidad desconocida que debes encontrar.

2. Denote la cantidad desconocida mediante una letra. ¡Este es uno de los pasos cruciales en la solución!. Las frases que contienen palabras como: “qué, determine, encuentre, cuánto, a que tiempo, o cuando”, nos indican la cantidad desconocida.

3. Realice un dibujo, un gráfico, o un esquema con las anotaciones apropiadas “RECTA TIEMPO VALOR”

4. Haz una lista de los datos conocidos, junto con las relaciones que contienen la cantidad desconocida. Estas relaciones se pueden describir por medio de una ecuación “FÓRMULAS O ECUACIONES DE VALOR”.

5. Despeja de la fórmula básica, la variable desconocida si es necesario y reemplaza con los datos conocidos en el paso 4.

6. Efectúe los cálculos. 7. Verifique las soluciones obtenidas en el paso anterior, refiriéndolas al

enunciado original del problema. “NO SE OLVIDE DE EMITIR TU CRITERIO FINANCIERO”.

8. No se desanime si no puede resolver un problema dado. Se requiere esfuerzo y mucha práctica para adquirir habilidad para resolver problemas aplicados. ¡SIGA INTENTANDO!

A continuación le presento algunos ejemplos sobre anualidades e indico el

procedimiento para resolver, tendrá que los analizar y posteriormente resolver usted

solo sin mirar la solución dada, esto asegurará que ha aprendido. Entonces podrás

seguir ejercitándose, con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque.

Ejercicio No. 1

Mercedes Lozada hace depósitos mensuales de $ 300, el primer depósito lo efectúa al cumplir un mes de nacido su hijo; y lo continúa haciendo hasta cuando cumpla la mayoría de edad, (18 años) para hacerle la entrega del monto acumulado. Durante los primeros siete años la cuenta pagó el 28% anual convertible mensualmente; y en los siguientes once años el 2% mensual. ¿Cuánto es el monto acumulado que recibe?

. . . . .

0 1 2 3 84 216

R=300/mes

j=28%a.c.m i=2% mensual

10

Recuerde la definición de anualidad, para este ejemplo tenemos dos clases de

anualidades diferenciadas por la tasa de interés. Para la primera tenemos una tasa de

interés del 28% a.c.m que de acuerdo a la clasificación viene a ser una ACGVA y la

segunda que tiene una tasa de interés del 2% mensual y es ACSVA.

Ejercicio No. 2 Werner Kolb recibe un préstamo de $ 23.000 a 5 años plazo para la adquisición de un automóvil, comprometiéndose a pagar cuotas mensuales a una tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente. Calcular el valor de la cuota a pagar y el total de intereses.

. . . . .

0 1 2 3 60

R=mes j=15%a.c.m

23.000

59

Clasificación de la anualidad: ACGVI

11

Ejercicio No. 3

Walter Gaibor recibe un préstamo al Bancario a 5 años plazo e indica que su capacidad de pago es de $250 mensuales. Calcular el valor del préstamo que el banco le concedería si le cobra una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente?

. . . . .

0 1 2 3 60

R=250/mes j=18%a.c.m

A

59


Ejercicio No. 4

A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumula $600.000 luego de 15 depósitos semestrales de $12.000.

0 1 2 3 4 14 15

R=12.000/semestre i=?

600.000

12

El objetivo es encontrar la tasa i de acuerdo al apéndice 2 “Interpolación lineal”

La pregunta? qué valor se da a i. Al ser arbitrario; iniciemos con un valor del 1%.

i 0,01 0,02 0,05 0,1 0,15 0,16

VR 16,097 17,293 21,579 31,772 47,58 51,66

La diferencia entre el 1% y 2%, crece pero un valor pequeño, así mismo arbitrariamente

vaya al 5%, así como al 10%. Entre el 5% y 10% la diferencia es prácticamente de 10, podría

subir al 15% que sumado al 31, 77 le daría algo como 41,…continúe con el proceso.

Entre 15%(47,58) y 16%(51,56) está el valor buscado (50), utilice la fórmula de

interpolación lineal.

Puntos:

El presente cálculo se lo puede realizar con mayor exactitud, utilizando el Excel para

encontrar valores más cercanos para realizar la interpolación.

Ejercicio No. 5

Astrid Solano debe cancelar una deuda de $50.000 en dos años para lo cual abre una cuenta de inversión en donde decide hacer doce depósitos bimestrales, la cuenta paga el 4,5% bimestral. ¿Cuál es el valor de los depósitos anticipados que debe realizar?

13

…..

0 1 2 3 11 12

R=bimestral i=4.5% bimestral

50.000

NOTA: Puede utilizar la formula:

Ejercicio No. 6

Si se compra de contado una cocina se debe pagar $ 800. Se puede adquirir mediante 6 pagos bimestrales, el primero de los cuales debe ser realizado 6 meses después de la adquisición. La tasa de interés es del 3,5% bimestral. ¿Cuál es el valor de los pagos?

0 1 2 3 4 8

$800

R=bimestral i=3.5% bimestral

A

FF

Clasificación de la anualidad: ACGVD

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EJERCICIOS

a) Resuelva los siguientes ejercicios:

1.- Marcelo Páez recibió tres ofertas por su casa ubicada en el Condado, misma que se

encuentra de venta. La Primera consistía en $350.000 de contado. La segunda consistía en

$100.000 al contado y $10.200 cada fin de mes durante 30 meses. La tercera oferta era

$10.498 al mes durante tres años, sin enganche. Considerando una tasa de interés del 0,6%

mensual, ¿cuál de estas oferta le conviene aceptar?

2.- KADA Electronics S.A. ofrece una cámara de video, al contado en $478,50 o en pagos

mensuales anticipados de $18,74 cada uno. Determine el número de pagos que se debe

realizar, si se carga un interés del 24,6% anual capitalizable mensualmente.

3.- Calcule el monto y el valor actual de un conjunto de 24 depósitos bimestrales de $4.500

si el interés es de 5% trimestral. Utilice el método de tasa equivalente.

b) VERDADERO O FALSO Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

AFIRMACIÓN V F

Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales X

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de

la tasa de interés se trata de una anualidad caso general

X

Se dice que una anualidad es diferida cuando tiene periodos de gracia X

15

Una anualidad es vencida cuando se paga al inicio de cada periodo X

Cuando el número de periodos de pago tiende al infinito se trata de una

perpetuidad o anualidad perpetua

X

La tasa de interés en las anualidades puede estar expresada como tasa

nominal o tasa efectiva.

X

La tasa efectiva es siempre mayor que la tasa nominal X

AUTOEVALUACION

Hasta el momento cómo te evalúas: Excelente, bien, regular o mal.

Si no te evalúas al menos de “Bien”, debes volver atrás o elaborar un plan remedial para

superar las deficiencias, tú lo puedes hazlo con entusiasmo.

Si te sientes bien o excelente, ADELANTE Y FELICIDADES.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Baje de la web del Banco Central del Ecuador www.bce.fin.ec las “Tasas Efectivas Referenciales” que se encuentren vigentes a la fecha en que usted realiza su trabajo, (adjunte el impreso)

2. Transforme las tasas indicadas

No. Tasa Transforme a tasa nominal

Transforme a tasa efectiva

Tasas Vencidas

a. 9.5% a.c.s a.c.b. trimestral

b. 2.50% bimestral a.c.t cuatrimestral

c. 15.20% a.c.m a.c.c. mensual

d. 4.50% trimestral a.c.b. bimestral

NOTA: En los siguientes ejercicios realice la gráfica tiempo-valor

correspondiente y reconozca el tipo de anualidad de que se trata conforme el

cuadro sinóptico de clasificación de las anualidades.

http://www.bce.fin.ec/

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3. Juan Hernández necesita reunir $120.000 en 6 años y con este propósito realiza depósitos iguales cada semestre en un banco que abona el 3.5% de intereses. Transcurridos 2 años, el banco eleva la tasa al 5%. Hallar el valor de los depósitos anuales, antes y después de que el banco elevara la tasa de interés.

4. Un empresa desea construir una fábrica, por lo cual adquiere un terreno por la suma de$ 300.000 dando una cuota inicial del 15% y 24 cuota mensuales con una tasa de interés del 7.5%. Calcular el valor de las cuotas.

5. En lugar de estar pagando $450 de renta al principio de cada mes, por los próximos 8 años, Luis Romero decide comprar una casa. ¿Cuál es el valor efectivo de los 8 años de renta al 12.6% convertible mensualmente?

6. Constructora GMR: solicita un préstamo bancario para un proyecto inmobiliario a 3 años plazo, pagando cuotas bimestrales durante los 2 primeros años y en tiempo restante cuotas mensuales del mismo valor a una tasa de interés del 12%. Para seguridad del crédito el banco le entregara $350.000 ahora y $200.000 después de 12 meses. Determine la cuota a cancelar.

7. Una empresa necesitará reponer una máquina dentro de 4 años, la cual, en ese momento tendrá un valor de mercado de $ 100.000. De acuerdo a estudios de mercado realizados, se espera que la máquina cueste alrededor de $ 1´250.000 y se decide hacer un fondo para cubrir el costo. Si se puede obtener una tasa de interés del 14% a.c.s, ¿Cuánto se tiene que depositar cada bimestre para tener el dinero para reponer la máquina al final de su vida útil?

8. Al cumplir 45 años Rafael deposito $1.000 en un fondo que paga el 5.2%, y continuo haciendo depósitos similares cada año, el ultimo al cumplir 64 años. A partir de los 65 años, Rafael desea hacer retiros anuales de $2.000. (a) ¿Cuántos de dichos retiros podrá hacer? (b) ¿Con que retiro final, hecho un año después del último retiro completo, se agotara el fondo?

9. Para comprar un televisor con costo de $650, puede obtenerse un préstamo del banco ABC y liquidarlo con 12 pagos mensuales de $60 cada uno. También puede conseguirse el dinero en el banco XYZ y pagarlo con la suma de $750 al término de un año. Comparar las tasas de interés cargadas y demostrar que el plan del banco XYZ es más conveniente.

10. El señor Juan Pérez recibió tres ofertas al querer vender un apartamento, ubicado en Ambato. La primera consistía en $ 90.000 de contado. La segunda consistía en $ 30.000 de contado y $ 850 al mes durante 36 meses. La tercera era de $ 1.200 al mes durante 3,5 años. Si la tasa de interés es del 2% mensual. ¿Cuál de estas ofertas es la más ventajosa para el señor Juan Pérez?

11. Dentro de 10 años la compañía ELECTROLUX necesitara $120.000 para reemplazar maquinaria desgastada. ¿Cuál será el importe de depósito semestral que tendrá que hacer desde ahora en un fondo que le paga el 8% convertible semestralmente, durante 10 años, para acumular dicha suma?

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12. Cada bimestre el señor García deposita $ 520 en su cuenta de ahorros, la cual gana un interés del 8%. Después de 2años y medio, el señor García suspende los depósitos bimestrales y el monto obtenido en ese momento pasa a un fondo de inversión que da el 14% a.c.s. Si el dinero permaneció 3 años en el fondo de inversión, obtenga el monto final y el interés total ganado.

13. Francisco realiza el estudio de un proyecto en que puede pagar 30 cuotas trimestrales de $2.000 y dos cuotas extraordinarias de $15.000 y $15.000 en los meses 15 y 21 respectivamente. El estudio es presentado en una institución financiera que cobra como intereses el 10% ¿Cuál será el valor del crédito otorgado por el banco con esas condiciones?

14. Un documento ofrece pagos trimestrales de $ 30.000, iniciando el primer pago el 20 de abril de 1995 y terminando el 20 de abril de 2006. Si se desea cambiar este documento por otro que estipule pagos trimestrales de $X comenzando el 20 de abril de 1997 y terminando el 20 de octubre de 2001. Hallar el valor de la cuota, suponga una tasa del 24% a.c.t.

15. Una deuda se debe cancelar con 24 cuotas trimestrales iguales y un interés del 36% anual capitalizable mensualmente. Si una vez cancelada la cuota 15 se solicita refinanciar el saldo existente en dicho momento para cancelarlo con 12 cuotas mensuales iguales y al mismo interés, si se sabe que el valor de las nuevas cuotas es de $ 20.000. Encontrar el valor del préstamo inicial. ¿Cuál fue el saldo a financiar?.

16. Una máquina de tejer se vende en $420.000, si la venta es al contado se descuenta el 18%. A plazos puede comprarse con una cuota inicial de $120.000 y el saldo en 12 pagos mensuales. Hallar el valor de las cuotas mensuales y la tasa de interés anual cargada a la transacción.

17. Una institución financiera presta $ 1´800.000 al 1,5% mensual para ser cancelados con 36 cuotas mensuales iguales. Si una vez cancelada la cuota 20 se realiza un abono de $ 250.000. A) Encontrar el valor de las cuotas sin tener en cuenta el abono. B) ¿En cuánto disminuye la cuota con el abono, si el plazo del préstamo sigue siendo igual?.

18. Tengo una deuda de $ 20.000 adquirida al 6% bimestral y la cual debo pagar con 24 cuotas trimestrales iguales y vencidas, pero poseo dos bienes A y B que puedo arrendar desde hoy. Si espero que el arriendo del bien A me dé el 70% del valor de la cuota y el bien B lo restante, ¿cuál debe ser el valor del arriendo mensual anticipado de cada bien, de tal manera que se paguen las cuotas, si los dineros obtenidos los deposito en una corporación que reconoce el 2% mensual?

19. Al comprar un artículo se quedan debiendo $ 400.000, para cancelar en 5 años con cuotas mensuales iguales en el primer año; cuotas bimestrales iguales durante los 2 años siguientes y con cuotas trimestrales iguales para los dos últimos años. Si las cuotas bimestrales son el 30% más que las cuotas mensuales y las cuotas trimestrales son $ 100 más que las cuotas bimestrales, halle el valor de las cuotas a pagar para un interés de financiación del 8% a.c.s?

20. Mario Moreno con el fin de reunir $150.000 para dentro de 5 años, se abre una cuenta de ahorros con un depósito inicial de $30.000 y luego depósitos mensuales iguales durante

18

los cinco años. Si al cabo de dos años se debe retirar de la cuenta la suma de $25.000, hallar el valor de los depósitos mensuales para que a los cinco años se tenga la cantidad deseada, sabiendo que la cuenta de ahorros paga el 2% mensual durante los dos primeros años y el 2.5% mensual en lao tres años siguientes.

21. Al comprar mercancías se quedan debiendo $ 120.000, para cancelarlas en 4 años, por cuotas mensuales iguales el primes año, cuotas bimestrales iguales durante el segundo año y con cuotas trimestrales iguales para los siguientes 2 años. Si las cuotas mensuales son el doble de las cuotas bimestrales, y las cuotas trimestrales son la tercera parte de las cuotas mensuales, calcular el valor de las cuotas, sí la tasa de financiación es del 2% mensual.

22. EL CFN para la incentivar la producción de productos agrícolas de ciclos medianos, permite a un campesino adquirir equipos por valor de $90.000, para pagarlos dentro de 2 años, con 10 cuotas trimestrales. Si la ley fija el 4.5% de interés para estos préstamos, hallar el valor de las cuotas semestrales.

23. Un emprendimiento de un estudiante de la Modalidad a Distancia de la Facultad de Ciencia Administrativas; consiste el realizar pagos bimestrales de $8.000 durante 4 años; con una tasa de interés del 9.5%.Determine:

(a)El valor del préstamo proporcionado.

(b) Suponga que el valor del préstamo encontrado en (a) es cuestionado por el asesor

financiero del banco, argumentando que la cuota a entregar es demasiado alta y

siguiere que sea de $7.000 y 2 cuotas adicionales en el año 2 y 3 respectivamente;

determine el valor de las cuotas extras.

24. Los ex alumnos de la Universidad Central deciden donar a la institución un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $350.000 y el mantenimiento se estima en $30.000 anuales. Hallar el valor de la donación, si la tasa es 8% a.c.t.

25. La Junta Parroquial de San Peregrino para mantener en buen estado las carreteras vecinales, decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $100.000 cada 3 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6% anual.

26. Financiar $ 150.000 a tres años en cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la primera dentro de 4 meses y dos pagos adicionales por valor de $10.500 cada uno en los meses 10 y 20, sabiendo que la tasa de interés es del 15% anual durante el primer año y del 20% anual de ahí en adelante.

27. Diego Paredes tiene una deuda de $85.000 a cancelarse mediante pagos mensuales durante 3.5 años con una tasa del 9% a.c.b. Al finalizar el primer año hace un pago adicional de $15.700. A continuación acorta el periodo de pago en 1 año y renegocia el préstamo, sin modificar la tasa de interés.

a) Calcule el valor de las cuotas R1 y R2.

b) Determine la cantidad de intereses que ahorra con el refinanciamiento.

19

28. Una deuda de $ 80.000 se va a financiar en 24 cuotas mensuales, que aumentan en $ 10 cada mes. Si la tasas de interés es del 3% mensual, determinar el valor de la primera cuota y el valor de la cuota 12.

29. Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 150.000 a una tasa de interés del 2% mensual, por medio de 40 cuotas mensuales que aumenten cada mes $ 20. Calcular el valor de la primera cuota y el saldo de la deuda después de cancelar la cuota No 25.

RESPUESTAS EJERCICIOS ANUALIDADES O RENTAS

a) Resuelva los siguientes ejercicios

1.- Marcelo Páez recibió tres ofertas por su casa ubicada en el Condado,

misma que se encuentra de venta. La Primera consistía en $350.000 de

contado. La segunda consistía en $100.000 al contado y $10.200 cada fin de

mes durante 30 meses. La tercera oferta era $10,498 al mes durante tres años,

sin enganche. Considerando una tasa de interés del 0.6% mensual, ¿cuál de

estas oferta le conviene aceptar?

Solución:

Para poder comparar las tres ofertas, es necesario determinar el valor de

contado equivalente de cada una, esto es el pago inicial si lo hubiese más el

valor actual de la anualidad.

Oferta 1.

Precio de contado = $350.000

Oferta 2.

Precio de contado = 100.000 + 10.200 1-(1+0,006)-30

0,006

20

Precio de contado = $379.276,71

Oferta 3.

Precio de contado = 10.498 1-(1+0,006)-36

0,006

Precio de contado = $ 338.988,28

Sobre la base de estos valores, tenemos que la oferta 2 es la que más le

conviene.

2.- KADA Electronics S.A. ofrece una cámara de video, al contado en $478,50 o

en pagos mensuales anticipados de $18,74 cada uno. Determine el número de

pagos que se debe realizar, si se carga un interés del 24,6% anual capitalizable

mensualmente.

Solución:

Se trata de una anualidad anticipada

A = 478,50

R = 18,74

i = 0,246/12 = 0,0205

n = ?

21

Se debe despejar n de la fórmula de valor actual de una anualidad

anticipada, y se obtiene:

n = 1 - log(1+i –(Ai/R))

log(1+i)

n = 1 – log(1+0,0205-(478,50x0,0205/18,74))

log(1+0,0205)

n = 35,448 meses en teoría; en la práctica el resultado se debe ajustar a un

número entero. Se tienen dos posibilidades: 35 pagos iguales de 18,74 al

principio de cada mes y un último pago menor al inicio del mes 36 o 34 pagos

iguales y un último pago mayor. Tomando la primera opción tenemos que

calcular el valor del pago que amortiza toda la deuda, entonces establezco la

ecuación de valor:

478,50 = 18,74 1+ (1-(1+0,0205)-35+1) + X (1+0,0205)-35

0,0205

Despejo X

X = $8,44 es el valor del último pago a realizar.

3.- Calcule el monto y el valor actual de un conjunto de 24 depósitos

bimestrales de $4500 si el interés es de 5% trimestral. Utilice el método de tasa

equivalente.

R = $4.500

i = 5% trimestral

n = 24 depósitos bimestrales

22

Solución:

Se trata de una anualidad caso general por lo que se debe transformar la tasa

trimestral a bimestral

(1+0.05)4 = (1+i2)6 ; (1+0,05)4/6 – 1 = i2 ; i2 = 0,033062 bimestral

M = 4.500 (1,033062)24 – 1 = $161.000,68

0,033062

A = 4.500 1- (1,033062)-24 = $73.755,95 0,033062

b) VERDADERO O FALSO

1.2. AMORTIZACIONES Y FONDOS DE AMORTIZACION


Amortización:

Se utiliza el término amortizar para indicar el proceso por el cual se va cancelando una

deuda y sus respectivos intereses por medio de pagos periódicos.

AFIRMACIÓN V F

Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales X

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de la tasa de interés se trata de una anualidad caso general

X

Se dice que una anualidad es diferida cuando tiene periodos de gracia

X

Una anualidad es vencida cuando se paga al inicio de cada periodo X

Cuando el número de periodos de pago tiende al infinito se trata de una perpetuidad o anualidad perpetua

X

La tasa de interés en las anualidades puede estar expresada como tasa nominal o tasa efectiva.

X

La tasa efectiva es siempre mayor que la tasa nominal X

23

Capital o Saldo Insoluto: (Derecho del Acreedor):

Es la parte de la deuda que a la fecha no esta cubierta, o el valor presente de los

pagos que faltan por hacerse.

Capital Pagado: (Derecho del Deudor=Parte amortizada)

Es la parte de la deuda que a la fecha está cubierta.

Amortización Gradual: (Método Francés de amortización)

En este método la cuota o pago es fijo durante los periodos de pago.

Fondo de amortización o de valor futuro:

Es la cantidad que se va acumulando mediante pagos periódicos los cuales devengan

un interés de manera que luego de transcurrir un determinado número de periodos se

alcanza una cantidad prefijada.


A continuación encontrará ejemplos que te permitirán comprender de mejor manera

como se construyen y reconstruyen las tablas de amortización y de fondos de valor

futuro, para esto, tendrá que los analizar y posteriormente resolverlos usted solo sin

mirar la solución dada, esto asegura que ha aprendido. Entonces podrá seguir

ejercitándose, con los ejercicios que se proponen al final del presente bloque.

