Hidraulica Capítulo 12 -Turbomáquinas - Version 01

capítulo 12

Turbomáquinas hidráulicas

Resumen:

En este capítulo se desarrollarán los conceptos básicos concernientes a las turbomáquinas hidráulicas. Se analizará su funcionamiento como parte de un sistema de cañerías, se desarrollarán las relaciones de semejanza, se verán los elementos fundamentales como también las características particulares de cada tipo.

Contenido:

. 12.1 Conceptos generales....................................................................................................................................... 526 12.2 Ejemplos simples de instalación de las turbomáquinas.................................................................................. 527 12.3 Relaciones de semejanza en las turbomáquinas............................................................................................ 529

12.3.1 Coeficientes de capacidad, de carga y de potencia.........................................................................529 12.3.2 Velocidad específica.........................................................................................................................536

12.4 Teoría elemental de las turbomáquinas .......................................................................................................... 538 12.4.1 Hélices ..............................................................................................................................................539 12.4.2 Rodete radial.....................................................................................................................................542

12.5 Características particulares de las turbomáquinas ......................................................................................... 547 12.5.1 Turbomáquinas de flujo tangencial...................................................................................................547 12.5.2 Turbomáquinas de flujo axial............................................................................................................550 12.5.3 Turbomáquinas de flujo radial ..........................................................................................................554 12.5.4 Turbomáquinas de flujo mixto...........................................................................................................557

12.6 Punto de funcionamiento................................................................................................................................. 558 12.6.1 Punto de funcionamiento de una bomba..........................................................................................558 12.6.2 Funcionamiento de bombas en paralelo y en serie..........................................................................560 12.6.3 Cavitación y ANPA............................................................................................................................563

12.7 Problemas propuestos..................................................................................................................................... 568

CAPÍTULO 12

526

12.1 Conceptos generales

En el capítulo 3 (ejemplo 4) se estudió el caso de álabes que desvían chorros, y se comprobó que la variación de la cantidad de movimiento ejerce una fuerza sobre él. Si además el álabe se traslada en la dirección y sentido del chorro con menor velocidad que él, producirá una potencia sobre el chorro que se puede calcular como la fuerza por la velocidad. Si el sentido de movimiento del álabe fuese opuesto al del chorro, la potencia sería ejercida por el fluido. Éste es el principio en que se basan las turbomáquinas. A partir de la definición anterior las turbomáquinas se pueden clasificar de acuerdo al fluido que circula como:

Turbinas hidráulicas: un fluido incompresible (usualmente agua) produce potencia sobre un eje.

Turbinas térmicas: un fluido compresible (usualmente un hidrocarburo o vapor de agua) produce potencia sobre un eje.

Bombas centrífugas, ventiladores: un fluido incompresible recibe trabajo a través de un eje.

Compresores, soplantes: un fluido compresible recibe trabajo a través de un eje.

En este capítulo desarrollaremos los conceptos básicos correspondientes a las turbomáquinas hidráulicas que son las correspondientes al movimiento de los fluidos incompresibles (turbinas hidráulicas, bombas centrífugas, ventiladores, generadores eólicos). Obsérvese que los ventiladores y los generadores eólicos entran dentro de esta categoría. En rigor en la práctica es usual despreciar los efectos de compresibilidad cuando la variación de presión no supera los 1000 mm de columna de agua. Por lo tanto los ventiladores axiales y buena parte de los centrífugos pueden estudiarse despreciando los efectos de la compresibilidad.

Obviamente existe un problema tecnológico en el álabe simple estudiado en el capítulo 3, pues es imposible sostener el movimiento rectilíneo en forma continua. Este problema se soluciona disponiendo los álabes en forma circular sobre una corona que gira alrededor de un eje como se muestra en la figura f:12.1.

De acuerdo con los requisitos del proceso (caudal y altura de impulsión) los rotores pueden tener característica axial, radial o mixta. El rotor es de tipo axial cuando la componente de la velocidad en él es en la dirección del eje, tiene característica radial cuando el flujo se desarrolla según la componente radial y tiene característica mixta cuando el movimiento en el rotor es combinado. En la figura f:12.2 se muestran las características de cada uno de ellos.

El tipo de movimiento que se desarrolla en el rotor permite calificar a las turbomáquinas ya sean hidráulicas o térmicas en máquinas axiales, radiales o de flujo mixto.

f:12.1

A

Q

B

Alabesfijos

Alabesmóviles

Alabesmóviles

RodeteAlabesfijos

Otra clasificación típica de las turbomáquinas se realiza en función del cambio de presión del fluido en su paso a través del rodete:

turbinas de acción o impulsión: aquellas en las que el fluido de trabajo no sufre un cambio de presión importante, aprovechan únicamente la velocidad del flujo de agua

turbinas de reacción: aquellas en las que el fluido de trabajo sí sufre un cambio de presión importante, aprovechan la velocidad del flujo de agua y además la pérdida de presión que se produce en su interior

Vch R

R

R

Varr R

Vrel Vch R Vabs

Rodete

Tobera

TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

527

f:12.2

Radial

Radial

Mixto

Mixto

Axial

Fig. 12.2

12.2 Ejemplos simples de instalación de las turbomáquinas

Mediante la aplicación de la ecuación de la energía procederemos a calcular la potencia desarrollada (turbinas) o requerida (bombas), lo cual nos permitirá poner en evidencia las variables sobre las que debemos operar a fin de regular dicha potencia. Enfatizamos el hecho que la instalación variará de acuerdo con las necesidades tecnológicas que se requiera satisfacer y por lo tanto puede ocurrir que los términos en la ecuación de energía empleada puedan anularse o incorporarse nuevos.

En la figura f:12.3 vemos el esquema correspondiente a una turbina hidráulica.

f:12.3

T

H

1

2turbina

Recordamos la ecuación de la energía (ecuación 3.4.3.5)

VC SCeje AdV

phgVude

tWQ

2

)( 2

1

Si la aplicamos a un volumen de control compuesto por el reservorio de la turbina y la cañería de salida, obtenemos:

QHg

V

g

uuW eje

2

2212

)(

Teniendo en cuenta que la diferencia de energías internas por unidad de peso es equivalente a las pérdidas en el sistema y reordenando podemos reescribir:

Qg2

VHHW

22

pérdidas)eje(

La anterior nos dice que la potencia que obtendremos de la turbina es directamente proporcional al caudal (el cual usualmente está determinado por la hidrología de los ríos y arroyos que formarán el embalse) y la diferencia de alturas entre el pelo de agua del embalse y el nivel de restitución. En particular el término entre paréntesis indica que la energía potencial menos las pérdidas del sistema y la energía cinética a la salida de la cañería de restitución son convertidas en energía disponible en el eje. Entonces la altura disponible en la turbina es:

CAPÍTULO 12

528

g2

VHHH

22

pérdidasT

Con lo cual se puede expresar la potencia teórica absorbida en el eje de la turbina, como:

QHW Tteórico)eje( ec:12.1

Obsérvese que la altura disponible en la turbina puede variar ligeramente respecto de la definida aquí dependiendo de las condiciones de instalación.

Las pérdidas son las debidas a la fricción en el sistema de cañerías y las pérdidas localizadas en la mismo. Esta potencia así obtenida es la potencia hidráulica teórica pues no tiene en cuenta el rendimiento de la turbina. Si tenemos en cuenta este rendimiento la potencia realmente obtenida en el eje será:

Tteórico)eje(real)eje( WW ec:12.2

La regulación de potencia de la máquina puede efectuarse variando la altura del embalse o bien variando el caudal que circula por la o las máquinas. Obviamente la variación de la altura del embalse es muy acotada y requiere de un tiempo importante, por lo cual en general las variaciones puntuales de potencia se obtienen regulando el caudal que circula.

En la figura f:12.4 se esquematiza la instalación de una bomba centrífuga. La aplicación de la ecuación de la energía nos lleva a:

Qg

VH

g

uuW eje

2

2212

)(

f:12.4

B

H

1

2

bomba Y nuevamente teniendo en cuenta que la diferencia de energías internas por unidad de peso es igual a las pérdidas en el sistema:

Qg2

VHHW

22

pérdidas)eje(

Es decir que en el eje de la bomba se deberá suministrar una potencia que deberá ser suficiente para vencer las pérdidas en el sistema la diferencia de niveles entre los puntos de suministro y entrega y suministrar la energía cinética a la descarga. Nuevamente llamando altura de impulsión de la bomba al término:

g2

VHHH

22

pérdidasB ec:12.3

Nuevamente se enfatiza que los términos que componen la altura de impulsión de la bomba pueden variar ligeramente con las condiciones de instalación. La potencia teórica en el eje entonces puede expresarse para una bomba como sigue:

QHW Bteórico)eje( ec:12.4

Nótese que en el caso de la bomba la altura H puede ser positiva o negativa dependiendo de los niveles relativos entre el embalse y la descarga.


529

Así como en el caso de las turbinas la potencia calculada de este modo se denomina potencia hidráulica y si queremos determinar la potencia real a suministrar:

B

teórico)eje(real)eje(

WW

ec:12.5

Donde B es el rendimiento de la bomba propiamente dicha.

El caso correspondiente a un ventilador es muy similar al de una bomba y por lo tanto no se realizará una deducción detallada.

Como surge claramente inspeccionando estos dos casos, los fabricantes de turbomáquinas deben adaptar las prestaciones de las mismas para cubrir un rango muy amplio de prestaciones (caudales versus alturas disponible o altura de impulsión según se trate de turbinas o bombas respectivamente). Asimismo una determinada máquina en una dada instalación deberá adaptarse para prestar un servicio eficiente en diversas condiciones operativas que normalmente involucran cambios en los caudales, en las alturas o en ambos. Por ello al fabricante se le presenta un problema que requiere una solución conveniente desde el punto de vista económico y productivo.

12.3 Relaciones de semejanza en las turbomáquinas

12.3.1 Coeficientes de capacidad, de carga y de potencia

Para resolver el problema planteado en el punto anterior los fabricantes de turbomáquinas recurren a las “series homólogas”, que no son más que máquinas que cumplen con las reglas de semejanza y por lo tanto los ensayos de un modelo de máquina permiten predecir el comportamiento de un prototipo.

Obviamente el empleo del análisis dimensional y semejanza vistos en el capítulo 4 resultan herramientas muy apropiadas para este fin.

La similitud entre máquinas homólogas estará relacionada con las similitudes geométricas, cinemáticas y dinámicas. Mientras la similitud geométrica se relaciona con la máquina exclusivamente, la similitud dinámica estará relacionada con la prestación de la máquina y el fluido que maneja. Con esta premisa podemos decir que las variables que intervienen en el funcionamiento de una turbomáquina son:

Semejanza geométrica: diámetro del rotor: D [L]

Semejanza cinemática: velocidad de rotación N [1/T]

Semejanza dinámica:

Respecto de la prestación de la máquina: potencia desarrollada o absorbida W [M.L2/T3]; altura de impulsión o disponible: H [L]; caudal volumétrico Q [L3/T].

Respecto del fluido: densidad ρ [M/L3] y viscosidad μ [M/L.T]

Adicionalmente se deberá considerar como variable la aceleración de la gravedad local g [L/T2] dado que relaciona la unidad de masa con la unidad de peso.

Por lo tanto en la similitud intervienen ocho variables siendo tres las dimensiones fundamentales y por lo tanto habrá cinco números adimensionales que describen el problema completamente. Para hallarlos determinamos la cantidad de variables de repetición que son la misma cantidad que las dimensiones fundamentales, es decir tres. Las variables de repetición las elegimos de forma tal que sean representativas de la semejanza geométrica, en nuestro caso será D el diámetro del rodete; otra representativa de la semejanza cinemática N número de revoluciones de la máquina y el último representativo de la semejanza dinámica que como siempre elegimos la densidad ρ.

