Hidrostatica Teoria (2)

7/27/2019 Hidrostatica Teoria (2)

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MECANICA DE FLUIDOS-HIDROSTATICA

INTRODUCCION

En el presente capitulo nos abocamos al estudio de

las propiedades de los fluidos (lquidos y gases) enreposo y en movimiento. Describiremos la

densidad y la presin de los fluidos que nos llevan

a la nocin de flotabilidad. Dado que el

movimiento interno de los fluidos es muy

complicado, nos limitaremos a las

consecuencias de la conservacin de masa y

energa para fluidos en movimiento

1. FLUIDOS

Se denominan fluidos a aquellas sustancias entre

cuyas molculas las fuerzas de cohesin

intermolecular son muy dbiles o no existen, por

lo cual dichas molculas se pueden deslizar unas

sobre otras y desplazarse con relativa

independencia como en el caso de los lquidos o

moverse a grandes velocidades generando fuerzas

de repulsin entre molculas como en el caso de

los gases. A diferencia de los slidos, los fluidos no

son capaces de sostener esfuerzos cortantes de all

que no ofrecen resistencia a los cambios de formay suelen gotear o escurrirse a travs de orificios o

conductos; en particular los gases se filtran por

pequeos poros o se difunden en los slidos.

Como el fluido es completamente deformable,

toma la forma de su recipiente. Este ejerce una

fuerza sobre l, que debe ser normal a la

superficie, porque cualquier componente

tangencial ejercera una fuerza cortante sobre el

fluido y este respondera deformndose hasta que

desapareciera la fuerza de corte. Los lquidos

presentan superficie "libre" (en contacto con la

atmsfera) gracias a la cohesin intermolecular y

el peso del lquido en tanto que los gases ocupan

todo el volumen del recipiente que los contiene.

La mecnica de los fluidos comprende la

Hidrosttica o estudio de las propiedadesmecnicas de los fluidos en reposo y la

Hidrodinmica, el estudio de los lquidos enmovimiento. Una parte de la hidrodinmica que

estudia el aire en movimiento se llama

aerodinmica.

2. FLUIDOS EN EQUILIBRIO

La condicin necesaria para que un fluido se

encuentre en equilibrio es que sus fronteras soloexperimenten fuerzas normales. Es decir un fluido

en equilibrio se encuentra bajo la accin de

tensiones normales nicamente. Cualquier

esfuerzo cortante o tangencial producir el

deslizamiento del fluido sobre sus fronteras y ste

entonces, fluir.

Fig.1. fuerzas sobre la superficie de un lquido.

3. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Debido a sus propiedades especiales los fluidos se

estudian en trminos de densidad,

compresibilidad, presin y volumen en lugar de

fuerzas y dimensiones lineales como se

acostumbra en el estudio de cuerpos rgidos opartculas.

Compresibilidad. Un lquido perfecto esincompresible, pero un lquido real si es

compresible pero en un grado muy pequeo en

comparacin con los gases que si son muy

compresibles.

Densidad (): es la masa por cada unidad devolumen de una sustancia. En S.I., se expresa en

kg/m3.

=dm

dV(1)

La densidad es constante en todo el volumen de

una sustancia incompresible, lo cual es

aproximadamente cierto en los lquidos bajo

ciertas condiciones restringidas. En cambio la

densidad disminuye con la altura en la atmsfera que

es un buen ejemplo de fluido compresible. Sinembargo en una regin donde hay pequeas


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2

variaciones de altura la densidad puede

considerarse constante en dicha regin.

Peso especfico (), es el peso de cada unidad devolumen de la sustancia, se expresa en N/m

3.

gdV

g)dm(

dV

dP=== (2)

Se denomina densidad relativa (r) o gravedadespecfica a la densidad de un cuerpo comparado conla densidad de otro (generalmente el agua)

aguadeldensidad

cuerpodeldensidadr = (3)

EJEMPLO 1. Calcular la densidad relativa delacero y del aire si la densidad del agua es de

1000 kg/m3.

densidad del acero: 7800 kg/m3

densidad del aire: 1,3 kg/m3

densidad relativa del acero: 7,8

densidad relativa del aire: 0,0013

La densidad relativa tiene el mismo valor en

cualquier sistema de unidades que se emplee.

TABLA 1.Densidad relativa de algunassustancias.

