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lculo literal, clculo con especies, clculo con

la cosa

Como ya vimos en una entrega anterior de estas historias quesubtitul El proyecto algebraico (Puig, 2010), Franois Vite,en su libroIntroduccin al arte analtica (In artem analyticemIsagoge), presenta lo que l llama Logstica especiosa, un cl-culo que no se hace con nmeros, sino con especies, con for-mas de nmeros. Tambin vimos que esto es lo que le permi-te efectuar el anlisis para resolver los problemas. La logsticaespeciosa, en el caso de Vite, y esto le hace ser consideradoel iniciador del lgebra simblica, se acompaa de un clculocon letras. As lo dice explcitamente Vite en el recto del folio5 de laIntroduccin al arte analtica:

Logistice numerosa est qu per numeros, Speciosa qu perspecies seu rerum formas exhibetur, ut pote per Alphabeticaelementa.[La Logstica numerosa es la que se presenta mediantenmeros, la Especiosa la que se presenta mediante especieso formas de las cosas, como, por ejemplo, mediante elemen-tos alfabticos] (Vite, 1591, p. 5r).

El lgebra de al-Khwrizm no es simblica en este sentido: nilas especies ni las cantidades desconocidas ni las cantidadesconocidas estn representadas mediante letras, ni mediante

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Luis PuigUniversitat de Valncia Estudi General

Historias de al-Khwrizm (6 entrega). El clculo

con la cosa

C ningn signo distinto de las palabras del lenguaje vernculo.No hay pues en el libro de al-Khwrizm, estrictamentehablando, lo que nosotros llamamos clculo literal, en el sen-

tido de clculo con letras. Sin embargo, s que hay desarrolla-do un clculo con la cosa y un clculo con especies, hay puesuna logstica especiosa. Adems, al-Khwrizm le dedica aese clculo una parte especfica del libro situada antes de queaborde el procedimiento para resolver los problemas y des-pus de haber expuesto cules son los objetos de los que va atratar el clculo, es decir, las especies de nmeros, y haberestablecido el conjunto completo de formas cannicas, susalgoritmos de solucin y las demostraciones de esos algorit-mos.

Los captulos del libro en que al-Khwrizm desarrolla ese

clculo con la cosa y con especies son (con la numeracin queles di en Puig, 2010) los siguientes:

6. Sobre la multiplicacin.7. Sobre la adicin y la substraccin.8. Sobre la divisin.

Junio 2011, pp. 101-110

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En el captulo Sobre la multiplicacin al-Khwrizm calculacon la cosa y en los clculos aparecen las especies. En los otrosdos captulos calcula con especies y con radicales, sin que apa-rezca el trmino cosa. Adems, al final del captulo Sobre ladivisin vuelve sobre tres de los clculos expuestos en el cap-tulo Sobre la adicin y la substraccin para demostrarlos.Veamos, en primer lugar, cmo explica al-Khwrizm el cl-

culo con la cosa.

El clculo con la cosa

Al-Khwrizm comienza manifestando explcitamente queescribe con intencin pedaggica:

Yo te enseo cmo multiplicar unas por otras las cosas, queson las races; si estn solas, si estn con un nmero, si estndisminuidas en un nmero o si estn restadas de un nmero;y cmo sumarlas unas a otras y cmo restarlas unas de otras(Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Los tipos de expresiones que al-Khwrizm va a ensear cmose multiplican los podemos escribir en el lenguaje actual dellgebra as:

las cosas solas: axlas cosas con un nmero: ax + blas cosas disminuidas en un nmero: ax blas cosas restadas de un nmero b ax

Como para al-Khwrizm los nmeros son positivos, tieneque haber dos tipos de expresiones con la substraccin, las

cosas disminuidas en un nmero y las cosas restadas de unnmero, mientras que slo hay un tipo de expresin cuandose suman cosas y nmeros. Veremos ms adelante que en unode los ejemplos al-Khwrizm dice explcitamente que diezms cosa y cosa ms diez es lo mismo, y por qu necesitadecirlo.

Para ensear a multiplicar esas expresiones con la cosa al-Khwrizm recuerda qu significa multiplicar:

Que sepas que para cualquier nmero multiplicado por otronmero es necesario sumar uno de los nmeros tantas vecescomo las unidades que contiene el otro (Rashed, 2007, p.

122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Al-Khwrizm no contina, como podra esperarse, dandoahora una regla para multiplicar las expresiones con nmerosy cosas, sino que presenta una situacin puramente aritmti-ca que utiliza como un modelo ms concreto a partir del cualdar sentido a los clculos (algebraicos) con la cosa. La situa-cin en cuestin es la multiplicacin de nmeros cuandoestn representados en el sistema de numeracin posicionaldecimal, es decir, lo que al-Khwrizm explicar en su Libro

del clculo con los nmeros hindes (Allard, 1992)1. En efecto,lo que hace al-Khwrizm es explicar que para multiplicardecenas ms unidades por decenas ms unidades hay quehacer cuatro multiplicaciones. Pero no slo explica eso, sinoque extiende el modelo concreto del clculo aritmtico hinda la situacin en que las unidades no se aaden a las decenas(como en la representacin hind de los nmeros) sino que se

substraen:

Si se tiene decenas a las que se ha aadido unidades o de lasque se ha quitado unidades, es necesario multiplicar cuatroveces: las decenas por las decenas , las decenas por las unida-des, las unidades por las decenas y las unidades por las uni-dades. (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

Vale la pena observar que, como al-Khwrizm tiene disponi-bles los nombres decenas y unidades, puede enunciar laregla en general sin verse obligado a enunciarla mediante unejemplo numrico concreto. Decenas y unidades desem-pean, en los clculos aritmticos en el sistema de numera-cin posicional decimal, un papel similar al que van a desem-pear las especies de nmeros en los clculos algebraicos, poreso al-Khwrizm puede usar ese clculo como modelo (msconcreto) para ensear el clculo (ms abstracto) algebraico.