Entonces podremos determinar los números como:

WcbN

aD 111

1

CAPÍTULO 12

530

QND cba 2222

HND cba 3333

4444

cba ND

gND cba 5555

Reemplazando por las dimensiones fundamentales para el primer número: 000323 1111 MTLTLMLMTL ccba

De donde podemos formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

01

03

023

1

1

11

c

b

ca

Del cual resulta: 53;1 111 a y b c

Por lo tanto el primer número adimensional será:

351ND

W

Procediendo en la misma forma para el resto de las expresiones resulta:

ND

Q

32 ; D

H3 ;

ND24 ; 25

ND

g

Y por lo tanto debe existir:

0;;;;;;;;2233554321

ND

g

NDD

H

ND

Q

ND

Wff

El número π3 y π5 se combinan mediante su producto, ya que la combinación de ambos refiere la energía total entregada o recibida por la máquina a la unidad de masa en lugar de la unidad de peso como ocurre en H/D. Entonces la anterior la podemos reescribir:

0;;;222335

NDND

gH

ND

Q

ND

Wf

Siendo:

35 ND

WCW

, el coeficiente de potencia ec:12.6

ND

QCQ

3

, el coeficiente de capacidad ec:12.7

22 ND

gHCH

, el coeficiente de carga ec:12.8

Teniendo en cuenta que DN es proporcional a la velocidad periférica en la punta del rodete el término

ND2 puede leerse como la inversa del número de Reynolds referido a la velocidad del rodete:

tVD ; por lo cual también podemos expresar:

0;;; HQW CCCf

De donde se puede despejar cualquiera de los números para encontrar una nueva función de éste con respecto a los otros.

Cada uno de estos números nos permite predecir el comportamiento de un elemento de una serie homóloga de máquinas conociendo el comportamiento de un elemento de la serie cuando varía el diámetro del rodete o


531

bien el número de revoluciones de la máquina o ambos, dado que toda máquina es homóloga de sí misma. Como veremos más adelante en los ejemplos.

Respecto del número de Reynolds cabe acotar que en las turbomáquinas tiene un valor muy alto y por lo tanto como este número representa la relación entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas concluimos que por ser muy alto los esfuerzos viscosos son muy bajos y por lo tanto la influencia de la viscosidad del fluido puede ser despreciada. Además como puede apreciarse del diagrama de Moody (punto 8.6) para valores por encima del millón el número de Reynolds se hace constante e independiente de éste. Por lo tanto no se comete un error demasiado apreciable si se desprecia al número de Reynolds, con lo cual se puede establecer:

0;; HQW CCCf

Si recordamos que la potencia de una turbomáquina es proporcional a su caudal y altura de impulsión:

HQgW y observamos que: HQW CCC concluimos que el coeficiente de potencia no es una

variable independiente.

Si además tenemos en cuenta que 2DQ es proporcional a la velocidad radial (es el caudal dividido una

longitud característica al cuadrado que es proporcional a la sección de pasaje del caudal); el coeficiente de capacidad resulta ser:

t

r

V

V

DND

Q

ND

Q

2

3

Es decir que este número (coeficiente de capacidad) representa la semejanza cinemática de los triángulos de velocidades y por lo tanto asegura la homología (semejanza) entre los distintos modelos de la serie. Por lo tanto de esta conclusión y la anterior podemos decir que:

QWQW

QHQH

CFCCCf

CFCCCf

22

11

0;

0;

Además, como vimos en la expresión ec:12.5, el rendimiento de una bomba viene dado por la relación entre la potencia puesta en juego y la potencia hidráulica teórica.

real)eje(real)eje(

teorico)eje(b W

HQg

W

W

ec:12.9

Se puede llegar a esta expresión arreglando los coeficientes adimensionales CQ, CH y W

C , como se muestra a

continuación:

real)eje(W

HQb W

HQg

ND

WND

gH

ND

Q

C

CC

35

223 ec:12.10

Y en las turbinas, según 12.3, es a la inversa, es decir:

HQ

Wreal)eje(

teorico)eje(

real)eje(t CC

C

HQg

W

W

W

ec:12.11

Y como el coeficiente de potencia y de carga son funciones del coeficiente de capacidad, resulta que el rendimiento es una función del coeficiente de capacidad, o sea:

QCF

CAPÍTULO 12

532

Esto no es rigurosamente cierto porque también interviene el número de Reynolds en el rendimiento, pero es bastante aproximado en la mayoría de los casos.

Por lo tanto para una serie de máquinas homólogas será posible graficar el coeficiente de potencia, el coeficiente carga y el rendimiento en función del coeficiente de capacidad como se muestra en la figura f:12.5:

f:12.5

0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

20

40

60

80

100%

0

CW

CH

CW bomba

CW turbina

CH

CQ

Sin embargo, cuando se solicita cotización de una máquina dada lo usual es que el proveedor suministre la curva para una máquina donde se encuentra definido el diámetro y el número de revoluciones a la cual va a funcionar. Entonces procederá a derivar de las anteriores las curvas de potencia, de altura de impulsión y de rendimiento en función del caudal para el fluido definido. Una curva de este tipo se muestra en la figura f:12.6.

f:12.6

0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 21000

3

6

9

12

15

0

5

10

15

20

25

0

20

40

60

80

100%

0

Pot

enci

a al

fre

no

[CV

]R

endi

mei

nto

Rendimiento

Altura

Potencia

Ejemplo 12.1

Una bomba centrífuga de 37 cm de diámetro, gira a 2140 RPM con agua a 20ºC, y produce la siguiente información:

Q [m3/s] 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

H [m] 105 104 102 100 95 85 67

P [kW] 100 115 135 171 202 228 249


533

a) calcular los coeficientes CQ, CH, CW y y graficarlos

b) determinar el punto de rendimiento máximo y los coeficientes correspondientes

c) se desea utilizar la misma familia de bombas para impulsar 25 m³/min de kerosene a 22ºC (densidad 804 kg/m³) a una potencia de 400 kW: ¿qué velocidad de bombeo (en RPM) y diámetro del impulsor (en cm) es necesario?, ¿qué altura se desarrollará?

Solución

a) Se calculan los valores para cada columna de datos de la tabla y luego se graficarán en una única curva, utilizando CQ como abscisas, CH en el eje izquierdo de ordenadas, y y CW en el eje derecho. Se utilizan distintas escalas.

ND

QCQ

3 0,000 0,028 0,055 0,083 0,111 0,138 0,166

22 ND

HgCH

5,915 5,858 5,746 5,633 5,351 4,788 3,774

35 ND

WCW

0,318 0,366 0,429 0,544 0,642 0,725 0,791

W

HQ

C

CC

0,0000 0,4436 0,7412 0,8605 0,9227 0,9143 0,7919

f:12.7

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

0,80

1,60

2,40

3,20

4,00

0

CH

0,18

4,80

5,60

6,40

0%

30%

60%

90%

75%

45%

15%

0

0,25

0,50

0,75

CW

100% 93%

0,1164

5,224

0,675

punto de máximo rendimiento

b) Se identifica el punto de máximo rendimiento y de la lectura del gráfico se obtienen los coeficientes para dicho punto: = 93%; CH = 5,224; CQ = 0,1164; CW = 0,675

c) Utilizando la similitud dimensional, se puede plantear la igualdad de coeficientes entre modelo y prototipo:

el coeficiente de potencia es: 5 3 5 3

0,675pmW

m m p p

WWC

D N D N

ec:12.12

el coeficiente de capacidad es: 3 3

0,1164pmQ

m m p p

QQC

D N D N

ec:12.13

el coeficiente de carga es: 2 2 2 2

5, 224pmH

m m p p

g Hg HC

D N D N

ec:12.14

CAPÍTULO 12

534

Estos valores pueden utilizarse para estimar el punto de máximo rendimiento para cualquier tamaño de bomba de esta familia con similitud geométrica.

En nuestro caso, tomaremos los datos del las curvas como datos del modelo, queremos averiguar el diámetro y la velocidad de rotación (Dp y Np) de un prototipo, del que sabemos: Qp= 25 m³/min, p= 804 kg/m³, Wp= 400 kW. Tendremos que determinar por lo tanto par de Dp y Np que satisfaga simultáneamente las expresiones ec:12.12 y ec:12.13

Por lo tanto operaremos algebraicamente despejando Dp, de la expresión ec:12.12:

1

5

3 0.675p

Pp p

WD

N

ec:12.15

Y reemplazando en ec:12.13, resulta: 4

5

3 3

5 5

3

0,1164 0,1164

0.657 0.0027

p p p

p pp

p p p

Q Q N

W WN

N

5

3 4553 4

5

3

3

0,1164 0,1164 400.000 128,73 1724

0.675 25 804 0.002760

pp

p p

W WN RPM

kgQ smms

ec:12.16

Reemplazando el valor de Np obtenido en ec:12.16 en la ec:12.15 se obtiene: 0,478pD m

Finalmente reemplazando el par de valores obtenidos en la expresión ec:12.14 obtendremos el valor de la altura:

2

22 2

2

15, 224 0,478 28,73

5,224100,42

9,81

p pp

mD N s

H mmgs

Ejemplo 12.2

Considere una bomba geométricamente similar a la que se ilustra en la figura f:12.7. Elabore la gráfica de una curva de comportamiento H versus Q para una bomba como ésta pero con un diámetro de impulsor D=0,7m y una velocidad N=1750 RPM.

Solución

Como las bomba es geométricamente similar a la de la figura f:12.7, se mantienen los coeficientes adimensionales CQ, CH y CW, como lo expresado en ec:12.12, ec:12.13 y ec:12.14, por lo que elaboraremos una tabla calculando Q, H y W en función de los datos de la bomba requerida (D=0,7m y N=1750RPM):

NDCs

mQ Q

33 0,000 0,277 0,554 0,831 1,107 1,384 1,661

g

NDCmH H

22 251 249 244 239 227 203 160

35 NDCkWW W 1325 1524 1789 2266 2677 3022 3300

W

HQg

0,00 0,44 0,74 0,86 0,92 0,91 0,79


535

Graficando los valores de H y en función de Q, resultarán las curvas para una única bomba de D = 0,7m y N = 1750 RPM

f:12.8

0 0,50 0,75 1 1,25 1,50

25

50

150

175

200

0

H[m]

Q[m³/s]

225

250

0%

30%

60%

90%

75%

45%

15%

100%93%

1,22

219

punto de máximo rendimiento

75

100

125

0,25 1,75

Ejemplo 12.3

Grafique H versus Q y versus Q, de dos bombas geométricamente similares a la del Ejemplo 12.2 que mantienen el mismo diámetro pero varían su velocidad de rotación en: N1=2000 RPM y N2=2250 RPM. Marque en la curva el punto que pertenece al rendimiento máximo.

Solución

Como las bombas pertenecen a la misma familia, los coeficientes adimensionales se mantienen. Utilizando el subíndice 0 para la bomba del Ejemplo 12.2 y subíndice 1 para la de N1=2000 RPM, y utilizando las expresiones ec:12.12, ec:12.13 y ec:12.14, podemos poner.

igualdad de CQ: 0

1

3

0

101

03

0

0

13

1

1

N

N

D

DQQ

ND

Q

ND

Q

ec:12.17

igualdad de CH:

2

0

1

2

0

1012

02

0

02

12

1

1

N

N

D

DHH

ND

Hg

ND

Hg ec:12.18

igualdad de CW:

2

1

3

0

1

5

0

101

23

05

0

0

13

15

1

1

N

N

D

DWW

ND

W

ND

W

ec:12.19

Y como la densidad y el diámetro se mantienen constantes, resulta:

0

101 N

NQQ ;

2

0

101

N

NHH y

2

1

3

0

101

N

NWW ec:12.20

A continuación se muestra una planilla realizada con las ecuaciones ec:12.20 para la velocidad de rotación N1=2000 RPM.

0

101 N

NQQ

0,000 0,316 0,633 0,949 1,266 1,582 1,899

2

0

101

N

NHH 328 325 319 313 297 266 209

CAPÍTULO 12

536

2

1

3

0

101

N

NWW

1978 2275 2671 3383 3997 4511 4926

W

HQg

0,00 0,44 0,74 0,86 0,92 0,91 0,79

Realizando lo mismo con N2=2250 RPM, y volcando los datos en un gráfico, obtendremos:

f:12.9

2,502,001,501,000,5000

Q[m³/s]

N=1750 RPM

N=2000 RPM

N=2250 RPM

D = 0,7 m = cte

punt

os d

e m

áxim

o re

ndim

ient

o

450

H[m]

400

350

300

200

150

100

50

250

0 0

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

12.3.2 Velocidad específica

La velocidad específica de una serie de turbomáquinas es una constante que permite preseleccionar el tipo de turbina o bomba a utilizar en una instalación determinada. Se definen en forma distinta para bombas y para turbinas.

