Hidráulica

!!!!

!

APUNTES!PARTE!1!!PROFESOR:!! David!G.!Rejón!Parra!EQUIPO:!!! !

• Escudero!Nájera!Fernanda!Abril!• Esquivel!Gómez!Nhilce!Nahomi!• Jiménez!Rivero!Dimas!Enrique!• Mercader!Alonso!Andrea!Margarita!• Domínguez!Canul!William!• Morales!Méndez!Antonio!

! ! !!

HIDRÁULICA*

!!!!

Ingeniería!Civil!6ºC!!!Chetumal!Quintana!Roo!a!21!de!mayo!!de!2012!!

!INSTITUTO!TECNOLÓGICO!DE!CHETUMAL!

HIDRÁULICA*1*APUNTES*GENERALES*

Hidráulica: La naturaleza de los fluidos y el estudio de su mecánica.

DEFINICIONES ENTRE PESO Y MASA

• Masa: Es la propiedad que tiene u cuerpo de fluido, es la medida de la inercia o resistencia a cambiar el movimiento de este. También es la medida de la cantidad de fluido.

• Peso: Es la fuerzo (o peso) con la que el fluido es atraído hacia la tierra por acción de la gravedad.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

De manera básica en Sistema Internacional (S.I.):

Longitud: Metro (m)

Tiempo: Segundo (s)

Masa: Kilogramo (Kg) o (N s²/m)

Fuerza: Newton (N) o (Kg m/s²)

Fluidos**

Liquidos: - Adoptan la forma del recipiente que los contiene cubriendo su fondo y paredes laterales. - Su superficie en contacto con la atmosfera mantiene un nivel uniforme. - Se comprime muy poco (es imcompresible)

Gases: - Si se mantiene encerrado gas en un recipiente este tiende a expandirse y llenarlo. - Se se abre un recipiente que contiene gas este se libera y se escapa. -se comprimen con facilidad.

Gravedad

9.81 m/s²

!!!!

!

APUNTES!PARTE!1!!PROFESOR:!! David!G.!Rejón!Parra!EQUIPO:!!! !


! ! !!

HIDRÁULICA*

!!!!




Sistema Internacional de Unidades de Estados Unidos (Sistema Ingles):

Longitud: Pie (Pie o ft)

Tiempo: Segundo (s)

Masa: Slug o (lb s²/pie)

Fuerza: Libra (lb)

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Temperatura: Se indica en grados centígrados, Celsius así como en grados Fahrenheit y también en grados Kelvin que se basan en temperatura absoluta o cero absolutos.

El liquido mientras mas se va acercando a los 100°C se va volviendo menos denso.

• Densidad: Es la relación entre el volumen y peso.

Presión: Es la cantidad de fuerza que se ejerce sobre una unidad de área. Blas Pascal (S. XVII) Describió dos principios importantes acerca de la presión:

1. La presión actúa de modo uniforme en todas las direcciones de un volumen pequeño de fluido.

2. En un fluido confinado por fronteras solidas, las presiones actúan de manera perpendicular a la pared.

Esos dos principios son las leyes de Pascal.

Otra unidad que se maneja para expresar presión es el “bar”.

• 1 bar= 100X10³ N/m² que equivale a 100Kpa.

Gravedad

32.2 ft/s²


TEMPERATURA

Tal vez usted esté familiarizado con los siguientes valores a nivel del mar:

• El agua se congela a 0°C y hierve a 100°C

En unidades del sistema ingles:

• Se congela a 32°F y hierve a 212°C

Con estas observaciones se definen los siguientes procesos de conversión

• Tc= (TF-32) / 1.8 • Tf= 1.8 Tc+32

Por ejemplo si se tiene:

• Tf= 180°F 82.2 ºC • Tc=33°F 91.4 °F

• a-273.15°C; Se relaciona con el cero escala Kelvin • a-459.67°F; Se relaciona con el cero escala Rankin

Los procedimientos de conversión con las escalas absolutas resultan:

TK= Tc+ 273.15

TR= Tf+459.67

Así mismo, dada la temperatura en °F, la temperatura absoluta en K es:

Tk= (Tf+459.67)/1.8 = TR/1.8

Por ejemplo dado Tf=180°F, la temperatura absoluta K es:

K= 355.37 °K

Calor: Es la energía de las moléculas cuando se van moviendo.

Cero absolutos: El punto donde todos los puntos están congelados y no hay movimiento alguno en las moléculas.


DENSIDAD, PESO ESPECÍFICO Y GRAVEDAD ESPECÍFICA

• Densidad: Es la cantidad de masa por unidad de volumen de una sustancia.

Se denota con la letra griega ƿ (rho) se tiene:

ƿ = !!! !!

! =!Es el volumen de la sustancia que tiene masa “m”

• Peso específico: Es la cantidad de peso por unidad de volumen de una sustancia.

Se denota con la letra griega Ϫ (gama) se tiene:

Ϫ = !! !

! =!Es el volumen de una sustancia que tiene peso “w”

• Gravedad Especifica: La ATSM internacional (American Society for Testing and materials) también se refieren a la gravedad especifica como densidad relativa

El fluido de referencia es el agua para 4°C, (Punto donde alcanza su máxima densidad), entonces la definimos de dos maneras:

1. Es la razón de la densidad (o peso específico) de una sustancia a la densidad ( o peso especifico) del agua a 4°C.

Matemáticamente y por sus siglas en ingles, “SG” estas definiciones resultan:

!" = ! Ϫ!Ϫ!!@!!°!! = !

ƿ!ƿ!!@!!°!!

S.I. = Kg/m³

S.Ingles= Slug/ft³

S.I. = N/m³

S.Ingles= lbs/ft³


PROPIEDADES DEL AGUA A 4ºC

Ϫ!!@!!°! = 9.81!KN/m³ Ϫ!!@!!°! = 62.4!lbs/pie³

O bien

ƿ!!@!!°! = 1000!Kg/m³ ƿ!!@!!°! = 1.94! slug! pie³

Relación entre densidad y peso específico:

! = !!

!!

! = !"!" = !"

! = !.!

! = !.!


EJERCICIOS 1.- Calcule el peso de un depósito de aceite si tiene una masa de 825 Kg.

! = 825!"

! = !. !

! = 825!"(9.81! !!)

! = 809.25!!"!! !! = !

2.- Si el depósito del ejercicio anterior tiene un volumen de .917 !!. Calcule la densidad, peso específico y gravedad específica del aceite.

! = 825!!". 917!!! = 899.67! !" !!

! = 8093.25!0.917!! = 8825.79!!

!" = 8825.79!!9.81! !!

= 899.67

3.- La glicerina a 20°C tiene una gravedad específica de Sg= 1.263. Calcular su densidad y peso específico.

Densidad del agua = 1000 !" !!

!" = !"!"@!°! !!!!!!!!!!!!" =

!"!"@4°!

1.263! = !"1000 !" !!

!" = 1.263 1000 !" !! = 1263 !" !!

1.263 = !"1000 !" !!

!" = 1.263 9.81 !" !! = 12.39 !" !!


4.- El contenido de agua de un recipiente pesa 1.041 lb. Calcule la masa.

! = !"

! = !!

! = 1.041!!"32.2 !" !! = 0.0323!!"#$

En el caso de otros tipos de agua las propiedades varían por el contenido de sustancias en la solución o de segmentos presentes.

Por ejemplo:

Agua de mar a 4°C y 3.5 % de sal

! = !"#.!"!!"! !! !!

! = !"#$!" !!


VISCOSIDAD

Se define como la resistencia que opone un fluido al fluir.

Un fluido sometido a un esfuerzo constante se deforma continuamente. Por el contrario, en un sólido hay una fuerza reactiva que tiene al equilibrio y cuando se da éste la deformación continúa.

Entre las moléculas de un fluido existen fuerzas de cohesión. En cambio entre las moléculas de un fluido en contacto con una pared solida existen fuerzas de adherencia.

Cuando se desplazan las moléculas se produce entre ellas rozamiento o fricción.

Al coeficiente de fricción interna de un fluido se le llama viscosidad.