Adems, al extender el modelo de la situacin propia del sis-tema de numeracin (la adicin de decenas y unidades) a unasituacin similar a la anterior, pero nueva (la substraccin deunidades a decenas), da paso tambin a un modelo para laregla de los signos:

Entonces, si las unidades que estn con las decenas sonambas aadidas, la cuarta multiplicacin es aditiva, y si son

ambas substradas, la cuarta multiplicacin es tambin aditi-va. Pero si unas estn aadidas y otras substradas, la cuartamultiplicacin es substractiva (Rashed, 2007, p. 122-123;Hughes, 1986, p. 241).

Vale la pena detenerse un momento en el detalle de los trmi-nos que acompaan este modelo aritmtico de la regla de lossignos: al-Khwrizm no multiplica los signos ms y menos ala manera de la moderna formulacin de la regla de los signos(+ + = +; + = ; = +). Al-Khwrizm no dice siquie-ra en lenguaje vernculo: ms por ms, ms; ms por menos,menos; menos por menos, ms. Al-Khwrizm no habla deesos signos sueltos, sino de las cantidades que se suman o se

restan.

Pero adems, al-Khwrizm no habla de cantidades positivaso cantidades negativas, esto ltimo es simplemente impensa-ble, sino de cantidades que se suman y cantidades que se res-tan a otras: en este caso unidades aadidas y unidadessubstradas a unas decenas. El calificativo aadido o subs-trado, aditivo o substractivo no tiene sentido para unacantidad aislada, slo tiene sentido para una cantidad que estinmersa en un clculo. La regla de multiplicacin es pues una

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regla operatoria sobre lo que la cantidad est realizando o harealizado en una operacin aritmtica: ser aadida o ser subs-trada en el curso de la realizacin de un clculo es lo que leda a las cantidades, slo a efectos de ese clculo, el carcteraditivo o substractivo. Ese carcter aditivo o substractivo noes pues una propiedad absoluta de una cantidad, sino una pro-piedad de la cantidad relativa a un clculo concreto en el que

aparece: como se est multiplicando una cantidad, a la que sele ha aadido otra, por otra cantidad, a la que se le ha subs-trado otra, el cuarto producto es una cantidad substractiva,es decir, una cantidad que se va a substraer de otra.

Por otro lado, la regla slo est enunciada para la cuarta mul-tiplicacin, que es la multiplicacin en la que los factores pro-vienen ambos de las cantidades que estn aadidas o substra-das a otras. Slo en este caso tiene al-Khwrizm que enun-ciar una regla. En los otros casos, interviene una cantidad queni est aadida ni est substrada, sino que es la cantidad a laque se le aade o se le quita algo. Cuando dos de esas canti-dades se multiplican, el producto no es aditivo ni substracti-vo, es de nuevo una cantidad a la que se le aade o se le quitaalgo. Cuando una de estas cantidades se multiplica por unacantidad aadida o substrada, el producto resultante tiene elcarcter aditivo o substractivo de la cantidad por la que semultiplica, sin que la cantidad que ni es aadida ni substradapueda influir en ese carcter.

Al-Khwrizm ejemplifica a continuacin las reglas que haformulado en general en el modelo aritmtico concreto contres ejemplos numricos, elegidos para tener uno de cada unade las posibilidades de producto de unidades aadidas yunidades substradas. El primero, y ms simple, es:

Por ejemplo: diez y uno por diez y dos; el diez por el diez escien; el uno por el diez, diez aditivo; el dos por el diez, veinteaditivo; el uno por el dos, dos aditivo. Y todo esto es treinta ydos. (Rashed, 2007, p. 122-123; Hughes, 1986, p. 241).

En este ejemplo est patente ese carcter asimtrico de la adi-cin que hemos indicado: en diez y uno, diez es la cantidad ala que se le suma otra cantidad; uno es la cantidad aadida. Elmodelo de adicin que subyace es el de una cantidad inicial alque se le aade una cantidad que cambia la cantidad inicial,no es el modelo de adicin que la presenta como el cardinal dela unin de dos conjuntos disjuntos y en el que los dos suman-

dos desempean el mismo papel en la adicin.

Ambos dieces, el de diez y uno y el de diez y dos, son can-tidades que ni son aadidas ni substradas: su producto, portanto, no es aditivo ni substractivo. Al-Khwrizm escribe eldiez por el diez es cien, y no el diez por el diez es cien aditi-vo. En las otras tres multiplicaciones, el producto s que estcalificado, en este caso, siempre como aditivo. Veamos losotros dos ejemplos:

Si se tiene diez menos uno por diez menos uno, el diez por eldiez es cien; y el uno substrado por el diez es diez substrac-tivo, y el uno tambin substrado por el diez es diez substrac-tivo. Esto es ochenta. Y el uno substrado por el uno substra-do, uno aditivo. Esto es pues ochenta y uno.Si se tiene diez y dos por diez menos uno, el diez por el diezes cien; el uno substrado por el diez es diez substractivo; eldos aadido por el diez es veinte aditivo. Esto es ciento diez.El dos aadido por el uno substrado es dos substractivo.Todo esto es pues ciento ocho (Rashed, 2007, pp. 122-125;Hughes, 1986, pp. 241-242).

Los tres ejemplos son pues

(10 + 1) (10 + 2)(10 1) (10 1)(10 + 2) (10 1)

Los dieces son siempre cantidades que ni son aadidas nisubstradas. En los clculos al-Khwrizm siempre escribediez sin calificativo alguno. En el primer ejemplo, en que lasotras cantidades estn ambas aadidas, al-Khwrizm no sepreocupa de escribir el calificativo aadido con el uno o eldos, pero en los otros dos ejemplos, siempre lo escribe: el unosubstrado, el dos aadido.

Los productos siempre van acompaados de su calificativo,aditivo o substractivo, de manera que el clculo se comple-ta luego realizando sobre el primer producto, es decir, elresultado de la multiplicacin de las dos cantidades iniciales(que es al que se van a aadir o del que se van a substraer elresto de los productos) las adiciones o substracciones corres-pondientes al carcter de los otros tres productos. Al-Khwrizm, adems, se detiene en subrayar el efecto de la

cuarta multiplicacin, que es en la que ambos factores estncalificados como aadido o substrado.