Sustancia Densidad relativa

Acero 7,8

Aluminio 2,7

Bronce 8,6Cobre 8,9

Hielo 0,92

Hierro 7,8

Oro 19,3

Plata 10,5

Platino 21,4

Plomo 11,3

Agua (a 4C) 1,0

Agua de mar 1,025

Alcohol etlico 0,81

Benceno 0,90Glicerina 1,26

Mercurio 13,6

Aire 1,293x10-3

Helio 0,179x10-3

Oxigeno 1,43x10-3

PRESION (P). La presin media P, en cualquiersuperficie de rea S, se define como la fuerza

perpendicular por unidad de rea.

P=F

S(4)

es la magnitud de la fuerza que ejerce el fluido por

unidad de superficie. La presin es un escalar y su

valor es independiente de la orientacin de la

superficie.

Consideremos como indica la Fig. (2) un elemento

de superficie S y actuando sobre l una fuerzaF. Por definicin se tiene:

P limF

S

dF

dSS=

=

0

(5)

Unidades de presin y equivalencias

1 Pascal (Pa) = 1N/m2 (S.I.)

Unidades prcticas de uso generalizado:

1) atmsfera (atm) = 1,013x105 Pa2) torr = 1 mmHg = 133 Pa3) 1mm H2O = 9,8 Pa 10 Pa

Fig. 2. Presin fuerza distribuida.

Si se conoce el valor de la presin en cada punto

de una superficie es posible hallar la fuerza que

ejerce el fluido sobre dicha superficie con la

siguiente expresin:

dF=P.dS (6)


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3

La fuerza dF es siempre perpendicular a la

superficie dS. Sin embargo esta fuerza es

equilibrada por su reaccin dF' que tambin acta

sobre el mismo elemento de superficie.

EJEMPLO 2. Sabiendo que la densidad del airea nivel del mar es 1,3 kg/m3 encuentre el peso delaire contenido en el saln de clase cuyas

dimensiones son: 8m x 5m x 3m.

Solucin Calculando la masa y el peso del aire devolumen V = 8m x5mx3m = 120 m

3

Masa m = V = 1,3 (853) = 156 kgPeso W = mg = 156(9,8) = 1528,8 N

Luego en el aula existe tanta masa de aire

aproximadamente igual a la de dos personas.

4. PRINCIPIO DE PASCAL

Las propiedades bsicas que caracterizan a un

fluido en equilibrio estn descritas de una manera

muy concisa en una ley conocida como "el

principio de Pascal". Tal principio afirma que: "Lapresin ejercida sobre un fluido encerrado estransmitida ntegramente a todos los puntos delfluido y a las paredes del recipiente que locontiene".

Demostramos este principio consideremos eldiagrama del cuerpo libre de la Fig.3 obtenido

al eliminar una pequea cua triangular del

fluido de alguna ubicacin dentro de la masa

de fluido. Si no existen esfuerzos cortantes, las

nicas fuerzas externas que actan sobre la

cua se deben a la presin y al peso. Se

permitir, en este anlisis general, el

movimiento acelerado del elemento de fluido.

Fig.3. Fuerzas sobre un elemento de arbitrario deforma de cua. Adems, para facilitar el anlisis nose muestran las fuerzas en al direccin X.

Las ecuaciones de movimiento en las

direcciones Y y Z son, respectivamente,

y

zyx

sxszxyy

a2

senPPF

=

=

z

zyxzyx

sxsyxzz

a22

cosPPF

=

=

De la Fig.3, tambin se verifica,

= cossy y = sensz

De modo que las ecuaciones de movimiento se

reescriben como

2aPP

y

ysy

=

2)a(PP zzsz

+=

Como interesa lo que sucede en un punto, se

considera el lmite cuando x ,y y z tienden a

cero, manteniendo el ngulo. Se concluye que

Py= Pz= Ps

La expresin anterior confirma analticamente

el Principio de Pascal que expresado de otro

modo dice: la presin en un punto de unfluido en reposo, o en movimiento, esindependiente de la direccin en tanto nohaya esfuerzos cortantes.

Consideremos la Fig.4.

Fig.4. Los lquidos trasmiten la presin.


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4

Segn el principio de Pascal, la presin ejercidapor la fuerza F1 es trasmitida a los dos pistones de

secciones S2 y S3 de modo que: p1 = p2 = p3 o bien:

2

3

2

2

1

1

S

F

S

F

S

F== (7)

La fuerza en el pistn 2 est dada por:

1

1

2

2 FS

SF

= (8)

Se observa que si S2 es por ejemplo 10 veces

mayor que S1, se obtendr para F2 una fuerza igual

a 10 veces la fuerza F1. Por tanto un dispositivo de

esta naturaleza permite multiplicar la fuerza. Las

mquinas hidrulicas de amplio uso en la industria

pesada tienen su fundamento en el principio dePascal.

