Historia de las Matemáticas

El álgebra en los siglos XVIII-XIX

Profesor: Francisco Guil Asensio

Web: ww.um.es/mataplic/fguil/guil.html

Tutorías:

Martes, Miércoles y Jueves

10-11 y 11:30-12:30

3ª planta, Facultad de Informática

Bibliografía:

- A history of algebra from Al-Khwarizmi to Emmy Noether. Van der Waerden. Ed. Springer.

- Historia de la Matemática.- Carl B. Boyer. Alianza Universidad Textos nº 94

- El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Morris Kline. Alianza Universidad. Tomos II y III (nº 729)

- The genesis of the abstract group concept. H. Wussing. Cambridge, Ma. MIT Press

- Mathematics of the 19th century. Kolmogorov & Yushkevich. Ed. Birkhaüser. Vol. I

ÁLGEBRA

- Estudio de las estructuras algebraicas

-Históricamente

Ecuaciones

Polinomios

Sistemas

Ecuaciones indeterminadas

Reglas de operación con números

Teoría de números

Tipos de álgebra:

- Retórica

- Sincopada

- Simbólica

Precursores

Matemática griega

Mat. hindú Mat. Árabe Mat. Medieval

Mat. Renacimiento

Rec. Textos álgebra simbólica Geom.coord.

Geometría Tª números

2000 a.C.

300 a.C- 200 d.C

S. XVI

Matemática egipcia:

- Papiro de Rhind.

alrededor del 1650 a. C.

álgebra retórica

ecuaciones lineales de una incógnita.

método de falsa posición

los problemas se plantean verbalmente.

- Papiro de El Cairo

alrededor de año 300 a. C.

sistemas de 2 ecuaciones en 2 incógnitas de segundo grado.

No hay teoría de números.

Algebra babilónica I

más avanzada que en Egipto

sistema de numeración posicional

aparece el uso de símbolos

su álgebra es esencialmente retórica

problemas a través de ejemplos

no hay explicaciones ni demostraciones

usan números racionales positivos

aproximaciones

Algebra babilónica II

resolución de ecuaciones cuadráticas

solamente reconocen la raíz positiva

sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnita

problemas con más de dos incógnitas

ecuaciones de grado mayor.

Algebra griega clásica

no aceptan la existencia de números irracionales

representación geométrica de cantidad.

construcciones de identidades algebraicas

solución de ecuaciones cuadráticas

se demuestran de forma geométrica.

los contenidos no van más allá que en Babilonia

El enfoque geométrico

ventaja: uso del razonamiento deductivo

carece de valor práctico

retrasó el progreso del álgebra.

Diofanto

representa un alejamiento del álgebra geométrica

Introduce un estilo sincopado

el estilo retórico será dominante durante siglos

La Aritmética

ecuaciones indeterminadas

No usa métodos generales

hay 189 problemas y 189 métodos

acepta raíces racionales positivas

si hay dos soluciones, solo da una de ellas

no hay estructura deductiva en su trabajo.

ALGEBRA HINDÚ I

es importante después de la influencia griega.

motivación basada en la astronomía y astrología

- año 600 d. C.

sistema posicional en base 10

el 0 se considera un número más

los negativos para representar deudas

- año 1114 d.C.

número positivo tiene 2 raíces cuadradas

procedimientos correctos para operar

ALGEBRA HINDÚ II

- progresos en álgebra y aritmética.

cierto simbolismo

no se usa generalmente

va más allá del álgebra sincopada

no hay demostracione solo se dan los pasos

las ecuaciones cuadráticas tienen 2 raíces

incluyen raíces negativas e irracionales

soluciones completas de ax + by = c

consideran ecuaciones cuadráticas.

Algebra árabe I

conservan el conocimiento griego

traducciones -> conocimiento actual

origen de ALGEBRA y ALGORITMO

álgebra retórica

numeración

mejoran la numeración hindú

algoritmos para operaciones

influencia en en Europa en el año 1200

Algebra árabe II

trabajan con irracionales

rechazan los números negativos

ecuaciones cuadráticas

métodos generales

reconocen las dos soluciones

normalmente descartan una

ecuaciones cúbicas

métodos geométricos

intersección de cónicas

trabajan con ecuaciones indeterminadas

EL NACIMIENTO DEL ÁLGEBRA SIMBÓLICA

1545 ARS MAGNA de Cardano

Consolidación del cálculo aritmético

Números decimales (Stevin, 1585)

Cálculo de logaritmos y primeras tablas

(Napier, Whiggs, Burgui)

Resolución ecuaciones tercer y cuarto grado

Cardano - Stevin - Bombelli - Vieta

Paso del álgebra sincopada a la literal

1637 LA GEOMETRÍA de Descartes

Descartes Fermat

Geometría de coordenadas

Trabajos en Tª de números

Precursores del Cálculo

Newton

Leibniz

1637

S XVIII

Newton Leibniz

Cotes

Taylor

Stirling

Johan Bernouilli Jean Bernouilli

D. Bernouilli Euler D’Alembert

Lagrange Legendre Laplace Carnot Condorcet Monge

LA ESCUELA DE NEWTON

ISAAC NEWTON

COTES TAYLOR

STIRLING

LA ESCUELA DE LEIBNIZ

G. LEIBNIZ

JOHAN BERNOUILLI JEAN BERNOUILLI

DANIEL BERNOUILLI D’ALEMBERT LEONARD EULER

LOS MATEMÁTICOS DE LA REVOLUCIÓN

J. L. LAGRANGE J. M. LEGENDRE

LAPLACE CARNOT

CONDORCET MONGE

SITUACIÓN SOCIAL A FINALES SITUACIÓN SOCIAL A FINALES DEL S. XVIIIDEL S. XVIII

- Búsqueda de aplicaciones

- Poco desarrollo de la Matemática por sí misma

- Desarrollo rápido acompañado de falta de rigor

- Paso de las Academias a las Universidades

- Primeras sociedades matemáticas

- Primeras revistas

- Crecimiento de la comunidad matemática

Problemas relevantes a finales del XVIIIProblemas relevantes a finales del XVIII

- Ecuaciones polinómicas

Teorema fundamental

Métodos de resolución

- Tª de números

Notación

Unificación

Problemas abiertos

representación

divisibilidad

- Distintos tipos de números

Nº naturales, enteros, racionales, reales, complejos

Distinción algebraicos y trascendentes

¿Qué son? ¿cuáles son sus limitaciones?

- Geometría

Nuevos tipos de geometría: descriptiva, proyectiva

Preocupación por uso de coordenadas

Surgen las estructuras algebraicas:

- Tª de Grupos

Ecuaciones polinómicas

Tª de números

Geometría

Ecuaciones diferenciales

Es la primera en desarrollarse

Sus métodos y resultados influirán en las demás

- Tª de Cuerpos

Ecuaciones polinómicas

Tª de números (ideales)

Problemas de fundamentación: Kronecker y extensiones trascendentes

Primera estructura totalmente axiomatizada

- Tª anillos conmutativos

Tª de números (ideales)

Anillos de polinomios

Geometría (invariantes)

- Tª anillos no conmutativos y álgebras

Tipos de números

Nº complejos

Geometría (movimientos)

Matrices

Álgebra lineal

Las teorías de anillos conmutativos y no conmutativos se influirán mutuamente en el siglo XX a través del concepto central de módulo

UNA MIRADA AL SIGLO XXUNA MIRADA AL SIGLO XX

- Relaciones entre estructuras

- Visiones estructurales

Los retículos de Ore

Las estructuras de Bourbaki

La teoría de categorías

- Métodos topológicos: homología