Para una serie de bombas centrífugas, la velocidad específica se define como la velocidad de rotación de una máquina de la serie tal que proporcione una altura de impulsión unitaria con un caudal unitario, funcionando en el punto de óptimo rendimiento.

Despejando D de CH (expresión ec:12.8) resulta:

1cteN

HD

C

g

N

HD

H

Donde se observa que hemos incluido la aceleración de la gravedad en la constante. Reemplazando esta expresión del diámetro en CQ (expresión ec:12.7), resulta:

2

2

3

2

3

1

cte

H

QN

NcteN

H

QCQ

Podemos plantear esta igualdad con un elemento de la serie y con una bomba de velocidad Ns y de altura y caudal unitario, es decir:

2

3

32

2

3

2

1

1

m

s

mN

H

QN s

Y por lo tanto, la velocidad específica de una bomba centrífuga se puede calcular conociendo la característica de uno de los elementos de la serie, mediante:


537

s

m

m

H

QNNs 3

4

3

4

3

1

1

ec:12.21

Como conclusión podemos decir:

La velocidad específica es independiente de las dimensiones de las bombas homólogas, refiriéndose exclusivamente a la forma, por lo que todas las bombas homólogas tienen la misma velocidad específica.

La velocidad específica de una misma bomba no varía, cualquiera que sea la velocidad de trabajo, para puntos homólogos de funcionamiento. Las curvas de régimen semejante son curvas de igual velocidad específica y curvas de igual rendimiento.

El valor de Ns a lo largo de una curva característica H=f(Q) a N=cte de una bomba, varía desde Ns=0 para Q=0 hasta Ns=∞ para H=0

Normalmente, para definir una bomba centrífuga, se toma el valor de Ns correspondiente al punto sobre la línea característica H=f(Q) en donde el rendimiento es máximo.

Para una serie homóloga de turbinas hidráulicas se define la velocidad específica como la velocidad de rotación de un elemento de la serie que permite desarrollar una potencia unitaria con una altura de impulsión unitaria.

Despejando D de CW (expresión ec:12.6) resulta:

15153

515

1

3

1cte

N

WD

CN

WD

//

/

W

Reemplazando esta expresión del diámetro en CH (expresión 8), resulta:

25452

52

2

2

15153

51cte

NW

H

NcteN

W

gHC //

/

//

/H

Donde se observa que hemos incluido la aceleración de la gravedad en la constante 2. Podemos plantear esta igualdad con un elemento de la serie y con una turbina de velocidad Ns y de altura, potencia y densidad unitario, es decir:

5452

52

3

5452

52

1

10001

/s

/

/

//

/

NkW

m

kgm

NW

H

Y por lo tanto, la velocidad específica de una turbina hidráulica se puede calcular conociendo la característica de uno de los elementos de la serie, mediante:

21

21

345

2145

21 10001

/

//

//

/

s kWm

kgm

H

WNN

ec:12.22

Debe tenerse en cuenta que Ns no es adimensional y para cualquier turbomáquina dada dependerán de las unidades involucradas.

La velocidad específica es independiente de las dimensiones de las turbinas homólogas, refiriéndose exclusivamente a la forma, por lo que todas las turbinas homólogas tienen la misma velocidad específica.

La velocidad específica de una misma turbina no varía, cualquiera que sea la velocidad de trabajo, para puntos homólogos de funcionamiento. Las curvas de régimen semejante son curvas de igual velocidad específica y curvas de igual rendimiento.

CAPÍTULO 12

538

El valor de Ns a lo largo de una curva característica H=f(Q) a N=cte de una turbina, varía desde Ns=0 para

W =0 hasta Ns=∞ para H=0

Normalmente, para definir una turbina hidráulica, se toma el valor de Ns correspondiente al punto sobre la línea característica H=f(Q) en donde el rendimiento es máximo.

En la figura f:12.10 se muestra como varía la velocidad específica de las bombas. Se puede observar que la velocidad específica de las bombas radiales es bajo, en tanto para las bombas axiales es alto.

f:12.10

80 100

álabe radial álabe Francis flujo mixto flujo axial

cubierta del impulsor cubierta del impulsor

álabe álabe álabeálabe

Comparación de los perfiles de las bombas

núcleo núcleo núcleonúcleo del

impulsor

eje de rotación

Valores de la velocidad específica (succión simple)

10 20 40 60 200

300

Ejemplo 12.4

¿Cuál es la velocidad específica de una bomba centrífuga que transporta 0,6 m³/min de agua, y gira a una velocidad de 1750 RPM, siendo la potencia requerida para mover la bomba de 3,7 kW y la eficiencia del 70%?

Solución

Despejando H de la expresión ec:12.10, tenemos:

B realW

Hg Q

Reemplazando valores:

3

3 2

0,7 370026, 4

0,61000 9,81

60

WH m

kg m mm s s

Reemplazando los datos en la expresión ec:12.21, resulta:

3

3

4

0,6601750 15

26,4s

msN RPM RPM

m

Es decir que una bomba rotando a 15 RPM produce una altura de 1 m con un caudal de 1 m³/s.

12.4 Teoría elemental de las turbomáquinas

Veremos a continuación dos elementos básicos para el entendimiento de las turbomáquinas:

la teoría de las hélices que es básica para el entendimiento de las máquinas de flujo axial,

la teoría del rodete plano que es básica para el estudio de las máquinas de flujo radial.


539

12.4.1 Hélices

En el capítulo 5, al estudiar el perfil de ala se encontró que cuando éste es embestido por una corriente uniforme con un determinado ángulo de ataque, se produce una circulación sobre el mismo que da como resultado una diferencia de presiones que produce una determinada fuerza de sustentación. Si dicha fuerza de sustentación se produce a una cierta distancia de un eje al cual se encuentra vinculado el elemento de perfil de ala se producirá un par que hará que este elemento gire alrededor de dicho eje. Éste es el principio de los álabes en general y de las hélices en particular con el aditamento que la velocidad de la corriente libre varía con la distancia al radio. El caso enunciado es típico de los molinos de viento. Como es lógico, si en lugar de que la corriente uniforme embista al perfil se hace girar a éste respecto de un eje, se producirá una circulación en el fluido. Esto provocará una diferencia de presiones que hará que se produzca una fuerza en la dirección del eje que puede ser o bien utilizada para impulsar la hélice o bien si la hélice se encuentra quieta para impulsar el fluido. El primer caso es el correspondiente a las hélices de barcos o aviones y el segundo el correspondiente a los ventiladores y bombas axiales.

En la figura f:12.11 se muestra una hélice que gira con una frecuencia angular N y se desplaza a una velocidad V0, en la misma figura se muestra una sección genérica de la hélice a una distancia r respecto del eje y su correspondiente triángulo de velocidades.

f:12.11

r

N

Vo

2.N

.r

A

A

Vo

.r

V

2r

paso

efe

ctiv

o (2r

Vo/

r)

paso

geo

mét

rico

dF

dFt

dFi

V

Fsuste

ntac

ión

Torque/r

-Fempuje F

Farrastre

El paso geométrico definido como la distancia recorrida por el flujo con respecto a la circunferencia descripta por cada giro de la hélice, se modifica como resultado del propio avance de la hélice. El ángulo local de avance es proporcional a la relación de velocidad de avance y velocidad tangencial de la hélice. La diferencia entre el ángulo de avance de la hélice y definen el ángulo de ataque del perfil. Por lo tanto la fuerza de sustentación resulta normal a dicho ángulo. Si sumamos una velocidad -V0 y descomponemos la fuerza de sustentación en las componentes axiales y tangenciales obtenemos las fuerza de empuje y de torsión respectivamente, como se muestra en la figura f:12.11. Obsérvese que dichas fuerzas son diferenciales ya que estamos analizando un diferencial de hélice.

A fin de contar con un rendimiento de conjunto elevado es conveniente obtener una relación empuje – torsión similar en todas las secciones de la hélice, lo cual requiere modificar el paso geométrico y la forma de la sección a lo largo de la misma, de aquí la forma “alabeada” de las mismas.

Si queremos encontrar la fuerza de sustentación a lo largo de toda la pala deberemos calcular la misma sección a sección y adicionarlas.

Obviamente como en el caso de los perfiles de ala finitos, la circulación sobre las secciones transversales induce torbellinos de punta de pala que producen una estela vorticosa posterior que gira debido a que egresa de la hélice con una velocidad tangencial igual a la velocidad periférica de la punta de pala y que se desplaza con mayor velocidad que la de la corriente uniforme como se muestra en la figura f:12.12.

CAPÍTULO 12

540

f:12.12 Vo V

Por lo tanto la velocidad en la parte posterior es superior a la velocidad de la corriente uniforme para el caso de una hélice.

Analicemos una hélice en la cual el volumen de control es el que se muestra punteado en la figura f:12.13.

f:12.13

12

34

V1 V4

p1

p2 p3p4

V

12

34

V1 V4

p1

p2 p3p4

V

El volumen de control está compuesto por la hélice propiamente dicha y el volumen de aire que circula a través de la misma. Este volumen de control tiene una superficie mayor aguas arriba que aguas debajo de la hélice porque como vimos la velocidad del fluido es mayor en la descarga que en la succión. Es el caso de la hélice de propulsión o del ventilador. Si se tratase de un molino de viento el volumen de control sería justamente al revés, es decir la velocidad de la corriente aguas arriba es superior a la velocidad de la corriente aguas abajo.

Si aplicamos la ecuación de cantidad de movimiento al volumen de control mostrado resulta:

SCVCext AdVVdV

tF

Como sólo nos interesa la dirección del movimiento X, el flujo es estacionario y las únicas fuerzas exteriores

que actúan son el empuje E

sobre la hélice, ya que en todo el resto del volumen de control la presión es la atmosférica, despreciando los efectos de fricción y los debidos a la gravedad, la anterior será:

14 VVVAE ec:12.23

Donde A y V son el área de la sección frontal y la velocidad del flujo a través de la hélice respectivamente.

Si ahora aplicamos la ecuación de cantidad de movimiento a un volumen de control compuesto por la hélice, como la velocidad aguas arriba y aguas abajo es la misma, y las únicas fuerzas exteriores que actúan son el empuje sobre la hélice y la diferencia de presiones queda:

AppE 23

Igualando con la ec:12.23 podemos eliminar el área A:

1423 VVVpp ec:12.24


541

Como el fluido es incompresible, estacionario y los efectos de fricción son despreciables entre las secciones 1 y 2 (figura 12.13) podemos aplicar la ecuación de Bernoulli entre dos puntos de estas secciones:

22

221 2

1

2

1V

pV

patm

ec:12.25

Las mismas características tiene el flujo entre las secciones 3 y 4 por lo cual también podemos aplicar Bernoulli (notar que no podemos aplicar Bernoulli entre 2 y 3):

24

23

3

2

1

2

1V

pV

p atm

ec:12.26

Teniendo en cuenta que la velocidad del fluido en el sección 2 es la misma que en la sección 3 restando miembro a miembro la ec:12.26 de ec:12.25 se puede obtener la diferencia de presiones entre la sección 3 y la sección 2:

21

2423 2

1VVpp ec:12.27

Igualando la expresión ec:12.24 con la ec:12.27 podemos obtener el valor de la velocidad V del fluido a través de la pala:

142

1VVV

Para una hélice que actúa como propulsora (es decir que se le entrega potencia a través de un motor a fin de mover un avión o un barco) la potencia útil es la necesaria para trasladar la fuerza de empuje a la velocidad de la hélice (que se mueve con la velocidad del móvil). Como V1 es la velocidad de la hélice la potencia útil la encontramos como producto de la ecuación ec:12.23 por dicha velocidad:

141114 VVVQVVVVAWu ec:12.28

La potencia que debemos entregar a la hélice (mediante el motor) la podemos obtener aplicando la ecuación de la energía al volumen de control de la figura f:12.13:

AdVp

zgVudet

WQSCVCeje

2

2

1

Teniendo en cuenta que la potencia es entregada y por lo tanto negativa, que no hay transferencia de calor, que el flujo es estacionario, que hemos despreciado las pérdidas de fricción y la variación de energía potencial y que sólo hay flujo a través de las secciones 1 y 4 la anterior se resume a:

21

24

24

21 2

1

2

1

2

1VVQVQVQW eje ec:12.29

Por lo tanto el rendimiento porcentual de la hélice valdrá:

100100

2

1100 1

14

1

V

V

VV

V

W

W

eje

u

ec:12.30

CAPÍTULO 12

542

Como el denominador es siempre mayor que el numerador ni aún despreciando las fuerzas viscosas el rendimiento de una hélice de propulsión puede ser del 100%. De hecho el rendimiento se aparta bastante del teórico debido al importante consumo de energía en la estela vorticosa. Las hélices de barco y aeronaves tienen eficiencias que no superan el 80%. En la figura f:12.14 se muestran las curvas características para una hélice de propulsión donde EC : coeficiente de empuje y WC : coeficiente de potencia y vienen dados por las

expresiones:

53W

42E

DN

WC

DN

EC

f:12.14

12.4.2 Rodete radial

En la figura f:12.15 se muestra esquemáticamente un rodete donde el fluido ingresa por el anillo central y luego de recorrer todos los álabes egresa por el anillo exterior. El fluido sólo tiene componentes en el plano del papel y, para las deducciones que siguen, supondremos que existe una cantidad infinita de álabes dispuestos sobre el rodete, de forma que los triángulos de velocidades son los mismos en cualquier punto a una distancia fija del radio. Esta disposición corresponde a una bomba. Si el flujo escurriera de la periferia hacia el centro se trataría de una turbina. Una pregunta pertinente es ¿cómo son los cambios energéticos y las cantidades de movimiento que ocurren en un rodete?

