HOMOLOGÍA Y AFINIDAD. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

HOMOLOGÍA Y AFINIDAD

A

A´

E

E´

C´

e

D

D´

B´

CB

1 1´

3 3´

2 2´

EJERCICIOS DE HOMOLOGÍA

1. Halla el homólogo del punto P del infinito de la recta r

O

e

r

P( )

l´



O

P´

e

r

P( )

l´


2. Halla la recta r´ homóloga de la recta r dada.

O

e

r

P( )

l´



O

P´

Q-Q´e

r

P( )

l´



O

P´

Q-Q´e

r r´

P( )

l´


3. Halla la recta r´homóloga de la dada r

O

e

r

l



O

P

Q-Q´

e

r

l



O

P

Q-Q´

e

r r´P´( )

l



O

er

P( )

l



O

M

Q-Q´

er

P( )

l



O

M

P´

Q-Q´

er r´

P( )

l

l´


5. Halla el homólogo del punto P

O

e

P

l´



O

er

P

l´



O

P´e

r

r´

P

l´


6. Halla la recta r´ homóloga de la recta r dada, paralela al eje.

O

e

r

l´



O

e

r

P

l´



O

e

r

r´

x

P

l´



O

P´e

r

x

x´

P

l´



O

P´e

r

r´

x

x´

P

l´


7. Halla la primera recta límite

O

e

l´



O

e

dl´



O

ed

dl´

l


8. Hallar las rectas límite

O

e

P

P´



O

e

x

P

P´



O

e

x

x´P

P´



O

e

x

x´P

P´

l´

l


9.Hallar las rectas límite

O

e

r

r´



O

P

P( )

e

r

r´



O

P

P( )

Q

Q( )

e

r

r´



O

P

P( )

Q

Q( )

e

r

r´

l

l´


10. Hallar la otra recta límite

e

P

P´

l´



e

x

P

P´

l´



e

x

x´P

P´

l´



O

e

x

x´P

P´

l´



O

e

x

x´P

P´

l´

l


11. Hallar el centro de homología, el eje (que pasa por P) y las rectas límite

A´

A

B

B´

P



eA´

A

B

B´

P



O

eA´

A

B

B´

P



O

e

r

A´

A

B

B´

P

D-D´



O

e

r

r´A´

A

B

B´

P

D-D´



O

e

r

r´A´

A

B

B´

P

D-D´

l´

l


12. Halla el centro de homología,el eje y las rectas límite

O

A

A´

B´

C´

C

B

e

l´

l


A

A´

E

D

O

C

B

13. Construye la figura homóloga del polígono ABCDE, conociendo elcentro O, el eje e y un punto homólogo A´.


A

A´

M

E

D

O

C

B


1. Unimos A con cualquier otro punto (E), hasta cortar e en el punto M


A

A´

M

E

D

O

C

B

E´


2. M se une con A´mediante una recta que corta al rayo OE en E´


A

A´

MNP Q

E

D

D´C´

O

C

B

B´E´


3. Unimos D con E, o con otro del que ya se conozca su homólogo, y se siguen las mismas operaciones anteriores hasta determinar los

homólogos de todos los vértices


14. Hallar la figura homológica del cuadrado ABCD conocida la recta límite l´ y el centro O

O

A

l´

D

C

B



O

A

l´

D

Y´X´

C

B



O

A

l´

e

D

D´

Y´X´

C

B



O

A

l´

e

D

D´

C´

Y´X´

C

B



O

A

l´

e

D

D´

C´

B´

A´

Y´X´

C

B

15. Determina la homología que transforma el cuadrilátero ABCD en un cuadradoEl vértice A es un punto doble

e

D

C

B

A=A´



l

e

D

1 2

C

B

A=A´



O

l

e

D

1 23 4

C

B

A=A´



O

l

e

D

1 23 4

C

B

A=A´

D´



O

l

e

D

1 23 4

C

B

A=A´

D´

C´

B´



16. ELIPSE HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIADibujar la elipse afín a una circunferencia dada la circunferencia de centro O, el eje e y