Suponga que una capa de fluido newtoniano con espesor de !" comprendido entre dos placas planas paralelas, la inferior fija y la superior libre. Sobre la placa superior actúa una fuerza tangencial constante F. La experiencia enseña que la placa se desplaza paralelamente a si misma con una velocidad !".

• En virtud de la adherencia: la capa de fluido en contacto a la placa inferior se mantiene en reposo.

• La capa en contacto con la placa superior móvil se pone en movimiento con la misma velocidad !!.


La ley descubierta por Newton que rige este cao afirma: “La fuerza F es proporcional a la superficie A de la placa en movimiento, “viscosidad absoluta” o “viscosidad dinámica”.

! = !"!!"!"

!! = ! = ! !"!"

Esta ley se cumple en todos los fluidos newtonianos.

En algunos fluidos !"!" es constante para toda ! y a eso se llama distribución lineal

de velocidades.

! = !" !"!"

! = !!!"!"

En base a la ecuación remarcada se advierte que:

1. ! es igual a constante (en un mismo fluido), si la fuerza “F” aumenta también aumenta la velocidad con la que se mueve la placa y por lo tanto aumenta el subíndice O.

2. Una fuerza “F” por pequeña que sea siempre produce un gradiente de velocidad. Es decir, la característica distintiva de un fluido es que nunca ofrece resistencia a la deformación por esfuerzo cortante.

*Un fluido nunca ofrece resistencia por esfuerzo cortante.


HECHOS *

• En sólidos rígidos ! = ∞!!"#$! !"!" = 0 . Resisten al esfuerzo cortante sin que

se presente un gradiente de velocidades.

• En un fluido ideal ! = 0

• En un fluido real ! ≠ 0. Aunque pequeño pero tiene un valor finito.

• Si ! → ∞. Mayor tiene que ser “F” para que la placa se mueva.

• Si la viscosidad es la resistencia de un fluido a fluir (es decir deformarse) en una corriente se manifiesta como pérdida de energía del fluido.

En los fluidos poco viscosos (como el aire o el agua) se presentan dos tipos de resistencias.

Resistencia a la deformación: Al interior del fluido y de magnitud pequeña.

Resistencia de superficie: Donde la viscosidad se hace sentir a las capas adyacentes a las superficies de contacto donde !"!" es muy grande.

En fluidos en reposo:

V=0

El esfuerzo cortante es nulo !"!" = 0

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 0

∴ !! = 0

El fluido en reposo se comporta como fluido idea donde η=0

***


FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS *

Son aquellos cuya viscosidad dinámica ! depende de la presión y la temperatura pero no del gradiente de velocidades:

Ejemplos: agua, aire, una gran cantidad de gases y en general todos los fluidos con pequeña viscosidad.

Como ejemplo de No newtonianos: grasas, materiales plásticos, el mercurio, todos los tipos de suspensiones, la sangre.

Si se define ! = !"#!"#

Dimensionalmente se expresa

! = ! !! ! !

!= ! !

! ! = !! !

Recuerde que…

! = ! !! !

Recuerda que…

[F]= [M] [!][!]!

Unidades

1n= !.!!^! = Pa.S

10!!!P (poise)

10!!!Pa.S 1 cP (centipoise )


VISCOSIDAD CINEMÁTICA

En hidrodinámica intervienen junto con la viscosidad dinámica (fuerza de viscosidad) fuerzas de Inercia, que dependen de la densidad. Esta relación se denomina viscosidad cinemática

!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! [!]! !

! [!][!]^!

Dimensionalmente:

V= [!]!!![!]!!

Unidades:

1V=!^!! ! en el “SI”

Es más común el uso de Stokes (sts)= 1 !"2 ! como unidad de la viscosidad cinemática.

HECHOS

• La viscosidad dinámica (n) varía con la temperatura

Gases n

Líquidos n

Sin embargo en ambos casos “n” es independiente de la presión.

V = !! !=*! !

[!] *

Si la temperatura *


• La viscosidad cinemática varía mucho con la presión y la temperatura en los gases. En los líquidos prácticamente solo varía con la temperatura.

VISCOMETROS

SAE Society of Automotive Engineers

Se mide la cantidad de Tiempo que el fluido tarda En pasar para determinar Su viscosidad.


HIDRÁULICA 1. EJERCICIOS DE TEMPERATURA

En el apéndice D se da la viscosidad dinámica de varios fluidos en función de la temperatura. Con dicho apéndice proporcione el valor de la viscosidad de los fluidos siguientes:

Agua a 40º C= 6.5x10!! Pa.s

Agua a 5º C = 1.5x10!! Pa.s

Aire a 40º C = 2x10!! Pa.s

Hidrogeno a 40º C = 1.310!!Pa.s

Glicerina a 40º C = 3x10!! Pa.s

Glicerina a 20º C = 1.8 Pa.s

Agua a 40º F = 3.3x10!! lb.s/pie2

Agua a 150º F = 9.2x10!! lb.s/pie2

Aire a 40º F = 3.8x10!! lb.s/pie2

Hidrogeno a 40º F = 1.8x10!! lb.s/pie2

Glicerina a 60º F = 4.7x10!! lb.s/pie2

Glicerina a 110º F = 4.2x 10!!!lb.s/pie2

Mercurio a 60º F = 3.40x10!! lb.s/pie2

Mercurio a 210º F = 2.8x10!! lb.s/pie2


Aceite SAE 10 a 60º F = 2.1x10!! lb.s/pie2

Aceite SAE 10 a 210º F = 9x10!! lb.s/pie2



1.- Diseñe un programa para convertir unidades de viscosidad de un sistema dado a otro, por medio de los factores de conversión.

2.- diseñe un programa que calcule la viscosidad del agua a una temperatura dada. Con la ayuda de los datos del apéndice A. dicho programa podría integrarse con el que elaboro en el capítulo 1 donde uso otras propiedades del agua. Utilice las mismas operaciones descritas en el capítulo 1.

n = T (Δ!Δ!) Dinámica

3.- Diseñe una hoja de calculo que muéstrelos valores de viscosidad cinemática y viscosidad dinámica del agua, con ayuda del apéndice A.

Después construya ecuaciones de ajuste de curvas para ambos tipos e viscosidad vs temperatura, por medio de la herramienta tendencias de la hoja de cálculo. En esta elabore las graficas de ambas viscosidades vs la temperatura, donde se muestran las ecuaciones que manejo.

V = n/P Cinemática


TENSIÓN SUPERFICIAL.

Fuerza que produce efectos de tensión en la superficie de los líquidos ahí donde el fluido entro en contacto con otro fluido. No miscible (incapacidad de los fluidos de mezclarse de evidenciar fases), prácticamente un liquido con aguas o con un contorno sólidos.

El origen de esta fuerza está en cohesión intermolecular y la fuerza de adhesión del fluido al solido.

Es como si el líquido creara una fina membrana en la superficie al contacto con otro fluido.

F

1. Atraída igual en todas direcciones. Esta en equilibrio. 2. Cerca de la superficie de contacto. Presenta desequilibrio en su radio

de acción de cohesión molecular. 3. En la superficie libre. La fuerza de cohesión es mayor hacia el líquido

que las e adhesión al aire. La fuerza F origina tensión tangencial en la superficie libre que la convierte en algo semejante a una membrana elástica.

3*

2*

1* Radio*de*acción*****************************************************

Cohesión*molecular*10!!*mm*

*


Si sobre la superficie libre el liquido se tr5aza una línea cualquiera la tensión superficial ! es la fuerza sup. Normal a dicha línea por unidad de longitud.

Sus dimensiones son:

[!] = [F][!]!!

• Suele ser muy pequeño (en comparación con otras fuerzas dentro del fluido), y si baja la temperatura la fuerza de tensión superficial sube.

• En el agua en contacto con el aire a lo largo de una línea de 60 metros la fuerza total por tensión superficial es 5N 1KGF = 0.51Kgf

9.81N

• Tensión superficial explica la formación de gotas en un liquido, ya que para un volumen cualquiera la forma esférica es la que representa el área mínima de superficie.


• La tensión superficial también explica la formación de “menisco” y la elevación de líquido en tubos capilares.

