Hipérbola

Índice La hipérbola. La hipérbola como lugar geométrico. Elementos de la hipérbola. Ecuación analítica de la hipérbola. Ecuación analítica de la hipérbola con centro

en (p, q). Asíntotas. Ejemplo. Propiedad de reflexión de la hipérbola.

Hipérbola

La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto aleje del cono es menor que el de la generatriz del cono.

Vértice

Eje

Plano

Generatriz

La Hipérbola como Lugar Geométrico:

Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la hipérbola En toda hipérbola conviene considerar:

Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal.

X: Es el eje focal de la hipérbola.

F y F´: Son los focos de la hipérbola.

A y A´: Son los vértices de la hipérbola.

O: Es el centro de la hipérbola.

P: Es un punto de la hipérbola.

PF y PF´: Son los radio vectores de la hipérbola.

F´ FAA´

Y

XO

P

Elementos de la hipérbola

2c: Se le llama distancia focal.

2a: Es la resta de los radio vectores PF y PF´ de un punto.

AA´: A este segmento se le denomina eje real.

F´ FAA´

Y

O

P

2a

2c

Ecuación analítica de la hipérbola: Ubiquemos los focos sobre el eje x,

F = ( c, 0 ) y F' = ( -c, 0 ), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola.

En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x.

Entonces tendremos que:

PF – PF' = 2a

(c2 – a2)x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0

Nota: Los cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo

que hicimos para la elipse.

Nuevamente a partir del dibujo anterior y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2.

Dividiendo cada término por a2b2 obtenemos:

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión:

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:

b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0

Ecuación analítica de la hipérbola con centro en (p, q):

Tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.

Si hacemos:  A = b2

B = – a2   C = – 2pb2

D =  2qa2

E = p2b2 – q2a2 – a2b2

Asíntotas:

Son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)

Las ecuaciones de las asíntotas son:

Ejemplo

Esbócese la curva 36x2 - 64y2 = 2304

Si divide entre 2304 y se reduce la ecuación a:

La gráfica es una hipérbola en la cual a = 8, b =6 y c = 10.

Por lo tanto los vértices son ( ±8, 0) y los focos ( ±10, 0).

Las ecuaciones de las asíntotas son:

3x -4y = 0 y 3x + 4y = 0

13664

22

yx

Haz click y observa la gráfica

Propiedad de reflexión de la Hipérbola:

La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f '.