Ejercicio No. 1

Sinka S.A. obtiene un préstamo de $ 30.000 a tres años plazo con una tasa de interés del 17,5 % anual capitalizable trimestralmente, que tiene que pagar mediante cuotas trimestrales. Calcular la cuota trimestral y elaborar la tabla de amortización.

……..

0 1 2 3 11 12

j=17.5%a.c.tR=trimestral

30.000

24

Clasificación de la anualidad:ACGVI

columna b c d e

N bn=bn-1-e n-1 bxi R=c+e R-c

Período Cap. Insol

Inicio Período

Int. Venc

Fin Período

Cuota

pago

Capital

Pagado

1 30.000,00 1.312,50 3.266,50 1.954,00

2 28.046,00 1.227,01 3.266,50 2.039,49

3 26.006,51 1.137,78 3.266,50 2.128,72

4 23.877,79 1.044,65 3.266,50 2.221,85

5 21.655,94 947,45 3.266,50 2.319,06

6 19.336,88 845,99 3.266,50 2.420,51

7 16.913,37 740,09 3.266,50 2.526,41

8 14.389,96 629,56 3.266,50 2.636,94

9 11.753,02 514,19 3.266,50 2.752,31

10 9.000,71 393,78 3.266,50 2.872,72

11 6.127,99 268,10 3.266,50 2.998,40

12 3.129,58 136,92 3.266,50 3.129,58

Total 9.198,03 39.198,03 30.000,00

Otra forma en la que se presenta la tabla de amortización, cuya utilización es más

común

25

Periodo Renta Intereses Capital

Saldo Insoluto

0 30.000,001 3.266,50 1.312,50 1.954,00 28.046,002 3.266,50 1.227,01 2.039,49 26.006,513 3.266,50 1.137,78 2.128,72 23.877,794 3.266,50 1.044,65 2.221,85 21.655,945 3.266,50 947,45 2.319,06 19.336,886 3.266,50 845,99 2.420,51 16.916,377 3.266,50 740,09 2.526,41 14.389,968 3.266,50 629,56 2.636,94 11.753,029 3.266,50 514,19 2.752,31 9.000,71

10 3.266,50 393,78 2.872,72 6.127,9911 3.266,50 268,10 2.998,40 3.129,5812 3.266,50 136,92 3.129,58 0,00

Ejercicio No. 2

Ramiro compra una refrigerador cuyo precio de lista es de $520 con una cuota de entrada del 25% y el saldo a 24 meses plazo, que tiene que pagarse en cuotas mensuales con una tasa de interés del 16.4% anual capitalizable mensualmente., calcular el saldo de la deuda luego de haber pagado 20 cuotas y los derechos del acreedor y los derechos del deudor en dicha fecha.

……..

0 1 2 3 23 24

j=16.4%a.c.mR=mensual

390

…..

19 20

Clasificación de la anualidad:ACGVI

26

Ejercicio No. 3 ¿Cuántos pagos mensuales de $125 son necesarios para cancelar una deuda de $ 2.000 si la tasa de interés es del 30% anual convertible mensualmente? ¿Cuál es el valor del último pago (en los dos casos)?

……..

0 1 2 3 n-1 n

j=30%a.c.mR=$125 mes

$2.000

…..


1. Sería necesario realizar 19 pagos de $ 125 y un pago final mayor

27

……..

0 1 2 3 19 20

j=30%a.c.mR=$125 mes

$2.000

…..

R20

FF

S+x

2. Hacer 20 pagos de $ 125 y un pago final menor.

Ejercicio No. 4

Audrey para adquirir su vivienda recibe del Banco de Aarón un préstamo hipotecario de $50.000 a 15 años plazo, a ser cancelado mediante pagos mensuales a una tasa del 17,5% a.c.m. Se desea conocer el valor de la cuota mensual y reconstruya la tabla para los últimos 5 periodos.

28

……..

0 1 2 3 179 180

j=17.5%a.c.mR=mensual

$50.000

…..


Período R Interés Amortización Saldo

insoluto

175 787,29 3769,96

176 787,29 54,97 732,32 3.037,64

177 787,29 44,29 743,00 2.294,63

178 787,29 33,46 753,83 1.540,80

179 787,29 22,46 764,83 775,98

180 787,29 11,31 775,98 0,00

Ejercicio No. 5

Kompsys Cía. Ltda. desea acumular un fondo para reposición de activos por un valor

de $ 120.000 durante 10 años en una institución financiera que le reconoce una tasa

de interés del 14% anual capitalizable mensualmente, calcular el valor del depósito

29

mensual y reconstruir la tabla de valor futuro o de fondos de amortización para los

últimos 6 períodos.

Fondo reposición de activos $ 120.000

t = 10 años n = 10x12 = 120

j = 14% a. c. m = i = 1,17% mensual

R =? mensual

Reconstruir la tabla de valor futuro de fondos de amortización para los últimos 6

períodos

R = S (i) . R = 120.000 x 0,0117

(1 + i ) n -1 ( 1 + 0,0117)120 –1

R = 462,08

Saldo Insoluto = Monto - Valor Acumulado

M = 114 SI = 120.000 - 462,08 ( 1 + 0,0117 )114 - 1

0,0117

SI = 120.000 - 109.248,054 = 10.751,95

Período Depósito Acum. Int. Total Fondo Fondo Acum.

115 462,08 1.278,20 1.740,28 110.988,34

116 462,08 1298,56 1.760,64 112.748,98

117 462,08 1.319,16 1.781,24 114.530,22

118 462,08 1.340,00 1.802,08 116.332,30

119 462,08 1.361,09 1.823,17 118.155,47

120 462,08 1.382,42 1.844,50 120.000,00

30

EJERCICIOS

1. Resuelve los siguientes ejercicios:

1.- Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el

valor de estos, a la tasa del 8% efectiva anual, y elaborar la tabla de amortización para los

dos primeros meses.

2.- Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y el saldo en 8

cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente. Hallar los

derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago.

3.- Se crea un fondo para reposición de un vehículo, depositando $5.000 semestrales, la

cuenta paga el 6% anual capitalizable semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 años

y construya la tabla del fondo.

2. VERDADERO O FALSO

3. CASAMIENTOS

Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsa V

F

El término amortización es sinónimo de fondo de amortización. X

En la amortización la cuota o renta está compuesta por el aporte al

capital y los intereses generados

X

Si bien la cuota es constante el valor correspondiente al capital aumenta

mientras que los intereses disminuyen conforme transcurren los

periodos.

X

En las primeras cuotas se paga más capital que intereses X

El capital insoluto luego del pago de una cuota es igual al saldo insoluto. X

Un fondo de amortización se consigue al realizar pagos periódicos, los

cuales ganan intereses hasta alcanzar una cantidad dada en un

determinado tiempo

X

http://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtml#SISTEM

http://www.monografias.com/Derecho/index.shtml

31

Una con líneas las siguientes definiciones con los conceptos correspondientes.

AUTOEVALUACION

Hemos terminado de ver la amortización de deudas por el método gradual y la constitución

de fondos de valor futuro;el momentoque se evalúellegó.

¿Cuál fue tu calificación? Excelente, buena, regular o mal.

Si no te sientes satisfecho con la evaluación, debes volver atrás y revisar los conocimientos

o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias, hazlo con entusiasmo, TÚ LO

PUEDES.

Si te sientes bien o excelente, SIGUE ADELANTE Y FELICIDADES.


1. Un comprador puede escoger entre dos máquinas. La primera produce 100 unidades anuales, cuesta $2.000, tiene una vida útil de 8 años y requiere $600 anuales para mantenimiento; la segunda, produce 125 unidades anuales, cuesta $2.500, la vida útil es de 10 años y requiere $750 anuales para mantenimiento. Comparar el costo unitario en cada máquina suponiendo que se desea un rendimiento de 20%.

2. Una deuda de $3.600 con intereses al 6% convertible semestralmente se va amortizar mediante pagos semestrales de $900 cada uno, el primero con vencimiento en 6 meses, junto con un pago final si fuera necesario. Construir una tabla. Hallar independiente el número de pagos y el valor del último pago, además el capital insoluto justamente después del tercer pago.

3. Un fondo de amortización está siendo acumulado al 3%, mediante depósitos de $3.000 anuales. Si el fondo tiene $103.279,40 justamente después del k-ésimo deposito. (a) ¿Cuánto tendrá después del (k-1) deposito? ¿Cuánto tendrá justamente después del (k+1) deposito?

4. Luis Padilla desea ahorrar $45.000 para dar de enganche para adquirir su nuevo vehículo. Si ahorra $2.500 mensuales en una cuenta de ahorros que paga el 5% a.c.b. ¿Cuántos depósitos se necesitará, y cuál será el valor del depósito final menor? Determine:

DEFINICIONES CONCEPTOS

Derecho del deudor Saldo insoluto

Derecho del acreedor Monto de las cuotas aportadas

Valor acumulado Capital amortizado

32

a) El número de pagos iguales necesarios

b) El valor del último pago

c) Elabore la tabla de amortización de los 4 primeros periodos y el los 2 últimos.

5. Juan Gabriel tiene una deuda de $85.000, la cual debe pagarla en 5 años mediante cuotas semestrales, la tasa a la que obtuvo el préstamo fue 18% a.c.s. Realice lo siguiente:

a) Determine el valor de la cuota. b) Elabore las tablas de amortización (3) por el 1. Método Alemán; 2. Método

Francés “Amortización Gradual”, Método Americano. c) Determine las ventajas y desventajas de cada método.

6. La Cruz Roja Ecuatoriana adquiere un automóvil que cuesta $35.000. Paga $4.500 en efectivo y el resto lo paga con un préstamo de interés social otorgado por una institución de seguridad social estatal que cobra 0.4% quincenal de interés. Hallar el valor de los derechos adquiridos al momento de realizar el vigesimoctavo pago si lo acordado fue liquidar el saldo a 3.5 años mediante pagos quincenales vencidos.

7. Una deuda de $25.000 se va amortizar mediante 7 pagos mensuales vencidos; los 2 primeros de $3.500, los 3 siguientes $2.000, el sexto de $4.000. Calcule el valor del séptimo pago para saldar completamente la deuda si la operación se pactó al 24%a.c.m

8. Rubén Tapia ahorró $1.500 mensuales durante un año, el rendimiento para cada trimestre fue del 3.5%, 3.0%, 3.8%, 4.0%. Determine:

Realice una tabla de fondo de amortización para determinar el acumulado en el año.

Compruebe el resultado obtenido analíticamente.

9. Industrias del Pacifico S.A. compra maquinaria con valor de $500.000 mediante un crédito bancario a una tasa de interés del 10% simple anual, que liquidará con un pago único a los 3años. Simultáneamente constituye un fondo con reservas bimestrales que ganan una tasa del 8% a.c.t.

a) De cuánto es cada una de las reservas bimestrales. b) Haga la tabla del fondo en sus primeros cuatro renglones y los 2 últimos.

10. Una persona tiene una deuda de $16.000 que convino en pagar con pagos bimestrales e iguales durante un año con intereses al 18% convertible cada 2 meses. ¿Cuántos pagos le faltan hacer si el saldo si el saldo de su deuda es de $8.534,47?

11. Una deuda de $75.000 va a ser liquidada al término de 20 años, teniéndose que pagar intereses de 4% convertible trimestralmente, cada 3 meses. Puede establecerse un fondo

33

de amortización mediante depósitos trimestrales iguales, el primero de los cuales vencería en tres meses, ganando intereses de 3% convertible trimestralmente. Hallar, (a) el costo trimestral de la deuda. (b) la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual podría ser amortizada la deuda con el mismo gasto trimestral.

RESPUESTAS EJERCICIOS

a) Resuelve los siguientes ejercicios

1.- Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos.

Hallar el valor de estos, a la tasa del 8% efectiva anual, y elaborar la tabla de

amortización para los dos primeros meses.

Solución:

(1+0,08)1/12 = (1+ i2)12/12 ; i2 = 6,43 *10-3

20.000 = R 1 - (1 + 0,0064)-12

0,0064

R = 1.737,19

Tabla de amortización del préstamo

http://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtml#SISTEM

34

2.- Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y

el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible

semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al

efectuarse el quinto pago.

Solución:

300.000 – 100.000 = 200.000 valor financiado

200.000 = R 1 - (1 + 0,05)-8

0,05

R = 30.944,36

Periodo Cuota Interés Amortización Saldo

0 1.737,19 0 0 20.000

1 1.737,19 128,68 1.608,50 18.391,49

2 1.737,19 118,33 1.618,85 16.772,63

3 1.737,19 107,91 1.629,27 15.143,36

4 1.737,19 97,43 1.639,75 13.503,60

5 1.737,19 86,88 1.650,30 11.853,30

6 1.737,19 76,26 1.660,92 10.192,37

7 1.737,19 65,57 1.671,61 8.520,26

8 1.737,19 54,82 1.982,36 6.838,40

9 1.737,19 43,99 1.693,18 5.145,21

10 1.737,19 33,10 1.704,08 3.441,13

11 1.737,19 22,14 1.715,04 1.726,08

12 1.737,19 11,10 1.726,08 0

http://www.monografias.com/Derecho/index.shtml

35

M = 30.944,36 (1 + 0,05)5 - 1

0,05

M = 170.987,13

MIC = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31

Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17

Derecho del Comprador + 84.269,17 = 300.000

Derecho del Comprador = 215.730.83

3.- Se crea un fondo para reposición de un vehículo, depositando $5.000

semestrales, la cuenta paga el 6% anual capitalizable semestralmente. Hallar el

valor acumulado en 5 años y construya la tabla del fondo.

Solución:

j = 0,06 a.c.s.

m = 2

i = 0,06/2 = 0,03 semestral

M = 5.000 (1 + 0,03)10 -1 = 57.319,39

0,03

36

Tabla del fondo de amortización

b)VERDADERO OFALSO

Periodo Cuota Interés Valor

agregado al

fondo

Fondo

acumulado

0 0 0 0 0

1 5.000 0 5.000 5.000

2 5.000 150 5.150 10.150

3 5.000 304,5 5.304,5 15.454,5

4 5.000 463,63 5.463,63 20.918,13

5 5.000 627,54 5.627,54 26.545,67

6 5.000 796,37 5.796,37 32.342,04

7 5.000 970,26 5.970,26 38.312,31

8 5.000 1.149,36 6.149,36 44.461,68

9 5.000 1.333,85 6.333,85 50.795,53

10 5.000 1.523,86 6.523,86 57.319,39

37

Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN

V F

El término amortización es sinónimo de fondo de amortización. X

En la amortización la cuota o renta esta compuesta por el aporte al capital y los intereses generados

X

Si bien la cuota es constante el valor correspondiente al capital aumenta mientras que los intereses disminuyen conforme transcurren los periodos.

X

En las primeras cuotas se paga más capital que intereses X

El capital insoluto luego del pago de una cuota es igual al saldo insoluto.

X

Un fondo de amortización se consigue al realizar pagos periódicos, los cuales ganan intereses hasta alcanzar una cantidad dada en un determinado tiempo

X

38

c) CASAMIENTOS



Derecho del deudor Saldo insoluto

Derecho del acreedor Monto de las cuotas aportadas

Valor acumulado Capital amortizado

39

CAPÍTULO II

2. EVALUACION FINANCIERA

2.1. VALOR ACTUAL NETO VAN, LA TASA INTERNA DE RETORNO TIR,

RELACIÓN IR BENEFICIO/COSTO Y LA TASA REAL


Valor Actual Neto (VAN):

También es conocido como valor presente neto (VPN).

El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros del proyecto a

una tasa de descuento igual al costo de oportunidad, sumarlas todas y restar la inversión

inicial en tiempo cero.

Criterio de aceptación VAN:

Cuando VAN > 0, el proyecto es atractivo

Cuando VAN = 0, el proyecto es indiferente

Cuando VAN < 0, el proyecto es inconveniente

Tasa Interna de Retorno (TIR):

Es la tasa de descuento que hace que la suma de los valores presentes de los flujos

netos efectivo de un proyecto sea igual a la inversión inicial óla tasa que origina un

VAN igual a cero.

La TIR es una característica propia del proyecto, totalmente independiente de la situación

del inversionista, es decir, de su tasa de interés de oportunidad.

Criterio de aceptación TIR:

Si la TIR es mayor que el costo del capital o de oportunidad, aceptase la inversión; es

decir, si el rendimiento de la inversión es mayor al mínimo utilizado como aceptable la

inversión es económicamente rentable.

Paybackó Periodo de Recuperación:

40

Es el tiempo en el que se recupera el dinero invertido en un proyecto.

Criterio de aceptación del Payback:

Se considera mejor proyecto, en el que la recuperación es más rápida.

Tasa Real:

Se da al relacionar mediante la fórmula de Fisher, la tasa efectiva anual con la tasa de

inflación.

Las tasas de interés real influyen significativamente en las economías de mercado, en el

ahorro, en los endeudamientos, y en las decisiones de inversión para poder calcular su

verdadera rentabilidad una vez que se ha quitado el efecto de la inflación.

Si r> 0 es positiva entonces se gana

Si r= 0 se mantiene el poder adquisitivo

Si r< 0 es negativa entonces pierde


A continuación encontrará ejemplos que te permitirán comprender de mejor manera

los temas tratados en este bloque, para esto, tendrás que analizarlos y posteriormente

resolverlos tú solo sin mirar la solución dada, esto asegurará que ha aprendido.

Entonces podrá seguir ejercitándote, con los ejercicios que se proponen al final del

presente bloque.

Ejercicio No. 1

Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 años de un

proyecto X. Si se considera el costo del capital r = 10% y una inversión

inicial de $600.000, en el año cero, calcular el VAN al 10% y la tasa interna

de retorno.

AÑO 0 1 2 3 4 5 6

Inversión

Inicial

600 - - - - - -

Ventas - 500 500 500 500 500 500

41

- Costo de Op. - 350 350 350 350 350 350

- Depreciación - 100 100 100 100 100 100

= Utilidad (sin

Impuestos)

- 50 50 50 50 50 50

FLUJO NETO

DE CAJA

(UTILIDAD +

DEPRECIACI

ON)

600 150 150 150 150 150 150

Valores expresados en miles de UD$

VANr% = -II + Σ FNEj donde j va de 1 a n

(1+r)j

VANr% = -600 + 150 + 150 + 150 + 150 + 150 + 150 .

(1+r)1 (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5 (1+r)6

Se calcula el VAN10% , utilizo inicialmente el costo de oportunidad,

r VANr%

0,10 53,29

VAN10% > 0 entonces es conveniente efectuar la inversión en el proyecto

A continuación pasamos al análisis de la TIR para lo cual aplicamos Interpolación

(Vea Apéndice Interpolación Lineal)

Conociendo que para interpolar:

1. La TIR genera un valor de VAN = 0, y que este valor es el de referencia para interpolar por lo que requiero adicionalmente dos valores de VAN uno + y otro –

2. Que un valor actual es inversamente proporcional a la tasa es decir que si sube la tasa baja el VAN y viceversa.

42

Procedo a buscar esos valores haciendoVANr%; teniendo como partida el valor de r

=10%, VAN10%= 53,29 y aplicando el numeral 2, subo la tasa para acercarme a cero

haciendo varias iteraciones, entonces:

r VANr%

0,10 53,29

0,12 + 16,72

0,14 -16,71

Así, obtengo los VAN + y – cercanos a cero, podría seguir intentando acercarme más

al valor de cero y obtener mayor precisión en el cálculo.

Aplico la fórmula de la TIR.

r1 = 12% y r2 = 14%

TIR = r1 + (r2 – r1) VAN1

VAN 1 – VAN 2

TIR = 0,12 + (0,14 – 0,12) 16,72

16,72 – (-16,71)

TIR = 0,12 + 0,01 = 0,13

TIR = 13%

Que, de acuerdo con las condiciones del problema, indica que la

inversión podrá ser ventajosa ya que el costo del capital es 10%.

Detalle de los cálculos del VAN

Con r = 12% Con r = 14% Con r = 10%

VANr VAN1 VAN2 VAN10%

43

-II = -600 -600 -600 -600

+FNE1 = 150 = 133,93 131,58 136,36 (1+r)1

+FNE2 = 150 = 119,58 115,42 123,97 (1+r)2

+FNE3 = 150 = 106,78 101,25 112,70 (1+r)3

+FNE4 = 150 = 95,33 88,80 102,45 (1+r)4

+FNE5 = 150 = 85,11 77,90 93,14 (1+r)5

+FNE6 = 150 = 75,99 68,34 84,67 (1+r)6

= VANr = + 16,72 - 16,71 53,29

Ejercicio No. 2

Calcular la tasa de interés real que se cobra en un país cuya tasa de

interés efectiva es 15% y la tasa de inflación o variación porcentual del

índice de precios al consumidor es 20% ¿Cuánto gana o pierde una

empresa que invierte $ 100.000 en 1 año?.

Solución:

r = 100 i – d = 100 0,15 – 0,20

1+ d 1 + 0,20

r = 100 (- 0,041667) = - 4,1667% da una tasa negativa (pérdida) I = 100.000 -4,1667 = - $ 4.166,67

100

Respuesta.

Pérdida de $ 4.166,67, en términos financieros.

EJERCICIOS

44

a) Resuelve los siguientes ejercicios:

1.- Kompsys S.A. proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es

rentable:

Inversión = $ 100000,000

Ingreso anual promedio = 30000,000

Costo anual de operación = 5000,000

Depreciación anual = 20000,000

Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5 años si se

considera como costo de capital del 7%.