EJEMPLO 3.En una estacin de servicio deautomviles el sistema de elevacin usa aire

comprimido que ejerce una presin sobre un

pistn pequeo de radio 2 cm. La presin se trasmite

al pistn grande de 10 cm de radio. Qu fuerza

deber ejercer el aire comprimido para elevar un

automvil con un peso de 12kN?

Fig.4. Multiplicando la fuerza.

Solucin Para el pistn grande: S2 = (10)2

cm2

y la fuerza es: F2 = 12kN. Para el pistn pequeo:

S1

= (2)2 cm2 y se determinar la fuerza F1

.

Por el principio de Pascal: la presin en el pistn 1

es igual a la presin en el pistn 2:

F1 = F2 N480)10(

)2(12000

S

S2

2

2

1 =

=

5. VARIACION DE LA PRESION CON LAPROFUNDIDAD

A la profundidad "y" de un lquido en reposo, de

densidad consideremos un elemento de volumendV (pequea porcin lquida) de masa dm en

forma de una placa rectangular de rea S y

espesor dy; Fig. 6

Fig.6. La presin aumenta con la profundidad.

Como el fluido se encuentra en equilibrio, lasuma de las fuerzas que actan sobre el elementoen la direccin vertical es nula:

F' - F - (dm)g = 0 (9)

pero dm = dV; dV = S.dy. Sustituyendo estosvalores en la expresin anterior y dividiendo

entre S obtenemos:

F

S

F

S g dy

'

= (10)

pero la diferencia de presiones F'/S - F/S sobre las

caras superior e inferior del elemento es muy

pequea en razn de que el espesor de la lmina es

apenas un diferencial; por lo cual designaremos a

dicha diferencia con dp:

dp = .g.dy (11)

Esta ecuacin diferencial es la ecuacinfundamental de la hidrosttica, da cuenta de lasvariaciones de la presin con la profundidad o

altura como consecuencia de la masa del

fluido. Si la densidad del fluido y la

aceleracin de la gravedad son constantes

podemos hallar la presin a una profundidad

y por integracin inmediata de la Ec. (11)

dpP

P

o = g dy

y

0 (12)


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5

donde los lmites de integracin se corresponden as:

en la superficie libre del lquido es y = 0 y la

presin a este nivel es la presin atmosfrica Po A

la profundidad y la presin es P. As obtenemos:

P - Po = gy (13)Esta diferencia Ph = gy recibe el nombre de

presin hidrosttica porque se debe nicamente al

lquido. Al considerar la presin atmosfrica

obtenemos la presin absoluta, que toma comonivel de referencia el vaco absoluto, luego:

P = Po + gy (14)

En conclusin podemos afirmar que si la densidad

del fluido es constante (fluido incompresible) la

presin aumenta linealmente con la profundidad

Los puntos con igual profundidad tales como A,B, y C de la Fig.7 soportan la misma presin sinimportar la forma de los vasos comunicantes

Fig.7. A igual profundidad igual presin.

EJEMPLO 4. A qu profundidad en agua demar ( = 1035 kg/m

3), la presin hidrosttica es

igual a 1,013x105

Pa?

La presin hidrosttica est dada por: Ph = .g.y, dedonde la profundidad es:

yP

g

xm m

h= = =

1013 10

1035 9 89 987 10

5.

( . ).

PRESION MANOMETRICA

Se denomina as a la presin en exceso o en

defecto con relacin a la presin atmosfrica:

Pm = P - Po (15)

Para medir la presin se utiliza un manmetro

cuyo funcionamiento se fundamenta en el hecho

de que la deformacin producida sobre un

material slido, lquido o gaseoso es proporcional

a la tensin o presin que ejerce el gas. Elmanmetro ms sencillo se denomina manmetrodiferencial.

Fig.8. Manmetro de mercurio de rama abierta.

Es aquel que utiliza un lquido contenido en un

tubo en U, una de cuyas ramas se conecta al

recipiente que contiene el gas cuya presin se

desea determinar, y la otra rama esta abierta y en

conexin con la atmsfera. El gas queda

confinado dentro del recipiente por el lquido en

el tubo en U. Esta clase de manmetro se

denomina tambin manmetro de rama abierta. En

este caso la deformacin producida es el

desnivel del lquido en ambas ramas del tubo.