Para contestar esta pregunta analizaremos por separado (a pesar que son causa y efecto) lo que ocurre en una bomba y lo que ocurre en una turbina. A fin de comprender por qué al hacer girar el rodete con un motor (bomba) se logra un aumento de presión se puede recurrir a una simple observación: cuando revolvemos una taza de café u otra infusión, observamos que en el centro de la taza el nivel desciende respecto al nivel original, en tanto que en la periferia (borde de la taza) el nivel aumenta. Si imaginamos que confinamos el fluido mediante una tapa, lo que obtendremos es un incremento de presión desde el centro hacia la periferia, es decir exactamente lo que ocurre en una bomba. Puede verse que esto ya fue descripto en el capítulo 2 punto 2.6. Adicionalmente el fluido sale del rodete con una velocidad importante (energía cinética) que es recuperada en el difusor de la bomba, y convertido por lo tanto en un aumento de presión adicional. Estos dos mecanismos son los que actúan en una bomba. Aquí estamos interesados en el primero de estos fenómenos.

Si analizamos desde el punto de vista de la transferencia de cantidad de movimiento que ocurre en el rotor de una bomba, podemos ver que cuando a una partícula se le confiere un sentido de rotación aparece una fuerza


543

centrífuga, esta fuerza centrífuga debe ser compensada por otra para evitar que la partícula salga despedida según la dirección radial (como ocurriría si se corta la soga que mantiene a una piedra rotando respecto a un punto), esta fuerza la suministra el aumento de presión que ocurre en la dirección radial.

Podemos hacer un análisis similar para la turbina. El movimiento de la misma ocurre porque sobre los álabes impacta el fluido transfiriendo su cantidad de movimiento y como los álabes se distribuyen sobre la circunferencia, se produce un movimiento de giro. Además como el flujo se mueve con movimiento circular desde el exterior hacia el interior, la fuerza centrífuga disminuye desde la periferia hacia el centro, y por lo tanto debe disminuir la presión en la misma dirección para equilibrar la misma.

f:12.15

Varr 2

Vrel 2

V2

2 2

Varr 1

V1

Vre

l 1

1R2

R1

b2b1

superficie de control 1

superficie de control 2

volumen de control

Corte A-A

A A

Referencias

V1, V2: velocidades absolutas

Vt1, Vt2: velocidades absolutas tangenciales

Vr1, Vr2: velocidades absolutas radiales

Vrel1, Vrel2: velocidades relativas

Varr1, Varr2, velocidades de arrastre

1, 2: ángulo que forman las velocidades absolutas con la tangente a la superficie de control

1, 2: ángulo que forman las velocidades relativas con la superficie de control

: velocidad angular de rotación del rodete

Planteando la ecuación de continuidad en el volumen de control indicado en la figura f:12.15, resulta:

0SC

V dA

Al ser un flujo permanente, la derivada con respecto al tiempo se anula. Sólo queda desarrollar la integral del segundo término en la superficie de control 1 y 2, resultando:

1 1 1 2 2 22 2r rV R b V R b Q

En el gráfico f:12.16 se detallan los triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete. Por condición de diseño, la velocidad relativa en los álabes, debe ser tangente a ellos, de forma de disminuir las pérdidas por desprendimiento.

CAPÍTULO 12

544

f:12.16

Varr 2=.R2

Vrel 2

V22 2V

1

Vrel 1

1

Vt 2

Vr

2

Vt 1

Vr

1

dirección tangente a la circunferencia

Varr 1=.R1

Triángulo de velocidad a la salida del álabe

Triángulo de velocidad a la entrada del álabe

a b c

dirección tangente a la circunferencia

Para construir el triángulo de velocidad, basta con conocer el caudal que circula, la velocidad de rotación de la máquina, las dimensiones del rodete y la forma de los álabes (sus ángulos tangentes). Y de acuerdo con el principio de Galileo:

arrrelabs VVV

Siendo la velocidad de arrastre, la velocidad a la que gira el rodete.

En la figura f:12.16.c, se observa el desprendimiento que ocurre cuando la velocidad relativa (la que ve un observador parado sobre el rodete) no es tangente a la entrada al álabe. Como la turbomáquina debe adaptarse a diferentes condiciones de operación es obvio que cuando deba operar fuera de las condiciones de diseño su eficiencia disminuirá.

Si aplicamos la ecuación de momento cinético a un volumen de control que incluya al rodete como se muestra en la figura f:12.15, resulta:

AdVVrdVrt

MSCVC

ext

Esta es una ecuación vectorial según los tres ejes. Pero sólo nos interesa el momento en el plano del papel. Recordando que el flujo es permanente y que sólo hay flujo a través de las superficies extremas, se calcularán los momentos con respecto al centro del rodete, resultando:

QcosVRcosVRM z 222111

Como se puede observar en los triángulos de velocidad de la figura f:12.16

V1cos1 Vt1 y V2cos2 Vt2

y reemplazando en la ecuación anterior, resulta:

QVRVRM ttz 2211 ec:12.31

Como hemos visto en el punto 5.2 del capítulo 5, se podía definir la circulación de un vórtice libre como:

cteVRVR tt 2211

Por lo tanto, si se construye un álabe con un perfil tal que se cumpla la condición anterior, no produciría ningún par y por consiguiente ninguna potencia. A dicho álabe se lo conoce como álabe neutro y por supuesto no tiene ninguna utilidad práctica. Por lo tanto si se quiere aumentar el momento torsor que produce un rodete puede procederse aumentando el caudal o bien aumentando la diferencia de circulación entre la entrada y la salida.

Para obtener la potencia que produce el rodete, se multiplica el momento por la velocidad angular, resultando:

1t12t2z VRVRQMW ec:12.32

Nuevamente, refiriéndonos a los triángulos de velocidad de la figura f:12.16, podemos observar que:


545

R1=Varr1 y R2 Varr2 ec:12.33

Y reemplazando las expresiones ec:12.33 en la ec:12.32, resulta:

1122 tarrtarr VVVVQW ec:12.34

Recordando la ecuación ec:12.1, habíamos llegado a:

HQgW ec:12.35

Igualando la ec:12.34 con la ec:12.351, podemos obtener una expresión interesante para la altura hidráulica:

g

VVVVH tarrtarr 1122 ec:12.36

Que demuestra que el álabe neutro no genera altura hidráulica alguna, de la misma forma que no se genera par torsor o potencia.

Ejemplo 12.5

El impulsor de una bomba centrífuga que tiene las dimensiones mostradas, gira a 500 RPM. Suponiendo a la entrada una velocidad absoluta solamente de dirección radial calcular el caudal, el momento torsor y la potencia requerida para cumplir estas condiciones.

50mm

75mm

200mm

45°

45°

Solución

Plantearemos los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del álabe.

CAPÍTULO 12

546

Varr 1

Varr 2

Vrel 1

V 1 = Vr 1

Vrel 2

V2Vr 22=45º

Vt 2

45° 45°

45°

R2=

100mm

R1=32

,5mm

De los valores dados en el enunciado y los triángulos de velocidades surgen los siguientes valores:

1 2

3

1 1 1

2 2 2

1 1 1

75 200500 rpm

2 2

1000 50

1,96

5, 24

tan 45º 1,96

arr arr

arr arr

arr

R mm R mm

kgb mm

mm

V R Vsm

V R Vs

mV V V

s

Como no hay componente tangencial, la velocidad absoluta en 1 sólo tiene componente radial, es decir:

1 1 1 1

3

1 1 2

1,96 0

2 0,023 45º

r r t

r

mV V V V

s

mQ R b V Q

s

Y, por lo tanto:

2 2 2 22

2 0,742r r r

Q mQ R b V V V

R b s

La proyección tangencial de la velocidad absoluta a la salida la podemos calcular con:

2 22 2 2 2

2 2 2

tan 4,5tan

r rt arr t

arr t

V V mV V V

V V s

:

El momento torsor se puede calcular mediante la ecuación 12.31:

2 2 1 1 10,35z t t zM R V R V Q M N m

Y finalmente la potencia requerida en el eje la calculamos mediante:

545eje z ejeW M W Wat


547

12.5 Características particulares de las turbomáquinas

Procederemos a analizar cada turbomáquina de acuerdo con la característica de flujo: axial, radial, tangencial o mixto.

12.5.1 Turbomáquinas de flujo tangencial

Este tipo de turbomáquinas es del tipo de impulsión, donde el agua es acelerada en una tobera e impacta en la rueda a la cual le transmite el impulso que la hace girar. En la figura f:12.17 se observa un tipo de turbina de impulsión, conocido como turbina Pelton.

f:12.17

Fuente:

http://www.ebroacero.com

(consultado 29 de enero de 2010)

En la figura f:12.18 se muestra esquemáticamente una instalación. La tobera o inyector lanza directamente el chorro de agua contra la serie de paletas en forma de cuchara montadas alrededor del borde de una rueda. El agua acciona sobre las cucharas intercambiando energía con la rueda en virtud de su cambio de cantidad de movimiento, que es casi de 180°. Obsérvese en el corte B-B, como el chorro de agua impacta sobre la pala en el medio, es dividido en dos, los cuales salen de la pala en sentido casi opuesto al que entraron, pero jamás puede salir el chorro de agua en dirección de 180°, ya que si fuese así el chorro golpearía a la pala sucesiva y habría un efecto de frenado.

El fluido puede ser inyectado por una o más boquillas ubicadas en forma periférica y el rotor puede disponerse de forma horizontal o vertical.

f:12.18

tobera

R

chorro

rodete

Varr=.R

Vch

dchorro

A

A

Vista A-A

álabeB B

Como se observa en la figura, el fluido entra y sale de los álabes de la rueda a la misma presión (normalmente la presión atmosférica).

CAPÍTULO 12

548

Trataremos ahora de determinar el par que entrega la turbina, suponiendo conocidos la velocidad de salida de la tobera o boquilla, la velocidad de giro de la rueda y la forma del álabe.

Consideramos que la velocidad de giro de la rueda y el caudal se mantienen constantes y que las pérdidas por fricción o turbulencia son nulos.

En la figura f:12.19 se muestra en punteado el volumen de control adoptado, al que aplicaremos la ecuación del momento de la cantidad de movimiento (la sección de entrada del fluido a la cuchara se denomina 1, así como 2 a la sección de salida):

f:12.19

dchorro

Varr=.R

Vrel 2

VarrV2

Vt 2

Vr 2

V1=Vch

1

1

2

2

volumen de control

V2

V1

90°

Vt 2

Vr 2 R

R

a b

dirección

tangente al álabe

dirección final

del chorro

2

triángulo de velocidad a la salida del álabe

AdVVrdVrt

MSCVC

ext

El término en derivadas parciales se anula puesto que si no varían ni la velocidad de giro de la máquina ni el caudal inyectado el flujo es permanente.

Esta ecuación es de tipo vectorial y por lo tanto se puede descomponer en tres ecuaciones escalares según los ejes coordenados. Nosotros sólo estamos interesados en la ecuación según el eje z, que es el eje según el cual gira el aparato.

