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HISTORIA DE LA GRAVEDAD Índice

1. GALILEO: EL LENGUAJE MATEMÁTICO ..................................................2 El experimento de la Torre Inclinada ...............................................................2 El movimiento acelerado.....................................................................................3 Principio de inercia ...............................................................................................6 Composición de movimientos y principio de invariancia ..........................8 2. KEPLER: LAS LEYES PLANETARIAS .........................................................12 Una herencia maravillosa..................................................................................12 Una órbita intratable ...........................................................................................12 Leyes planetarias ................................................................................................15 3. NEWTON: LA ACCIÓN A DISTANCIA ..........................................................18 La posición intelectual de Newton .................................................................18 La ley del cuadrado de la distancia ................................................................19 Newton y las leyes de Kepler ...........................................................................20 La gravitación universal ....................................................................................23 Las tres leyes del movimiento .........................................................................26 La concordancia entre inercia y gravitación ..............................................29 El tiempo absoluto y el espacio absoluto: inercia de rotación...............32 4. MAXWELL: LA ACCIÓN CONTIGUA .........................................................36 Magnetismo, electricidad y éter ......................................................................36 Maxwell y los campos de fuerza .....................................................................37 Ecuaciones de campo y acción de contacto ...............................................38 Luz y ondas electromagnéticas.......................................................................41 5. LA INVEROSÍMIL DUREZA DEL ÉTER .....................................................44 El contradictorio éter..........................................................................................44 A la busca del viento de éter ............................................................................45 La explicación del experimento Michelson y Morley................................49 Ecuaciones de transformación de Lorentz .................................................50 La vía a la abstracción total con la relatividad ............................................52 6. ALBERT EINSTEIN: LA RELATIVIDAD .....................................................54 Crisis de los principios newtonianos ............................................................54 Relatividad restringida: las imperturbables ondas electromagnéticas..................................................................................................................................55 Contracción del espacio y dilatación del tiempo. ......................................56 Reciprocidad: paradoja de los gemelos .......................................................61 Masa y campo de fuerza ....................................................................................62 Principio de equivalencia ..................................................................................65 Curvatura del espacio-tiempo..........................................................................68 Las pruebas de la relatividad ...........................................................................73 Crítica de la relatividad general.......................................................................75

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1. GALILEO: EL LENGUAJE MATEMÁTICO El experimento de la Torre Inclinada A finales del siglo XVI, se creía, siguiendo el magisterio de

Aristóteles, que la velocidad de caída de los cuerpos estaba en razón directa a su peso. Se daba por sentado que un objeto que pesara el doble que otro caería al doble de velocidad. Esto no le parecía cierto a Galileo Galilei (1564-1642), el joven catedrático de matemáticas de la ciudad de Pisa. Aficionado a las ciencias naturales, no se confor-maba con leer y filosofar, sino que tenía el instinto, novísimo en su época, de hacer experimentos y tratar de encontrar después una re-lación matemática que describiera los hechos observados de la for-ma más simple y general.

Por entonces se hallaba en disputa con sus colegas universita-rios a propósito de la ciega adhesión de éstos a los viejos dogmas aristotélicos. El discípulo de Galileo, Vincenzo Viviani (1622-1703), cuenta en su biografía del maestro que éste decidió un día demos-trarles que Aristóteles también podía equivocarse, poniéndoles ante sus propios ojos una prueba espectacular. Subió a lo alto de la famo-sa Torre Inclinada, y dejó caer objetos de diferente peso: al estrellar-se todos casi al unísono contra las losas del suelo, demostró que la velocidad no era en absoluto proporcional al peso como había afir-mado muchos siglos atrás el hasta entonces indiscutido filósofo grie-go. Años después los aristotélicos efectuaron la misma prueba con intención de llevarle la contraria a Galileo, y trataron luego de disimu-lar su fracaso pretextando que los cuerpos no habían llegado al suelo exactamente en el mismo instante. Refiriéndose a esta añagaza, es-cribió con ironía:

“Aristóteles dice: “una bola de hierro de cien libras, que cae desde una altura de cien brazas llega al suelo antes que otra de una libra haya podido recorrer una sola braza”. Yo digo, sin embargo, que llegan al mismo tiempo. Si hacéis la experiencia descubriréis que la mayor saca sólo dos dedos de ventaja a la más pequeña; esto es, que cuando la grande toca el suelo, la otra se encuentra a una dis-tancia de dos dedos. Ahora bien, pretendéis ocultar tras esos dos

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dedos las noventa y nueve brazas de Aristóteles y, de esta forma, hablando solamente del minúsculo error, disimular con el silencio el error mucho mayor que él cometió”.

Una persona culta de hoy suele encontrar en la vida cotidiana muy poco en lo que merezca pararse a meditar. Le parece que pue-de dar por sabido todo lo esencial del mundo físico, y le basta con saber que la mayoría de los cuerpos caen con peligrosa rapidez. Pe-ro Galileo era un hombre de talento en los albores de la ciencia, y estaba poseído de esa fe, transmitida en occidente desde los preso-cráticos griegos, de que todo en el mundo tiene una causa al alcance de la razón. Se le puede suponer, por tanto, frustrado ante la sor-prendente característica de la gravedad que había revelado. Sin pre-cedentes científicos, hubiera tenido que buscar él mismo, una expli-cación, pero no lo intentó. Estaba más interesado en averiguar el cómo que el por qué de las cosas.

El movimiento acelerado Al igual que algunos filósofos medievales contrarios a la idea

aristotélica, Galileo creyó primero que los cuerpos de la misma sus-tancia caían con igual velocidad. En un trabajo inédito en sus años de profesor en Pisa (1589-1592) “prueba” esta teoría, y argumenta además que la velocidad de caída depende de la razón entre la den-sidad del material y la densidad del medio. Considera además, erró-neamente, a la velocidad de descenso de un cuerpo por un plano inclinado sin fricción y a la de caída libre desde la misma altura inver-samente proporcionales a las distancias. Años más tarde en Padua, ciudad donde también fue catedrático de matemáticas, Galileo decide investigar a fondo la caída de los cuerpos, en lugar de dedicarse a elucubrar sobre la cuestión al estilo escolástico. Desecha la relación de velocidades y distancias para centrarse en el estudio de cómo crecía la velocidad con el tiempo.

Los experimentos de Galileo en Padua, entre 1604 y 1609, sobre la caída de los cuerpos están considerados como el comienzo de la ciencia moderna. Se le plantea el problema de efectuar deter-minaciones suficientemente precisas para relacionar los tiempos con los espacios sucesivamente recorridos. Al no existir por entonces relojes capaces de medir tiempos los cortos tiempos de caída libre, idea reducir el efecto de la gravedad utilizando el plano inclinado. Le es posible así observar a menor velocidad el descenso de bolas casi sin rozamiento. Como conocedor de la música, coloca a lo largo del

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plano cuerdas tensas de laúd a modo de trastes (Figura 1) para que las bolas produzcan sonidos al pasar1. Puede sí ajustar el espaciado de los trastes hasta que los choques ocurran a intervalos exactamen-te uniformes, de acuerdo con su sentido del ritmo.

Para medir el tiempo, Galileo diseña una clepsidra o reloj de agua. Utiliza también el péndulo, con el que había estado experimen-tando, y cuyas leyes había descubierto. La duración del periodo de oscilación del péndulo es aproximadamente independiente de su amplitud y del peso suspendido, y proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del brazoi, con lo que se revela como instrumento idóneo para la medida absoluta del tiempo. Lo importante es que los interva-los de tiempo sean iguales, sin importar su duración astronómica. Le vale cualquier oscilación arbitraria, pues las matemáticas de su física estaban basadas enteramente en proporciones, y para comparar proporciones sólo es necesario dividir el tiempo en partes iguales.

Después de considerar la velocidad media del descenso en función de la inclinación del plano, Galileo pasa a estudiar la forma de variación de la velocidad. Cuando divide las distancias recorridas en los sucesivos instantes por la distancia recorrida en el instante uno, los cocientes resultan ser la serie de números impares 1, 3, 5, 7.... Esta serie numérica viene a ser una medida de las velocidades crecientes en cada intervalo, pero aún le falta la relación con el tiem-po.

1 Según las investigaciones del historiador de la ciencia canadiense Stillman Drake publica-das en 1975.

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Figura 1 Finalmente comprueba que las supuestas velocidades en los

intervalos forman acumuladas la serie de cuadrados 1, 4 (1+3), 9 (1+3+5), 16 (1+3+5+7)... Esta relación numérica le permite descubrir la formulación del movimiento uniformemente aceleradoii, que definió así

Los espacios descritos por un cuerpo que cae desde el reposo con un movimiento uniformemente acelerado son a cada uno como los cuadrados de los intervalos de tiempo empleados en atravesar esas distancias.

Sin embargo, en 1604, Galileo no estaba satisfecho con plan-tear la ley hallada como una generalización empírica, pues deseaba poder derivarla analíticamente. En sus experimentos con el plano inclinado, había redescubierto la “regla de la doble velocidad”. Este razonamiento era afín a la regla medieval de Merton, demostrativa de que un movimiento acelerado recorre en la segunda mitad del tiempo tres veces más que en la primera mitad, de donde en aplicación con-tinuada de la regla se puede obtener la serie impar 1, 3, 5, 7, ... de los espacios y, por lo tanto, la ley de los cuadrados de los tiempos. La regla de la doble velocidad podía ser, pues, un medio de demos-trar “more geométrico” la ley de caída, pero prefirió definir el movi-miento uniformemente acelerado como aquel en que la velocidad es

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proporcional a la distancia recorrida. Sólo en 1609, tras comprobar que la regla de la distancia implicaba que el incremento de la veloci-dad de caída resultara mayor que el valor real, abandonó Galileo es-ta falsa idea, y adoptó el criterio correcto de la velocidad proporcional al tiempo transcurrido desde el comienzo de la aceleración, tal como formuló en después en sus “Discursos”:

“Llamaremos movimiento uniformemente acelerado a aquel que, partiendo del reposo, aumenta en momentos iguales de rapidez en tiempos iguales”.

Los análisis de Galileo se basan en las nociones clásicas de la lógica y la geometría, y en el uso de proporciones numéricas al estilo de los ·”Elementos” de Euclides. Nunca expresó sus descubrimientos mediante ecuaciones algebraicas, aunque ya empezaban a usarse en su tiempo. De acuerdo con la teoría euclídea de las proporciones, no era legítimo en el análisis numérico establecer razones de medi-das con diferentes unidades, tales como hallar velocidades dividien-do distancia por tiempo. Esta limitación imposibilitó que Galileo cuan-tificara las velocidades, ni que llegara a definir claramente el concep-to de la aceleración.

Un cuarto de siglo más tarde en Florencia, puso en orden de-finitivamente en su último libro, “Discursos sobre dos nuevas cien-cias”, los resultados de la investigación del movimiento. Aunque realmente había descubierto mediante la experimentación la verda-dera ley de la caída, recurrió para probarla a teoremas geométricos basados en la regla de la doble velocidad (Teorema II Proposición II), y describió a continuación los experimentos con el plano inclinado como medio utilizado para probar la verdad de los teoremas. El co-pernicanismo de Galileo había atraído por entonces las iras de la In-quisición romana, y había sido sentenciado a cadena perpetua, con-mutada a prisión domiciliaria con la prohibición de cualquier otra pu-blicación. El manuscrito, dedicado al embajador francés que lo sacó de contrabando de Italia, fue publicado en 1638 en la protestante Holanda.

Principio de inercia A partir de los experimentos en planos inclinados, Galileo de-

dujo que, una vez iniciado el movimiento de un objeto en el plano horizontal, no se necesita ninguna fuerza para mantenerlo en mar-cha, excepto la fuerza necesaria para superar la fricción. Razonó que una bola que comienza a rodar con un impulso en un plano horizontal

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sin fricción, en equilibrio estable con respecto a la acción de la gra-vedad, debía continuar moviéndose indefinidamente por inercia a velocidad constante, sin no existiera rozamiento ni resistencia del aire. El movimiento se preservaría, pues, en el vacío, cuya existencia admitía a pesar de la doctrina de Aristóteles.

La física aristotélica consideraba la inercia como la resistencia al movimiento, pero Galileo la identificó como la tendencia natural de la materia a resistir los cambios de velocidad. Sólo el conocimiento del estado de la ciencia en su época puede dar una idea justa, de la originalidad de las reflexiones de Galileo sobre la inercia, y su impor-tancia en el desarrollo posterior de la Física. Antes de él se creía, siguiendo el pensamiento de Aristóteles, que los cuerpos sólo se po-dían mover mientras una fuerza estuviera actuando sobre ellos, y que un cuerpo libre de influencias externas quedaría inmediatamente en reposo. Para explicar, por ejemplo, el vuelo de una flecha sin que quedara parada al perder el contacto con el arco, la teoría aristotélica del ímpetu, basándose en la hipótesis del horror al vacío de la natu-raleza, lo atribuía al empuje del aire al ir rellenando con violencia el hueco tras la trayectoria. Para los objetos lanzados en movimiento violento, la filosofía medieval había sustituido la idea de Aristóteles de la acción impulsora del aire, por la teoría del ímpetu que suponía la persistencia gradual en el objeto de la fuerza, entendida como la masa por la velocidad impartida en el lanzamiento. El ímpetu gali-leano, aunque definido también como la masa por la velocidad, niega la persistencia de la fuerza y considera que el movimiento continúa de forma natural por efecto de la inercia.

El efecto del descubrimiento del concepto moderno de inercia por Galileo, fue demoler el mito aristotélico de que el reposo es el “estado natural” y que el movimiento requiere siempre la presencia de una fuerza motora. Este intento de mantener a toda costa el con-tacto físico de la fuerza con el objeto para la continuación del movi-miento resulta, desde luego, descabellado según los cánones mo-dernos. Sin embargo, no hay que olvidar que las teorías aristotélicas, aunque sus errores básicos podían conducir a conclusiones tan ab-surdas como esta, estaban en su mayoría basadas en lo que se po-dría llamar un sólido sentido común, por lo que fueron históricamente tan difíciles de erradicar. Un hombre de hoy mismo sin una educa-ción especial, estaría seguramente de acuerdo en casi todo con las ideas físicas aristotélicas. El concepto moderno de inercia sigue te-niendo menos apoyo intuitivo que la idea aristotélica de la inmovilidad como único estado posible de un cuerpo en ausencia de fuerzas. Hoy

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también puede dejar perplejo a un lego el problema del vuelo de la flecha si se dedicara a reflexionar sobre él. Lo atribuirá finalmente a una persistencia “natural” del efecto de la fuerza que lo inició, pero no llegaría a plantearse probablemente el por qué de esa persistencia.

Composición de movimientos y principio de invariancia En los “Discorsi” se encuentra la teoría galileana del movi-

miento compuesto, derivado de su concepto de inercia. Cuando un cuerpo se pone en movimiento conserva también la velocidad que llevaba en su sistema de referencia. Recordando sin duda sus días en el arsenal de Venecia, Galileo describió los ejemplos de la inercia en escenario náutico. Un objeto soltado desde lo alto del mástil de una galera navegando a velocidad uniforme no se quedaría atrás como afirmaban los aristotélicos, sino que caerá verticalmente en la base del mástil obedeciendo a la vez a dos velocidades, una horizon-tal con la galera y otra vertical por su peso. Galileo formuló asimismo lo que se conoce hoy como su principio de invariancia o relatividad, estableciendo que las leyes del movimiento son las mismas en todos los sistemas inerciales, Entre dos cuerpos cuyos sistemas de refe-rencia se muevan con velocidad constante uno con respecto a otro, es irrelevante saber cuál de ellos está en reposo y cuál se está mo-viendo puesto que en ambos rigen las mismas leyes de la mecánica. Galileo describió este principio en 1632 en su “Diálogo concerniente a los dos principales sistemas del mundo”, ilustrándolo con el ejem-plo de que, en un barco navegando a cualquier velocidad constante sobre mar en calma, un observador bajo cubierta no podría distinguir si el barco se mueve o está parado mediante ningún experimento mecánico. En el interior de un camarote cerrado es imposible distin-guir si el barco está anclado o deslizándose en el mar, pues no solo los objetos caen en vertical, sino que la fuerza necesaria para lanzar un objeto a una determinada distancia es la misma tanto en dirección a proa como a popa, y así con cualquier tipo de prueba mecánica que se realice. La composición de movimientos como consecuencia de la inercia tuvo importancia en el debate de la Iglesia contra el sistema copernicano. Los teólogos jesuitas aristotélicos utilizaban, como una de las pruebas de la inmovilidad de la Tierra contra la idea de la rotación, que los objetos cayeran en vertical sin ser dejados atrás por el movimiento terrestre. Galileo sostuvo que no se produce la menor desviación en la trayectoria de caída porque la Tierra gira con velocidad uniforme.

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Ahora bien, aunque las leyes mecánicas sean las mismas en todos los sistemas inerciales, no ocurre igual con las coordenadas y las velocidades en cada sistema. Las coordenadas de dos sistemas inerciales en movimiento entre sí se relacionan mediante la sencilla ecuación de transformación de Galileo. Si se considera que ambos parten del mismo origen, la transformación de las distancias recorri-das es X´ = X − v.t, donde X´ es la distancia horizontal en el sistema considerado en movimiento, X la distancia horizontal en el sistema considerado en reposo y v.t el espacio recorrido por el sistema móvil en el tiempo t.

Galileo aplicó la ley de composición de movimientos al cálculo de la trayectoria de los proyectiles. Aborda el ejemplo representado en la figura 2 (108 de sus “Discorsi”) con estas palabras:

Figura 2 Imaginen cualquier partícula proyectada por un plano horizon-

tal sin fricción; se ha visto antes que esta partícula se moverá por este mismo plano con un movimiento que es uniforme y perpetuo, suponiendo que el plano no tiene límites. Pero si el plano tiene un límite y está elevado, entonces la partícula móvil, que imaginamos pesada, adquirirá al abandonar el plano, en adición a su previo mo-vimiento uniforme y perpetuo, una tendencia hacia abajo debida a su propio peso; así pues, el movimiento resultante, que llamó proyec-ción, se compone de uno que es uniforme y horizontal y otro que es vertical y naturalmente acelerado.

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La figura muestra que la partícula cae según los espacios horizontales iguales bc, bd, be... y los espacios verticales crecientes bo, bg, bl...Galileo demostró por métodos geométricos, que la trayec-toria descrita es una parábola.

El método experimental Galileo dejó atrás la física aristotélica renacentista, y dio co-

mienzo a la cinemática moderna. Creía que la naturaleza era en rea-lidad un sistema simple y ordenado, de carácter eminentemente ma-temático. Afirmaba que " el lenguaje de la ciencia es la geometría con cuyas figuras está escrito el libro de la naturaleza", y utilizó en efecto las matemáticas, especialmente la geometría, como la clave para entender el mundo físico. Sus análisis del movimiento sobrepasan en pura calidad intelectual a la gran labor astronómica que le dio fama.

El método empleado por Galileo para investigar los fenómenos se conoce hoy como método empírico-deductivo. Prescindía de los factores meramente cualitativos y se centraba en las cualidades pri-marias cuantificables (forma, peso y movimiento), formulando hipóte-sis cuya validez comprobaba después con experimentos. Para que estas experiencias pudieran usarse con propósitos científicos reque-rían ser formuladas en términos matemáticos, mediante una ley que correlacionara los elementos de forma sistemática.

En el galileano método hipotético-deductivo, la razón y la ima-ginación se basan en intuiciones suscitadas por la naturaleza física en la elaboración de las hipótesis. Como se asume que la estructura de la naturaleza es matemática, la razón puede, comenzando por las intuiciones, llegar a preconcebir las leyes de la naturaleza, cuya ver-dad se comprueba mediante la experimentación. De esta forma, los experimentos se usan para comprobar las hipótesis más que para formularlas. Este enfoque deductivo del estudio científico de la natu-raleza resultaba totalmente distinto al método inductivo recomendado por el coetáneo filósofo inglés Francis Bacon, quien no tenía en cuenta la intuición del investigador, y estimaba que lo idóneo en la ciencia no era partir de hipótesis sino extraer conclusiones de una masa de experimentos previos.

Galileo valoraba sobre todo el proceso de abstracción e ideali-zación encerrado en el método matemático, hasta el punto de que en sus libros casi no menciona sus labores de investigación. Solo en tiempos relativamente recientes se han descubierto, sobre todo por las investigaciones de Drake, los apuntes tomados durante los mu-

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chos años de experimentación para dilucidar las propiedades de los cuerpos en movimiento. Mantuvo en segundo término la evidencia empírica tan laboriosamente adquirida, en favor de una presentación puramente axiomática, siguiendo el ejemplo de su admirado Arquí-medes. De todas formas, la práctica empírica le hace reconocer la necesidad de tener en cuenta las limitaciones materiales concomitan-tes, para aplicar en el mundo real las leyes matemáticas ideales ob-tenidas.

