HISTORIA DE LA GEOMETRIA La geometra es una ciencia ms antigua. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prcticos en relacin con las longitudes, reas, volmenes. La civilizacin babilnica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometra con la invencin de la rueda, se abri el camino al estudio de la circunferencia que conllevara posteriormente el descubrimiento del nmero (pi), tambin desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada ao cuenta con 3360 das, adems implementacin de una frmula para calcular el rea del trapecio rectngulo. En el antiguo egipcio, estaba muy desarrollada, segn los textos de HERODOTD, ESTRABON y DIODORO SICULO.Euclides, en el siglo lll a.c configuro la geometra en forma axiomtica y constructiva, tratamiento que estableci una norma a seguir durante muchos siglos.- la geometra euclidiana descrita en los elementos.El estudio de la astronoma y la cartografa, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvi como importante fuente de resolucin de problemas geomtricos durante ms de un milenio. Rene descartes desarrollo simultneamente el lgebra de ecuaciones y la geometra analtica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geomtricas, tales como las figuras planas, podran ser representadas analticamente, es decir con funciones y ecuaciones. La geometra se enriquece con el estudio de la estructura intricada de los entes geomtricos que LA GEOMETRIA EN EL ANTIGUO EGIPTOLas primeras civilizaciones mediterrneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geomtricos de carcter eminentemente prctico. La geometra en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como adquirieron HERODOTO, ESTRABON Y DIODORO, que aceptaban que los egipcios haban inventado la geometra y la haban enseado a los griegos, aunque lo nico que ha perdurado son algunas frmulas o mejor dicho , algoritmos expresado en forma de receta para calcular volmenes. reas, Longitudes. Cuya finalidad era practica. con ellas se pretenda, por ejemplo, calcular la dimensin de las parcelas de tierraara reconstruirlas despus de las inundaciones anuales. De all el nombre,geometra: "medicin de la tierra" (de (g) 'tierra' ms (metra), 'medicin').Los denominadosPapiro de AhmesyPapiro de Moscmuestran conjuntos de mtodos prcticos para obtener diversas reas y volmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenan sobre la geometra.

Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilizacin sobre geometra as como los de las culturas mesopotmicas pas ntegramente a la cultura griega a travs deTales de Mileto, lospitagricosy, esencialmente, deEuclides. LA GEOMETRIA GRIEGA ANTES DE EUCLIDESLa Geometra Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prcticos de las civilizaciones egipcia y mesopotmica, y da un paso de abstraccin al considerar los objetos como entes ideales un rectngulo ideal, en lugar de una pared cuadrada concreta, un crculo en lugar del ojo de un pozo, etc. que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda deregla y comps. Aparece por primera vez lademostracincomo justificacin de la veracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran ms justificacionesintuitivas que verdaderas demostraciones formales.Talespermanecieron enEgiptouna larga temporada de su vida, aprendiendo de los conocimientos de sacerdotes y escribas. Fue el primero en ser capaz de calcular la altura de lasPirmides de Egipto. Para ello midi su propia altura, y en el preciso momento en el que su sombra meda exactamente la misma cantidad, mand a marcar la sombra del vrtice de la Gran Pirmide. De esa forma pudo calcular exactamente cul era su altura. Tambin se le atribuye la prediccin de un eclipse solar.La figura dePitgorasy de la secta por l creada: lospitagricos, tiene un papel central, pues eleva a la categora de elemento primigenio el concepto de nmero (filosofa que de forma ms explcita o ms implcita, siempre ha estado dentro de la Matemtica y de la Fsica), arrastrando a la Geometra al centro de su doctrina en este momento inicial de la historia de la Matemtica an no hay una distincin clara entre Geometra yAritmtica, y asienta definitivamente el concepto de demostracin (ste ya s coincide con el concepto de demostracin formal) como nica va de establecimiento de la verdad en Geometra.Esta actitud permiti (aun fuera de la secta) la medicin del radio de la Tierra por Eratstenes, as como la medicin de la distancia a la Luna, y la investigacin y establecimiento de la teora de laspalancas, porArqumedes, varios siglos despus.En el seno de la secta de los pitagricos surge la primera crisis de la Matemtica: la aparicin de losinconmensurables, pero esta crisis es de carcter ms aritmtico que geomtrico.Surge entonces un pequeo problema de Lgica, que consiste en lo siguiente: una demostracin parte de una o variashiptesispara obtener un resultado denominadotesis. La veracidad de la tesis depender de la validez del razonamiento con el que se ha extrado (esto ser estudiado porAristtelesal crear laLgica) y de la veracidad de las hiptesis. Pero entonces debemos partir de hiptesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hiptesis, habr que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hiptesis deberemos tambin comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hiptesis se convierten en tesis a probar.

GEOMETRIA(Del griego GEO tierra; METRIN medir ) ramas de la matemtica que se ocupan de las propiedades del espacio. En su forma ms elemental, la geometra se ocupa de problemas mtricos como el clculo del rea, el dimetro de figuras planas y de la superficie, volumen de cuerpos slidos. Otros campos de la geometra zona la geometra de espacios con cuatro o ms dimensiones, geometra fractal y geometra no euclidiana.GEOMETRIA DEMOSTRATIVA PRIMITIVAEl origen del termino geometra es una descripcin precisa del trabajo de los primeros gemetras, se interesaban en problemas como la medida del tamao de los campos o el trazo de ngulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometra emprica, que floreci en el antiguo Egipto, sumeria y babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.En el siglo Vl a.c el matemtico PITAGORAS coloco la piedra angular de la geometra cientfica al demostrar que la ley arbitraria e inconexa de la geometra emprica se puede deducir como conclusiones lgicas de un nmero limitado de axiomas o postulados.