una recta límite

V

l

e

O


V

M l

e

O

D

1. Elegimos un punto arbitrario M de la recta límite l, y trazamos las rectas tangentes a

la circunferencia. Los puntos de tangencia son C y D

C


una recta límite


V

M N l

e

O

D

C2. Se unen los puntos C y D hasta cortar a la recta límite en N


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

B

3. Desde N se trazan dos rectas tangentesa la circunferencia O cuyos puntos de

tangencia son A y B

O


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

P

B

4. Se unen los puntos A y B. La intersección P de las rectas

AB y CD es el polo P

O

ab


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

P

B

5. Se calculan los DIÁMETROS CONJUGADOS DE LA ELIPSE,que son los diámetros homólogos de AB y CD.Para ello, por el punto de intersección de AB

con el eje se traza la paralela a VM (recuerda las propiedades de las rectas límite)

O

a´

ab


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

P

B

6. Por el punto de intersección de CD con el eje se traza la

paralela a Vn

O

b´

b

a´

a


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

P

P´

a´

b´

B

7. El homólogo P´de la circunferencia P es centro de la elipse homóloga.

Está en la intersección de las rectas a´ y b´

O

a´

a

b´

b


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

G

H

P

P´

a´

b´

b

B

8. TRAZADO DE LA ELIPSE.Por el polo P se traza una recta r

cualquiera que corta a la circunferencia O en los puntos G y H

O

a

r


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

G

H

P

P´

a´

b´

br

B

8. TRAZADO DE LA ELIPSE.Por el polo P se traza una recta r

cualquiera que corta a la circunferencia O en los puntos G y H

O

a


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

G

H

P

P´

a´

b´

br

B

9. TRAZADO DE LA ELIPSE.Hallando la homóloga r´y los puntos homólogos G´y H´se determinan los

puntos de la elipse

O

a


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

G

H

P

P´

E-E´ F-F´´

a´

b´

br

B

9. TRAZADO DE LA ELIPSE.Los puntos E-E´y F-F´ de intersección

de ambas cónicas con el eje son puntos dobles

O

a


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

G

H

P

P´

E-E´ F-F´´

a´

b´

br

B

9. TRAZADO DE LA ELIPSE.Se calcula el resto de puntos siguiendo

las pautas de los puntos homólogos a partir de las rectas homólogas

que los contienen

O

a

A´


una recta límite


V

M N l

e

D

CA

G

H

P

P´

E-E´ F-F´´

a´

b´

br

B



que los contienen

O

a

A´

C´


una recta límite


V

M N l

e

D

D´

CA

G

H

H´

P´

G´

E-E´ F-F´´

a´

b´

br

B

O

A´

C´

a

P



que los contienen


una recta límite


V

M N l

e

D

D´

CA

G

H

H´

P´

G´

E-E´ F-F´´

a´

b´

br

B

10. Los Diámetros conjugados son los que van de Dá Cý de Aá C´

O

A´

C´

a

P


una recta límite


V

M N l

e

D

D´

CA

G

H

H´

P´

G´

E-E´ F-F´´

a´

b´

br

B

10. Mediante paralelas a a´y b´dibujamos el cuadrilátero en el que se ubicará la elipse

O

A´

C´

a

P


una recta límite

A´

O

EA

B

D

C

e

17. Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE siendo la recta e el eje de homología, el punto O su centro y el punto A´ el homólogo del vértice A


A´

O

E

E´

1=1´A

B

D

C

e


El punto E´, homológico de E, se encuentraen la intersección del rayo de homología OE con la recta A´1´, homológica de A1


A´

O

E

E´

D´

1=1´A

B

D

C

e


El lado E´D´ que se busca es paralelo al eje de homología, por serlo

también el lado ED


A´

O

E

E´

D´

C´

1=1´A

B

D

C

e


El vértice C´coincide con C por pertenecer aleje (lugar geométrico de los puntos

dobles en una homología)


A´

O

E

E´

D´

B´

C´

1 1´

2 2´

A

B

D

C

e


Para calcular B´se procede del mismo modo que para el punto E´


A´

O

E

E´

D´

B´

C´

1 1´

2 2´

A

B

D

C

e



A´

E

A

B

B´

D

C

18. Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE conociendo la dirección d del eje de homología y siendo los puntos A´y B´homológicos de los vértices A y B respectivamente

d


A´

E

A

B

B´

D

C


1 1´

1 1´

d

Se calcula un punto del eje de homología donde se cortan las rectashomológicas A´B´, punto