El valor de Pg (presin del gas) se obtiene

observando que al nivel del punto A las presiones

en el lquido en reposo deben ser iguales en ambas

ramas del tubo:

Pg= Po + .g.h

Y la presin manomtrica del gas est dada por:

Pg- Po = gh

EJEMPLO 5. Si un manmetro de mercurioconectado al depsito de gas como se muestra en

la Fig.8, indica un desnivel de 20 cm; cul es la

presin manomtrica del gas?

Solucin: La presin manomtrica est dada porpm = gh = 13600(9,8)(0,20) = 27 kPa

EJEMPLO 6.El cilindro y el tubo mostrados enla Fig.8 contienen aceite de densidad relativa

0,8. En A se lee una presin manomtricade 40 kPa. El pistn pesa la mitad del peso W y su

dimetro es 1 m. Calcular el peso W.

Fig.9. Presin en el seno de un lquido.


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6

Solucin Al nivel de la cara inferior del pistn; laspresiones en el aceite son iguales en ambascolumnas lquidas, de lo contrario el aceite estaraen movimiento en uno u otro sentido. Esto es: Porel lado izquierdo la presin manomtrica haciaabajo es igual a la presin manomtrica en A mas

la presin de la columna lquida de 2 m de altura:Por el lado derecho la presin manomtrica haciaabajo es igual a la presin ejercida por el peso W yel pistn sobre la superficie lquida de rea S(superficie del pistn en contacto con el aceite).

presin por el lado izquierdo = presin por ellado derecho

P ghW W

SA+ =

+

0 5.

donde la densidad del aceite es: = 800 kg/m3; g =9,8m/s

2; h = 2 m. S es el rea de la cara inferior

del pistn (S = d2/4) y PA = 40 kPa = 40000 Pa.Despejando W se tiene:

W = S(PA + gh)/1.5

Puesto que el dimetro es d = 1 m se obtiene S =0.785 m

2y por tanto:

W = (0.785)[40000 + 800(9,8)(2)] /1.5= 29,13 kN

6. PRESION ATMOSFERICA

Debido al peso del aire, los cuerpos que seencuentran inmersos dentro de la atmsferaterrestre experimentan la presin atmosfrica cuyovalor fue determinado por Torricelli en unexperimento en el cual se logra equilibrar la

presin atmosfrica con la presin de una columnade mercurio.

Fig.10. Barmetro de Torricelli.

En la Fig.10, el contenido de mercurio del tubovertical no se vierte totalmente porque se lo impidela presin atmosfrica que est obrando en lasuperficie libre del mercurio en el recipiente.Por consiguiente:

po = .g.h

Si la experiencia se realiza al nivel del mar se

encuentra que h = 760 mm = 0.76 m como se

indica en la Fig.10. Si la densidad del mercurio es

13600 kg/m3y g = 9.8 m/s

2se tiene:

po = 13600x9,8x0,76 = 1,013x105

Pa 101 kPa

El resultado anterior define tambin la unidad de

presin denominada atmsfera. Esto es

atmsfera: 1 atm = 760 mm Hg = 1,013x105Pa

EJEMPLO 7. Un tubo de 1 cm2 de seccintransversal, est unido por su extremo inferior a

una vasija de 2 cm de altura y 25cm2

de seccin

transversal y por su extremo superior a una vasijade 2 cm de altura y 100 cm

2de seccin

transversal, (ver Fig.11)

Fig.11. La fuerza depende del rea.

Si el lquido que contiene es Hg Calcular: a) La

presin manomtrica en A. b) La presin absoluta

en E. c) La diferencia de presin entre C y E. d) La

fuerza que se ejerce sobre el fondo de la vasija

inferior e) El peso total del fluido.