2.- Un grupo de inversionistas desea conocer la factibilidad de incursionar en un proyecto

industrial para lo cual dispone de $2600,000, para invertir, los flujos del proyecto estimados

para los próximos 5 años serán:


c) CASAMIENTOS


Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

AFIRMACIÓN

V F

El VAN es igual al valor presente neto. X

Un VAN negativo indica que la inversión es ventajosa realizarla. X

Si el VAN = 0 cuando se toma como r la tasa de inflación quiere decir

que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en el negocio.

X

La TIR es igual para todos los proyectos. X

La TIR se considera como la tasa máxima a la que se debe aceptar un

préstamo.

X

La fórmula de Fisher es usada para el cálculo de la tasa real X

45

AUTOEVALUACION

Terminaste el tercer bloque de la guía. ¿Estas satisfecho con lo que haz aprendido aquí o

todavía tienes dificultades?

Si no te sientes satisfecho con tu evaluación, debes volver atrás y revisar los conocimientos

o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias, hazlo con entusiasmo, TÚ LO

PUEDES.

Si te sientes bien o excelente, SIGUE ADELANTE FELICITACIONES.


a) Indique los conceptos: - Proyectos convencionales,

- Proyectos mutuamente excluyentes

- Tasa real

- TMAR

- Costo de oportunidad

- Costo de capitalSimple y Mixto

- Índice de inflación anual

- VAN, TIR, Payback Contable yPaybackDescontado

-Relación IR Beneficio/Costo

Baje de la página del Banco Central del Ecuador www.bce.gov.ec , la inflación anual y el riesgo país adjunte al trabajo. Con estos datos calcule la TMAR para una inversión en el país.

Calculo de la TMAR


VAN > 0 Conviene el proyecto

Tasa real ( - ) No conviene el proyecto

TIR < Costo de oportunidad Se pierde

http://www.bce.gov.ec/

46

a. CUCASA, está interesado en invertir en algunos proyectos en un país donde

la inflación anual es de 7.5% y la tasa de riesgo país se encuentra en 5.3%.

Determine la TMAR que cada proyecto con su TIR debe superar para que sea

considerado aceptable para invertir.

b. AMBIENTESA, para emprender un proyecto requiere una inversión inicial de

$900.000, los cuales pueden ser financiados así:

Determine el costo del capital?

RTS está analizando un proyecto de inversión para lo que requiere financiar $550.000,mismo que está compuesto de la siguiente manera:

Entidad Monto Tasa

Accionistas 250.000 10,60%

Financiera 1 100.000 11,70%

Financiera 2 200.000 9.50%

Total

El proyecto tiene el siguiente patrón de flujos de efectivo esperados.

Año 0 1 2 3 4 5

Fuente Cantidad

US$.

Tasa

Banco de Crédito 500.000 18.50%

Cooperativa Los Andes 200.000 14.30%

Accionistas 150.000 17.50%

BIESS 50.000 10.40%

Total

47

Flujo de efectivo (en

miles de $)

550 200 300 200 170 180

a. Calcule la TMAR (Costo de capital mixto)

b. Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto?

c. Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto?

d. Calcule el PAYBACK descontado. Debe aceptar el proyecto?

e. Calcule el IR e interprete.

A un inversionista se le presentan dos proyectos alternativos, A y B, con los siguientes flujos de efectivo al final de cada año. Cada proyecto requiere una inversión de $300.000. Cuál proyecto se escogería si:

a. La tasa es del 14% anual

b. Calcule el IR de cada proyecto

Año 1 2 3 4

Proyecto A $ 100.000 $ 100.000 $ 200.000 $ 250.000

Proyecto B $ 300.000 $ 100.000 $ 100.000 $ 150.000

Neplo Cía. Ltda. Proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: Inversión = $400.000

Ingreso anual promedio = $300.000

Costo anual de operación = $ 75.000

Depreciación anual = $ 6.000

Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5 años y se

considera como costo de oportunidad el 8% a.c.t. En el año 4 existe un ingreso adicional de

$80.000

Considere una tasa de impuestos del 22%, calcule su valor actual neto y la TIR con los flujos

después de impuestos manteniendo el mismo costo de oportunidad

POLYQUIM Cía. Ltda. ha realizado una inversión por el valor de $ 2’000.000, los flujos netos de caja generados son:

48

a) Calcular el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR) e indicar si la

inversión es rentable, considerando que el costo de oportunidad del dinero es del 16%.

b) Calcular el VAN y la TIR si el costo del dinero se estima en el 14% anual, se presentan

cambios o no, en los nuevos resultados, explique brevemente el porqué de cada uno de

ellos.

Raúl Mendieta, 4 años atrás adquirió una casa, por la que pagó $ 105.000 de contado. Durante este tiempo arrendó su casa, los arriendos anuales ahorrados fueron: 6.800, 6.900, 7.500, 7.500 y 8.000 dólares. Además, al final del quinto año vende su casa, por el valor de $ 180.000.

Cuál es la rentabilidad lograda por el Sr. Mendieta en la adquisición de la vivienda?

¿Es una buena inversión explique su respuesta?

CONSTRUIRSA ha determinado el siguiente flujo neto semestral para un proyecto que tendrá una duración de 4 años:

Ingreso anual promedio = $100.000

Costo anual de operación = $ 12.000

Depreciación anual = $ 6.000

La inversión del proyecto se realizara mediante la entrega de $15.000 al inicio de

cada mes durante un año, teniendo un costo de oportunidad del dinero del 12%.

Determine la conveniencia o no del proyecto.

Luis Peralbo ha invertido USD. 25.675 a una tasa del 6.2% a.c.b ¿Cuál es la tasa real que gana si la inflación promedio anual es 6.5%. Cuánto gana o pierde?

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo neto

de caja (en

miles de

US$)

-2.000 480 730 480 700 850 900

49

Determine la tasa efectiva que se gana en un país donde la inflación es del 10% anual si la tasa real es 20%. Si se invirtió USD. 38.000. Cuánto gana o pierde?

Rubén Arciniegas al invertir $25.500, obtuvo un ganancia real de $5.200si el país donde vive tiene una inflación del 8% determine la tasa efectiva anual que le ofrecieron.


a) Resuelve los siguientesejercicios:

1.- Kompsys S.A. proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión

es rentable:

Inversión = $ 100,000,000

Ingreso anual promedio = 30,000,000

Costo anual de operación = 5,000,000

Depreciación anual = 20,000,000

Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5

años si se considera como costo de capital del 7%.

FORMULA PARA EL CALCULO DEL VAN

AÑO

0

1

2

3

4

5

INVERSIÓN

INICIAL

100,000,000

INGRESO

ANUAL

30,000,000

30,000,000

30,000,000

30,000,000

30,000,000

COSTO ANUAL

OPERACIÓN

5,000,000

5,000,000

5,000,000

5,000,000

5,000,000

DEPRECIACIÓN 20,000,000 20,000,000 20,000,000 20,000,000 20,000,000

UTILIDAD SIN

IMPUESTOS

5,000,000

5,000,000

5,000,000

5,000,000

5,000,000

FLUJO NETO DE

CAJA

100,000,000

25,000,000

25,000,000

25,000,000

25,000,000

25,000,000

50

VAN = - II + FNE 1 + FNE 2 + FNE 3+.......... + FNE n

(1+r)1 (1+r)2 (1+r)3 (1+r)n

Primeramente se procede a calcular el FNE para obtener el VAN.

CALCULO DEL VAN, (VAN1 Y VAN2 PARA EL CALCULO DE LA TIR)

i = 7%

VAN7% = 2504.935,90 = VAN1

Como él VAN7% = 2504.935,90 > 0 es atractiva la inversión.

Para calcular TIR

i = 9.0% = r1

VAN9% = -2758.718,42

i = 8.0% = r2

VAN8% = -182.249,07 = VAN2

TIR = r1 +(r2 - r1) VAN 1 .

VAN1 - VAN2

TIR = 0.07 +(0.08 - 0.07) 2504.935,90 . =

2504.935,90 + 182.249,07

TIR = 7,93%

La inversión es rentable ya que el costo de oportunidad del dinero de 7% es <la

TIR de 7,93%.

51

2.- Un grupo de inversionistas desea conocer la factibilidad de incursionar en

un proyecto industrial para lo cual dispone de $2,600,000, para invertir, los flujos

del proyecto estimados para los próximos 5 años serán:

AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 AÑO 5

400 750 1.100 1.200 1.400

Valores en miles

Se considera que la inflación del país será del 18%.

¿Conviene o no, que realicen la inversión?

¿Cuál es la tasa de rentabilidad real que gana la inversión, cuánto gana o

pierde?

VAN

r = i

0 - 2.600

1

FNE= 400 . ( 1 + i)1

2

FNE= 750 . ( 1 + i)2

3

FNE= 1.100 . ( 1 + i)3

4

FNE= 1.200 . ( 1 + i)4

5

FNE= 1.400 . ( 1 + i)5

VAN

i = 18%

VAN18% = 178.015 = VAN1

Como él VAN18% = 178.015 > 0 es atractiva la inversión.

Para calcular TIR

i = 20,0% = r1

VAN20% = 32,073

i = 21,0% = r2

VAN21% = -36,671 = VAN2

52

TIR = r1 +(r2 - r1) VAN 1 .

VAN1 - VAN2

Calculo la TIR

TIR = 0,20 + (0,21 - 0,20) 32,073 . = 0,20467

32,073 - (- 36,671)

TIR = 20,467% Es rentable la inversión ya que la TIR> que la tasa de inflación del

18% lo que permite mantener el poder adquisitivo de la moneda.

Rentabilidad Real:

Tr = (0,20467 – 0,18)/(1+0,18) = 0,0209 La tasa real de rentabilidad es el 2,09%

gana.


Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas AFIRMACIÓN

V F

El VAN es igual al valor presente neto. X

Un VAN negativo indica que la inversión es ventajosa realizarla. X

Si el VAN = 0 cuando se toma como r la tasa de inflación quiere decir que se mantiene el poder adquisitivo al invertir en el negocio.

X

La TIR es igual para todos los proyectos. X

La TIR se considera como la tasa máxima a la que se debe aceptar un préstamo.

X

La fórmula de Fisher es usada para el cálculo de la tasa real X

c) CASAMIENTOS



VAN > 0 Conviene el proyecto

Tasa real ( - ) No conviene el proyecto

TIR < Costo de oportunidad Se pierde

53

2.2. DOCUMENTOS FINANCIEROS Y BONOS


Bono:

Es una obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o entidad particular,

a un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses pagaderos en períodos

regulares.

Valor nominal:

Es el que se hace referencia a su denominación el principal o capital que se señala en

el bono es el valor nominal.

Valor de redención:

Es el valor que recibe el tenedor del bono, por lo general el valor de redención es igual

al valor nominal, en este caso se dice que el bono es redimible a la par. De otra forma,

el valor de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal omitiéndose la

palabra por ciento.

Cupón:

En la mayoría de bonos, los pagos de interés se los hace contra la presentación de

cupones; éstos cupones están impresos en serie y ligados a la misma obligación y

cada uno tiene impresa su fecha de pago. Tanto los cupones como el bono mismo son

pagarés negociables; en el caso de bonos registrados, tanto en el principal como en los

intereses, los cupones no son necesarios ya que los intereses se pagan directamente,

a la persona registrada como tenedor del bono.

Precio de los bonos:

El precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el comprador

y el vendedor; este valor depende básicamente de los siguientes factores: (1) tasa de

interés e intervalo de los cupones; (2) tasa de interés local para las inversiones; (3)

tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento; (4) precio de redención; (5) las

condiciones económicas imperantes; (6) confiabilidad en las garantías del emisor. Los

bonos pueden venderse a la par, con premio, o con descuento (castigo),según el precio

de venta sea igual, mayor o menor al valor nominal.

54

Maduración:

La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será

pagado. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años.

Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:

1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años.

2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.

3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.

Tasa interna de retorno (TIR o rentabilidad):

Para el cálculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos, el

inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de

redención del bono. Un bono comprado con descuento irá aumentando gradualmente

su valor, hasta igualar el valor de redención en la fecha de vencimiento y esto agrega

un beneficio al valor de los cupones. En caso de que los bonos se compren con premio

se produce una disminución paulatina del precio de compra que debe restarse del valor

de los cupones, a fin de calcular el rendimiento.

Yield:

La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que se

pago y el pago de intereses que se reciben. Hay básicamente dos tipos de yield para

los bonos: yield ordinario y yield de maduración.


A continuación se presenta ejemplos que te permiten comprender de mejor manera los

temas tratados en este bloque, para lo que, tendrá que analizarlos y posteriormente

resolverlos sin mirar la solución dada; esto asegurará que ha aprendido. Entonces

podrá seguir ejercitándote, con los ejercicios que se proponen al final del presente

bloque.

Ejercicio No. 1

Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de

$5.000 al 6 %, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada

trimestre.

55

Solución:

A = 5.000 ( 0,06 ) = $ 75

4

En consecuencia, usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre

adicionales a la suma global de $ 5.000 al término de 10 años.

Ejercicio No. 2

Un bono de $1.000, 3,5 %, FA (febrero-agosto), es redimible a 105 el primero de

febrero del 2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, que reditúe 5%

anual convertible semestralmente.

Solución:

F = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0,05/2, n = 40.

Reemplazo en la fórmula

P = 1050 + (1000 . 0,0175 – 1050 . 0,025) 1 – (1+0,025)-40

0,025

P = 830,35

Ejercicio No. 3

Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par

dentro de tres años, es adquirido por un inversionista, para obtener una

TIR del 6%. Elabore la tabla de inversión del bono.

Solución:

56

C = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6

P = 1.000 + (1.000 . 0,04 – 1.000 . 0,03) 1 – (1+0,03)-6

0,03

P = $1.054,17

Periodo Valor en

libros al

inicio del

periodo

Intereses

sobre la

inversión

Intereses del

bono

Variaciones

del valor en

libros

Valor en

libros al

final del

periodo

1 1.054,17 31,63 40,0 8,37 1.045,80

2 1.045,80 31,37 40,0 8,63 1.037,17

3 1.037,17 31,12 40,0 8,88 1.028,29

4 1.028,29 30,85 40,0 9,15 1.019,14

5 1.019,14 30,57 40,0 9,43 1.009,71

6 1.009,71 30,29 40,0 9,71 1.000,00

Totales

185,83 240,0 54,17

En este caso, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de

redención es menor que el de compra, es necesario amortizar la

diferencia. En caso de que el bono se adquiera con descuento, el

inversionista registra una utilidad mayor que los intereses pagados por el

bono, cantidad igual al aumento de valor que en cada periodo registra el

bono.

EJERCICIOS

a) Resuelve los siguientes ejercicios:

1.-Calcule el Valor de Redención, el número de cupones y el valor de cada cupón de un

bono de $ 100.000, 15% (1 de marzo–1 de septiembre =MS ) suscrito el 20 de marzo del

2002, redimible a la par el 20 de marzo del 2009.

57

2.- Un bono de $15.000 al 10% Abril-Octubre (A.O), redimible a la par el 15 de octubre del

año 2007, es negociado el 15 de abril del año 2000 a una tasa del 7,8% anual capitalizable

semestralmente. Calcular el precio del bono a la fecha de negociación.


c) CASAMIENTOS


AUTOEVALUACION

Marque con una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

AFIRMACIÓN

V

F

El bono es una obligación que tiene una entidad para el poseedor de

este.

X

Se dice que un bono es a la par cuando F = C X

Un bono negociado a la 105 quiere decir que fue negociado con premio. X

El valor del cupón es igual al valor de los intereses que se pagan

periódicamente.

X


Interés redituable

Precio del bono entre fecha de pago

de cupón sin considerar el interés

redituable.

Negociación con Castigo Cuando P>C

Bono Sucio Cuando P<C

Negociación con Premio

Valor proporcional del cupón

cuando se negocia un bono entre

fechas de pago de cupón.

58

Culminaste el estudio del cuarto bloque de la guía. ¿Piensas que con los conocimientos

adquiridos estas preparado para resolver con solvencia problemas o tienes dificultades?

Si tu evaluación, no es satisfactoria y todavía tienes dificultades, debes volver atrás y

revisar los conocimientos o elabora un plan remedial para superar las deficiencias, TÚ

PUEDES, hazlo con entusiasmo.

Si te sientes bien o excelente, SIGUE ADELANTE FELICITACIONES.


1. Un bono semestral de $1.000 que paga el 12%, redimible al 98% en 10 años. Calcule el precio de compra para que rinda el 18% anual.

2. Un bono de $500 al 110%, es redimible el 1 de noviembre de 2017, paga cupones semestrales al 8%. Calcular el precio de compra el 1 de mayo de 2009, para obtener una rentabilidad del 4.50% a.c.b.

3. Un bono de $800, redimible a la par el 1 de diciembre del 2015, paga cupones semestrales al 6%. El bono fue adquirido el 1 de junio del 2012.

a. Calcule el precio de compra, y elabore la tabla que muestre el valor en

libros del bono, si el rendimiento deseado es el 20% y determine el tipo de

negociación.

b. Calcule el precio de compra, y elabore la tabla que muestre el valor en

libros del bono, si el rendimiento deseado es el 12%y determine el tipo de

negociación.

4. El 30 de junio del 2.005, un bono de valor nominal de $900 es redimible al 90%, devengando intereses de 12% pagaderos a fin de cada mes. Calcule el precio que pagaría por el bono un inversionista el 27 de julio del 2.005, si el rendimiento esperado es de 2.00% mensual.

5. Calcule el valor de redención, el número de cupones y el valor de cada cupón de un bono de $2.000, 15% (15 Febrero – 15 Agosto = E.A), suscrito el 15 de febrero del 2000, redimible a la par el 27 de febrero del 2008.

6. Un bono de $ 100 al 9% Abril-Octubre (A.O)., redimible a la par el 15 de Octubre del año 2015, es negociado el 17 de Abril del año 2007 a una tasa del 10% anual capitalizable trimestralmente. Calcular el precio del bono a la fecha de negociación.

7. Un bono de $ 200 al 8% Marzo-Septiembre (M.S), redimible a la par el 20 de septiembre del año 2017, se puede negociar el 20 de junio del 2003 a las siguientes tasas de:

59

a) 8% anual capitalizablesemestralmente;

b) 8.5% anual capitalizable semestralmente.

Calcular el precio del bono limpio para cada alternativa y exprese para cada

negociación si es con premio, a la par, o con castigo.

Calcule la TIR de un bono de $500, 7% EJ, redimible a la par el 1 de julio del 2015, y cuya compra se lleva a cabo el 20 de octubre de 2000 con cotización de 94?


a) Resuelve los siguientesejercicios:

1.- Calcule el Valor de Redención, el número de cupones y el valor de cada

cupón de un bono de $ 100.000, 15% (1 de marzo–1 de septiembre =MS )

suscrito el 20 de marzo del 2002, redimible a la par el 20 de marzo del 2009.

F = 100.000Valor de Nominal

C = 100.000 Valor de Redención (es a la par)

Valor de redención x 100

Valor nominal

100.000 x 100 = 100 se dice que es redimible a la par al 100

100.000

Número de cupones

De marzo del 2002 a marzo del 2009 hay 7 años x 2 semestres = 14 semestres o

cupones.

60

Valor del cupón:

I = Fr . = 100.000 (0,15) = 7,500

m 2

El valor de cada cupón es de $7.500 semestral.

2.- Un bono de $15.000 al 10% Abril-Octubre (A.O.), redimible a la par el 15 de

octubre del año 2007, es negociado el 15 de abril del año 2000 a una tasa del

7,8% anual capitalizable semestralmente. Calcular el precio del bono a la

fecha de negociación.

F = 15.000 precio nominal

r = 0,10/2 =0,05 tasa de interés por periodo de pago del cupón

i = 0,078/2=0,039 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR,

rentabilidad)

C = 15.000 precio de redención a la par o al 100

n = 7 (2) = 14 semestres más 1 semestre = 15

P = Precio de compra para obtener un rendimiento.

P = C + ( Fr - Ci ) 1 - ( 1 + i )- n

i

P = 15.000 + (( 15.000 x 0,05 ) - ( 15.000 x 0,039)) 1 - ( 1 + 0,039 )- 15

0,039

= 15.000 + [(750) – (585)](11,1965) = 15.000 + (165)(8,80792)

61

= 15.000,00 + 1.453,31 = 16.847,31

El bono a la fecha de su negociación es de $ 16.847,43. Se trata de una

negociación con premio.

62

ANEXOS

APENDICE 1 ANUALIDADES o RENTAS

Aspectos preliminares:

GRAFICAS TIEMPO – VALOR

Recuerde: ”Un gráfico habla más que mil palabras”.

Esto se debe a que en el gráfico, se puede visualizar y ubicarse de mejor manera en el tiempo

en el que deben realizarse cobros o pagos o cualquier operación financiera y colocar todas las

variables que intervienen, tales como valores monetarios ($ óu.m.), tiempo (años, semestres,

meses, días, etc.), periodos de tiempo entre fechas, tasas de interés (% efectivas, nominales,

periódicas), indicar si son operaciones a valor presente o a valor futuro. Entendiéndose como:

Valor presente, al valor en una fecha anterior a la de vencimiento o redención incluido el valor

del capital inicial y como,

Valor futuro, al valor calculado en una fecha posterior a la de haberse establecido la operación

financiera.

Notas claves:

Cuando en un ejercicio se da el valor monetario ($), la tasa de interés (%), y el tiempo (t), por lo general el valor monetario es el capital y debe calcular el monto

Si el ejercicio da el valor monetario ($), y el tiempo (t), por lo general el valor monetario es el monto que se obtendrá al transcurrir el tiempo en cuestión.

Cuando se negocia una deuda antes del vencimiento, primero calcule el monto al vencimiento y luego encuentre el valor actual a la fecha que se indique.

Monto (Valor Futuro)

63

Valor Actual (Valor presente, Capital)

Fecha focal FF, es la fecha que se toma como referencia, a la cual confluyen los montos o valores actuales en el grafico tiempo valor de una ecuación de valor donde ΣPagos = ΣDeudas.