Cohesión molecular Cohesión molecular Adhesión de agua Adhesión de Hg Al vidrio al vidrio Elevación capilar En un tubo de 5 mm de diámetro, el agua puede ascender hasta 5.6 mm.

Agua!H2!o! Mercurio!Hg!


COMPRESIBILIDAD O MODULO DE ELASTICIDAD

También en los fluidos se verifica la ley fundamental de la elasticidad. “El esfuerzo unitario es proporcional a la deformación unitaria”. Δp = -E * !"! Dimensionalmente: [E] = [F] * [L]2

Donde: Δp = esfuerzo unitario de compresión (N / m2 =Pa) v = volumen especifico (m3) Δv = variación de volumen especifico (m3) E= Modulo de elasticidad volumétrica (-) = significa que a cada incremento de presión, corresponde un decremento de volumen. Para el agua: E - ᷈ 20 000 bar = 20 000 x 105 Pa 1 atm = 1.0132 bar

Al aumentar la temperatura y la presión, también aumenta el valor de E. F

Cambio de presión, cambio de volumen y por lo tanto de densidad por unidad de volumen

*

Presión

Volumen

Densidad (p)


El agua es un fluido incompresible

La mayoría de los fluidos posee un modulo de elasticidad volumétrica relativamente grande; es decir ocurren variaciones pequeñas de volumen ante importantes incrementos de presión. Salvo en aquellos fenómenos donde se producen incrementos violentos de presión y temperatura (golpe de ariete), flujos a altas velocidades, flujos con transferencia de calor, etc.

• El agua es incompresible a menos que se trabaje con fluidos transitorios.

PRESIÓN DE VAPORIZACIÓN (Tensión De Vapor)

Si un liquido se encuentra en un recipiente cerrado y sobre de el hay un espacio libre, este se llega a saturar del vapor del liquido y después ya no se evapora mas liquido. Si la temperatura aumenta, también lo hace la presión de saturación y se podrá evaporar mas liquido.

“Todo fluido tiene para cada temperatura una presión ps llamada presión de saturación del vapor a esa temperatura o también: a cada presión corresponde una ts llamada temperatura de saturación del vapor a esa presión.”

Cuando la presión de vaporización es igual a la presión parcial del vapor encima de la superficie y además se establece el equilibrio en el intercambio de moléculas, se dice que el gas está saturado con vapor. El vapor de la presión de vaporización, para la cual esto ocurre, se llama: PRESIÓN DE SATURACIÓN.

CAVITACIÓN *

Es un fenómeno de ebullición del líquido provocado por grandes caídas en la presión aun cuando se esté con temperaturas bajas:

• Puede ocurrir en álabes de turbinas o impulsores. • Columnas de succión de bombas.


PRESIÓN HIDROSTÁTICA

• Normalmente la atmosfera es la presión de referencia para la presión manométrica.

• La presión que se mide en relación con un vacio se llama presión absoluta.

• Una ecuación sencilla que relaciona los 2 sistemas de medición de la presión es:

Pabs = Pman + Patm

Consideraciones:

1. Un vacio perfecto es la presión más baja posible, por lo tanto una presión absoluta siempre será positiva.

2. Una presión manométrica superior a la presión atmosférica siempre es positiva.

3. Una presión manométrica inferior a ka atmosférica es negativa y en ocasiones se le llama vacio.

300*

250*

*200*

150*

100*

**50*

200*

150*

*100*

50*

****0*

**E*50*

Vacio*parcial*

Presión*por*arriba*de*la*atmosférica*

Presión*manométrica*(E)*

Presión*atmosférica*local*


4. La presión manométrica se expresa en Pa; en unidades inglesas en Psi (manométricos)

5. La presión atmosférica se expresa en Pa absolutos.

6. La magnitud de la presión atmosférica varía con la ubicación y las condiciones climáticas, la presión barométrica es una medición de la variación de la presión atmosférica.

7. El rango de variación de la presión atmosférica es de 95- 105 kPa (abs).

A menos que se indique una presión atmosférica prevaleciente lo usual es suponer 101 kPa absolutos.

PROPIEDADES DE LA PRESIÓN

Si consideramos una vasija que contiene un fluido, este ejerce sobre el fondo una presión:

P=!!! Donde: W= peso del fluido. Si cortamos esta vasija con su fluido imaginariamente por un plano x – x’, sustituyendo la parte inferior por las fuerzas que actúan sobre la parte superior, el cuerpo seguiría en reposo. El fluido aislado está sometido a una fuerza proporcional a su masa, que es la fuerza de gravedad y a una fuerza proporcional a su superficie y normal a ella que es la fuerza de presión.

X! X’!

W!

X!X’!

W’!


Si se considera a la fuerza de presión ΔFp y a la superficie de contacto ΔA; entonces:

Y la presión en un punto:

ρ=!!!"#!!→!!!!"!!!! = ! !!!"!!!!

En general, la presión media se define:

! = !"! *

Donde:

Fn= Fuerza Normal.

A=Área de dicha superficie.

! = Presión que se define como el cociente de una fuerza por una superficie.

PROPIEDADES DE LA PRESIÓN *

1. La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones (principio de pascal), si en base a esta 1ª propiedad que la presión no es un vector sino un escalar: La fuerza de presión si es un vector.

2. La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma.

3. En un fluido en reposo, la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido una parte del fluido sobre la otra contigua al mismo tiene la dirección normal a la superficie de contacto como esta fuerza normal es la presión, en el interior de un fluido en reposo no existe mas fuerza que la debida a la presión.

ρ=!!!"!!!! *


La fuerza debida a la presión que B ejerce sobre A debe ser normal a x-x’, pues no puede tener componente tangencial (3) si el fluido esta en reposo.

Este mismo argumento es válido para la fuerza que el fluido en reposo ejerce sobre el contorno solido en el cual está contenido.

4. La fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del fluido, es decir siempre será una compresión.

5. La superficie libre de un líquido en reposo siempre será horizontal.

Presión En un líquido homogéneo en reposo, el cambio de presión por elevación se calcula.

∆! = ! ∙ ℎ

Donde:

∆! = Cambio de presión.

! = Peso especifico del líquido.

H= Cambio en la elevación.


La figura ilustra un tanque de aceite con un lado abierto a la atmosfera y otro sellado en el que hay aire sobre el aceite, si este aceite tiene una Gs= 0.90; calcule la presión manométrica en todos los puntos y presión del aire que esta confinado (encerrado).

Presión manométrica

PA= 0 (por que está abierto a la atmosfera)

PB= (8.83kn/m3) (3m) = 26.99 kn/m2 = 26.49 KPa

PC= (8.83kn/m3) (6m) = 52.98 kn/m2 = 52.98 KPa

PD= (8.83kn/m3) (3m) = 26.99 kn/m2 = 26.49 KPa

PE=PA (por propiedad)

PF= -13.24 KPa


PARA ENCONTRAR PA:

Sg= 0.90

!" = !!!!@"º!

!!"#$%# = (sg) (!@4ºc)

!!"#$%# = (0.090) (9.81 Kn/m3)

!!"#$%# =8.83 KN/m3

∆!" = !!"#$%# ℎ = (3.93 kn/m3) (6m) = 52.98

PC= PA + ∆!"-C= 0+52.98= 25.98 kPa

PD= PB

∆!" – F = (8.83 KN/m3) (-1.5 m) = -13.24 KPa

PF= PA + (-13.24 KPa)= -13.24 KPa (solucion por ser negativa)

Los resultados de este ejercicio nos ilustran sobre lo siguiente:

• La presión se incrementa conforme aumenta la profundidad en el fluido. • La presión varía en forma lineal con un cambio en la elevación. • La presión en el mismo nivel horizontal es la misma. • La disminución en la presión de E hacia F ocurre por que el punto F esta a

una elevación mayor que en el punto E, asi la presión en F esta por debajo de la presión atmosférica (PA, PE=0)

Si se considera un pequeño volumen cilíndrico de control al interior de un líquido en reposo

P

1*

F1=*P1A*

F2=*P2A*

d

z*

P1+dp=P2*

Z2*

Z1*


En ambos casos se demuestra el equilibrio de fuerzas. Para el caso de las fuerzas verticales se considera:

Volumen del cilindro V= A (dz)

El peso del fluido es W= !’ V = !’ A (dz)

La fuerza F1= P1A

La fuerza F2= P2A= (P1+dp) A

Por principio de equilibrio estático:

F1-F2-W=0

(P1A)- ((P1+dp) A)-!!’ A (dz)=0

dp= -!!’ (dz)

De donde resulta:

dp= -!!’ (dz)

Esta presión representa la relación que rige un cambio en la ecuación y la presión. Pero como esta se desarrolla para un volumen muy pequeño, entonces:

!"!!