Estos postulados fueron considerados por Pitgoras y sus discpulos como verdades evidentes, sin embargo, en el pensamiento matemtico moderno se consideran como un conjunto de supuestos tiles pero arbitrarlos un ejemplo tpico de los postulados. Desarrollados y aceptados por los matemticos griegos en la siguiente afirmacin UNA LINEA RECTA ES LA DISTANCIA MAS CORTA ENTRE DOS PUNTOS. Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, lneas, ngulos y planos se puede deducir lgicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran la suma de los ngulos de cualquier triangulo es igual a la suma de dos ngulos rectos y el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados(conocido como teorema de Pitgoras)La geometra demostrativa de los griegos , que se ocupa de polgonos, crculos y de su correspondientes figuras tridimensionales , fue mostrada y rigurosamente por el matemtico griego Euclides, en su libro LOS ELEMENTOS el texto de Euclides a , pesar de sus imperfecciones , ha servido como libro de texto bsico de geometra hasta casi nuestros das.PRIMEROS PROBLEMAS GEOMETRICOSLos griegos introdujeron los problemas de construccin en los que cierta lnea o figura debe ser construida utilizando solo una regla de borde recto y un compa. Ejemplos son la construccin de una lnea recta de dos veces ms larga que una recta dada. O de una recta que divide un Angulo dado en dos ngulos iguales.Tres famosos problemas en construccin que datan de la poca griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemticos que intentaron resolverlos.- la duplicacin del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo). La cuadratura del crculo (construir un cuadrado con rea igual a un circulo determinado) y la triseccin del ngulo (dividir un ngulo dado en tres partes iguales). Nunca de estas construcciones es posible con la regla o el comps y la imposibilidad de la cuadrada del crculo no fueron finalmente demostrados hasta 1882.Los griegos, y en particular APOLONIO DE PERGA, estudiaron la funcin de curvas conocida como Cnica y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cnicas son importantes en muchos campos de la ciencia fsicas. Por ejemplo.- las orbitas de los planetas alrededor del sol son fundamentalmente cnicas.Arqumedes, uno de los grandes cientficos griegos, hizo un considerable nmero de aportaciones a la geometra. Invento formas de medir el rea de ciertas figuras, curvas as como la superficie y el volumen de solidos limitados por superficies curvas como paraboloides y cilindros tambin laboro un mtodo para calcular una aproximacin del valor de pi , la proporcin entre el dimetro y la circunferencia de un circulo y estableci que este nmero estaba entre 310/70 y 310/71.GEOMETRIA ANALITICALa geometra avanzo muy poco desde la el final de la era griega hasta la edad media.-el siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filsofo y matemtico francs RENE DESCARTES. Cuyo contrato EL CONTRATO DEL METODO, publicado en 1637, Hizo poca, este trabajo fraguo una conexin entre la mtodo de una disciplina en la otra. Este es un fundamento de la geometra analtica, en las que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometra moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigacin de las propiedades de las figuras geomtricas que no varan cuando las figuras son proyectadas de un plano al otro.Un ejemplo sensillo de geometra proyectiva queda ilustrado en la figura 1

1, Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan e cualquier posicin de una cnica, por ejemplo un circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c , B con c y a y C con b y a, os tres puntos de las intersecciones de dichas lneas estn en una recta. De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cnica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas a los tangentes, estas lneas se cortan en un punto unEste teorema se denomina proyectivo, pues cierto para todas las cnicas y estas se pueden transformar de una utilizando las proyecciones apropiadas como en la figura 3, que nuestra que la proyeccin de una circunferencia es una elipse de otro plano.