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2. KEPLER: LAS LEYES PLANETARIAS Una herencia maravillosa Johannes Kepler (1571-1630) ingresó en la universidad de

Tübingen en 1589. Allí estudió matemáticas con el profesor Michael Maestlin (1550-1630), de quien adquirió los elementos de la astro-nomía matemática y la primera noticia de la obra de Nicolás Copérni-co (1473-1543). Convencido de la verdad del sistema heliocéntrico, se propuso en seguida hallar las claves de la armonía divina del sis-tema solar a impulsos de su profunda religiosidad. Kepler primero trató sin éxito de explicar los tamaños de las sucesivas órbitas em-pleadas por Copérnico, inscribiéndolas en polígonos regulares. Pasó a ensayar con poliedros en lugar de figuras planas y descubrió, lle-vado de su inspiración mística, que con los cinco poliedros regulares asociados por el filósofo Platón a los cinco elementos naturales (fue-go, aire, tierra, éter y agua), podían definirse los intervalos entre las órbitas de los seis planetas conocidos. Creyendo que la validez de su teoría se confirmaría con observaciones más precisas que las de Copérnico, Kepler se dirigió al famoso astrónomo Tycho Brahe, y en 1600 logró finalmente emplearse como su asistente en Praga. Pero Tycho, de carácter receloso y difícil, solo accedió a dejarle trabajar con sus observaciones de Marte, consciente de asignarle la tarea más difícil. Tycho falleció un año después, con lo que la totalidad de los datos, acumulados durante treinta años de meticuloso trabajo, paso providencialmente a manos de Kepler, el hombre mejor dotado para extraer todo su valor.

Una órbita intratable La astronomía clásica se basaba en el prejuicio metafísico de

que los cuerpos celestes solo podían girar en círculos perfectos a velocidad uniforme, pero estaba claro que los datos observados de

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las órbitas de los planetas no se adaptaban a esta hipótesis. Del cál-culo de la velocidad angular de traslación de la Tierra, se podía asu-mir que la orbita fuera circular debido a su pequeña excentricidad, pero con las órbitas de otros planetas las discrepancias de las obser-vaciones eran importantes. Ante esta situación, Kepler se propuso ignorar el dogma clásico y obtener directamente de los datos obser-vados algún tipo de órbita no exactamente circular. Continuó con el estudio de la órbita de Marte, cuyas discrepancias eran con mucho las mayores de todos los planetas, consciente de que si podía resol-ver el caso de este planeta le sería posible determinar después la forma de las órbitas de todos los demás. Primero se puso a buscar la verdadera trayectoria marciana estudiando combinaciones de ar-cos de círculo mediante la geometría de Euclides, la única herra-mienta que él reconocía apropiada para el estudio de los cielos.

Tras intentar en vano ajustar los datos al clásico giro circular referido a un punto excéntrico, encontró que la órbita resultaba más bien oval Kepler probó entonces con la composición de dos movi-mientos circulares distintos: uno debido a la acción del Sol, variando con la distancia, y otro propio del planeta, en rotación uniforme por un imaginario epiciclo. La hipotética órbita resultante sería un ovoide, comprendido en un círculo excéntrico normal excepto en los extre-mos. Que el copernicano Kepler acudiera incluso a componer la tra-yectoria del planeta al modo tolemaico, años después de haber abandonado por completo la concepción de los epiciclos, da una idea del grado de desconcierto al que había llegado en su “guerra marcia-na.

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Figura 3 Después de largos y tediosos trabajos sobre la hipótesis del

epiciclo sin lograr resultados, acertó a detectar una congruencia nu-mérica entre el exceso del círculo principal sobre la órbita verdadera y el ángulo E descrito por la proyección vertical del planeta sobre el círculo principal, llamado anomalía excéntrica (Figura 3). A partir de este hallazgo y mediante complejas construcciones geométricas, Ke-pler halló su famosa ecuación

M = E – ε sen E,

siendo M la anomalía media o ángulo que recorre el planeta unifor-memente por el círculo principal, ε la excentricidad elíptica (ε = FC/a en la figura). La ecuación de Kepler no tiene solución fácil por ser una ecuación trascendente, donde la incógnita E no se puede despe-jar en términos de funciones elementales. En su “Epitome”, publicado en 1621, Kepler propuso para esta ecuación una solución iterativa, a partir de valores de M basados en la velocidad angular media de traslación del planeta. Las Tablas Rudolfinas que publicó Kepler más tarde, destinadas a determinar las posiciones de los planetas, sus longitudes celestes en un tiempo dado, estaban basada en esta ecuación, es decir, en el cálculo de las anomalías excéntricas. Par-

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tiendo de la anomalía excéntrica, Kepler halló también que para el radio vector r, o distancia variable Sol – planeta se cumple que:

r = a + εa cos E

expresión que resulta ser una forma de la ecuación de la elipse, cuyo foco está en el Sol, donde a es el semieje mayor y εa es la distancia del Sol al centro de la órbita.

Leyes planetarias De esta forma, tras cinco años de incesantes cálculos resolvió

Kepler al fin el gran problema del “planeta intratable” que en el pasa-do había doblegado al genio de Eudoxus y había sido el obstáculo máximo de los astrónomos alejandrinos. La nueva teoría no sólo sa-tisfacía las observaciones astronómicas anotadas, sino que ninguna otra hipótesis podía comparársele, ya que cada alternativa propuesta producía importantes diferencias, imposibles de achacarlas a errores de observación. Al contrario que sus predecesores, Kepler no había producido una mera hipótesis para “salvar las apariencias” y construir tablas aproximadas del movimiento del planeta, sino que había halla-do, por primera vez en la historia, la forma verdadera de la órbita en el espacio. Cuando publicó "Astronomía Nova", en 1608, Kepler es-tableció una prueba geométrica rigurosa de que el punto típico que había construido, es decir el foco ocupado por el Sol, satisfacía la propiedad de proporción que define una elipse. Basado en la solidez de sus razonamientos, Kepler pudo más tarde generalizar, estable-ciendo lo que se conoce como su primera ley del movimiento plane-tario: Todos los planetas se mueven por órbitas en forma de elipse, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

En la "Astronomía Nova", Kepler incluye también su descubri-miento de que, en la órbita elíptica planetaria, el radio vector del pla-neta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ecuación se co-noce como su segunda ley aunque la descubrió antes que la primera, puesto que aplicó la ley de las áreas para deducir la ecuación de la anomalía excéntrica. Convencido de que la causa del movimiento de los planetas era una fuerza magnética procedente del Sol, Kepler dedujo que la velocidad a lo largo de la órbita debía ser inversamente proporcional a la distancia y, en consecuencia, el corto tiempo que el planeta tarda en pasar por un arco muy pequeño de la órbita sería proporcional al radio vector. De ahí estimó que la suma de los tiem-

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pos invertidos en recorrer la suma de diminutos arcos de un arco da-do de la órbita sería proporcional a la suma de todos los radios vecto-res, y consideró equivalente esa suma al área del sector descrito por el radio vector. De considerar así el tiempo invertido en describir un arco de órbita proporcional al área del sector barrido, se desprende que se hayan de barrer áreas iguales en tiempos iguales y, al ser los arcos descritos en el perihelio mayores que en el afelio, que la velo-cidad en la órbita no sea uniforme, sino que sea máxima en la proxi-midad de perihelio y mínima en la proximidad del afelio (Figura 4).

Figura 4 En “Harmonice Mundi”, publicado en 1619 después de otros

diez años de trabajo, Kepler extendió a los otros planetas las dos leyes, que había probado primero para Marte. Poco antes de finalizar esta obra, Kepler descubrió la tercera ley que lleva su nombre: Los cuadrados de los periodos (T) de revolución alrededor del Sol de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol (a):

T2/a3 = K siendo K una constante dependiente exclusivamente del Sol iii.

Éste era el lazo final entre la velocidad de los planetas y su distancia al Sol que Kepler había estado buscando desde el principio de su carrera. No dedujo esta ley clave de la dinámica planetaria mediante una secuencia de razonamientos matemáticos, como con las dos leyes anteriores. Siguiendo con paciencia y tenacidad método de ensayo y error, hizo primero muchas series de comparaciones de

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las velocidades instantáneas y de los periodos y las distancias de los distintos planetas, pero sin conseguir hallar ninguna relación notable. Ensayó finalmente comparaciones de potencias de estos números, y encontró por fin que los de su tercera ley daban una adecuación em-pírica exacta. Las tres leyes de Kepler proporcionaron una solución definitiva al antiguo problema de descubrir un sistema astronómico que a la vez “salvara” las apariencias y describiera las verdaderas trayectorias de los planetas a través del espacio.

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3. NEWTON: LA ACCIÓN A DISTANCIA

La posición intelectual de Newton Isaac Newton (1642-1727) toma en la historia de la ciencia el

relevo de Galileo puesto que nace justo en el año en que aquel des-aparece. Si hubiera que señalar a una sola figura como el comienzo de la ciencia moderna, esta sería la de Newton con toda certeza. Los trabajos que comprende su obra maestra “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, publicada en 1687 tras veinte años de estu-dio de la mecánica celeste, eclipsan los meritos de cualquiera de sus contemporáneos. Con ella puso unos cimientos tan sólidos al cono-cimiento científico, que su sistema iba a reinar indiscutido durante más de dos siglos y, de hecho, aún sigue vigente en el mundo actual. Newton contó para la edificación de su obra con el precedente de Galileo, aunque su estudio de la dinámica de los cuerpos no fuera para Newton más que un punto de partida, ya que Galileo sólo llegó a definir imperfectamente el concepto de aceleración al final de su obra, y es, precisamente, la relación entre la fuerza y el cambio de velocidad, y no entre la fuerza y la velocidad misma como nos indica la intuición, lo que constituiría la base de la nueva mecánica que Newton iba a formular.

El enfoque científico de Newton es antes que nada positivista en el pleno sentido actual de la palabra. Actúa como un positivista en la medida en que afirmó que su sistema era aceptable por ser capaz de establecer predicciones correctas, aunque la causa y modo de transmisión de la gravitación universal, su gran descubrimiento, le fuera siempre desconocida. Su actitud de prescindir de hipótesis para explicar los hechos observados, en tanto éstos pudieran ser correc-tamente medidos y predichos, fue generalmente adoptada por los científicos que le sucedieron.

Sólo después de finalizar la construcción de su sistema y de comprobar que funcionaba, se puso a meditar en por qué el mundo funcionaba como él ya había delimitado y medido. Aunque sentía curiosidad por la causa intrínseca de la gravitación universal, se man-tuvo estrictamente dentro de los datos de la experiencia sin formular

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elucubraciones al estilo racionalista. Sin embargo, habiendo sido en sus años de juventud seguidor de los vórtices de Descartes, nunca llegó a ser un verdadero positivista, pues siguió creyendo que podía hallarse el mecanismo causante de la gravedad y no renunció a su búsqueda.

La ley del cuadrado de la distancia La límpida formulación final de la fuerza de la gravitación de-

pendiendo del inverso del cuadrado de la distancia, precede a una de las controversias personales más famosas de la historia de la cien-cia. Cuando la Royal Society recibió el manuscrito completo del Libro I de los “Principia” de Newton, en 1686, el presidente Robert Hooke (1635-1703) acusó airadamente de plagio al autor. Era cierto que ocho años antes había mencionado en una carta al joven Newton su idea de que la atracción planetaria decrecía con el cuadrado de la distancia. Pero la idea de Hooke se basaba sólo en la intuición; no la había derivado de la fórmula cuantitativa de la fuerza centrípeta y de la tercera ley de Kepler como había hecho Newton, a quien incluso años antes se le había ocurrido la “prueba de la Luna”, para probar la ley de la variación inversa de la atracción con el cuadrado de la dis-tancia.

Newton había tratado de calcular, partiendo de la velocidad de “caída” de la Luna a su órbita desde la trayectoria tangencial, si la razón de la fuerza de la gravedad ejercida por la Tierra sobre su sa-télite a la fuerza de la gravedad superficial terrestre era como la ra-zón inversa de los cuadrados de las distanciasiv. Con la cifra actual del radio terrestre, se halla que la Luna “cae” con una aceleración de 0,27 cm/seg2, 3633 veces menor que la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre (981 cm/seg2), y como esta cifra es aproxi-madamente igual a 602 y son precisamente 60 las veces que contie-ne la distancia a la Luna el radio terrestre, se desprende que la fuer-za de la gravedad terrestre decrece en la Luna como el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Sin embargo, a Newton le decep-cionó comprobar que su resultado por este método se desviaba de la órbita real en un – 12,5 %. El fallo de la prueba, debido a emplear un valor demasiado pequeño para el radio terrestre, lo desanimó tanto que estuvo pensando olvidar el tema de la gravitación y quedarse en la doctrina cartesiana de los vórtices. Volvió, sin embargo, a ocupar-se de temas astronómicos, y quince años más tarde pudo hallar el

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resultado esperado empleando un nuevo valor más exacto del radio terrestre.

Por lo tanto, no era cierta la acusación de Hooke en cuanto a su primacía en la ley del cuadrado de la distancia. Sin embargo, Newton admitió más tarde que fueron las ideas que Hooke le había transmitido en otras cartas, las que le inspiraron su demostración de que un cuerpo que se mueva con velocidad tangencial uniforme, bajo la acción de una fuerza central de atracción que varía con la inversa del cuadrado, describirá una órbita elíptica. Se trataba de la defini-ción del movimiento orbital de Hooke, en el que la acción atractiva del Sol tira continuamente del planeta para sacarlo de su trayectoria inercial. Influido por el pensamiento de Descartes, Newton creía pri-mero que los planetas giraban alrededor del Sol arrastrados en vórti-ces materiales. Fue el estímulo intelectual de Hooke, por lo tanto, el que lo llevó a considerar el movimiento orbital como compuesto por un movimiento acelerado hacia el Sol y un movimiento tangencial de inercia. Tal contribución era, desde luego, mucho sugestiva para el pensamiento newtoniano que la conjetura de que la fuerza solar va-riaba inversamente al cuadrado de la distancia.

Newton y las leyes de Kepler Esta claro que Newton dilucidó matemáticamente la depen-

dencia de la fuerza de atracción solar del inverso del cuadrado de la distancia al planeta, a partir de la tercera ley kepleriana y de la ex-presión para la aceleración centrípeta en el movimiento circular uni-forme, publicada en 1673 por el físico Christian Huygens (1629-1695). Considerando una órbita circular recorrida por un planeta a velocidad constante, la aceleración centrípeta resulta:

a = 4π2. k /r2 por lo tanto, el valor de la aceleración centrípeta actuando sobre el planeta depende sólo de la distancia (r) al Sol, siendo inversamente proporcional a su cuadradov. La misma expresión se halla mediante un cálculo algo más laborioso para una órbita elíptica.

Newton no dudó en edificar su completo sistema astronómico sobre las tres leyes de Kepler, cuando éstas, a pesar de los más de cincuenta años transcurridos desde su publicación, no estaban aún plenamente establecidas en el mundo científico. Kepler había descu-bierto las leyes que rigen el movimiento de los planetas, pero no llegó

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a explicar sus causas. Para ello era preciso el advenimiento Newton y su ley de la gravitación. Gracias al salto hacia delante matemático realizado por Newton al demostrar el verdadero significado físico de cada una de las leyes keplerianas, éstas alcanzaron condición real de ciencia exacta. Cuando su amigo y promotor, el astrónomo Ed-mund Halley (1656-1742), recibió en la Royal Society el primer libro de los “Principia”, definió el trabajo como una demostración matemá-tica de la hipótesis copernicana “tal y como la propuso Kepler”.

Hay un párrafo en una carta de Newton al físico Robert Hooke (1635-1703), presidente por entonces de la Royal Society, que ilustra muy bien la estrecha relación del descubrimiento de la ley de la gravi-tación con las leyes keplerianas. Estimulado sin duda por las elucu-braciones de Hooke sobre la asimilación de la caída de los cuerpos a los movimientos orbitales, escribe: ‹‹ …calculé cuál habría de ser la órbita descrita por los planetas, pues ya había hallado antes, por la proporción kepleriana de los tiempos periódicos de los planetas con sus distancias al Sol, que la fuerzas que los mantienen en sus órbitas en torno al Sol eran recíprocamente como los cuadrados de sus dis-tancias medias al Sol; y hallé ahora que cualquiera que fuese la ley de las fuerzas que mantienen a los planetas en sus órbitas, las áreas descritas por un radio trazado desde ellos al Sol serían proporciona-les a los tiempos en que fueron descritas. Y con ayuda de estas dos proporciones hallé que sus órbitas habrían de ser las elipses que Ke-pler ha descrito››. Según el contenido de esta carta, la cadena de su utilización de las leyes de Kepler fue: probar la ley del cuadrado de las distancias a partir de la de la tercera ley, confirmar la ley de áreas de a partir de la segunda ley y las órbitas elípticas a partir de la pri-mera ley.

Además de su tremenda contribución a la Física, Newton in-ventó el cálculo diferencial. Si bien es verdad que sus publicaciones sobre el cálculo datan de mucho después de los “Principia”, resulta algo sorprendente que usara para nada esta poderosa herramienta en su obra, pues Newton la basó totalmente en la geometría, si-guiendo la corriente general de los filósofos naturales del siglo XVII. A causa del nuevo cálculo, cuando se publicó la segunda edición de los “Principia”, en 1715, los planteamientos geométricos estaban ya en desuso. Resulta con ello doblemente paradójico, que uno de los más importantes libros científicos de la historia se compusiera usan-do una técnica, que ya estaba obsoleta antes de que se publicara la segunda edición, siendo además el propio autor el responsable de su obsolescencia.

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La segunda ley o ley de áreas, que Kepler acertó a deducir mediante un razonamiento geométrico basado en su creencia en una relación directa entre las velocidades en órbita y las distancias al Sol, podría haberla resuelto más elegantemente si hubiera conocido el cálculo diferencial. Sin embargo, tampoco Newton empleó su nuevo cálculo para confirmar la segunda ley, sino que prefirió utilizar tam-bién el método geométricovi, visualizando el movimiento de un objeto producido por una fuerza gravitatoria como una sucesión de peque-ños impulsos centrípetos, y probando la igualdad de los sucesivos elementos triangulares formados (Figura 5)

Figura 5 Newton atribuyó la estabilidad de los planetas en órbita al

equilibrio entre la fuerza centrífuga debida a la inercia y la fuerza cen-trípeta de atracción gravitatoria. Es la fuerza centrípeta generada por el Sol la que obliga al planeta a girar en curva cerrada sin escapar por la tangente, siguiendo un impulso inicial capaz de sostenerlo in-definidamente en órbita por inercia. Para dilucidar los fundamentos de la primera ley de Kepler le era preciso a Newton estudiar mecáni-camente el efecto de un campo gravitatorio fuerte en el movimiento de un punto material. Se trataba del planteamiento del problema lla-mado “de los dos cuerpos”: dadas la posición y velocidad en un de-terminado tiempo de una partícula de masa conocida moviéndose bajo el influjo de una atracción gravitatoria, encontrar la forma de cal-cular sus posiciones y velocidades en cualquier otro tiempo.

El problema fue resuelto por Newton mediante complejos ra-zonamientos puramente geométricos. En la Proposición 11 del Libro I de los “Principia”, se plantea hallar la ley productora de las órbitas

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elípticas keplerianas, de la fuerza centrípeta tendente al foco de una elipse (Figura 6), y prueba que ésta es precisamente la ley del inver-so de los cuadrados de las distancias.

Figura 6

Newton completó de esta forma la demostración matemática de las tres leyes del movimiento planetario descubiertas por Kepler, extendiendo su demostración a los casos de orbitas no planetarias, en parábolas e hipérbolas como las de cometas y asteroides. Un objeto celeste de masa m que comience a moverse con la suficiente energía, tangencialmente a la línea de acción de la potente gravedad de la masa del Sol (M), quedará girando por inercia en una órbita que será circular, elíptica, parabólica o hiperbólica, según el valor de su velocidad. Para que exista equilibrio es preciso que se conserve constante en el objeto la energía potencial gravita-toria (- G.Mm / r) y la energía cinética (mv2 / 2) en cada punto de la órbita De este principio de conservación de la energía se obtiene la ley de varia-ción de la velocidad del objeto a lo largo de la órbita en función de su dis-tancia (r) al Sol en cada momentovii.

La gravitación universal De la fuerza centrípeta de atracción de la masa del Sol, MS, a

un planeta de masa mP, F = mP . 4π2. K /r2, Newton obtuvo la ecua-ción de la atracción mutua Sol-planeta, con la forma simétrica:

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F = G. MS .mP /r2,

donde G es una constante universal de proporcionalidad viii . Newton generalizó así después su ley de gravitación: “Toda partícula de ma-teria del Universo (m) atrae a cualquier otra partícula (m´) con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las sepa-ra”, es decir:

F = G. m.m´ /r2 La vigencia universal de esta ley se ha podido comprobar has-

ta los confines del Universo observado, pero cuando Newton la for-muló se basó solamente en la comprobación de que la Tierra actúa con la Luna como el Sol con la Tierraix. La ley de la gravitación se convirtió pronto en la auténtica piedra angular de la astronomía, al ser capaz de definir con gran eficacia práctica el fenómeno por el cual se ordena la rotación de los cuerpos celestes. Fueron sobre todo las consecuencias de esta ecuación las que consolidaron su obra como la más trascendental de la historia de la ciencia, a la cual iba a regir sin reservas durante dos siglos, hasta el advenimiento de Eins-tein.

A Newton no se le ocultaba que había dos maneras de consi-derar la masa de un cuerpo. Una era la medida de la resistencia del cuerpo a ser acelerado, lo que se llama masa inercial (mi), otra como una medida de la fuerza desarrollada por el cuerpo colocado en un campo gravitatorio, lo que se llama masa gravitatoria (mg). En el acto de generalizar el peso o fuerza de la gravedad terrestre, en una fuer-za de gravitación universal, ambas variedades de masa se asumen como equivalentes. Al igualar el peso, mi. g con la atracción gravita-toria, mg G MT / rT

2, se obtiene que: g = G MT / rT

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donde g es la aceleración gravitatoria en la Tierra, MT la masa de la Tierra y rT el radio terrestre.