Una vez expuestos los ejemplos de los clculos aritmticosque son el modelo concreto para ensear las reglas de clculocon la cosa, al-Khwrizm dice explcitamente que sa ha sidosu intencin al explicar todo lo anterior:

Te he mostrado esto para indicarte cmo multiplicar lascosas unas por otras, si estn aadidas a un nmero, o resta-das de un nmero, o disminuidas por un nmero (Rashed,2007, pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

Dicho esto, al-Khwrizm desgrana ejemplos de clculos conexpresiones con la cosa del estilo que ha anunciado, en losque, al poner en funcionamiento para esas expresiones alge-braicas los clculos que ha mostrado en el modelo concretoaritmtico, va ms all de la imitacin con las expresionesalgebraicas de los clculos aritmticos. En particular, lo aditi-vo y lo substractivo dejan de ser calificativos estrictamenteligados a lo que se aade o se substrae a una cantidad que nies aditiva ni substractiva, para calificar tambin a las cantida-des que en las expresiones aritmticas aparecan como canti-

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dades iniciales. Pero adems, lo substractivo, aunque sigueapareciendo como substrado de una cantidad, parece inde-pendizarse en el curso de los clculos. Veamos cmo son losejemplos.

Los ejemplos son estos diez:

1. (10 x) 10 2. (10 +x) 103. (10 +x) (10 +x) 4. (10 x) (10 x)5. (1 1/6) (1 1/6) 6. (10 x) (10 +x)7. (10 x) x 8. (10 +x) (x 10)9. (10 +x/2) (1/2 5x) 10. (10 +x) (x 10)

El quinto ejemplo no es en realidad un clculo de expresionescon la cosa, sino que el lugar de la cosa est ocupado por unafraccin. En el ejemplo noveno tambin hay fracciones, o,para ser ms preciso, mitades, y curiosamente, el nmero decosas es la mitad de diez. Estos dos ejemplos no responden almismo esquema sistemtico de desarrollo de posibilidadesque los otros, y slo parece tener sentido que al-Khwrizmlos incluya por la dificultad que conllevaba el clculo con frac-ciones en su poca.

En el ejemplo dcimo, cuyo enunciado es el mismo que el deloctavo, lo que hace al-Khwrizm es decir que diez y cosa eslo mismo que cosa y diez y desarrollar entonces el clculo(x + 10) (x 10).

Veamos en detalle cmo desarrolla al-Khwrizm los ejem-plos. Empecemos por los cuatro primeros.

1. (10 x) 10

Si se te dice: diez menos cosa, y el sentido de la cosa es la raz,por diez, entonces multiplica diez por diez, resulta cien, ymenos cosa por diez, resulta diez races substractivas.Decimos: cien menos diez cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125;Hughes, 1986, p. 242).

2. (10 +x) 10

Si se dice: diez y cosa por diez, t multiplicas diez por diez,resulta cien, y cosa por diez, resulta diez cosas aditivas. Setiene pues cien y diez cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125;Hughes, 1986, p. 242).

3. (10 +x) (10 +x)

Si se dice: diez y cosa por s misma, t dices: diez por diez,cien, y diez por cosa, diez cosas, y diez por cosa, diez cosastambin, y cosa por cosa, tesoro aditivo. Resulta entoncescien dirhams y veinte cosas y tesoro aditivo (Rashed, 2007,pp. 124-125; Hughes, 1986, p. 242).

4. (10 x) (10 x)

Si se dice: diez menos cosa por diez menos cosa, t dices: diezpor diez, cien, y menos cosa por diez, diez cosas substracti-vas, y menos cosa por diez, diez cosas substractivas, y menos

cosa por menos cosa, tesoro aditivo. Resulta pues cien y teso-ro menos veinte cosas (Rashed, 2007, pp. 124-125; Hughes,1986, p. 242).

En estos cuatro ejemplos, al-Khwrizm hace las dos o las cua-tro multiplicaciones por separado, y luego combina los pro-ductos teniendo en cuenta si cada uno de ellos es aditivo osubstractivo. Hasta aqu no hace ms que calcar sobre las

expresiones con la cosa lo que ha hecho con el modelo arit-mtico ms concreto, substituyendo simplemente el uno o eldos, que estaban aadidos o substrados a diez en los ejemplosaritmticos, por la cosa.

Sin embargo, hay algo que es nuevo: en los ejemplos aritmti-cos en que aparece diez menos uno, al-Khwrizm llamabaen los clculos el uno substrado a ese uno que en la expre-sin aritmtica est despus de la palabra menos, aqu al-Khwrizm ante la expresin equivalente diez menos cosa nodice en los clculos la cosa substrada, sino menos cosa yadesde el primer ejemplo.

Lo substrado de una cantidad, el uno substrado de diez enel ejemplo aritmtico expresado en la frase diez menos uno,se independiza para ser no una cosa substrada sino menoscosa.

Por supuesto que esto est lejos de indicar la constitucin dela idea de nmero negativo: slo cuando nombra lo que se vaa multiplicar dice al-Khwrizm menos cosa, en cuanto setrata del resultado de la multiplicacin, de nuevo est presen-te que cualquier cosa que lleve delante la palabra menosrepresenta una cantidad que ha de substraerse de otra. Elresultado de la multiplicacin de menos cosa por diez no es

menos diez cosas, sino diez cosas substractivas. La palabramenos, la expresin menos cosa slo se ha independizadode la cantidad de la que se substrae mientras se est calculan-do con ella.

