hiperbola

Tema:

DE F INICIÓ N : La Hipérbola es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (FY F) llamados focos, es siempre igual a unaconstante2a.

PF2 PF1 2a

ELEMENTOS :

a) V1 V2 Vértices deleje mayor g) Recta LF eje focal

b) F1, F2: focos. h) LA LA: Asíntotas

c) C: centro de la elipse. i) LN Recta normal

d) Segmentos LR: lado recto j)

e) k) EEcuerda focal

f) Rectas LD yLD: directrices l) V1V2 eje transverso

B1B2 eje conjugado

HIPÈRBOLA

DEPARTAMENTO DECIENCIAS

Relaciones fundamentales:

- Longitud del eje transversoV1V2 2a

- Longitud del eje conjugadoB1B2 2b

- Longitud del segmento focalF1F2 2c

- Relación entre a, b, c,

c2 a2b2

- Excentricidad: e c

>1a

2b2

- Longitud del lado recto: LR =a

Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de c unidades del centro. Además: c2 a2b2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

ECUACIÓN ORDINA RIADE L A HIPÉRBOLA :

1. Eje t r a n sve r so p a r a l e lo al e je X :

(Hipérbola horizontal)

- Centro (h,k)

- Vértices:

V1(h+a, k);

V2(h-a, k)

- Focos: F2(h-c,k);

F1(h+c,k)

- Extremos del eje

menor: B1(h, k+b);

B2(h, k-b)

xh2

a2

yk2

1b2

- Las ecuaciones de sus directrices:a2

LD :x h yc

a2

LD: x hc

2. Eje t r a n sve r so p a r a l e lo al e je Y :(Hipérbola vertical)

y-k2

2x-h2

2 1a b

- Centro (h,k)

- Vértices: V1(h,k+a);

V2(h,k-a)

- Focos: F2(h,k-c);F1(h,k+c)

- Extremos del eje menor:

B1(h+b, k); B2(h-b,k)

- Las ecuaciones de sus

a2

directrices:

a2

LD: y k yc

LD: y k c


TEOREMA: Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de

las asíntotas son y= k b

(xh)a

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

y k a

(xh).b

O b s er va c ió n : Las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del

rectángulo de dimensiones 2a y 2b centro (h,k). Esto sugiere una forma simple de

trazar tales

asíntotas.

Eje m p lo 1 :Dibujarla hipérbola cuya ecuación es

Solución:

4x2 y2 16

Comenzamos escribiendo la ecuación en su forma canónica:

El eje transversal es horizontal. Centro es (0,0)

Vértices: (-2,0) (2,0)

a 2 b4

Los extremos del eje conjugado son: (0,-4) y (0,4)


FORM A GENERAL D E LA HIPÉRBOLA

Toda hipérbola se puede expresar por medio de la ecuación

Ax2 Cy2 DxEyF0, siempre y cuando A y C sean del signo contrario.

Eje m p lo2 : De la ecuación de una hipérbola es: 9x2 4y254x8y113 0Agrupando y completando cuadrados tenemos:

9x2 4y254x8y113 0

9x2 54x4y28y113 0

9x26x4y22y1130

9(x-3)2-9 -4(y-1)

2-1 +113 = 0

9x324y12

360

4y129x32

360

4y129x32

36

y12

x32

19 4

y12

32

x32

122

Por lo tanto es una hipérbola que tiene su eje focal paralelo al eje Y (hipérbola vertical).

Con centro en el punto (3,1).Donde a=3, b =2 , c2 a2b2

Vértices: V1(3,1+3); V2(3,1-3)

V1(3,4); V2(3,-2)


La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llamanequiláteras, por tanto a=b.

Ejemp lo3: x2y2 a2

Las asíntotas tiene por ecuación: y x,y x

Es decir, las bisectrices delos cuadrantes,

La excentricidad es: e 2


HIPÉRBOLAS CONJUGAD AS

- Dos hipérbolas son conjugadas cuando la longitud del eje transverso de una es idéntica a la longitud deleje conjugado del otro.- Dos hipérbolas conjugadas tienen el mismo centro y las mismas asíntotas.

Nota: Para obtener la hipérbola conjugada de una hipérbola dada, se cambia el signo del primer miembro de su ecuación ordinaria.

Ejemp lo 4: Dada la hipérbola x2 y2

1 su conjugada será:y2 x2

116 9 9 16

ASÍNT OT AS DE UNA HI PÉRBOLA

Para obtener las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola, se procede de la siguiente manera:

1. Se expresa la ecuación de la hipérbola en la forma ordinaria.2. Se iguala acero el primer miembro de la ecuación.3. Luego se expresa en factores, cada factor igualado a cero, representa a una asíntota.

Eje m p lo5: Hallar las ecuaciones de las asíntotas dela hipérbola 4y29x2 36x8y680

S ol u c ió n :

Lo expresamos en su forma ordinaria:

4y29x2 36x8y68 0

4y28y9x2 36x68 0

4y22y9x24x68 0

4(y-1)2-1 -9 (x-2)

2-4- 68 = 0

4y1249x22

36680

4y129x22

36

y12

x22

19 4

Igualando a cero el primer miembro

y12

x22

09 4

Factor izamos:

Cada factor igualando a cero:


Ejemp lo6: Hallar la ecuación, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotasde la hipérbola cuya ecuación es 9x2 y236x6y180.

S ol u c ió n :Completando cuadrados en ambas variables:

9x2y236x6y180

9x236xy26y180

9x24xy26y180

9(x-2)2-4-(y+3)

2-9+18= 0

9x22 36y32

9180

9x22 y32

36270

9x22 y32

92

Por tanto, el centro está en (2,-3).

El eje de la hipérbola es horizontal.

a=1, b=3

- Vértices: V1(2+1,-3); V2(2-1,-3)

V1(3,-3); V2(1,-3)

- Focos: F2(2- 10,-3); F1(2+ 10,-3)

- Extremos del eje menor: B1(2, -3+3); B2(2, -3-3)

B1(2, 0); B2(2, -6)

-

- Las ecuaciones de sus asíntotas:

y 33

(x2)1

y33(x2)

y k b

(xh), entonces:a

Entonces: y 33 (x2) ,

y93x ,

y 33 (x2)

y3x3

Ejemp lo7: Hallar la ecuación, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotasde la hipérbola cuya ecuación es 9x2 4y254x8y113 0

S ol u c ió n :

Completando cuadrados en ambas variables : y12 x32

19 4

Por tanto, el centro está en (3,1).

El eje de la hipérbola es vertical., donde a=3, b=2, c2 a2b2

Luego: c2 a2b2,

94

13

Entonces c = 13, h =3 k=1

- Vértices: V1(3,1+3); V2(3,1-3)

V1(3,4); V2(3,-2)

-Focos: F2 (3,1- 13); F1 (3,1+ 13)

-Extremos deleje menor: B1 (3+2, 1); B2 (3-2,1)

B1(5, 1); B2(1, 1)


- Excentricidad: ec

13

a 3

- Las ecuaciones de sus asíntotas:

y 1 3

(x3)2

y k a

(xh), entonces:b

Entonces: y 7

3

x,2 2

y 11

3

x2 2

Eje m p lo8 : Hallar la ecuación de la hipérbola concentro en(-4, 1 ) , un vértice en (2,1)Y semieje imaginario igual a 4.

S ol u c ió n :La distancia entre el centro y el vértice es 6; luego a=6. El semieje imaginario es4; luego b =4.


2 2

E J E R C I C I O S P R OP UE S TO S

1. En los siguientes ejercicios, hallar el centro, los focos, los vértices, el lado recto y las ecuaciones de sus asíntotas de la hipérbola. Hacer su gráfica.

a) 16x2 9y21440

b) 4x2 9y28x36y680

c) x2 y26x32y0 d) 3y2 x26x12y0

e) 4x2 45y2 180

f) 9x2y2 36

g) 9x2 y2x12y180

h) 16x2 9y264x18y1990 i) 4x2-25y2+32x+50y+39 = 0 j) x2-4y2-4x+18y-44 = 02. Dibujarlas hipérbolas siguientes y hallar sus puntos de intersección.

x22y2x8y80, 3x2 4y23x16y180

3. Hallar las ecuaciones delas hipérbolas que satisfacen las condiciones siguientes:a) Focos6,0), vértices9,0b) Focos (4,-2) y (4,-8), excentricidad e 3/ 2c) Foco (-2,5),de vértice A(-2,3) y centro C(-2,-5)d) Centro (0,0),un vértice en (3,0)y ecuación de una asíntota 2x3y0e) Focos (-4,0) (4,0), distancia entre los vértices 4

f) Asíntotas y = 2x, un vértice en (3,0)

g) Focos (0,-5) (0,5), eje conjugado de longitud igual a 4

h) Pase por el punto (4,6) y cuyas asíntotas sean

i) Vértices4,0, pasa por Q (8,2)

j) vértices (5,4), (1,4); longitud del lado recto 5.

k) eje focal de la hipérbola mide 12 y la curva

pasa por p (8,14).

l) Vértices (-6,8) y (2,8), excentricidad igual a 3/2

m) Focos (0,1) y (10,1) lado recto igual a 9/2 n) Asíntotas 2x-y+5 = 0 y 2x+y+7 = 0 un vértice (-1,-1)

y 3

4. Los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse

25x2 9y2 225. Hallar la ecuación de la hipérbola de excentricidad e 2.

5. Hallar el área de la región triangular formado por las asíntotas de la hipérbolax2 4y2 16,y la recta 3x2y120

6. Hallar los puntos de intersección de la recta 4x3y160 y la hipérbola

x

y 1.

25 167. Hallar los puntos de intersección de la recta


2x9y12

Con las asíntotas

8. En los siguientes ejercicios. Clasificar la gráfica de la ecuación como parábola, hipérbola.

a) x29y24x36y410

b) 9x2 4y254x16y290

e) y24y4x0

c) 4x2 y24x30

d) x24x8y40

f) x2 10x200y1190

g) y2-8x+4y+12=0

i) 4x2-12x-24y-15=0

k) x2+x+y-1=0

. m) x2-y2+4x+10y-5 = 0

o) x2-4y2+6x+32y-59 = 0

h) 3(x-1)2=6 +2(y+1)2

j) 16 x2+25y2+96x-50y+169=0

l) 25x2-24y2-100x+120y+550=0

n) x2-8x+16y = 0

p) 3y2+16x-96 = 0

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