Por lo tanto, para los cuerpos terrestres en caída libre, la ace-leración de la gravedad g, es una constante que depende sólo de la masa y del radio de la Tierra, siendo independiente de la masa del cuerpo que cae, como ya había intentado demostrar Galileo con su famoso experimento de la Torre Inclinada. Newton cita en los “Princi-

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pia”, que los experimentos con péndulos mostraron con gran preci-sión que todos los tipos de cuerpos pesados, caen a tierra desde iguales alturas en tiempos iguales, es decir, que todos los cuerpos caen con la misma aceleración si se elimina la resistencia del aire. Señaló además que, al alejarse más y más de la Tierra, la acelera-ción gravitatoria disminuye, en cuyo caso, “el peso, que es siempre como el producto de la masa del cuerpo por la gravedad, disminuirá igualmente”.

La ley de la gravitación universal apareció en la primera edi-ción de los “Principia” de 1687. Por entonces Newton era ya un hom-bre maduro, pero en realidad todo provenía de unas ideas que había concebido hacía más de veinte años, cuando siendo aún estudiante tuvo que recluirse en el campo huyendo de la Gran Peste que azota-ba la ciudad de Londres. Está demostrado que sólo en aquellos casi dos años de forzada vida campestre contemplativa concibió la mayo-ría de las grandes ideas que después llevo a la práctica. No se sabe bien si es cierto que se dedicaba a sestear y meditar bajo los manza-nos de la finca familiar, cuando lo espabiló la caída de una inoportu-na manzana sobre su cabeza. Así parece que lo contó él, y habría que creerlo, pues no parece que fuera hombre con mucho sentido del humor. Lo cierto es que de ahí le partió la idea de que debía ser una y la misma fuerza la responsable tanto de la caída de una manzana y la que causaba el movimiento de los planetas en el cielo, en cuyo caso fue aquel banal incidente el primer paso hacia la trascendente ley de la gravitación universal.

La ley de gravitación regulaba perfectamente algo capaz de actuar a distancia, pero sin que se tuviera idea del verdadero origen y modo de actuar de ese algo. Resultó excepcionalmente práctica, pe-ro también particularmente oscura, puesto que de alguna manera concedía crédito total a una acción a distancia aborrecida por los filó-sofos mecanicistas, encabezados por el influyente René Descartes (1596-1650), que la consideraban como una superstición que no de-bía aparecer ya en los dominios de la ciencia. El pensamiento meca-nicista rechazaba por principio que se pudiera ejercer ningún tipo de acción, sin que hubiera un efluvio o medio transmisor material entre el agente y el receptor de la acción.

Newton comprendía perfectamente estos reparos, puesto que también él había empezado siendo un mecanicista al modo cartesia-no en sus años de estudiante, es decir partidario de la idea, entonces muy extendida, de que todo debía tener una explicación basada en la interacción de las partículas materiales de las que se componía el

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mundo. No debe extrañar, pues, que se sintiera inclinado a creer que la gravitación dependiera finalmente de alguna sustancia etérea de carac-terísticas desconocidas. Quizás nunca dejó de ser mecanicista del todo, ni sabremos hasta qué punto sentía escrúpulos por haber dado cré-dito sin discusión al misterio de la acción a distancia.

Las tres leyes del movimiento La principal contribución de Newton a la ciencia física se mate-

rializa en la ley de gravitación universal y las tres leyes del movimien-to. En los “Principia”, las leyes del movimiento aparecen primero que la ley de gravitación, pero estos conceptos fueron gestados en el ámbito de la astronomía y la discusión de temas de mecánica celeste que condujo a la ley de gravitación. La influencia de Galileo, en cuan-to principal introductor del nuevo método científico matemático, se centra en las leyes del movimiento, junto a las ideas de la inercia como persistencia natural del movimiento, la composición de veloci-dades y el estudio de la caída libre.

Las tres leyes newtonianas del movimiento constituyen los postulados básicos que gobiernan las relaciones entre la fuerza que actúa sobre un cuerpo y el movimiento de éste. Aunque fueron for-muladas por primera vez de forma útil por Newton, habían sido des-cubiertas experimentalmente por Galileo casi cincuenta años antes. Por su carácter básico, las tres leyes cubren solamente el movimien-to total de un cuerpo sin rotación sobre si mismo, lo que equivale a asumir que el cuerpo es en cada caso una partícula puntual.

La primera ley del movimiento o ley de la inercia postula: “To-do cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento unifor-me y rectilíneo, a menos que sea impelido a cambiar dicho estado por fuerzas ejercidas sobre él”. La inercia es como una propiedad fundamental de la materia y también un elemento descriptivo de la fuerza, que puede cambiar reposo en movimiento o movimiento en reposo o una clase de movimiento en otra. Newton era tan entusiasta de las matemáticas como Galileo, sin embargo el hallazgo del con-cepto de inercia no parte de la deducción matemática, sino que es fruto del puro razonamiento abstracto, puesto que el concepto que encierra la ley de la inercia no puede inferirse directamente de la ex-periencia. Resulta obvio que un objeto permanecerá eternamente en reposo si no actúa ninguna fuerza sobre él, pero el entorno terrestre no proporciona ninguna experiencia para deducir que un cuerpo so-metido a un impulso, se moverá indefinidamente en una trayectoria

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rectilínea, y con velocidad constante si ya no actúa ninguna fuerza sobre él. Sin embargo, es una conclusión a la que se llega mediante un experimento ideal, imposible de realizar en el medio ambiente te-rrestre, ya que en ningún caso puede eliminarse toda influencia exte-rior, es decir, toda fricción. Si los documentales rodados en el espa-cio exterior, no hubieran familiarizado al lego con la persistencia de los movimientos en la relativa ingravidez del vacío interplanetario, este presupuesto newtoniano le hubiera parecido un artículo de fe más bien que algo verosímil.

De todas formas, hay que tener en cuenta que el ámbito don-de se cumple esta ley fundamental de la mecánica clásica newtonia-na es ideal, en lo que después se ha definido como un marco inercial o privilegiado, es decir, un sistema coordenado de referencias libre de aceleraciones y rozamiento. En la realidad el movimiento de un cuerpo suele acabar, a causa del rozamiento, poco después de que la fuerza haya dejado de actuar. Solo en un marco inercial sin roza-miento se cumple que los cuerpos mantengan trayectorias rectilíneas indefinidas cuando se les somete a un impulso. Las trayectorias recti-líneas desaparecen en los sistemas no inerciales o acelerados, don-de se generan siempre trayectorias curvas. Es el caso de un marco terrestre cualquiera, que está sometido, en primer lugar, a una acele-ración angular por la rotación del planeta que hace que todas las tra-yectorias de proyectiles deriven hacia el Este. Por fortuna, Galileo no pudo observar en su tiempo que la trayectoria de caída de un cuerpo, aunque aparentemente rectilínea, también registra esa ligera desvia-ción. En la ignorancia de este hecho, una minucia, pero que quizás hubiera estorbado sus claras reflexiones sobre la caída libre, redactó sus estudios del movimiento que tan útiles le fueron a Newton des-pués.

La segunda ley del movimiento establece en esencia que, para cada cuerpo, la variación del movimiento, o sea, la aceleración adqui-rida (a) es proporcional a la fuerza motriz aplicada (F). Esto implica que, para un cuerpo dado, es constante la razón entre la fuerza apli-cada y la aceleración producida. Esta razón constante, característica para cada cuerpo en particular, es su masa (m). Se cumple, por lo tanto, que:

F/a = m Se define así, lo que le ocurre a un objeto sometido a la acción

de una fuerza capaz de desequilibrarlo y ponerlo en movimiento: la

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aceleración que adquiera dependerá siempre de la masa inerte del objeto; por ejemplo, aplicando la misma fuerza desequilibrante a dos esferas del mismo diámetro, una de hierro y otro de madera, adquiri-rá más aceleración la menos pesada, la de madera, que la de hierro: las aceleraciones serán inversamente proporcionales al peso como medida de la masa.

Las fuerzas según Newton se dividen en fuerzas impresas o reales y fuerzas de inercia o ficticias. Una fuerza impresa es una ac-ción ejercida sobre un cuerpo para cambiar su estado de movimiento o reposo. Una fuerza inherente es la que produce la inercia para que un cuerpo, ante todo nuevo estado de movimiento, persevere en el estado anterior. La inercia se manifiesta así como una propiedad fun-damental de la materia. Cuando es necesaria una gran fuerza para aumentar, desviar o disminuir la velocidad de un cuerpo, se dice en lenguaje ordinario, pero aplicando bien el concepto, que el cuerpo tiene una gran inercia, lo cual equivale físicamente a decir que tiene una gran masa.

El concepto de fuerza impresa difiere del concepto de impulso, o sea, la acción continuada de una fuerza durante un lapso más o menos corto de tiempo. Al aplicar un impulso a un cuerpo en reposo en un sistema sin rozamiento ni influencias externas, éste quedará en movimiento a velocidad constante; sólo la fuerza impresa aplica-da continuamente producirá una aceleración. La dinámica newtonia-na, basada en la definición de fuerza de la segunda ley, relaciona tanto la aparición de aceleraciones debidas a fuerzas reales como la aparición de fuerzas de inercia debidas a aceleraciones en el movi-miento del sistema de referencia.

La tercera ley del movimiento establece: “Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud y dirección y de sentido opuesto”. No es posible, por lo tanto, la existencia de una fuerza única, aislada. Esta ley, plan-teada de forma tan escueta puede resultar sorprendente a primera vista, pues si a cada intento de mover un objeto se le opone una fuer-za igual y de sentido contrario, ningún movimiento sería posible. Es-to, evidentemente, no es lo que sucede en la realidad. Es preciso, pues, establecer ciertas condiciones implícitas que precisen el al-cance de la ley de acción y reacción. En primer lugar, se entiende que la igualdad de acción y reacción se produce siempre sobre cuer-pos diferentes. Si alguien tira de un carro sobre una superficie lisa horizontal mediante un cable, la igualdad acción-reacción se cumplirá entre la reacción en el carro y la tracción en el cable y también, en el

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otro extremo, entre la reacción en el cable y la fuerza tractora, pero no serán necesariamente iguales la reacción en el carro y la fuerza tractora en el extremo del cable. Sólo serán iguales la fuerza tractora y la reacción del carro si éste se mueve con velocidad constante, y cuando la fuerza tractora supere a la reacción se producirá un movi-miento acelerado (Figura 7).

Figura 7 En esta exposición sin conflictos de las leyes newtonianas, se

puede introducir ahora una nota discordante. Contra lo que podría pensarse inadvertidamente, la fuerza de inercia no está producida por el campo gravitatorio terrestre, puesto que se puede producir en cuerpos rodantes sin rozamiento en movimiento horizontal y, por lo tanto, sin influencia del peso. La inercia se debe a otra causa que, por alguna razón ignota, no actúa mientras la velocidad del sistema sea uniforme; sólo se “opone” a la aceleración, o sea al cambio en la magnitud y/o sentido de la velocidad, comunicando de inmediato al cuerpo una aceleración igual y de sentido contrario.

La concordancia entre inercia y gravitación En general, todas las fuerzas que actúan en la naturaleza,

producen un movimiento en su dirección cuya aceleración será pro-porcional en cada caso a la masa a la que se le apliquen. Se puede estudiar el fenómeno a la luz de las tres leyes del movimiento de Newton. Supóngase una esfera sólida en reposo sobre una superficie perfectamente lisa y horizontal; si se le aplica una fuerza, su masa inerte opondrá una resistencia al movimiento según el principio de acción y reacción; cuando la fuerza aplicada supere a la reacción, la esfera comenzará a rodar con aceleración inversamente proporcional a su masa, y así sucederá con cualquier otra masa.

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Sin embargo, esta proporcionalidad entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración producida deja de cumplirse cuando la fuerza actuante es el peso. Es decir, considerada la atracción gravi-tatoria o peso del cuerpo como una fuerza más, se hallará que la aceleración que produce al caer no es proporcional a la masa sino que es igual en la caída libre, sea cual sea ésta. Tras la famosa prue-ba de la torre inclinada, Galileo concluyó que, en efecto, todos los cuerpos caían con la misma velocidad fuera cual fuera su peso, aun-que en realidad hubo algún retraso debido al rozamiento del aire. Algún testigo pudo pensar entonces que al menos algo influía la dife-rencia de peso, pero hoy hasta los estudiantes de física elemental aprenden que en este asunto engaña el sentido común. Si les queda alguna duda, pueden observar en el laboratorio la caída sincrónica de objetos diversos en el interior de un cilindro de vidrio del que se haya extraído todo el aire. Por lo tanto, cuando se suelta un cuerpo a una cierta altura, dejándolo a expensas de su propio peso, cae en vertical con la misma aceleración, a igualdad del rozamiento del aire, que cualquier otro que podamos soltar a la misma altura, sea cual sea su masa. El valor de la aceleración de la gravedad en la superfi-cie terrestre, que como se ha visto depende sólo de la masa y radio de la Tierra, tiene un valor aproximado de 9,8 metros por segundo cada segundo.

Pero esta aparición de una aceleración constante no se limita a los campos gravitatorios. Un carro de masa m colocado sobre la plataforma de un camión en marcha por un camino horizontal se mantendrá en reposo mientras éste se mueva con velocidad constan-te, pero al aumentar la velocidad, o sea, al producirse una acelera-ción (a), el carro correrá hacia atrás por la acción continuada de una fuerza que surge de improviso y actúa mientras dura el cambio. Esa fuerza de inercia (Fi) es, según la segunda ley newtoniana:

Fi = − m a

donde el signo menos indica que actúa en dirección contraria a la aceleración original. Lo mismo ocurriría con otros carros con diferen-tes masas que fueran sobre la plataforma del ejemplo: saldrían hacia atrás, empujados por fuerzas proporcionales a su peso, pero todos con la misma aceleración que haya tomado el camión. Ahora bien, en la caída libre en el campo gravitatorio terrestre ocurre que todos los cuerpos, independientemente de su peso, caen también con la mis-ma aceleración. Por lo tanto, la situación creada en la plataforma del

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ejemplo es equivalente a lo que ocurriría en un campo gravitatorio en el que la aceleración de la gravedad (g) fuera sustituida por la acele-ración (a) del camión. En la fuerza de atracción gravitatoria, el peso (P), y la masa (m), se relacionan en la expresión P = m.g

Excepto por la diferente magnitud de las aceleraciones, el fe-nómeno de la caída libre es idéntico al ejemplo de los carros: las ma-sas reaccionan por inercia igual ante una aceleración que ante un campo gravitatorio. La mecánica clásica newtoniana no profundizó en el significado de esta igualdad de comportamiento entre masa inerte y masa gravitatoria, y dio a los dos fenómenos, inercia y gravitación, explicaciones totalmente distintas: la influencia del espació absoluto para la una, y la atracción gravitatoria para la otra.

Isaac Newton definió la masa como la resistencia al movimien-to: cuanto más masa tiene un objeto, más difícil es ponerlo en movi-miento si está en reposo, o pararlo si se está moviendo. También determinó que cuanto más masa tenga un objeto, mayor atracción gravitatoria recibe. Pero aquí se plantea un tema del mayor interés que puede pasar desapercibido en un examen superficial: no hay razón inherente alguna para que estas dos propiedades de un objeto, su masa inerte y su masa gravitatoria sean lo mismo. Por intuición se tiende a aceptar la resistencia al movimiento como consecuencia na-tural del propio peso del objeto, pero no hay que olvidar que esta re-sistencia se manifiesta de la misma forma en condiciones de ingravi-dez, manteniéndose igual la resistencia inerte de la masa en el vacío sideral. El periodo de oscilación del péndulo simple, por ejemplo, es independiente de su masa, porque tanto la resistencia a la oscilación como la fuerza gravitatoria que lo impulsa son igualmente proporcio-nales a ella. Einstein llamó a esta similitud el "principio de equivalen-cia", y llevarla a su extremo lógico lo condujo a la teoría general de la relatividad.

Aunque Newton no pareció reparar en el extraordinario hecho de la proporcionalidad general de la masa gravitatoria y la masa iner-cial, resulta razonable suponer la incorporación de una ley o postula-do sobre esta proporcionalidad a los fundamentos de la mecánica clásica, por parte de alguno de los muchos seguidores ilustres de la huella de Newton; sin embargo, no fue este el caso en modo alguno. Por el contrario, la proporcionalidad de ambas masas queda implíci-ta, como una especie de rareza, en el tejido de las otras leyes. Era

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probablemente causa de extrañeza para muchos, pero nadie sospe-chó ni buscó una relación más profunda oculta en ella. Parece lógico, sin embargo, que surgiera insistentemente la pregunta: ¿por qué se produce para todos los cuerpos esa coincidencia de comportamiento de la masa frente a la inercia y a la gravitación siendo producidas por causas tan diferentes? En principio, tal interrogación no hubiera sido en modo alguno irrelevante. ¿Es que no pueden darse casos donde la masa gravitatoria no sea exactamente proporcional a la masa iner-te? Pero como estas preguntas no se hicieron, tampoco se trataron de responder, y la cuestión permaneció en la sombra.

Esta falta de inquietud de la mecánica clásica en este sentido fue quizás debida a su enorme éxito práctico. Pronto demostró poder predecir no sólo el movimiento de los cuerpos terrestres, sino tam-bién los de los planetas, y se convirtió en fundamento seguro para el ámbito completo de las ciencias exactas, hasta el punto de que, has-ta bien avanzado el siglo XIX, se creyó que el propósito de toda in-vestigación física era la interpretación de los fenómenos en términos de la mecánica newtoniana. Como más tarde se verá en este relato, fue Einstein, más de dos siglos después de publicada la obra de Newton, el primero en señalar el importante significado de la igualdad de la masa gravitatoria y la masa inercial para los fundamentos de las ciencias físicas.

El tiempo absoluto y el espacio absoluto: inercia de rota-

ción Dado que el tiempo fluye absolutamente y que, tanto en las

matemáticas como en la física, se mide mediante una velocidad, está inscrito en las sólidas reflexiones newtonianas que ha de existir una velocidad absoluta, la cual exige y define, necesariamente, un espacio absoluto. El movimiento de rotación fue reputado por Newton como “movimiento absoluto”, es decir, movimiento directamente refe-rido al espacio absoluto, puesto que no se necesita referencia exter-na para detectarlo: basta con observar la fuerza de inercia que gene-ra. Un observador en el puente de un barco sobre un mar en absolu-ta calma, rodeado de una niebla impenetrable, no puede saber si se esta moviendo en un sentido u otro al carecer de puntos de referen-cia a la vista, pero se dará cuenta enseguida de si está girando. Newton atribuyó la aparición de la fuerza centrífuga al giro con res-pecto al espacio absoluto. Dedicó bastante tiempo a meditar en las especiales particularidades del movimiento giratorio. Para entender el

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estudio del giro, hay que tener en cuenta que en la ciencia física el concepto de aceleración se extiende a todo cambio en la velocidad, no sólo en la magnitud, sino también en la dirección y en el sentido; por lo tanto, el movimiento circular de un objeto precisa de una acele-ración dirigida hacia el centro o centrípeta, aunque la velocidad de giro sea uniforme, porque ésta debe cambiar constantemente de sen-tido para ceñirse a la trayectoria curva; el efecto de la gravedad del Sol, por ejemplo, es centrípeto porque produce la desviación cons-tante del planeta hacia el centro de la órbita. Por otra parte, se ob-serva que un objeto colocado sobre un sistema giratorio, tratará de escapar hacia fuera en el sentido del radio. Por el mero hecho del giro, actúa sobre el objeto una aceleración centrífuga, (aC) cuyo valor obedece a la misma fórmula de la aceleración centrípeta 2. La órbita de un planeta, por ejemplo, será circular cuando la fuerza de atrac-ción gravitatoria sea igual a la fuerza centrífuga generada. En este fenómeno intervienen claramente las leyes del movimiento de New-ton: en primer lugar, la aceleración centrífuga es consecuencia de la inercia, que tiende a impedir el giro y poner al objeto en trayectoria rectilínea; en segundo lugar, es una manifestación del principio de acción y reacción, pues el valor de la aceleración centrífuga resulta igual al valor de la aceleración centrípeta por la gravitación solar.

Newton atribuyó la aparición de la fuerza centrífuga3 al giro con respecto al “espacio absoluto”, y apoyó la teoría con pruebas como la del experimento del cubo de agua giratorio (Figura 8), corre-lacionando el ascenso centrífugo del líquido, cuando ya no hay mo-vimiento relativo del agua con respecto al cubo, con un movimiento de giro con respecto al espacio absoluto.

2 Como a = v2 /r, y v = ω r, resulta a = ω2 r2 /r = ω2 r , donde ω es la velocidad angular y r el radio de giro 3 Fuerza centrífuga, FC = m ω2 r

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Figura 8 Se establece así el espacio absoluto como un marco de refe-

rencia inercial naturalmente privilegiado, en reposo inmutable con el que tienden a identificarse todos los marcos de referencia del univer-so. Según esta idea, aparecería la fuerza centrífuga aún en el caso de que existiera una sola masa girando en el Universo, pues también estaría girando con respecto al espacio absoluto. Toda la mecánica de Newton se basó en el concepto de espacio absoluto y la correlati-va existencia de un tiempo universal absoluto. La inercia, como resis-tencia de todos los cuerpos a la aceleración, debía interpretarse co-mo efecto de la tendencia natural de referencia al espacio absoluto.

Sobre estas premisas ha seguido funcionando el sistema new-toniano hasta hoy. El propio Newton era consciente, desde luego, de que el espacio absoluto sólo era una hipótesis creada para poder construir su teoría. De hecho, llegó a expresar la duda de que pudie-ra existir en realidad punto fijo alguno de referencia en el espacio. Tomando estas dudas en consideración, su afirmación de que el es-pacio absoluto existía “sin referencia a ningún objeto externo”, no parece propia de un hombre que, como Newton, afirmó con insisten-cia que sólo quería investigar lo que existiera en la realidad, lo que fuera susceptible de observación y no lo hipotético. Lo cierto es que

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la fuerza centrífuga parece manifestarse de la misma forma en todo el Universo, lo que abona la existencia de una referencia externa como el espacio absoluto. La teoría supone algo imposible de probar: si la Tierra estuviera quieta y fuera el resto del Universo el que girara a su alrededor, las fuerzas centrífugas terrestres serían exactamente iguales.