MODERNOS AVANCESLa geometra sufri un cambio radical de direccin en el siglo XIX. Los matemticos Carl Friedrich Gauss Nikoli Lobachevski y Jnos Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometra no Euclides. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado. POSTULADO PARALELO de Euclides al proponer alternativas que generan modelos extraos y no intuitivos de espacio, aunque, eso s, coherentes.Casi al mismo tiempo, el matemtico britnico ARTHUR CAYLEY desarrollo la geometra para espacios con ms de tres dimensiones, imaginemos que una lnea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos se sustituye por una lnea perpendicular, a ella se crea un plano o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una lnea perpendicular a l, se genera un espacio tridimensional.Yendo ms lejos si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una lnea perpendicular, tendremos un espacio tridimensional. Aunque este es fsicamente imposible inimaginable es conceptualmente slido. El uso de conceptos con ms de tres dimensiones tiene un importante nmero de aplicaciones en las ciencias fsicas, en particular en el desarrollo de teoremas de la relatividad.Tambin se han utilizado analticos para estudiar las figuras geomtricas regulares en cuatro o ms dimensiones y compralas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometra se conoce como geometra estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometra en la definicin de la figura geomtrica ms sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, uno, dos, tres cuatro o ms dimensiones. ANTES DE GRECIAEs razonable pensar que los primeros orgenes de la geometra se encuentran en los mismos orgenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba aun de manera inconsciente, los objetos que lo rodeaban segn su forma. En la abstraccin de estas formas comienza el primer acercamiento, informal e intuitivo a la geometra.Las primeras civilizaciones mediterrneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geomtricos de carcter muy prctico. Estos son esencialmente algunas frmulas o mejor dicho algoritmos expresados en forma de RECETA para calcular reas y longitudes. La finalidad era practica pues se pretenda calcular con ello la produccin proporcional de la parcelas de tierra para determinar los impuestos o reconstruir las parcelas de tierra despus de las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios tenan una alta formacin matemtica, y se ha llegado a insinuar que tuvieron un acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas hiptesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por tierra. La historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilizacin.- as como el delas culturas mesopotmicas.- tuviera sobre geometra paso ntegramente a la cultura griega a travs de tales, los pitagricos esencialmente de EUCLIDES.ANTES DE EUCLIDESEn efecto, tales permaneci en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los sacerdotes y los escribas egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general, y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de medir la altura de una pirmide de Keops y de predecir un eclipse solar.La geometra griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos prcticos de las civilizaciones egipcias y mesopotmicas, y dan un paso de la abstraccin al considerar lo objetos como entes ideales- un cuadrado cualquiera en lugar de una pared cuadrada concreta. Un crculo en lugar del ojo de un poso, que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el comps. Aparece por primera vez la demostracin como la justificacin de la veracidad de un cono cimiento, aunque en un primer momento fueran ms justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.La figura de Pitgoras y la secta por el creada (los pitagricos) tienen u papel central, pues se eleva a la categora de elemento primigenio el concepto de nmero (filosofa que de forma ms explcita o ms implcita, siempre ha estado dentro de la matemtica y de la fsica)arrastrando a la geometra al centro de su doctrina en este momento inicial de la historia de la matemtica an no hay una distincin clara entre geometra y aritmtica y asienta definitivamente el concepto de la demostracin( este ya si coincide con el concepto de la demostracin formal) como nica va de establecimiento dela verdad en geometra.Esta actitud permiti (aun fuera de la secta) la medicin de la tierra por Eratstenes, as como la medicin de la distancia a la luna, y la invencin de la palanca por Arqumedes, varios siglos despus.En el seno de la secta de los pitagricos surge la primera crisis de la matemtica: la aparicin de los inconmensurables, pero esta crisis es de carcter ms aritmtico que geomtrico.Surge entonces un pequeo problema a nivel lgico, que consiste en lo siguiente: una de, mostracin parte de una o varias hiptesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis depender de la validez del razonamiento con el que se ha extrado (esto ser estudiado por Aristteles al estudia la lgica) y de la veracidad de las hiptesis. Pero entonces debemos de partir de hiptesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar La veracidad de la hiptesis, habr que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuya hiptesis deberemos tambin comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hiptesis se convierten en tesis a probar.EUCLIDES Y SUS ELEMENTOS Euclides, vinculado al museo de Alejandra y a su biblioteca, zanja la cuestin al proponer un estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proporciones por ser intuitivamente claras y deducir de ellas todos los dems resultados .sus sistemas se sintetiza en su obra cumbre, LOS ELEMENTOS, modelo de sistemas axiomticos.-deductivo. Sobre tan solo cinco postulados y as definiciones que preciso construye toda la geometra y la aritmtica conocidas hasta el momento, su obra, en trece volmenes, perdurara como nica verdad geomtrica hasta entrado al siglo XIX.Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio su veracidad esta fuera de toda duda, pero tal y como esta expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de los postulados. Durante los siguientes siglos, uno delos principales problemas de la geometra ser determinar si el V postulado es o no dependiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de os resultados de la obra.

ELEMENTOS DE LA GEOMETRA - SEGMENTOSEL PLANOImagina una hoja de papel que se extiende indefinidamente en todas sus direcciones. Esto te dar una idea de plano.El plano no tiene lmite y solamente podemos representar una parte de l.LA RECTA Es una lnea que se extiende indefinidamente en ambos sentidos. Se d signa a veces por dos letras maysculas o por una sola letra (mayscula o minscula)La recta es un sub conjunto de plano, esto quiere decir que el plano contiene infinitas rectas.La parte de una recta comprendida entre dos puntos, incluyendo a dichos puntos se llama segmentosUn segmento se denota por letras maysculas que corresponden a sus extremos, con una rayita superior .el segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta. Por tener longitud.

DESPUES DE EUCLIDESEuclides casi cierra definitivamente la geometra griega- y por extensin la del mundo antiguo y medieval- a excepcin de la figura de Arqumedes, que estudio ampliamente las secciones cnicas, introduciendo en la geometra las primeras curvas que no eran rectas ni circunferencias.

LOS TRES PROBLEMAS DE LA ANTIGUEDAD La geometra griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredaran los matemticos posteriores es importante observar que los tres problemas deben ser resueltos utilizando nicamente a regla o el comps, nicos instrumentos (adems del papel y el lpiz, por supuesto) validos en la geometra de Euclides. A dems de los tres problemas de la disputa de si el V postulado era o no un teorema ( de si se poda deducir de los otros cuatro) tambin se considera uno delos problemas clsicos dela geometra griega. Estos tres problemas son los siguientes:1-LA DUPLICACION EN EL CUBO.-Cuenta la leyenda que la peste asolaba la cuidad de Atenas. Una embajada de la cuidad fue al orculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar con la pitonisa que se deba hacer para erradicar la mortal enfermedad. La pitonisa, al consultar con el orculo, dijo que se deba duplicar el altar sagrado a Apolo en la isla de delos. El altar tena una peculiaridad: su forma cubica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cubico en el que las medidas del altar de delos, pero la peste no ceso, consultando de nuevo el orculo, la pitonisa advirti a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3= 8l3). Nadie supo cmo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema persisti durante siglos.2-LA TRISECCION DEL ANGULOEste problema consiste en conseguir dividir un Angulo dado cualquiera en tres ngulos iguales, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ngulos sea exactamente la medida del primero. Nadie supo cmo hacerlo. 3-LA CUADRATURA DEL CIRCULOSe trata de obtener, dado u crculo, un cuadrado cuya rea mide exactamente lo mismo que el rea del crculo. Anaxgoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por cuestiones polticas. Tampoco pudo ser resuelto por los gemetras de la antigedad, y llego a hacer el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filsofo ingles Hum llego a escribir un libro con supuestos mtodos para resolver el problema. Hum no tena conocimientos matemticos serios, y nunca acepto que todos sus mtodos fallaban.

