Hipotesis-varianza

8/13/2019 Hipotesis-varianza

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1 Comprendiendo la Estadstica

Roberto Behar [email protected] 1

Hiptesis sobre la varianza

9.1 INTRODUCCION

En situaciones como la del control estadstico de calidad, de antema-no se conocen los parmetros de referencia del proceso bajo control.La actividad central para decidir si en un momento dado, el procesoest bajo control o no, es la confrontacin permanente delos datos obtenidos con las hiptesis sobre la centralidad del proceso(media ) y sobre la magnitud de su variabilidad (varianza). Por estarazn desarrollaremos una seccin que se ocupe de resolver la con-trastacin de una hiptesis que confronta un valor particular de la va-rianza contra los datos obtenidos del proceso, con el propsito de cal-cular un valor P, o equivalentemente, determinar una franja de con-fianza, con base en la cual puedan tomarse decisiones al respecto.Tuvimos la oportunidad de percibir la importancia de la comparacinde dos varianzas poblacionales. En la seccin de comparacin de me-dias, la situacin lleg a ser tan crtica, que dependiendo de si podaconsiderarse que dos varianzas eran iguales, se dispona o no de uninstrumento para contrastar las hiptesis sobre igualdad de medias. El

famoso problema de Behrens-Fisher, es un ejemplo de ello.En otras ocasiones estamos interesados en decidir entre dos procesoso tratamientos que producen artculos con la misma media de ciertacaracterstica de inters. Un criterio plausible ser seleccionar aquelque tenga menor varianza. Surgiendo as la necesidad de la compara-cin de las varianzas de los procedimientos.Estas son razones mas que suficientes para estar muy interesados enconocer algunos instrumentos que nos permitan tomar posicin frentea situaciones donde la variabilidad es un factor determinante.

9.1.1 Estimacin y Contraste de Hiptesis so-bre la varianza 2 de una poblacin. (Pobla-cin Normal).Desarrollemos esta prueba con base en un ejemplo de control estads-tico de calidad.


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EJEMPLO 9.1-1 (Produccin de salchichas)

Se sabe que un proceso de produccin de salchichas debe garantizarun peso promedio por unidad de = 45 gramos, y una varianza

2 =

4 gramos. En forma peridica se toma una muestra de 16 salchichas yse pesa cada una de ellas para controlar la variabilidad del proceso.En uno de los controles se obtiene los siguientes datos en gramos:

46.2 45.2 44.3 51.747.5 41.6 46.4 49.043.6 42.2 44.0 47.843.7 47.8 41.8 44.2

X =45.4 S =2.8 S 2 =7.84

La hiptesis que deseamos contrastar es:0 :

2= 4 contra 1 : 2> 4

Recordemos que

n 1( )S 2

2 ~ n12 Chi - cuadrado con (n-1) g.l

La regin de rechazo es de la forma ={ S 2 >c}.Por lo tanto:

( ) ( )Valor P P S P= > = > =2 2 27 84 7 84 4. / . /0 S

Valor P = P n 1( )S 2

2 >

161( )7.844

Valor P = P 152 > 29.4( )=0.55

Este valor P tan alto, no constituye evidencia para rechazar la hipte-sis nula0 2 =4. Por lo tanto asumimos que el proceso est bajocontrol en lo que a su varianza se refiere.


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COMENTARIOS- 1

Recuerde que estamos suponiendo que la distribucin del peso delas salchichas es Normal. Exploremos este supuesto, observando elhistograma.

0

1

2

3

4

5

6

7

F r e c u e n c i a

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Peso de una salchicha(Estandarizado)

Grfico 9.1-1. Distribucin del peso estandarizado de salchichas,comparada con la correspondiente distribucin normal estndar.

Recuerde que usted puede contrastar la hiptesis de normalidad, usan-do las herramientas desarrolladas en el captulo anterior.

9.1.2 Contraste de hiptesis sobre la compara-cin de las varianzas 1

2 y 22 de dos poblacio-

nes.

Desarrollemos este tema usando los datos del ejemplo 6.6-2EJEMPLO 9.1-2

En el ejemplo 6.6-2 se tomaron mediciones de oxigeno disuelto An-tes y despus de la implementacin de un proyecto para mejorar lascondiciones del lago Titicoca.


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Los datos fueron:OXIGENO DISUELTODESPUS DEL PROYECTO

11.2 11.2 11.2 11.2 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8

11.9 11.9 12.1

OXIGENO DISUELTO A NTES DEL PROYECTO

10.2 10.3 10.4 10.6 10.6 10.7 10.8 10.8 10.9

11.1 11.1 11.3

La pregunta ahora es el proyecto implementado ha aumentado la va-riabilidad del Oxigeno Disuelto?En smbolos podemos representar la pregunta con base en las siguien-tes hiptesis :0 ; A

2 = D2 (No hubo cambio en la variabilidad o por lo menos

no aument)1 :

2


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Por lo tanto el valor P se calcula como:

Valor P = P S D2

S A2 > 0.92 / 0

= P S D

2

S A2 > 0.92 /

D2

A2 =1

Afortunadamente, cuando la hiptesis nula es cierta, es decir cuando D

2

A2 =1, el cociente de las varianzas muestrales

S D2

S A2 ~ F n D 1, n A 1( ) Distribucion F con ( ) nD 1 grados de libertad

en el numerador y ( )nA 1 grados de libertad en el denominador.De esta manera ya podemos calcular el valor P.

Valor P = P F 11, 11( ) >0.92( )>0.25 (De la tabla de la distribucin F,no es posible saber exactamente cunto vale, pero si se sabe que elvalor es superior al 25%).