Eso no quita para que la reiteracin a lo largo del texto de al-Khwrizm de la expresin menos cosa le d carta de natu-raleza como parte del lenguaje algebraico que al-Khwrizmusa en su libro, y probablemente contribuy a establecer. Siusamos la clsica caracterizacin de Nesselman (1842) de lostipos de lenguaje algebraico, el texto de al-Khwrizm esretrico porque los clculos algebraicos estn expresados

totalmente y en detalle usando palabras del lenguaje verncu-lo. Ahora bien, decir que entonces el lgebra est escrita enlenguaje vernculo es contar slo la mitad de la historia: al-Khwrizm slo usa el lenguaje vernculo, por supuesto, pero,por un lado, fija significados tcnicos de las palabras, y, porotro, y ms importante para lo que quiero sealar aqu, esque-matiza y estereotipa el texto. Salta a la vista cuando se lee ellibro de lgebra de al-Khwrizm, o simplemente los fragmen-tos que estoy citando aqu, que al-Khwrizm construye frasesrepitiendo expresiones verbales que, por la reiteracin, se

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convierten en frmulas estereotipadas. El historiador libansAdel Anbouba dice que una frase como ill shay f ill shayml zid(menos cosa por menos cosa, tesoro aditivo), queacabamos de encontrar en el cuarto ejemplo, va contra lagramtica (Anbouba, 1978, p. 72). Al-Khwrizm rompe lagramtica de la lengua verncula como parte de su elabora-cin del sistema de signos del lgebra, que no se hace con ms

materia de la expresin que la de la propia lengua verncula2.La nueva gramtica produce textos esquemticos y estereoti-pados: menos cosa es ms compacto y manejable en untexto esquemtico y estereotipado que la cosa substrada, y,una vez se ha permitido violar la gramtica, se puede inde-pendizar de la expresin completa que le daba sentido (diezmenos cosa), para designar algo con lo que se hacen clculosalgebraicos3.

Veamos el quinto ejemplo, en el que no aparece la cosa, peroque al-Khwrizm enlaza con los anteriores al empezardiciendo De la misma manera, lo que nos podra hacer pen-sar que el sentido de incluir este ejemplo no est en usarlocomo modelo aritmtico y por tanto ms concreto de la mul-tiplicacin de expresiones con la cosa, sino, por el contrario,como aplicacin ahora de esos clculos de vuelta a la aritm-tica, para unos clculos que son difciles.

5. (1 1/6) (1 1/6)

De la misma manera si te dicen: un dirham menos un sextopor un dirham menos un sexto. Se tiene cinco sextos por smismo, es decir, veinticinco partes de treinta y seis partes dedirham, que es dos tercios y un sexto de un sexto.La regla para ello es : multiplicas un dirham por un dirham, setiene un dirham. Y menos un sexto por un dirham vale un

sexto substractivo, y menos un sexto por un dirham vale unsexto substractivo. Queda dos tercios de un dirham. Y menosun sexto por menos un sexto vale un sexto de un sexto aditi-vo. Es pues dos tercios y un sexto de un sexto (Rashed, 2007,pp. 126-127; Hughes, 1986, p. 242).

No entrar aqu en las peculiaridades de la denominacin delas fracciones en la poca rabe medieval, que son responsa-bles de algunos de los detalles de estos clculos. Slo mencio-nar que la lengua rabe tiene nombre slo para las fraccionesunitarias, y que stas se llaman fracciones expresables, mien-tras que las dems se llaman inexpresables o sordas (exac-tamente la misma palabra se usa tambin para las magnitudes

inconmensurables). Las fracciones sordas se describen conexpresiones como la que aparece en este texto: veinticincopartes de treinta y seis partes para 25/36, reiterando la pala-bra parte para indicar claramente que la unidad (en estecaso, el dirham) se ha dividido en treinta y seis partes y que sehan tomado veinticinco de esas treinta y seis. Tambin tienenombre para fracciones con un dos en el numerador, comodos tercios, pero eso se debe a que la lengua rabe no slotiene singular y plural, sino tambin dual, por lo que paradecir dos cosas, por ejemplo, no se usa el nmero dos, sino

que se pone la palabra cosa en dual. Esto explica la forma enque al-Khwrizm da aqu el resultado: en rabe se ve comoms simple la expresin dos tercios y un sexto de un sextoque veinticinco partes de treinta y seis partes.

Lo que interesa sealar, y va en el sentido que haba adelanta-do antes de exponer este ejemplo, es que aqu al-Khwrizm

aplica al clculo de expresiones con fracciones la regla que haenunciado para expresiones con la cosa, e incluso usa elmismo lenguaje esquematizado y estereotipado que viola lagramtica: menos un sexto por menos un sexto, etc.

Veamos ahora los ejemplos sexto, sptimo y octavo

6. (10 x) (10 +x)

Si se dice: diez menos cosa por diez y cosa, t dices: diez pordiez, cien, y menos cosa por diez, diez cosas substractivas;cosa por diez, diez cosas aditivas, y menos cosa por cosa,tesoro substractivo. Y esto es cien dirhams menos un tesoro

(Rashed, 2007, pp. 126-127; Hughes, 1986, p. 242).

7. (10 x) x

Si se dice: diez menos cosa por cosa, t dices: diez por cosa,diez cosas, y menos cosa por cosa, tesoro substractivo.Resulta pues diez cosas menos un tesoro (Rashed, 2007, pp.126-127; Hughes, 1986, pp. 242-243).

8. (10 +x) (x 10)

Si se dice: diez y cosa por cosa menos diez, t dices: cosa pordiez, diez cosas aditivas; cosa por cosa, tesoro aditivo; menosdiez por diez, cien dirhams substractivos; menos diez por

cosa, diez cosas substractivas. Decimos entonces: un tesoromenos cien dirhams. Despus de haberlas opuesto, se elimi-nan diez cosas aditivas con diez cosas substractivas. Quedarentonces un tesoro menos cien dirhams (Rashed, 2007, pp.126-129; Hughes, 1986, p. 243).

El ejemplo sptimo no incluye nada nuevo, su diferencia conlos ejemplos primero y segundo es simplemente que la expre-sin simple es una cosa en vez de ser un diez, por lo que unade las dos multiplicaciones da origen a un tesoro, en este casosubstractivo. Esa multiplicacin de la cosa por la cosa ya habaaparecido en los ejemplos tercero y cuarto, y es una multipli-cacin de especies de nmeros: cosa por cosa es tesoro ya queal-Khwrizm ha advertido que el sentido de la cosa es la

raz4

.