!!

= −!(!")!!

!!

En líquidos:

P2-P1=-!(z2-z1)

Por conveniencia se define:

∆! = !! − !!

h= Z1-Z2

De lo anterior que:

∆! = !(ℎ)

ASIGNATURA:

Hidráulica I

TEMA: Notas de la materia parte II

PROFESOR:

Ing. David Gustavo Rejón Parra

ALUMNOS:

ESQUIVEL GÓMEZ NHILCE NAHOMI

JIMÉNEZ RIVERO DIMAS ENRIQUE

ESCUDERO NAJERA FERNANDA ABRIL

MERCADER ALONSO ANDREA M.

DOMINGUEZ CANUL WILLIAM J.

MORALES MENDEZ ANTONIO DE JESUS

EMPUJES HIDROSTATICOS

PAREDES RECTANGULARES

H/3

H/3

H/2

FR

Prom

CENTRODEPRESION

La fuerza real de la presión a la que se expone el muro se distribuye sobre toda la pares, pero para propósitos de análisis se determina la fuerza resultante y el lugar en que actúan (centro de presión)

Debido a que la presión varia en forma lineal, la fuerza resultante total se calcula por medio de la ecuación:

Fr= Pprom x A

Donde A es el área total del muro. Siendo la presión promedio:

Pprom= σ (h/2)

El centro de presión esta en el centroide del triangulo de distribución de la presión a un tercio de la distancia desde el fondo. En ese punto, actúa la fuerza resultante en forma perpendicular a la pared.

PROCEDIMIENDO DE CÁLCULO

FUERZA EN PRESION SOBRE PARED RECTANGULAR

1. Calcule la magnitud de la fuerza resultante FR con: FR=γ (h/2) A 2. Localiza el centro de presión a la distancia vertical h/3, a partir del fondo. 3. Muestre la FR, en forma perpendicular a la pared.

Ejercicio:

Un canal colapso después de una lluvia repentina. Se observa que sus paredes colapsaron hacia adentro del canal.

Los ingenieros de la comisión de operación de saneamiento y alcantarillado (COSA). Comentan que las secciones del canal eran

losa de concreto

fr

h/3

s

El canal no estaba conectado puesto que aun estaban en construcción las alcantarillas pluviales que le aportaban agua. Tampoco hubo presencia de empujes de tierra por que la zanja de su construcción aun no estaba rellenada.

Ayude a idealizar las fuerzas actuantes en las paredes del canal, se asumen como responsables del colapso al agua freática.

Ancho n=5m

A=25m2

FR=γ (h/2) A

Fr= 1000 kg/m3 (5/2)(25)

Fr= 62500 kg o 62.5 ton

h/3 = 1.67m

Mo=Fr(d) =(62500)(1.67) = 1.4375 o 104.38

Para 1m

B=1m

A=5m2

Fr= 1000 (5/2)(5)

= 12500 o 12.5 ton

h/3= 1.67

Mo= Fr(d)

= 12.5 (1.67)

= 20.88

B) METODO DE DIAGRAMA DE PRESION

b

zk

5m

h/3

fr

zg

5 ton/m2

FR=γ (vdp)

= 1 ton/m2 ( (b*h)/2 * b )

= 12.5 ton

C) AREA DE DIAGRAMA DE PRESIONES

En este método la fuerza hidrostática pasa por el centro de gravedad del diagrama de presiones.

Fr= γ (ADP)(Zg) donde zg es el centro del muro

ZK= I / (ADP)(ZG) + ZG

= bh3 /12 + zg

(ADP)(ZG)

= (1)(5)2/12 + 2.5

(1*5)(2.5)

=3.33

Si en la calle de carretas otro canal similar no colapso determine el por que calculando las fuerzas resultantes, su ubicación y el momento generado en el punto 0 de acuerdo al siguiente esquema:

5mfr fr

2m

5 ton/m2 2 ton/m2

B= 1m a= 25m2

Fr1= γ (h/2) A = 1000 (5/2)(5) =12000 o 12.5 ton

Mo= Fr (d)

= 12.5 (1.67)

=20.88 ton/m

Fr2= (1000)(2/2)(2m2)

=2000 kg o 2 ton

Mo2= 2(.67) = 1.34

Suma de momentos en o = 0

Mo – 20.88 + 1.34 = 0

Mo = 19.54 = 10.5 ton (dx)

Suma de fuerzas en x

12.5 – 2 = Fr

Fr= 10.5

19.= 10.5 ton (dx)

Dx= 1.86 m

Ejercicio 2:

FR= 10.5 ton

1.86 m

h = 8 m

h/3

FR

h/2

L

L/P

Lc

L/3

La figura muestra una presa de 30. 5 m de ancho que contiene agua dulce con un tirante de 8m, la cortina esta indicada con un ángulo de 60 ° Calcule la magnitud de la fuerza resultante sobre la presa, así como la localización del centro de presión.

Solución:

Determinación de L= sen 60° = 8/L

L= 9.24 m

A= (9.24)(30.5) = 281.82 m2

FR= 1(8/2)(A)

= 1127.28ton

CENTRO DE PRESION

Al medir a lo largo la casa de la presa se define lo siguiente:

LP= distancia desde la superficie libre del fluido hasta el centro de presión

LP= L-L/#

LP= 9.24 – 3.08 = 6.16m

AREAS PLANAS SUMERGIDAS EN GENERAL.

Dimensiones y símbolos estándar:

o FR= fuerza resultante sobre el área debido a la presión del fluido o Centro de presión: el centro del área o punto en el que se considera que actua la

fuerza resultante. o Centroide: es el punto en donde el área estaría equilibrada si fuera suspendida

desde el: es el equivalente al centro de gravedad de un cuerpo sólido. o Angulo de inclinación o Hc: es la distancia del nivel de la superficie libre de fluido al centroide del área,

medida a lo largo del ángulo de inclinación

o Lc: es la distancia del nivel de la superficie libre del fluido al centroide del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación.

o Lp: distancia del nivel de la superficie libre del fluido al centro de presión del área, se mide a lo largo del ángulo de inclinación.

Hp= es la distancia de la superficie libre al centro de presión del área.

Dimensiones del area= HxB

En la Fig. se muestra una pared vertical metálica, de un ancho de b=3 altura de 5m que se desea construir para que vierta el agua con una carga de z=1.00m.

La cuña de distribución de presiones de forma trapecial se desea dividir en 4 partes iguales para ser soportada por 4 largueros de dimensiones iguales .Determinar la carga que soportara carda larguero y suposiciones adecuadas.

Pi= (ɤ)(VDP)

Área del trapecio

Pi =

1 m 0

2m 4.5

3m 12

4m 22.5

5m 36

6m 52.5

Empuje hidrostático sobre toda la pared.

Pi = 13.125 ton.

Centroide del trapecio.

Z1 se vuelve Zo.

Z2= 4.3m

Z3= 5.22m

Z4= 6.00m

Sacar los Centroide para ubicar los largueros

Fuerzas en áreas planas sumergidas

YG1= 2.243

YG2= 3.724

YG3= 4.775

YG4= 5.618

Las formas del área pueden ser arbitrarias.

En cualquier área pequeña dA existe una fuerza dF perpendicular al área debido a la presión del fluido, donde la magnitud de la presión se expresa:

P= Ɣ . h

Por lo que la fuerza es dF= p (dA)= Ɣ . h (dA)

Debido a que dA esta inclinada T entonces h= y sen T.

dF= Ɣ (y sen T) (dA)

La suma de las fuerzas en toda el área “A” es:

FR= dF = Ɣ sen T y . dA

De la mecánica se conoce que y . dA = Lc . A (definición de centro de gravedad).