Obviamente esta integral es nula sobre las superficies de control sobre las cuales no hay transferencia de masa. Es decir que la integral anterior sólo debe ser evaluada sobre las superficies 1-1 y 2-2.

Finalmente adoptaremos como radio R la distancia al centro del rodete, y podemos escribir:

AdVVrAdVVrMSCSC

ext

21

ec:12.37

En el primer término, el agua ingresa al volumen de control, el radio vector es R y la velocidad absoluta V1 es igual a la velocidad del chorro Vch. Como esta velocidad es normal a R resulta:

Qº90senVRAdVVrAdVVr 1

1SC1SC

ec:12.38

De la misma manera, el momento cinético del fluido que egresa por la superficie 2-2 resulta:

QsenVRAdVVrAdVVrSCSC

2

22

ec:12.39


549

El signo de la multiplicación vectorial Vr se ha tomado como positivo si es antihorario y negativo si es

horario.

La velocidad absoluta a la salida V2, se ha indicado en la figura f:12.19.a, donde se ha trazado el triángulo de

velocidades utilizando el principio de Galileo ( arrrelabs VVV

).

En la figura f:12.19.b, se indica el ángulo , y se observa que V2·sen =Vt 2, que también lo podemos expresar diciendo que la única componente capaz de producir par sobre la rueda es la componente tangencial

al rodete (puesto que para la componente en la dirección del eje 02 rVr

)

Por lo tanto en el egreso será:

QVRAdVVr t

SC

2

2

Nuevamente, refiriéndonos al triángulo de velocidades, podemos expresar la velocidad absoluta tangencial a la salida en función de la velocidad relativa Vrel2 y de la velocidad de arrastre Varr. La velocidad relativa es aquella con la que veríamos desplazarse al fluido dentro del álabe si nos paráramos sobre éste, y suponiendo ausencia de rozamientos, podremos decir que la velocidad relativa se mantiene en todo el recorrido sobre el álabe, hasta su egreso, es decir:

|Vrel 1| = |Vrel 2|

Estas velocidades son iguales en módulo, pero no en dirección, ya que en el egreso la velocidad relativa es tangente a la superficie del álabe, puesto que no se ha considerado pérdidas por turbulencias (choques o separación).

Y nuevamente, por el principio de Galileo, la velocidad relativa a la entrada es: arrrel VVV

11 , y su

módulo: |Vrel1|=|Vrel 2|=Vch-·R, donde es la velocidad angular de la rueda.

Y siendo:

RcosRVRcosVV chrelt 22

QRcosRVRAdVVr ch

SC

2

ec:12.40

Finalmente, reemplazando ec:12.38 y ec:12.40 en ec:12.37, resulta:

QRcosRVR)Q(VRM chchz ec:12.41

Operando, se puede rescribir:

RcosRcosVVQRM chchz

Finalmente el par resistente aplicado por el fluido a la rueda será:

cosVRQRM chz 1 ec:12.42

Y el par desarrollado por la rueda, será de signo contrario:

cosRVQRM chz 1 ec:12.43

Como la potencia es el producto del par torsor por la velocidad angular:

cos1 RVRQW cheje

Aquí hemos supuesto que hay una infinita cantidad de álabes. Como esto no es así la potencia o el par torsor deberán afectarse por un factor que será menor que uno y que forma parte del rendimiento de la máquina.

CAPÍTULO 12

550

Para maximizar el rendimiento de la máquina desde el punto de vista de la construcción de los álabes vale observar que tanto el par torsor como la potencia serán máximos cuando el ángulo sea cero. Es decir cuando el flujo de agua sea desviado de forma tal que realice un giro de 180°. Si bien por razones constructivas no es posible llegar a dichos valores los ángulos reales se encuentran muy próximos a estos valores.

Es interesante ver que la potencia es función de la velocidad tangencial de la máquina R . De una rápida inspección de las fórmulas de par torsor y potencia deducidos vemos que el par torsor y la potencia son nulos cuando la velocidad tangencial es igual a la velocidad del chorro. A medida que la diferencia entre ellas aumenta el par torsor aumenta continuamente. Por lo tanto a medida que la máquina se carga se tiende a frenar. Como estas máquinas se utilizan para generar energía eléctrica la velocidad de rotación se debe mantener constante, por lo tanto los cambios en la potencia se deben realizar modificando el caudal que ingresa por las boquillas.

La potencia no se comporta de la misma forma respecto a la velocidad tangencial sino que pasa por un máximo y luego disminuye. Resulta interesante determinar el punto para el cual la potencia resulta máxima. Para ello derivamos la potencia respecto a la velocidad tangencial y la igualamos a cero:

cos1cos10

RRVQ

R

Wch

eje

Operando en la anterior llegamos a:

2chV

R

Es decir que la potencia será máxima cuando la velocidad tangencial sea la mitad de la velocidad del chorro.

Las turbinas de acción son recomendables para centrales con grandes saltos y moderados o pequeños caudales. Son la elección técnicamente más recomendable en instalaciones donde se requiere números de revoluciones específicos (Ns) entre 25 y 50 y se dispone de saltos de más de 180 metros.

12.5.2 Turbomáquinas de flujo axial

Dentro de este tipo de turbomáquinas se distinguen las siguientes:

ventiladores axiales

bombas axiales a hélice

turbinas hidráulicas axiales

turbinas eólicas

Para la clasificación de ventiladores axiales tomaremos como referencia “Industrial Ventilation” A manual of Recommended Pratice 8th Edition editado por la American Conference of Governmental Industrial Hygienists. De acuerdo con este trabajo los ventiladores axiales los clasifica en dos grandes grupos:

Ventiladores axiales de palas

Ventiladores axiales de álabes

Los ventiladores axiales de pala pueden mover grandes caudales de aire con muy bajas presiones estáticas. Dentro de este tipo de ventiladores a su vez se pueden reconocer los ventiladores de disco y los ventiladores de hélice (ver figura f:12.20).


551

f:12.20

Ventilador de discos

Ventilador de hélice

Ventilador axial

Los ventiladores de disco son utilizados generalmente como extractores de ambientes y no están conectados a conductos, es decir que la contrapresión que deben vencer es mínima. No son ventiladores aerodinámicos.

Los ventiladores de hélice responden a la teoría vista en el punto 12.4.1. La característica de caudal es similar al anterior (volúmenes importantes) pero con valores de presión estática de descarga superiores al anterior (ver curvas en la figura f:12.20).

Los ventiladores axiales de álabes (ver figura f:12.20) en cambio permiten desarrollar mayores presiones con mejores rendimientos que los anteriores. Esto se debe a dos factores:

Los álabes tienen un mayor desarrollo en el sentido axial lo cual permite desarrollar mayores presiones.

El ventilador se ubica dentro de un conducto y aguas abajo del ventilador se colocan enderezadores de vena lo cual mejora el rendimiento al mitigar los vórtices de punta de pala y la resistencia inducida en la estela.

Los conceptos correspondientes a las bombas axiales a hélice son totalmente análogos al de los ventiladores axiales de álabe excepto que usualmente se ubican en forma vertical como se muestra en la figura f:12.20 donde también se muestran las curvas características para una máquina dada girando a un número de revoluciones determinado. Obsérvese la similitud con los ventiladores axiales de álabes.

f:12.21 Alabesfijos

CAPÍTULO 12

552

Las turbinas axiales son indicadas para bombear caudales importantes con alturas de impulsión modestas. Son indicadas para aquellas instalaciones con número de revoluciones específicas Ns entre 110 y 220 y alturas de impulsión de hasta 15 metros.

Como apuntamos en 12.1 las turbinas hidráulicas se pueden clasificar en turbinas de acción y turbinas de reacción. Las turbinas de acción fueron analizadas en 12.5.1.

En las turbinas de reacción el rodete se encuentra totalmente sumergido en el agua. Las turbinas de reacción se pueden clasificar a su vez en axiales (turbina Kaplan) y radiales (turbina Francis).

Las turbinas axiales por supuesto muestran características muy similares a las bombas y ventiladores axiales. La turbina de este tipo más común es la turbina Kaplan un corte de la cual se muestra en la figura f:12.22.

La turbina Kaplan se utiliza en centrales con caudales importantes y saltos moderados con números de revoluciones específicos (Ns) entre 450 y 1000 con un rendimiento óptimo para un Ns de aproximadamente 600 y saltos menores a 30 metros. En la figura f:12.23 se muestran curvas características de estas turbinas.

f:12.22 Diámetro

Rodete

Alabesdirectrices

f:12.23

Finalmente dentro de las máquinas de flujo axial tenemos las turbinas de generación eólica que consisten básicamente en dos o tres hélices movidas por el viento que a su vez mueven un generador eléctrico. Usualmente se disponen en grupos más o menos numerosos de generadores a los cuales se denomina granja de molinos de viento. En la figura f:12.24 se muestra una granja de este tipo en Middelgrunden, en el mar de Copenhague, Dinamarca. Y en la figura f:12.25 se puede observar el tamaño que suelen tener las aspas del aerogenerador.

En la figura f:12.26 se esquematiza el movimiento del aire a través de un molino de viento. La velocidad en la sección 1 es la velocidad del viento en el lugar normal a la cara frontal. Se observa que la imagen de flujo es exactamente opuesta a lo visto para una hélice de propulsión. En efecto la velocidad de la corriente libre se reduce aguas abajo pues el molino obtiene energía del flujo. Por lo tanto aplicando la ecuación de la energía a


553

un volumen de control tal como el mostrado y teniendo en cuenta que analizamos el estado permanente, que el trabajo es realizado por el flujo, que la presión tanto en la sección 1 como en la 4 es la atmosférica, despreciando el rozamiento y la variación de energía potencial llegamos a la siguiente ecuación:

24

21

24

21

21

24

24

21

2

1

2

12

1

2

1

2

1

VVVAVVQW

VVQVQVQW

eje

eje

El valor de la velocidad a través del molino como vimos al tratar de las hélices es la semisuma de las velocidades de las secciones 1 y 4 por lo cual la anterior se puede escribir:

24

21412

1

2

1VVVVAW eje

Si definimos la potencia disponible como la correspondiente a un área de sección A (área de la superficie frontal del molino) a través de la cual el fluido circula con una velocidad V1 dicha potencia valdrá:

211 2

1VVAWdisp

f:12.24

f:12.25

f:12.26

3

21

V4

V1

p4

p3p2p1

V

3

21

V4

V1

p4

p3p2p1

V

Siendo el rendimiento del ventilador:

CAPÍTULO 12

554

disp

eje

W

W

Reemplazando en la anterior por las ecuaciones encontradas:

2

24

1

4

2

24

21

1

41

1

1

112

1

2

1

V

V

V

V

V

VV

V

VV

Podemos encontrar el rendimiento máximo en función de la relación de velocidades 14 VV para lo cual derivamos e igualamos a cero:

1

4

2

24

1

4

1

4

1

11

0

V

V

V

V

V

V

V

V

12301

42

1

4

V

V

V

V

Ecuación de segundo grado que resuelta nos da: 3114 VV

Reemplazando este valor de las relaciones de velocidades en la ecuación del rendimiento encontrada:

593,027

16

9

11

3

11

2

1

máx

máx

Como hemos considerado el flujo sin fricción es de esperar que este rendimiento sea menor, de todas formas podemos decir que el rendimiento de un molino de viento no podrá superar el 59,3%.

12.5.3 Turbomáquinas de flujo radial

Este tipo de máquinas se distinguen porque constan de un rotor que gira dentro de una carcasa y en el cual el flujo circula en dirección radial recibiendo o generando energía.

Dentro de este tipo de máquinas se distinguen los siguientes:

Ventiladores centrífugos

Bombas centrífugas radiales

Turbinas de reacción radiales (turbina Francis)

Los ventiladores centrífugos (como todas las máquinas radiales) son apropiados para mover volúmenes menores que los ventiladores axiales pero pueden desarrollar una contrapresión mucho mayor. Debido a esta característica son la solución usual cuando se necesita transporte por conductos muy largos o contra filtros de manga como en el caso de la ventilación industrial. Los ventiladores se clasifican en tres grupos de acuerdo con la construcción del rodete (ver f:12.27).