Siempre, lea detenidamente el enunciado del ejercicio para que en el gráfico ubique todas las variables e incógnitas que tiene y sea un modelo representativo del ejercicio, esto será de gran ayuda para la solución de los problemas.

Valor de Contado Valor Futuro

EntradaTasa1 % Monto

Capital Tasa2 %

Valor Actual

($ óu.m.) R R

0 12 n Tiempo

FF(Fecha Focal) (Nº Periodos o cuotas por pagar o

depositar)

Tasas de interés

Dentro del campo financiero algunas de las tasas que son de uso común se puede mencionar

las siguientes:

Tasa Activa Tasa Efectiva y efectiva periódica

64

Tasa Pasiva Tasa Flat

Tasa Referencial TASAS INTERNACIONALES

Tasa Libor

Tasa Prime

Tasa E.U.R.I.B.O.R

Tasa Nominal

Tasa Activa

Es la tasa que las entidades financieras cobran en sus actividades crediticias, conocidas

también como de colocación de sus recursos.

Tasa Pasiva

Es la tasa que las entidades pagan a los depositarios o inversionistas que colocan sus recursos

en dichas entidades.

Tasa Referenciales

Son las tasas que da Banco Central y que sirven de referencia para que las entidades

financieras fijen sus tasas activas y pasivas en sus operaciones. Estas son presentadas

semanalmente.

Tasa Nominal (j)

Esta tasa es considerada como una tasa contractual pues es la que generalmente aparece en

los contratos. Expresa la forma en que se va ha capitalizar los intereses (interés compuesto),

presentándose como:

xx% Anual convertible(periodo de tiempo de capitalización) = a.c.”periodo de tiempo”.

xx% Anual capitalizable(periodo de tiempo de capitalización)

xx% Anual compuesto(periodo de tiempo de capitalización)

65

Periodo de tiempo de capitalización = Fracción del año

También se puede decir, que la tasa nominal es la que presenta de manera anual la tasa que

efectivamente (tasa efectiva periódica) se gana o paga en el periodo de capitalización

multiplicada por su frecuencia de conversión.

Frecuencia de conversión (m).- Es el número de veces que los intereses se convierten en capital

en el año, dependiendo del periodo de tiempo que se considere para su capitalización, así

tendríamos que si la capitalización es mensual m sería igual a 12.

Ejemplo:

j = 24% anual capitalizable mensualmente, entonces m = 12

capitalizaciones mensuales en el año.

De donde se podría encontrar la tasa efectiva periódica, que para el caso del ejemplo

sería la tasa mensual (i) que se esta ganando o pagando; cuyo valor se calcularía

aplicando la fórmula i = j/m; dando como resultado:

i = 0,24/12;

i = 0,02 i = 2,0% mensual

En interés simple, la tasa de interés con la que se trabaja se considera como nominal sin que

esto signifique que se den capitalizaciones; como ejemplo podemos decir si un capital de

$1.000, se presta a 180 días a una tasa:

a) 12% anual, tenemos que calcular la tasa diaria i = 0,12/360; i =0,00033 diario o 0,033% diarios

b) 5% semestral; podría considerarse el tiempo como un semestre y utilizar la tasa del 5% semestral o calcular la tasa diaria i = 0,05/180; i = 0.0278% diario.

66

Fórmula para transformación de tasas:

Para pasar de una tasa nominal con una frecuencia de conversión a otra con diferente

frecuencia de conversión aplicamos la fórmula:

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2

Ejemplo:

Se desea conocer la tasa equivalente a.c.m (anual capitalizable mensualmente) de una tasa del

10% a.c.s. (anual capitalizable semestralmente)

j1 = 10% a.c.s.

m1 = 2 (capitalizaciones al año)

j2 = ? a.c.m

m2 = 12 (capitalizaciones al año)

Entonces aplico la fórmula y despejo j2 :

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2

(1+ 0,10/2)2 = (1+j2/12)12

(1+ 0,10/2)1/6 = (1+j2/12)

((1,05)1/6-1) (12) = j2

j2 = 9.80% a.c.m

67

Tasa Efectiva y Efectiva Periódica (i)

Es la tasa que realmente se esta ganando o pagando durante un determinado periodo de

tiempo. Cuando se considera que el periodo de tiempo es un año se denomina tasa anual o

tasa efectiva anual; de lo contrario si el periodo es menor a un año se considera como una tasa

efectiva periódica. (Esta tasa es la que se usa en las fórmulas de Interés Compuesto,

Anualidades, TIR, Bonos)

Fórmulas para transformación de tasas:

Como se vio anteriormente si se tiene la tasa nominal a un periodo de capitalizaciónpara pasar

a la tasa efectiva periódica del periodo de tiempo en el que se capitaliza se utiliza la fórmula:

i = j/m

Ejemplo:

Se desea conocer la tasa semestral de una tasa del 10% a.c.s (anual capitalizable

semestralmente).

j= 10%a.c.s.

m= 2 (capitalizaciones al año)

i= ? semestral

Entonces aplico la fórmula

i = j/m

i = 0,10/2 = 5% semestral

68

Si tuviese la tasa efectiva periódica y desea conocer la tasa nominal del mismo periodo de de

tiempo indicada en la tasa efectiva únicamente despejo j de la f’ormula anteriormente vista.

Ejemplo:

Encontrar la tasa nominal a.c.t. equivalente a la tasa efectiva periódica del 2,5% trimestral

j= ? a.c.t.


i= 2,5% trimestral

Entonces aplico la fórmula

i = j/m

j= 0,025 (4) = 10% a.c.t.

Para pasar de tasa efectiva anual a tasa nominal o a la inversa:

(1+i) = (1+j/m)m

Ejemplo:

Se desea conocer la tasa equivalente a.c.s (anual capitalizable semestralmente) de una tasa del

10,25% efectiva anual.

j= ? a.c.s.


i= 10,25% efectiva anual

Entonces aplico la fórmula y despejo i:

69

(1+i) = (1+j/m)m

(1+0,1025) = (1+j/2)2

((1,1025)1/2 -1) (2)= j

j = 10,0% a.c.s.

Al necesitar una tasa efectiva periódica en base a otra tasa efectiva periódica incluida la tasa

efectiva anual:

(1+i1)p1 = (1+i2)p2

Dónde:

i1 = Tasa efec. periódica 1 ; p1 = periodo1

i2 = Tasa efec. periódica 2 ; p2 = periodo 2

Ejemplo:

Se desea saber cuál es la tasa equivalente mensual de una tasa del 5% semestral

Dónde:

i1 = 5% semestral ; p1 = periodo1

i2 = ? mensual ; p2 = periodo 2

70

para conocer los valores de p1 y p2 se toma en consideración el periodo mayor que para el

ejemplo es semestre, y para calcular p1 decimos cuantos semestres hay en un semestre

entonces p1 =1 igual hacemos para p2 cuantos meses hay en un semestre y obtenemos que p2 =

6, finalmente aplico la fórmula y despejo i2.

(1+i1)p1 = (1+i2)p2

(1+0,05)1 = (1+ i2)6

i2 = (1+0,05)1/6-1 i2 = 0.82% mensual

*** (Tenga en cuenta que siempre la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal, pues en esta

se consideran los valores capitalizados.)

Un caso en el que se tienen que utilizar dos fórmulas y que puede darse solución por dos

métodos es:

Ejemplo:

Transforme 1.2% mensual a tasa nominal a.c.s.

Método 1:Tranforme a tasa semestral, luego a tasa nominal a.c.s.

i1 = 1.2% mensual ; p1 = 6

i2 = ? semestral ; p2 = 1

(1+0,012)6 = (1+ i2)1

i2 = (1+0,012)6-1 i2 = 7,42% semestral

71

i = j/m m = 2 i= 7,42% semestral j = 2 (0,0742) = 0,1483 =14,84% a.c.s.

Método 2:Tranforme a tasa a.c.m, luego a tasa nominal a.c.s.

i = j/m m = 12 i= 1,2 mensual j = 12 (0,012) = 0,144 =14,4% a.c.m.

(1+ j1/m1)m1 = (1+j2/m2)m2

(1+ 0,144/12)12 = (1+j2/2)2

(1+ 0,144/12)6 = (1+j2/2)

((1,012)6-1) (2) = j2

j2 = 14,84% a.c.s.

72

Tasas efectivas Vencidas y Tasas efectivas Anticipadas

Cuando hablamos de interés por anticipado, el monto de los intereses se paga o se capitaliza al

inicio del periodo. Con el fin de encontrar su equivalencia con el interés vencido se emplea una

ecuación de valor entre el flujo presente y el flujo futuro para un periodo, como sigue:

A = X- iaX A= X (1-ia) (1)

A F = X

La tasa anticipada se presenta como un descuento al monto del flujo presente, y por lo tanto

no aparece al final. Por otro lado aplicando el principio de equivalencia tenemos que:

F = A(1+i) considerando que F = X

Reemplazando con (1) tenemos X = X(1-ia)(1+i) y simplificando tenemos:

1 = (1-ia)(1+i); (2)

(1-ia) = 1/ (1+i); 1-1/ (1+i) = ia; (1+i-1)/(1+i) = ia:

i/(1+i) = ia

Se considera:

73

i = Tasa de interés efectiva periódica vencida

ia = Tasa de interés efectiva periódica anticipada

Partiendo de la ecuación (2) también podemos despejar la tasa vencida en función de la

anticipada, como sigue:

(1+i) = 1/ (1-ia); 1/ (1-ia)-1 = i; (1-1+ ia)/ (1-ia) = i;

ia /(1-ia) = i

Ejemplos:

1.- Encuentre la tasa efectiva periódica vencida equivalente a una tasa del 4% anual

anticipada.

i = ? anual

ia= 4% annual

i = 0,04/(1-0,04) = 0.0417; i = 4,17% annual vencida

2.- Encuentre la tasa efectiva anticipada equivalente a una tasa efectiva anual vencida del 9%.

ia= ? anual

i = 9%anual

i = 0,09/(1+0,09) = 0,0826; i = 8,26% anual anticipada

74

Tasas efectivas Anticipadas y Tasas Nominales Anticipadas

Similar a lo visto ya con las tasas vencidas efectivas y nominales, para la transformación

tenemos la formula i = j/m; donde en este caso i se convierte en

iay j en ja; manteniéndose m como frecuencia de conversión y la condición de que sea la tasa

sea del mismo periodo de capitalización.

ia = ja/m

Ejemplos:

1.- Encuentre la tasa efectiva periódica equivalente a una tasa del 4% a.c.t. anticipada.

ja = 4% a.c.t.

m = 4

ia= ? trimestral

ia= 0,04/4 = 0,01; ia= 1% trimestral anticipada.

2.- Encuentre la tasa nominal a.c.s. anticipada equivalente a una tasa efectiva periódica 2,3%

semestral anticipada.

ia= 2,3% semestral

ja = ? a.c.s..

m = 2

ja = 0,023 x 2 = 0,046; ja = 4,6% a.c.s. anticipada.

75

Para efectuar transformaciones más complejas usted puede utilizar el Esquema para

transformación de tasas de interés efectivas y nominales (vencidas y anticipadas).

En resumen llegamos a tener el siguiente esquema o metodologíaque nos ayuda a

visualizar los diferentes caminos para efectuar las transformaciones aplicando los conceptos

vistos anteriormente

76

Tasa Flat (f)

Es muy utilizada en el sistema comercial, que financian ventas a plazos, no se aplica el principio

de equivalencia financiera, por lo tanto la tasa que se presenta como costo financiero del

crédito no es el verdadero costo del financiamiento, debido a que los intereses no son a rebatir

(sobre los saldos insolutos).

La cuota uniforme (R) en un sistema de préstamo flat se calcula dividiendo el valor de préstamo

y los intereses simples calculados para todo el horizonte de tiempo, entre el número de cuotas.

R = P(1+fn)

n

por ejemplo una tasa flat del 2%, origina una tasa i = 3,337% que es el verdadero costo sobre

los saldos deudores del préstamo.

Tasa Libor (London Interbank Offered Rate)

Tasa de interés interbancaria de colocación del Mercado de Londres. Tasa de interés base

promedio para la Unión Europea y Japón. A esta tasa los bancos del mercado de eurodivisas se

prestan dinero entre sí. Por lo general, el costo del crédito en euros se establece con un

margen por arriba de la LIBOR. En términos generales, las tasas de los créditos en eurodólares

están entre el 0,5% y 3% sobre LIBOR, con una media aproximada del 1,5%.

Tasa Prime

77

Tasa preferencial de colocación en el mercado de Estados Unidos (Nueva York); es decir, la tasa

que cobran los bancos a sus mejores clientes. Cabe señalar que esta tasa generalmente se

utiliza para plazos inferiores a u n año.

Tanto la tasa LIBOR como la Prime son utilizadas para préstamos internacionales sea para el

Estado o para empresas privadas que necesitan financiar programas de desarrollo e

inversiones.

E.U.R.I.B.O.R.

Es el costo del dinero en el mercado interbancario europeo a un plazo determinado, es decir, el

costo al que los bancos y cajas se prestan mutuamente.

Anualidades Definición:

Una anualidad o renta es una serie de pagos periódicos, que cumplen con las siguientes

propiedades:

1. Todos los pagos son de igual valor.

2. Los pagos se efectúan a iguales intervalos o periodos de tiempo.

3. Todos los pagos son llevados al principio (Valor Actual = C o A) o al final (Monto =

S) de la serie a la misma tasa de interés.

4. El número de pagos es igual al número de periodos.

5. La denominación de anualidad se mantiene pese a que el periodo de pago no sea

anual. Pudiendo ser quincenales, mensuales, trimestrales, etc..

Términos relacionados:

Renta (R): Es el pago periódico.

Periodo o Intervalo de renta: Es el tiempo que transcurre entre los pagos

periódicos continuos.

Tasa de interés (i): Porcentaje de interés que se fija para el pago de las rentas,

el cual puede estar expresado como una tasa nominal o como tasa efectiva; pero

para el cálculo debe expresarse conforme el periodo de pago de la renta (tasa

efectiva periódica).

Plazo de una Anualidad (n): Es el tiempo que media entre el inicio del primer periodo y

el final del último periodo.

78

Clasificación de las anualidades:

1.- Ciertas: La serie de pagos tienen definida la fecha en la que se efectuará cada uno de ellos.

Debido a la forma de pago pueden ser Vencidas (Ordinarias), Anticipadas o Diferidas.

1.1.- Anualidades Simples: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés

coincide con el periodo de pago de la renta.

1.1.1.- Vencidas (Ordinaria): Los pagos se realizan al final de cada periodo de

pago.

1.1.2.- Anticipadas: Los pagos se realizan al inicio de cada periodo de pago.

1.1.3.- Diferidas: Debe pasar el periodo de gracia para comenzar a pagar la

deuda más los intereses acumulados en el periodo de gracia. Los

pagos pueden ser vencido o anticipados.

1.2.- Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés no

coincide con el periodo de pago de la renta. Ejemplo: Una serie de pagos

mensuales con una tasa efectiva trimestral, o una serie de pagos semestrales con

una tasa que se capitaliza trimestralmente.

2.- Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de inicio del primer

pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un evento que se sabe que


Anticipadas o Diferidas. Ejemplos: Un seguro contra incendios, un seguro de vida, etc.

3.- Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas, se trata de una anualidad que

en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad se presenta cuando se

coloca un capital y únicamente se retiran intereses periódicamente.

Estudiando las anualidades con mayor detalle cada una de ellas, revisaremos las gráficas

que las representan y ejemplos de problemas.

Vencidas (Ordinaria): Los pagos son efectuados al vencerse o final de cada periodo. Por ejemplo el pago de salarios a los empleados, ya que primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago. Se representa así:

R RR

79

0 1 2 3=n

Anticipadas: Los pagos son efectuados al inicio de cada periodo. Por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa, ya que primero se paga y luego se habita en el inmueble. Se representa así:

R RR

0 1 2 3=n

Cálculo de una anualidad vencida y una anualidad anticipada

Una anualidad tiene dos valores:

Monto (S):

Todos los pagos son traslados al final de la serie de pagos. El monto se representa por el

símbolo S n¬i en el cual la:

S = Monto.

n¬ = Número de pagos.

i = Tasa de interés (periódica)

Otra simbología muy utilizada es (F/A, n, i) que significa valor futuro dada una anualidad

de n periodos a la tasa i .

Para plantear la ecuación de valor, se aplica la fórmula:

M IC= c (1+i)n(monto a interés compuesto= MICo simplemente M)

A cada pago, pero, en cada caso, c = 1. El pago que está en el punto 1 se traslada por n-1

periodos, el que está en 2, por n-2 periodos y así sucesivamente, hasta que se llegue al

pago que está en n el cual no se traslada por estar en la fecha focal, entonces se tiene:

(F/A, n, i)=S n¬i = ((1 + i)n -1)/i el valor de S n¬ipuedeencontrar en

tablas

Monto anualidad vencida

80

Ejemplo: 1.

Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años.

Determinar A y S suponiendo un interés del 32% a.c.t..

SOLUCIÓN: El número de pagos es n= 4 X 6= 24, R= $80.000

a) i = 32%/4 = 8% efectivo trimestral

A = R(1 - (1 + i )-n)/i

A= 80.000* (1 -(1 +0,08 )-24) /0,08

A= 842.301

b) S = R((1 + i )n -1)/i

S= 80.000* ((1 +0,08 )24 -1)/ 0,08

S= 5.341.181

Ejemplo 2.

Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante doce pagos uniformes de $R c/u. Con

una tasa del 2% efectivo para el periodo, hallar el valor de la cuota situando

a) la fecha focal hoy y

b) la fecha focal en doce meses.

SOLUCIÓN:

a) A = R(1 - (1 + i )-n)/i 50.000= R (1 - (1 + 0,02 )-12)/0,02

R= 4727,98

b) 50.000 (1,02)12 = R((1 + 0,02 )12 -1)/0,02

R= 4.727,98

Anualidades anticipadas:

Las anualidades anticipadas se representan por la ecuación:

¨S n¬i= S n¬i (1 + i ) Para el monto

S = R((((1 + i )n+1 -1)/i)-1) Monto anualidadanticipada

ä n¬i = a n¬i (1 + i ) Para valor presente

A = C = R(1+(1 - (1 + i )-n+1)/i) Valor actualanualidadanticipada

81

Ejemplo 3.

Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto

como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el

2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?

SOLUCIÓN:

S = R((((1 + i )n+1 -1)/i)-1)

S = 50.000((((1 + 0,02 )12+1 -1)/0,02)-1)

S = 684.016,58

Diferidas: Una anualidad diferida es aquella en que para iniciar la serie de pagos debe transcurrir un cierto número de periodos donde se gana intereses y no se paga capital para acumularse y convertirse en el valor a pagar a través de la anualidad; este periodo se denomina “periodo de gracia”. Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa después de transcurrido el periodo de gracia. La parte de los pagos puede ser realizada a través de pagos vencidos o anticipados.

Se representa así:

Cálculo de una anualidad diferida

Ejemplo 1.

Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de $R cada uno.

Si el primer pago se efectúa exactamente al año de haberse prestado el dinero, calcular R

con una tasa del 36% a.c.t.

SOLUCIÓN

**NOTA: En anualidades diferidas decir el primer pago se realiza al año, es equivalente a

decir que tiene 3 trimestres de periodo de gracia.

82

F n1= 3 FF n = 20

MIC3 = A20

En la fecha focal, el monto a interés compuesto MIC3 de VP durante n1 trimestres es igual al

valor actual de la anualidad vencida de 20 pagos trimestrales A20.

Tenemos que el primer pago se lo hace en el periodo 4 que corresponde al final del primer

año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23. Además, si se

toma como fecha focal, la fecha en que termina el periodo de gracia tenemos que en ese

punto el valor adeudado en el tiempo 0 a ganado intereses a interés compuesto durante el

periodo de gracias n1, y su monto es igual al valor actual de los n pagos de la anualidad La

ecuación de valor será:

VP (1+i)n1 = An Valor presente anualidad diferida

Donde: n1= periodo de gracia; An= Valor actual de los n pagos sean anticipados o vencidos.

800.000(1,09)3 = R ((1 - (1+0,09)-20)/0,09)

R = $113.492,69

2. Anualidades Generales: Cuando el periodo de capitalización de la tasa de interés no coincide con el periodo de pago de la renta. Ejemplo: Una serie de pagos mensuales con una tasa efectiva trimestral, o una serie de pagos semestrales con una tasa que se capitaliza trimestralmente. La solución para estos casos es pasar a una anualidad simple para lo cual bien se transforma la tasa al periodo de tiempo de pago de la renta (método más utilizado), o se calcula la renta equivalente para el periodo de la tasa.

Estas anualidades a su vez pueden ser con pagos vencidos, anticipados o diferidos.

Cálculo de una anualidad general

Este tipo de anualidades puede ser tratado como una anualidad simple, para lo cual

debemos hacer que los periodos de pago coincidan con los periodos de capitalización de la

tasa, existen dos formas como se puede efectuar:

1.- Consiste en calcular pagos equivalentes, que deben efectuarse conforme el periodo de

capitalización de la tasa de interés. Para esto se debe calcular el valor de los pagos que

deben efectuarse al final de cada periodo de capitalización que sea equivalente al valor del

pago único que se hace al final del periodo de pago.

83

2.- Consiste en encontrar la tasa equivalente, para que coincida el periodo de pago con el

de capitalización de la tasa.

Ejemplo 1.

Hallar el monto (S) de 30 pagos trimestrales de $25.000 cada uno considerando una tasa

del 24% a.c.m.