En los ejemplos sexto y octavo, las diez cosas aditivas se com-pensan con las diez cosas substractivas, quedando una expre-sin en la que slo hay dos especies: simples nmeros o dir-hams y tesoros. En el ejemplo sexto al-Khwrizm se limita aenunciar el resultado: Y esto es cien dirhams menos un teso-ro. El ejemplo octavo es ms interesante porque al-Khwrizm explica cmo han desaparecido las cosas al finalde los clculos, y, en la explicacin, utiliza la palabra qblat,

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que tiene la misma raz que al-muqbala, la palabra que apa-rece en el ttulo del libro de al-Khwrizm acompaando a al-jabr, y que es el nombre de una de las operaciones fundamen-tales que definen el clculo. Esa raz tiene el significado deoponer una cosa a otra, y se usa para compensar los trminosde una expresin algebraica que sean de la misma especie. Enel caso de este clculo, hay dos de las cuatro multiplicaciones

que han producido trminos de la misma especie: diez cosasaditivas y diez cosas substractivas. El calculista algebraico lasopone, las pone una frente a otra y las compensa, en este casola oposicin, al-muqbala, tiene como consecuencia que lascosas se eliminan y en la expresin final no hay cosas, slo dir-hams y tesoros.

El ejemplo noveno, ya lo anunciaba cuando comenzamos aexaminar estos ejemplos, es peculiar por la presencia de mita-des:

9. (10 +x/2) (1/2 5x)

Si se dice: diez dirhams y media cosa por medio dirhammenos cinco cosas, t dices: medio dirham por diez, cincodirhams aditivos; y medio dirham por media cosa, un cuartode cosa aditivo, y menos cinco por diez dirhams, cincuentaraces substractivas. Resulta la suma de todo entonces cincodirhams menos cuarenta y nueve races y tres cuartos de raz.Multiplicas luego cinco races substractivas por media razaditiva. Resulta dos tesoros y medio substractivos. Es enton-ces cinco dirhams menos dos tesoros y medio y menos cua-renta y nueve races y tres cuartos de raz. (Rashed, 2007, pp.128-129; Hughes, 1986, p. 243).

Este ejemplo nos hace ver de nuevo que la presencia de frac-

ciones era una dificultad notable para los clculos, pero nonos vamos a entretener ms que en constatarlo.

El ltimo ejemplo muestra, en primer lugar, que es necesariodecir explcitamente que diez y cosa es lo mismo que cosa ydiez.

10. (10 +x) (x 10)

Si se dice: diez y cosa por cosa menos diez. Es como si sehubiera dicho: cosa y diez por cosa menos diez. T dices: cosapor cosa, tesoro aditivo; diez por cosa, diez cosas aditivas;menos diez por cosa, diez cosas substractivas. Se anula lo

aditivo con lo substractivo y queda el tesoro. Y menos diezpor diez, cien substrado del tesoro. Resulta pues un tesoromenos cien dirhams. (Rashed, 2007, pp. 128-129; Hughes,1986, p. 243).

Aqu, la oposicin de los dos trminos que son de la mismaespecie se enuncia sin tanta precisin como en el ejemplooctavo, y como despus de las tres primeras multiplicacionesslo queda el tesoro, la cuarta multiplicacin, que da un resul-tado substractivo, se enuncia como cien substrado del teso-

ro. Pero eso no completa el clculo, sino que el resultado se dacon la expresin algebraica en su forma esquemtica y estere-otipada: un tesoro menos cien dirhams.

Despus de este ltimo ejemplo, al-Khwrizm termina elcaptulo Sobre la multiplicacin recapitulando:

Y para todo lo que se obtiene por la multiplicacin de aditi-vo y substractivo, como menos cosa por cosas aadidas, elltimo producto es substractivo siempre. (Rashed, 2007, pp.128-129; Hughes, 1986, p. 243).

El clculo con especies

Al-Khwrizm slo trata con tres especies: tesoros, races ysimples nmeros. En el captulo Sobre la multiplicacin, quehemos examinado, desarrolla un clculo con expresiones enlas que est la cosa y ensea a calcular con las cosas si estnsolas, si estn con un nmero, si estn disminuidas en unnmero o si estn restadas de un nmero. Con ello trata todaslas multiplicaciones entre expresiones con especies que pue-den aparecer en su clculo; cualquier otra multiplicacin exi-gira ampliar la serie de las especies, incluyendo el cubo, eltesoro tesoro, el tesoro cubo, etc., como hicieron tras l sobretodo al-Karaj, as-Samawal y los que les siguieron. En losotros dos captulos al-Khwrizm aborda las tres operacionesaritmticas que faltan: adicin, substraccin y divisin. Sinembargo, en estos captulos al-Khwrizm no sigue calculan-do con la cosa; de hecho, la palabra cosa ni siquiera apareceuna sola vez en ellos. Las expresiones con las que al-Khwrizm calcula en estos dos captulos son algunas expre-siones con especies y, sobre todo, expresiones en las que apa-

recen radicales.

No examinar los dos captulos completos como he hecho enel caso del captulo Sobre la multiplicacin, sino que melimitar a examinar unos clculos que presenta en el captuloSobre la adicin y la substraccin que son peculiares. En elconjunto de estos dos captulos, el estilo de presentacin esbastante diferente del que hemos visto que al-Khwrizm uti-liza en el captulo Sobre la multiplicacin: no hay aqumodelo concreto alguno a partir del cual se le d sentido a losclculos algebraicos. Los clculos que vamos a examinar tie-nen la peculiaridad, adems, de que al-Khwrizm los

demuestra mediante figuras en dos casos, y dice que no esposible demostrarlo mediante figuras en otro, pero que en esecaso se puede hacer una demostracin con palabras. Estademostracin con palabras puede verse como el germen dela demostracin puramente algebraica.