Por lo tanto, FR= = Ɣ sen T (Lc . A) ó siendo hc= Lc sen T

FR= Ɣ . hc . A

Donde FR actúa perpendicular al plano del área en cuestión.

Centro de presión

Es el punto donde actúa FR, en forma tal que tiene el mismo efecto que la fuerza distribuida en toda el área debido a la presión del fluido. Este efecto se expresa en términos del momento de una fuerza con respecto de un eje, a través del eje S perpendicular a la superficie de la página.

El momento de cada fuerza pequeña dF con respecto al eje S es:

dM = dF.y ó también

dM = y [Ɣ (ysen T) (dA)] = Ɣ sen T ( . dA)

El momento total del área A completa, es la integral

Ms = ∫ Ɣ sen T ( . dA) = FR . Lp = Ɣ sen T ∫ ( . dA)

La mecánica define la ∫ . dA como el momento de inercia con respecto al eje desde el

que se mide y, por lo tanto

FR . Lp = Ɣ sen T (I)

Despejando Lp y sustituyendo el valor de FR = Ɣ sen T (Lc . A) se obtiene:

Lp =

Considerando el teorema de transferencia del momento de inercia (Momento de inercia con respecto a un eje) se desarrolla una expresión más conveniente.

I = Momento de inercia A con respecto a un eje S

I= Ic + (A*Lc^2)

Ic= Momento de inercia del área de interés con respecto a su propio eje centroidal. Lc= Distancia del eje de referencia al centroide.

Lp = =

Lp =

Lp – Lc =

Y para hp se tiene: hp = Lp sin

CARGA PIEZOMÉTRICA Si la presión arriba de la superficie libre del fluido es diferente de la presión atmosférica, el concepto de “carga piezometrica” es un método conveniente para su solución. La presión atmosférica real sobre el fluido pa se convierte en una profundidad equivalente de dicho fluido ha simulando la misma presión.

ha = pa /

Esta profundidad se agrega a cualquier profundidad h por debajo de la superficie libre, obteniendo una profundidad equivalente he.

He = h + ha

Entonces he se maneja en cualquier cálculo del procedimiento cotidiano.

Centroide del área

hc

Lc

s

ss

Lc

s

ss

S’11

ss

Lce

hce

hc

ha

EJERCICIO Determine para la siguiente compuerta circular las reacciones y el momento reaccionante en el eje de apoyo de la compuerta.

SOLUCIÓN:

Fr = w * A * hc = (1 ton/m3) ( * ) (10 m) Fr = 125.66 ton Lp =

= Lp= 11.636m

Ic circulo =

=

Ic circulo = 12.57m Entonces:

FX=0 Fr cos 30º - Rx =0 Rx = 108.82 ton Mc=0

125.66 (.0866) + Mr =0 Mr = 10.88 ton

Lp – Lc = 0.0866m

Lc= 10 /sin 60º Lc = 11.55m

Lc

Lp

10 m

Eje

60

4m

FR

RX

RY MR

FY=0

- Fr sin 30º + Ry =0 Ry = 62.83 ton

DISTRIBUCIÓN DE UNA FUERZA SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA En esos casos interesa la fuerza debido a la presión del fluido que actúa sobre la superficie curva.

x Una manera de visualizar el sistema es aislar el volumen arriba de la superficie de interés, a manera de cuerpo libre.

x El objetivo es determinar FH y Fr y su FR, la línea de acción de FR actúa a través de la superficie curva.

PROCEDIMIENTO:

1. AISLAR EL VOLUMEN DEL FLUIDO ARRIBA DE LA SUPERFICIE.

2. CALCULAR EL PESO DEL VOLUMEN AISLADO.

H1

H2

h

s

F1

FH

FR

FV

F2a

F2b

W

hp hc

s/2

R

3. LA MAGNITUD DE Fv ES IGUAL AL PESO AISLADO, Y ACTÚA EN LA

LÍNEA DEL CENTROIDE DE DICHO VOLUMEN.

4. DETERMINAR LA ALTURA s (proyección sobre un plano horizontal)

5. CALCULAR LA PROFUNDIDAD AL CENTROIDE DEL ÁREA PROYECTADA CON:

hc = h + s/2

6. CALCULAR LA MAGNITUD DE FH FH= *s*w*hc

7. CALCULAR LA PROFUNDIDAD hp: hp= hc + s^2 / 12hc

8. FR=

9. = TAN^-1 ( FV / FH)

La magnitud y ubicación de F2b la encontramos con los procedimientos antes descritos:

F2b= *hc*A

Para la superficie A el área proyectada es un rectángulo:

hc = h + s/2 y el área : A= s*w donde w es el ancho de la sup. Curva

F2b= FH= *s*w*hc

hp – hc = donde Ic =

hp – hc = =

COMPONENTE VERTICAL

El peso W y FR deben ser iguales en magnitud :

FR= *volumen FR= *A*w

EJERCICIO H1 = 3M H2= 4.5M W= 2.5M Agua con w = 9.81 kn /m3 CALCULAR COMPONENTES HORIZONTAL Y VERTICAL, LA FUERZA RESULTANTE Y UBICAR EN UN DIAGRAMA LOS VECTORES DE FUERZA. VISTA LATERAL

3m

4.5m

R

A1

A2

h1= 3m

h2= 4.5m

r= 1.5m

A1= 4.5 m2

AT= A1 + A2 = 4.5 + 1.77 = 6.27 m2

A2= = 1.77m2

VISTA POSTERIOR

hc

S= 1.5m

w= 2.5m

Vol.= A*w = (6.27m2)(2.50m) = 15.67 m3

W= + VOL

= 9.81KN/M3*15.67M3 = 153.72KN

F2b

h2

F2b= *A*hc

= (9.81kn/m3)(2.50m) (1.5m)(3.75m) = 137.95 KN

Calculo de la Profundidad hp

PRINCIPIOS DE ARQUIMIDES

“El peso de un cuerpo sumergido al interior de un fluido disminuye en una cantidad igual al

peso del fluido desplazado.”

Poema: “De ponderibus et mensuribus (De los pesos y las medidas) 500 d.c.

Sea……..

P = peso de la corona

Po = peso de su porción en oro

Pp = peso de su porción en plata

P = Po + Pp

Si se toman las masas de oro y plata con pesos que son iguales a P y se pesan sumergidos en agua, se obtendrán los pesos reducidos.

P – Fo , Pp-Fp respectivamente,

El peso del agua desplazada por

el peso del agua desplaza por La porción de

oro de la corono es

porción de plata de la corona es:

El peso del agua desplazada por la porción

de plata de la corona es:

Siendo la suma de ellos el peso F del agua total desplazada por la corona, por lo que resulta:

Po Fo + Pp Fp = (Po + Pp) F

Dividiendo todo entre Pp y despejando:

Basta con pesar las masas de oro y plata y de la corona dentro del agua para verificar si la igualdad se cumple.

Arquímedes responde en su tratado “πεϱι Ъχονϻϵνων” (cuerpos flotantes).

La característica física fundamental de los fluidos estáticos es la presión. Si el fluido es continúo y uniforme:

a) Si hay diferencia de presiones entre dos porciones contiguas, la de mayor presión empuja a la menor presión en búsqueda de un equilibrio.

b) Cada una de sus partes esta sujeta a la presión de un fluido que este por encima verticalmente.

Y luego establece como base de toda su teoría una posición general: la superficie libre de todo fluido en reposo es una esfera cuyo centro es el centro de la tierra.

Si se traza una circunferencia “EBCF” con un radio “Bo” de longitud promedio entre la superficie libre y el centro “O”.

Trazándose el radio “GO” de tal forma que el ángulo sean iguales.

Entonces en el arco “PQ” hay mas presión que sobre “QR”.” Pondrá en movimiento a “QR” y en ese instante no existiría reposo.

Esto comprueba que todas las superficies libres son esféricas cuyo centro es le mismo centro que la tierra.