SOLUCIÓN

Método 1.-

Reemplazar el pago vencido trimestral, por un pago vencido mensual

Entonces tenemos una anualidad, pues los pagos son mensuales de $R a la tasa a.c.m.

i = 24%/12 = 2% mensual

SR = 25.000

25.000 = R ((1+0,02)3 -1)/0,02

R = 8.168,87 mensual

El número de pagos mensuales n = 3 x 30 = 90, entonces S

S = 8.168,87 ((1+0,02)90 -1)/0,02

S = 2.018.990,60

Método 2.-

Se busca la tasa a.c.t. equivalente a 24% a.c.m.

(1+0,02)12 = (1 + i)4

i = 6,1208% trimestral

84

Encontramos el monto

S = 25.000 ((1+0,061208)30 -1)/0,061208

S = 2.018.990,60

B.- Contingentes o Eventuales: La serie de pagos no tienen definida la fecha de inicio del

primer pago o la del último pues está sujeta a la ocurrencia de un evento que se sabe que


Anticipadas o Diferidas. Ejemplos: Un seguro contra incendios, un seguro de vida, etc..

C.- Perpetuidades: Son una variación de las anualidades ciertas, se trata de una anualidad

que en teoría tiene infinito número de pagos este tipo de anualidad se presenta

cuando se coloca un capital y únicamente se retiran intereses periódicamente.

Cálculo de una perpetuidad

Obviamente, solo existe valor presente que viene a ser finito, porque el valor final será

infinito, partiendo de la fórmula del valor presente de la anualidad ordinaria llevamos al

límite cuando n -> .

A = C = R(1 - (1 + i )-n)/i

A = Limn-> R (1- 1/(1+i) )/i); 1/(1+i) = 0

A = R (1- 0)/i);

A = R/i

Ejemplo 1.

Hallar el valor presente de una renta perpetua de $10.000 mensuales, suponiendo que la

tasa de interés es del 33% a.c.m.

SOLUCIÓN

i = 33%/12= 2,75% mensual

85

A = R/i

A = 10.000/0,0275; A = 363.636,36

Cálculo de la tasa de interés de la anualidad

En el cálculo de la tasa se utiliza interpolación lineal, por esta razón se profundiza este tema

en el Apéndice 2 INTERPOLACIÓN LINEAL donde se expone un ejercicio y las notas claves

referentes a este tema son de suma importancia para el proceso del cálculo.

Tablas de Amortización y Fondos de Amortización

AMORTIZAR:Se utiliza el término amortizar para indicar el proceso por el cual se va

cancelando una deuda y sus respectivos intereses por medio de pagos periódicos denominados

(abonos = cuotas).

El capital que se debe una vez efectuado un pago se conoce como saldo insoluto y representa a

los derechos del acreedor y se trata del valor del capital que no se ha cancelado a ese período.

La diferencia entre la deuda original y el saldo insoluto corresponde a los derechos adquiridos

por el deudor; que es la parte que se ha amortizado o pagado y que ya es propiedad del

deudor.

Cada abono que se realiza para liquidar la deuda, está compuesta por dos partes. La primera

para cubrir los intereses generados en el período; y la segunda, denominada amortización que

es el aporte al capital que se adeuda haciendo que éste disminuya con cada pago.

Existen varios métodos para amortizar una deuda, sin embargo trataremos los que son de uso

más comunes:

Amortización Gradual (Método Francés).-En este sistema el valor de las cuotas o

abonos permanece constante; pero los intereses se reduce a medida que la amortización de

capital se incrementa, es decir es mayor que la del pago anterior .

86

Ejemplo: Werner toma un préstamo de $ 800,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a

una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por

el método de amortización gradual.

Período Cuota Intereses Capital Saldo

Insoluto

0 800,00

1 147,68 24,00 123,68 676,32

2 147,68 20,29 127,39 548,93

3 147,68 16,47 131,21 417,72

4 147,68 12,53 135,15 282,57

5 147,68 8,48 139,20 143,38

6 147,68 4,30 143,38 0

Total 886,07 86,07 800,00

Amortización Constante (Método Alemán).-En este sistema, el valor total de la

cuota disminuye con el tiempo, el componente de amortización del capital permanece

constante pero el interés va disminuyendo, lo que da lugar a que cada pago sea menor que el

anterior.

Ejemplo: Paulette recibe un préstamo de $ 600,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales

a una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por

el método de amortización constante


Insoluto

0 600,00

1 118,00 18,00 100,00 500,00

2 115,00 15,00 100,00 400,00

3 112,00 12,00 100,00 300,00

4 109,00 9,00 100,00 200,00

5 106,00 6,00 100,00 100,00

6 103,00 3,00 100,00 0

87

Total 663,00 63,00 600,00

Amortización (Método Americano).-Se caracteriza por tener las primeras n-1 cuotas

de amortización de capital nulas (0). Las cuotas de interés son constantes e iguales a la tasa

por el valor del préstamo. La desventaja es que la última cuota es muy alta, esta incluye el

valor original del préstamo más los intereses del período.

Ejemplo: Aarón recibe un préstamo de $ 900,00 para cancelarlo mediante cuotas mensuales a

una tasa del 3% mensual. Calcular el valor de la cuota y construir la tabla de amortización por

el método de amortización americano.


Insoluto

0 900,00

1 27,00 27,00 0 900,00

2 27,00 27,00 0 900,00

3 27,00 27,00 0 900,00

4 27,00 27,00 0 900,00

5 27,00 27,00 0 900,00

6 927,00 27,00 900,00 0

Total 1062,00 162,00 900,00

Método con Renta Variable .-En éste método cada abono y su correspondiente

porción amortizada crece con el tiempo y esto lo hace atractivo para el deudor, ya que los

primeros pagos pueden ser tan pequeños que ni siquiera cubra los intereses del período, dando

lugar a que la deuda crezca en vez de reducirse. Tiene la desventaja de generar más intereses

que los otros sistemas. Los abonos pueden variar uno por uno o en grupos, y hacerlo en forma

aritmética o geométrica.

Cálculo de los derechos del deudor y del acreedor

Capital o Saldo Insoluto: (Derecho del Acreedor):

Es la parte de la deuda que a la fecha no esta cubierta, o el valor presente de los pagos que

faltan por hacerse.

88

Capital Pagado: (Derecho del Deudor = Parte amortizada)

Es la parte de la deuda que a la fecha esta cubierta.

Derechos Deudor + Derechos Acreedor = Deuda Original

es igual a

Lo amortizado + Saldo Insoluto = Deuda Original

es igual a

Capital Amortizado + Saldo Insoluto = Deuda

Original

Capital Amortizado + A n-k = Deuda Original

Donde: n = Número de pagos totales

k = Número de pagos efectuados

Capital Amortizado = Deuda original - A n-k

DerechosAcreedor = A n-k

Intereses pagados entre dos periodos de pago: Si se desea conocer el valor de los intereses

pagados entre dos periodos se deben restar los derechos del acreedor de los dos periodos y

restarlo del producto de la renta por el número de cuotas que están entre los dos periodos.

Aplicando estos conceptos a la reconstrucción de tablas podemos encontrar el Saldo Insoluto

luego de haber realizado el 6to. Pago

A 84-6 = R*(1-(1+i)-(n-k))/i

A78 = 15.364,30 SALDO INSOLUTO = DERECHOS DEL ACREEDOR

89

(Ver tabla Periodo 6)

DEUDA ORIGINAL - DERECHOS DEL ACREEDOR = DERECHOS DEL

DEUDOR

16.000,0 - 15.364,30 = 635,70

DERECHOS DEL DEUDOR = CAPITAL ACUMULADO

(Ver tabla Periodo 6 tabla de amortización gradual)

NOTA:

1.- En la práctica las columnas de Intereses Acumulados y Capital Amortizado no se presentan

en la tabla de amortización pero para fines didácticos se las ha incluido para ver lo que se

refieren los Derechos del Deudor.

2.- Si se desea cancelar toda la deuda en un determinado periodo; a la renta del periodo en

cuestión se debe sumar el saldo insoluto correspondiente. Ej: Si deseo cancelar en el periodo

9 sería: 306,63 + 15.003,04 = 15.309,67

Fondo de amortización o de valor futuro:

Fondo de Amortización.-Cuando se desea acumular una cierta cantidad de dinero, mediante

pagos periódicos los cuales ganan intereses para alcanzar un monto previamente establecido.

Puede darse que el capital o depósito inicial para constituir el fondo sea mayor que los posteriores y

también puede darse que existan varias disposiciones creando un flujo de caja de entradas y salidas de

capital.

90

Generalmente se crean fondos para reposición de activos, jubilación.

El valor acumulado en un fondo es igual al monto de la anualidad de los k depósitos

realizadosSk(monto de una anualidad)

El valor que falta para alcanzar la suma deseada en el fondo(SI), una vez que se han realizado

kdepósitos

SI = Suma deseada - Sk

Problema de Tabla deAmortización Gradual con reajuste de tasa de interés a los 6

meses

Dieter, recibe un préstamo hipotecario de $16.000,00 a 7 años plazo del Banco de Aarón a una tasa

del 16,5% a.c.m. reajustable semestralmente. Sus ingresos familiares mensuales son $1.100,00, el

Banco considera como capacidad de pago el 30% de los ingresos. Calcule el valor de la primera renta,

la se reajusta al 14,66% a.c.m. entonces calcule la nueva renta. Construya la tabla de los 12 primeros

periodos.

Aplicación de Derechos del Deudor y Derechos de Acreedor

Datos

Ingreso Familiar Promedio = 1.100,00

Capacidad de pago = 30% de los ingresos familiares

Pago posible = 330,00

Deuda A = 16.000,00

Tasa j = 16,50% a.c.m. i = 1,3750%

Periodos de pago = 84

Renta 1 = 322,37

Reajuste:

91

Nueva tasa j = 14,66% a.c.m. i = 1,2217%

Saldo Insoluto al 6to pago = 15364,30

Renta 2 = $ 306,63

Tabla

La columna de capital se obtiene restando de la renta el valor de los intereses generados por el

saldo insoluto del periodo anterior.

Problema de creación de un Fondo de Amortización

1.- El padre de Aarón Kolb al mes nacer su hijo comienza a depositar $300 mensuales en un

fondo que genera un interés del 9% a.c.m. desea saber cuánto recibirá su hijo al cumplir los

18 años.

Renta R = 300

Periodo Renta Interéses Int. Acum. Capital Cap. Amort. Saldo Insoluto

0 0 0 0 0 0 16.000,00

1 322,37 220 220 102,37 102,37 15.897,63

2 322,37 218,59 438,59 103,77 206,14 15793,86

3 322,37 217,17 655,76 105,20 311,34 15688,66

4 322,37 215,72 871,48 106,65 417,99 15582,01

5 322,37 214,25 1085,73 108,11 526,10 15473,90

6 322,37 212,77 1298,50 109,60 635,70 15364,30

7 306,63 187,70 1486,20 118,93 754,63 15245,37

8 306,63 186,25 1672,44 120,38 875,01 15124,99

9 306,63 184,78 1857,22 121,85 996,86 15003,14

10 306,63 183,29 2040,51 123,34 1120,20 14879,80

11 306,63 181,78 2222,29 124,85 1245,04 14754,96

12 306,63 180,26 2402,55 126,37 1371,41 14628,59

13

14

15

16

17

18

92

Tasa j = 9,00% a.c.m.

i =

0,75%

mensual

Tiempo = 18 años

n = 216 pagos

Tabla

Periodo Renta Intereses Int. Acum. Val. al Fondo Fondo Acum.

0 - - - - 0

1 300 0 0 300 300

2 300 2,25 2,25 302,25 602,25

3 300 4,52 6,77 304,52 906,77

4 300 6,80 13,57 306,80 1.213,57

5 300 9,10 22,67 309,10 1.522,67

6 300 11,42 34,09 311,42 1.834,09

7 300 13,76 47,85 313,76 2.147,85

8 300 16,11 63,95 316,11 2.463,95

9 300 18,48 82,43 318,48 2.782,43

10 300 20,87 103,30 320,87 3.103,30

11 300 23,27 126,58 323,27 3.426,58

12 300 25,70 152,28 325,70 3.752,28

13

….. ….. ….. ….. ….. …..

215 300 159.409,93

216 300 1.195,57 1495,57 160.905,50

93

Para calcular el valor acumulado en el fondo a cualquier periodo se saca el monto de

la anualidad que se tiene una vez efectuado el pago del periodo en cuestión.

Por ejemplo : El valor en el fondo al periodo 8

k = 8

S8= 300*((1+ 0,0075)8 - 1) / 0,0075 = 2.463,95

2463,95 Es el valor acumulado en el fondo en el periodo 8

Si deseo reconstruir la tabla a partir del periodo 8 debería calcular

S 7 = 2147,85

tasa i = 0,75%

Periodo Renta Intereses Int. Acum. Val. al Fondo Fondo Acum.

7 - - - - 2.147,85

8 300,00 16,11 - 316,11 2.463,95

9 300,00 18,48 - 318,48 2.782,43

10 300,00 20,87 - 320,87 3.103,30

11 300,00 23,27 - 323,27 3.426,58

NOTA:

En la práctica las columnas de Intereses Acumulados no se presentan en la tabla del fondo pero para

fines didácticos se ha incluido.

94

El valor que va al fondo está constituido por la renta más los intereses que genera el fondo que se

encuentra acumulado en el periodo anterior.

De esta manera también podría reconstruir la tabla del fondo si se le da el valor acumulado

en el periodo k esto es Sk,, para lo que debe determinar en la fórmula del monto de la

anualidad, el valor de n que viene a ser el número del periodos aportados al fondo.

95

APENDICE 2 INTERPOLACIÓN LINEAL

Aplicaciones

INTRODUCCIÓN:

Cuando no se dispone de una función que permita calcular directamente el valor de

una variable dependiente llamemos Y en función de otra independiente llamemos X,

sino que la información está distribuida de forma discreta (esto es en puntos concretos)

se hace necesario emplear métodos de interpolación que permitan obtener una

aproximación en cualquier punto del dominio.

Entre los posibles métodos de interpolación podríamos considerar

* Lineal * Exponencial * Logarítmico

No obstante, debido a su sencillez y a que está comúnmente aceptado únicamente se

expondrá el método de interpolación lineal.

Interpolación lineal

Supongamos que queremos estimar el valor Y asociado al punto X. Según el método de

interpelación lineal (ver figura) se supone que la función se comporta como una línea

recta entre los puntos P1 y P2 ( intervalo [x1, x2]) , misma recta que contiene al punto P

cuya coordenada en Y es requerida, pues el valor X es el que tomamos de referencia

para determinarlo.

Valor Y es

desconocido

P1(X1, Y1) P(X,Y) P2(X2,Y2)

96

(Tal que: X1<X < X2, y tender con los valores Y1 y Y2 acercarse lo más posible a X con los

valores de X1 y X2)

Sean dos puntos P1(X1, Y1), P2(X2, Y2), la interpolación lineal consiste en hallar una

estimación del valor Y, para un valor X“valor de referencia”, tal que X1 < X < X2, lo

más cercanos posible al valor de X. Teniendo en cuenta que la propiedad de la línea

recta que dice:

“Si una recta pasa por dos puntos P1 y P2, tiene una pendiente m1y si un tercer punto P

pertenece a la misma recta esta tendrá una pendiente m2, donde se da m1 = m2” , la

expresión matemática de dicha igualdad permitirá calcular el valor de Y.

P(X,Y)

P2(X2,Y2)

P1(X1, Y1)

X X1 X2

X X1 X2

m1 = m2

97

m1 = Y – Y1

X - X1

m2 = Y2 – Y1 De donde al igualar m1 a m2y despejando el valor de Y

X2 - X1obtengo que:

Y= Y1+(X – X1) Y2 – Y1

X2 - X1

En la práctica financiera, este método se utiliza cuando se requiere calcular la tasa

de interés en anualidades y en el cálculo de la TIR y la rentabilidad en bonos.

98

Notas Claves:

En anualidades:

a) Al trabajar con la fórmula de Valor Actual “A ó C”, la tasa (i) es inversamente

proporcional al Valor Actual, es decir al bajar la tasa (i) sube el valor actual y

al subir (i) baja el Valor Actual.

b) Al trabajar con la fórmula de Monto “M”, la tasa (i) es directamente

proporcional al Monto, es decir al subir la tasa (i) sube el Monto y al bajar (i)

baja el Monto.

c) Al tabular los valores “ij y f(i)j”; para aplicar la fórmula de la interpolación

considere:

ij = yj ; f(i)j = xjdonde j = 1…2;

Los puntos elegidos como más cercanos serán:

P1(x1,y1); P2(x2,y2) y

P(x,y) = P(valor de referencia, iBUSCADO)

En el cálculo de la TIR:

a) Por concepto la Tir = Tasa Interna de Retorno, es la tasa que hace que el VAN

= Valor actual neto, sea igual a 0 (CERO). Por lo tanto el valor de referencia x

será igual a 0 (CERO).

b) Al tabular los valores “ij y f(i)j”; para aplicar la fórmula de la interpolación

considere:

ij = yj ; f(i)j = xjdonde j = 1…2;

Entonces los puntos elegidos como más cercanos serán:

P1(x1,y1); P2(x2,y2) y

P(x,y) = P(valor de referencia, TirBUSCADO) = P(0, TirBUSCADO)

En el cálculo de la tasa de rentabilidad en bonos: Es aplicable la interpolación y se considera la fórmula del precio del bono

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO:

1. Elija una tasa de interés de partida, esta puede ser la tasa referencial del

BCE para operaciones activas, o de alguna otra inversión, incluso usted

puede poner un valor cualquiera.

2. Aplique el valorde la tasa elegida en la función; f(i)j = xjdonde j = 1…n; ij =

yj

Recuerde:

Al trabajar con la fórmula de valor actual en Anualidades. A = R 1-(1+i)-n A/R = X = valor de referencia

;

99

i 1-(1+i) -n

= f(i) i

Al trabajar con la fórmula de monto o valor futuro en Anualidades S = R (1+i) n - 1 S/R = X = valor de referencia

; i

(1+i)n -1 = f(i) i

Para el cálculo de la TIR aplique el concepto de TIR “Tasa que genera un VAN=0 (cero).

X=0 = Valor de referencia.

En caso de Bonos el precio cotizado es el Valor de referencia = X

3. Compare el valor obtenido del cálculo con el valor X de referencia.(Ubique

el valor en la grafica en este momento usted ha encontrado bien sea X1ó X2 y

tendrá que decidir si aumenta o disminuye la tasa dependiendo de la fórmula

aplicada conforme el paso siguiente)

P(X,Y=?)

P2(X2,Y2)

P1(X1, Y1)

4. Dependiendo de que si la función f(i)j ,se despejo de una fórmula del monto,

valor actual, VAN* o precio en bonos* (* se tratan de valores actuales y

tienen la relación inversamente proporcional con la tasa a la que se evalúa)

aplique las notas claves según sea el caso para acercarse más al valor de

X X1 X2

100

referencia X, si tiene que reducir la tasa hágalo a la mitad, y si tiene que

aumentarla hágalo al doble, de esta manera es posible que encuentre el otro

extremo del intervalo X1 X2. Este paso lo repite hasta encontrar el otro

extremo del intervalo.

Recuerde:

Los Valores Actuales sea A o C; VAN o P (Precio en bonos a la tasa i) tienen una relación inversamente proporcional, es decir:

-Si sube el valor actual baja la tasa i

-Si baja el valor actual sube la tasa i

Los Valores futuros Monto S o M mantienen una relación directamente proporcional a la tasa i, es decir van el mismo sentido.

-Si sube el valor futuro sube i -Si baja el valor futuro baja i

5. Una vez que se tiene el valor mayor y el menor a X, se procede a afinar el

cálculo; esto se lo hace sumando las dos tasas que dieron los valores

cercanos a X y dividiendo para 2, el valor resultante se aplica en f(i)j y se

obtiene un valor más cercano a X. Este paso se lo repite hasta que el valor

mayor y el menor a X prácticamente iguale al de X.

6. Con las coordenadas de los puntos más cercanos a los que se considera

como P1 , P2 y P se los aplica en la fórmula de interpolación.

Ejemplo Anualidades:

Aarón Kolb, crea un fondo de $600.000, el mismo se constituirá a través de 15 cuotas

semestrales de $12.000. Determine latasa nominal anual convertible semestralmente.

M = 600.000 M = R ((1+i)n- 1)/ i

n = 15 depósitos semestrales Reemplazandocon valores:

R = 12.000

j = ? (a.c.s.) 600.000 = 12.000 ((1+i)15

- 1)/ i

600.000/12.000 = ((1+i)15

- 1)/ i

50 = ((1+i)15

- 1)/ i entonces f(i) = ((1+i)15

- 1)/ i = Xcalculado

50 es el valor de referencia “X” y se debe encontrar eli “Y” que genere 50.

101

En este caso no se tiene la posibilidad de calcular directamente la tasa i, por lo tanto se

aplica el método de interpolación lineal:

Se da valores a i en f(i), encontrando Xcalculado; se puede partir de una tasa

que se de el enunciado del problema o de un valor de i (arbitrario) que se tome

como partida. (VEA TABLA DE VALORES)

Se toma los dos datos de ij “Y1 y Y2” y f( ij) “X1 y X2” que corresponden a

los valores más cercanos a 50, en el caso del ejemplo:

P “Y” : i = ? “X” : = 50

P1 “Y1” : i1 = 0,156 “X1” : f( i1) = 49,9850

P2 “Y2” : i2 = 0,157 “X2” : f( i2) = 50,3982

Aplico la fórmula de interpolación: Donde i = Y (Obteniéndose la tasa efectiva

periódica)

Y = Y1 + (X- X1) Y2 - Y1

X2 – X1

Reemplazo con los valores

Y = 0,156 + (50 - 49,9850) (0,157 - 0,156)/(50,3982 – 49,9850)

Entonces

i = 0,156036302 semestral = 15,604% semestral. (Tasaefectiva periódica)

Entonces la tasa nominal anual convertible semestralmente (a.c.s.) será :

j = 0,156036302 (2) = 0,312072604 en forma de porcentaje 31,21% a.c.s.

