Hidrulica General Hidrosttica Presentacin general sobre los tratados de hidrosttica, de acuerdo al temario, para el curso propedutico para ingresar a la Maestra en Ingeniera Civil en la ESIA - Zacatenco Alejandro Paladio y Kenna Robles 27 de Agosto de 2012

Contenido HIDROSTTICA ........................................................................................................................ 3

Ecuaciones fundamentales ..................................................................................................... 3

Principio de Arqumedes ........................................................................................................ 5

Principio de Pascal y la Prensa Hidrulica. ............................................................................. 6

Principio de Pascal .............................................................................................................. 6

Prensa hidrulica ................................................................................................................ 7

Medicin de presiones. .......................................................................................................... 8

Presin atmosfrica ............................................................................................................ 8

Presin absoluta ................................................................................................................. 8

Presin relativa ................................................................................................................... 9

Manomtrica ...................................................................................................................... 9

Empuje hidrosttico sobre superficies planas ........................................................................ 9

Empuje hidrosttico sobre superficies curvas. ..................................................................... 13

HIDROSTTICA

Introduccin y conceptos bsicos.

La esttica de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y

cuando se trata solo de lquidos, se denomina hidrosttica. Desde el punto de vista de

ingeniera civil, es ms importante el estudio de los lquidos en reposo que de los gases,

por lo cual, como he visto antes, se har mayor hincapi en los lquidos, particularmente

en el agua.

Ecuaciones fundamentales

Ecuacin de Euler

Se considera idealmente un elemento de fluido en forma prismtica que encierra al punto

P, donde la densidad es y la presin p (Fig. 2.1). Habindose elegido un sistema de

coordenadas con el eje z vertical, conviene orientar los lados de la partcula segn los ejes

del sistema, de tal manera que la presin se incremente en magnitudes diferenciales y

genere las fuerzas indicadas en la siguiente figura.

Si la fuerza de cuerpo por unidad de masa de la partcula es el equilibrio de las fuerzas en

la direccin x implica que

(

) (

)

Al simplificar y hacer idnticos razonamientos en las restantes direcciones coordenadas,

se obtiene el sistema de ecuaciones

Conocidas como las ecuaciones estticas de Euler. Si se considera que la nica fuerza de cuerpo es la debida al campo gravitacional terrestre, sus componentes son:

X = Y = 0, Z = g, Y de las ecuaciones anteriores se tiene:

As se concluye que la presin dentro de un fluido en reposo vara solamente con la

coordenada vertical Z, y es constante en todos los puntos contenidos en un mismo plano

horizontal. De las ecuaciones anteriores se deduce finalmente que

En general, la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos, que es la anterior, no se

puede integrar a menos que se especifique la naturaleza de . En la determinacin de la

presin se trata entonces por separado a los gases y a los lquidos.

Principio de Arqumedes

En el caso de un cuerpo slido cualquiera flotando en un lquido existe un estado de

equilibrio debido a que el lquido ejerce sobre el cuerpo una presin ascendente de igual

magnitud que el peso propio del cuerpo.

En efecto, se observa que las componentes horizontales de las fuerzas de presin

hidrosttica se eliminan sin existir resultante horizontal alguna. Slo existe la componente

vertical Pz la que se determina del equilibrio del cilindro vertical de seccin transversal

horizontal dAz. Limitado por la superficie A que encierra al cuerpo. Sobre el punto 1 acta

la fuerza elemental padAz; y sobre el punto 2 la fuerza elemental (pa + z) dAz. La

resultante de las fuerzas verticales ascendentes es:

( )

La integral es igual al volumen s de la parte del cuerpo en flotacin que se encuentra

debajo de la superficie libre del lquido; esto es:

La ecuacin es la interpretacin matemtica del conocido principio de Arqumedes: "Todo

cuerpo sumergido en un lquido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso

del volumen de lquido desalojado." El punto de aplicacin de dicho empuje coincide con

el centro de gravedad del volumen desalojado y se conoce con el nombre de centro de

flotacin o de carena.

Principio de Pascal y la Prensa Hidrulica.