A´

E

Ad

B

B´

D

C


1 1´

El eje e pasa por este punto y es paralelo a la dirección d dada


A´

E

Ad

B

B´

D

C


1 1´

2 2´

3 3´

Donde AE y CD cortan al eje se producen dos puntos dobles


A´

O

E

Ad

B

B´

D

C


1 1´

3 3´

2 2´

Una vez tenemos todos los puntos aplicamos las normas para realizar

la homología sin problemas


A´

O

E

E´

Ad

B

B´

D

C


1 1´

3 3´

2 2´


A´

O

E

E´

Ad

B

B´

D

C


1 1´

3 3´

4 4´

2 2´


A´

O

E

E´

Ad

B

B´

D

CC´


1 1´

3 3´

4 4´

2 2´


A´

O

E

E´

D´

Ad

B

B´

D

CC´


1 1´

3 3´

4 4´

2 2´


OE

A

B

D

C

19. Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE dado conociendo el centro de la homología O, el eje e y la recta límite l. Calcular la otra recta límite m´.

e

l


OE

M

M´

A

B

D

C


e

l

La recta AE corta a la recta límite en el punto M.Su homológico M´, además de estar en el infinito,

estará alineado con M y con el centro de homología O.


OE

M

M

A

B

D

C


e

l

1 1´

3 3´

4 4´

2 2´

Sabemos que donde la prolongación de DE y DC cortan al eje se producen los puntos dobles 1 1´y 2 2´,

y donde AE y BC cortan al eje se producen los puntos dobles 3 3´ y 4 4´


OE

M

M´

M´

A

A´

B

D

C


e

l

1 1´

3 3´

4 4´

2 2´

Ahora podemos calcular los puntos A´ y E´, al trazar por el punto 3 3´la paralela a OM


OE

M

M´

M´

A

A´

E´

B

D

C


e

l

1 1´

3 3´

4 4´

2 2´

Para el punto E trazamos la recta de O a E y en su prolongación cortará a la recta A´ M´


OE

M

M´

M´

N´

A

A´

E´

D´

B

D

C


e

l

1 1´

3 3´

4 4´

2 2´

Para determinar la otra recta límite m´, que debe ser paralel al eje e y a la recta límite l se busca el punto N´homológico de N, punto impropio de la recta BC


OE

M

M´

M´

N´

N´

A

A´

E´ N

D´

B

D

C


e

l

1 1´

3 3´

4 4´

2 2´

Para determinar la otra recta límite m´, que debe ser paralela al eje e y a la recta límite l se busca el punto N´homológico de N, punto impropio de la recta BC


OE

M

M´

M´

N

N

A

A´

E´ N´

D´

B

D

C

C´


e

l=m´

1 1´

3 3´

4 4´

2 2´

En este caso en concreto m´coincide con l ya que esta recta límite equidista del centro O y del eje


OE

M

M´

M´

N

N

A

A´

B´

E´ N´

D´

B

D

C

C


e

l

1 1´

3 3´

4 4´

2 2´


OE

M

M´

M´

N

N

A

A´

E´ N´

D´

B

D

C

C


e

l

1 1´

3 3´

4 4´

2 2´

B´


OA

D

C

20. Dados el centro de homología O, el eje e, y la recta límite m´:1º. Determinar la otra recta límite l

2º-. Dibujar la figura homológica del cuadrado ABCD

m´

B

e


OA

D

C

EL cuadrado ABCD tiene el evértice B en el eje, luego su homológico B´será coincidente con él.

d

dm´

.

B = B´

l

e




OA

D

C

Una recta límite dista del eje de homología lo mismo que la otra dista del centro de homología

En este caso, la recta límite l hallada coincide con el vértice A del cuadrado

d

dm´

.

