HipérbolaMtra. Teresa Carrillo

Definición

Conjunto de puntos del plano cuyas distancias a dos puntos fijos tienen una diferencia constante.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.

El punto medio entre los dos focos se llama centro de la hipérbola.

La hipérbola está formada por dos partes separadas llamadas ramas de la hipérbola.

Partes de la hipérbola

Elementos de la hipérbola

Eje focal: Recta que pasa por los focos.

Vértices: Puntos donde el eje focal corta a la hipérbola.

Centro: Punto medio entre los focos.

Normal: Recta perpendicular al eje que pasa por el centro.

Eje transverso: Recta de vértice a vértice, mide 2a = diferencia entre las distancias.

Eje conjugado: Recta entre los covértices

Lado recto o ancho focal: Cuerda perpendicular al eje focal

que pasa por el foco. Lr =𝑏2

𝑎

Identifica los elementos de la hipérbola

Elementos de la ecuación

Ecuación de la hipérbola horizontal

12

2

2

2

b

y

a

x

Posición Horizontal

Centro C(0, 0)

Vértices V(a, 0), V’(-a, 0)

Focos F(c, 0), F’(-c, 0)

Covértices B(0, b), B’(0, -b)

Ecuación de la hipérbola vertical

12

2

2

2

b

x

a

y

Posición Vertical

Centro C(0, 0)

Vértices V(0, a), V’(0, -a)

Focos F(0, c), F’(0, -c)

Covértices B(b,0), B’(-b, 0)

Si movemos el centro del origen…sólo agregamos h y k

Posición Horizontal

Centro C(h, k)

VérticesV(h + a, k) V’(h - a, k)

FocosF(h + c, k)F’(h - c, k)

CovérticesB(h, k + b)B’(h, k - b)1

)()(2

2

2

2

b

ky

a

hx

Aquí también agregamos h y k

Posición Vertical

Centro C(h, k)

VérticesV(h, k + a), V’(h, k - a)

FocosF(h, k + c), F’(h, k - c)

CovérticesB(h + b, k), B’(h - b, k)

1)()(

2

2

2

2

b

hx

a

ky

Asíntotas de la hipérbola

Las dos rectas simétricas que pasan por el centro geométrico de la hipérbola y de forma que ésta nunca las toca, aunque la distancia entre la curva y las asíntotas es cada vez menor sin llegar a cruzarse nunca.

H. horizontal H. vértical

)( hxa

bky

xa

by

)( hxb

aky

xb

ay

Excentricidad

La excentricidad mide que tan abierta es una hipérbola, que se define como el cociente de la distancia focal entre la distancia entre los vértices.

Como c > a, entonces e > 1.

a

ce

Propiedad de reflexión de la hipérbola.

Cuando un rayo dirigido hacia el foco F choca en la rama de la derecha se refleja hacia el foco F’.

Esta propiedad se utiliza para construir telescopios parabólicos-hiperbólicos en los que se combina un espejo parabólico y otro hiperbólico.

Aplicaciones

En el campo de la óptica y de la astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en la construcción de puentes, aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

Referencias

Méndez Hinojosa Arturo. Matemática III. Santillana Bachillerato. México 2012.

Oteyza, Lam, Hernández, Carrillo, Ramírez. Geometría Analítica y Trigonometría. Pearson Prentice Hall. México 2008.

Ruíz Basto Joaquín. Geometría analítica. Editorial Patria. México 2010.