Solucin: a) La presin manomtrica en A esPm,A = ghA= 13600(9.8 )(0,02)= 2665,6Pa

b) Presin absoluta en el punto E

PE = ghE + po ; po = 1,013x105

PaPE =13600(9,8)(0,10)+1,013x10

5=1,146x10

5Pa

c) Diferencia de presiones entre los puntos C y E

PE - PC = .ghCE =13600(9,8)(0,03) =3998 Pa


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7

d) La presin manomtrica en el fondo y el readel fondo son respectivamente:

Pm =.gh = 13600(9,8)(0,12) = 15994 PaS = 0,0025 m

2

Luego, la fuerza sobre el fondo es:

F = Pm S = 15994(0,0025) = 39,98 N

e) Volumen del Hg depositado

V = 252 cm3 + 18 cm3 + 1002 cm3V = 258 10-6 m3

WHg= gV = 136009.8 25810-6

= 34,4 N

7. VARIACION DE LA PRESIONATMOSFERICA CON LA ALTURA

En la atmsfera terrestre la densidad del aire vara

desde 1,293 kg/m3

(aproximadamente 1,3 kg/m3)

al nivel del mar hasta anularse totalmente alrededor

de los 2000 km de altura; esto significa que la

presin atmosfrica tambin ha de reducirse con la

altura. Para describir matemticamente sta

variacin podemos hacer uso de la Ec. 11 del

siguiente modo

dp=- .gdy (16)

donde "y" es ahora la altura medida sobre el niveldel mar y el signo menos indica que un incremento

de altura dar lugar a una reduccin de la presin. No

debe olvidarse que en este caso la densidad es

tambin una funcin de la altura. Sin embargo si

las variaciones de altura son solo de algunos

metros podemos suponer que la densidad se

mantiene constante y por tanto la Ec.16 puede ser

usado para encontrar la variacin de la presin en

la siguiente forma:

p = - g y (17)

EJEMPLO 8.Cul es la variacin de la presinatmosfrica que afecta a una persona que sube de

un piso a otro en un edificio; si la distancia entre

pisos es de 3 m y esta localizado cerca al nivel del

mar?

Segn la Ec.17 las presiones en el piso 1 y en el

piso 2 son respectivamente:

P1 = po - ogy1P2 = po - ogy2

La variacin de presin es: P = P2 - P1

P = -og(y2 -y1)

la distancia entre pisos es y2 -y1 = 3 m. Luego:

P = - 1,3(9,8)(3) = - 38,22 Pa

Aproximadamente la presin se reduce en 40Pa por

cada piso.

Para grandes alturas podemos encontrar una

relacin entre presin y densidad considerando al

aire como gas ideal cuya ecuacin de estado es:

pV = nRT (18)

donde el nmero n de moles se obtiene dividiendo

la cantidad m de gas entre su masa molar M (n =m/M ). Pero el aire es una mezcla de gases por lo

cual su masa molar es un valor promedio:

Maire = 0,029 kg/mol

Si admitimos que a una altura "y" un cierto

volumen V de aire tiene una masa m, su densidad

ser = m/V. A partir de estas consideraciones laecuacin de estado tambin se puede escribir de la

siguiente manera:

=pM

RT(19)

reemplazando en la Ec. 16 y transponiendo la variable

p al primer miembro tenemos:

dp

p

Mg

RTdy= (20)

Si T es constante; y observando que al nivel del

mar (y = 0) la presin es la presin atmosfrica

normal po; los lmites de integracin para la presin yla altura son respectivamente: [po, p] y [0, y]

p

pop

dp= -

y

dyRT

Mg

0

El resultado es:

RT

Mgy

0epp

= (21)

De la Ec. 19 se deduce que la densidad y la presin

son directamente proporcionales, Luego, si o y po,son respectivamente la densidad del aire y la

presin atmosfrica al nivel del mar, se tiene:


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8

o = poRT

M

RT

M=

o

o

p

Luego la expresin exponencial de la presin

atmosfrica toma la siguiente forma usual:

0p

gy

0epp

= (22)

Cuando la temperatura T varia con la altura

necesitamos saber la relacin entre T ey. Para el

caso mas sencillo supondremos que entre ambas

variables existe la siguiente relacin lineal

T = To by

donde To es la temperatura al nivel del mar, b es una

constante de conversin Reemplazando el valor de T

en la Ec.20 e integrando se tiene:

dp

p

Mg

Rb

b dy

T byP

P

o

y

o =

0

Los lmites son po la presin al nivel del mar (y =

0) y p a la altura y. El resultado de la integracin

es:

=

o

o

o T

byTLn

Rb

Mg

p

pLn

de donde se despeja la presin:

Rb/Mg

oo )]T/by(1[PP = (23)

8. FUERZA SOBRE UNA SUPERFICIESUMERGIDA

Consideremos una superficie plana inclinada un

ngulo respecto a la horizontal, sumergida de talmanera que su borde superior se halla a una

profundidad y1 y su borde inferior a una

profundidady2 como se muestra en la Fig.12. Si lalongitud de dicha superficie es H y su ancho es b,

su rea es Hb. Desde que la presin vara

linealmente con la profundidad, la presin media

sobre dicha superficie es Pm = .g(y1 +y2). Portanto el valor de la fuerza es: F = Pm.S . Esto es:

F = g(y1 +y2)Hb

Este resultado tambin se puede obtener por

integracin, a partir de la Ec. 6.