Ventiladores de paletas curvadas hacia atrás

Ventiladores de álabes rectos

Ventiladores de paletas curvadas hacia adelante


555

f:12.27

Ventilador de paletas

curvadas hacia atrás

Ventilador de palas rectas

Ventilador de paletas

curvadas hacia adelante

En los últimos, dado que la punta de pala se curva en el sentido de rotación, la velocidad tangencial absoluta de salida del aire es mayor que en el caso que los álabes se curven en sentido contrario al de rotación. Esto hace que estos ventiladores sean más compactos (ocupan menos espacio) y su velocidad de rotación puede ser inferior a la del otro tipo, lo cual permite niveles de ruido menores. Se usan para vencer contra presiones estáticas moderadas, por lo cual son muy utilizados en aire acondicionado y ventilación pero no se recomiendan para ambientes con humo o polvo que se puedan adherir a los álabes pues los desbalancean. En la figura f:12.28 se muestra la incidencia de la curvatura de los álabes en las velocidades de salida

f:12.28

Los ventiladores de palas rectas se usan en sistemas de extracción cuando se manejan fluidos que puedan taponar el ventilador, tales como en aserraderos, extractores buffer, etcétera.

Los ventiladores de palas curvadas en sentido contrario al de rotación permiten velocidades de punta de pala mayores y por lo tanto admiten mayores velocidades de rotación lo cual los hace de mejor rendimiento que los anteriores y tiene características de no-sobrecarga.

En la figura f:12.29 se muestra un corte típico de una bomba centrífuga radial.

Usualmente las bombas no tienen álabes directrices y en la entrada el flujo normalmente es paralelo al eje a fin de reducir la potencia necesaria en el eje al mínimo.

De la ecuación ec:12.31 para una bomba de este tipo resulta:

22 tz VRQM

Porque no hay velocidad tangencial a la entrada. De la misma forma de la ecuación ec:12.34 resulta:

CAPÍTULO 12

556

22arr tW Q V V

g

VVH 2t2arr

f:12.29

De la misma forma que el momento torsor y la potencia requeridos por la bomba se hacen mínimos cuando el flujo de ingreso no tiene velocidad tangencial la altura de impulsión se hace máxima. Debido a la fricción de fluido contra el rotor y la carcasa y a la resistencia de forma el rendimiento no es del 100%. Respecto a la resistencia de forma en los álabes se debe hacer notar que como generalmente estas máquinas no tienen álabes de ángulos variables, cuando funcionan fuera de la condición de diseño el rendimiento disminuye debido a que la velocidad relativa no es tangente a los álabes. En la figura f:12.30 se muestra una curva característica de una bomba. En ella se puede observar una curva que corresponde al ANPA y cuyo significado veremos más adelante.

Respecto de la orientación de los álabes o paletas en general se utilizan los del tipo atrasado, es decir que el ángulo de punta de pala es opuesto al sentido de rotación o a lo sumo normal. Esto se debe a que si bien los álabes con paletas adelantadas permiten mayores velocidades de salida, el canal a que dan lugar produce pérdidas debido a desprendimientos que anulan todas las ventajas obtenidas.

f:12.30

Q[m³/s]

ANPA

H

W

Finalmente podemos decir que este tipo de bomba encuentra sus aplicaciones con números de revoluciones específicos (NS) entre 15 y 90 con alturas de impulsión mayores a 30 metros.

Las turbinas de flujo radial (turbinas Francis) son turbinas de reacción en las cuales el fluido ingresa por una envolvente a todos los álabes fijos llamados directrices, para luego alcanzar los álabes de la rueda o rodete a los cuales les confiere momento cinético (ver figura f:12.31).

El momento torsor, la potencia y la altura disponible vienen dadas por las ecuaciones ec:12.31, ec:12.34 y ec:12.36 pero con los signos cambiados. A fin de optimizar los momentos torsores, potencia y altura de


557

impulsión se intenta que la velocidad a la salida no tenga componente normal (obsérvese que en la bomba la que se anula es la componente de entrada).

f:12.31

álabes fijos

álabes móviles

rodete

álabes fijos

álabes móviles

Q

B

Nuevamente el rendimiento se ve influenciado por las pérdidas por fricción y de forma y cuando varía el caudal respecto de las condiciones de diseño aumentan las pérdidas de forma y varía el rendimiento. En la figura f:12.32 se muestran las curvas características de estas máquinas.

f:12.32

Estas máquinas son indicadas para saltos y caudales moderados con números de revoluciones específicos (NS) entre 45 y 500 y saltos entre 25 m y 180 m.

12.5.4 Turbomáquinas de flujo mixto

Estas máquinas tienen una característica de flujo que las ubica entre las máquinas de flujo radial y las turbomáquinas de flujo axial.

Las únicas máquinas que tienen esta característica son las bombas centrífugas de flujo mixto cuyo corte transversal se muestra en la figura f:12.33.

Estas bombas prestan un servicio intermedio entre las axiales y radiales vistas anteriormente y son indicadas para trabajar con número de revoluciones específicos entre 70 y 135 con alturas de impulsión entre 10 y 40 metros.

CAPÍTULO 12

558

f:12.33

Alabesfijos

12.6 Punto de funcionamiento

12.6.1 Punto de funcionamiento de una bomba

Como hemos podido observar al ver las curvas de las turbomáquinas, existen infinita cantidad de puntos en las cuales éstas pueden funcionar con una relación biunívoca entre el caudal y la altura de impulsión. Sin embargo el funcionamiento de las mismas se producirá en un punto determinado y para una condición dada de caudal y altura de impulsión.

En el caso de turbomáquinas que actúan impulsando un fluido a través de un sistema de cañerías o conductos, tales como ventiladores o bombas la condición viene dada por la contrapresión que producen la diferencia de nivel y/o la pérdida por fricción en las cañerías.

En el caso de los ventiladores las diferencias de nivel son despreciables y por lo tanto la contrapresión se debe exclusivamente a la pérdida de carga. Como vimos en el capítulo 8 de escurrimiento en conductos la pérdida de carga total viene dada por:

g2

V)K

D

Lf(H

2n

1ii

Siendo la velocidad en un conducto circular:

2

4

D

QV

Resulta:

242

n

1ii Q

gD

8)K

D

Lf(H

Es decir que la curva de carga para un ventilador es aproximadamente proporcional al caudal al cuadrado. Entonces si superponemos en un mismo gráfico la curva del ventilador y la de demanda, el punto en que se intercecan ambas curvas es el punto de funcionamiento del ventilador (ver figura f:12.34).


559

f:12.34

Q[m3/h]

H[m

mH

2O

]

Resistencia del sistema(varía aprox. Con Q2)

Resistencia del sistema condamper parcialmente cerrado

Q[m3/h]

H[m

mH

2O

]


Resistencia del sistema condamper parcialmente cerrado

En el caso de una bomba centrífuga la altura de impulsión viene dada por:

HzHimp

Donde z es la diferencia de altura geométrica entre la succión y la impulsión. La curva de carga en función del caudal es del tipo parabólica como la anterior pero en lugar de iniciar en el origen arranca con una altura igual a la diferencia geométrica (ver figura f:12.35).

f:12.35


Q[m3/h]

H[m

H2O

]

Resistencia del sistema conVálvula parcialmente cerrada


Q[m3/h]

H[m

H2O

]

Resistencia del sistema conVálvula parcialmente cerrada

En muchos procesos industriales es necesario variar el caudal entregado por el ventilador o la bomba. En el caso de las turbomáquinas esto se realiza en forma muy simple disponiendo una válvula o un damper (según se trate de una bomba o de un ventilador) preferentemente en la descarga del sistema. De esta forma introducimos una pérdida de carga inducida que modifica la curva de carga como se puede observar en las figura f:12.34 y f:12.35. Obsérvese que esto mismo es lo que hacemos cuando regulamos la apertura de una canilla en nuestro hogar (de hecho la canilla es una válvula globo ángulo).

En algunas bombas o ventiladores de gran potencia la regulación se realiza mediante paletas variables a fin que la máquina opere en zonas de rendimiento adecuado y por lo tanto mantener los consumos de energía en valores lo más bajo posibles.

Las turbinas hidráulicas en su gran mayoría son utilizadas para generar energía eléctrica. Las necesidades de carga vienen impuestas por lo tanto por el consumo de energía que se produce en la red. De acuerdo con lo visto la potencia generada por las turbinas hidráulicas es directamente proporcional al caudal que circula por la máquina, regulando el caudal se regula la potencia entregada según la demanda de la central. Esta regulación en centrales de potencia moderada se realiza mediante válvulas agujas instaladas en la descarga de la máquina que generan lo que se conoce como “velo de novia” en la descarga de la presa. En otras centrales la regulación se realiza aguas arriba de la sala de máquinas.

En el caso de las turbinas la utilización de álabes variables es muy extendida. Al variar los ángulos de ataque del agua a los álabes varía por lo tanto la curva de la máquina.

Ejemplo 12.6

Se quiere utilizar una bomba de 81 cm de diámetro a 1170 RPM, cuya performance se puede representar por la siguiente ecuación: H=149·m-20·s2·m-5·Q2, para bombear agua a 15ºC de un tanque a otro 37 m por encima del anterior, a través de una cañería de 460 m de longitud, de 41 cm de diámetro y con un factor de fricción f = 0,030.

La suma de los coeficientes de pérdidas localizadas es de 5. Determinar el punto de operación.

Solución

La altura de impulsión de la bomba, está dada por la expresión ec:12.3:

CAPÍTULO 12

560

B A A BH z z h

Las pérdidas se pueden calcular mediante:

2

2 22

2 52

2

460 85 0,03 113,08

0, 41 0, 41

A BA B locales fricción i

A B

L Vh h h k f

D g

m Q sh Q

m mg m

Finalmente, tendremos la expresión de la curva de resistencia del sistema:

2

25

37 113,07s

H Q m Qm

La curva de operación de la bomba, según el enunciado, es:

2

25

149 20bomba

sH Q m Q

m

Graficando ambas expresiones en función de Q, se tendrá el siguiente gráfico:

f:12.36

0 0.5 1 1.5 20

50

100

150

200

Q[m³/s]

H[m]

resistencia del sistema

performance de la bomba

132

0.92

El punto de intersección de ambas curvas es el punto de operación. Que también se puede obtener numéricamente igualando ambas expresiones:

2 22 2

5 537 113,08 149 20

s sm Q m Q

m m

Finalmente, despejando Q, se obtiene:

3

2

5

149 370,92

113,08 20

m m mQ

s sm

Y, reemplazando Q en cualquiera de las dos funciones, se obtiene:

( ) 132H Q m

12.6.2 Funcionamiento de bombas en paralelo y en serie

Si una bomba provee la carga necesaria pero caudal insuficiente, una solución posible es combinar dos bombas similares en paralelo, compartiendo la misma succión y descarga. Un arreglo en paralelo también se utiliza si la demanda varía, entonces se utiliza una bomba para poco caudal y una segunda bomba se pone en funcionamiento para mayores descargas. Ambas bombas deberían tener válvulas de retención para evitar el retroceso del flujo cuando una esté cerrada. En la figura f:12.37 se esquematiza una instalación de este tipo.

f:12.37


561

bombaA

bombaB

Las dos bombas en paralelo no necesitan ser idénticas. Sus descarga de flujo se sumarán para la misma altura, como se ve en la figura f:12.38. Si la bomba A tiene mayor altura de impulsión que la bomba B, la bomba B no se podrá sumar hasta que la carga de operación sea más baja que la altura de impulsión a caudal cero de la bomba B. Como la curva del sistema varía con Q, la entrega combinada de QA+B será menor que las descargas por separado QA o QB, pero seguramente mayor que cada una.

Para una curva muy plana (estática), dos bombas similares en paralelo entregarán casi el doble del caudal. La potencia combinada se encuentra sumando la potencia de cada bomba A y B a la misma altura que el punto de operación. La eficiencia combinada es igual a:

W

QH D

Donde W es la suma de la potencia individual que cada bomba requiere.

Si las bombas A y B no son idénticas, como se ve en la figura, la bomba B no debería utilizarse y ni siquiera debe ser puesta en marcha si el punto de operación está por encima de la altura de impulsión correspondiente a caudal nulo.

f:12.38

Q[m³/s]


QAQB QA+B

QA QB

bomba A

bomba B

combinadas en paralelo

Si una bomba provee el caudal adecuado pero una carga muy baja, se puede considerar agregar una bomba similar en serie, con la salida de la bomba B alimentando directamente la succión de la bomba A. Como se muestra en la figura f:12.39, el principio físico de sumar en serie es que se suman las alturas para el mismo caudal, y eso dará la curva de performance combinada.

f:12.39 bomba

Abomba

B

Las dos bombas no necesitan ser idénticas, pero sí maneja aproximadamente el mismo caudal; hasta pueden tener distintas velocidades, aunque normalmente se utilizan con la misma configuración.