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4. MAXWELL: LA ACCIÓN CONTIGUA Magnetismo, electricidad y éter Durante un siglo la mecánica newtoniana reinó sin discusión

en todos los ámbitos de la ciencia, pero a finales del siglo dieciocho comenzó a tomar importancia un ámbito en el que la mecánica clási-ca fue teniendo cada vez más dificultades de aplicación: la electrici-dad. Los dos “fluidos”: el magnetismo y la electricidad, se estudiaron primero como materias independientes, pero desde que André M. Ampére (1775-1836) descubrió que dos corrientes eléctricas ejercen fuerzas magnéticas entre sí, mostrando al magnetismo como simple efecto de la corriente eléctrica, se acabó la idea del fluido magnético, y quedó solamente la electricidad que, cuando esta en reposo, pro-duce un efecto electrostático y cuando está en movimiento produce, además, un efecto magnético.

El rápido ascenso de la electricidad y el magnetismo, desde el carácter de meras curiosidades de salón hasta el rango de nuevas fuerzas dominantes en la física, produjo una revitalización de la anti-gua idea del éter como necesario medio de transmisión de las nue-vas fuerzas de atracción. Ya el propio Newton, impulsado por su for-mación mecanicista, tratando de imaginar cómo podría actuar la fuerza gravitatoria entre cuerpos distantes, había especulado con la idea de un medio etéreo para la gravitación planetaria. Con el co-mienzo del estudio de las atracciones entre cargas eléctricas e ima-nes, surgen en otras mentes teorías parecidas para tratar de expli-carlas.

Al concebirse la luz y las fuerzas eléctricas y magnéticas como proyecciones de partículas materiales, se postuló la existencia, en lo que se había considerado espacio vacío, de un indefinido sostén ma-terial que se llamó éter. Contando con la existencia del éter, se pensó que la forma de acción de las diferentes fuerzas se podría interpretar mecánicamente, a base de interacción de partículas materiales aún desconocidas, pero la hipótesis se volvió cada vez más inaplicable, porque no había forma de idear un modelo mecánico que explicara los hechos experimentales que iban apareciendo. La única salida parecía ser dar por sentado el hecho, de que el espacio vacío tenía

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la propiedad física de transmitir los efectos eléctricos y magnéticos y usar la palabra “éter” sólo para designar esta propiedad. Esta abs-tracción fue precisamente el punto de partida que tomó el joven ma-temático escocés James Clerk Maxwell (1831-1879)

Maxwell y los campos de fuerza Fue el fecundo experimentador Michael Faraday (1791-1867)

el primero que aplicó el concepto de campo de fuerza al magnetismo y la electricidad. La imaginación científica de Faraday fue capaz de materializar en el espacio las líneas de fuerza que vio un día como oscuros dibujos de limaduras de hierro sobre un papel puesto sobre un imán. Esta intuición del veterano científico experimental fue la ins-piración de Maxwell, hasta el punto que su primer libro se tituló preci-samente “Sobre las líneas de fuerza de Faraday”. En 1864 publicaría la obra maestra, “Una teoría dinámica del campo electromagnético” que significa el verdadero arranque de la física avanzada. Su teoría contiene unas ecuaciones que describen un mecanismo nuevo, radi-calmente distinto en la ciencia física. Hasta aquel momento las fuer-zas eléctricas y magnéticas se suponían como acciones a distancia similares a la gravitación; a partir de Maxwell estarán definidas por el nuevo criterio de acción por contacto.

En el nítido planteamiento newtoniano de la gravitación, la no-ción de acción a distancia, podía resultar oscuramente aceptable, pese a su falta de base racional, quizás por estar íntimamente rela-cionada con la noción de simultaneidad, tan profundamente enclava-da en la conciencia humana. La cancelación de la acción a distancia mediante una teoría matemática como la de Maxwell, es un indicador formidable del alcance de la especulación analítica frente al límite del razonamiento guiado por el sentido común. Abundan los ejemplos sencillos de lo poco que valen nuestros razonamientos lineales para el verdadero conocimiento del mundo físico. La tendencia natural a dar prioridad al razonamiento guiado por los instintos, y a las crea-ciones de la imaginación basadas en los datos directos de los senti-dos está, lógicamente, muy enraizada en el espíritu humano y, por tanto, ha sido siempre muy difícil de controlar. Costó mucho en la física teórica que, incluso hombres de gran talento, renunciaran a sus prejuicios y reconocieran plenamente que, fuera del lenguaje mate-mático, es imposible comprender en profundidad el mundo físico. A este respecto, la historia del concepto del éter, resistiendo tan largo

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tiempo desde soterradas tendencias animistas en la ciencia, consti-tuye quizás el máximo ejemplo.

Ecuaciones de campo y acción de contacto

El punto débil del reconocimiento de la acción a distancia de

la fuerza gravitatoria, estaba en que prescindía de que hubiera algo en el espacio capaz de transportarla, y servirle de apoyo en su ac-ción. Maxwell fue el hombre que le dio un giro radical al problema, proporcionando un planteamiento totalmente nuevo: la acción por contacto. Hacía falta una mente científica muy clara para establecer que el comportamiento de los cuerpos dejara de ser esencial para el ordenamiento y comprensión de los sucesos, de que no fueran las cargas ni las partículas, sino el campo o espacio existente entre ellas, lo esencial en la descripción del fenómeno físico. En la acción contigua o por contacto, las fuerzas no se valen de ningún medio in-terpuesto sino que irradian su potencial, apoyándose en si mismas por así decirlo, avanzando, no instantáneamente, sino con una de-terminada velocidad de propagación. Esta es en esencia la gran idea que desarrolló Maxwell, dando con ello un paso decisivo, quizás comparable al del propio Newton con la gravitación, en el nuevo mundo cada vez más volcado en las nuevas fuerzas eléctricas y magnéticas.

Hasta aquel momento, la teoría de la electricidad y el magne-tismo se había desarrollado en forma de leyes empíricas, cada una de las cuales era la generalización matemática de una serie de expe-rimentos, como, por ejemplo, la ley de Coulomb, que expresa al mo-do newtoniano la fuerza entre dos cargas eléctricas estacionarias

F ≈ q.q´/ r2 A Maxwell le inspiró el formidable trabajo experimental de Fa-

raday y su concepto de las líneas de fuerza del campo magnético. Faraday no consideró que el campo en el vacío fuera una abstrac-ción simple para representar la distribución geométrica de la fuerza ejercida, mientras que el campo en el material dieléctrico, es decir, permeable a las líneas de fuerza, representara un cambio físico real por desplazamiento de cargas, sino que afirmó que ambos eran del mismo tipo, y que todos los medios, incluido el vacío, eran dieléctri-cos. Las líneas de fuerza le sirvieron para representar el peculiar es-tado de tensión en el medio capaz de transmitir las fuerzas electros-

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táticas y magnéticas. Maxwell tomó su punto de partida en la idea de que un campo de fuerza eléctrico de intensidad E siempre produce, no sólo en las sustancias materiales, un desplazamiento de cargas:

D = 4πaρ

donde a es la distancia de desplazamiento y ρ la densidad de carga Una carga puntual e produce en un radio r un campo eléctrico

de intensidad que es, de acuerdo con el concepto de desplazamien-to de carga:

E = e /єr2 = 4πaρ /є

de donde resulta:

D = єE Siendo el desplazamiento de carga D un campo vectorial, la

densidad de desplazamiento está definida matemáticamente por la divergencia del campo:

div D = div єE = ▼. D x

donde ▼ es el operador diferencial vectorial o vector gradiente. Para un caso general donde la carga no es puntual sino distri-

buida de forma continua resulta: div єE = 4πρ Exactamente las mismas operaciones se aplican al campo

magnético, con la diferencia de que no existen cargas magnéticas, puesto que el campo magnético siempre está producido por corrien-tes eléctricas, por lo que resulta:

div μH = 0 Una corriente eléctrica crea un campo de fuerza magnético H

que rodea la dirección de la corriente, definido matemáticamente por la función diferencial rotacional (rot) xi. de donde se obtiene:

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c rot H = 4π i

siendo i la densidad de corriente y c el factor de proporcionalidad Análogamente, la corriente magnética crea un campo eléctrico

rotacional en sentido contrario, controlado por la ecuación diferencial rotacional

c rot E = – 4π iM

siendo iM la densidad de flujo magnético y c el mismo factor de pro-porcionalidad.

Las citadas ecuaciones de divergencia, y las ecuaciones rota-cionales completadas con las ecuaciones diferenciales de las inten-sidades de desplazamiento de cargaxii, constituyen las cuatro ecua-ciones de Maxwell:

div єE = 4πρ div μH = 0 c rot H = є (dE/dt) + 4πσ E c rot E = – μ (dH/dt) Estas trascendentales ecuaciones han seguido siendo hasta

ahora el fundamento de todo el electromagnetismo. Constituyen una verdadera teoría de acción contigua o por contacto, porque de ellas se deduce una velocidad finita de propagación de las fuerzas elec-tromagnéticas.

En efecto, supóngase, que comienza a vibrar una carga eléc-trica, en un medio donde, por ejemplo, tienen valor cero la conducti-vidad eléctrica σ y la densidad de carga eléctrica ρ, y valor 1 el coefi-ciente dieléctrico є y la permeabilidad magnética μ. El campo eléctri-co variable crea un campo magnético variable rodeando la carga:

dE/dt = c rot H En el siguiente instante, el campo magnético variable creado

produce un campo eléctrico variable rodeando al campo magnético:

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dH/dt = – c rot E. Este campo eléctrico variable induce a su vez en el siguiente

instante otro campo magnético variable, y así seguirá un proceso en cadena a velocidad finita. El resultado es la propagación continua de un campo electromagnético en todas direcciones, en forma de ondas transversales (Figura 9)

Figura 9 Luz y ondas electromagnéticas Maxwell aplicó el análisis matemático a la oscilación de una

carga eléctrica, que produce en el espacio circundante, según lo pre-visto en sus ecuaciones de campo, la asociación de un campo eléc-trico y un campo magnético variables, y definió el campo electromag-nético producido y su variación con el tiempo. El resultado de esta variación es un tren de ondas electromagnéticas que se desplaza con una determinada velocidad. El análisis dimensional de la ecua-ción del campo magnético demuestra que la constante de proporcio-nalidad cxiii equivale a una velocidad, cuyo valor había sido identifi-cado, en 1856, como igual a la velocidad de la luz por los físicos alemanes Rudolf Kohlrausch (1809-1858) y Wilhelm Weber (1804-1891). De ello pudo Maxwell deducir que las ondas luminosas eran también ondas electromagnéticas.

Maxwell no llegó a comprobar la realidad física de las ondas electromagnéticas que había predicho matemáticamente. La prueba definitiva se produjo ocho años después de su fallecimiento, cuando el físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894), produjo ondas electro-

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magnéticas con descargas eléctricas de frecuencia conocida, deter-mino la longitud de onda mediante pruebas de reflexión e interferen-cia, y pudo determinar así la velocidad de las ondas, que resulto ser igual a la velocidad de la luz como estaba previsto. El descubrimien-to teórico por parte de Maxwell de las ondas electromagnéticas y sus leyes, antes de que su existencia fuera probada, es uno de los ma-yores logros de la historia de la Ciencia.

La novedad esencial en las ecuaciones de Maxwell es que su descripción de la estructura del campo electromagnético se extiende a todo el espacio, contrariamente a las leyes de la mecánica clásica, que valen tan sólo para aquellos lugares donde haya materia o car-gas eléctricas o magnéticas. Además, no hay en ellas estado inicial y final definidos; no relacionan, como las leyes de Newton, dos suce-sos distantes, como la atracción del Sol causando indefinidamente la traslación de la Tierra; en resumen, no reconocen la acción a distan-cia. Por el contrario, definen el campo de fuerza en un lugar e instan-te concretos que depende del campo que había en el entorno inme-diato en el instante anterior, y permiten predecir lo que pasará un poco más allá un instante después. Son ecuaciones de la dinámica de una acción que, al “rellenar” el espacio lógico entre causa y efec-to, clausuran de alguna forma la acción a distancia.

Fuera como fuera, con acción contigua o con acción a distan-cia, se seguía pensando en el éter ¿De qué se podría estar constitui-do? ¿Qué es lo que vibra en el espacio cuando se difunden las on-das luminosas y electromagnéticas? Sería una larga historia dar cuenta de las numerosas y a veces fantásticas hipótesis del éter, que se han propuesto desde los tiempos de Newton. Si se las fuera a aceptar literalmente, el éter sería un monstruoso mecanismo de invi-sibles cremalleras, giróscopos y engranajes interconectados de la forma más complicada, y lo peor sería que, de toda esa confusa ma-sa, nada sería observable sino solamente unas características relati-vamente simples, que se presentan en forma de campo electromag-nético. Aún hoy en día, algunos consideran imprescindible una expli-cación mecánica del éter para la comprensión del mundo físico.

En su día, Maxwell obvió tal explicación limitándose a describir el estado del éter o espacio vacío en función de dos magnitudes vectoriales, o sea entes con dirección y sentido, que se llaman cam-po de fuerza eléctrico (E) y campo de fuerza magnético (H), cuya evolución en el espacio y en el tiempo quedó descrita en sus ecua-ciones. A esto sólo se puede añadir hoy que, bajo ciertas circunstan-cias, el campo electromagnético produce acciones observables me-

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cánicas, térmicas y químicas. Todo lo que vaya más allá de estos parámetros verificables son, en principio, fantasías e hipótesis su-perfluas. La aceptación de esta especie de realidad matemática im-plica renunciar a una explicación, acorde con las analogías y las re-presentaciones visuales. Esta definitiva renuncia a lo intuitivo ha sido de gran importancia desde un punto de vista metodológico para la ciencia actual.

Con el desarrollo del estudio de la luz y de las ondas electro-magnéticas, llega una incómoda discrepancia de este dominio con las leyes mecánicas. Según el principio de relatividad de Galileo, las leyes mecánicas deben ser las mismas en todos los sistemas inercia-les, pero esto no se cumple con las ondas electromagnéticas tal co-mo las describen las ecuaciones de Maxwell. De hecho, entre dos focos emisores de ondas electromagnéticas que se muevan entre si con movimiento uniforme, de las ecuaciones se desprende que la velocidad de la radiación permanezca constante pese a que debiera variar de acuerdo con la composición de las velocidades. Esto indi-caba que la transformación de coordenadas debía substituirse por otra nueva expresión, para la cual también resultaran invariantes las ecuaciones maxwelianas del campo electromagnético.

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5. LA INVEROSÍMIL DUREZA DEL ÉTER El contradictorio éter Newton había especulado en su tiempo, como ya se pudo ver,

con la idea de una sustancia etérea que fuera vehículo de la fuerza de la gravedad, pero la verdadera teoría del éter comienza a tomar cuerpo con la teoría ondulatoria de la luz, introducida por Huygens como alternativa a la teoría corpuscular de su contemporáneo, el propio Newton. Huygens, creía que la luz debía moverse en ondas como el sonido, pero esta idea tropezaba con una suprema dificultad. La luz compuesta de corpúsculos materiales imaginada por Newton, podía propagarse en el vacío como en el cualquier otro medio trans-parente, porque era una proyección de partículas, pero para justificar la propagación de las vibraciones ondulatorias de la luz en el vacío propugnadas por Huygens, era preciso suponer que éste no fuera tal vacío, sino que estuviera lleno de un sutil medio material. El descu-brimiento por el matemático y físico francés Étienne-Louis Malus (1775-1812) de que las vibraciones de la luz no son longitudinales como las del sonido sino transversales, es decir perpendiculares al sentido de propagación, desconcertó a los partidarios de la teoría ondulatoria, puesto que se sabía que sólo pueden existir vibraciones transversales en cuerpos sólidos duros y elásticos. Esto significaba que el éter cósmico, el hipotético vehículo transmisor de la luz, ya no podía ser el gas muy tenue que Huygens había imaginado, sino equi-valente de alguna manera a un cuerpo sólido.

El enigma que así se planteaba iba a abrumar a los físicos du-rante generaciones, puesto que sostener la existencia del éter impli-caba tener que atribuirle cualidades incompatibles entre sí. Las on-das mecánicas transversales necesitan un medio sólido de alta den-sidad para transmitirse; sin embargo, ahora el éter, tan tenue como para no producir rozamiento alguno en el movimiento de los astros, debía sin embargo de ser capaz de transmitir las ondas transversales luminosas. ¿Cómo podía existir un sólido rígido y flexible, pero que fuera a la vez invisible y tan sutil que no presentara resistencia al movimiento de los cuerpos en su seno? La solución de este enigma fue el objetivo de muchas laboriosas investigaciones de los físicos

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del siglo XIX. En su esfuerzo por imaginar el éter de una manera in-tuitiva y coherente con los materiales conocidos, algunos llegaron a proponer hipótesis realmente descabelladas; el físico británico Wi-lliam Thomson (1824-1907), por ejemplo, le atribuyó una plasticidad especial, capaz de ponerse a vibrar a la altísima frecuencia de las ondas luminosas, pero dejando pasar sin resistencia los objetos que llevaran movimientos relativamente lentos, desde los planetas en sus órbitas a los vehículos terrestres. “Tenemos que conformarnos – de-claró resignadamente más tarde – con la idea de que el éter es una sustancia sólida pero sin densidad ni peso, por más que ello sea in-concebible”. Lo cierto es que cada vez fue más importante dilucidar la naturaleza del éter, puesto que, a pesar de su fantasmagórico per-fil, cobraba nueva importancia al convertirse también en el hipotético medio de propagación de todas las radiaciones.

A la busca del viento de éter Afirmar la existencia del éter presuponía que se le pudiera po-

ner en movimiento. Se pensó que la veloz traslación de la Tierra a través del espacio debía provocar un viento de éter sobre los cuerpos en su superficie, que sería, desde luego, de igual velocidad en senti-do contrario. Esto ocurriría, naturalmente, siempre que el océano de éter alrededor del planeta estuviera en reposo absoluto, puesto que no se produciría, lógicamente, ningún viento de éter si éste se movie-ra acompañando al planeta en su carrera. Había fenómenos, como la aberración de la luz en los telescopios, que parecían probar que, en efecto, el éter estaba en reposo. El astrónomo ingles James Bradley (1693-1762) había observado que una imagen que debía incidir en el centro del objetivo de su telescopio, no se formaba en el centro de la lente ocular, lo que atribuía a que la lente se desplazaba en la órbi-ta terrestre durante el intervalo de tiempo que invertía la luz en reco-rrer el largo tubo, mientras que los rayos luminosos no, lo que indica-ría que el éter transmisor de la luz en el interior del telescopio per-manecía en reposo, sin ser arrastrado por el movimiento terrestre.

En la mecánica clásica, según el principio de relatividad de Galileo, no se puede hablar de movimiento uniforme absoluto. No hay más que movimientos relativos pues mientras un sistema se mueva con velocidad uniforme con respecto a otro, carece de sentido preguntarse cuál de ellos está en movimiento y cual está en reposo, Sin embargo, en los experimentos ópticos se planteó un estado de cosas diferente al descrito para la mecánica clásica. Considérese,

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por ejemplo, un foco luminoso que se mueve con una velocidad uni-forme v. Si el éter existiera y estuviera en reposo absoluto, según el principio de relatividad de Galileo un observador situado en otro mar-co de referencia apreciaría una velocidad de la luz mayor o menor en v según el foco estuviera alejándose o acercándose. Sin embargo, todos los intentos para registrar tales variaciones en la velocidad de la luz fueron inútiles; la velocidad de la luz parecía tener siempre el mismo valor, con independencia del movimiento de la fuente lumino-sa con respecto al observador.

El físico francés Armand-Hippolyte Fizeau (1819-1896), des-pués de medir la velocidad de la luz con precisión mediante un sis-tema óptico terrestre, concibió una prueba que podía determinar el arrastre del éter conductor de la luz por una rápida corriente de agua, o sea, la variación de la velocidad de la luz en un medio material en movimiento. El interferómetro usado era capaz de medir el despla-zamiento de las bandas de interferencia, producidas por el desfase de dos rayos luminosos moviéndose el mismo trayecto, uno a favor y otro en contra de una corriente de agua a gran velocidad (Figura 11).

El experimento planteado pretendía comprobar, como afecta-

ría la velocidad del agua en uno y otro sentido a la velocidad de la luz. De esta forma obtuvo que la luz que se propagaba en la direc-ción de la corriente aumentaba su velocidad en un 44 % de la veloci-dad del agua, mientras que en dirección contraria disminuía en la misma proporción. Hizo la misma prueba con otros líquidos y dedujo finalmente que la velocidad modificada de la luz en un fluido en mo-

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vimiento coincidía con los resultados de la fórmula que había deduci-do teóricamente años antes Augustin Fresnel (1788-1827) lo que parecía corroborar la certeza de sus resultadosxiv. La experiencia de Fizeau fue importante, pues parecía probar por fin la existencia del éter en cuanto podía ser parcialmente arrastrado, pero era una prue-ba indirecta por depender de la velocidad del agua. Faltaba observar viento de éter producido directamente por un movimiento.