F p dS= (24)

Fig.12. Superficie inclinada en un fluido.

donde p = gy es la presin hidrosttica; dS esun elemento de superficie similar a una franja de

longitud b; su valor es preferible expresarlo en

funcin de la variable de integracin (y); para

esto proyectamos el rea dS sobre la superficie

verticaldS.sen = b.dy (25)

De donde: dS = csec .b.dy .

Reemplazando dS en la Ec.24 y ejecutando laintegracin entre lmitesy1 y y 2

Fig.13. dSy es proyeccin del rea dS.

)bdy)(cscyg(F =

F = .g.b.csec .

2

1

y

y

ydy

F = .g.b.csec .( y 22- y1

2) (26)

observemos en la Fig.12 que:

sen = (y2 - y1)/H o csec = H/( y2 - y1)

Reemplazando en la Ec. 26, y luego de factorizar

la diferencia de cuadrados se tiene:

F = .g.( y 2 + y1).Hb (27)

EJEMPLO 9. Consideremos dentro de laatmsfera terrestre a presin normal una cavidad


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9

hemisfrica de radio R = 3 m como se observa en

la Fig.14 Calcular la fuerza vertical sobre la

superficie curva de la cavidad debido a la presin

atmosfrica, suponiendo que esta vaco el interior.

Fig. 14. Fuerza vertical sobre un hemisferio.

Solucin. Si la presin atmosfrica es constante; en laFig.14 la fuerza oblicua dF sobre la pequea

porcin de superficie esfrica dS es dF = p.dS Sin

embargo la fuerza vertical es slo la componente

dFy y est obrando perpendicularmente sobre la

superficie dSx. Entonces dFy = pdSx; de all que la

fuerza vertical total es:

Fy = xpdS = p xdS = p SxDonde Sx es la proyeccin de la superficie hemisfrica

sobre un plano horizontal que resulta ser el rea del

crculo de radio R, Sx = R2. Por consiguiente el

resultado es:

Fy = p(R2) = 1,013x105(3,14)(3)2 = 2,86x106 N

EJEMPLO 10.En la Fig.15 la presin en lacmara A es 2p y en la cmara B es 5p; si el

orificio de 2 cm de radio est obturado por una

vlvula esfrica de 3 cm de radio. Cul es la

fuerza ejercida sobre la vlvula (suponga que la

vlvula tiene un peso despreciable)

B 5p

A 2p

Fig.15. Dibujo para ejemplo 10.

En este caso la fuerza obra en direccin vertical y

el rea a travs del cual acta dicha fuerza es el

rea del orificio por tanto, la fuerza neta sobre la

vlvula es:

F = (5p - 2p)r2= 3pr2 ; r = 2 cm

9. UBICACIN DE LA FUERZA RESULTANTESOBRE UNA SUPERFICIE SUMERGIDA

En ciertos casos interesa saber a que altura o en

que posicin acta la fuerza total sobre una

superficie sumergida La solucin de esteproblema no es sino la determinacin del centro

de las fuerzas paralelas dF que estn actuando

perpendicularmente a la superficie. Esto es: si

suponemos que el centro de rotacin o centro de

momentos se encuentra en el borde superior de la

pared y sea yo la profundidad a la que acta la

fuerza F. Respecto a dicho centro, el momento de

la fuerza resultante F es igual a la suma (o

integral) de los momentos de las fuerzas

elementales dF. Esto es:

yo F = y dF ; = dFyF1

y o (28)

donde podemos reemplazar el diferencial de

fuerza: dF = p dS = .g.y.b.dy

Fig.16.La fuerza resultante sobre el muro

acta a una profundidad yo .

integrando entre lmites desde y = 0 hasta y = H

==H

0

32

o

F3

gbHdyygb

F

1y

reemplazando el valor de F dado por la Ec. 27

resulta:

yo =2

3H (29)

Luego la posicin de la lnea de accin de la

fuerza hidrosttica sobre la pared vertical se

encuentra a 2/3 de la profundidad desde el nivel

libre del lquido o a un tercio de la profundidad

medido desde el fondo del recipiente.