Los dos primeros clculos no son clculos con especies sinocon radicales, en concreto la adicin y la substraccin de dosbinomios con radicales cuadrticos que son irracionales:

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y

Veamos cmo enuncia al-Khwrizm los clculos:

Que sepas que la raz de doscientos menos diez, sumada aveinte menos la raz de doscientos, es igual a diez.La raz de doscientos menos diez restada de veinte menos laraz de doscientos es treinta menos dos races de doscientos,y dos races de doscientos es la raz de ochocientos (Rashed,2007, pp. 130-131; Hughes, 1986, p. 243).

Los otros clculos son la adicin y la substraccin de dosexpresiones algebraicas que ambas contienen las tres espe-cies:

(100 +x2 20x) + (50 + 10x 2x2)y(100 +x2 20x) (50 + 10x 2x2)

Veamos cmo enuncia al-Khwrizm los clculos:

Cien y tesoro menos veinte races, a lo que se aade cincuen-ta y diez races menos dos tesoros, resulta ciento cincuentamenos un tesoro y menos diez races (Rashed, 2007, pp. 130-131; Hughes, 1986, p. 243).Cien y tesoro menos veinte races, de lo que se substrae cin-cuenta y diez races menos dos tesoros, resulta cincuenta dir-hams y tres tesoros menos treinta races (Rashed, 2007, pp.130-1315).

Tras esos enunciados en los que nada se explica, al-

Khwrizm promete demostraciones:

Te muestro su causa verdadera de una forma que te conducea lo que se busca, si Dios quiere (Rashed, 2007, pp. 130-131;Hughes, 1986, p. 243).

Las demostraciones no estn, sin embargo, a continuacin deestos enunciados, sino que al-Khwrizm contina el captulo

Sobre la adicin y la substraccin con cuestiones cmoduplicar la raz de cualquier tesoro, conocido o sordo, tripli-carla, etc., cuestiones que no vamos a examinar, y slo al finaldel captulo Sobre la divisin aparecen las demostraciones.

La primera de ellas, que pretende demostrar que efectiva-mente

es una demostracin hecha mediante una figura, que se cons-truye para representar las expresiones y ver en ella que los cl-culos dan lo que se ha dicho que dan. En la figura 1 indicamoscmo estn representadas las expresiones en la figura que al-Khwrizm construye. La figura 2 es la que aparece en la edi-cin de Masharrafa y Ahmad del texto de al-Khwrizm(Masharrafa y Ahmad, 1939 p. 33).La demostracin comienza como sigue:

En cuanto a la causa de la raz de doscientos menos diez aa-

dida a veinte menos la raz de doscientos, sta es la figura: larecta AB es la raz de doscientos: de A al punto B es el diez, ylo que queda de la raz de doscientos es el resto de la rectaAB, es decir la recta CB (Rashed, 2007, pp. 136-137; Hughes,1986, p. 245).

Al-Khwrizm comienza pues construyendo un segmento ABpara representar la raz de doscientos (que es irracional,sorda, en la terminologa de al-Khwrizm) en el que sealaun segmento igual a diez para tener as representado tanto laraz de doscientos como el binomio inicial, raz de doscientosmenos diez.

Construye luego una recta del punto B al punto D, la recta

veinte, que es el doble de la recta AC, que es diez (Rashed,2007, pp. 136-137; Hughes, 1986, p. 245).

Lo que le va a aadir al binomio inicial, no lo representa acontinuacin del segmento ya construido, como pareceranatural para representar la adicin como yuxtaposicin desegmentos, sino que en otra recta (dispuesta perpendicular-mente a la anterior, pero el hecho de que aparezca perpendi-

200 10 20 200( ) + ( )

20 200 200 10( ) ( )

200 10 20 200 10( ) + ( ) =

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Figura 1 Figura 2

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cular en la figura no desempea papel alguno) va a represen-tar el otro binomio, comenzando para ello por la cantidad a laque se le substrae algo, en este caso, por el veinte. El segmen-toBD se construye de manera que sea el doble del segmentoAC, ya que ste representa diez, y ahora se trata de represen-tar veinte. De la misma manera, llevar a ese nuevo segmentootro igual a la raz de doscientos, para representar as veinte

menos la raz de doscientos, es decir, el binomio que se sumaal inicial:

Del punto B al punto E una igual a la recta AB, es tambin laraz de doscientos. El resto del veinte es del punto E al puntoD (Rashed, 2007, pp. 136-137; Hughes, 1986, p. 245).

Con los dos binomios representados, ya est en condicionesde representar su adicin:

Ya que queremos aadir lo que queda de la raz de doscien-tos una vez quitado el diez, que es la recta CB, a la recta ED,que es veinte menos la raz de doscientos, cortamos de la

recta BE una recta igual a la recta CB, sea la recta GE(Rashed, 2007, pp. 136-139; Hughes, 1986, p. 245).

Es decir, al-Khwrizm traslada ahora el segmento que repre-senta raz de doscientos menos veinte en la primera recta a lasegunda recta, colocndolo a continuacin del segmento querepresenta veinte menos la raz de doscientos, de manera queest a la vez separando una parte del segmento que represen-ta a la raz de doscientos. Entonces puede identificar los seg-mentos correspondientes en las dos rectas que ha construido.

Ahora bien, es evidente que la recta AB, que es la raz de dos-cientos, es igual a la recta BE; que la recta AC, que es el diez,

es igual a la recta BG, y que el resto de la recta AB que es CB,es igual al resto de la recta GE (Rashed, 2007, pp. 138-139;Hughes, 1986, p. 245).

Con lo que puede proceder a ver que, representada as la adi-cin de los dos binomios en la segunda recta, el resultado esel que haba enunciado.

Aadimos a la recta ED la recta GE; ser evidente que se hasubstrado de la recta BD, que es veinte, una recta igual a larecta AC, que es diez, es decir, la recta BG, y que nos quedala recta GD, que es diez (Rashed, 2007, pp. 138-139; Hughes,1986, p. 245).