B

l

e




OA A´

B = B´

D

C

El vértice A está en la recta límite l, por lo que su homológico A´ será un punto impropio alineado con A y

con el centro de homología O, A´

d

dm´

l

.e




OA A´

B = B´

D

C

Para obtener D´trazamos una recta de O a Dy prolongamos la recta AD hasta cortar en el eje

en el punto Pe

d

dm´

l

.

P




OA A´

B = B´

D

D´P

C

Desde el punto P trazamos una paralela a la recta que trazamos de O a A.

Donde esta recta corta a la que va de O a D, tenemos D´

e

d

dm´

l

.




OA A´

A´

A´

B = B´

D

D´P

C

C´

Para calcular C´ unimos O con Cy pasamos una recta de D a la unión

de DC con el eje. En el punto de corte estará C´

e

d

dm´

l

.




21. Dibujar la figura afín del pentágono ABCDE conociendo el eje de afinidad e,y sabiendo que el punto A´ es afín del vértice A

EJERCICIOS DE AFINIDAD

A

A´

E

e

D

CB


A

A´

E

e

D

CB

1. La dirección de afinidad d queda definida por la recta AA´.



A

A´

E

E´

e

D

CB

2. Aplicando las condiciones de afinidad conocidas, se van hallando los vértices afines

hasta conseguir la nueva figura

1 1´



A

A´

E

E´

C´

e

D

D´

CB

2. Aplicando las condiciones de afinidad conocidas, se van hayando los vértices afines

hasta conseguir la nueva figura

1 1´

2 2´




A

A´

E

E´

C´

e

D

D´

B´

CB

1 1´

3 3´

2 2´

22. Dibujar la figura afín del pentágono ABCDE conociendo los puntos A´ B´ y D´, afines,respectivamente, de los vértices A, B y D


A´

B´

CD D´

B A

E


A´

B´

CD D´

B A

E

e

1. El eje de afinidad e queda definido por los puntos D=D´, que es doble, y

1=1´, donde se cortan la pareja derectas afines AB y A´B´.

1 1´



A´

B´

CD D´

B A

E

e

2. Una vez conocido el eje y sabiendo que la dirección queda determinada por la recta que une una pareja de puntos afines, por

ejemplo AA´, calculamos los puntos afinesC´y E´como en el caso anterior.

1 1´



A´

B´

C

C´

D D´

B A

E

e

3. Trazamos una paralela a A´A por Cy unimos B´ con el punto doble 2=2´.

Donde se corten ambas rectas obtenemos C´.

2 2´

1 1´



A´

B´

C

C´

D D´

B A

E

E´ e

4. Prolongamos AE hasta cortar al eje en el punto doble 3=3´. Unimos dicho punto doble

con A´, y donde corte esta recta a la paralela a AA´ trazada desde E, tenemos

el punto E´.

2 2´

3 3´

1 1´



A´

B´

C

C´

D D´

B A

E

E´ e

5. Ya solo queda unir todos los vérticespara trazar la figura afín A´B´C´D´E´

2 2´

3 3´

1 1´


23. Calcular los ejes de la elipse afín de la circunferencia de centro O en la afinidaddeterminada por la dirección d, el eje e, y la razón K = -3/2


O

e

d

k = - 3/2


O

e

d

k = - 3/2 1. Calculamos O´, punto afín delcentro O. Para ello trazamos la paralela por O respecto a d.

Sabemos que O´quedaráal otro lado del eje porque la

razón es negativa


P


O

½ OP

e

d

k = - 3/2 2. El centro de la elipse O´estará a unadistancia del punto P igual a 3/2 del

segmento OP. Dividimos OP en dos partes iguales (ya que el denominador de 3/2 es 2)

mediante la mediatriz

P



O

½ OP

1

E

e

d

k = - 3/2 3. Trazamos un arco PE y conseguimos elpunto 1, primera división de los 3/2 de PO

P



O

½ OP

P

13

E

e

d

k = - 3/2 4. Con distancia 1P trazamos dos arcos más con centro en 1 y en 2, y conseguimos

los puntos 2 y 3 respectivamente.El punto 3 = O´.