TABLA DE VALORES

102

Ejemplo TIR -VAN:

KLWD S.A. está analizando un proyecto de inversión con un costo de capital del 10% y el

siguiente patrón de flujos de efectivo esperados.

a. Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto?

b. Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto?

a. VAN

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo de efectivo

(en miles de $)

-100 25 50 50 25 10

Yj = ij Xcalculado=f(ij) Iteración Observación

0,20 72,035 1 Es un valor cercano a 50 pero no lo más cercano menor

o mayor que es lo que se desea encontrar

0.10 31,772 2 Como estamos utilizando la fórmula del Monto y el valor

encontrado anteriormente fue superior al valor de

referencia = 50, entonces aplico la nota clave respecto al

monto dividiendo la tasa para 2, bajando así la tasa para

que baje f(i).

0,15 47,580 3 Al momento tengo un valor X1 = 31,.772 menor y un X2 =

72,.35 mayor al de referencia; entonces sumo las dos

tasas y divido para dos, consiguiendo un mejor valor de i

y nos acercamos más a 50. También observamos que el

valor de i para que f(i) sea igual a 50 esta entre 0,20 y

0,15, por lo tanto se dará valores a i dentro de este rango

para afinar el cálculo. Un truco para hacer más rápido

es sacar la diferencia entre las dos tasas, dividir para

3 y el resultado se suma o se resta a la tasa que este

dando el valor más cercano, dependiendo si tengo

que subir o bajar la tasa. Para este caso 0,15-

0,10=0,05; 0,05/3=0,0167 y sumo a la tasa de 0,15

dando 0,0167

0,16 51,660 4 Se realiza el afinamiento entre 0,15 y 0,16 pues estamos

bastante cerca de 50; esto lo hacemos para tener una

mayor precisión en el cálculo de i, y no crear falsas

expectativas.

0,156 49,9850 5 Tenemos un valor de f(i) menor bastante más cercano

a 50

0,157 50,3982 6 Tenemos un valor de f(i) mayor bastante más cercano

a 50

103

VANr = -100 + 25 + 50 + 50 + 25 + 10 .

(1+r) (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5

VAN10% = -100 + 22,73 + 41,32 + 37,57 + 17,08 + 6,21

VAN10% = 24,90 VAN10%> 0, entonces conviene realizar la inversión

b) TIR

Interpolo: Utilizando la fórmula de VANr, voy dando valores a r que me acerquen lo más posible

a 0 por el lado negativo y por el positivo (cero por el concepto de TIR).

r VANr

y = y1 + (x – x1) y2 – y1

x2 – x1

0,10 24,90

0,20 0,566 P2(0,566 ; 0,20)

0,21 -1,446 P1(-1,446 ; 0,21)

P (0 ; y)

y = 0,21 + (0 + 1,446) (0,20 - 0,21) = 0,2028 TIR = 20,28%

(0,566+1,446) TIR >Cc ; 20,28% > 10%

Conviene la inversión.

104

APENDICE 3 ANUALIDADES GRADIENTE ARITMETICO Y

GEOMETRICO

analicemos una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) que crecen o decrecen en un

valor uniforme o constante, como también aquellas que aumentan o disminuyen en un valor

porcentual. Es conveniente afirmar, que básicamente la única condición que cambia entre las

anualidades y las anualidades con gradientes aritméticas y geométricas es que el valor de los

flujos de caja varía y las demás condiciones no se modifican, por lo cual, los conceptos de

anualidades vencidas, anticipadas, diferidas y generales que se trataron anteriormente son los

mismos y se manejaran en idéntica forma.

DEFINICION

Se denomina gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) periódicos que

poseen una ley de formación, que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar

o disminuir, con relación al flujo de caja anterior, en una cantidad constante o en un

porcentaje.

Para que una serie de flujos de caja se consideren un gradiente, deben cumplir las siguientes

condiciones:

Los flujos de caja deben tener una ley de formación.

Los flujos de caja deben ser periódicos

Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente.

La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.

Cuando los flujos de caja crecen en una cantidad fija periódicamente, se presenta un gradiente

lineal creciente vencido, sí los flujos de caja se pagan al final de cada periodo. Si los flujos de

caja ocurren al comienzo de cada período se está frente a un gradiente lineal creciente

anticipado. Si el primer flujo se posterga en el tiempo, se presenta un gradiente lineal creciente

diferido. Las combinaciones anteriores también se presentan para el gradiente lineal

decreciente.

En el caso en que los flujos de caja aumenten en cada período en un porcentaje y se realizan al

final de cada período se tiene un gradiente geométrico creciente vencido, y si los flujos ocurren

al inicio de cada período, se tiene un gradiente geométrico creciente anticipado. Se tendrá un

gradiente geométrico creciente diferido, si los flujos se presentan en períodos posteriores a la

105

fecha de realizada la operación financiera. Lo anterior ocurre con el gradiente geométrico

decreciente.

GRADIENTE ARITMETICO O LINEAL

Es la serie de flujos de caja periódicos, en la cual cada flujo es igual al anterior incrementado o

disminuido en una cantidad constante y se simboliza con la letra G y se le denomina variación

constante. Cuando la variación constante es positiva, se genera el gradiente aritmético

creciente. Cuando la variación constante es negativa, se genera el gradiente aritmético

decreciente.

Valor presente(A) y futuro(S) de un gradiente aritmético o lineal creciente

Valor presente.- Es la cantidad, que resulta de sumar los valores presente de una serie de flujos

de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G).

Valor futuro.- Es la cantidad, que resulta de sumar los valores futuros de una serie de flujos de

caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G).

R

R+

G R+

2G

R+

3G

0 1 2 3 4 n-1 n

R+

(n-2

)G

R+

(n-1

)G

Para calcular el valor presente y futuro de una anualidad con gradiente aritmético utilizamos

las formulas.

106

Recuerde la serie de pagos o flujos de caja responden a las series o progresiones aritméticas; el

valor de cualquier cuota puede ser calculado con la fórmula para cualquier termino.

Ejemplo 1: El valor de un automóvil se cancela en 18 cuotas mensuales, que aumentan cada

mes en $ 2, y el valor de la primera es de $ 600. Si la tasa de interés es del 2% mensual, hallar el

valor del automóvil.

107

0 1 2 3 17 18

R=600

i=2%

G=2

Ejemplo 2: Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $ 10

cada mes, siendo la primera cuota $ 1.270. Si la tasa de financiación que se cobra es del 1,5%

mensual, calcular el valor de la vivienda y el valor de la cuota 60.

0 1 2 3 119 120

R=1.270i=1.5%

G=10

108

Ejemplo 4. Calcular el valor de un préstamo que se está cancelando en 12 pagos mensuales que

aumentan cada mes en $ 100, pero el primer pago por valor de $ 3.000 se realizó 9 meses

después de la fecha de la negociación, y la tasa de interés es del 2% mensual. Durante los

primeros 9 meses se cobró una tasa de interés del 1,5% mensual.

0 1 2 7 8 9 20191810

X

A

R=3.000G=100

i=1.5%

i=2%

Calculo de A por los dos métodos:

109

Ejemplo 5: ¿Con cuántos pagos mensuales que aumentan en $ 50 cada mes, se cancela el valor

de una obligación de $ 60.000, si la tasa de interés es del 2,8% mensual y la primera cuota es

de $ 2000?¿Cuál será el valor de la cuota 20?

0 1 2 n-1 n

R=2000 G=50

i=2.8%

60000

Para encontrar n utilizamos interpolación lineal.

n (y) 30 31 32 33 34 35 36

VR (x) 52761,38 54248,28 55715,34 57162,55 58589,88 59997,37 61385,01

110

Ejemplo 6: En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 4% semestral, se

hacen depósitos semestrales, que aumentan cada semestre en $ 130, durante 12 años. Si el

valor del primer depósito es de $ 1.500, calcular el valor acumulado al final del año doce.

0 1 2 242322

R=1500 G=130

j=4%

S

Ejemplo 7: Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $ 15

cada mes, si se devenga un interés del 2,5% mensual, ¿cuál será el valor que se tendrá

acumulado al cabo de 24 meses, si el depósito del primer mes es $ 600.

111

0 1 2 242322

S

R=600i=2.5%

G=15

GRADIENTE GEOMETRICO EXPONENCIAL

Un gradiente geométrico es una serie de flujos de caja periódicos tales que cada uno es igual al

anterior disminuido o incrementado en un porcentaje fijo (j).

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO CRECIENTE

VALOR PRESENTE.- es el valor que se ubica en el presente, equivalente a una serie de flujos de

caja periódicos que aumenta cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo (j).

VALOR FUTURO.- es el valor que se ubica en el futuro, equivalente a una serie de flujos de caja

periódicos que aumenta cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo (j).

112

0 1 3 n-1 n2

A S

R(1

+j)

R

R(1

+j)

2

R(1

+j)

n-1

R(1

+j)

n-2

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMETRICO DECRECIENTE

0 1 3 n-1 n2

A S

R(1

-j)

R

R(1

-j)2

R(1

-j)n

-1

R(1

-j)n

-2

113

EJEMPLO 1: Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10%

cada mes. Si el valor de la primera cuota es $ 10.000 y se cobra una tasa de interés del 3%

mensual, calcular: a) El valor de la obligación, b) El valor de la cuota 16.

0 1 32

A

23 24

i=2%

R=10.000j=10%

114

EJEMPLO 2: Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $ 65.000, se le

plantea el siguiente plan: 20% de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1,5%

mensual, y un abono extraordinario en el mes 18 por valor de $ 5.000, si la tasa de financiación

es del 2,8 mensual, calcular el valor de la primera cuota.

0 1 32

A

23 24

R

17 18

i=2.8%

j=1.5%

65.000-13.000

52.000

5.000

115

EJEMPLO 3: Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% si

se cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $ 2.500

0 1 32

R=2.500

i=3%

j=2%

16 17 18

EJEMPLO 4: Financiar una vivienda que tiene un valor de $ 70.000 a una tasa de interés del

2,5% mensual, por medio de 120 cuotas que crecen cada mes en el1,5%. Calcule el saldo

después de cancelada la cuota 60.

0 1 32

R

i=2.5%

j=1.5%

59 60 61 119 120

70.000S60

116

Saldo después de cancelada la cuota 60.

Método 1.

Método 2.

117

EJEMPLO 5: Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada semestre

en el 2,5%, siendo el primer pago de $ 6.500. La tasa de Interés es del 18% a.c.s. Determine la

cuota 12.

0 1 32

A

16 17 18

R=6.500

i=9%

j=2.5%

Cuota 12.

118

EJEMPLO 6: Un préstamo de $ 20.000 se cancela con 15 cuotas mensuales que disminuyen en

1,8% cada mes, calcule el saldo después de cancelada la novena cuota. La tasa de financiación

es del 2% mensual.

0 1 32

20.000

R

i=2%

j=1.8%

8 9 10 14 15

Saldo después de la cuota 9.

119

APENDICE 4 MÉTODOS PARA EVALUAR PROYECTOS DE

INVERSIÓN Y TOMAR LA DECISIÓN.

Introducción:

Existen métodos para evaluar la conveniencia o no de un proyecto de inversión, por

un lado tenemos los métodos contables que no consideran el valor del dinero en el

tiempo y por otro los que si lo toman en cuenta entre ellos tenemos el Valor Actual

Neto VAN, Tasa Interna de Retorno TIR, Periodo de Recuperación Descontado.

Dependiendo de la clase de proyectos, estos pueden originar que la decisión

aplicando los criterios de aceptación de los métodos mencionados anteriormente no

coincida. Así se puede mencionar los siguientes tipos de proyectos:

Proyecto Convencional.-Es el que comienza con un flujo de efectivo negativo que

representa la inversión inicial y posteriormente siguen una serie de flujos positivos

hasta el final de la vida útil. Ejemplo de esto es la compra de una acción o bono. Los

criterios de aceptación TIR y VAN coinciden.

Proyecto No Convencional.-Cuando la secuencia de los flujos de efectivo es

diferente al del proyecto convencional; estos pueden crear conflicto en los criterios

de decisión del VAN y TIR. Ejemplo de ello tenemos en un seguro de por vida para

jubilación en donde la aseguradora recibe una cierto valor, para luego desembolsar

una anualidad durante la vida del jubilado. En estos proyectos se aceptan cuando la

TIR es menor que el costo de capital.

Proyectos Independientes.- La selección de emprender un proyecto de un grupo no

requiere ni excluye que se seleccione cualquier otro u otros e inclusive todos.

Proyectos Mutuamente Excluyentes.-Cuando de un conjunto de proyectos se elige

un proyecto que compite por los limitados recursos que tiene una empresa, por lo

que se deja de lado los otros proyectos, se decide por el que genere un mayor

rendimiento. Puede generar decisiones contrarias del TIR y VAN.

Proyectos Contingentes.- La selección de un proyecto está condicionada a la

elección de uno o más del resto del grupo.

Los criterios para evaluar proyectos de inversión brevemente se refieren a:

Valor presente neto:Es la suma de los flujos netos de caja actualizados, menos

la inversión inicial. El proyecto de inversión, según este criterio, se acepta

cuando el valor presente neto es positivo, dado que agrega capital a la empresa.

Tasa interna de rentabilidad:Es la tasa que hace que el valor presente neto sea

igual a cero, o tasa que iguala la inversión inicial con la suma de los flujos

netos actualizados. Según la TIR, el proyecto es rentable cuando la TIR es

mayor que la tasa de costo de capital, dado que la empresa ganará más

ejecutando el proyecto, que efectuando otro tipo de inversión.

Período de recuperación o Payback:Es el tiempo necesario para recuperar la

inversión inicial. Según este criterio, el proyecto es conveniente cuando el

120

período de recupero es menor que el horizonte económico de la inversión, dado

que se recupera la inversión inicial antes de finalizado el plazo total. Existen

dos métodos:

1.- Payback contable:Donde se consideran únicamente los flujos

netos de cada periodo, para determinar el tiempo que se tomará

para recuperar el dinero invertido. El inconveniente de este método

es el que no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo, por lo

que es preferible optar por el siguiente método.

2.- PaybackDiscountó Periodo de Recuperación Descontado:Este

método, para el cálculo del tiempo que se requiere para recuperar el

dinero invertido utiliza los flujos descontados; por esta razón su uso

más generalizado.

Para dar inicio a este estudio es importante tener el conocimiento de lo que es la combinación

de tasas, concepto que nos ayudará a explicar lo que es la Tasa Real y posteriormente el cálculo

de la TMAR

Combinación de Tasas.- Si un capital P está expuesto a una tasa i1 y simultáneamente a una

tasa i2 tenemos que esto equivaldría a tener a P con una tasa ie equivalente; como sigue:

P (1+ie) = P (1+i1) (1+i2)

Simplificando,

(1+ie) = (1+i1) (1+i2); ie = (1+i1) (1+i2) – 1;

ie = 1+i1+ i2 + i1 i2 –1;

ie = i1+ i2 + i1 i2

TASA DE INTERES REAL

Cuando existe inflación, la tasa efectiva, no expresa el verdadero rendimiento de

una operación financiera, entonces se convierte en una tasa aparente, pues parte

121

del rendimiento es consumido por la inflación. La tasa real es la que expresa el

poder adquisitivo de la tasa de interés.

Por lo expuesto anteriormente, las tasas de interés real influyen significativamente

en las economías de mercado, tanto en el ahorro como en los endeudamientos, y en

las decisiones de inversión para poder calcular su rentabilidad.

El economista Irving Fisher, basado en la combinación de tasas,estudió la relación

entre la tasa efectiva aparente (i), la tasa de inflación (d) y la tasa real (r), llegando

a obtener la siguiente fórmula para encontrar la tasa de interés real.

r = Tasa efectiva - Tasa de inflación x 100

1 + Tasa de inflación

i – dFórmula de Irving Fisher

r = 100(Nota: i, d expresadas en forma decimal, r

1+ d esta expresada en % al multiplicar

por 100)

Cuando la tasa real es positiva r >0 indica que se produce una ganancia;

Cuando la tasa real es negativa r <0 indica que se produce una pérdida;

La Ganancia Real o Pérdida Real está expresada por la multiplicación de la

tasa real por la cantidad invertida C.

GR = C.r

Ejemplo:

Calcular la tasa de interés real que se cobra en un país cuya tasa de interés efectiva

es 15% y la tasa de inflación o variación porcentual del índice de precios al

consumidor es 20% ¿ Cuánto gana o pierde una empresa que invierte $

100.000.000 en 1 año?.

Solución:

r = i – d 100= 0,15 – 0,20 100

122

1+ d 1 + 0,20

r = 100 (- 0,041667) = - 4,1667%

GR = 100.000.000 -4,1667 = - $ 4,166.666,67

100

Respuesta.

Pérdida de $ 4.166.666,67, en términos financieros.

TASA MÍNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR)

A esta tasa también se la conoce como TREMA (Tasa de REntabilidad Mínima Aceptable).

Todo inversionista, sea este una persona natural o jurídica o el estado, tiene en mente obtener

un beneficio al colocar su dinero; en el caso del gobierno si bien no espera lucrar , al menos

espera salir a mano en sus beneficios respecto de sus inversiones, para que no haya un subsidio

en el consumo de bienes o servicios y no aumente el déficit del propio gobierno.

Por lo tanto, cualquier inversionista deberá tener una tasa de referencia sobre la cual basarse

para hacer sus inversiones; esta tasa de referencia es la base de comparación en las

evaluaciones económicas que haga. Si no se obtiene cuando menos esa tasa de rendimiento, se

rechazará la inversión.

Para establecer esa tasa debe considerarse que todo inversionista espera que su dinero crezca

en términos reales. Como en todos los países hay inflación, aunque su valor sea pequeño,

crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la inflación, ya que si se

gana un rendimiento igual a la inflación el dinero no crece, sino mantiene su poder adquisitivo.

Entonces, se puede tomar como referencia el índice inflacionario, pero como elinversionista

quiere que su dinero crezca más allá del índice inflacionario, hay otrofactor que influye en la

TMAR; que es el premio al riesgo; que en nuestro caso consideraremos al porcentaje de riesgo

país.

La fórmula para el cálculo es la siguiente:

TMAR = Tasa de Inflación + Premio al Riesgo

123

Y nuevamente aplicando la combinación de tasas tenemos:

TMAR = i + f + if

Donde:

i= Tasa de inflación;

f = Tasa riesgo país.

Tanto los valores de la inflación como la de riesgo país a una determinada fecha en el Ecuador

la podemos encontrar en la página del Banco Central del Ecuador www.bce.gov.ec, tabla que

se presenta a continuación.

Siendo así tenemos que:

Si la inflación anual se ubica en el 4,31% en el país y;

El riesgo-país se mide en "puntos básicos" o "basicpoints", siendo 100 puntos

básicos equivalentes a 1% de rentabilidad. Por ejemplo, que el riesgo-país de

Ecuadoral 11 de marzo de 2010 se ubique en 821 puntos básicos, significa que

en promedio el rendimiento para el inversor que adquiere hoy títulos

ecuatorianos, debe ser 8,21 puntos porcentuales más alto que el rendimiento de

los títulos de Estados Unidos.

http://www.bce.gov.ec/

124

Economía Internacional

Actualizado: Marzo-15-2010 09:00

Indice Dow Jones: 10,618.12

-6,57

PESO COLOMBIANO(por USD) 1,899.3000

EURO (en USD) 1.3703

YEN (por USD) 90.7400

LIBRA (en USD) 1.5080

FRANCO SUIZO (en USD) 1.0601

Fuente: Bloomberg

Principales Indicadores

VARIACIÓN DE PIB 2009 0.98 %

PIB 2009 (previsto)

(millones) 51,388.5

PIB per Capita 3,668 USD

INFLACION MENSUAL (feb.) 0.34%

INFLACION ANUAL (feb.) 4.31%

SALARIO UNIFICADO 240.00

CANASTA BASICA (feb.) 535.48

CANASTA VITAL (feb.) 383.44

TASA DE INTERES ACTIVA

(referencial) (mar.) 9.21%

TASA DE INTERES PASIVA

(referencial) (mar.) 4.87%

POBLACION (miles) 14,138.3

TASA DE DESEMPLEO (dic.09) 7.9%

TASA DE SUBEMPLEO (dic.09) 50.5%

OCUPADOS PLENOS (dic.09) 38.7%

RILD (miles de millones)

(26-feb.) 3,640.34

INDICE RIESGO PAIS (11-mar.) 821.00

BARRIL PETROLEO (WTI) 79.840 USD

125

ORO (100 oz) 1,105.700 USD/t oz.

PRECIO CACAO (USD/MT) 2,874.000 USD/MT

Fuente: INEC,SBS,BCE,Bloomberg

TMAR = i + f + if

TMAR = 0,0431 + 0,0821 + 0,0431 . 0,0821

TMAR = 0,1287 TMAR = 12,87%

El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento de dinero y se le llama así porque el

inversionista siempre arriesga su dinero y por arriesgarlo merece una ganancia adicional sobre

la inflación. Como el premio es por arriesgar, significa que a mayor riesgo, se merece mayor

ganancia.

TMAR como Costo de Oportunidad y como Costo de Capital

Costo de Oportunidad: Se refiere al costo (%), que se deja de percibir o que se

sacrifica al invertir en otra opción o proyecto.

Costo de Capital:LaTMAR también se le llama Costo de Capital, nombre derivado del hecho que

estácompuesto por el costo financiero de sus fuentes de financiamiento a largo plazo, la deuda,

el capital preferente y el capital común, El costo del capital se utiliza primordialmente, para

tomar decisiones de inversión a largo plazo, por lo que dicho costo se enfoca hacia el empleo

en los presupuestos de capital.