En cualquier experimento óptico, observar el efecto del viento de éter sobre la velocidad de la luz equivalía a determinar un arrastre o frenado del éter conductor de la luz producido por el movimiento. Si se suponía que la velocidad de la luz en un cuerpo o zona del espa-cio que se moviera en el mismo sentido o en sentido opuesto del rayo luminoso debía disminuir o aumentar respectivamente en la ve-locidad del cuerpo, se estaba asumiendo que el cuerpo penetraba el éter sin arrastrarlo en absoluto, y que, por lo tanto, era sólo el viento de éter creado por el movimiento del cuerpo el que alteraba la veloci-dad de la luz. Para detectar una variación en la velocidad de la luz, dado su enorme valor, debía someterse a un viento de éter lo más intenso posible. La velocidad más alta disponible por entonces en la Tierra (y aún hoy) era la propia velocidad del planeta en su movi-miento de traslación alrededor del Sol (30 km/seg). Aún así, era ne-cesario medir variaciones infinitesimales ya que siendo la velocidad terrestre relativa a la luz v/c = 30/300.000 = 1/10.000, la magnitud del efecto que produciría el viento terrestre éter debía ser de una diezmilésima parte si este fuera de primer orden, o sea, proporcional a v/c, o de una cienmillonesima si esta fuera de segundo orden, o sea, proporcional al cuadrado de v/c. Las variaciones de primer or-den estaban dentro de los límites de precisión de los aparatos de la época, pero no las variaciones de segundo orden, y se daba el caso de que eran precisamente éstas las que se esperaban de los propios experimentos posiblesxv. Así que, en tal caso, el viento de éter sería indetectable.

Pero lo cierto es que tampoco se apreciaban los efectos de primer orden, aunque éstos sí podían detectarse. El físico francés François-Jean Arago (1786-1853), contemporáneo de Fresnel, reali-zó un experimento que, teóricamente, podía producir un efecto medi-ble de primer orden. Se trataba de observar una estrella en el mo-mento en que la Tierra se está moviendo hacia ella, y observarla de nuevo al cabo de seis meses, cuando la Tierra se está alejando en su órbita. En el primer caso la velocidad de la luz en el telescopio sería mayor y en el segundo, menor. Como la refracción de una len-

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te depende de la velocidad de la luz, se debía esperar que la distan-cia focal y por lo tanto el aumento óptico sería diferente en ambos casos. Este efecto era de primer orden porque la diferencia de velo-cidad entre las dos observaciones es 2x 30 = 60 km/seg y su co-ciente con respecto a la velocidad de la luz resultaba, por lo tanto, 60/300.000 = 1 / 5.000; sin embargo, Arago no pudo encontrar nin-guna variación en la posición del foco, es decir no detectó ningún viento de éter.

El experimento definitivo para tratar de detectar viento de éter fue planteado en 1881 por el físico polaco Albert Michelson (1852-1931). Se trataba de comparar la velocidad de un rayo de luz en sen-tido opuesto a la rotación de la tierra con la de otro perpendicular a la mismaxvi. Si se producía viento de éter, la diferencia entre los tiem-pos invertidos en recorrido de ida y vuelta en ambos sentidos sería matemáticamente igual a una cantidad de segundo orden en v/c, pe-ro el aparato de Michelson estaba preparado para registrar perfecta-mente incluso variaciones tan ínfimas (Figura 11).

Figura 11 Las medidas se iban a efectuar con un ultrasensible interferó-

metro, medidor de las bandas de interferencia que se debían producir entre las ondas de los dos rayos luminosos. Michelson intentó la prueba por primera vez en Berlín en 1881. Seis años después volvió a intentarlo con la colaboración del físico americano Edward Morley (1838-1923) en la ciudad americana de Cleveland. Hubo gran expec-

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tación pública, pues se trataba de medir el movimiento absoluto de la Tierra en el éter. Michelson miró a través del anteojo del interferóme-tro y observó las rayas que se marcaban sobre el campo visual del aparato; un motor hizo girar lentamente un cuarto de círculo la pesa-da losa de mármol que sostenía la fuente luminosa y los espejos. Debió ocurrir entonces el desplazamiento esperado, pero las rayas de interferencia no se movieron en absoluto: el gran experimento había fallado. Ni en esa prueba ni en ninguna de las muchas otras efectuaron después se encontró el menor desplazamiento. Tras años de obstinados esfuerzos, las actas de los experimentos de Michelson y Morley consignaron definitivamente que no existía viento de éter, en cuanto la velocidad de la luz no resultaba afectada incluso en can-tidades de segundo orden en v/c. Si había que llegar a una conclu-sión era que, en caso de que el éter existiera, éste no estaba en re-poso absoluto, sino que era arrastrado totalmente por la Tierra en su viaje a través del espacio.

La explicación del experimento Michelson y Morley Se planteaba ahora un dilema: si a pesar del resultado del

experimento Michelson-Morley se seguía admitiendo la existencia del éter en reposo con respecto a la Tierra quedaba inexplicado el expe-rimento, pero explicada la aberración de la luz en los telescopios; si, por el contrario, se admitía el arrastre total del éter con el movimiento de la Tierra, se justificaba el resultado negativo del experimento, pero quedaba inexplicada la aberración. En lugar intermedio entre ambas posibilidades quedaba el experimento de Fizeau, pues su resultado de arrastre parcial testimoniaba mitad a favor de una posibilidad y mitad a favor de la otra o, desde otro punto de vista, mitad en contra de ambas. La existencia del éter quedaba, pues, en una situación casi insostenible, pero seguía siendo una idea muy persistente en la comunidad científica. Michelson decidió finalmente, no afirmar la in-existencia del éter, sino suponer que había convección total aunque esta conclusión contradijera el experimento de Fizeau y otros más recientes, que parecían probar claramente una aparente convección parcial.

El resultado del experimento Michelson-Morley puso en aprie-tos sobre todo al físico holandés Hendrik Antoon Lorente (1853-1928), el más prominente partidario del éter en reposo absoluto, porque su teoría electrónica del campo electromagnético, basada en las ecuaciones de Maxwell, necesitaba precisamente el éter en repo-

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so. Otros fenómenos físicos, como la caída de un objeto o la oscila-ción de un péndulo, ocurren igual en un marco de referencia en repo-so que en otro animado de velocidad uniforme, pero la propagación de una onda electromagnética, de acuerdo con la descripción que dan de ella las ecuaciones de Maxwell, no es igual si el foco emisor está en reposo que si se mueve. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell no resultan invariantes con respecto a las transformaciones galileanas entre sistemas en movimiento; sólo son válidas si se refie-ren a un sistema de coordenadas fijo anclado en el éter. Por esto Lorentz, que consideraba estas ecuaciones como el fundamento de su interpretación del Universo, había afirmado categóricamente que el océano de éter debía estar inmóvil. Era natural que ahora no duda-ra en utilizar en defensa del reposo del éter una extraña hipótesis de contracción propuesta por el profesor irlandés George Francis Fitz-gerald (1851-1901) para explicar el fracaso en detectar viento de éter del experimento Michelson-Morley.

La hipótesis de la contracción proponía que cualquier cuerpo con una velocidad v con respecto al éter se contraería en la dirección del movimiento en la fracción √ (1 - v2/c2 ). Lo mismo debía ocurrir con el recorrido de los rayos de luz en el experimento Michelson-Morley, con lo que se justificaba la compensación registrada por el interferómetro. Esta audaz hipótesis parecía casi absurda porque la contracción no sería resultado de ninguna fuerza, sino una circuns-tancia derivada del propio movimiento. Como la contracción sería completa a la velocidad de la luz, los objetos tendrían que desapare-cer en la dirección del movimiento, y puesto que una longitud negati-va parecía no tener sentido, esta contracción de Fitzgerald fue el primer indicio de que la velocidad de la luz en el vacío es la máxima teóricamente alcanzable en el universo por cualquier objeto material. Como así no cabía duda de que el movimiento de traslación a través del éter no podía ser detectado, Lorentz se reafirmó más en la hipó-tesis de la contracción cuando todos los experimentos avanzados posteriores para tratar de detectar viento de éter siguieron dando re-sultados negativos.

Ecuaciones de transformación de Lorentz Cuando Lorentz profundizó en las condiciones necesarias para

que los fenómenos electromagnéticos sucedieran en el éter en repo-so, es decir en hacer aplicable el principio de relatividad galileano en el ámbito de las ondas electromagnéticas, propugnó algo todavía

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más raro que la hipótesis de la contracción del espacio: que también debía usarse una nueva medida de tiempo dependiente de la veloci-dad en cada sistema en movimiento uniforme. A este tiempo, diferen-te en cada sistema físico, lo llamó “tiempo local”. De esta forma, desarrolló las ecuaciones de transformación, para que las ondas electromagnéticas en sistemas en movimiento ocurrieran como si estuvieran en reposo en el éter, o sea para que un observador las percibiera a la misma velocidad tanto si el foco emisor está en reposo como si se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme. Se trataba de unas ecuaciones de transformación de coordenadas entre dos marcos de referencia en movimiento relativo y uniforme entre si, que incluían el acortamiento de la longitud y el retardo del tiempo como característicos de un cuerpo en movimiento.

Las ecuaciones de transformación fueron calculadas de forma independiente y casi simultánea por el físico y matemático por Lo-rentz y por el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912), pero al ser publicadas primero por el primero se conocen hoy como las transformaciones de Lorentz. Estas son:

x´ = (x - vt). √ 1 – v2/ c2, y´= y , z´= z , t´= (t – v.x/c2) / √ 1 – v2/ c2

y pueden sustituir de una manera general en la mecánica a la senci-lla transformación de Galileo entre sistemas inerciales ya conocida:

x´= x – vt , y´= y , z´= z , t´ = t En las ecuaciones de transformación de Lorentz aparece el

factor de contracción √ 1 – v2/ c2, para introducir correcciones debi-das a la velocidad tanto en el espacio como en el tiempo. A veloci-dades normales las correcciones resultan casi nulas y los valores de las coordenadas son prácticamente iguales a los que se hallan con las transformaciones de Galileo. El efecto de las correcciones sólo es perceptible a velocidades próximas a la fantástica velocidad de la luz. Incluso a grandes velocidades como la de traslación de la Tierra, 30 km/s, casi diez veces la velocidad del sonido, el factor Fitzgerald-Lorentz introduce una contracción de 0,999999995, equivalente sólo a cinco milésimas de milímetro por cada kilómetro en el sentido de la órbita.

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La vía a la abstracción total con la relatividad El fracaso definitivo en detectar y explicar el éter significó un

giro profundo, no sólo en la historia de la ciencia sino también en to-do el conocimiento humano. La luz y las fuerzas electromagnéticas no pueden observarse en si mismas sino en su efecto sobre los cuer-pos. Todo lo que se puede asegurar de ellas es que una acción co-mienza en un objeto y llega a otro cierto tiempo después. El éter se había ideado primero con el propósito de que fuera un medio de transporte de las vibraciones de la luz en el espacio vacío, y después de las fuerzas electromagnéticas en general, porque la vibración sin algo material que vibrara parecía imposible. Ahora, al faltar el éter, la explicación de lo que ocurría en el intervalo espacial quedaba abierta a cualquier suposición que justificara matemáticamente los hechos. Se abría un camino de mayor abstracción en el pensamiento científi-co, libre de las ideas que previamente se consideraban como sus necesarios componentes, y sin lugar para analogías e imágenes in-tuitivas. De aquí en adelante, sólo lo que viene directamente dado por la experiencia va a ser digno de tener en cuenta como parte constructiva del mundo físico. El éter mecánico dejó de existir en la práctica cuando todos los intentos de explicar los fenómenos elec-tromagnéticos en sistemas móviles, suponiendo el éter en reposo o arrastrado parcialmente, resultaron infructuosos. No se llegó a des-cubrir ningún indicio sobre su constitución mecánica ni se demostró jamás el movimiento con respecto al éter como movimiento absoluto; es decir, nada quedó de todas las supuestas propiedades del éter, excepto aquella para la que fue inventado: la de medio de transmi-sión de las ondas electromagnéticas.

Desde mediados del siglo XIX se había creído que los fenó-menos mecánicos y los fenómenos electrodinámicos se producían en ámbitos distintos, que los fenómenos mecánicos tenían lugar en rela-ción con el espacio absoluto newtoniano, que se manifestaba por medio de las fuerzas de inercia, mientras que los fenómenos electro-dinámicos eran estados de tensión del éter en reposo en el espacio absoluto. Al identificarse al espacio absoluto con el éter, aquel se volvió superfluo y su papel lo tomó el éter, cuyas propiedades elec-tromagnéticas ya eran conocidas. La vieja y contradictoria noción del éter pervivió aún, hasta que Albert Einstein (1879-1955) se deshizo de ella con una teoría, la relatividad, capaz de explicar sin recurrir al éter incluso la enigmática convección parcial de Fizeau. El joven Einstein se atrevió a sustituir definitivamente al éter por el puro cam-

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po electromagnético, al que adscribió una realidad física igual a la de cualquier cuerpo material ordinario. Afirmó que en el vacío no hay en realidad nada de nada, que aunque las ondas que lo atraviesan sean invisibles e intangibles, se difunden porque son materiales en sí mis-mas.

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6. ALBERT EINSTEIN: LA RELATIVIDAD Crisis de los principios newtonianos Hasta la aparición de Einstein, la mecánica se inspiró en los

principios newtonianos de la existencia de un espacio absoluto “inde-pendiente de los cuerpos que contiene” y de un tiempo absoluto “que discurre uniformemente” en todo el universo y define, por lo tanto, de forma inequívoca la simultaneidad de los acontecimientos. Se acep-taba sin discusión la noción de un paso del tiempo idéntico para cual-quier observador, situado en cualquier parte y cualquiera que fuera su movimiento, en base al prejuicio intuitivo de que el movimiento de un lugar o sistema de referencia no ejerce influencia alguna sobre la duración de los acontecimientos que en él tienen lugar. Sin embargo, la sospecha de la imposibilidad de una simultaneidad absoluta ya estaba en el aire desde mediados del siglo XIX. El matemático fran-cés Jules Henri Poincaré (1854-1912) había notado la dificultad pro-funda encerrada en la definición de la simultaneidad absoluta, por la probable imposibilidad de disponer de las necesarias señales instan-táneas, pero no se atrevió a dar el audaz paso que sí dio el joven Albert Einstein (1879-1955) al excluir la posibilidad de tales señales.

En el estudio de los fenómenos de la naturaleza tiene que ad-mitirse un rígido orden de sucesión de los instantes, un antes y un después de una serie concreta que se consume uniformemente. Es el tiempo que Issac Newton concibió como un flujo ubicuo e irreme-diablemente simultáneo en todo el Universo. Hay de entrada una for-tísima tendencia a no plantear dudas sobre la universalidad del tiem-po que transcurre en los relojes, o la linealidad intrínseca del espa-cio. Sólo una específica preparación intelectual, y el estar además inmerso en la viva problemática del estudio de los fenómenos físicos, puede hacer surgir las dudas, como la expresada por Poincaré. El problema del lego ante las nociones que comienza a manejar la Físi-ca en el siglo XX, es que se apartan por completo de lo intuitivo. Los conceptos de espacio y tiempo de la mecánica clásica no chocaban con los prejuicios del hombre corriente, al que podían ocurrírsele preguntas sobre el funcionamiento del sistema solar o sobre el origen de la fuerza centrífuga, pero nunca sobre la naturaleza misma del

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espacio y el tiempo. Se tiende a aceptar sin discusión el concepto de tiempo absoluto, que tan bien le va a la manera ordinaria de pensar, así como a ignorar la falta de base de la idea newtoniana del espacio absoluto, aunque, desde el punto de vista del pensamiento científico, está claro que es sólo un invento creado “ad hoc” para explicar la inercia de alguna manera.

Newton daba por sentado, coincidiendo seguramente con to-dos sus conciudadanos, que el tiempo y el espacio existen con total independencia de las cosas que éste contiene y de la forma en que estas cosas cambien con aquel. Einstein elimina de raíz esta convic-ción, acaba con los conceptos absolutos de tiempo y espacio y de-muestra que ambos mantienen una relación mutua, que no existen independientemente uno de otro como ha parecido siempre a prime-ra vista. El tiempo depende del punto del espacio en que se mida. La mecánica clásica concibe la posibilidad del movimiento “puro”, con referencia al espacio absoluto, o sea, con referencia al éter. La bre-cha hacia la teoría de la relatividad surge al constatarse la imposibili-dad de conocer ese movimiento absoluto con respecto al éter. En la Física relativista no queda lugar para el movimiento absoluto: al des-echar la noción del éter, ya no puede haber más que movimientos relativos. La relatividad viene a decir que no existe en realidad nada en la naturaleza, que se parezca al espacio absoluto y al tiempo ab-soluto.

Relatividad restringida Einstein publicó en 1905 su artículo “Sobre la electrodinámica

de los cuerpos en movimiento”, donde reconcilia las ecuaciones de Maxwell para la electricidad y el magnetismo con las leyes de la me-cánica mediante la introducción de cambios importantes en la mecá-nica próxima a la velocidad de la luz. Esto se conoció después como su teoría restringida de la relatividad, cuya más directa consecuencia fue que la idea de un éter luminífero, una de las principales entidades físicas de aquel tiempo, resultara superflua. La relatividad restringida, también llamada especial, surgió de los problemas hallados en la experimentación en el campo electromagnético. Las leyes de la me-cánica clásica debían cumplirse igualmente en todos los sistemas en movimiento uniforme entre sí, pero las ecuaciones de Maxwell del campo electromagnético no resultaron invariables respeto a las ecuaciones de transformación clásicas (vide p 9) como quedó claro al comprobar la constancia de la velocidad de la luz y la imposibilidad

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de detectar el movimiento relativo al éter. Se encontró, sin embargo, que las ecuaciones de Maxwell sí eran invariables respecto a las ecuaciones de transformación de Lorentz. De forma que en las trans-formaciones de Lorentz ya estaba implícita la relatividad, como reco-noció el propio Einstein cuando escribió que la relatividad especial o restringida a los sistemas inerciales, estaba ya madura en el pensa-miento científico europeo antes de que él la publicara.

La situación confusa creada por el resultado del experimento Michelson-Morley fue resuelta por Albert Einstein al establecer el siguiente principio: “En el vacío, la luz se propaga por igual en todas direcciones y su velocidad, que es la máxima posible en la naturale-za, es una constante universal”. Todo en la teoría de la relatividad especial depende de la constancia y primacía de la velocidad de la luz en el vacío. Este principio fundamental puede ser difícil de acep-tar cuando se medita detenidamente sobre ello. Según los principios de la mecánica clásica, la medida de velocidad de cualquier objeto, sea de un tren de ondas o de un proyectil, dependerá de su veloci-dad relativa con respecto al observador. De hecho, esto se cumple en todos los casos, excepto con la luz. Los más sofisticados experi-mentos, culminando con el de Michelson-Morley, han demostrado que la velocidad de la luz resulta ser siempre la misma, independien-te de que la fuente luminosa se mueva en cualquier sentido y con cualquier velocidad. Un disparo desde un vehículo en marcha saldría a más velocidad con respecto al aire hecho en la dirección del movi-miento que hecho hacia atrás, porque en el primer caso a la veloci-dad del proyectil se suma la del vehículo y en el segundo caso, se resta; no ocurriría lo mismo con la emisión de un destello luminoso, que saldría a la misma velocidad con respecto al aire en todas las direcciones. La constancia de la velocidad de la luz, que es también la de todas las ondas electromagnéticas, es un hecho físico incontro-vertible.

Contracción del espacio y dilatación del tiempo. Las comparaciones entre sistemas en movimiento en la mecá-

nica newtoniana dependen todas de la noción simultaneidad absoluta o universal. La profunda originalidad del pensamiento de Einstein consiste en haber usado el principio de la constancia de la velocidad de la luz, para desmontar definitivamente esta noción clásica. En efecto, el supuesto de simultaneidad universal sólo es aceptable si el conocimiento de eventos distantes se pudiera obtener de forma ins-

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tantánea, pero en el mundo real no se puede obtener información por un medio más rápido que las ondas electromagnéticas, sea la luz, las ondas de radio, o cualquier otro tipo de radiación electromagnéti-ca, todos las cuales viajan a la misma velocidad 4. Esta velocidad, enorme pero no infinita, implica siempre un retardo en la percepción, que se hace más patente a medida que aumentan la distancia entre el evento y el observador. Por ejemplo, si alguien en la Tierra ve de pronto que dos brillantes estrellas supernovas surgen en diferentes lugares del cielo, no podrá saber si emergieron simultáneamente o no aunque él las haya visto aparecer al mismo tiempo; es necesario saber también sus respectivas distancias, las cuales pueden ascen-der a varios cientos o varios miles de años-luz 5, de forma que en el momento que el observador terrestre ve los destellos de las superno-vas, hace en realidad muchos cientos de años que desaparecieron. Se puede entender así que los intervalos espaciales dejan comple-tamente indeterminados los sucesos en el tiempo.

Aplicando esta simple idea a las observaciones y medidas hechas por diferentes observadores de unos determinados eventos, Einstein demostró que si cada observador utiliza los mismos métodos de análisis con sus propios datos, los eventos que le parecen simul-táneos a uno le parecerán haber ocurrido en tiempos diferentes a otros observadores que se hallen moviéndose con diferente veloci-dad.. Por lo tanto, es necesario hablar de relatividad de la simultanei-dad. El vínculo entre tiempo y luz es característico de la concepción relativista del mundo. Con Einstein, la luz es lo más importante del mundo físico. En sus llamados “experimentos mentales” los observa-dores, que se mueven en sistemas de referencia con distintas veloci-dades, se comunican entre sí mediante señales luminosas porque en la naturaleza sólo la velocidad de la luz es constante, y sólo ella po-see la ventaja sobre las demás velocidades de ser el límite absoluto. La teoría de la relatividad restringida revela, pues, que, como no pue-de existir una velocidad infinita, tampoco puede existir para ningún observador simultaneidad absoluta de acontecimientos separados en el espacio.