Este valor P, no permite rechazar la hiptesis nula0 y por lo tanto podemos decir que los datos no presentan suficiente evidencia paraafirmar que la variabilidad despus del proyecto ha aumentado.

COMENTARIOS- 2

Si el inters del problema fuera inferir de los datos si las varianzason iguales o no, como sera la exigencia en las pruebas de compara-cin de medias que suponen igualdad de varianzas, entonces al calcu-lar el valor de P, resultados peores pueden ocurrir si el cociente delas varianzas muestrales es muy alto o tambin muy bajo, podemoscalcular en este caso el valor P en forma aproximada multiplicando por dos (2) el valor que encontramos, cuando la prueba sea de unacola, como en el ejemplo que acabamos de resolver.

9.1.2.1 Sensibilidad del contraste para lacomparacin de varianzas a la falta de nor-

malidad - Una solucin alternativa.


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Contrariamente a la prueba de igualdad de medias, esta prueba sobreigualdad de varianzas es bastante sensible al supuesto de normalidad,lo cual quiere decir que alejamientos no muy grandes de la distribu-cin normal, pueden invalidar la prueba, de tal manera que bajo la

hiptesis nula0 , el cociente de varianzas muestrales, no tenga dis-tribucin conocida y por lo tanto se imposibilite el clculo del ValorP.Box, hunter and Hunter (1993), plantean una forma alternativa decumplir el objetivo, llevando el contraste de varianzas a un contrastede medias, a travs del cual se puede resolver la situacin. Veamos unejemplo.

EJEMPLO 9.1-3

Se desea comparar la precisin (variabilidad) de dos mtodos de me-

dicin, digamos A y B. Para ello se hacen 10 tomas de un material amedir y se parten al azar en dos grupos de 5 datos, cada uno de loscuales va a ser sometido a los respectivos mtodos A y B de medi-cin. En cada caso se calcula la varianza correspondiente. Este proce-so se repite por 5 veces. Los valores de las varianzas obtenidas se pre-sentan en el cuadro.El fundamento de la prueba consiste en trabajar con base en el loga-ritmo del cociente de las varianzas.Observe que la hiptesis nula que se desea contrastar es:

0 : A

2

B2 =1 Las varianzas son igualesLa cual es perfectamente equivalente con:

0 : log A

2

B2

=0 Log A2 Log B

2 = 0

La estadstica con base en la cual se realiza el contraste, ya no esS A2

S B2

como antes, sino: logS A2

S B2

= LogS A2 LogS B

2

De esta manera lo que era un cociente, se convierte en una suma (res-ta).La gran ventaja es que el logaritmo de la varianza posee una distribu-cin mas cercana a la Normal, que la propia varianza. De esta manera


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podemos realizar un contraste en forma aproximada, como si las ob-servaciones originales fueran los logaritmos de las varianzas.Queremos saber si la media de LogS A

2 es igual a la media de LogS B2 .

En este caso, en que se hacen las dos mediciones cada vez sobre unmismo material, se trabajara con el enfoque de muestras apareadas.Por esta razn en el cuadro se hacen las diferencias observadas en ca-da material de nuestra variable de inters LogS 2 .

CUADRO 9.1-1. Varianzas obtenidas en muestras de tamao 5, alhacer mediciones por mtodos distintos A y B.

Material S A2 LogS 2

S B

2 LogS B2

D = LogS 2 LogS B

2

1 14.2 1.15 4.3 0.63 0.522 9.1 0.96 7.9 0.90 0.063 21.4 1.33 10.7 1.03 0.304 11.3 1.05 3.7 0.43 0.625 8.2 0.91 4.5 0.65 0.26

d = 0.352

Suponiendo que la distribucin de D bajo la hiptesis nula, es aproxi-madamente Normal, entonces dado que la muestra es pequea n=5,usamos la distribucin t-student, para calcular el valor P. Veamos.

ValorP = P D >0.352/ A2

B2 =1

=2 P D >0.352( )

ValorP =2 P D DS d

> 0.3520S d n

Como puede calcularse del cuadro la varianza de las diferencias:

S D2 = 0.520.352( )

2 + 0.060.352( )2 +...+ 0.260.352( )251

= 0.051

De dondeS D = 0.226.As pues nuestro Valor P, resulta:


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ValorP 2 P t 4 >0.352

0.226 5

=2 P t 4 >3.49( )=2 0.013= 0.026

Este valor es relativamente bajo, lo cual nos inducira a pensar que el

Mtodo B es mas preciso que el mtodo A.

COMENTARIOS- 3

En este caso el apareamiento se dio en forma natural, pues la unidad(bloque) es el material. Cada vez se media el mismo material con losdos mtodos. Sin embargo no es necesario que este apareamiento ocu-rra en el contexto del problema para aplicar esta prueba, pues este puede inducirse, construyendo grupos al azar en cada una de las dosmuestras. As por ejemplo, en este caso hubo 25 mediciones de A y

25 mediciones de B. Si no hubiera apareamiento, construiremos alazar en cada conjunto de mediciones, 5 grupos de 5 observaciones, acada uno de los cuales se le calcula su varianza muestral. Luego seaparean al azar, y se aplica la prueba.

9.1 INTRODUCCION........................................................................................... 1


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9.1.1 Estimacin y Contraste de Hiptesis sobre la varianza de una poblacin.(Poblacin Normal). .....................................................................................................19.1.2 Contraste de hiptesis sobre la comparacin de las varianzas y 2

2 de dos poblaciones. ................................................................................................................... 3

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