Sobre un cuerpo sumergido actúa también aun su peso “W” o sea la fuerza de la gravedad, y se tiene:

a) Si W>F el cuerpo se hunde totalmente b) Si W<F el cuerpo sale a la superficie hasta que el peso del fluido de un volumen

sumergido desplazado sea igual al peso W.

c) Si W=F el cuerpo se mantiene sumergido tal cual se le deje.

Sin embargo además de W Y F , otras fuerzas pueden apartar a los cuerpos sumergidos de su posición de equilibrio (viento, corrientes submarinas,etc). Por lo que puede surgir un momento producido por el par de fuerzas W Y F:

I. Si el centro de gravedad “G” del objeto esta por de bajo del centro de gravedad del fluido desplazado “O”, el par M tendera a restaurar el equilibrio.

II. Si G esta por encima O, el par M tendrá aumentar la desalación, considerando que antes de que ocurriese la fuerza per turbante el objeto estaba en “equilibrio inestable”.

III. Si G coincide con O, la fuerza per turbante no produce efecto en el equilibrio del cuerpo.

Equilibrio de los cuerpos parciales sumergidos (barcos).

Para que el barco se mantenga a flote, su peso W debe ser igual al del líquido por la porción sumergida según el “principio de arquimides”.

TERMINOS:

Plano de flotación (N-N) donde corta la superficie libre del agua al barco en posición normal.

Eje de flotación (E-E) que en el centro de gravedad del barco y eso es normal al plano de flotación.

G= centro de gravedad del barco.

O= centro de gravedad del líquido desalojado.

M=metacentro punto de intersección del eje de flotación con la dirección del empuje F.

Para una caja móvil y constante en el barco, a pesar de que este se desvié, G no se mueve, O vario con la forma que adquiera el volumen sumergido, M puede suponerse variación despreciable si el ángulo de desolación es menor de 15: se puede suponer que O varia describiendo un arco de circulo con centro en el metacentro M.

Casos:

a) Si M está por encima de G en una desviación W y F forman un par que tiende a restablecer el equilibrio

El equilibrio es estable

b) Si M está por debajo de G al producirse una desviación se crea un par W y F que tiende a aumentar la desviación

El equilibrio es inestable

c) Si el M coincide con G el equilibrio es diferente

Ejercicio 1

Determinar el empuje hidrostático y el centro de presiones sobre la superficie cilíndrica A,B

Ancho b = 1m

Problema 2.10 Sotelo (pág. 62)

Estimar las condiciones de estabilidad del cajón cuyas dimensiones se indican en la fig.

W= 2.88 ton

La altura del centro de gravedad medida desde la base del cajón: 0.30 m

Estabilidad

Momento de inercia del área de flotación eje a-a

Profundidad de flotación

Lo que significa que el centro “o” esta a 0.2m del nivel del agua e igual distancia del fondo del cajón

e= 0.3m – 0.2m = 0.1m

Y la altura metacéntrica para pequeño (ec. 226 sotelo)

Es estable

Donde:

B) Estabilidad respecto al eje b-b

Es estable

Las alturas metacéntricas empleadas en el diseño de barcos son:

¾ Barcos de vela 0.90< hm < 1.50m ¾ Barcos de guerra 0.75< hm < 1.30m ¾ Barcos cargueros 0.60< hm < 0.90m ¾ Barcos de pasajeros 0.45 < hm < 0.60

En resumen…

¾ Los cuerpos sumergidos por completo son estables si el centro de gravedad queda debajo del centro de flotación.

¾ Los cuerpos flotantes son estables si el centro de gravedad esta debajo del metacentro.

La altura metacéntrica no debería ser demasiado grande si se quiere que la embarcación no tenga movimientos oscilatorios que provoquen mareo.

23/marzo/2012

Hidráulica

Material Seco (kg) Sumergido (kg)

Pesas 4 2.100

Mancuernas 1.854 0.750

1. Determinar la fuerza de flotación que ejerce sobre cada uno de los pasos. 2. Volumen de agua desalojada. 3. Peso especifico. 4. Densidad.

Resultados:

1. R=

F • Flotación= P seco – Peso sumergido

¾ Pesas= 4 – 2.100 = 1.9kg ¾ Mancuernas= 1.854 – 0.750 = 1.104 kg

2. R=

X= 1.9 H

X= 1.104 H

X= 1.9 x 10-3 m3

X= 1.104 x 10-3 m3

3. R=

Pesas

Mancuernas

4. R=

Pesas =

29/marzo/2012

Ejercicio 3 Sotelo (pág. 69)

Un recipiente abierto en ambos lados se encuentra en equilibrio estático sobre un émbolo inmóvil; el recipiente tiene un peso de 16 kg y se compone de dos partes cilíndricas con diámetros D= 0.5 m. y d=0.3m. Determinar el volumen mínimo de agua que debe verterse sobre la parte superior del recipiente para que éste flote sobre el émbolo. La fricción entre ambos es despreciable.

F=16Kg= VDP (ϒ’w)

= (0.125m2) (t) (100kg/m2)

t= 0.128m

Ejercicio 25 Sotelo (pág. 76)

Una compuerta radial de radio R=5m y longitud L=4.5m soporta un tirante de agua H=3.5m. Para permitir el paso del agua la compuerta se levanta por medio de una cadena girando alrededor de un cojinete horizontal de diámetro d=150mm. El peso de la compuerta es G= 3ton. Y su centro de gravedad está colocado a un radio de r=0.75r. Cuando la compuerta está cerrada, el eje de giro y el borde superior del sector se encuentran en el mismo plano horizontal colocado a la distancia h=1m. Sobre la superficie libre de agua. Determinar:

a) La fuerza P que actúa sobre los cojinetes del eje de rotación cuando está cerrada la compuerta y el ángulo de inclinación respecto a la horizontal.

b) La fuerza N con que presiona la compuerta sobre el fondo; c) La fuerza T necesaria en la cadena para levantar la compuerta (el coeficiente de fricción en

el eje es 0.3).

!!!!

!

APUNTES!!!PROFESOR:!! David!G.!Rejón!Parra!EQUIPO:!!! !


! ! !!

HIDRÁULICA*

!!!!



REGÍMENES!DE!CORRIENTE,!LÍNEA,!HILO!Y!TUBO!DE!CORRIENTE!

El estudio del movimiento de un fluido es: • Interesante en la técnica • Es el problema central de la mecánica de fluidos. • Es complicado • Su movimiento es de traslación y rotación; en un fluido se complica por

que: el movimiento de cada partícula de fluido obedece a la ley fundamental de la dinámica donde:

F = m * a

REGIMENES!DE!CORRIENTE! Corriente permanente; si en cualquier punto del espacio por donde circula el fluido no varían con el tiempo las características de este (aunque varíen de un punto a otro) en particular su velocidad y presión. Corriente variable: las características del flujo no se mantienen constantes en el tiempo. Corriente uniforme: si en cualquier sección transversal a la corriente la velocidad en puntos homólogos es igual en magnitud y dirección, aunque dentro de una misma sección transversal varie de un punto a otro.

Corriente no uniforme: en este caso la velocidad varia conforme varia la sección Corriente laminar: si es perfectamente ordenada de manera que el fluido se mueve en laminas paralelas o en capas cilíndricas coaxiales. Corriente turbulenta: caso contrario.

• El que se clasifiquen en uno o en el otro depende del influjo de la viscosidad (nº de Reynolds)

• Esta unidad se facilita en el régimen “permanente” El camino que recorre una particula de fluido en su movimiento se llama trayectoria de la particula. En régimen permanente la trayectoria coincide con la línea de corriente que es la curva tangente a los vectores de velocidad en cada punto. En régimen permanente las velocidades de los puntos 1, 2, 3 etc…

serán siempre v1, v2, v3 etc.. y la particula que pase la trayectoria 1, 2, 3, 4… coincidirá con dicha línea de corriente. En régimen variable las líneas de corriente varian de un instante a otro.

Las líneas de corriente sirven para la representación grafica de los flujos bidimensionales (que pueden representarse fácilmente en un plano), y la configuración de corriente en todos los plano paralelos al del dibujo es idéntica.

Tubo de corriente: es un tubo imaginario o real cuya pared lateral esta formada por líneas de corriente, siendo la velocidad del fluido en la tubería tangente a esta. Si el área transversal de un tubo de corriente es muy pequeño o infinitesimalmente pequeño, se llama hilo o filamento de corriente

EL!FLUJO!DE!LOS!FLUIDOS!Y!LA!ECUACION!DE!BERNULLI! HECHO: la ecuación de Bernoulli, basada en el principio de conservación de la energía, es la herramienta fundamental para tener en cuenta los cambios en los 3 tipos de energía asociadas al movimiento de los fluidos:

• Cinetica • Potencial • Flujo de energía

TASA DE FLUJO DE UN FLUIDO Y LA ECUACION DE CONTINUIDAD Se puede expresar la cantidad de flujo que pasa por un sistema por unidad de tiempo hasta en 3 terminos: Q, flujo volumétrico: volumen que circula en una sección por unidad de tiempo W, flujo en peso: peso del fluido M, flujo masico: masa del fluido El flujo volumetrio (es el mas usado técnicamente), se calcula con la siguiente ecuación: Siendo “A” el área de la sección hidráulica por donde fluye el fluido y la “v” la velocidad promedio del flujo entonces por unidades se entiende que A en m2 y v en m/s: A*v = m2 * m/s = m3/s Q = A* v “PRINCIPIO DE CONTINUIDAD” Tambien puede expresarse: W= Q* flujo en peso M= Q * p flujo masico

Analizaremos!en!siguiente!caso!en!base!al!principio!de!continuidad.!!

!Z1!≠!Z2!V1!≠!V2!P1!≠!P2!A1!≠!A2!Q1!=!Q2!!Cada!uno!e!estos!términos!se!expresa!en!unidades!de!fuerza!por!distancia!es!decir,!en!el!caso!de!SI!N.m.!!E1!=!(w)(P1/σ) + (w)(Z1) + (w)( )!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Son!iguales!E2!=!!(w)(P2/σ) + (w)(Z2) + (w)( ) E1=E2 (P1/σ) + (Z1) + ( ) = (P2/σ) + (Z2) + ( ) Cada ter mino de la ecuación de bernoulli es una forma de la energía que posee el fluido por unidad de peso del fluido que se mueven en el sistema. En el SI de unidad se expresa:

forma dimensional La longitud que queda expresada es una altura de energía. En el análisis del flujo e fluidos los términos de la ecuación de bernoulli se expresan como altura sobre un nivel de referencia. P1/σ carga de presión Z carga de elevación

carga de velocidad

A los tres términos se les llama CARGA TOTAL

! La ecuación de bernoulli toma en cuenta los cambios en los tres tipos de carga (energía) entre 2 puntos en un sistema de flujo si se supone que no hay pérdidas o adiciones de carga entre dichos dos puntos. RESTRICCIONES 1.- válida para fluidos incomprensibles 2.- No puede haber dispositivos que agreguen o retiren energía del sistema 3.- no puede haber transferencia de calor 4.- no se considera energía debido a la fricción EJERCICIO La figura ilustra un flujo de agua a 10ºC que va de la sección 1 a la sección 2, la sección 1 tiene un diámetro de 0.025m, la presión manométrica es de 345Kpa y la velocidad de flujo es de 3m/s. La sección 2 mide 0.050m de diámetro y se encuentra 2m por encima de la sección 1 suponiendo que no hay pérdida de energía en el sistema, calcule la presión en 2. D1=0.025m P1=345Kpa V1=3m/s Z2-Z1=2m Σagua= 9.81 KN/m3 (P1/σ) + (Z1) + ( ) = (P2/σ) + (Z2) + ( ) ecuación de Bernoulli Q1=Q2 Q=A.V A1.V1=A2.V2 Ecuacion de continuidad DESPEJE DE V2

V2= A1.V1/A2

V2= 0.75 m/s

Z2aZ1!=!(P1/σ) + ( ) - (P2/σ) - ( )

2= !

P2=!329.60!Kpa!!

Tanque, depósitos y tuberías expuestas a la atmosfera

1. Cuando el fluido en un punto de referencia esta expuesto a la atmosfera la presión es igual a cero y el termino de la carga de presión se cancela en la ecuación de Bernoulli.

2. A la carga de velocidad en la superficie de un tanque o depósito se le considera igual a cero y se cancela en la ecuación de Bernoulli.

3. Cuando dos puntos de referencia para la ecuación de Bernoulli están dentro de una tubería del mismo tamaño, los términos de carga de velocidad en ambos lados de la ecuación son iguales y se cancelan.

4. Cuando dos puntos de referencia están a la misma elevación, los términos de carga de elevaciones Z1 y Z2 son iguales y se cancela.

Ejercicio La tubería que conforma el sifón tiene un diámetro interior de 40mm y termina en una tubería de 25mm de diámetro. Soponga que no hay perdida de energía y calcule el flujo volumétrico (gasto) a través del sifón y la p0resión en los gastos B-E.

1.- Ecuación de Bernoulli entre A y F.

!

!

2.- Ecuación de Bernoulli entre A y B

3.- Ecuación de Bernoulli entre B y C

4.- Ecuación de Bernoulli para calcular D

Teorema de Torricelli

• Otra aplicación del teorema de Torricelli es la demostración de que el chorro alcanza una altura igual a la elevación de la superficie libre del fluido en el tanque, si se considera que no hay pérdida de energía.

Ecuación!de!la!Energía!

!Ha=!energía!que!se!agrega!al!fluido!con!un!dispositivo!mecánico,!como!una!bomba;!frecuentemente!se!le!llama!carga!suministrada!por!la!bomba!/!carga!de!la!bomba.!Hr=!energía!que!se!remueve!del!fluido!por!medio!de!un!dispositivo!mecánico!como!un!motor!de!fluido!(turbina).!Hl=! perdida! de! energía! del! sistema! por! la! fricción! en! las! tuberías! o! pérdidas!menores!por!las!válvulas!y!otros!accesorios.!La!magnitud!de!las!pérdidas!de!energía!que!producen!las!máquinas!y!accesorios!es!proporcional!a!la!carga!de!velocidad:!

!K=!coeficiente!de!resistencia!

!!

Ejercicio!De!un!deposito!fluye!agua!a!razón!de!1.2!ft3/segundo.!Calcule!la!cantidad!total!de!energía! perdida! en! el! sistema! debido! a! la! válvula,! codos,! entrada! de! tubería! y!fricción!del!fluido.!

!Solución:*Entre!1!y!2!

!

!!

!

!!

!

!!→!esto!es!lo!que!se!pierde!de!energía!!

!!

Ejercicio!

El!gasto!a!través!de! la!bomba!es!de!0.14!m3/s.!El! fluido!que!se!bombea!es!aceite!(sg=0.86).!Calcule!la!energía!que!transmite!la!bomba!al!fluido!(ha).!Las!pérdidas!en!el! sistema! las! ocasionan! las! válvulas! de! verificación! y! la! fricción! por! el! flujo.! Se!determinó!que!la!magnitud!de!dianas!pérdidas!es!de!1.86!N.m/N.!!

!!→!Ecuación!!de!la!energía!entre!2!puntos:!

!→!Sabiendo!que!Q=!0.014!m3/s!entonces:!PUNTO!A!

!

!!

PUNTO!B!!

!!

→Lo!que!busco!es!ha;!entonces:!

!

!!

Diámetro!interior:!!!!!!Tubería:!77.9mm!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3in!52.5mm!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2in!!

!

!

=5076.79!N.m/N,!WATT!ó!5.07!KW!!

POTENCIA!QUE!REQUIEREN!LAS!BOMBAS!!En!la!hidráulica!la!potencia!es!la!rapidez!con!que!se!transfiere!la!energía.!La!unidad!de!potencia!en!el!SI!es!el!WATT!que!equivale!a!1N.m/s.!1watt!=!1N.m/s!=!1!joule/s!En!el!ejercicio!anterior!la!bomba!suministrada!42.9!N.m!de!energía!a!cada!Newton!de!aceite!que!pasa!por!ella.!Al!determinarse!cuantos!Newtons!de!fluidos!pasan!por!la!bomba!en!un!dado!tiempo!(flujo!en!peso)(W)!se!calcula!la!potencia!transmitida!al!aceite,!es!decir:!PA=!(ha)(W)!Donde:!

!PA=!Potencia!que!se!agrega!al!fluido.!1HP=745.7!W!

EFICIENCIA!MECÁNICA!DE!LAS!BOMBAS!!→Eficiencia!para!proponer!=!80%!

!Para! las! bombas! comercialmente! disponibles! el! valor! de! “em”! se! publica! como!parte!de!los!datos!de!rendimiento!del!equipo.!Este! valor! de! eficiencia! también! depende! de! las! condiciones! en! que! opera,! en!particular! de! la! carta! total! (ha)! y! el! gasto! (Q).! Para! las! bombas! centrífugas!utilizadas!sobre!todo!para!transferir!o!hacer!circular!liquidos!la!eficiencia!va!de!50!a!85!V.!!!!!!!!

Potencia!suministrada!a!motores!de!fluido!Es!una!medida!de!la!energía!transmitida!por!cada!unidad!de!peso!de!fluido!conforme!pasa!por!el!positivo!

!Pr=Potencia!que!el!fluido!transmite!al!motor!de!fluido!No!toda!la!potencia!que!se!transmite!al!motor!se!convierte!en!potencia!de!salida!del!dispositivo.!

!Nota:! !siempre!es!menor!a!1.0!ó!100%!Ejercicio:!

A!través!del!generador!de!la!figura!circula!agua!a!10°C,!a!razón!de!115!lts!por!minuto.!La!presión!de!A!es!de!700!kpa!y!en!B!de!125!kpa.!Debido!a!la!fricción!en!la!tubería!existe!perdida!de!energía!de!4!m!ó!Nm/m.!

a) Calcule!la!potencia!que!el!agua!transmite!al!generador.!b) Calcule!la!potencia!de!salida!si!la! !del!generador!es!85%.!

1.8

!1°!La!ecuación!de!la!energía:!

!Dado!por!el!planteamiento!Q=!115!lts!por!minuto!

!!Punto!A!!Q=Aa*Va,!ecuación!de!continuidad.!0.00192!m3/s=! !Va=3.91!m/s!!Punto!B!Q=Ab*Vb!0.00192!m3/s=! !Vb=0.43!m/s!Busco!Hr;!entonces:!

!Hr=56.99=57m!

A) Pr!

!=(57m)(9.81kn/m3)(0.00192m3/s)=1.073!KN!

B) ! !

!=!(0.85)!(1.073KN)=!(0.91!KN)!energía!

!!!!

Numero!de!Reynolds!El! comportamiento! de! un! fluido! en! lo! que! se! refiere! a! las! pérdidas! de! energía!depende!de!que!el!flujo!sea!laminar!o!turbulento.!Tanto!experimentales!como!analíticamente!se!verifican!el!carácter!del!flujo!en!un!

tubo!redondo,!depende!de!4!variables:!• Densidad!(P)!• Viscosidad(ƞ)(dinámica)!• El!diámetro!de!la!sección!del!tubo!(D)!• Velocidad!promedio!(V)!

La!definición!está!dada!por!la!ecuación:!

!Donde:!

!El! número! de! Reynolds! es! adimensional,! y! se! define! como! la! relación! entre! la!fuerza!de!inercia!sobre!un!elemento!de!fluido!a!la!fuerza!viscosa.!Su!formula!adopta!una!forma!diferente!para!secciones!transversales!no!circulares!(canales!abiertos,!flujo!alrededor!de!cuerpos!sumergidos)!Para!las!aplicaciones!correspondientes!del!flujo!en!tuberías!encontramos.!

Si!R<2000,!el!flujo!es!laminar.!Si!R>!4000,!el!flujo!es!turbulento.!

!Entre!los!2000!y!4000!es!imposible!definir!qué!tipo!de!flujo!existe;!a!este!rango!se!le!conoce!como!región!critica.!

Ecuación!de!Darcy!

Laminar Turbulento

Para!el!caso!del!flujo!en!tuberías,!la!fricción!es!proporcional!a!la!carga!de!velocidad!( )!y!a!la!relación!de!la!longitud!al!diámetro!de!la!corriente.!

!Donde:!Hl=!Perdida!de!energía!debido!a!la!fricción.!L=!Longitud!de!la!corriente!del!flujo.!D=!Diámetro!de!la!sección.!=!Factor!de!fricción!y!es!adimensional.!

Perdida!por!fricción!en!el!flujo!laminar!Para!este!tipo!de!flujo,!es!posible!obtener!una!relación!entre!la!perdida!de!energía!y! los!parámetros!mensurables!del! sistema!de! flujo,!esta! relación!se!conoce!como!Hagena!Poiseville.!

!!

PÉRDIDA POR FRICCIÓN EN FLUJO TURBULENTO !

• Cuando hay flujo turbulento en tuberías, para determinar el factor de fricción ƒ podemos recurrir al registro de datos experimentales.

• ƒ depende de “R” y la rugosidad relativa de la tubería, que es la

relación del diámetro “D” a la rugosidad promedio de su pared ϵ

Rugosidad Relativa = (ϵ/D, ϵ/r, r/ ϵ)

• la condición de la superficie de la tubería depende del material del que está hecho el tubo el método de fabricación.

DIAGRAMA DE MOODY (L.F MOODY) Es una grafica del factor de fricción ƒ versus R, con una serie de curvas

paramétricas relacionadas con la rugosidad relativa . La ecuación desarrollada por P.K Swammer y A.K Jain permite el cálculo

directo del valor del factor de fricción ƒ para flujo turbulento.

ƒ=

Produce valores de ƒ que están +- 1.0% dentro del rango de la rugosida

relativa de 100 a 1 ´000,000 y para R´s de 5,000 a 1’000,000, lo que es visualmente toda la zona de turbulencia del diagrama de MOODY.

Explicación!de!las!partes!del!diagrama!de!MOODY!

EJERCICIO Pág. 240 fig. 8.8

! En una planta de procesamiento químico debe llevarse benceno a 50°C (sg= 0.86) al punto B, con una presión de 550 Kpa. Se instala una bomba en el punto A 21m por debajo de B, y se conectan los dos puntos por medio de un tubo de plástico de 24m, con un diámetro interior de 50 mm. Si el flujo volumétrico es de 110 l/min, calcule la presión que se requiere a la salida de la bomba.

SOLUCIÓN: Datos: FORMULA:

• benceno a50° • sg = 0.86 • PB= 550 KPa • (za – zb) = 21m • L= 240m • D= 50 mm • Q= 110 l/min • PA=___________________?

ENTRE A Y B:

!+!ZA!+! !+!ZB!+! !

!+!ZA!+! !+!ZB!+! !

R= (v)*(D)*(p) R= 95419.05

Q= (v)*(A) Q= .00183 m^3/s A= 1.96x10^-3 m2

V= 0.932 m/s !

!

LA FORMULA DE HAZEN - WILLIAM

Es un enfoque alternativo para calcular la perdida de energía por fricción. Su uso se limita a tuberías con diámetros mayores de 2 inches y menores de 6 ft; la velocidad de flujo no debe exceder de 10 ft/s y está elaborada para agua a 60 ° F. Su empleo fuera de estas condiciones ocasiona error.

DONDE: V= velocidad (m/s) Ch= Coeficiente de rugosidad de Hazen –Williams Rh= Radio Hidráulico (m ó pies)

! !=!D/4!!para!tubería!

DONDE: Pm= perímetro mojado s= relación hL / L (perdida de energía / longitud del conducto (m/m))

!

!

!! ! EN!EL!SI!!! ! EN!EL!SISTEMA!INGLES!

!

PERDIDAS LOCALES MENORES Las pérdidas de energía son proporcionales la carga de velocidad del fluido, conforme pasa por un accesorio (codo, expansión, contracción, válvula, etc.). los valores experimentales de las pérdidas de energía se reportan en términos de un coeficiente de resistencia K. En ciertos casos puede haber más de una velocidad de flujo, como en las expansiones y contracciones. Es muy importante saber que velocidad usar con cada coeficiente de resistencia.

Coeficientes de resistencia- contracción súbita

Hidráulica

Engineering

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