Cuando una sola entidad, sea esta una persona natural o jurídica, es la única aportadora de

capital para una empresa el costo de capital equivale al rendimiento que pide esa entidad por

invertir o arriesgar su dinero. Cuando se presenta este caso se le llama Costo de Capital Simple.

Sin embargo, cuando esa entidad pide un préstamo a cualquier institución financiera para

constituir o completar el capital necesario para la empresa, seguramente la institución

financiera no pedirá el mismo rendimiento al dinero aportado, que el rendimiento pedido a la

aportación de propietarios de la empresa.

Cuando se da el caso de que la constitución de capital de una empresa fue financiada en parte,

se habla de un costo de capital mixto. El cálculo de este costo se presenta en el siguiente

ejemplo.

126

Ejemplo: Kolb A.G. requiere $1,250 milles, Los accionistas aportan sólo cuentan con $700 miles.

El resto se financiara con préstamos a dos Instituciones financieras. El Banco de Aarón

aportará $300 miles por los que cobrará un interés del 25% anual. Mientras que, la Cooperativa

Pauletty S.A. aportará $250 millones a un Interés de 27.5% anual. Si la TMAR de los accionistas

es de 30%, ¿cuál es el costo de capital o TMAR mixta para esta empresa?

Solución. La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los aportes de

capital de la empresa.

Entidad Aportación Porcentaje de

Aportación

Rendimiento

pedido

= Promedio

ponderado

Accionistas 700 0.56 0.30 = 0.168

Banco de Aarón 300 0.24 0.25 = 0.060

Cooperativa

Pauletty S.A.

250 0.20 0.275 = 0.055

Suma 1,250 1.0 0.283

La TMAR mixta de esta empresa es 28.3%.

Entonces ya es momento de poder en base a la TMAR calcular el VAN, la TIR donde se

considera a la TMAR.

VALOR ACTUAL NETO (VAN)

También es conocida como valor presente neto (VPN) de un proyecto de inversión

y no es otra cosa que su valor medido en dinero de hoy, o en otras palabras, el

equivalente en unidades monetarias actuales de todos los ingresos y egresos

presentes y futuros que constituyen el proyecto.

El VAN consiste en descontar o trasladar al presente todos los flujos futuros del

proyecto a una tasa de descuento que puede ser(el costo del capital o financiero, el

costo de oportunidad, o la inflación promedio pronosticada), sumarlas todas y

restarlas a la inversión inicial en tiempo cero.

Ahora será explicada más claramente esta definición, si se quiere representar los

flujos netos de efectivo por medio de un diagrama, este podría quedar de la

siguiente manera:

127

Tómese para el estudio un horizonte de tiempo de por ejemplo cinco años. Trácese

una línea horizontal y divídase ésta en cinco partes iguales, que representan cada

uno de los años.

A la extrema izquierda colóquese el momento en que se origina el proyecto o

tiempo cero. Represéntense los flujos positivos o ganancias actuales del proyecto

(empresa) con una flecha hacia arriba, y los desembolsos o flujos negativos con una

flecha hacia bajo de la recta del proyecto. En éste caso el único desembolso es la

inversión inicial en el tiempo cero, aunque podría darse el caso en que

determinado año hubiera una pérdida (en vez de ganancia), y entonces aparecería

en el diagrama de flujo una flecha hacia abajo.

Proyecto 0 1 2 3 4 5 Tiempo

-II FNE1 FNE2 FNE3 FNE4 FNE5 + Vs Valores $.

Cuando se hacen cálculos de pasar, en forma equivalente, dinero del presente al

futuro, se utiliza una “i” de interés o de crecimiento del dinero; pero cuando se

quiere pasar cantidades futuras al presente, como en este caso, se usa una “tasa de

descuento”, llamada así porque descuenta el valor del dinero en el futuro a su

equivalente en el presente, y a los flujos traídos al tiempo cero se les llama flujos

descontados.

La definición ya tiene sentido. Sumar los flujos descontados en el presente y restar

la inversión inicial equivale a comparar todas las ganancias esperadas contra todos

los desembolsos necesarios para producir esas ganancias, en términos de su valor

equivalente en este momento o tiempo cero. Es claro que para aceptar un proyecto

las ganancias deberán ser mayores que los desembolsos, lo cual dará por resultado

que el VAN sea mayor que cero. Si para calcular el VAN se utiliza la tasa

inflacionaria promedio pronosticada para los próximos cinco años, las ganancias

de la empresa solo servirían para mantener el valor adquisitivo real que la

empresa tenía en el año cero, siempre y cuando de reinviertan todas las ganancias.

El cálculo del VAN para el período de cinco años es:

VAN = - I I + FNE1 + FNE2 + FNE3 + FNE4 + FNE5 + Vs

-------- -------- --------- --------- --------------

(1+i)1 (1+i) 2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i) 5

Donde: II = InversionInicial

FNE = Flujo de efectivo

128

Vs = Valor de salvamento o rescate al final

de la vida del proyecto

i = Tasa efectiva

Para tomar la decisión de emprender el proyecto con base en los resultados del

VAN, es procedente acoger los lineamientos siguientes.

Si i es la tasa de interés utilizada en el cálculo del VAN (cuando el proyecto se

financia con una participación relevante de créditos bancarios).

VAN > 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es mayor

que la tasa de interés i.

VAN = 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es

exactamente igual a la tasa de interés i.

VAN < 0 indica que el rendimiento del dinero invertido en el proyecto es menor

que la tasa de interés i.

Si la tasa de interés (costo de oportunidad o costo del capital) empleada en el

cálculo del VAN (cuando el proyecto tiene una participación mayoritaria de

recursos propios y por tanto i interpreta el promedio de rendimiento que arroja el

tipo de negocios en el que el inversionista espera participar. Para una empresa en

marcha, que quiere ampliar operaciones, i debe consultar como mínimo el

rendimiento actual sobre la inversión):

Cuando VAN > 0, (aumentará el capital de la empresa, por lo tanto el proyecto es aceptable), el

proyecto es atractivo.

Cuando VAN = 0, ( no aumentará ni disminuirá el capital de la empresa, por lo tanto el

proyecto es indiferente. Si el proyecto se lleva a cabo, es porque se han

priorizado otros aspectos), el proyecto es indiferente, tiene opciones.

Cuando VAN < 0, (disminuirá el capital de la empresa, por lo tanto es inaceptable), el

proyecto es inconveniente.

Ventajas del VAN:

Analiza todos los flujos netos de caja, como así también sus vencimientos, al

corresponder a distintas épocas se los debe homogeneizar, trayéndolos a un

mismo momento del tiempo.

129

Desventajas:

1. La dificultad para determinar la tasa del costo de capital

2. El VAN mide la rentabilidad en valor absoluto, ya que depende de la inversión inicial; por lo tanto si se deben comparar proyectos con distinta inversión inicial se debe relativizar el VAN, a fin de obtenerlo por cada unidad de capital invertido

3. El VAN depende del horizonte económico de la inversión; por lo tanto si se deben comparar proyectos con distinta duración, se debe relativar el VAN a fin de obtenerlo para cada año;

4. La mayor dificultad es el supuesto de que los flujos netos de caja positivos son reinvertidos a la tasa de costo de capital, y que los flujos netos de caja negativos son financiados con la misma tasa.

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

La TIR corresponde a la tasa de interés generada por los capitales que

permanecen invertidos en el proyecto y puede considerarse como la tasa que

origina un valor presente neto igual a cero, en cuyo caso representa la tasa que

iguala los valores presentes de los flujos netos de ingresos y egresos. La TIR es una

característica propia del proyecto, totalmente independiente de la situación del

inversionista, es decir, de su tasa de interés de TMAR (costo de oportunidad Co o

del costo de capital Cc representada pori, entonces TMAR = i).

En el gráfico se observa que el VAN es una función decreciente convexa que corta

al eje x (o de las ordenadas) en el punto donde su costo es igual a la tasa de

rentabilidad TIR. Adicionalmente la grafica muestraun resumen para la toma de

decisiones en el VAN o (VPN) y la TIR:

Figura: Toma de Decisiones con el VAN (VPN) y la TIR

130

El criterio para aceptación utilizando la TIR es:

TIR >Cc: El rendimiento supera al costo de capital invertido, por lo tanto el proyecto es rentable.

La inversión aporta dinero para solventar el proyecto y además suministra al empresario

una utilidad, por lo tanto el proyecto es rentable.

TIR <Cc: El rendimiento no alcanza a cubrir el costo del capital invertido, por lo tanto el proyecto no es

rentable.

TIR = Cc: Se cubre exactamente el capital invertido, por lo tanto el proyecto es indiferente.

Ventajas:

1. Considera todos los flujos netos de caja, así como su oportunidad; al corresponder a distintas épocas se deben medir en un mismo momento del tiempo;

2. La TIR mide la rentabilidad en términos relativos, por unidad de capital invertido y por unidad de tiempo.

Desventajas:

La inconsistencia de la tasa: cuando los FNC son todos positivos, las

inversiones se denominan simples y existe una única TIR. Si existen algunos

flujos negativos, las inversiones se denominan "no simples" y puede existir más

de una TIR. O sea que la TIR es inconsistente.

Para el cálculo de la TIR se utiliza la interpolación tomando como punto de

referencia inicial el costo del capital para posteriormente ir analizando cómo se

comporta el VAN al subir puntos a ésta tasa o bajar a la misma. Con esto lo que se

quiere es tener dos tasas que generen VANs lo más cercanos a cero, siendo el uno

positivo y el otro VAN negativo.

131

Índice de rentabilidad IR

Se refiere al cociente entre el valor de los flujos de fondos actualizados y la inversión inicial

efectuada. Esta es una medida relativa, que indica cuanto genera el proyecto por unidad

monetaria invertida; es decir mide la repercusión económica del proyecto a través de la

rentabilidad.

Ejemplo:Dieter tiene un proyecto que demanda una inversión de $50.000, ha estimado que los

flujos netos de cajas para los próximos 5 años son $20.000 cada año, considera que su costo de

capital es del 5% anual.

VA = 20.000(1+0,05)-1+20.000(1+0,05)-2+20.000(1+0,05)-3+20.000(1+0,05)-4+20.000(1+0,05)-5

VA = $86.589,53

IR = 86.589,53/50.000 = 1,73 Esto quiere decir que el proyecto genera $1,73 por cada unidad

monetaria invertida.

Cuando se analizan varios proyectos se decide por el que de un valor mayor en el IR.

132

Relación Beneficio-Costo (B/C)

Es un método complementario, utilizado para evaluar, las inversiones en proyectos de desarrollo económico de las comunidades, que realiza el gobierno central, los gobiernos provinciales o locales para lo cual generalmente utiliza una tasa más baja denominada “Tasa Social”. Además en el campo de los negocios se usa para ver la factibilidad de los proyectos en base la relación de los beneficios y los costos asociados al proyecto.

La relación beneficio / costo es un indicador que mide el grado de desarrollo y bienestar que un proyecto puede generar a una comunidad.

Cuando los proyectos reciben financiamiento de entidades crediticias internacionales, una exigencia es que los proyectos sean evaluados con esta razón.

La relación Beneficio/Costo se obtiene al dividir el valor actual de la corriente de beneficios para el valor actual de la corriente de costos.

B/C = (Valor Actual Ingresos) / (Valor Actual Egresos)

Los valores que puede tomar esta relación tienen un significado:

B/C > 1 Significa que los ingresos son mayores que los egresos, y consecuentemente el

proyecto es aconsejable.

B/C = 1 Los ingresos son iguales a los egresos, entonces el proyecto es indiferente

B/C < 1 El proyecto no es aconsejable.

Ejemplo:

1) Para comunicar dos poblaciones, se ha previsto la construcción de una carretera alterna por un costo de $25.000.000, la misma generará ahorros en combustible a los vehículos por $1.500.000 anuales, por otra parte aumentará el turismo a esa región estimando el aumento de utilidades en los hoteles, restaurantes y otros en $7.000.000 al año. Sin embargo los agricultores estiman niveles de pérdidas en la producción proyectada de $1.300.000 anuales. Considerando una tasa del 25%, Determine si es factible el proyecto.

133

Calculamos los ingresos y egresos esperados: 1.500.000+7.000.000-1.300.000 = 7.200.000

Utilizando la fórmula de una perpetuidad actualizamos el valor al periodo cero:

A = 7.200.000/0.25 = $28.800.000

La inversión en el periodo cero es: $25.000.000

Entonces la relación B/C = 28.000.000 / 25.000.000 = 1,15

Como la relación Beneficio – Costo es mayor que 1, el proyecto es aconsejable.

Si el resultado es mayor que 1, significa que los ingresos netos son superiores a los egresos netos. En otras palabras, los beneficios (ingresos) son mayores a los sacrificios (egresos) y, en consecuencia, el proyecto generará riqueza a la comunidad. Si el proyecto genera riqueza con seguridad traerá consigo un beneficio social.

2)En el siguiente ejemplo se tienen tres proyectos mismos que demandan una inversión inicial y generaran los flujos como se muestran a continuación:

Año (j)

Flujo

Proyecto A

Proyecto A

VA

Flujo

Proyecto B

Proyecto B

VA

Flujo

Proyecto C

Proyecto C

VA

0 -3000000 -5000000 -4000000

1 1000000 869565,217 1500000 1304347,83 1300000 1130434,78

2 1000000 756143,667 1500000 1134215,5 1300000 982986,767

3 1000000 657516,232 1500000 986274,349 1300000 854771,102

4 1000000 571753,246 1500000 857629,868 1300000 743279,219

5 1000000 497176,735 1500000 745765,103 1300000 646329,756

6 1000000 432327,596 1500000 648491,394 1300000 562025,875

7 1000000 375937,04 1500000 563905,56 1300000 488718,152

8 1000000 326901,774 1500000 490352,661 1300000 424972,306

9 1000000 284262,412 1500000 426393,618 1300000 369541,136

10 1000000 247184,706 1500000 370777,059 1300000 321340,118

VA 5018768,63 7528152,94 6524399,21

B/C 1,67 1,51 1,63

Tasa: 15%

134

En este caso la interpretación es la del IR y se decide por el proyecto que da un mayor valor, en el caso del ejemplo es el proyecto A con una relación B/C = 1,67; pues genera $1.67 por cada dólar invertido.

Ejemplo Completo VAN, TIR, PAYBACK, IR:

Una empresa estima los siguientes flujos de caja durante 6 años de un proyecto X.

Si se considera el costo del capital i = 10% y una inversión inicial de $ 600.000, en

el año cero, calcular el VAN y la tasa interna de retornoTIR.

(Valores expresados en miles de USD.)

AÑO 0 1 2 3 4 5 6

Inversión

Inicial 600 - - - - - -

Ventas - 500 500 500 500 500 500

- Costo de Op. - 350 350 350 350 350 350

- Depreciación - 100 100 100 100 100 100

= Utilidad (sin

Impuestos) - 50 50 50 50 50 50

FLUJO NETO DE

CAJA (UTILIDAD +

DEPRECIACION)

600 150 150 150 150 150 150

Valores expresados en miles de dólares

*** Si se requiere, que se calcule con los flujos después de impuestos, a la utilidad gravable, reste

el valor causado por los impuestos y sume la depreciación.

Se calcula el valor actual neto para cada tasa, inicialmente utilizo el costo de

oportunidad, y considero como referencia para incrementar la tasa o bajarla de

manera de conseguir dos valores de i que generen un VAN positivo y otro negativo

lo más cercano 0, que es la característica de la TIR; entonces estoy en capacidad

de aplicar la fórmula de la TIR.

135

V

A

Ni

=

-

6

0

0

150

/(1

+r)1

150/

(1+r

)2

150/

(1+r

)3

150/

(1+r

)4

150/

(1+r

)5

150/

(1+r

)6

V

A

N1

0%

-

6

0

0

136

,36

123,9

7

112,7

0

102,4

5

93,14

84,67

V

A

N1

0%

53,29

Al calcular el VAN al costo de capital del 10% se obtiene un valor de 53.29, el cual

es mayor que cero que de acuerdo al criterio de aceptación nos indica que conviene

invertir en el proyecto.

**NOTA: Los flujos descontados a la tasa de costo de

oportunidad o costo de capital posteriormente servirán

para el cálculo del payback descontado y la relación IR. Para calcular la TIR, seguimos el procedimiento de Interpolación lineal visto

en el Apédice 2, teniendo en cuenta que por el concepto de TIR, el valor de

referencia será igual a cero 0.

J YJ = iJ XJ = f(iJ) = VANiJ

1 0,10 53,29

2 0,20 -101,17

3 0,15 -32,33 P1(-32,33;0,15)

4 0,12 16,72 P2(16,72;0,12)

P (0,Y)

Como se halló un valor positivo y otro negativo, esto significa que la tasa interna

de retorno se encuentra entre los límites:

Aplico la formula:

136

y = y1 + (x – x1) y2 – y1

x2 – x1

y = 0,15 + (0+32,33) (0,12-0,15) . TIR = 13,02%

(16,72+32,33)

También puede aplicarse la formula

TIR = r1 + (r2 – r1) VAN1

VAN 1 – VAN 2

TIR = 0,15 + (0,12-0,15) (32,33) . TIR = 13,02%

(16,72+32,33)

Que, de acuerdo con las condiciones del problema, indica que la inversión podrá

ser ventajosa ya que el costo del capital es 10%.

Para el cálculo del Payback en sus dos modalidades tenemos:

Inversión Inicial = 600

Año 1 2 3 4 5 6

Flujo Neto 150 150 150 150 150 150

Flujo

Descontado

136,36 123,97 112,70 102,45 93,14 84,67

En el caso del Payback Contable alcanzo el valor invertido a los 4 años esto es (150 x

4 = 600).

Para Payback Descontado, debo sumar los flujos descontados y el último, por regla

de tres simple determinar el tiempo que toma para alcanzar la suma invertida.

137

Calculando se tendría:

(136,36+123,97+112,70+ 102,45+93,14=568,62, saco la diferencia para llegar a los

600 que da -31,38 y establezco la regla de tres

84,67 en 12 meses

31,38 x x = 4,45 meses

Por lo tanto el Periodo de Recuperación Descontado es de 5 años 4,45 meses

Finalmente para calcular el IR, sumo los flujos descontados a partir del año 1y divido para la

inversión inicial.

Año 1 2 3 4 5 6

Flujo

Descontado

136,36 123,97 112,70 102,45 93,14 84,67

IR = 653,29/600 = 1,09 La interpretación es por cada dólar invertido el proyecto genera 1,09

dólares.

Semejanzas y diferencias entre el VAN y la TIR

Si bien ambos utilizan el mismo flujo de efectivo para determinar el resultado, miden aspectos

diferentes de la rentabilidad de una inversión.

Ambos tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

La TIR es una incógnita del proyecto, que emerge de las condiciones propias de este.

Mientras que en el cálculo del VAN, se utiliza el costo de oportunidad del inversor que

es un dato externo.

El VAN es una medida de rentabilidad en términos absolutos, mientras la TIR mide la

rentabilidad en términos relativos (el porcentaje de rendimiento periódico que se

obtiene por unidad monetaria invertida.

138

El VAN supone la reinversión de los fondos al mismo costo de oportunidad, mientras

que la TIR supone implícitamente la reinversión de fondos a la misma TIR.

Las decisiones en los criterios de evaluación VAN y TIR coinciden cuando es un

proyecto convencional o simple, es decir cuando comienza con un flujote efectivo

negativo que representa el desembolso de la inversión inicial, y luego se presentan una

serie de flujos de efectivo siempre positivos hasta el final de la vida del proyecto.

139

APENDICE 5 BONOS

Introducción:

En el campo de los grandes capitales requeridos para financiar las instalaciones

industriales modernas o las grandes obras productivas que emprenden

corporaciones o los gobiernos, no es posible obtener el dinero necesario en

préstamo proveniente de una sola compañía; por lo que es necesario recurrir a las

inversiones de varias personas. Para agilizar estas inversiones se ha creado una

forma de obligación que constituye un instrumento de crédito llamado bono.

En los últimos años, la banca privada, la banca nacional y las corporaciones

financieras han creado y puesto en circulación varias clases de obligaciones

comerciales, como cédulas y certificados a término fijo. Estos documentos hacen

más atractivas las inversiones, puesto que ofrecen mejor rentabilidad que las

tradicionales cuentas de ahorro.

Por otra parte, con el objeto de incentivar las exportaciones no tradicionales,

algunos gobiernos en vías de desarrollo han creado diversos tipos de certificados y

bonos que tienden a aumentar la utilidad percibida por los exportadores.

DEFINICIONES:

BONO:

1. Un bono es un documento a largo plazo emitido por una corporación o entidad

gubernamental con el fin de financiar proyectos importantes. En esencia, el

prestatario recibe dinero ahora a cambio de una promesa de pagar después, con

interés pagado entre el momento en que el dinero se prestó y el momento en que es

reembolsado. Con frecuencias, la tasa de interés de los bonos recibe el nombre de

cupón.

2. Es una obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o entidad

particular, a un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses pagaderos

en períodos regulares.

140

Las leyes de cada país regulan las relaciones entre entidades emisoras y las

personas propietarias o tenedoras de los bonos. Los bonos que pueden transferirse

libremente y cambiar de dueño por la simple venta se denominan bonos no

registrados y se emiten al portador. En caso que los bonos sean registrados, solo

pueden transferirse mediante endoso y con consentimiento del emisor.

Bono cupón cero no paga intereses periódicos, de manera que la tasa del cupón

es cero. Debido a ello, éstos se venden con frecuencia con descuentos mayores

del 75% de su valor nominal, de modo que su producto hasta el vencimiento sea

suficiente para traer a los inversionistas.

PAGO DE INTERESES:

En la mayoría de bonos, los pagos de interés se los hace contra la presentación de

cupones; éstos cupones están impresos en serie y ligados a la misma obligación y

cada uno tiene impresa su fecha de pago. Tanto los cupones como el bono mismo

son pagarés negociables; en el caso de bonos registrados, tanto en el principal

como en los intereses, los cupones no son necesarios ya que los intereses se pagan

directamente, a la persona registrada como tenedor del bono.