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10

EJEMPLO 11. El muro de un dique tiene unaprofundidad de 10 m y una longitud de 60 m.

Cul es la fuerza ejercida sobre la pared del

dique si se llena con agua dulce hasta el borde

superior? Si la pared es de concreto armado

(densidad 5000 kg/m3) y tiene un ancho de 3 m,

podr resistir una posible volcadura?

Fig.17 . Volcara el agua al muro?

Solucin los datos son:

Para el muro: longitud b = 60 mancho a = 3 mprofundidad H = 10 mdensidad c = 5000 kg/m

3

Para el agua: densidad. = 1000 kg/m3

Puesto que el agua llena hasta el borde, para hallarla fuerza aplicamos: F = pmS, con pm = gH ;S = Hb

F = ( g H)(Hb) = (1000)(9,8)(10)(10)(60)F = 2.,

N

La altura a la que acta esta fuerza es:

ho = (1/3)H = 10/3 m

Para averiguar si puede resistir una posiblevolcadura hallamos los torques debido a la fuerzaF y la fuerza peso W respecto de un eje que pasa

por el punto A. (Fig.17)

El torque que ejerce la fuerza F es:

= ho F = (10/3)(2,94x107) = 9,8x10

7N.m

El torque debido al peso del muro con respecto alpunto A es:

' = (a/2)W = (a/2)mg = (a/2)( cVg) ' = (3/2)(5000)(60x10x3)(9.8) ' = 1.32x108 N.m

Desde que el torque debido al peso del muro es

mayor que el debido a la fuerza del agua, no es

posible una volcadura.

10. FUERZA ASCENSIONAL EN UNFLUIDO:Principio de Arqumedes

Cuando se sumergen cuerpos livianos dentro de

un fluido se observa que tienden a flotar

demostrndonos que existe una fuerza

ascendente. Esta fuerza ascensional obra en

realidad sobre cualquier objeto sumergido sea

pesado o liviano y se debe a la presin hidrosttica

que ejerce el fluido, como se demuestra a

continuacin:

Consideremos dentro de un fluido, colocada

horizontalmente una caja rectangular cuyasuperficie superior e inferior tiene la misma

rea S. Sin tener en cuenta el peso de la caja

vamos a calcular la resultante de las fuerzas

sobre sus 6 caras debido a la presin del fluido.

Las fuerzas laterales se compensan o

equilibran dos a dos y por tanto no hay

resultante en la direccin horizontal.

Fig.18. Fuerza sobre una caja vaca.

En la direccin vertical la fuerza ascendente en lacara inferior es mayor que la fuerza sobre la carasuperior ya que la presin aumenta con la

profundidad.

De acuerdo con la Fig.18 tenemos:

F2 = p2.S = .g.y2.SF1 = p1.S = .g.y1.S

La resultante es: E = F2 - F1 = gS (y2 - y1)

E = gV (30)

pero el producto S.(y2 - y1) es el volumen V de lacaja, que es igual al volumen del lquido

desalojado por la caja. Por consiguiente podemosconcluir que la fuerza E que est dirigida hacia


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arriba es una fuerza ascensional debida a lapresin del lquido y su valor es igual al peso delfluido desalojado como se puede ver examinandola Ec.30. Arqumedes fue el primer cientfico quelleg a esta conclusin basndose nicamente ensus observaciones experimentales.

Principio de Arqumedes

"Todo cuerpo sumergido total o parcialmenteexperimenta una fuerza ascensional denominadaempuje cuyo valor es igual al peso del fluidodesalojado". Ver Ec.30.

EJEMPLO 12.Utilizando un dinammetro se haencontrado que el peso de un cuerpo suspendidoen el aire es W. Cuando el cuerpo queda

suspendido dentro del agua el

dinammetro registra un peso aparenteigual a W' y cuando el cuerpo se encuentra dentrodel aceite su peso aparente es W". Con estos datoscalclese la densidad del cuerpo y la densidad delaceite.

Fig. 19. Pesos aparentes en agua y aceite del bloque.

pero el empuje E es igual a la prdida de peso

E = W - W' = OH2 V (31)

donde OH2 es el peso especfico del agua .De sta

ltima relacin despejamos el volumen del cuerpo

V (volumen de lquido desalojado), y luego en la

frmula del peso especifico.