EN LA EDAD MEDIADurante los siglos la matemtica comienza nuevos caminos- algebra y trigonometra- de la mano de indios y rabes, y la geometra apenas tiene nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de carcter ms bien anecdtico. En occidente, a pesar de que la geometra es una de las siete artes liberales (encuadrada concretamente en el quadrivium) las escuelas y universidades se limitan a ensear LOS ELEMENTOS, y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigacin por la disputa del V postulado. Si bien no se lleg a dilucidar en este periodo si era o no independiente de los otros cuatro, si se llegaron a dar nuevas formulaciones equivalentes de este postulado.EN LA EDAD MODERNAEs en el renacimiento cuando las nuevas necesidades de representacin del arte y de la tcnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geomtricas para obtener nuevos instrumentos que les permita representar la realidad. Aqu se enmarca la figura del matemtico y el arquitecto Lucca Pacioli, de Leonardo da Vinci o de Alberto Durero, por citar solo algunos. Todos ellos al descubrir la perspectiva crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se sienta la nueva forma de geometra que esta implica: la geometra Proyectiva, cuyos principios fundamentales no aparecen hasta el siglo XIX de la mano Gaspard Monge e primer lugar y sobre todo en Poncelet.LA GEOMETRIA CARTECIANAPero es sin duda la aparicin de la geometra cartesiana lo que marca la geometra en la edad moderna. Descartes propone un nuevo mtodo de resolver problemas geomtricos, y por extensin, de investigar en geometra. En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes)- que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada uno del plano queda unvocamente determinado por las distancias del dicho punto a cada uno de los ejes, siempre cuando se d tambin un criterio para determinar sobre que semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de nmeros, las coordenadas, quedara representado por un par ordenado (X, Y), siendo por la distancia a unos de los ejes (por convenio ser la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (horizontal) En la coordenada X, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (tambin se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas) tomndose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada X se le suele denominar abscisas del punto, mientras que a la y se le denomina ordenada del punto.Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este mtodo. Lo nico cierto es que se publica por primera vez comoGEOMETRIA ANALITICA apndice al DISCURSO DEL METODO, de descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conoca y utilizaba e mtodo antes de su publicacin por descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un mtodo muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que algunos de los citados matemticos franceses tuvieran acceso a su obra.

Lo novedoso de la geometra analtica (como tambin se le conoce este mtodo) es que permite representar figuras geomtricas mediante frmulas del tipo f(x, y)=0, donde F representa una funcin. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones poli nmicas de 1 (v.g.: 2x + 6y = 0)y las circunferencias y el resto de cnicas como ecuaciones polinmicas de grado 2(v.g.: la circunferencia x2+ y2= 4, la hiprbola xy = 1 ).esto converta toda la geometra griega en el estudio de las relaciones que existe entre polinomios de grado 1 y 2 . el de un punto de vista formal ( aunque ellos todava lo saban), los gemetras de esta poca han encontrado una relacin fundamental entre la estructura lgica que usaban los gemetras griegos ( el plano . la regla y el comps) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1y 2 del anillo del polinomio. Resultando que ambas escrituras son equivalentes. Este hecho fundamental para entender por qu la geometra de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomtica de ZERMELO-FRAENEL, como el resto de la matemtica.LOS NUEVOS METODOSAgotamiento del mtodo sinttico. La aparicin de la geometra analtica trae consigo una nueva forma de entender la geometra. El nuevo mtodo, algebraico, sustituye al antiguo, el sinttico consiste en establecer unos axiomas y unas definiciones y decidir de ellos los teoremas. El mtodo sinttico est a esta cultura casi agotado (aunque an dar algunos resultados interesantes, como la caractersticas de Euler, la naturaleza de estos no es ya tanto geomtrico como la topolgica, y los resultados realmente importante que se hagan adelante en el campo de la geometra ya vendr de la mano del mtodos algebraicos o diferenciales). Da paso al mtodo algebraico, estudio de los objetos geomtricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polifnicas, o dicho de otro modo, del conjunto de races polinomios. El mtodo cientfico solo volver a abordarse cuando aparezca las geometras no Euclides. Y definitivamente deja de ser un instrumento de investigacin geomtrica a principios del siglo XX, quedado relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolucin de problemas, pero ya con una disciplina cerrada.Los lmites del mtodo algebraico El mtodo algebraico se ve posibilitado por un avance e algebra hecho durante el siglo XVI, la resolucin de las ecuaciones del grado 3 y 4. Esto permite generalizar la geometra, al estudiar curvas que no son dadas por el polinomio de segundo grado, y que no pueden ser construidas por regla y compas- adems de la cnica, excluyendo a la circunferencia, claro- pero este mtodo, que terminara constituyendo una disciplina propia. La geometra algebraica, tardara an mucho- siglo XX es salir de unas pocas nociones iniciales, prcticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razn ser la imposibilidad de resolver por radicales la ecuacin de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la teora de anillos y el lgebra conmutativa.

EL CLCULO INFINITESIMALEl mtodo algebraico tiene otra generalizacin natural, que es de considerar una curva no solo como una ecuacin polifnica, sino como una ecuacin f(x,y) = 0 en la que le polinomio es ahora sustituido por una funcin cualquiera F. la generalizacin de todo esto desde el plano ( 2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural aadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomaran la forma f(x,y,z).Ya Isaac Barrow descubre gracias a la geometra analtica gracias a la relacin entre la tangente y la curva y el rea que encierra entre los puntos y los ejes coordenados en su famosa regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibniz dieran cada uno de su exposicin del clculo infinitesimal. La relacin entre el anlisis matemtico y la geografa es as estrechsima desde incluso los orgenes de aquel. Las figuras geomtricas no solo fueron las bases de los instrumentos iniciales del clculo infinitesimal, sino que fueron en gran medida de inspiracin. Por eso resulta natural que en un primer momento, Newton o los Bernoullino distinguieran entre los conceptos de curva y de defuncin de una variable, o de superficie y de funcin de dos variables (o si se quiere de curvas y los ceros de una funcin de dos variables o de superficie y los ceros de una funcin de tres variables). Fue Euler el primero que empez a intuir la diferencia. En adelante, y hasta la aparicin de Gauss, la geometra queda superada a sus aplicaciones en mecnica y otras ramas de la fsica por medio de la resolucin de ecuaciones diferenciales. En esta poca aparece el que ser el caballo de batalla de la geometra diferencial el teorema de la funcin implcita.

GAUSSGauss envuelve el carcter geomtrico que impregna parte del anlisis matemtico, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de la variable compleja y de la geometra diferencial.Pero no son las nicas contribuciones de este genio al campo de la geometra. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la filosoga o a la matemtica. A los 17 descubri la manera de construir un polgono regular de 17 lados y la condicin necesaria y suficiente para que un polgono regular pueda construirse. Esto determino su vocacin. En su primera demostracin (de las cinco que realizo a lo largo de su carrera) sent las bases del anlisis de variable compleja, dando por primera vez la descripcin geomtrica de los nmeros complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que ser introducido mucho ms tarde). Aunque no es propiamente obra suya, pues la variable compleja est desarrollada fundamentalmente por Caychu, si es el primero en abordarla seriamente, y sobre todo le da una interpretacin geomtrica que marcara el desarrollo de esta rama.Pero la principal contribucin de gauss de la geometra es la creacin de la geometra diferencial, retomando las ideas sobre las relaciones entre el anlisis matemtico y la geometra haba hasta entonces y desarrollndolas ampliamente. Partiendo de la base de que la geometra estudia el espacio, la curva y las superficies, establece la nocin fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella y a la definicin de la geodsica, demuestra que si consideramos que una geodsica es una curva con menor distancia en dos puntos sobre una superficie (es decir si tenemos dos puntos sobre una superficie. El camino ms corto de esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodsica), concepto totalmente anlogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en los que los tringulos formados por las geodsicas miden ms de la medida de dos ngulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometras no Euclides. Aunque a estas solturas ya era el matemtico ms prestigioso de Europa considero que la mentalidad de la poca no estaba preparada para un resultado de tal magnitud y nuca publico esos resultados. Solo vieron a la luz cuando Bolyai pblico su geometra no Euclides y comprob que la comunidad cientfica general aceptaba el resultadoAs que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometra no Euclides, y por otro fue el creador de la geometra diferencial y precursor de la variable compleja.Adems, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la geometra: la orientacin.

FIN DE LOS GRANDES PROBLEMAS DE LA ANTIGEDADLa controversia el V postulado. Como ya se ha adelantado. Gauss es el primero en construir una geometra (un modelo de espacio) en el que se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y simultneamente publican cada uno una geometra en la que no se verifica tampoco el V postulado. Qu quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten de un objeto geomtrico y establece sobre l unos postulados que son idnticos a los de elucide en los elementos, excepto el quinto. Pretende originalmente razonar por reduccin al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquel que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradiccin lgica. Lo sorprendente es que no se llega a contradiccin ninguna, lo cual quiere decir dos cosas.1-El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir. No puedo deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado.2-Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuicin, por un punto que no est en una cierta recta no pasa una nica paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuivo pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situacin as, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lgico es perfectamente vlido.Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la matemtica del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias. Es importante sealar que la geometra de Bolyai y de Lobatchevsky, no depende de si se construyen usando mtodos analticos o sintticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sinttica como analtica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, o que abunda es su veracidad.La triseccin del Angulo y la duplicacin de cubo.Un hecho aparentemente lejano el Algebra dar como resultado la resolucin de estos dos problemas. Galios muere a os 21 aos de edad dejando un testamento Lled de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la teora de grupos y de la teora de Galois. Galois resolvi el problema de encontrar una frmula para solucionar las ecuaciones de 5 grado, pero este resultado no llego a ser publicado en su (corta) vida. Concluyo que ninguna ecuacin del grado 5 o mayor se puede ser resueltas por radicales (es decir mediante una formula). Su manera de abordar el problema abre una nueva va dentro de la matemtica.Pero la teora de Galois. (Una rama del algebra que trata sobre cuando es posible resolver una ecuacin polifnica estudiando el conjunto de nmeros en los que se expresa esa ecuacin) no da solo esos frutos. Tambin demuestra que todo lo construible con regla y compas tiene una traduccin a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar a un Angulo o duplicar, un cubo necesita de polinomios que o tien esa forma, por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el comps trisecar un Angulo cualquiera o duplicar un cubo.La cuadratura del crculoEn 1862, lineman demuestra que el nmero Pi es trascendente, es decir, no puede ser raz de ningn polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un nmero que no pueda construirse con regla y compas, y demuestra que no es posible construir con solo estos instrumentos un cuadrado de rea igual a la de un crculo dado.

GEOMETRIA INTRINSECAResulta complicado establecer una fecha precisa en la que los gemetras comenzaron a interesarse por cuestiones de geometra intrnseca. La matemtica griega plante los problemas geomtricos haciendo referencia a las propiedades mtricas de un conjunto de puntos definidos y localizadosen el planoyen el espacio. La perspectiva era, por tanto, extrnseca.Tradicionalmente, se le atribuye aEulerel descubrimiento en 1752 de una propiedad de lospoliedrosconvexos.3LlamandoS,AyFal nmero de vrtices, aristas y caras, Euler demostr la relacin de igualdadS-A+F=2, conocida hoy comocaracterstica de Euler. El resultado era sorprendente porque no haca intervenir ni la longitud ni el rea.En1813Simon Antoine Jean L'Huillierse dio cuenta de que la frmula de Euler se modificaba para un poliedro no convexo, con la forma, por ejemplo, de un slido con agujeros (como eltoro:S-A+F=2-2g, siendogel nmero de agujeros).4ste es el primer clculo de uninvariantetopolgico que permiti clasificar las superficies del espacio. No obstante, la perspectiva continuaba siendo extrnseca, pues los agujeros se ven desde el exterior. Cmo, por ejemplo, una hormiga que anduviese por una habitacin sin techo podra representarse el agujero?Carl Friedrich Gauss, interesado por la geometra de las superficies, estableci un resultado sin precedentes: elteorema egregium: "lacurvatura de Gaussde una superficie del espacio no depende del modo en el que sta se inserta en el espacio ambiente.5"Lafrmula de Gauss-Bonnet, presentida por Gauss y demostrada porPierre-Ossian Bonneten 1848, expresar la caracterstica de Euler en trminos de curvatura, evidenciando la imbricacin entre las consideraciones geomtricas y topolgicas.

Nuevos espacios con extraas propiedadesLageometra no euclidiananace de la imposibilidad de demostrar elquinto postulado de Euclides. El primer intento de demostrarlo por reduccin al absurdo fue ensayado porSaccherien1733.6Gaussfue el primero en comprender la posibilidad de que existiesen geometras alternativas a la eucldea.7Estas geometras seran desarrolladas porLobatchevskyyBolyai.Lacinta de Mbius, introducida casi simultneamente en1858por dos matemticos alemanesAugust Ferdinand MbiusyJohann Benedict Listingfue el primer ejemplo de superficie no orientable.

Riemann

Bernardo Riemann.El 10 de junio de1854, BernardoRiemannda una conferencia en la Universidad de Gotingapara completar su habilitacin (grado que le permitira optar a una plaza de catedrtico). El tema de la conferencia fue la Geometra, a eleccin de Gauss, su protector y antiguo profesor durante la licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyo ttulo fueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hiptesis que estn en los fundamentos de la geometra), pasa por ser una de las ms celebradas de la historia de la Matemtica, y uno de los mayores logros cientficos de la humanidad. De entre los presentes se dice que slo Gauss fue capaz de comprender su contenido, y hay que decir que le entusiasm.Variedades riemannianas y el tensor curvaturaEn la primera parte de la conferencia, Riemann se pregunta qu problema hay en aumentar el nmero dedimensionesdel espacio. Riemann, usando aun un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalizacin del concepto desuperficiea cualquier nmero (entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, el nombrevariedad hace referencia a las varias coordenadas que variaran para ir obteniendo los puntos del objeto. Las superficies seran las variedades de dimensin 2, mientras que las curvas seran las variedades de dimensin 1, y aun los puntos las de dimensin 0. De todas formas, esta aproximacin al concepto es demasiado imprecisa, pues el punto clave de la definicin formal de una variedad diferenciable (definicin no expuesta correctamente hasta 1913 porHermann Weyl) es que esto es ciertolocalmente, es decir, cada punto de la variedad tiene algnentornohomeomorfoa un abierto delespacio Euclides, de manera que cuando el inverso de uno de estos homeomorfismos se compone con otro de estos homeomorfismo se obtiene unafuncin diferenciablede unabiertodeen otro abierto de. Pero como decimos hicieron falta casi 60 aos para que la definicin terminara de cuajar.No era la primera vez que se especulaba con la posibilidad de la existencia de espacios de dimensin superior a 3. De hecho este tema ha sido tratado en la Historia en varias ocasiones, pero siempre desde un punto de vista de la realidad sensible (para negar su existencia) o metafsico. EsCayleyquien en 1843 trata explcitamente el tema por primera vez, y volver a l nuevamente en repetidas ocasiones. Le seguirnSylvester,Clifford,GrassmannySchlflientre otros, aunque hay que decir que la visin de todos ellos es mucho ms algebraica que geomtrica.Es probable que el estudio de lassuperficies de Riemann, objetos a cuyo estudio haba dedicado su tesis doctoral, indujera a Riemann a pensar en este concepto de variedad de dimensin arbitraria.Si tomamos unos ejes coordenados y dibujamos todos los puntos, dondevara en unintervaloyes una funcin real, derivable y definida sobre ese mismo intervalo, obtendremos la curva (dimensin 1) dada por la grfica de una funcin.Si en lugar de ser una funcin de una variable tenemos una funcin de dos variables, al dibujar todos los puntos, dondeson de una regin del plano donde est definida, obtenemos una superficie (dimensin 2). Riemann estudia funciones complejas de variable compleja, es decir, funciones cuya grfica tendra por puntos cosas de la forma, siendo tantocomofunciones reales (es decir, cada uno representa un nmero real). Las grficas de este tipo de funciones tendran dimensin 2, es decir, seran superficies, pero estaran en un espacio de 4 dimensiones.Unavariedad riemannianano es slo un objeto geomtrico n-dimensional. Es una variedad diferencial a la que adems hay que dotar de unamtrica. Unamtrica es uncampo de tensores diferenciable de grado 2. Veamos: en cada punto de una variedad diferencial se puede calcular elespacio tangentea la variedad en ese punto, al igual que en una superficie (suave), en cada punto podemos calcular elplano tangenteen ese punto a la superficie, y en unacurva suavepodemos calcular en cada punto larecta tangentea la curva en dicho punto.Ese espacio tangente tendr la misma dimensin que la variedad (en el caso de curvas, el espacio tangente -la recta tangente- tiene dimensin 1, en el de superficies tiene dimensin 2). Una mtrica (oestructura riemanniana) sobre una variedad es unaaplicacinque a cada punto de la variedad le asigna unproducto escalaren el espacio tangente a la variedad en ese punto, y esa aplicacin es diferenciable. Un producto escalar es, para entendernos, una regla que nos permite calcular longitudes de segmentos y ngulos entre rectas. A travs de una mtrica, se pueden definir sobre una variedad conceptos comolongitud de una curvao elngulo entre dos curvas, generalizar a variedades el concepto de geodsica, ya utilizado por Gauss para superficies, que viene a ser (ojo, esto es una explicacin de cmo es una geodsica, no es una definicin) una curva dibujada sobre una superficie (o en nuestro caso sobre una variedad) de tal forma que entre dos de sus puntos minimice la distancia medida sobre la superficie (variedad). Por ejemplo, si tenemos un globo y marcamos dos puntos sobre l, la distancia ms corta se calcular, como sabemos, por la medida del segmento de recta que atraviesa el globo por ambos puntos. Sin embargo, si lo que pretendemos es buscar el camino ms corto para llegar de un punto a otro sin salirnos de la superficie del globo, tendremos que dibujar sobre l una curva que una los puntos y se combe por la propia "curvatura" del globo. Esa curva sera un segmento de geodsica en la superficie del globo.El punto culminante de la primera parte de la conferencia lleg cuando Riemann, utilizando las geodsicas, define el [[curvatura seccional tensor curvatura seccional], que es la generalizacin a variedades del concepto de curvatura estudiado por Gauss. Este instrumento permite "medir la curvatura" de una variedad.El modelo delUniverso[editar]En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pregunta por el modelo que debe de seguir el espacio fsico, el espacio en el que nos movemos, cul es su dimensin, cul es su geometra.Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su poca, cuajaron definitivamente cuandoEinsteinyPoicar, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio fsico para crear laTeora de la Relatividad.El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometra considera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad diferenciable, y que al introducir en ella una mtrica se est determinando la geometra que gobierna ese objeto. Por ejemplo, el plano no es, por s solo, euclidiano ni no euclidiano, sino que introduciendo lamtrica eucldeaes cuando en el plano verifica el V postulado de Euclides. Si en lugar de considerar esa mtrica se introduce en el plano otra mtrica, como la de Lobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado. La propiedad de las geodsicas de minimizar la longitud entre dos de sus puntos sin salirse de la variedad recuerda mucho a la definicin de las rectas como aquellas lneas que determinan la menor distancia entre dos puntos. Se considera que las geodsicas son a las variedades riemannianas lo que las rectas al espacio euclidiano, es decir, las geodsicas son comolas rectasde las variedades.Esta nueva visin permite estudiar todas las nuevas geometras no Euclides, as como la geometra euclidiana bajo la misma ptica de la nuevaGeometra Riemanniana.Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, la Geometra pasa ya definitivamente a ser el estudio de las variedades, dejando de ser definitivamente el estudio de tringulos, circunferencias, polgonos, etc.Los puntos bsicos de la conferencia de Riemann son, por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamente el nmero de dimensiones del espacio (el lgebra y el Anlisis estn ya creando la maquinaria necesaria para poder operar en dimensin finita arbitraria, con lo que definitivamente se podr estudiar Geometra ms all de su visualizacin grfica), es decir, de estudiar espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los gemetras de un instrumento, el tensor curvatura, que les permite estudiar las propiedades intrnsecas de esos nuevos objetos, esos nuevos espacios, las variedades.

Klein

Flix Klein.Felix Kleines la otra gran pieza clave de la Geometra en el siglo XIX. En 1871 descubri que la geometra euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos particulares de la geometra de una superficie proyectiva con una seccin cnica adjunta. Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometra euclidiana y las no euclidianas podan considerarse como casos particulares de la geometra proyectiva (o mejor dicho, de la geometra de una superficie en un espacio proyectivo). La segunda, que la geometra euclidiana es consistente (es decir, no puede llevar a contradicciones) si y slo si lo son las geometras no euclidianas.Con esto se da fin a la controversia de si las geometras no euclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto colear aun unos aos ante el escepticismo de quienes considerarn errneo el argumento de Klein.Pero la aportacin ms importante de Klein a la Geometra es su famosoPrograma de Erlangen, donde da una nueva definicin de Geometra.Ante la aparicin de las nuevas geometras no euclidianas, parece lgico preguntarse qu es la Geometra, mxime cuando la propia idea de la geometra euclidiana se haba visto modificada desde la irrupcin de los mtodos algebraicos y analticos. Empieza a no estar tan claro que la Geometra sea el estudio de puntos, lneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio Anlisis Matemtico (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Diferenciales) parece que tambin estudia tales objetos. Por otra parte, los mtodos analticos y algebraicos tambin son aplicables a las geometras no euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las geometras no euclidianas y la geometra euclidiana, por otro lado, la distincin entre el mtodo sinttico, el algebraico y el analtico.Qu es entonces la Geometra?[editar]Kleinda respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometra un nuevo concepto de carcter algebraico: el concepto degrupo. Un grupo es un conjuntoen el que hay definida unaoperacin, es decir, una aplicacinque a cada par de elementos del conjunto le asigna otro elemento del conjunto (que ser el resultado de operar dichos dos elementos). Mientras que la mayora de la gente est familiarizada con las operaciones numricas, les resulta difcil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc. Puede hacerse, y no hay ms que pensar en, por ejemplo, la operacin "tomar el punto medio", que a cada par de puntos le asigna el punto medio del segmento que une los dos primeros puntos.Para que un conjunto en el que haya una operacin sea un grupo deben de cumplirse ciertas condiciones, que son: La operacin debe ser asociativa: esto quiere decir que si tomamos cualesquiera tres elementosdel conjunto, el resultado de operar los dos primeros (y) y operar el resultado de ello con el tercero () debe de ser lo mismo que si primero operamos el segundo y el tercero (y) y el resultado lo operamos con el primero (). Es decir, si la operacin la denotamos porha de ocurrir quedebe de ser lo mismo que. Debe existir un elemento neutro: esto quiere decir que ha de haber un elementodel conjunto de manera que si tomo cualquier otro elementodel conjunto y lo opero con l, entonces el resultado vuelve a ser el elemento, es decir, es como si al elementono lo hubiera operado. As, con nuestra notacin,y. Por ltimo, cada elemento debe tener un elemento simtrico: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquieradel conjunto, entonces puedo encontrar otro elementodel conjunto de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el elemento neutro:. El concepto de grupo no es invencin de Klein, pero es l quien descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometras: cada geometra es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina invariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operacin de composicin (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformacin al resultado de la primera). Resumiendo, Klein define soterradamente una geometra como dar el subgrupo de las bisecciones de un conjunto en s mismo que uno admitir comogrupo principal. Losconceptosodefinicionessern los invariantes por ese grupo principal, y losteoremassern las relaciones entre los conceptos.As Klein descubre que, por ejemplo, la geometra euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rgidos (como las simetras, giros y traslaciones), que la geometra afn es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometra proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topologa es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre otras.De hecho, Klein afirma que la comprensin de "tener una geometra, entonces hay ungrupo principal" es ms bien al revs. Uno a priori dice qu tipo de transformaciones admitir (es decir, da el grupo) y todo lo dems se puede reconstruir a partir de l. Se demuestra incluso, que si uno da un subgrupo de las bisecciones de un conjunto en s mismo isomorfo a algn grupo clsico (simetras, translaciones, proyectividades) entonces todos los teoremas de esa geometra son vlidos en este.El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometras, comprendiendo cul es una "subgeometra" de cual, por otro lado nos permite comprender qu es el estudio general de la Geometra (como disciplina matemtica) y por ltimo, pero no menos importante, es la confirmacin de que los mtodos sinttico y algebraico no dan geometras distintas, sino que realmente estudian la misma geometra en cada caso. Se pone fin as a la distincin entre el mtodo sinttico y el algebraico-analtico. En su poca supuso la consagracin de laGeometra proyectivacomo laReina de las Geometras.

NGULOSObserva como en cada momento las manecillas del reloj forman un ngulo.DEFINICINngulo es la unin de dos rayos que tienen un origen comn.ELEMENTOS- Lados: Son los rayos y- Vrtice: Es el origen comn BNotacin:En general los ngulos se designan con tres letras maysculas; la letra centralcorresponde al vrtice.Algunas veces, cuando no hay lugar a confusin un ngulo se nombra con la letra del vrtice.

MEDIDA DE UN NGULOLos ngulos se miden en grados sexagesimales.Para encontrar la medida de un ngulo se utiliza un instrumento llamado transportador.Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura.BISECTRIZ DE UN NGULOEs el rayo que partiendo del vrtice, divide al ngulo en dos ngulos congruentes. CLASIFICACIN DE LOS NGULOS SEGN SU MEDIDA1.-ngulo NuloCuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0.. 2.-ngulo AgudoEs el ngulo cuya medida es menor que 90 y mayor que 0. 3._ngulo RectoEs el ngulo cuya medida es igual a 904.-ngulo ObtusoEs el ngulo cuya medida es menor que 180 pero mayor que 90.5.-ngulo LlanoEs aquel cuya medida es 180. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas)6.-ngulo de una VueltaEs el ngulo cuya medida es 360

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS SEGN SU POSICINngulos ConsecutivosSon los que tienen lados en comn y el mismo vrtice

ngulo Opuestos por el VrticeSon dos ngulos que tienen el mismo vrtice y sus lados son opuestos (tienen la misma medida)CLASIFICACIN DE LOS NGULOS SEGN LA COMPARACIN DE SUSMEDIDASngulos ComplementariosDos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90.ngulos SuplementariosDos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180 TEOREMAS FUNDAMENTALESTeorema ILa suma de las medidas de los ngulos consecutivos formados alrededor de un mismo vrtice y a un mismo lado de una recta es 180Teorema IILa suma de las medidas de los ngulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360.