Ejemplo

La densidad media de los tableros aglomerados producidos con una técnica tradicional era de 11.20 gr/cm3 con desviación típica de 1.25 gr/cm3. Después de realizar ciertas innovaciones en el proceso, se tomó una muestra de 8 tableros, del cual se obtuvo un promedio de la densidad igual a 10.70 gr/cm3. Contrastar la hipótesis de que la densidad media de los tableros no ha cambiado, con nivel de significación 0.05.

El promedio de las medidas de densidad de los tableros producidos viene a ser el parámetro de interés.

La aseveración que se ha postulado señala que la densidad de los tableros obtenidos con la nueva técnica no difiere de la densidad original; la situación opuesta a tal aseveración señalará que la nueva técnica realmente da lugar a tableros de distinta densidad.

Si la técnica tradicional se representa con una T y la nueva técnica con una N, la aseveración planteada se expresará N = T mientras que la situación opuesta se simbolizaría como: N ≠ T. Así, las hipótesis expresadas con la simbología correcta, donde se ha remplazado el valor paramétrico conocido, son:

H0: N = 11.20H1: N ≠ 11.20

Al diseñar el experimento, hay que tener el máximo cuidado de reducir la posibilidad de cometer uno de los siguientes errores:

Se Rechaza H0 Se Acepta H0

H0 verdadera Error tipo I ó Error Decisión correcta 1-H0 falsa Decisión correcta 1- Error tipo II ó Error

Para un tamaño de muestra dado, una disminución de la probabilidad tiene como contraparte un aumento en , y viceversa. Mientras más serias se consideren las consecuencias de cometer un error de tipo I, menor será el valor que se le asigne a .Debe identificar la característica poblacional que se evaluará (el parámetro acerca del cual se ha elaborado una aseveración) y el estadístico pertinente que nos servirá para decidir respecto de lo expresado en la hipótesis nula. Luego, debe identificarse la estadística de prueba que se empleará y las suposiciones que hay que satisfacer para aplicarla correctamente.

Población: “las medidas de la densidad de los tableros aglomerados producidos en la fábrica”

Muestra : “una muestra de 8 observaciones colectadas en forma completamente aleatorizada”

Seleccionar el estadístico pertinente que va a formar parte del procedimiento de verificación de hipótesis. En este caso se trata de verificar una hipótesis sobre la media poblacional.

El parámetro poblacional es μ (la media), mientras que el estadístico pertinente es Xm (promedio muestral)El estadístico de prueba (EP) es una cantidad numérica calculada con base en los datos de una muestra obtenida de la población de interés. Sirve para tomar la decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula. El EP se determina teniendo en cuenta el parámetro sobre el que se plantea la hipótesis y la naturaleza de la distribución muestral del estadístico pertinente.

Dado que en este caso el muestreo se hace en una población normalmente distribuida con varianza conocida, el estadístico de prueba que se usa para verificar la hipótesis acerca de la media poblacional es:

La región de rechazo consta de, todos aquellos valores del estadístico de prueba que son de tal magnitud que, en caso de ser el valor observado del estadístico de prueba igual a uno de ellos, la hipótesis nula se rechaza.

La región de no-rechazo es el complemento de la región de rechazo. Si el valor observado del EP es igual a alguno de los valores que componen la región de aceptación, la hipótesis nula no se rechaza.

Como puede observarse en el gráfico, el valor de cada nuevo promedio muestral aleatoriamente extraído fluctuará alrededor del promedio de la población original. La probabilidad de que el valor muestral exceda la cantidad 0+Z/2(/n) se reduce a /2. Igual probabilidad existe de que el valor muestral sea menor que la cantidad 0Z/2(/n). Una prueba de hipótesis de este tipo se denomina de dos lados o bilateral. Habiéndose previamente establecido , la probabilidad de que el promedio muestral caiga en cualquiera de las dos regiones de rechazo es 0.05/2 + 0.05/2 o 0.05, lo que equivale a la fracción 1/20. En el nivel de especificado, evidentemente la ocurrencia de un valor promedio en la zona de rechazo sólo se presenta en una proporción muy baja de los casos. Por ello, si obtenemos un valor como el señalado podremos afirmar (con riesgo a equivocarnos una vez entre 20, o entre 100) que realmente proviene de una población distinta.

Nuestra región de rechazo para el nivel =0.05, en este caso repartida entre las dos colas, se pueden especificar como posiciones Z y como valores Xm, son las siguientes:

Z/2 superior = 1.96; Z/2 inferior = -1.96