CAPÍTULO 12

562

La necesidad de un arreglo en serie implica que la resistencia del sistema es muy alta, por ejemplo requiere una altura mayor de la que cualquiera de las dos bombas por separado pueda dar. La altura del punto de operación de las dos bombas será mayor que el de A o B por separado, pero no tanto como su suma. La potencia combinada es la suma de la potencia al freno de A y de B en el punto de operación. La eficiencia combinada es similar a la de bombas en paralelo.

W

QH D

g12.40

H[m]

Q[m³/s]


QAQB QA+B

HA

HB

combinadas en series

bomba A

bomba B

En lugar de colocar varias bombas en serie, se puede utilizar una bomba multietapa. Básicamente todos los impulsores están en un mismo alojamiento, y la salida de una etapa de impulsor da al ojo de la siguiente. Tales bombas pueden crear cargas extremadamente altas.

Ejemplo 12.7

Utilizar dos bombas iguales a la del Ejemplo 12.6 en paralelo para entregar más caudal. ¿Es eficiente la solución adoptada?

Solución

Como las bombas son idénticas, cada una entrega el mismo caudal a la misma velocidad de 1170 RPM. La curva del sistema es la misma, y la altura es igual a:

La curva de operación de la bomba es: 22 2

25 5

149 20 149 52Bomba

s Q sH m m Q

m m

Nuevamente, igualando ambas expresiones, encontraremos el caudal del punto de operación:

2 22 2

5 5

3

2

5

37 113,08 149 5

149 370,974

113,08 5Paralelo

s sm Q m Q

m m

m m mQ

s sm

Y la altura de impulsión la obtenemos de la primer expresión: 22 3

5149 5 0,974 144Bomba

s mH m m

m s

Por lo tanto el caudal que obtenemos es apenas un 6% mayor que el correspondiente a una bomba sola. Concluimos que la solución adoptada es muy poco eficiente. Podemos de este ejemplo sacar una conclusión general: cuando la curva de carga del sistema es muy empinada (por ejemplo cuando la pérdida dominante es


563

la debida a la fricción), la solución de poner las bombas en paralelo a fin de aumentar el caudal es poco eficiente. En cambio si la curva es plana (es decir que la pérdida depende poco del caudal que circula, como es el caso de vencer una altura de elevación geométrica determinada), la solución de poner bombas en paralelo puede ser adecuada.

Ejemplo 12.8

Suponer que la altura de elevación del Ejemplo 12.6, aumenta de 37 a 152 m, mucho mayor que lo que una bomba única de 81 cm de diámetro puede ofrecer. Investigue utilizar bombas idénticas en series a 1170 RPM.

Solución

Como las bombas son idénticas, la altura total será el doble, y la constante de 37 m de la resistencia del sistema será reemplazada por 152 m. La curva de operación de la bomba será:

2 22 2

5 5149 20 2 298 40Bomba

s sH m Q m Q

m m

La curva de resistencia del sistema:

2

25

152 113,08s

H Q m Qm

Igualando ambas expresiones, encontraremos el caudal del punto de operación 2 2

2 25 5

152 113,08 298 40s s

m Q m Qm m

Entonces podemos despejar el caudal de las bombas en serie que resulta:

3

2

5

298 1520,977

113,08 40

m mQ

s sm

Reemplazando en la expresión de la altura de impulsión de la bomba o bien en la expresión de la resistencia del sistema obtenemos la altura de impulsión de las bombas en serie que resulta:

260H Q m Es decir que las bombas en serie podrán cumplir con el servicio requerido con un caudal similar al anterior.

En este caso la disposición es efectiva.

12.6.3 Cavitación y ANPA

Debido al sentido de rotación que se le imprime al fluido, la presión en el ojo de la máquina es menor a la presión en la cañería de entrada en la zona no afectada por el movimiento. Si la presión en la máquina desciende por debajo de la presión de vapor del líquido se forman burbujas de vapor que cuando pasan a zonas de mayor presión vuelven al estado líquido, y debido a la gran diferencia en el volumen que ocupan uno y otro, cuando el vapor vuelve a pasar a líquido implota e impacta en las superficies sólidas aledañas produciendo la erosión rápida del material. Este fenómeno se conoce con el nombre de cavitación y fue citado en el capítulo 1. En la figura 041 se observan las consecuencias de la cavitación en el alabe de una turbina Francis.

CAPÍTULO 12

564

g12.41

En la práctica, la cavitación se puede producir en cualquier punto de un circuito hidráulico como en tubos de venturi, huecos, protuberancias, cuerpos sumergidos, vórtices, o en máquinas hidráulicas (bombas o turbinas), propulsores marinos, transitorios en golpe de ariete y cojinetes

En el caso de las bombas a fin de prevenir la ocurrencia de este fenómeno se define lo que se conoce como ANPA de la bomba. El ANPA de la bomba es la “altura neta positiva de aspiración” y podemos decir que representa la energía de presión total disponible del líquido excluido la energía de presión de vapor y medida en metros de columna de líquido en la succión de dicha bomba. Cada bomba tiene un ANPA característico que se conoce como ANPA requerido y es una curva que varía con el caudal y que es suministrada por el fabricante del equipo. Cada instalación a su vez tiene un ANPA característico que se conoce como ANPA disponible. La condición de diseño seguro requiere que el ANPA disponible sea mayor que el ANPA requerido.

Para clarificar lo dicho observemos la instalación que se esquematiza en la figura f:12.402.

f:12.40

Q

zB

zzAD=cte

D=cte

Q

eje referencia

brida de impulsión

brida de aspiración

A

B

impulsión

Apliquemos la ecuación de energía a un volumen de control tal como el que se muestra en dicha figura.

SCVC

eje AdV. .p

z.gV2

1+u+.d .e

t WQ

2

Como el volumen de control no incluye a la bomba, el flujo es permanente, incompresible y no hay intercambio de calor la anterior puede rescribirse:

02

SCAdV.

pz.gV

2

1+u

Como sólo existe flujo a través de las superficies A y B y todas las variables son constantes en dicha sección y trabajando con presiones absolutas, desarrollaremos la expresión anterior para dichas secciones:


565

2

2B

BBB

AAatm V

uzgp

uzgp

Si dividimos la anterior miembro a miembro por g, y despejamos la pB/ (expresada en metros de columna de líquido) resulta:

g2

VHzz

pp 2B

pérdidasABatmB

ec:12.44

A la entrada de la bomba hay una caída de presión que normalmente se relaciona con la velocidad absoluta y relativa en el rodete, según expresiones experimentales, del tipo:

g

V

g

Vp BrelBB

22

2

3

2

1 ec:12.45

Ahora bien, la presión mínima en la entrada de los álabes deberá ser la presión de vapor, entonces tenemos:

BBV ppp ec:12.46

Reemplazando la expresión ec:12.44 y ec:12.45 en ec:12.46 y dividiendo esta última por el peso específico resulta:

g2

V

g2

V

g2

VHzz

pp 2B

3

2relB

1

2B

pérdidasABatmV ec:12.47

Reagrupando términos:

g2

V1

g2

VpHzz

p 2B

3

2relB

1V

pérdidasABatm

Haciendo 3 21 :

g2

V

g2

VpHzz

p 2B

2

2relB

1V

pérdidasABatm

función del circuito función de la geometría

ANPAdisponible ANPArequerido

ec:12.48

El ANPA disponible es función de la instalación e independiente del tipo de bomba.

El ANPA requerido es un dato característico de cada tipo de bomba, variable según modelo, tamaño y condiciones de servicio, y es un dato a facilitar por el fabricante. La curva tiene una función de la forma:

CAPÍTULO 12

566

f:12.41 ANPAreq[m]

Q[m³/s]

ANPAreq=f(Q²)

Entonces como ya dijimos la condición de diseño debe cumplir con la condición:

reqdisp ANPAANPA

Si no se verifica lo anterior, caben hacer dos cosas: o aumentar el ANPA disponible o disminuir el ANPA requerido, y como vimos anteriormente, el ANPA disponible está íntimamente relacionada con la instalación y el requerido con la bomba.

Por ejemplo, para aumentar el ANPA disponible se podría:

aumentar la altura de la reserva de líquido

aumentar la presión absoluta a la entrada presurizando el tanque

disminuir la temperatura del fluido, para aumentar la presión de vapor

disminuir las pérdidas por fricción en la cañería de aspiración (aumentando el diámetro de la misma, o disminuyendo los accesorios, disminuyendo la longitud de la cañería de aspiración, etc.)

Para disminuir el ANPA requerido, se podría:

aumentar la boca de la entrada del impulsor

utilizar una bomba con velocidad de aspiración más baja y el diámetro del impulsor más grande

utilizar una bomba con un impulsor de aspiración doble

utilizar una bomba de refuerzo, en serie

utilizar varias bombas de menor caudal en paralelo

Algunas advertencias sencillas a fin de minimizar los problemas de cavitación en instalaciones simples son:

Siempre que sea posible es preferible que la altura del depósito de succión esté por encima del nivel de la bomba. En este caso generalmente no habrá problemas de ANPA a temperaturas ambientes cuando se bombea agua.

A medida que la temperatura del líquido aumenta se incrementa la presión de vapor y el ANPA disponible disminuye (caso del agua caliente).

Se debe prestar mucha atención a la altitud del lugar donde se instalará la bomba porque a medida que se asciende la presión atmosférica disminuye y por lo tanto disminuye el ANPA disponible.

Ejemplo 12.9

En la figura se muestra parte de la instalación de una industria, a realizarse en la ciudad de Jáchal, en la provincia de San Juan, donde la presión atmosférica es 879,7 HPa, por donde circularán 40 m³/h de agua a 90ºC, con una pérdida en la cañería de aspiración de la bomba de 0,4m. Calcular el ANPA disponible y evaluar el riesgo de cavitación, siendo el ANPA requerido por el fabricante de la bomba de 6 m.

Bomba

2 m

A

B

atm

Caldera


567

Solución

De acuerdo a la ecuación ec:12.48 el ANPA disponible se calcula como:

2 2

3 3

90º

90º 90º

87970 682000 2 0,4 3,69

965,3 9,81 965,3 9,81

atm Vdisp B A pérdidas

N Nm m

disp N Nm m

p pANPA z z h

ANPA m m m

Es decir que el ANPA disponible es menor que el ANPA requerido y por lo tanto el riesgo de cavitación es muy alto.

Ejemplo 12.10

Con los datos indicados, obtenga el caudal máximo que puede circular por la bomba sin que exista cavitación.

diámetro de la tubería: 0.25m; coeficiente de fricción: f=0,016; coeficiente de pérdidas en el filtro:2,1; coeficiente de perdidas en el codo: 0,2; ANPA requerido de la bomba= 0,4m + 6s2m-5 Q2; presión de vapor del agua a 50ºC: 4297 Pa; presión atmosférica: 101300 Pa; peso específico del agua a 30ºC: 9764 N/m³

2m

Bomba3 m

5m

filtro

codo

A

B

Solución

Para obtener dicho caudal, igualaremos el ANPA requerido con el ANPA disponible. Según la ecuación ec:12.48

VpérdidasAB

atmdisp

pHzz

pANPA

Y el fabricante indica que el ANPA requerido es:

25

2

req Qm

s6m4,0ANPA

Las pérdidas en el sistema las calculamos mediante:

2

2

2 4

2 22

2 4 5

8

8 82,1 0,2 0,016 59,5

0,25 9,81 0,25

A BA B localizadas fricción i

A B ms

L Qh h h k f

D g D

m Q sh Q

m m

Reemplazando los datos del problema y la pérdida calculada en la expresión del ANPA disponible:

2 2

3 3

2 22 2

5 5

101300 42972 59,5 7,93 59,5

9764 9764

N Nm m

disp N Nm m

s sANPA m Q m Q

m m

Igualando las expresiones del ANPA disponible y del ANPA requerido resulta:

CAPÍTULO 12

568

2 22 2

5 5

22

5

3

22

5

7,93 59,5 0,4 6

7,53 65,5

7,530,34

65,5

s sm Q m Q

m m

sm Q

m

m mQ

s sQ

m

Referencias bibliográficas: POTTER, MERLE; WIGGERT, DAVID. Mecánica de fluidos. 2a.ed. México: Prentice Hall, 1988. 776 p. JOSÉ M. TARJUELO MARTÍN, BENITO. El riego por aspersión y su tecnología. Madrid: Mundi-Prensa, 2005. 581 p. WHITE, FRANK. Fluid mechanics. 5a. ed. New York: McGraw-Hill, 2003.

ADDISON, HERBERT. Centrifugal and other Rotodynamic Pumps. London: Chapman & Hall, 1966. 565 p.

MATHAIX, CLAUDIO. Mecánica de fluidos y turbomáquinas hidráulicas. 2a. ed. México: Oxford University Press, 1982. 660 p.

HICKS, TYLER G.; THEODORE W. EDWARDS. Pump Application Engineering. McGraw-Hill Book Company, 1971. TURBOMÁQUINAS, LECCIÓN 6. España, Universidad de Oviedo.

Referencias audiovisuales: INSTITUTE OF HYDRAULIC RESEARCH. Form, drag, lift and propulsion. Iowa, University of Iowa Productions.

CHESTERTON. Características hidráulicas de las bombas centrífugas. Boston, A. W. Chesterton Co, 1990.

CHESTERTON. Cavitación y NPSH. Boston, Chesterton Co, 1991.

12.7 Problemas propuestos

1. En la tabla se muestran valores de una curva de altura de impulsión versus caudal de una bomba operando a una velocidad de 3600 RPM. Desarrollar una nueva curva para la bomba, pero operando a una velocidad de 3000 RPM. Graficar ambas curvas e indicar en el gráfico cuales son las alturas para un caudal de 1,5 m³/s para la bomba operando a 3600 y a 3000RPM.

respuesta: H3600=18,3m, H3000=11,6m

Q1 [m³/s] H1 [m]

0,00 21,03

0,38 20,88

0,76 20,42

1,14 19,51

1,51 18,29

1,89 15,85

2,27 11,28


569

2. Una instalación de bombeo de agua tiene las características mostradas en la figura. La bomba está operando con un caudal de 3,03 m3/min, una altura de impulsión de 72,85 m y una potencia de 59,7 kW. La bomba está sobredimensionada y una válvula de control impone una caída de presión de 215,12 kPa para mantener el flujo a 3,03 m3/min. Para reducir el consumo de potencia, el diámetro del impulsor se cambiará de tal modo que la caída de presión a través de la válvula de control se reduzca a 68,95 kPa. Encontrar la relación de diámetros y velocidades requeridos para alcanzar la nueva condición manteniendo la homología. Si el diámetro del impulsor existente es de 0,38m, determinar el nuevo diámetro del impulsor y la nueva potencia requerida.

respuesta: D2/D1=1,034; N2/N1=0,906; D2=0,393m; 2W =52,52 kW

altura de bombeo y potencia versus capacidadpara D=0,38 m

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

Q [m3/min]

H [

m]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

W [

kW]

3. En la figura, se observan las curvas de performance del modelo 4008 de una bomba de la industria Taco. En función de la bomba de 191 mm de diámetro de la figura, se quiere aumentar su tamaño, de tal manera que en el punto de rendimiento óptimo, la bomba entregue una altura de impulsión de 26 m y 0,065 m³/s. Determinar: a) el diámetro del impulsor, b) la velocidad en RPM, c) la potencia requerida.

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,066

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Q[m³/s]

H[m]

custom unit, model 4008, N=1760 RPM213mm

203mm

191mm

178mm

65%

70%

75%

78%

82%83%

84%83%82%80%78%75%70%65%60%50%40%

15BHP

10BHP

7,5BHP5BHP

Fuente: http://www.taco-hvac.com/en/library.html, consultado 23/02/2010

respuesta: a) D2=221mm, b) N2=1989 RPM, c) 2W =20,2kW

4. Se ha ensayado una bomba con un impulsor de 371 mm de diámetro y que gira a N=2134 RPM, arrojando los siguientes resultados:

Q [m3/s] 0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 0,32

CAPÍTULO 12

570

H [m] 103,8 103,7 102,9 103,0 101,2 96,0 86,75 67,0 35,0

P [kW] 100,7 112,5 127,7 144,6 178,5 223,4 292,4 370,1 549,4

Determinar: a) el punto de rendimiento óptimo, b) la velocidad específica y c) la máxima descarga (caudal) posible aproximada.

respuesta: a)Q≈0,16 m³/s , b)Ns=27RPM, c) Qmax≈0,34 m³/s

5. Utilizando el mismo impulsor del problema 4, aplicar las leyes adimensionales y determinar: a) la velocidad de rotación para la cual la altura que desarrolla la bomba a caudal nulo sea 85 m, b) la velocidad de rotación para la cual el caudal de descarga en el punto óptimo es 0,23 m³/s y c) la velocidad de rotación para que el punto de rendimiento óptimo requiera 60 kW.

respuesta: a) N2 = 1931 RPM, b) N2 =3068 RPM, c) N2 = 1484 RPM

6. Una bomba de la misma familia del problema 4 se fabricará con un diámetro de 457 mm y la potencia del punto de rendimiento óptimo en este impulsor es de 186,42 kW bombeando gasolina (r=0,68). Utilizando los coeficientes adimensionales de las turbomáquinas, estimar: a) la velocidad de giro en RPM, b) El caudal de descarga en el punto de rendimiento óptimo, c) altura de impulsión que desarrolla la bomba a caudal nulo.

respuesta: a) N2= 1739 RPM, b) Q2=0,24 m³/s, c) H2=104,64 m

7. Una bomba centrífuga transporta 0,009 m³/s de agua. Gira a una velocidad de 1750 RPM. La potencia requerida para mover la bomba es de 3729 W y la eficiencia es 70%. Cuál es la velocidad específica?

respuesta: Ns=13 RPM

8. Se desea bombear agua a 15°C con un caudal de 1 m3/s y con una altura de impulsión de 6 metros. Si la bomba funcionará a 750 RPM ¿Qué tipo de bomba centrífuga es la más adecuada?

respuesta: Ns = 196 RPM ; Bomba de flujo axial

9. En la figura se esquematiza una turbina radial ideal. La velocidad absoluta del flujo a la entrada tiene una dirección de 30º y a la salida es radial. El caudal de agua a 20°C es de 3,5 m³/s. El ancho de los álabes es constante y de 10 cm. Calcular la potencia teórica (rendimiento 100%) desarrollada.

respuesta: ejeW =477 kW

N=135 RPM

V230°

V1

R1=0,4m

R2=0,7m

10. En la figura se esquematiza una turbina radial ideal. La

velocidad absoluta del flujo a la entrada tiene una dirección de 25º y la velocidad relativa es tangente al álabe como se muestra. El caudal de agua a 20ºC es de 8 m³/s. El ancho de los álabes es constante y de 20 cm. Calcular la potencia teórica desarrollada con un rendimiento del 100%.

respuesta: ejeW =801 kW

25°

35° Vrel 2

Vrel 1

V2

R1=0,8m

R2=1,2m30°

N=80 RPM


571

11. En la figura se muestra una turbina de reacción que opera a 200 RPM. El diámetro en el ingreso al rodete y en la descarga de los álabes directores es de 3,5m y el ancho de los mismos b=1m. El flujo abandona el rodete en la dirección axial. Se desea conocer: a) ¿a qué ángulo deberán colocarse los álabes directores de la turbina para obtener 9 MW de un caudal de 25 m³/s? y b) ¿cuánto vale la altura de carga sobre la turbina si se desprecian las pérdidas?

respuesta: 2=13,03º, H=36,71m

N=200 RPM

V22

V1

D=3,5m 12. Una turbina de agua rota con una velocidad de 100 RPM

cuando escurre un caudal de 0,28 m³/s. Los radios de salida y entrada son respectivamente R1 = 0,25m y R2 = 0,5m. El ángulo del álabe estacionario en el ingreso del agua es 2=20º. ¿Cuál debería ser la velocidad absoluta en el ingreso V2 para la condición de diseño (velocidad relativa tangente al álabe). El ancho de los álabes es constante y de 3,7 cm.

respuesta: V2 =7,05m/s

1

2=20º

Vrel 2

V2

R1=0,25m

R2=0,5m

N=100 RPM

2=60º

13. Si en el problema anterior el ángulo de la velocidad relativa al egreso es 1=60º, determine el momento y la potencia en el eje desarrollados.

respuesta: Mz=940,8 Nm; ejeW =9,85 kW

14. El álabe mostrado rota a 125 RPM a 1 m del eje de rotación. El caudal sale de la boquilla de 30 cm de diámetro es de 2 m³/s. La dirección de la velocidad absoluta de entrada forma un ángulo de 60° como se muestra en la figura. La velocidad relativa es tangente al álabe en todos sus puntos. Determinar los triángulos de entrada y salida correspondientes.

respuesta: V1=28,29m/s; V2=5,62m/s; Varr=13,09m/s, Vrel1=Vrel2=18,18m/s

2000mm

V1

V2

yx

60°

Varr

D

60°

Turbina de chorro libre

15. Un chorro de agua que sale de una boquilla de 0,1m2 a una velocidad de 20 m/s incide sobre una serie de álabes de un rodete de turbina. El ángulo entre la tobera y el eje de la turbina es de 60°, saliendo el chorro con el mismo ángulo de entrada. Las velocidades absolutas se muestran en el gráfico. La velocidad de rotación de la máquina es constante e igual a 100 RPM. y el diámetro medio de la rueda es de 1m. Determinar: a) la fuerza tangencial (en N); b) el par (en Nm) que produce dicha fuerza sobre el eje de la rueda móvil de la turbina mostrada; c) la potencia desarrollada y d) los ángulos de los álabes.

respuesta: Fx = 53574 N, Mz = 26787 Nm;

ejeW = 280,5 kW, 1 = 40º; 2 = 20º

V1=20m/s

V2

Varr

30°

Fx

(sobre el fluido)

2

1

y

x

Chorro de agua de 0.1m² de sección

30°

CAPÍTULO 12

572

16. Para el sistema mostrado en la figura las pérdidas por fricción y localizadas en la línea de succión son de 1,5 m del fluido bombeado. Para la línea de descarga, las pérdidas por fricción y localizadas son de 3 m. La densidad relativa del líquido bombeado es de 1,2. Para el sistema determinar:

a) altura total de impulsión de la bomba

b) presión absoluta en el punto A si la velocidad en la cañería de succión es de 1,5 m/s.

respuesta: Hbomba = 31,08 m ; pA=469,76HPa

6 m

1

2

Bomba3 m

p2 = 207 kPa

A B

p1 =patm

17. Para el sistema mostrado en la figura las pérdidas por fricción y localizadas son de 3 m del fluido bombeado, la densidad relativa del líquido bombeado es de 0,95. Determinar la altura de impulsión de la bomba, en m de líquido bombeado.

respuesta: HB=16,27m

6 m

1

2

Bomba

3 m

p1rel = -508mmHg (vacío)

18. Se bombea agua entre dos depósitos a través de una tubería con las siguientes características: D = 300 mm, L = 70m, f = 0,025, K = 2,5. La curva característica de la bomba de flujo radial se aproxima con la fórmula: H = 22,9m+10,7·s·m-2·Q - 111·s2m-5·Q². Determine el caudal Q y la altura de impulsión de la bomba H para las siguientes situaciones: a) z2 - z1 = 15 m con una bomba funcionando; b) z2 - z1 = 15 m con dos bombas idénticas operando en paralelo; c) z2 - z1 = 25 m con dos bombas idénticas operando en serie

respuesta: a) Q = 0,23 m³/s; H = 19,5m, b) Q = 0,29 m³/s; H = 22,2m; c) Q = 0,30 m³/s; H = 32,7m

19. Un sistema tiene una curva de resistencia que viene dada por: H = 30m+4000·s2m-5·Q2. Se dispone hasta dos bombas de curva H(Q) = 18m+643·s2m-5·Q2. Determinar la disposición de instalación adecuada, y los valores de caudal y altura de impulsión de dicha disposición.

respuesta: dos bombas en serie; Q = 0,034 m³/s ; H = 34,54 m

Hidraulica Capítulo 12 -Turbomáquinas - Version 01

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