Mientras los investigadores siguieron la tácita admisión newto-niana de velocidades infinitas, no cabían motivos para dudar de la absoluta constancia de una distancia espacial: se suponía, por ejem-

4 La velocidad de la luz en el vacío (c) es una constante universal de valor 299 792 458 m/s 5 Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año, y equivale a 9,5 billones de kilóme-tros

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plo, que el metro patrón seguiría midiendo exactamente un metro en cualquier lugar y circunstancia para cualquier observador. Incluso entrado el siglo XX, antes de la revolución einsteniana, se creía im-posible que esto pudiera ser de otra manera. La eliminación del con-cepto de velocidad infinita en la cosmovisión de la Física, acabó tam-bién con el concepto del valor absoluto de las dimensiones espacia-les. Se demuestra que la imposibilidad de definir una simultaneidad a distancia entre dos sistemas en movimiento implica la contracción de las longitudes y la dilatación del tiempo que Lorentz ya había introdu-cido empíricamente con sus ecuaciones de transformación. El extra-ordinario resultado de la contracción resulta al aplicar las transforma-ciones de Lorentz entre dos sistemas en movimiento uniforme. Si el sistema A se mueve a una velocidad v con respecto al sistema B, una determinada longitud lA medida en ese sistema le parecerá más corta a un observador situado en el sistema B, siendo

lB = lA √ 1 - v2/c2

y la duración tA de un acontecimiento ocurrido en A, le parecerá a un observador en B que ha durado sólo: tB = tA √ 1 - v2/c2

Por otra parte, al aplicar las transformaciones de Lorentz tam-bién se halla que el tiempo se dilata por efecto de la velocidad, con lo que todos los eventos en un sistema en movimiento se retrasan con respecto a los correspondientes en el sistema considerado en reposo. Si dos relojes iguales se sincronizan y después uno queda en reposo y otro entra en movimiento, a un intervalo T0 medido en el reloj en reposo corresponderá un intervalo menor

T = T0 √(1 – v2/c2)

medido en el reloj móvil. El fenómeno, como la contracción longitudi-nal, es también recíproco, pues se puede efectuar el cálculo a la in-versa tomando el sistema móvil como referencia fija y considerando que es el otro el que se mueve con respecto a él.

Tanto la longitud como el tiempo dejan de ser absolutos en sentido estricto, ya que sus medidas son esencialmente “relativas” al sistema de referencia adoptado. La contracción relativista del espacio equivale matemáticamente a la contracción de los cuerpos en movi-

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miento supuesta por Fitzgerald, pero mientras éste pensaba que la contracción era un efecto físico real producido por el movimiento a través del éter, la teoría de la relatividad considera que es un acor-tamiento aparente de las distancias en movimiento cuando se miden desde un sistema en reposo relativo. El acortamiento de la longitud es tanto más notable en cuanto no se produce por acción de ninguna fuerza, sino que aparece como simple consecuencia del movimiento. Aunque Lorentz, siguiendo a Fitzgerald, lo consideró real para tratar de justificar el experimento Michelson-Morley, los relativistas afirman con Einstein que la contracción es sólo aparente, una consecuencia de la finitud de la velocidad de la luz, no un cambio en la realidad física como pueda ser una dilatación térmica. La realidad de esta re-lativización del espacio y el tiempo, tan opuesta a la experiencia coti-diana, fue recibida con bastante escepticismo y no pocas críticas. No es fácil hacer frente a esta genuina incredulidad con ejemplos intuiti-vos A un prominente físico relativista alemán6 se le ocurrió el siguien-te símil humorístico: “Si cortamos un pepino, las rodajas serán mayo-res cuanto más oblicuo sea el corte; no tiene sentido decir que la ro-daja menor es más real porque se haya cortado perpendicularmen-te”.

Siempre que dos observadores estén asociados con dos mar-cos inerciales de referencia distintos moviéndose entre ellos, sus de-terminaciones de distancias e intervalos de tiempo entre eventos dis-creparán sistemáticamente, sin que pueda decirse que uno en parti-cular sea “cierto” y el otro “erróneo”. Tampoco puede establecerse que uno de ellos está en reposo con respecto al éter y el otro en mo-vimiento. De hecho, si comparan sus respectivos relojes, cada uno hallará que su reloj irá más rápido que el del otro; si comparan el lar-go de sus unidades de medida en la dirección del movimiento mutuo, cada uno hallará reducida la unidad del otro. Sólo la velocidad de la luz tendrá el mismo valor en todas direcciones en cada marco inercial de referencia. Entre dos sistemas inerciales moviéndose entre sí la contracción es recíproca: la longitud de una unidad de medida en el sistema considerado en movimiento resultaría menor desde el siste-ma considerado en reposo, pero la misma contracción se advertiría si se observara la misma unidad desde el otro sistema.

El avance hecho por la teoría de Einstein es emplear un cam-bio fundamental de punto de vista en la interpretación de las ecua-ciones de transformación. Mientras que Lorentz consideró el tiempo 6 Max Born (1882-1970)

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“local” sólo como una cantidad matemática auxiliar, en contraste con el verdadero tiempo absoluto, Einstein fue más allá, y estableció que el tiempo absoluto no existe, puesto que no hay forma de determinar-lo o de distinguirlo de los tiempos locales de los infinitos sistemas inerciales de referencia en movimiento. Así pues, el tiempo absoluto no tiene realidad física: los datos de tiempo sólo tienen significado en relación a sistemas de referencia concretos.

Dos años después de que Einstein publicara la teoría de la re-latividad especial, el matemático lituano Hermann Minkowski (1864-1909), que había sido su profesor, publicó una adecuada expresión lógica para la teoría, interpretándola desde un punto de vista geomé-trico y formal. Al suprimir la noción de tiempo absoluto, la relatividad otorga análogas funciones a las coordenadas del espacio y a la va-riable temporal. Minkowski expuso el concepto del tiempo como una cuarta dimensión a agregar, respetando ciertas particularidades, a las tres coordenadas espaciales, y comenzó a hablar del mundo físi-co como de un continuo tetradimensional espacio-tiempo. Como rela-tivista entusiasta, escribió: “De aquí en adelante, el espacio y el tiem-po van a degenerar en meras sombras y sólo una especie de unión entre ambos retendrá existencia independiente”. Einstein adoptó es-tas ideas y procedió a desarrollarlas nueve años más tarde, cuando Minkowski ya había fallecido.

La intuición común no suponía antes de la relatividad ninguna conexión entre espacio y tiempo. El espacio físico estaba considera-do como un continuo plano tridimensional, es decir una disposición de todos los posibles puntos de localización, en el cual se aplicaban los postulados euclídeos. Las coordenadas cartesianas parecían muy naturalmente adaptadas a este colector espacial, y las líneas rectas podían acomodarse convenientemente. El tiempo era considerado independiente del espacio, como un continuo unidimensional, com-pletamente homogéneo a lo largo de una extensión infinita. La cine-mática relativista de Minkowski se sitúa en una geometría de cuatro dimensiones, con una notación gráfica y un lenguaje esenciales para una más fácil comprensión del pensamiento relativista. El “universo” o espacio tetradimensional, esta compuesto por “puntos universales” que marcan eventos que suceden en un lugar y en un tiempo defini-do; las trayectorias en el espacio-tiempo son “líneas del mundo” que marcan la historia de una partícula, de forma que si la partícula está en reposo, la línea de mundo será una recta paralela al eje del tiem-po, si se mueve con velocidad constante será una recta oblicua y será una curva si se mueve aceleradamente.

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Reciprocidad: paradoja de los gemelos Las consideraciones sobre la reversibilidad de la contracción

dimensional resultan menos chocantes al sentido común que las de la reversibilidad de la contracción del tiempo, debido a su efecto per-manente sobre los procesos físicos. Las conclusiones más extrañas del discurso relativista se producen en el aspecto temporal. El efecto dinámico sobre el tiempo produce, en efecto, consecuencias paradó-jicas. Para considerar el efecto de la dilatación del tiempo a velocida-des equiparables a la de la luz, es preciso pensar en viajes espacia-les a través de las inmensidades galácticas. Supónganse dos her-manos gemelos, A y B, y que B sale el año 3000 en viaje de ida y vuelta hacia un sistema estelar situado a una distancia de 4 años luz, en una nave espacial que alcanza la fantástica velocidad de 240.000 km/seg7. Según el cálculo terrestre el viaje de ida y vuelta tardará 10 años, pero el tiempo medido en los relojes de la nave se reducirá a 6 años por el factor recíproco de Lorentz, por lo que el gemelo B se encuentra al regresar que en la Tierra es el año 3010, cuando por sus cuentas debía ser el 3006, y que su hermano gemelo A resulta ser ahora 4 años más viejo que él. ¿Puede suceder esto? Los relati-vistas afirman que sí. Al tiempo que la nave se contraía físicamente durante el viaje, el tiempo también pasaba en ella más lentamente que en la Tierra. El efecto sobre las dimensiones físicas se acaba en cuando la nave regresa porque recobra su aspecto terrestre normal, pero no puede ocurrir lo mismo con el tiempo transcurrido a bordo durante el viaje, porque no sólo los calendarios han registrado el re-traso sino también se retrasan los procesos vitales, y estos son irre-versibles.

Para que los incrédulos comprueben si este rejuvenecimiento relativo es cierto habrá que esperar a que un viaje tan fantástico pue-da realizarse. Que el hermano viajero B se haya avejentado biológi-camente menos resulta difícil de asimilar porque contradice nuestro profundo sentido innato del tiempo universal. Los propios relativistas son conscientes de ello. Max Born dice al respecto que hay que aceptar las consecuencias de la relatividad, “de la misma forma que los hombres del Renacimiento tuvieron que aceptar que en el otro extremo del mundo nuestros antípodas pudieran caminar cabeza 7 240.000 km/s equivalen aproximadamente a 7,57 billones de kilómetros por año

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abajo”. A esta paradoja se le añade una dificultad, cuando se consi-dera que el efecto sobre los relojes tiene que ser tan recíproco como sobre las longitudes. Esta reciprocidad da motivos a los antirrelativis-tas para plantear la paradoja contraria. Si los hermanos A y B tienen relojes iguales, el viajero, B, encontrará a la vuelta que su reloj ha atrasado por efecto de la velocidad. Ahora bien, teniendo en cuenta que, en la relatividad, dos sistemas en movimiento uniforme son equivalentes, puede tomarse la nave como referencia fija y conside-rar que ha sido la Tierra la que se ha movido. En tal caso, el reloj de B tendría ahora que adelantar en lugar de atrasar, lo que resulta en un sinsentido ya que el reloj de B no puede atrasar y adelantar al mismo tiempo. En la relatividad se salva este escollo teniendo en cuenta que en el primer caso la nave es un sistema inercial, a veloci-dad relativa constante, y en el segundo caso no, por lo que no son aplicables los principios de la relatividad especial que sólo son aptos para los sistemas no acelerados.

El punto débil de la mecánica clásica estaba en la creencia en la acción instantánea y a distancia de una fuerza como la gravitación, lo cual equivale a afirmar la existencia de la simultaneidad absoluta. El importante factor que viene a añadir la mecánica relativista es es-tablecer tajantemente que la acción instantánea no puede existir en la naturaleza, que la transmisión de todo evento consume un tiempo a una velocidad que puede ser alta o baja, pero nunca superior a la velocidad de la luz. Sobre esta afirmación se basa todo el edificio relativista, que incluye a la mecánica clásica como una simplificación útil en el ámbito terrestre velocidades bajas en comparación con la velocidad de la luz.

Masa y campo de fuerza En la mecánica clásica, la masa de un cuerpo material es una

medida de su resistencia al cambio de su estado de movimiento al aplicar una determinada fuerza. Mientras mayor sea la masa menor será la aceleración, pero si un cuerpo se está moviendo con una ve-locidad que se aproxima a la de la luz, debe producirse una resisten-cia adicional creciente a un aumento de velocidad como para no cru-zar el límite c. De esta forma, la teoría especial de la relatividad lleva a la conclusión de que la masa m de un cuerpo en movimiento se relaciona con la masa m0 que tendría en reposo, por la formula:

m = mo / √(1 – v2/c2)

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Según esta expresión, el aumento de masa con la velocidad

no es apreciable hasta que la velocidad se aproxima a la de la luz; por ejemplo una nave que se moviera a la velocidad de 150.000 Km/seg, la mitad de la velocidad de la luz, tendría una inercia sólo un 15,5 % mayor que la que tenía en reposo. Cuando v se aproxima a c, el factor relativista se aproxima a cero y la masa m se hace extraor-dinariamente grande. La velocidad de la luz es inalcanzable por nin-gún objeto material precisamente porque entonces su masa se volve-ría infinita. El aumento de la masa de un cuerpo con su velocidad es un hecho físico que se puede observar normalmente a las altas velo-cidades que adquieren las partículas atómicas sometidas a un campo magnético en los aceleradores tipo ciclotrón.

El concepto de masa en la dinámica einsteniana difiere mucho del concepto usual que la define sólo como cantidad de materia. La relatividad especial introduce una importante diferencia en la ley fun-damental de la inercia, donde la masa es la relación de la fuerza a la aceleración, al depender la masa de un cuerpo de su velocidad, o sea de su energía cinética. De esta forma, se aproximan los concep-tos de masa y energía estableciéndose que, en efecto, toda forma de energía se resiste al cambió de movimiento, o sea, que existe una inercia de la energía. De hecho, una ley de la dinámica einsteniana es la de la inercia de la energía, resumida en la famosa ecuación simplificada

E = m.c2,

que expresa la proporcionalidad entre la energía y la masa inercial. Einstein acabó con la idea de que el campo electromagnético

fuera una deformación de un éter que llenaba todo el espacio. Ahora se cree que el campo electromagnético existe en el espacio intrínse-camente vacío como una entidad física ponderable. Esto equivale a decir que las radiaciones electromagnéticas, y por ende la luz, son masa-energía. En la astronomía prerrelativista se observaba, en efecto, que el viento luminoso solar empuja las colas de los cometas cuando se aproximan al Sol como si de un viento terrestre se tratara. En 1901, el físico ruso Pyotr Lebedev (1866-1912) demostró en el laboratorio que la “presión” de la luz sobre un espejo era numérica-mente igual al doble de la energía reflejada dividida por la velocidad de la luz. Si se atribuía a la luz una masa m transportada en la uni-

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dad de tiempo, el impulso producido en la reflexión total de la luz era 2mc, y llamando E a la energía reflejada resultaba que:

2E/c = 2mc De forma que, concediendo a la energía radiante impondera-

ble de la física clásica igualdad con la materia ordinaria ponderable se podía llegar directamente a la famosa ecuación E = mc2, que des-pués Einstein dedujo por una vía matemática mucho más compleja.

Resulta un tanto paradójico constatar, que la sencilla fórmula que más se asocia popularmente con la figura y la obra de Einstein, no se refiera a sus más directos y genuinos descubrimientos, ni de-penda exclusivamente de la doctrina relativista. El hallazgo de la equivalencia masa-energía era inminente debido a los progresivos descubrimientos de los grandes físicos del siglo XIX, como demues-tra Lebedev siguiendo la línea de la física clásica. La relatividad atri-buye explícitamente masa a la luz, pero esto ya estaba implícito en la teoría corpuscular de Newton, quien imaginaba la luz como una pro-yección de partículas que, en cuanto materiales, debían ser ponde-rables. Sorprende la sencillez teórica con la que Lebedev llegó a determinar una relación tan importante en la naturaleza como es la descomunal proporcionalidad entre energía y masa.

En el experimento del espejo, E representa la energía conteni-da en la radiación luminosa, pequeña por su extraordinaria dispersión a partir del centro solar, pero la fórmula es generalizable a cualquier tipo de energía y cualquier masa, y viene a indicar que la masa no es sino una enorme concentración de energía. Como c2 es un número muy grande (9. 1020 cm/seg en el sistema CGS), la energía liberada en la desintegración de una pequeña cantidad de masa resulta fabu-losa. La conversión de energía a materia es extremadamente peque-ña: es imposible, por ejemplo, apreciar el aumento de peso entre un hierro al rojo y el mismo hierro en frío. Por el contrario, la conversión inversa resulta prodigiosa: por ejemplo, la desintegración de menos de una diezmillonésima de gramo de materia libera el calor suficiente para vaporizar 30.000 toneladas de agua. La bomba atómica de 1945, con unos 60 kilos de uranio 2358, liberó una cantidad de ener-gía radiante tan grande como para destruir enteramente la gran ciu-dad de Hiroshima. La relación de conversión masa-energía también ha sido verificada experimentalmente convirtiendo partículas sub- 8 La equivalencia era de 3,4 millares de toneladas de TNT por kg de uranio

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atómicas en diferentes formas de energía (por ejemplo, radiación gamma) y, a la inversa, creando partículas a partir de pura energía.

Ya que cualquier forma de energía es finalmente transforma-ble en radiación por uno u otro proceso, la equivalencia es univer-salmente válida. La materia en el más amplio sentido de la palabra, incluyendo las radiaciones electromagnéticas, tiene sólo dos cualida-des fundamentales: la inercia, medida por su masa, y la capacidad para hacer trabajo según su estado cinético o potencial. La energía de cualquier tipo tiene masa, y la masa representa energía; sólo exis-te, pues, el principio de conservación de la masa-energía. Antes de la teoría de la relatividad, se podía distinguir entre campo de fuerza y materia diciendo que ésta tiene masa y aquél no, o que el campo representa energía y la materia representa masa. Pero por la relativi-dad se sabe que ambas cosas son esencialmente lo mismo, siendo la materia sólo una enorme concentración de energía. Tampoco se puede distinguir cualitativamente entre materia y campo electromag-nético. La diferencia entre materia y campo es sólo cuantitativa, sien-do la materia el lugar donde la concentración de energía es muy grande, y el campo de fuerza donde la concentración de energía es relativamente pequeña. No hay razón para considerar la materia y el campo como dos entidades esencialmente diferentes entre si, ni se puede imaginar una separación nítida entre campo y materia, así como entre carga eléctrica y campo.

Principio de equivalencia La teoría de la relatividad restringida abarca sólo los marcos

de referencia inerciales, o sea, aquellos que se muevan entre si con velocidad uniforme. Le faltaba a Einstein hallar una nueva ley relati-vista que sirviera igualmente en sistemas de referencia no inerciales, o sea, aplicable a los sistemas acelerados. La teoría de Newton con-sidera instantánea la atracción gravitatoria entre los planetas pero, de acuerdo con las nociones de espacio y tiempo derivadas de la relati-vidad restringida, ninguna interacción puede ejercerse a mayor velo-cidad que la de la luz. El espacio-tiempo relativista y la acción instan-tánea a distancia de la gravitación universal newtoniana son, pues, fundamentalmente incompatibles. Por lo tanto, Einstein se dispuso a desarrollar una nueva teoría de la gravitación que fuera consistente con el espacio-tiempo relativista.

Partiendo de la experiencia ganada en la física desde el inno-vador planteamiento de la acción por contacto, introducido por Max-

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well para explicar el campo electromagnético, Einstein comenzó pos-tulando la existencia de un campo gravitatorio de efecto equivalente a la atracción de la teoría de Newton, pero que se propagara a la ve-locidad de la luz. Newton nunca se paro a considerar la especial simi-litud de la fuerza de la gravedad, con la fuerza de inercia introducida al acelerar un marco de referencia cualquiera. Esta similitud estaba claramente implícita en su propia fórmula de atracción gravitatoria, puesto que, una vez hallada la constante G de gravitación universal, era evidente que la aceleración producida por la masa terrestre sobre un cuerpo de prueba, sería siempre independiente de la masa del cuerpo (vide p. 24,31), exactamente de la misma forma que la acelera-ción producida en ese mismo cuerpo por una fuerza aplicada a su marco de referencia es independiente de su masa. Sin embargo, el principio de equivalencia relativista, es decir, la identidad entre masa inerte y masa gravitatoria, deducible de la fórmula de Newton, había permanecido en la sombra durante dos siglos, hasta que Einstein lo puso en primer plano al desarrollar, entre 1907 y 1915, su teoría ge-neral de la relatividad, como una “ley generalizada de la inercia” que comprende en una misma expresión los fenómenos de inercia y de gravitación.

La equivalencia de la masa gravitatoria y la masa inercial, sin relevancia en la física clásica, adquiere un papel fundamental en el desarrollo de la teoría general de la relatividad. Esta igualdad entre los dos tipos de masa, cuya consecuencia es la igualdad de veloci-dad de caída de los cuerpos en el vacío, resulta ser un caso único en el ámbito de las fuerzas naturales. Si se estudian comparativamente, por ejemplo, las propiedades de dos masas iguales cualesquiera, de hierro y cobre por ejemplo, se hallará que requieren cantidades de calor muy distintas para elevar un grado su temperatura, que una es atraída por el imán y la otra no, que sus potenciales de oxidación son opuestos, y así ocurrirá con todos los parámetros físicos medibles: sólo coincidirán en la igualdad de masa gravitatoria y masa inerte. Si los cuerpos ligeros y los cuerpos pesados no cayeran todos en el vacío con la misma aceleración, o sea, si la masa gravitatoria no fue-ra siempre igual a la masa inerte, un observador podría distinguir de inmediato si la aceleración comunicada a cuerpos de diferente masa procede de la fuerza de gravitación o es debida a una aceleración de su marco de referencia. Esta perfecta equivalencia tiene como con-secuencia, que se pueda siempre modificar o neutralizar el efecto de un campo gravitatorio sobre un objeto de prueba, aplicando una ace-leración a su marco de referencia. Esta simple observación asumida

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por la relatividad general, también fue pasada por alto en la mecánica clásica. Como ejemplo de manipulación de un campo gravitatorio mediante una aceleración impresa al marco de referencia, Einstein presenta el “experimento mental” de una pelota soltada en el aire en el interior de un ascensor. Si el ascensor está descendiendo en caída libre, la pelota quedará inmóvil flotando a una altura sobre el suelo; si la aceleración del ascensor aumenta con respecto a la de gravedad, la pelota “caerá” hasta el techo; si disminuye la aceleración con res-pecto a la de la gravedad, caerá hasta el piso del ascensor.

El principio de relatividad galileano debilitaba ya el concepto de espacio absoluto, al mostrar que no podía establecerse realmente ningún punto fijo en el espacio, pero el verdadero soporte del espacio absoluto newtoniano radicaba en la idea de ser la causa de la resis-tencia de todos los cuerpos a las aceleraciones. En este sentido, la explicación de Newton del origen de la fuerza de inercia es abstracta y lejana: la inercia aparece siempre que se produzca un cambio en la velocidad “establecida “de un cuerpo con respecto a un hipotético sistema de referencia fijo anclado en el espacio absoluto. Es como si el cuerpo “acudiera a la llamada” de su estado “normal” de velocidad constante o reposo en el espacio absoluto. También atribuye la apa-rición de la fuerza centrífuga al giro con respecto al espacio absoluto. Una hipótesis más próxima a la realidad física procede del físico che-co Ernst Mach (1836-1916), quien atribuye a la inercia a la influencia sobre cada cuerpo del entero universo circundante. Con la relatividad general, Einstein elimina finalmente el concepto de espacio absoluto de las leyes de la Física. Siguiendo la hipótesis de Mach, establece que, como en el universo no hay nada que se parezca a la fijeza del espacio absoluto pero si hay realmente innumerables masas distan-tes, se atribuya la inercia a su remota acción gravitatoria. El efecto del cosmos como un todo, la multitud galáctica de estrellas, produci-ría en cada punto y en cada momento del mundo un definido campo gravitatorio. De esta forma, el plano de oscilación del péndulo no permanecería fijo con respecto al espacio absoluto, sino por el efecto conjunto de las de masas distantes, y la fuerza centrífuga no sería debida a la rotación con respecto al espacio absoluto, sino con res-pecto al sistema de masas distantes. Según la relatividad general no tiene sentido considerar “ficticios” a los campos de aceleración pro-ducidos por la inercia en un determinado marco de referencia, como la fuerza centrífuga que aparece en un cuerpo en rotación, y “reales” a los campos gravitatorios producidos por las masas cercanas, como la gravedad terrestre, puesto que un campo de aceleración o gravita-

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torio, en si mismo, no es ni ficticio ni real, ni tiene significado alguno independiente del marco de referencia elegido. Los campos gravita-torios producidos por las masas cercanas no se distinguen de la ac-ción de la inercia, producida por las masas distantes del cosmos.

Curvatura del espacio-tiempo La relatividad restringida, basada en la existencia de un mun-

do de sistemas inerciales, donde los movimientos son uniformes y rectilíneos, deja de ser aplicable en un entorno real con predominio de movimientos acelerados y curvilíneos, en el que las transforma-ciones de Lorentz ya no son válidas, como en el caso de los campos de aceleración creados por los movimientos giratorios, donde falla la geometría euclídea. De acuerdo con el principio de equivalencia, un disco girando a velocidad uniforme produce un campo de aceleracio-nes similar a un campo gravitatorio clásico, ya que cada punto está sometido a una aceleración centrípeta proporcional a su radio de gi-ro. Las unidades de longitud y de tiempo en cada punto del disco también dependerán del radio, ya que la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo aumentan con la velocidad lineal. Por lo tanto, el efecto de contracción hará que en esta superficie rotatoria aparez-ca una “curvatura” del espacio y no se cumplan los principios euclí-deos: lejos del centro de giro, la razón del diámetro a la circunferen-cia ya no será π, ni los triángulos cerrarán a 180º. Por el sólo hecho de la rotación, un disco o cualquier otro sistema giratorio se transfor-ma en un espacio no euclídeo. Si la presencia de un campo gravita-torio o campo de aceleraciones equivale a una curvatura del espacio-tiempo, entonces la descripción del campo gravitatorio pasa por la elucidación matemática de esa curvatura. Einstein comprendió esto y se fijó en el amplio desarrollo de la ciencia matemática de su tiempo, donde las posibilidades de la geometría espacial habían sido amplia-das suficientemente.

La Geometría fue al principio una doctrina puramente experi-mental, desarrollada para el fin práctico de la medición de los espa-cios terrestres. Los pensadores antiguos descubrieron después que solamente era necesario asumir unos cuantos principios o axiomas, y luego se podía derivar de ellos, por mera lógica, el conjunto completo de los restantes teoremas. El procedimiento geométrico culminó en la Grecia clásica con Euclides (ca. 325-ca. 265 a. C), y se convirtió du-rante más de un milenio en el modelo racional de cualquier ciencia deductiva. Sin embargo, durante el siglo XIX, la geometría euclídea

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entró en crisis como consecuencia de la tendencia de la física mate-mática hacia una ciencia geométrica más acorde con los la experien-cia del mundo real. En el plano ideal de la geometría de Euclides, dos paralelas nunca se cortan y la suma de los ángulos de un trian-gulo mide siempre 180º, pero en las superficies y espacios reales, las líneas siempre se llegan a cortar y la suma de los ángulos de un triángulo puede ser mayor o menor de 180º, dependiendo de la cur-vatura de la superficie donde estén descritos. El tratamiento mate-mático de las curvas en el espacio había sido abordado por el ma-temático alemán Carl F. Gauss (1777-1855), quien diseñó una geo-metría para el análisis descriptivo de las superficies curvas en el es-pacio. El teorema de Gauss dice que la curvatura de una superficie es una variante intrínseca, que puede determinarse enteramente en la propia superficie, midiendo ángulos, distancias y sus relaciones, en dos dimensiones, sin referencia a la particular forma que ésta tome en el espacio tridimensional euclídeo. Si la geometría euclidiana fue-ra asimilable a una acción a distancia, la geometría gaussiana resul-taría ser análoga una típica teoría de “acción por contacto”, pues de-termina la forma de las superficies por cálculos muy similares a las ecuaciones diferenciales de la Física. En un sistema gaussiano no euclídeo de coordenadas, se puede estudiar geométricamente una superficie en el espacio como si fuera una superficie plana en un continuo bidimensional, porque el cálculo diferencial permite determi-nar su curvatura en cada punto sin recurrir a la tercera dimensión, usando las medidas reales sobre el terreno. Un sencillo ejemplo pue-de mostrar cómo esto es posible: si sobre una superficie curva en el espacio, como un esferoide, se construye un pequeño cuadrado cu-yos lados sean líneas geodésicas, la suma de los ángulos resultará mayor que 360º. Se encuentra además que el exceso respecto a 360º es proporcional al área del cuadrado; por lo tanto, la cantidad de exceso por unidad de superficie será una medida de la curvatura po-sitiva de esa superficie sin tener que recurrir a la tercera dimensión.

Continuando el trabajo de Gauss en Gotingen, esta técnica matemática fue ampliada por su discípulo Bernhard Riemann (1826-1866), quien halló la forma correcta de extender a n dimensiones la geometría diferencial de las superficies que Gauss había probado en su teorema egregio. Comunicó la teoría de las dimensiones múltiples en su conferencia “Sobre las hipótesis base de la geometría” en 1854, más de medio siglo antes de la gestación de la relatividad ge-neral. Riemman definió diez componentes de curvatura distintos e independientes para cada punto del espacio, que conforman su lla-

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mado “tensor de curvatura”. Imbuido de las ideas de Riemann y la nueva geometría, Einstein descubrió que podía relacionar estos componentes de una manera natural con las fuentes del campo gra-vitatorio, para reproducir aproximadamente las ecuaciones de New-ton y formular, al mismo tiempo, leyes que tuvieran la misma forma en cualquier marco de referencia, fuera inercial o no inercial.

Einstein considera el mundo físico como un continuo tetradi-mensional espacio-tiempo, donde en cada punto un conjunto de co-eficientes métricos, modulados por la distribución de las masas, defi-nen un campo métrico o gravitacional, aspectos de la misma cosa. Los coeficientes métricos einstenianos proceden del estudio geomé-trico de las curvas en el espacio. A partir de la presencia espacial de los campos de aceleraciones centrífugas y gravitatorias, Einstein conjeturó que el espacio-tiempo, cuyas superficies coordenadas son planas en ausencia de gravitación, se curvan por la gravedad impi-diendo así que pueda haber en su presencia marcos inerciales con trayectorias rectas. Por efecto de la gravitación, la trayectoria más corta de una partícula entre dos puntos del espacio-tiempo no es, por lo tanto, una línea recta, sino una línea geodésica, es decir, la trayectoria más derecha posible en el curvado espacio-tiempo. Las líneas geodésicas del espacio-tiempo conectan naturalmente dos eventos, dos instantes en la historia de una partícula, en el menor lapso de tiempo local posible. Las trayectorias espaciales de los cuerpos moviéndose libremente son siempre curvas geodésicas, no rectas como propone la ley de inercia de la mecánica clásica. Ahora bien, si Newton estableció que los objetos se mueven en líneas rec-tas a menos que actúe una fuerza sobre ellos, ¿cómo es que las ór-bitas de los planetas alrededor del Sol sean curvas cerradas sin exis-tir una fuerza central atractiva? La respuesta einsteniana es que las trayectorias de los planetas son las únicas “rectas” posibles en el espacio-tiempo curvado.

La magnitud de las masas inertes de dos cuerpos relativamen-te pequeños, no influyen prácticamente en el estado métrico, o sea, en la curvatura del lugar del espacio en que se hallen. Si la métrica del lugar es plana, los cuerpos flotan o se desplazan en línea recta; si aparece un campo gravitatorio, los cuerpos comienzan a desplazarse con una misma aceleración (principio de equivalencia) que depende sólo de la correspondiente curvatura del espacio; únicamente apare-cerán fuerzas de gravedad cuando algo intente detenerlos; entonces se manifestarán dos pesos distintos, proporcionales a las masas en cada caso.

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En el vacío lejos de las grandes masas gravitatorias, la curva-tura del espacio es casi nula, por lo que las líneas geodésicas son casi rectas; en la cercanía de los planetas y las estrellas, el espacio se curva por el efecto gravitatorio, por lo que las trayectorias de los cuerpos celestes son curvas. El Sol no atrae en realidad a los plane-tas a través del espacio vacío como Newton había imaginado, sino que sus movimientos mediante la distorsión del espacio-tiempo. La Tierra se traslada libremente impulsada por su propia inercia, si-guiendo una trayectoria casi circular alrededor del Sol, que es la línea geodésica correspondiente en la curvatura del espacio-tiempo. La figura 12 trata de establecer una analogía de esta situación mediante un bolo y una canica sobre una membrana elástica. El bolo actúa curvando la membrana en la zona circundante, análogamente a có-mo se curva el espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo como el Sol. No hay fuerzas actuando entre los dos cuerpos; la canica sim-plemente rueda a lo largo de una línea geodésica de esta superficie. Análogamente, no hay “fuerza de atracción” actuando entre el Sol y la Tierra; el Sol curva el espacio-tiempo, y la Tierra viaja a lo largo una línea geodésica de ese espacio-tiempo curvado.

Figura 12 La relatividad general establece que no hay propiamente

atracción gravitatoria entre las masas, sino una curvatura del espacio entre ellas. La caída libre de un cuerpo es como si “rodara” por la geodésica del espacio curvo, y lo mismo sucede con las órbitas pla-netarias. Para el cálculo relativista de las órbitas se parte de los co-eficientes métricos en el campo gravitatorio, de simetría esférica al-rededor del centro del Sol. Las órbitas son las líneas geodésicas co-rrespondientes en ese campo a la masa e impulso de cada planeta.

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Las ecuaciones de campo de Einstein son el núcleo de la teo-ría general de la relatividad. Describen cómo masa y energía repre-sentadas por el tensor de energía-impulso Tuv se relacionan con la curvatura del espacio-tiempo representado por el tensor de curvatura de Einstein Suv, construido a partir de la geometría del espacio de Riemann, con ayuda de la “metrica” guv. La ecuación general es:

Suv = (8πG /c4) Tuv

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y G la constante gravita-toria newtoniana. La teoría general de la relatividad puede represen-tar se simbólicamente por esta simple ecuación, pero su desarrollo matemático está muy lejos de ser simple: Suv es un complicado obje-to matemático compuesto de 16 números separados en una matriz o “tensor” vectorial, y Tuv es otro tensor de gran complejidad. Una ma-sa determinada (por ejemplo, el Sol) de impulso-energía Tuv, curva el Universo en su entorno, resultando de ello una métrica guv que per-mite calcular el tensor de curvatura Suv

xvii. Un planeta en el espacio no euclídeo creado se moverá siempre en una trayectoria geodésica determinada por la métrica guv. El tener como datos a las masas permite calcular, a partir de la ley de gravitación, los coeficientes mé-tricos guv. Introducidos estos en la expresión de las geodésicas, de-terminan completamente las trayectorias de los planetas.

La expresión relativista “curvatura del espacio” en lugar de curvatura “en el espacio” es difícil de asimilar incluso para los inicia-dos y quizás imposible para el lego. Los propios físicos relativistas son conscientes de ello; a tal respecto, comenta Max Born: “En la relatividad hay una característica terminológica que molesta a las personas no iniciadas en matemáticas. Nosotros los físicos estamos acostumbrados a llamar a los invariantes del espacio tridimensional que son análogos a la curvatura superficial (y aún a aquellos del es-pacio tretradimensional) “medidas de curvatura”. Decimos de las re-giones del espacio que las poseen que son “curvas”. Una persona no acostumbrada al lenguaje matemático rechaza usualmente esto, di-ciendo que puede entender que algo esté curvado dentro del espa-cio, pero que no tiene sentido imaginar curvado al propio espacio. Desde luego que nadie pide que se imagine una cosa así; sin em-bargo, ¿acaso es más imaginable la luz, que es invisible, o los tonos de ultra frecuencia, que son inaudibles? Si se admite que nuestros sentidos no llegan a cosas como esas y que los métodos de la Física sí, porque tienen mayor alcance, podemos prepararnos a conceder el

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mismo privilegio a la doctrina del espacio-tiempo, porque la intuición percibe solamente lo que se desarrolla como un proceso mental me-diante el trabajo conjunto de fenómenos físicos, fisiológicos y psico-lógicos, y está, por lo tanto, realmente condicionada por ellos”.

Se dice que una superficie en el espacio posee una curvatura positiva o negativa según que la suma de los ángulos de los triángu-los trazados entre tres punto cualesquiera sea mayor o menor de dos ángulos rectos (180º). La suma sólo vale 180º en una superficie pla-na, como puede ser una extensión pequeña de la superficie terrestre, pero si se tratara, por ejemplo, de hacer una triangulación a escala del sistema solar, tomando como vértices desde la Tierra los plane-tas Venus y Marte, se encontraría siempre que los ángulos sumarían más de 180º porque el espacio tiene la curvatura que le imparte el campo gravitatorio del Sol. Se puede entender esto fácilmente, pero no la curvatura del espacio mismo, para cuya expresión hay que re-currir a las matemáticas avanzadas.

La relatividad restringida había fusionado antes el espacio y el tiempo de la mecánica clásica, al considerar que ambos no eran más que abstracciones sin fundamento real, que el mundo poseía exis-tencia objetiva sólo como conjunto espacio-temporal. En la relatividad general, el espacio-tiempo pierde a su vez realidad, desde el momen-to en que todo lo que en él es susceptible de ser medido lo es debido a la acción de la materia-energía. Si las varas de medida se acortan, los relojes se atrasan, los planetas describen orbitas y los rayos lu-minosos se curvan, es porque todo se ajusta a una estructura geo-métrica determinada por la materia, con lo que el espacio-tiempo desciende también a la categoría de una sombra, quedando como única realidad en el Universo la fusión espacio-tiempo-materia.

Las pruebas de la relatividad La teoría general de la relatividad, publicada por Einstein en

1915 sin base experimental alguna, se consideró primero satisfacto-ria sobre todo en el terreno metodológico, por su aspiración de unifi-car la gravitación universal de Newton con la relatividad especial. La primera aplicación práctica de las ecuaciones relativistas fue explicar el ligero movimiento del perihelio de la órbita de Mercurio (43 segun-dos de arco por siglo) que no se había podido justificar con la teoría de Newton. De acuerdo con la relatividad general, un rayo de luz que viniendo de una estrella fija pasara cerca del Sol sufriría una modifi-cación en su trayectoria. La idea de un efecto de atracción gravitato-

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ria sobre los rayos luminosos no era nueva, pues esto era previsible de acuerdo con la teoría corpuscular de la luz de Newton. De hecho, ya en 1801, el astrónomo alemán Johann G. Soldner (1776-1833) había señalado que según la teoría de Newton la luz debía curvarse en la proximidad de los objetos estelares, y llegó a obtener un valor para la desviación, que el propio Einstein refrendó en 1911 basándo-se sólo en el principio de equivalencia. Sin embargo, en el proceso de completar la relatividad general en 1915, notó que su resultado de 1911 era solo la mitad del valor correcto de la desviación de la luz, que cifró finalmente en 1,75 segundos de arco

Esta desviación gravitatoria de la luz de acuerdo con las pre-dicciones de la relatividad general, se intentó demostrar en 1919. Se trataba de comprobar si, por una deflexión gravitatoria de la luz al pasar cerca de la superficie del Sol, se notaba un cambio de posición en las estrellas cercanas (Figura 13). Las observaciones fueron hechas por el astrofísico británico Arthur Eddington (1882-1944) y sus colaboradores durante un eclipse total de Sol, y el resultado ob-tenido mediante el estudio de las fotos tomadas se consideró con-cordante con lo predicho por la teoría.

Figura 13 En el terreno astronómico se pensó desde un principio en otra

demostración del efecto relativista, mediante el análisis de la luz es-telar, pues era de esperar una desviación hacia el rojo de las líneas espectrales de la luz procedente de estrellas de gran masa, debida el efecto retardatorio de la elevada gravedad. Aunque el efecto supues-to por la teoría es muy pequeño, su existencia ha sido confirmada, al

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menos cualitativamente por observaciones astronómicas de alta pre-cisión.

A pesar de que la gravedad en la Tierra es sólo 1/3000 de la gravedad del Sol, el progreso de las técnicas de medida ha permiti-do intentar comprobar la modificación de la frecuencia de lar radia-ciones por efecto gravitatorio a nivel terrestre. Se ha podido determi-nar en una determinada longitud de onda λ un desplazamiento Δλ / λ = 5,1 10-15, con una desviación de sólo un 10% del valor teórico.

Crítica de la relatividad general La Geometría fue durante un tiempo el modelo de la ciencia

deductiva, hasta el punto de que demostrar algo al modo geométrico era la aspiración de todo pensador riguroso. En este sentido, la geo-metría euclídea, con la verdad abstracta de sus axiomas, era un mo-delo inalcanzable para la física clásica. Esta situación duró hasta que los trabajos de matemáticos como Gauss, Riemann y otros, convirtie-ron a la Geometría en una parte de la ciencia física, haciendo que perdiera como tal la validez absoluta de sus principios, pues en el mundo físico no existen en realidad puntos fijos, ni líneas rectas, ni auténticas paralelas. El hecho de que la geometría euclídea pudiera estar por encima de la Física hasta la llegada de la crisis relativista, fue debido básicamente a que los rayos de luz son, en espacios cor-tos, como las líneas rectas del esquema conceptual euclidiano, y a que hay cuerpos con rigidez suficiente para satisfacer con considera-ble precisión los otros axiomas euclidianos. El advenimiento de la relatividad geometrizó la Física. El análisis matemático de la relativi-dad general viene a expresar que el espacio posee una curvatura intrínseca definible mediante unos coeficientes métricos, En rigor, de existir un espacio absolutamente vacío no sería ni euclídeo ni no eu-clídeo; siendo verdaderamente la nada, carecería de propiedades métricas. La relatividad afirma que el espacio adquiere por la proxi-midad de las masas los coeficientes métricos que lo vuelven curvo y, como es una entidad espacio-temporal, en su seno se acortan las longitudes y se dilata el tiempo, produciendo en el Universo tantas geometrías espacio-temporales como campos gravitatorios puedan existir.

La expresión matemática de la relatividad no se puede abor-dar, sin el dominio de conocimientos matemáticos muy avanzados al alcance de muy pocos especialistas. Las imágenes y analogías con las que se intenta brindar un apreciación intuitiva, son siempre susti-

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tutos poco satisfactorios de los auténticos conceptos matemáticos. Este hermetismo frente al común de los humanos puede juzgarse como un inevitable lastre cultural. La ley de gravitación de Newton, pese su trascendencia histórica, es un prodigio de sencillez. En este aspecto, es enteramente lo opuesto a las fórmulas del campo gravita-torio de la relatividad general, de las que el propio Einstein dijo que eran “aún más difíciles de asimilar que las de la relatividad especial”. En su único libro de divulgación, define escuetamente la relatividad general como “una ley estructural de la gravitación” y, sin referirse a nada de la formulación matemática, sólo comenta: “Las ecuaciones gravitatorias de la teoría general de la relatividad tratan de revelar las propiedades geométricas del mundo. El Universo no es euclidiano, su naturaleza geométrica está determinada por la distribución y velo-cidad de las masas”.

Como la mera de idea de un espacio curvo choca con el senti-do común, hay partidarios de la teoría de un éter sustancial, que re-chazan la relatividad, porque está demasiado lejos de nuestro poder de intuición y es demasiado abstracta. Los relativistas aseguran por su parte que la complejidad matemática de la teoría queda compen-sada por el enorme avance conceptual, de ser la expresión definitiva de la completa relatividad de los hechos del mundo físico real. El físi-co relativista Max Born (1882-1970) comenta a tal efecto: “La ciencia física no niega, desde luego, que las percepciones reales cotidianas puedan interpretarse con considerable precisión mediante las leyes clásicas de Euclides. De hecho, la mecánica clásica basta para des-cribir todos los fenómenos terrestres y casi todos los fenómenos de los movimientos cósmicos. Dentro de los límites del sistema solar, todos los resultados de la mecánica y la física clásicas permanecen casi inalterados al aplicar la relatividad, pues las desviaciones que predice la teoría de Einstein son tan pequeñas, que solamente la ex-traordinaria precisión de la tecnología más moderna las puede des-cubrir. Sin embargo, las referidas diferencias son tan ciertas, como que la ciencia experimental nos ha llevado al resultado de que el con-tinuo espacio-tiempo no es euclidiano sino “curvo”, por lo que la intui-ción debe ceder ante el juicio basado en la integración de todo nues-tro conocimiento”. Einstein acepta que todas las definiciones previas de los conceptos fundamentales del continuo espacio-tiempo, obteni-dos por medio de varas de medir rígidas, relojes, rayos de luz y órbi-tas inerciales, obedecen ciertamente las leyes de la geometría euclí-dea y del universo en pequeñas regiones limitadas del mundo físico, pero afirma que no ocurre así en el universo a gran escala. Si esta

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discrepancia no fue descubierta antes, fue debido a la indetectable pequeñez de las desviaciones relativistas dentro de los límites terres-tres.

Como causa de la inercia, la relatividad general sustituye el espacio absoluto newtoniano por el campo métrico originado por las masas lejanas estelares sugerido por Mach. ¿Resulta por ello más intuitivo el concepto de inercia? Se diría que la situación no cambia. Aunque el fenómeno quede adscrito explícitamente a la métrica de campo, al sentido común se le sigue escapando la relación causa-efecto, antes por remota y ahora por enrevesada. El efecto de las masas distantes del cosmos resultan ahora tan hipotético como antes lo fuera el espacio absoluto: si el influjo del espacio absoluto era un invento, el de las masas distantes aparece como una improvisación interesada. Los tres tipos de fuerzas de atracción presentes en la naturaleza, siempre han maravillado al hombre. ¿Por qué caen las cosas? ¿Por qué el ámbar electrizado atrae a una pluma? ¿Por qué la piedra imán atrae al hierro? Newton dio a la primera pregunta una respuesta parcial pero inteligible, pero más allá del mundo newtonia-no no parece que queden explicaciones simples. Después de romper para siempre con la inmutabilidad e independencia del espacio y el tiempo, Einstein produjo una sorprendente nueva explicación del pe-so de las cosas: en el continuo espacio-tiempo.: no existe en realidad la atracción, lo que ocurre con el peso es que el objeto “cae” por la curva que la masa gravitante crea en el espacio que la rodea. Así, en lugar de reconocer una atracción gravitatoria a distancia, Einstein la sustituye por un inimaginable efecto equivalente.

La relatividad en si misma no ha tenido casi consecuencias prácticas. La conexión de la relatividad y la energía nuclear tuvo una tremenda demostración, pero la identificación de materia y energía venía ya dada antes en la Física por los estudios de las radiaciones y la radioactividad. Para desarrollar la técnica hasta el nivel actual, ha bastado enteramente con la mecánica clásica derivada de Newton. De hecho, la civilización tecnológica le debe mucho más a las ecua-ciones de campo de Maxwell que a las de la relatividad einsteniana. Puesto que el ámbito normal no contradice a las leyes de la mecáni-ca clásica, se puede aceptar con escéptica indiferencia que, a veloci-dades próximas a la de la luz, las masas aumenten, los objetos se contraigan, los relojes atrasen y hasta que la energía pese, pues na-die lo va a notar en la vida diaria, pero no es fácil que las sofisticadas pruebas de los efectos relativistas aparten al hombre de la calle de los entrañables conceptos antiguos del tiempo y el espacio absoluto.

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Siguiendo a Newton, la ciencia física admitió de buen grado la acción instantánea a distancia, hasta que la relatividad estableció la veloci-dad de la luz como tope universal, pero el previsible retraso de los campos de fuerza es irrelevante en el ámbito del sistema solar, don-de todos los entes se mueven a velocidades relativas muy inferiores a la milésima parte de la velocidad de la luz. Sólo se pueden apreciar aciertos prácticos de la relatividad en unas cuantas medidas de valor absoluto ciertamente insignificante, tales como el cálculo del citado ángulo de desviación del perihelio de Mercurio, que apenas pasa de una centésima de grado en cien años.

La relatividad especial o restringida fue sobre todo un peldaño indispensable hacia la relatividad general. Es la relatividad general la que aporta indudablemente un valor importante en la historia del co-nocimiento, porque proporciona una nueva explicación, muy compli-cada pero matemáticamente sólida, del cotidiano misterio de la gravi-tación universal y la física del cosmos. Pero este gran mérito deja fríos a lo que, después de haber estudiado a Newton, hallan sólo ecuaciones para iniciados donde esperaban encontrar por fin los mecanismos desmontados de la acción a distancia. A la física teórica le importa bien poco, desde luego, que la curvatura del espacio no sea un plato popular. El objetivo de la Ciencia parece haber vuelto a ser “salvar las apariencias”, como hace dos mil años hizo, por cierto, el astrónomo Tolomeo construyendo los fantásticos artificios que ex-plicaban la conducta de los astros. La meta del físico teórico del siglo XXI es llegar a construir ecuaciones que predigan los resultados que halla la experiencia, renunciando de antemano a la búsqueda de causas intuitivas y asequibles al sentido común. La compleja teoría de relatividad es una consecuencia natural e ineludible del desarrollo del pensamiento científico, espoleado por la acelerada la revolución industrial del siglo XIX. Su advenimiento se palpaba comienzos del siglo pasado, una vez probada la inexistencia del éter y por ende la irrealidad del espacio absoluto. La velocidad de la luz como límite de las velocidades en el universo, condujo inexorablemente a la relativi-zación del tiempo y el espacio, y finalmente a la geometrización de la Física. Al aceptar la proposición del escéptico positivista Mach, Eins-tein vino a definir la acción inercial como una modificación de la mé-trica del espacio producida por la acción gravitatoria de las masas distantes del cosmos, análoga a la acción gravitatoria de los plane-tas. Sus ecuaciones proporcionan la primera explicación matemática a la identidad de la masa inerte y la masa gravitatoria. Con el hallaz-go de la relatividad general culmina, por el momento, el secular pro-

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ceso comenzado con la desconcertante caída de los cuerpos mos-trada por Galileo en la Torre Inclinada. Proporciona una explicación a la extrañeza de Galileo ante la falta de proporción entre peso y velo-cidad de caída, pero nunca se sabrá si su asombro hubiera disminui-do al conocer la “aclaración” de Einstein.

FIN

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NOTAS

i La expresión de la ley del péndulo es T = 2π.√ L/g , donde T = periodo, L = longitud del péndulo y g = aceleración de la gravedad ii La expresión actual de la ecuación es x = ½ a.t2, donde x = espacio, a = aceleración y t = tiempo. iii La formulación actual, con la constante evaluada es: T2 / r3 = 4 π2 / G M donde r es el semieje mayor de la elipse, G, la constante universal de gravi-tación y M la masa de la estrella. iv La demostración de la identidad del peso en la Tierra con la fuerza de atracción que mantiene a la Luna en su órbita, se basa en que aplicando la constante kepleriana del sistema Tierra – Luna (k), en la fórmula de la gra-vedad terrestre el valor de g no varía. k = d3 / T2, donde d = distancia de la Luna y T = periodo lunar g´ = 4π2. k / r2, donde r = radio terrestre Sustituyendo el valor de k resulta: g´ = 4π2. d3 / r2 T Como se conocen d ≈ 60,1 r, r = 6,37.108 cm, y T = 2,36. 106 seg, resulta: g´ = (4π2. 60,13. 6,37.108) / 2,36. 1012 = 981 cm/seg2 = g v Huygens halló que a = v2/ r . Como v = 2π. r / T, resulta a = 4π2. r2 / T2. r = 4π2. r / T2. Según la 3ª ley de Kepler es r3/T2 = k, siendo k una constante para todos los planetas del sistema solar. Sustituyendo en la fórmula anterior resulta: a = 4π2. k /r2 vi En la figura 5, el centro de la fuerza está en S, y la partícula está inicial-mente en A, moviéndose en alguna trayectoria que la lleva a B en un inter-valo de tiempo Δt. Si la partícula en B no estuviera sujeta a ninguna fuerza, se movería en una línea recta al punto c en el siguiente intervalo Δt de tiempo. Pero hay una fuerza central actuando sobre la partícula en B, que

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apunta por el radio vector de B a S. Esta fuerza produce un desplazamiento adicional de la partícula de c a C. (Newton usa esencialmente aquí la ley del paralelogramo de suma de desplazamiento de vectores, y la figura de puntos que parece un paralelogramo es una). Newton observa luego que los triángulos SAB y SBc tienen la misma área, puesto que tienen la misma base SB y las mismas altitudes (una perpendicular trazada desde S a la línea ABc)) Luego observa que los triángulos SBc y SBC también tienen la misma área, porque tienen la misma base SB y la misma altura por ser el segmento Cc paralelo a SB. Por lo tanto, los triangulos SAB y SBC tienen la misma área, y esto completa la prueba. La demostración de la segunda ley de Kepler empleando el cálculo diferen-cial carece, en efecto, de la sencillez intuitiva del tradicional método geomé-trico empleado por Newton

Un cuerpo se mueve en órbita elíptica a la distancia r del foco F. Durante el corto intervalo Δt el cuerpo se mueve de P a Q y el radio vector barre el ángulo Δθ. Este pequeño ángulo está dado aproximadamente por Δθ = vt Δt / r, donde vt es la componente de v perpendicular a r. Durante este tiempo, el radio vector ha barrido el triángulo FPQ cuya área está dada aproxima-damente por ΔA = r vt /2. Por lo tanto, en el límite dado por Δt aproximándo-se a cero, se tiene: dA/dt = r vt /2 = ½ r2 (dθ/dt) El momento angular, L, del cuerpo en la figura es constante y está dado por el vector perpendicular al plano definido por r y v en dirección hacia fuera de la figura. Teniendo en cuenta que vt = dθ/dt r, la magnitud escalar de L está dada por: L = m vt r = m r2 dθ/dt lo que significa que la velocidad de barrido de área está dada por:

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dA/dt = ½ r2 (dθ/dt) = L /2m Como L y m son constantes, también es constante la velocidad de barrido dA/dt, con lo que queda verificada la segunda ley de Kepler. vii La masa inmóvil concentrada en C comienza a atraer hacia sí al punto ma-terial m, en el instante que posee una cierta velocidad vo en sentido md perpendicular a Cm, con una fuerza proporcional a la inversa del cuadrado de la distancia.

El punto m pasará a moverse en relación al punto C, con una velocidad dada en general por la fórmula integral de la energía para trayectoria elípti-ca: v2 = G. (M+m). (2/r ─ 1/a) donde a es el semieje mayor de la elipse y r la distancia al punto C. Para una determinada velocidad vo = vc., el punto se moverá por el círculo de radio Cm. Como en este caso r =a, de la integral de la energía se dedu-ce que la velocidad circular es: vC = √ [G.(M + m)] / r

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Para vo ≤ vc, la forma y la dimensión de la elipse depende de la magnitud de vo . Si vo es pequeña, el eje mayor de la elipse será sólo un poco más grande que Cm y el punto C se encontrará en el foco lejano de m. Si vo es aproxi-madamente igual vc, pero menor que esta, la excentricidad de la elipse será pequeña, el semieje mayor será un poco menor que Cm, el punto C se aproxima al centro de la elipse pero permanecerá en el foco lejano de m. Para vo > vc Si vo < vP = vC.√2, el punto se moverá por la elipse, pero el punto C se en-contrará ahora en el foco próximo a m, mientras que el eje mayor de la elipse se hará tanto más grande cuanto más se aproxime vo a vP. Si vo = vp, el punto m se moverá por una parábola cuyas dos ramas se ale-jan hacia el infinito, aproximándose a una dirección paralela al eje Cm, ten-diendo la velocidad a cero. Como en la parábola a = ∞ de la fórmula inte-gral de la energía resulta: vP = vC. √2 Para vo > vP. El punto m se moverá por una hipérbola, cuyas ramas parten hacia el infini-to y, cuando la vo es muy grande se acercan a la dirección perpendicular al eje Cm. A medida que el punto se aleje su velocidad tenderá a ser constan-te. Así pues, las velocidades orbitales se enmarcan en el intervalo 0 < vE < vC < vP < vH viii Para dar a la ley de Newton su forma final, se tiene que el Sol atrae a un planeta de masa m situado a la distancia r con la fuerza: F = m. 4π2. K /r2

donde K es una constante kepleriana que depende sólo de las propiedades del Sol. A la recíproca, el planeta atraerá al Sol con una fuerza: F´ = M. 4π2. k /r2

donde M es la masa del Sol y k la constante kepleriana dependiendo sólo de las propiedades del planeta. Según el principio de acción y reacción, se cumple que: m. 4π2. K /r2 = M. 4π2. k /r2 de donde resulta que, m.K = M.k, o bien K / M = k / m

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Por lo tanto, esta razón es constante para el Sol y para los planetas. Si se hace está razón constante igual a G / 4π2, se puede escribir: 4π2. K = G.M y 4π2. k = G.m donde al factor G de proporcionalidad se le llama constante gravitatoria universal Con este cambio, la ecuación de la gravitación adopta la forma simétrica: F = G. M.m /r2 ix Para aplicar la fórmula de Huygens para la aceleración centrípeta a = v2 / d = 4π2 d / T2, Newton podía conocer la distancia a la Luna, d = 60 r, el radio de la Tierra = 6,37.108 cm y el periodo lunar = 2,36. 106 seg, con lo que resulta: a = (4π2. 60,1. 6,37. 108) / (2,362. 1012) = 0,272 cm/seg2 La relación de la gravedad terrestre en la Luna con respecto a la Tierra re-sultaba pues: 0,272 / 981 = 1 / 3606 ≈ 1/ 602, lo que demostraba que la Tierra atrae a la Luna como el Sol atrae a la Tie-rra y que la fuerza de la gravedad disminuye con el cuadrado de la distan-cia. x ▼ = δi/ δx + δj/ δy + δk/ δz. La divergencia del campo vectorial D es producto escalar ▼. D es δDx/ δx + δDy/ δy + δDz/ δz xi El vector rotacional del campo vectorial H se define como el producto vectorial: i j k rot = ▼x H = δ/ δx δ/ δy δ/ δz Hx Hy Hz y representa la circulación de flujo. xii Para un desplazamiento de carga a través de un elemento de área f se tiene: ρaf = Df/4π y la intensidad de desplazamiento de carga resulta: iD = 1/4π dD/dt = є/4π dE/dt Suponiendo la existencia de cargas magnéticas, la corriente de desplaza-miento de carga originaría la correspondiente corriente de desplazamiento o inducción magnética, cuya forma sería, análogamente: iM = (μ /4π) dH/dt Al igual que un campo variable E produce a su alrededor un campo magné-tico variable, una campo variable H produce a su alrededor un campo va-

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riable E. Este campo variable E induce una corriente si existe un conductor que lo rodee, pero también está presente aunque no haya cable conductor en que pueda establecerse la corriente. En la producción de los campos general, se presenta tanto una corriente de conducción iC = σ E como una corriente de desplazamiento iD = є/4π dE/dt dando una corriente total: i = iC + iD = є/4π (dE/dt + σ E No hay corriente de conducción para el magnetismo, de forma que siempre es: iM = μ/4π (dH/dt) xiii El hecho de que el campo electrostático y el campo electromagnético tengan orígenes tan distintos hace que exista entre ellos una gran despro-porción. Una sola unidad electrostática (uee) de carga produce una fuerza de campo eléctrico unidad sobre otra carga unidad situada a un centímetro, pero esa misma sola carga en movimiento, no produce nada parecido a una fuerza de campo magnético unidad sobre un polo magnético unidad sino una cantidad muchísimo más pequeña. En las pruebas de Kohlrausch y Weber quedó determinado que para producir en esas condiciones un cam-po eléctrico unidad hace falta una corriente de 3. 1010 u.e.e Este es el fac-tor de proporcionalidad c. la carga que, fluyendo por un elemento unidad de conductor, produce una unidad de campo magnético a la unidad de distan-cia, cuyo valor coincide con la velocidad de la luz. xiv Llamando c´ a la velocidad de la luz modificada, resultaba c´= c/n ± ( 1 – 1/n2). v, donde n es el índice de refracción del líquido y v su velocidad. xv En efecto, para alargar el paso de la luz en los aparatos diseñados para detectar viento de éter, había que medir el tiempo invertido por un rayo lu-minoso en pasar en uno y otro sentido a lo largo de una distancia, l, parale-la a la traslación terrestre. Suponiendo la existencia de viento de éter, el tiempo que requiere la luz a favor de la traslación es l /(c – v) y el invertido en contra es l /(c + v), con lo que el tiempo total resulta: t = l (1/(c+v) + 1/(c-v)) = 2 l c /(c2 – v2) La velocidad modificada, c´, o sea el recorrido total, 2l, dividido por t es: c´ = (c2 – v2) /c = c (1 – v2/c2) = c – c v2/c2 que difiere de c en una cantidad de segundo orden de v/ c . xvi Consistía en comparar la velocidad de dos rayos de luz que recorrían dos espacios, uno en dirección de la traslación terrestre y otro en dirección per-

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pendicular a ella. Si hubiera viento de éter, el rayo que se propaga trans-versalmente quedaría retrasado menos que el que se propaga contra el viento, y habría una parcial interferencia. La relación de los periodos de tiempo invertido en el recorrido paralelo, t1, y en el recorrido perpendicular, t2, sería, conforme a las anteriores fórmulas, haciendo β = v/c: t2 /t1 = (1 − β2) / √(1 − β2 = √ (1 − β2) ≈ 1 − ½ .β2 ya que puede demostrarse que para ese pequeño valor de β2, el radical √ (1 − β2) es prácticamente igual a (1 − ½ .β2), con lo que también resulta t1 − t2 = t1. ½ .β2 . La relación β2 es igual a (3x106)/(3x1010) = 10-8; o sea, 0, 00000001 y ½ β2 = 0,000000005. Así, la diferencia (de tiempo) esperada en la llegada de las dos ondas sería tan sólo 5 diezmillonésimas de un 1 por ciento (con respec-to al tiempo del recorrido paralelo). Pero es bastante grande para ser per-ceptible por medio de instrumentos ópticos sensibles que miden la separa-ción espacial de las ondas (interferencias) correspondientes a esos retras-os. De hecho, si el diámetro de la base giratoria (ver figura) era 3 metros (y esto es aproximadamente exacto), el tiempo total de recorrido (teórico) era: 300/ (3. 1010) = 10-8 seg . Así pues, la diferencia del tiempo de llegada de las dos ondas (una prove-niente una del recorrido paralelo y otra del recorrido transversal) al telesco-pio sería: t1 − t2 = 10-8x5x10-9 = 5 x 10-17 seg Para la luz de longitud de onda de 6x10-5 seg, el periodo de vibración era: T = λ/c = 6x10-5/3x1010 = 2 x 10-15 seg . Así pues, como 5x10-17/2x10-15 = 2,5x10-2, la diferencia de tiempo de llegada equivaldría al 2,5 por ciento del periodo de vibración (y también de la longitud de onda), con lo que se hubiera producido un grado perceptible de interferencia destructiva. En el experimento, el efecto debía ser observado no por una disminución de la intensidad, sino por una desviación de la serie de franjas de interfe-rencia del 2,5 % de la distancia entre ellas. Haciendo girar el aparato 90 º (para ello flotaba la base en mercurio) y cambiando de este modo el papel de los espejos M1 y M2 se podía esperar la misma desviación en la nueva dirección, de modo que la desviación total de las franjas sería el 5% de la distancia entre ellas. Si se observase esta desviación, se demostraría que la velocidad de la Tierra en el espacio es de 30 km/seg. xvii En el espacio tetradimensional relativista se construye mediante un sis-tema de coordenadas numeradas gaussianas x, y, z una red de puntos universales. En las intersecciones o esquinas O de las mallas de la red así formada se imaginan relojes cada uno con su tiempo local. La distancia invariante s entre dos puntos vecinos cuyas coordenadas relativas con res-

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pecto a un punto O de la red sean α, β, γ, θ, se representa por el teorema pitagórico generalizado: s2 = g11α2 + g22β2 + g33γ2 + g44θ2 + 2g12αβ + 2g13αγ + 2g14αθ + 2g23βγ + 2g24βθ + 2g34γθ Los diez coeficientes métricos g11 ………g34, tendrán diferentes valores de malla a malla de la red, lo que significa que dependen de las coordenadas x, y, z y el valor t del tiempo del punto O. Si no hay campo gravitatorio re-sultan: g11=g22=g33 = 1; g44 = –c2

g12=g13=g14=g23=g24=g34 = 0 y la distancia s sería la recta: s2 = α2 + b2 + γ2 – θ2c2 Las desviaciones de los g de estos valores denotan la presencia de un campo gravitacional, en cuyo caso los movimientos inerciales, como agre-gados de distancias s entre dos puntos, serán no uniformes y curvados.