Y concluye:

Lo que haba que demostrar. He aqu la figura (Rashed, 2007,pp. 138-139; Hughes, 1986, p. 245).

La demostracin es del mismo estilo que la que al-Khwrizmhace de los algoritmos de resolucin de las formas cannicascompuestas. Una demostracin cuya garanta de verdad resi-de en que se ve lo que se quiere demostrar en una figura en laque se representan los objetos algebraicos (en este casomediante segmentos) y las operaciones con ellos (mediante

operaciones de cortar, trasladar y pegar, en este caso los seg-mentos). En ningn caso se duda que lo que se vea pueda serengaoso, continuamente est diciendo al-Khwrizm es evi-dente que (Cremona traduce ergo manifestum est nobis,por tanto es evidente para nosotros).

Por tanto, al-Khwrizm no busca la garanta de verdad en un

conjunto establecido de proposiciones que se aceptan comoverdaderas y de procedimientos de derivacin de nuevas pro-posiciones verdaderas a partir de las ya establecidas. Es decir,no son demostraciones que se sustenten en el edificio eucl-deo de definiciones, nociones comunes, postulados y propo-siciones derivadas a partir de ellos. Son demostracioneshechas con figuras geomtricas, pero no demostraciones geo-mtricas (en el sentido eucldeo).

La segunda de las demostraciones es del mismo estilo. En lafigura 3 indicamos cmo estn representadas las expresionesen la figura que al-Khwrizm construye. La figura 4 es la queaparece en la edicin de Masharrafa y Ahmad del texto de al-Khwrizm (Masharrafa y Ahmad, 1939 p. 34).

En cuanto a la causa de la raz de doscientos menos diezsubstrada de veinte menos raz de doscientos, he aqu lafigura: la recta AB es la raz de doscientos; de A al punto C,es el diez conocido. Construyamos del punto B al punto Duna recta y pongmosla veinte. Pongamos del punto B alpunto E una recta igual a la recta raz de doscientos, que esigual a la recta AB. Es evidente que la recta CB es lo quequeda de la raz de doscientos, una vez quitado el diez, y quela recta ED es lo que queda de veinte una vez quitada la razde doscientos. (Rashed, 2007, pp. 138-139; Hughes, 1986, p.246).

La representacin comienza de la misma manera que en elcaso anterior, ya que los binomios son los mismos, pero ahorase trata de substraer uno de otro en vez de sumarlos, por loque la construccin del segundo segmento ha de ser distinta.El diez que est substrado del binomio que se substrae, locoloca en la figura aadido al segmento que representa elbinomio del que se tiene que substraer, en la derecha del seg-mento que lo representa (ver la figura 3).

Queremos substraer la recta CB de la recta ED.Construyamos una recta desde el punto B al punto G, que seigual a la recta AC, que es diez. La recta GD entera ser puesigual a la recta GB, y la recta BD. Ahora bien, es evidente que

todo esto es treinta. (Rashed, 2007, pp. 138-141; Hughes,1986, p. 246).

El resto de la demostracin transcurre de forma similar a laanterior:

Es evidente que la recta BE es la raz de doscientos, y que larecta GB y BC es igualmente la raz de doscientos. Ya que larecta EH se ha hecho igual a la recta CB, ser evidente que loque se ha substrado de la recta GB, que es treinta, es dos ra-

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ces de doscientos. Pero dos races de doscientos es la raz deochocientos (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p.246).

Y concluye:

Lo que haba que demostrar. He aqu la figura (Rashed, 2007,pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 246).

La tercera demostracin que vamos a examinar es diferente, yno tiene parangn con ninguna de las demostraciones que al-Khwrizm hace en su libro. No es una demostracin configuras geomtricas del estilo ingenuo, con la garanta deverdad en lo que se ve, sin dudar de ello, que acabamos de veren prctica en las dos demostraciones anteriores. Lo que al-Khwrizm quiere demostrar no es ahora un clculo con radi-cales, sino una adicin de dos expresiones con especies, cuyoresultado ha enunciado en el captulo Sobre la adicin y lasubstraccin unas pginas antes6:

(100 +x2 20x) + (50 + 10x 2x2) = 150 x2 10x

El mismo al-Khwrizm explica por qu no va a hacer unademostracin con figuras:

En cuanto a cien y un tesoro menos veinte races, a las que seaaden cincuenta y diez races menos dos tesoros, no le con-viene ninguna figura porque est compuesta por tres espe-cies diferentes, tesoros, races y nmeros, y no hay con ellaslo que les sea igual, para que pueda ser representado en unafigura (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, pp. 246-247).

En las demostraciones mediante figuras de los algoritmos desolucin de las formas cannicas compuestas que hace al-Khwrizm, la manera que tiene de representar las tres espe-cies depende efectivamente de que lo que ha de representar esuna ecuacin. En efecto, al-Khwrizm representa los tesorosmediante cuadrados y las races mediante rectngulos en losque un lado representa la raz (del tesoro) y el otro el nmerode races, con lo que las races es tambin una superficie.Para representar la tercera especie, los simples nmeros, al-

Khwrizm recurre al artificio de que stos estn representa-dos por toda la superficie de la figura, lo que puede hacer yaque los simples nmeros estn relacionados con las otras dosespecies por substraccin o adicin en las ecuaciones. Esto nopuede hacerse si no se trata de representar una ecuacin, sinouna expresin algebraica como las que tiene que representarahora, por eso dice al-Khwrizm que no le conviene unafigura porque tiene las tres especies y no hay con ellas lo queles sea igual.