Principio de Pascal

El principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el fsico y matemtico

francs Blaise Pascal, que se resume en la frase: La presin ejercida por un fluido

incompresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se

transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido.

En el caso de un lquido ( = constante), es posible integrar la siguiente ecuacin:

La Ecuacin anterior, se conoce como ley de Pascal y permite calcular la distribucin de

presiones hidrostticas en el seno de un lquido en reposo. Esa presin depende

exclusivamente de la coordenada z, es decir, de la altura de cada punto respecto de un

nivel cualquiera elegido.

Para dos puntos: el 0 coincidiendo con la superficie libre del lquido y otro cualquiera de

elevacin z, resulta:

La presin absoluta en el punto considerado es:

( )

Donde pa representa la presin atmosfrica sobre la superficie libre del lquido y (z0-z) la

profundidad del punto considerado. En la ecuacin anterior p corresponde a la presin

absoluta del punto de que se trata y se mide a partir del cero absoluto de presiones. La

presin atmosfrica local depende de la elevacin sobre el nivel del mar del lugar en que

se encuentra el lquido.

Es ms comn medir la presin hidrosttica utilizando como valor cero de referencia a la

atmosfrica local. La presin as medida se llama manomtrica y las unidades ms usuales

son kg/cm2 o bien kg/m2

Prensa hidrulica

Una prensa hidrulica es un mecanismo conformado por vasos comunicantes impulsados

por pistones de diferente rea que, mediante pequeas fuerzas, permite obtener otras

mayores. Los pistones son llamados pistones de agua, ya que son hidrulicos. Estos hacen

funcionar conjuntamente a las prensas hidrulicas por medio de motores.

Medicin de presiones.

Se han utilizado varios dispositivos para la medicin de las presiones producidas por un

lquido en reposo con base en la Ecuacin ( ), llamados comnmente

manmetros.

Presin atmosfrica

La presin atmosfrica es la presin que ejerce el aire sobre la Tierra.

Por considerarlo de inters en ingeniera, aqu slo se analizar el caso de las propiedades

estticas del aire atmosfrico prximo a la superficie terrestre (troposfera, cuyo espesor

aproximado es de 11000 m). Siendo el aire un fluido compresible, su densidad es funcin

de la presin y la temperatura; y, puesto que es un gas perfecto, la ecuacin de estado

relaciona la densidad con la presin y la temperatura, y queda de la siguiente manera:

Si sustituimos esta ecuacin, en la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos,

tenemos que:

(

)

La Ecuacin anterior, que se conoce como ecuacin de la aerosttica, permite determinar

la variacin de presiones dentro de un fluido compresible en reposo si se conoce la

temperatura como una funcin de z.

De acuerdo con mediciones realizadas en la troposfera se ha encontrado que la variacin

de la temperatura (en K) es lineal con la altura z.

Presin absoluta

La presin absoluta es la presin atmosfrica ms la presin manomtrica

La presin absoluta en el punto considerado es

( )

Donde pa representa la presin atmosfrica sobre la superficie libre del lquido y (z0z) la

profundidad del punto considerado. En la Ecuacin anterior, p corresponde a la presin

absoluta del punto de que se trata y se mide a partir del cero absoluto de presiones. La

presin atmosfrica local depende de la elevacin sobre el nivel del mar del lugar en que

se encuentra el fluido.

Presin relativa

La presin relativa es la determinada por un elemento que mide la diferencia entre la

presin absoluta y la atmosfrica del lugar donde se efecta la medicin. Hay que sealar

que al aumentar o disminuir la presin atmosfrica, disminuye o aumenta

respectivamente la presin leda, si bien ello es despreciable al medir presiones elevadas.

Manomtrica

Se llama presin manomtrica a la diferencia entre la presin absoluta o real y la presin

atmosfrica. Se aplica tan solo en aquellos casos en los que la presin es superior a la

presin atmosfrica, pues cuando esta cantidad es negativa se llama presin de vaco.

Empuje hidrosttico sobre superficies planas

Se considera un recipiente con un lquido en reposo, donde una de sus paredes tiene una

inclinacin respecto a la horizontal, como se indica en la siguiente figura.

Sobre esta pared se delimita una superficie de rea A para la cual se desea conocer la

fuerza resultante debida a la presin hidrosttica, as como su punto de aplicacin o

centro de presiones. La fuerza resultante sobre la superficie A ser:

Es decir, el volumen de la cua de distribucin de presiones abcd est limitada por el rea

A. La integral que aparece en la Ecuacin anterior, es el momento esttico del rea

respecto de la superficie libre del lquido y se puede expresar en trminos del rea A y de

la profundidad de su centro de gravedad zG. El empuje hidrosttico es entonces:

Las coordenadas (xk, yk) del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de

los momentos estticos de las reas diferenciales respecto de los ejes x y y, con el

producido por la fuerza resultante. Para el eje x tenemos que:

Donde la integral representa el momento esttico del volumen de la cua de presiones

respecto del eje x. De aqu se deduce que yk coincide con la ordenada de la proyeccin K

del centro de gravedad S, de la cua.

Se puede dar tambin una interpretacin distinta y para ello se substituye z = y sen en la

ecuacin anterior:

Donde la integral es el momento de inercia del rea A respecto del eje x el cual tambin:

En que es el momento de inercia del rea respecto de un eje centroidal paralelo a x;

puede tambin expresarse como , donde , es el radio de giro de A respecto del

eje centroidal paralelo a x. Por tanto, si se substituye en la ecuacin en

, con zG=yG sen , resulta:

Obsrvese que el centro de presiones se encuentra por debajo del centro de gravedad del

rea. Aunque tiene importancia secundaria, se puede calcular en forma anloga a xk:

La integral de esta ecuacin representa el producto de inercia del rea respecto del

sistema de ejes x-y; por tanto:

Generalmente, las superficies sobre las que se desea calcular el empuje hidrosttico son

simtricas respecto de un eje paralelo a y. Esto hace que y que el centro de

presiones quede sobre dicho eje.

Empuje hidrosttico sobre superficies curvas.

Cuando es curva la superficie sobre la que se ejerce presin hidrosttica, esta se puede

proyectar sobre un sistema tri-ortogonal de planos coordenados, convenientemente

dispuesto, de manera que uno de ellos coincida con la superficie libre del lquido. As, se

procede a calcular el empuje hidrosttico por separado sobre cada proyeccin.

Si los planos de las coordenadas x-z y y-z son verticales y el x-y coincide con la superficie

del lquido, las componentes del empuje hidrosttico sobre la superficie curva 1, 2, 3, 4,

son:

( )

( )

Donde Ax, Ay, Az, son las reas de las proyecciones de la superficie sobre los tres planos

de coordenadas; (zG)x (zG)y la profundidad del centro de gravedad de dichas proyecciones y

zG la profundidad del. centro de gravedad de la superficie curva en el espacio. La Ec.

indica que Pz es igual al peso de la columna de lquido soportada por la

superficie curva, y zG la altura de dicha columna coincidente con su centro de gravedad.

En la misma forma, las coordenadas del centro de presiones sobre cada proyeccin de la

superficie curva son:

Para la proyeccin Ax:

( )

( )

( )

Para la proyeccin Ay:

( )

( )

( )

Donde

momento de inercia de Ax respecto de y.

producto de inercia de Az respecto de y y z.

momento de inercia de Ay respecto de x.

producto de inercia de Ay respecto de x y z.

Como sucede en cualquier sistema de fuerzas en el espacio, no siempre es posible obtener

una fuerza resultante nica sino que adems puede haber un par.

Al proyectar la superficie curva sobre los tres planos de coordenadas puede suceder que

algunas partes de ella se superpongan, partes que se suprimen en la determinacin de Px

o Py, ya que se eliminan las presiones horizontales que resultan. Este es el caso de la

proyeccin de la superficie curva ABC de la siguiente figura, sobre el plano yz, ya que

resulta como proyeccin la superficie A'C'.

En el caso de la figura siguiente, la componente Pz del empuje hidrosttico sobre la

superficie AB, segn la Ec. es Igual al peso del volumen

imaginario de liquido que soportara la propia superficie.