OH2'WW

W

=

Para determinar el peso especfico del aceite

observemos en la Ec. 31 que cuando el volumen

es constante como en el caso presente, la

prdida de peso de un objeto es directamente

proporcional al peso especfico (o la densidad) dellquido:

aceite

OH2

aceiteenpesodeprdida

aguaenpesodeprdida

=

donde aceite es el peso especfico del aceite. O

de otro modo:

aceite

OH2

"WW

'WW

=

despejando se tiene:

OHaceite 2'WW

"WW

=

EJEMPLO 13. Un cuerpo que tiene unvolumen de 1,2 dm3 y densidad 0,69 g/cm3 requierede un peso mnimo de 403,2 g colocado encima

para mantenerlo sumergido en un fluido (I) y del

mismo modo para mantenerlo sumergido en un

fluido (II) necesita 198g. Determinar la

densidad relativa del primer fluido respecto al

segundo.

Fig.20. La masa m flota sumergida.

Solucin La densidad relativa del lquido (I)respecto al (II) est dada por:

= =

densidad del liquido I

densidad del liquido II

1

2

En las Fig. 20.a y 20.b se muestra los dos lquidos

diferentes (I) y (II) en los cuales el cuerpo de peso

mg y volumen V se encuentra ntegramente

sumergido y en reposo.

Por consiguiente en cualquiera de los dos casos

el empuje (E) equilibra al peso del cuerpo (mg)

y al peso que tiene encima (W1 W2). Esto es:

lquido (I): E1 = mg + W1 (32)lquido (II): E2 = mg + W2 (33)


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12

En donde: W1 = m1g, W2 = m2g, E1 = 1gV,E2 = 2gV. Entonces:

1gV = mg + m1g (34)

2gV = mg + m2g (35)

Si dividimos miembro a miembro las

ecuaciones (34) y (35) obtenemos:

1

2

1

2

=+

+

mg m g

mg m g=

2

1

mm

mm

+

+

Si el volumen del cuerpo es 1,2 dm3

= 1200 cm3

su

masa ser m = .V = (0,69 g/cm3)(1200cm3) = 828 g.Las otras masas son: m1 = 403,2 g y m2 = 198 g.

La densidad buscada es:

2,1189828

2,403828=

+

+=

11. CUESTIONARIO SOBRE ELPRINCIPIO DE ARQUIMEDES

1. Qu volumen tiene sumergido un cuerpo

que flota?a) Todo su volumen.b) Ningn volumen.c) La mitad de su volumen.d) Depende slo del peso del cuerpo.e) Depende del peso del cuerpo y de la

densidad del lquido.

2. Cul es el peso del lquido desalojadopor un cuerpo que flota?

a) Un peso igual a su volumen.b) Igual al peso del cuerpo en el vaco.c) Menor que el peso del cuerpo.d) Un peso igual al peso aparente.

3. Cuando se alcanza el equilibrio, la masade agua desalojada en gramos es igual a:

a) La masa del cuerpob) El volumen del cuerpo en cm3c) Al peso del cuerpod) Al peso aparente.

4. Cmo definiras el peso aparente?

a) El peso que tiene el cuerpo por suaspecto

b) El peso del lquido desalojadoc) El peso del cuerpo menos el empujed) Masa del cuerpo por la densidad del

lquido.5. De un cuerpo sumergido podemos decirque:

a) Siempre est en equilibriob) Tiene menos volumen pero igual masac) A mayor profundidad mayor empuje.d) su masa no vara.

6. Si un cuerpo que flota lo hundimos hastatener sumergido un volumen doble del quetena, podemos decir que:

a) El empuje se duplicab) El equilibrio se mantienec) La masa de agua desalojada es igual a

la mitad de la masa del cuerpo.d) El peso aparente es cero

7. Un cuerpo de masa 20 kg flotasumergiendo 1/4 de su volumen cul es la

relacin entre las densidades del cuerpo ydel lquido en el que flota?

a) El lquido es cuatro veces menosdenso que el cuerpo

b) Tienen igual densidadc) El cuerpo tienen una densidad cuatro

veces menor que la del lquidod) El cuerpo tiene una densidad 8 veces

menor.

8. Una lancha de 300 kg de masa flota en el

agua. Al subir a ella una persona de 70 kgde masa se hunde un poco ms. Cuntoslitros desaloja?

a) Depende del volumen de la personab) (300-70) litrosc) 70 litrosd) 370 litros.

Hidrostatica Teoria (2)

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