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Capitulo III

Homotecia y similitud

Definición.- Habiendo elegido un punto S que se denomina centro de homotecia y

un número K que se denomina la razón de homotecia o de similitud, el punto M’ es el

homotético del punto arbitrio M si M’ obedece a la definición SMKSM' ⋅= , M’ se halla

sobre la recta SM. La homotecia se dice directa si SM’ va en el sentido SM, si va en el

sentido MS se dice inversa.

La figura homotética de una figura F es la figura constituida por los puntos

homotéticos de los puntos de F.

Nota.- El centro de homotecia es su homotético, siendo el único punto que se

distingue por esta propiedad (salvo, por supuesto si la homotecia es directa de razón igual a

1, es decir, cuando cada punto es su propio homotético). La simetría con respecto a un

punto es un ejemplo de homotecia inversa.

Teorema.- En dos sistemas homotéticos la recta que liga dos puntos cualesquiera de

uno de los sistemas y aquélla que liga los puntos homólogos del otro son siempre paralelas

y del mismo sentido o del sentido opuesto según la homotecia sea directa o inversa.

Sean pues Ay B dos puntos de la primera figura, A’ y B’ sus homotéticos, sean S el centro

y k la razón. La proporción kSB

SB'

SA

SA== muestra que ambas rectas B'A' ,AB son

paralelas. Mientras la semejanza de los ∆SABy 'B∆SA' muestra que están en la razón

kSA'

SA=

(Si una recta divide dos lados en partes proporcionales, es paralela a l tercer lado).

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Corolario

I. La figura homotética de una recta es una recta

Pues si B se desplaza sobre la recta fija AB, B’ recorre la paralela por el punto A’ a la

recta AB.

II. La figura homotética de una circunferencia es una circunferencia y los centro son dos

puntos homotéticos.

Pues si B se desplaza de suerte que su distancia al punto fijo A sea constante, B’ recorre

una circunferencia de centro A’ y radio ABkB'A' ⋅=

III. La figura homotética de un triángulo es un triángulo semejante al primero.

Teorema.- Recíprocamente, si existe en el plano de ambos sistema dos puntos O, O’ tales

que la recta que une el punto O a un punto M del primer sistema y aquélla que liga O’ al

punto M’, homotético del segundo, permanecen constantemente paralelas y guarden entre sí

una razón K (siempre en el mismo sentido o en el sentido contrario), ambos sistemas son

homotéticos.

Demostración.- Sean M y M’ homólogos. Unamos MM’. Si esta recta es paralela a OO’, el

cuadrilátero O'OMM' es un paralelogramo y M'O'OM = . En este caso ambos sistemas

derivan el uno del otro por medio de una traslación. En caso contrario, la recta MM’ corta

OO’ en un punto S que está fijo, es decir, que no depende de la elección de los puntos M,

M’, ese punto divide la recta OO’ (exteriormente si los segmentos OM, O’M’, van en el

mismo sentido, interiormente si van en el sentido contrario según la razón dada K, a causa

de la semejanza de los triángulos SOM, SO’M’. Por lo demás y a causa de esta misma

semejanza se tiene kOM

M'O'

SM

SM'== .

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Corolario.- Puede penarse un par de circunferencias como homotéticas de dos maneras

distintas.

En efecto, si O y O’ son los respectivos centros, los extremos M y M’ de dos rayos

homólogos paralelos y del mismo sentido satisfacen las condiciones del teorema y recorren

sendas figuras homotéticas directas; análogamente las extremidades M, M’ de dos radios

paralelos y de sentido contrario son los puntos homólogos de dos figuras homotéticas

inversas; en ambos casos la razón de semejanza es igual al cuociente de los radios. Dos

circunferencias poseen dos centros de homotecia (o de similitud) S y 1S , uno directo y el

otro inverso; ambos puntos dividen armónicamente la línea de los centros, la razón de la

división es el cuociente de los radios.

Los puntos de contacto de una tangente común exterior son homotéticos directos ya

que los radios de delimitan son paralelos y de igual sentido; análogamente los puntos de

contactos de una tangente común interior son homotéticos de sentido inverso.

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Ejemplo.- Sean 321 O ,O ,O , tres circunferencias no concéntricas de dos en dos ni del

mismo radio, Una aplicación del teorema de Menelao da de inmediato el siguiente

resultado:

Los centros de homotecia 231312 O ,O ,O yacen en línea recta. Por otro lado, si

llamamos 231312 O' ,O' ,O' a los centro de homotecia internos, una aplicación del Teorema

de Ceva muestra que, por ejemplo, 122313 O' ,O' ,O' son colineales (lo mismo que

231213 O' ,O' ,O' y 131223 O' ,O' ,O' )