VALOR NOMINAL:

Es aquel valor que se encuentra escrito o impreso en el bono al momento de la

emisión, hace referencia a su denominación el principal o capital que se señala en

el bono es el valor nominal, en general una denominación par que empieza en $100

y más utilizados son de $100, 500, 1.000, 10.000 y 50.000.

El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono a

la fecha de vencimiento.

Con frecuencia, un bono se compra con descuento (menor que el valor nominal) o

con una prima (mayor que el valor nominal), pero solamente el valor nominal, no

el precio de compra, se utiliza para calcular el monto del interés del bono.

El monto del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de

vencimiento del bono se determina multiplicando el valor nominal del bono por su

tasa de interés por período, de la siguiente manera:

141

A = F (valor nominal ). r’ ( tasa nominal de interés del bono )

m (Número de períodos de pago al año.)

Ejemplo:

Determine cuál será el monto de interés que recibirá por período si compra un bono de

$5.000 al 6 %, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos cada trimestre.

Solución:

A = 5.000 ( 0,06 ) = $ 75

4

En consecuencia, usted recibirá intereses de $ 75 cada trimestre adicionales a la

suma global de $ 5.000 al término de 10 años.

VALOR DE REDENCIÓN:

Es el valor que recibe el tenedor del bono, por lo general el valor de redención es

igual al valor nominal, en este caso se dice que el bono es redimible a la par. De

otra forma, el valor de redención se expresa como un porcentaje del valor nominal

omitiéndose la palabra por ciento. Por ejemplo, Un bono de $ 1.000 redimible en $

1.050 se expresa como “un bono de $1.000 redimible a 105”.

El reintegro del principal se efectúa en una fecha de vencimiento estipulada pero,

en algunos casos, se deja al prestatario la opción de reintegrar el valor, antes del

vencimiento. Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses.

MADURACIÓN:

La maduración de un bono se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será

pagado. La maduración de los bonos maneja un rango entre un día a treinta años.

Los rangos de maduración a menudo son descritos de la siguiente manera:

1. Corto plazo: maduración hasta los cinco años.

2. Plazo intermedio: maduración desde los cinco años hasta los doce años.

3. Largo plazo: maduración de doce años en adelante.

PRECIO DE LOS BONOS:

El precio de los bonos en el mercado de valores se fija por acuerdo entre el

comprador y el vendedor; este valor depende básicamente de los siguientes

142

factores: (1) tasa de interés e intervalo de los cupones; (2) tasa de interés local para

las inversiones; (3) tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento; (4) precio de

redención; (5) las condiciones económicas imperantes; (6) confiabilidad en las

garantías del emisor. Los bonos pueden venderse a la par, con premio, o con

descuento (castigo), según el precio de venta sea igual, mayor o menor al valor

nominal.

TASA INTERNA DE RETORNO ( TIR O RENTABILIDAD ):

Para el cálculo de la tasa interna de retorno del dinero invertido en bonos, el

inversionista debe tener en cuenta tanto el valor de los cupones como el valor de

redención del bono. Un bono comprado con descuento irá aumentando

gradualmente su valor, hasta igualar el valor de redención en la fecha de

vencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. En caso de que los

bonos se compren con premio se produce una disminución paulatina del precio de

compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de calcular el rendimiento.

YIELD:

La tasa yield es la tasa de retorno que se obtiene del bono basado en el precio que

se pago y el pago de intereses que se reciben. Hay básicamente dos tipos de yield

para los bonos: yield ordinario y yield de maduración.

El yield ordinario es el retorno anual del dinero pagado por el bono y se obtiene de

dividir el pago de los intereses del bono y su precio de compra. Si por ejemplo

compró un bono en $ 1.000 y los intereses son del 8 % ($ 80), el yield ordinario será

de 8 % ( $ 80 / $ 1.000); veamos otro ejemplo, si compró un bono a $ 900 y la tasa

de interéses del 8 % ( $ 80) entonces el yield ordinario será de 8,89 % ($ 80/$900).

El yield de la maduración, que es más significativo,es el retorno total que se

obtiene por tener el bono hasta su maduración. Permite comparar bonos con

diferentes cupones y maduraciones e iguala todos los intereses que se reciben desde

la compra más las ganancias o pérdidas.

PRECIO DEL BONO A UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES O CUPÓN:

Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses adquiere el

derecho a recibir el pago futuro de los intereses en cada período de pago y el valor

de redención del bono, en la fecha de vencimiento. No recibirá el pago de interés

vencido en la fecha de compra. El valor actual del bono debe ser equivalente a la

suma de los valores actuales de los derechos o flujos que compra, o sea:

http://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtml



143

Valor presente de los bonos = valor presente de los intereses + valor actual del

principal

Nomenclatura:

C = precio de redención del bono

P = precio de compra para obtener un rendimiento i.

F = valor nominal ( o la par del bono )

r = tasa de interés por período de pago del cupón

n = número de períodos de intereses (o número de cupones), hasta la fecha

de vencimiento

i = tasa de interés sobre la inversión por período de cupón (rentabilidad o tasa

interna de retorno TIR).

Se designa A al valor de los intereses que paga el bono en cada fecha de pago

(cupón) A = Fr. Los pagos A forman una anualidad vencida y su valor presente P

al sumar al valor anterior el valor presente de C a la tasa i%, se tiene:

P = A . 1 – (1+i)-n + C (1+i)-n

i

Finalmente luego de algunos reemplazos y transformaciones la fórmula queda:

P = C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n

i

Ejemplo:

Un bono de $1.000, 3,5 %, FA (febrero-agosto), es redimible a 105 el primero de

febrero del 2005. Hallar el precio de compra el 1 de febrero de 1985, que reditúe

5% anual convertible semestralmente.

F = 1000, C = 1050, r = 0,035/2, i = 0,05/2, n = 40.

Reemplazo en la fórmula

P = 1050 + (1000 . 0,0175 – 1050 . 0,025) 1 –

(1+0,025)-40

0,025

144

P = 830,35 VALOR EN LIBROS DE UN BONO

Es denominado también valor contable o estimado del bono. Representa la

cantidad invertida en el bono en cualquier fecha o momento, desde la fecha de

compra hasta la fecha de redención. El valor en libros de los bonos comprados con

premio o con descuento varía su valor hasta igualar al de redención, en la fecha de

vencimiento. Los, con el transcurso del tiempo. El cambio de valor durante la vida

del bono se observa con claridad al construir una tabla de inversión.

Ejemplo:

Un bono de $10.000 al 12% redimible a la par en 6 meses. La tasa se la inversión es

1,25% mensual; elabore la tabla que permita observar el valor en libros del bono.

F = 10.000, C = 10.000, r = 0,12/12 = 0.01 mensual, i = 0.0125 mensual, n = 6 meses P = ?

P = 10.000 + (10.000 . 0,01 – 10.000 . 0,0125) 1 –

(1+0,0125)-6

0,0125

P = $9.856,35

Periodo Valor en

libros al inicio

del periodo

(1)

Intereses

sobre la

inversión (2)

Intereses del

bono

Variación del

valor en

libros (3)

Valor en

libros al final

del periodo

(4)

1 9.856,35 123,20 100,00 23,20 9.879,55

2 9.879,55 123,49 100,00 23,49 9.903,04

3 9.903,04 123,79 100,00 23,79 9.926,83

4 9.926,83 124,09 100,00 24,09 9.950,92

5 9.950,92 124,39 100,00 24,39 9.975,31

6 9.975,31 124,69 100,00 24,69 10.000,00

Totales 743,65 600,00 143,65

Claves:

145

(1) En el primer mes o periodo, es el precio de compra, y a partir del

segundo periodo es el valor en libros al final del periodo anterior.

(2) Se obtiene al multiplicar el valor en libros al inicio del periodo por la

tasa de inversión (i) periódica.

(3) Resulta al restar los intereses del bono de los intereses sobre la

inversión. Si el bono es comprado con descuento es positivo;

mientras que si es comprado con premio es negativo.

(4) Es la suma del valor en libros al inicio del periodo más la variación

del valor en libros.

Ejemplo:

Un bono de $1.000 al 8% convertible semestralmente, redimible a la par dentro de

tres años, es adquirido por un inversionista, para obtener una TIR del 6%.

Elabore la tabla de inversión del bono.

C = 1.000, F = 1.000, r = 0,08/2, i = 0,06/2, n = 3 (2) = 6

P = 1.000 + (1.000 . 0,04 – 1.000 . 0,03) 1 – (1+0,03)-6

0,03

P = $1.054,17

Periodo Valor en

libros al

inicio del

periodo

Intereses

sobre la

inversión

Intereses del

bono

Variación

del valor en

libros

Valor en

libros al

final del

periodo

1 1.054,17 31,63 40,0 -8,37 1.045,80

2 1.045,80 31,37 40,0 -8,63 1.037,17

3 1.037,17 31,12 40,0 -8,88 1.028,29

4 1.028,29 30,85 40,0 -9,15 1.019,14

5 1.019,14 30,57 40,0 -9,43 1.009,71

6 1.009,71 30,29 40,0 -9,71 1.000,00

Totales 185,83 240,0 -54,17

146

En este caso, el bono fue comprado con premio y, puesto que su valor de

redención es menor que el de compra, es necesario amortizar la diferencia. En

caso de que el bono se adquiera con descuento, el inversionista registra una

utilidad mayor que los intereses pagados por el bono, cantidad igual al aumento de

valor que en cada periodo registra el bono.

PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHA DE PAGO DE INTERESES O

CUPÓN

Cuando se compra un bono entre dos fechas de cupones, el precio comprende el valor

principal del bono, cantidad que corresponde al valor presente de su precio de

redención, más el valor de los cupones no vencidos, además del ajuste acordado entre

el comprador y el vendedor, en cuanto al cupón del periodo en que se haga la

transacción, ya que este pertenece en parte al comprador y en parte al vendedor. Para

designar el precio de un bono, sin el valor acumulado del cupón, se utiliza la expresión

“precio con interés”, en tanto que para expresar el precio incluido el valor acumulado

del cupón, se dice precio efectivo o precio flat. Los corredores de bolsa, en cada país

usan valores distintos para referirse al precio con interés y al precio efectivo.

Cálculo del precio con interés:

Fije en un diagrama los valores P0 y P1 en dos fechas sucesivas de pago de intereses,

y sea P el precio del bono, después de transcurrida la fracción de tiempo k, con

relación al periodo de pago de cupones.

La diferencia P – P0 es una variación que es proporcional al tiempo

transcurrido.

O sea :

P – P0 = P1 – P0

k 1

de donde, P = P0 + k (P1 – P0)

Ejemplo:

Un bono de $100, con fechas de cupón 1 de mayo y 1 de noviembre (MN), se

negocia el 2 de agosto. Calcular el precio con interés, si en el mismo año se tiene:

147

Precio en 1 de mayo = $96,30 P0

Precio en 1 de noviembre = $96,66 P1

k = días transcurridos entre el 1 de mayo y el 2 de agosto son 91 días (si

considera meses de 30 días) de donde k = 91/180, al sustituir los valores, se

tiene:

P = 96,30 + 91 (96,66 – 96,30) = $96,46

180

0 k 1

P0 P P1

Cálculo del precio efectivo por el método exacto o de interés compuesto:

En el diagrama anterior, P0 es el precio del bono en la fecha de cupón,

inmediatamente anterior la fecha de transacción, P el precio en la fecha y P1 el

precio del bono, en la fecha siguiente; sean i la tasa de interés sobre la inversión y k

la fracción de periodo medida a partir de la fecha 0. Al plantear una ecuación de

equivalencia para la fecha de transacción, se tiene que P es el valor futuro

acumulado de P0 .

Pe = P0 (1 + i)k

Para el valor de la fracción de k, se acostumbra usar el año de 360 días, con meses

de 30 días c/u.

Ejemplo:

Hallar el precio el 15 de mayo de 1996 de un bono de $1.000 MS, a un interés del

6% convertible semestralmente, redimible a la par el 1 de septiembre del 2021, si se

desea una TIR del 8%, convertible semestralmente.

C = 1.000; F = 1.000; r =3%; i = 4%

Para el cálculo del número de cupones

148

Bono MS (Marzo –Septiembre) entonces se paga cada semestre

Redime el 1 de Septiembre

Entonces:

MS de marzo a septiembre pasa un semestre

S

Por lo tanto hay que sumar un semestre al número de años por el número de

cupones al año, si se redime en marzo no se debe sumar el semestre adicional.

2021-1996 = 25 x 2 + 1 = 51

n = 51

La fecha de pago inmediatamente anterior a la venta 1 de marzo de 1996 lo que da

75 días hasta la fecha de negociación y los intereses que puede cobrar el comprador

son por 180 – 75 = 105 días.

P0 = 1.000 + (1.000(0,03) – 1.000(0,04) 1 – (1+0,04)-51

0,04

P0 = 783,83

Para

Pe = P0 (1+i)k ; se tiene i = 0,04; k = 105/180 = 7/12;

Pe = 783,83 (1 + 0,04)7/12

= 801,97

Cálculo aproximado del precio efectivo a de interés simple:

En la práctica y que es de uso más frecuente este método. Para calcular el valor del

bono en esas fechas, se realiza el siguiente procedimiento:

a) Se halla el valor del bono en la última fecha de pago de intereses,

inmediatamente antes de la fecha de compra venta.

b) Se calcula el monto a interés simple del valor encontrado en a) considerando el

tiempo exacto transcurrido entre la última fecha de pago de intereses y la de

negociación 75 días en el caso del ejemplo anterior.

NOTA: como procedimiento alternativo, se considera el número de días

comprendido entre la fecha de negociación y la futura fecha de pago de intereses,

y si aplicamos al ejercicio anterior tendríamos:

149

P = P0 (1+i)k ; se tienei = 0,04; k = 105/180 = 7/12;

P = 783,83 (1 + 0,04)7/12

= 801,97

Pe = P0 (1+ki)

Pe = 783,83 (1+0,04(7/12)) = 802,12

“Al aplicar interés simple a las fracciones de periodos se obtiene valores más altos”

Pe = P0 (1+ki); se tiene i = 0,04; k = 75/180 = 5/12;

Pe = 783,83 (1 + (5/12)0,04) = 796,89

El precio del bono es $796,89, se lo llama”bono sucio”.

INTERÉS REDITUABLE DE UN BONO IR

Es la parte fraccionaria del pago de intereses en una fecha diferente a la de pago del

cupón. Se obtiene dividiendo el número de días contados desde la última fecha de

pago de un cupón hasta la fecha de compra, entre el número de días del periodo de

capitalización de intereses y multiplicando por los intereses del periodo completo.

El interés redituable se utiliza para obtener el denominado “bono limpio”.

En el ejemplo anterior:

Con Interés Simple.

P0 = 783,83; Pe = 796,89 k = 75/180

Intereses o cupón = 1.000 (0.06/2) = 30

IR = Cupón x k = 30 (75/180) = 12,5

Precio del bono limpio = 796,89 – 12,5 = 784,39

y es el valor en libros al 15 de mayo.

Con Interés Compuesto.

P0 = 783,83; Pe = 801.97 k = 105/180

Intereses o cupón = 1.000 (0.06/2) = 30

IR = Cupón x k = 30 (105/180) = 17,5

Precio del bono limpio = 801,97 – 17,5 = 784,47

y es el valor en libros al 15 de mayo.

Prácticamente por los dos métodos el valor del bono limpio es el mismo, es muy

poca la diferencia existente.

RESUMEN DE FÓRMULAS PARA CALCULAR EL PRECIO CUANDO SE REALIZA UNA

150

NEGOCIACIÓN ENTRE FECHA DE PAGO DE CUPONES.

n = Número de cupones; F = Valor Nominal; r = tasa de interés del cupón

FPC1 Y FPC2 = Fechas de pago de cupón

FN= Fecha de negociación

PPC = Periodo de pago de cupón = Tiempo entre fechas de pago de cupón = T1 + T2

T1 = Número de días entre FPC1y FN

T2 = Número de días entre FPC2y FN

K = Factor de proporcionalidad de pago de cupón.

Kis = T1/PPC; Kic = T2/PPC; Kisa = T2/PPC

Gráfico de un Cupón:

T1 T2

FPC1 FN FPC2

Método Interés Simple Método Interés Compuesto Método Interés Simple Alternativo

P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n

i P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)

-n

i P o= C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)

-n

i

Kis = T1/PPC Kic = T2/PPC Kisa = T2/PPC

Cálculo del precio del bono

sucio


sucio


sucio

Pe = Po(1+i Kis) Pe = Po(1+i)Kic

Pe = Po(1+i Kisa)

Cálculo del Interés Redituable Cálculo del Interés Redituable Cálculo del Interés Redituable

IR = F r Kis IR = F r Kic IR = F r Kisa


limpio


limpio


limpio

PBL= Pe - IR PBL= Pe – IR PBL= Pe - IR

En los tres métodos determinar el tipo de negociación.

RENDIMIENTO DE LAS INVERSIONES EN BONOS

Calcular el rendimiento TIR que obtendrán al comprar bonos en el mercado de

valores, es un problema común que se presenta a los inversionistas par determinar

su capital. Este problema no puede resolverse por métodos directos por lo que hay

151

varios métodos que dan soluciones bastante aproximadas, en nuestro caso veremos

únicamente:

Cálculo de la TIR por el método de interpolación:

Este método requiere hallar dos tasas de interés, que correspondan a un precio

menor y uno mayor que el precio de compra. Después de calcular primero una tasa

aproximada, se procede a determinar los precios de compra para una tasa inferior y

otra superior, para posteriormente interpolar entre estos dos precios.

(Revise Apéndice 2. Interpolación lineal)

Ejemplo:

Hallar la TIR de un bono de $1.000 al 18%, con cupones trimestrales, redimibles a

la par dentro de 5 años si se cotizan a 92. Se supone en fecha de cupón.

“Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando como base

100, suponiendo que 100 es el valor a la par. Así, un bono redimible a la par y

cotizado a 94 significa que se ofrece por $940”

P = 920; F = C = 1.000; Fr = 1.000(0.18/4) = 45; n = 5(4) = 20 trimestres

P = C + (Fr-Ci) . 1 – (1+i)-n i

920 = 1000 + (45 – 1000 . i) 1 – (1 + i)-20

i (a)

CLAVE: La tasa i debe ser mayor que 4,5% para que la cantidad entre paréntesis resulte

negativa. Si hubiese sido a la par 4.5%.

*(Se aplica la propiedad del valor actual respecto a la tasa i)

Aplicando el método de interpolación ya visto en el Apéndice 2 tenemos:

X = 920 que es el valor de referencia

f(i) = 1000 + (45 – 1000 . i) 1 – (1 + i)-20

i

Mediante la aplicación de las tasas 5,5% y 5,1% trimestral tenemos:

P = 880,50 si i = 5,5%

P = 925,86 si i = 5,1%

Por lo tanto tenemos P1(880,50; 0,055), P2(925,86; 0,051) y P(920, Y) y aplico la

formula de interpolación lineal

152

Y = Y1 + (X – X1) (Y2 – Y1)/(X2 - X1)

Y = 0,055 + (920 - 880,50) (0,051 – 0,055)/(925,86 – 880,50)

Y = 0,0515168 trimestral = 5,152% trimestral

(1+i) = (1+j/m)m

(1,051568) 4

- 1= 1,2228 -1

Tasa efectiva anual = 22,28 %

Nota: “Aquí se presenta el método de interpolación a través de proporciones

Aplicando las tasas 5,5% y 5,1% trimestral en (a) tenemos:

P = 880,50 si i = 5,5%

P = 925,86 si i = 5,1% Se interpola entre estos dos valores:

925,86 0,051 925,86 0,051

880,50 0,055 920,00 X

45,36 es a - 0,004 5,86 es a 0,051 - X

45,36 = 5,86 .

0,004 0,051-X

0,051 – X = 0,004(5,86) = - 0,0515168

45,36

X = 0,0515168 trimestral= 5,152% trimestral

Cuanto más cercanas sean las tasas entre las cuales se interpola, más fina será la aproximación.

153

BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA

BIBLIOGRAFIA

1. Matemáticas Financieras, Grupo Alfaomega, Tercera edición 2010, MORA ZAMBRANO,

Armando

2. Matemáticas Financieras, McGraw Hill, Cuarta edición 2006, DÍAZ MATA, Alfredo.

3. Matemáticas Financieras, Cegage, Cuarta edición 2008. VIDAURI, Hector.

4. Matemáticas Financieras, McGraw-Hill, Cuarta edición 2005 PORTUS-GOVINDEN-

LINCOYÁN

5. Matemáticas Financieras Teoría y 500 problemas resueltos, McGraw-Hill, 2003 AYRES,

Frank Jr.

6. Bolsa de Valores de Quito. Guía del Inversionista Bursátil.

7. Ley del Mercado de Valores, Registro Oficial 199 de 28 de mayo de 1993.

8. Ley de Régimen Monetario y Banco del Estado. Registro Oficial de mayo de 1992.

NETGRAFIA

1. Matemáticas Financieras

http://www.matematicas-financieras.com/

2. Interés compuesto

http://www.youtube.com/watch?v=rxGJaLsRfEc

3. Transformación de tasas de interés

http://www.calameo.com/read/000663385dd9956f48f77

4. Temas financieros varios

http://www.enciclopediafinanciera.com

5. Tasas activas, pasivas referenciales, inflación, riesgo país. http://www.bce.fin.ec/

6. Anualidades

htth?v=9DwiF8Q02EIp://www.youtube.com/watc

7. Temas relacionados a la materia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matemática_financiera

154

www.gestiopolis.com

www.monografias.com

www.aulafacil.com

www.eumed.net

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