O´2



O

13

E

e

d

k = - 3/2 5. Para calcular la dirección de los ejes de la elipse, se traza la circunferencia que tiene

el centro en el eje de afinidad e y pasapor los puntos O y O´. Para ello trazamos la

mediatriz OO´y donde ésta corte al eje estaráel centro Q

P

Q

M M´

N N´

O´2



O

B

D

C

13

E

A

e

d

k = - 3/2

P

Q

M M´

N N´

6. La circunferencia corta al eje e en los puntos dobles M=M´ y N=N´.

que unidos con O determinan la pareja de diámetros AC y BD cuyosafines A´C´ y B´D´ son los ejes de

la elipse que buscamos

O´2



O

B

D

C

13

D´

E

A

e

d

k = - 3/2

P

Q

M M´

N N´

6. La circunferencia corta al eje e en los puntos dobles M=M´ y N=N´.

que unidos con O determinan la pareja de diámetros AC y BD cuyosafines A´C´ y B´D´ son los ejes de


O´

B´

2



O

B

D

CC´

13

D´

A´

E

A

e

d

k = - 3/26. La circunferencia corta al eje e en los

puntos dobles M=M´ y N=N´.que unidos con O determinan la

pareja de diámetros AC y BD cuyosafines A´C´ y B´D´ son los ejes de


P

Q

M M´

N N´

O´

B´

2



O

B

D

CC´

13

O´

D´

A´

B´

2

E

A

e

d

k = - 3/26. La circunferencia corta al eje e en los

puntos dobles M=M´ y N=N´.que unidos con O determinan la

pareja de diámetros AC y BD cuyosafines A´C´ y B´D´ son los ejes de


P

Q

M M´

N N´


24. En una afinidad de eje e los puntos O y O´son, respectivamente, los centros de una circunferencia y una elipse afines entre sí. Hallar los ejes de la elipse y trazarla sabiendo

que la recta t´es tangente a la elipse


O

O´

t´

e


O

O´

M´

M

t´

t

1 1´

e

1. Si la recta t´es tangente a la elipse, su afín t lo será a la circunferencia. La recta t se

determina por dos puntos 1 = 1´ (prolongación de t que corta al eje) y M , afín de M´(punto

arbitrario de t´del que parte una recta que pasa por O´ y corta al eje en 2 = 2´)

2 2´




O

O´

M´

M

T t´

t

1 1´

e

2. Una vez conocida la recta t podemos calcular el punto T de tangencia, que

está en la intersección de la recta t y unaperpendicular a la misma que

pasa por O

2 2´




O

O´

M´

M

T t´

t

1 1´

e

3. Teniendo el punto T de tangencia y elcentro O, podemos trazar la circunferencia

2 2´




O BD

C

A

A´

O´

M´

M

T t´

t

1 1´

2 2´

e

4. Una vez se ha obtenido la circunferenciay trazados sus diámetros perpendiculares AC y DB, podemos calcular los ejes de laelipse A´C´ y D´B´ afines, respectivamente,

a AC y DB.




O BD

C

C´

A

A´

O´

M´

M

T t´

t

1 1´

2 2´

e


a AC y DB.




O BB´

D

C

C´

A

A´

O´

M´

M

T t´

t

1 1´

3 3´

2 2´

e


a AC y DB.




O BB´

D´

D

C

C´

A

A´

O´

M´

M

T t´

t

1 1´

3 3´

2 2´

e


a AC y DB.




O BB´

D´

D

C

C´

F´

F

A

A´

O´

M´

M

T t´

t

1 1´

3 3´

2 2´

e

5. Para poder trazar la elipse, calculamos los focos (trazamos un arco con distancia O´A´ desde D´, que corta al segmento C´ A´

en F y F´)




O BB´

D´

D

C

C´

F´

F

A

A´

O´

M´

M

T t´

t

1 1´

3 3´

2 2´

e

6. Posteriormente trazamos la elipse por uno de los procedimientos que hemos

aprendido con anterioridad




O BB´

D´

D

C

C´

F´

F

A

A´

O´

M´

M

T

T´

t´

t

1 1´

3 3´

2 2´

e

7. El punto de tangencia T de la circunferenciatiene su homólogo en t´, en el punto T´.



HOMOLOGÍA Y AFINIDAD. DIBUJO TÉCNICO 2º BACHILLERATO

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