Al-Khwrizm concluye esta explicacin con una frase enig-mtica:

Pudimos hacer una figura de ello, pero no sensible (Rashed,2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Nada ms nos dice al-Khwrizm de esa figura no sensible,porque ante esta dificultad abandona el recurso a las figurassensibles en las que cortar, trasladar y pegar para ver lo que se

quiere demostrar (y tampoco recurre a esa enigmtica figurano sensible), para hacer lo que podemos llamar el primerprecursor del que tenemos noticia de una demostracin pura-mente algebraica: una demostracin que se hace simplemen-te en el terreno de la expresin en el sistema de signos dellgebra sin recurso a las figuras. Al-Khwrizm la llamademostracin mediante palabras (al-lafz), o por la expresin(Cremona traduce verbis, por las palabras):

En cuanto a su necesidad es evidente en palabras 7 [por laexpresin] (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

sta es la demostracin por la expresin o en palabras:

Sabes en efecto que tienes cien y un tesoro menos veinte ra-ces. Ya que le has aadido cincuenta y diez races, resultaciento cincuenta y un tesoro menos diez races porque estasdiez races han restaurado las veinte races substradas a diezraces (Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Al-Khwrizm trata las expresiones por partes, considerandoque las dos que se van a aadir constan de una parte que es lacantidad digamos principal o inicial, y otra que es la cantidadque se le ha quitado, y por tanto le falta a la cantidad inicial, y

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Figura 3 Figura 4

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ha de restaurarse en el curso de los clculos, si se quiere llegara una forma cannica. se es el sentido que tiene al-jabr, laoperacin fundamental del clculo: la restauracin de lo quefalta. Lo primero que hace aqu al-Khwrizm es restaurar lasveinte races substradas a la primera cantidad (cien y tesoro)con las diez races de la segunda cantidad, con lo que consiguerestaurar parte de lo que le falta a la primera. Ahora puede

tratar el caso de los dos tesoros que le faltan a la segunda can-tidad:

Queda pues ciento cincuenta y un tesoro menos diez races;haba un tesoro con el cien; as, cuando has substrado decien y un tesoro los dos tesoros substrados de cincuenta, un

tesoro se anula con un tesoro y te queda un tesoro. Resultapues ciento cincuenta menos un tesoro menos diez races(Rashed, 2007, pp. 140-141; Hughes, 1986, p. 247).

Y concluye

Lo que haba que demostrar (Rashed, 2007, pp. 140-141;Hughes, 1986, p. 247).

inaugurando as una nueva forma de demostrar, cuya historiavale la pena indagar8. Sin embargo, no puedo dejar de pensarque me hubiera gustado ver esa figura no sensible que al-Khwrizm dice haber hecho, pero que se guard para s.

HISTORIAS

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SUMA 67Junio 2011

1 Se supone que el libro de clculo hind lo escribi al-Khwrizm despus

del libro de lgebra, porque al comienzo de l cita el libro de lgebra.Aunque esa hiptesis es plausible, cabe que no fuera as ya que no se con-serva ningn testimonio del libro de clculo hind que no est mezcladocon textos procedentes de otras fuentes (ver la entrega de estas historias

de al-Khwrizm subtitulada Los Libros, Puig, 2008). Adems, que al-Khwrizm an no hubiera escrito su libro de clculo hind no excluyeque no conociera ya la representacin de los nmeros hind que luegocontribuira decisivamente a difundir en todo el mundo.

2 El historiador tunecino Mahdi Abdeljaouad hace, en su introduccin a un

texto del siglo XIV de Ibn al Him, un comentario del mismo orden: se vefuncionar una lengua matemtica, totalmente retrica, pero que respon-de a las reglas lingsticas especficas de la lengua algebraica(Adbeljaouad, 2003, p. 11). Es ese responder a reglas especficas lo que

permite hablar del sistema algebraico de signos del texto de al-Khwrizm,aunque todo l sea retrico, es decir, no use ms materia de la expresinque la materia de la expresin de la lengua verncula.

3 En la traduccin latina de Cremona, las cosas no son exactamente iguales.Diez menos cosa por diez menos cosa es Decem re diminuta in decem

re diminuta, en donde diminuta viene del verbo diminuere, substraer,

y, por tanto, est mas cerca de cosa substrada que de menos cosa. Enconsecuencia, cuando Cremona traduce la frase contra la gramtica rabeill shay f ill shay ml zid(menos cosa por menos cosa, tesoro adi-tivo), escribe res diminuta in rem diminutam fit census additus, literal-mente cosa substrada por cosa substrada hace censo aadido, en la que

no aparece menos cosa, quiz gracias a la sintaxis latina.4 Sobre las complejas relaciones entre cosa y raz, ver la anterior entrega

de estas historias, que subtitul precisamente La cosa (Puig, 2011).5 Este clculo no aparece en la traduccin latina de Cremona.6 De la substraccin de estas dos expresiones, que tambin aparece enun-

ciada en el captulo Sobre la adicin y la substraccin, pero no en la tra-duccin latina de Cremona, no da al-Khwrizm ninguna demostracin,ni la menciona al presentar esta demostracin.

7 Cremona traduce: Eorum vero necessitas verbis manifesta est, Cuyanecesidad es evidente por las palabras [por la expresin].

8 Vase un punto de vista para hacerlo en Puig (2009) y Puig (in press), y losresultados de algunas indagaciones en el trabajo de Infante (2010), que se

han presentado parcialmente en Infante y Puig (2011).

NOTAS

Este artculo fue solicitado por Suma en febrero de 2011 y aceptado en mayo de 2011 para su publicacin

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Infante, J. F. (2010). Un estudio de las demostraciones de los algorit-mos de solucin de las formas cannicas de las ecuaciones desegundo grado en al-Khwrizm, Ab Kmil, Marc Aurel, JuanPrez de Moya y Pedro Nunes. Trabajo Fin del Mster de

Investigacin en Didcticas Especficas. Universitat de Valncia.Infante, F. y Puig, L. (2011). Una comparacin entre las demostra-

ciones de Pedro Nunes y al-Khwrizm de los algoritmos de lasformas cannicas de la ecuacin de segundo grado. CongressoIbero-americano de Histria do Ensino da Matemtica.Comunicacin. Covilh, 26 a 29 de mayo de 2011.

Masharrafa, A. M. y Ahmad, M. M. (Eds.) (1939). Al-Khwrizm,Muhammad ibn Msa. Kitb al-mukhtasar f hisb al-jabr wal-muqbala. Cairo: al-Qahirah. Reprinted 1968

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS