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Lecciones sobre Derivadas Parciales - I. G. Petrovski [Con OCR]
I-2 Derivadas Por Definición
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U.G.M.A Derivada y Diferenciación Derivada por Definición Matemática II Prof. Luciano Alvarez [email protected] La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo). Derivada En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud. Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal.
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U.G.M.A Derivada y Diferenciacin Derivada por Definicin
Matemtica II Prof. Luciano Alvarez [email protected]
La derivada de la funcin en el punto
marcado equivale a la pendiente de la
recta tangente (la grfica de la funcin
est dibujada en negro; la tangente a la
curva est dibujada en rojo).
Derivada
En matemticas, la derivada de una funcin es una medida de la
rapidez con la que cambia el valor de dicha funcin matemtica,
segn cambie el valor de su variable independiente. La derivada de
una funcin es un concepto local, es decir, se calcula como
el lmite de la rapidez de cambio media de la funcin en un cierto
intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se toma cada vez ms pequeo. Por ello se habla del
valor de la derivada de una cierta funcin en un punto dado. En
trminos fsicos, representa la cuanta del cambio que se produce
sobre una magnitud.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una
funcin representa la posicin de un objeto con respecto al tiempo,
su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avin que realice
un vuelo transatlntico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750
km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la
ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de
800 km/h. Para conocer su velocidad instantnea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la
velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las
15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una funcin en un punto puede interpretarse geomtricamente, ya que se
corresponde con la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin en dicho punto. La recta
tangente es a su vez la grfica de la mejor aproximacin lineal de la funcin alrededor de dicho punto.
La nocin de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de ms de una variable con la
derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una funcin f en un punto x se denota como f(x). La funcin cuyo valor en cada
punto x es esta derivada es la llamada funcin derivada de f, denotada por f. El proceso de encontrar
la derivada de una funcin se denomina diferenciacin, y es una de las herramientas principales en el
rea de las matemticas conocida como clculo infinitesimal.
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U.G.M.A Derivada y Diferenciacin Derivada por Definicin
Matemtica II Prof. Luciano Alvarez [email protected]
Conceptos y aplicaciones
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del clculo infinitesimal. El otro
concepto es la antiderivada o integral ; ambos estn relacionados por el teorema fundamental del
clculo. A su vez, los dos conceptos centrales del clculo estn basados en el concepto de lmite, el
cual separa las matemticas previas, como el lgebra, la Trigonometra o la Geometra Analtica,
del Clculo. Quiz la derivada es el concepto ms importante del Clculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es
necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situacin. Es una
herramienta de clculo fundamental en los estudios de Fsica, Qumica y Biologa, o en ciencias
sociales como la Economa y la Sociologa. Por ejemplo, cuando se refiere a la grfica de dos
dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del grfico en el
punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el lmite cuando la distancia entre los
dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en
una recta tangente. Con esta interpretacin, pueden determinarse muchas propiedades geomtricas de
los grficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una funcin no
tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto
anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son
continuas y su grfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivacin.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables
linealmente.
Definicin de Derivada
Considerando la interpretacin geomtrica, podemos decir, que, la derivada es la pendiente de la recta
tangente a la grfica de una funcin. Una funcin que tiene una derivada se dice diferenciable.
Definicin:
Sea Y=f(x)
La derivada de y con respecto a x, es:
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U.G.M.A Derivada y Diferenciacin Derivada por Definicin
Matemtica II Prof. Luciano Alvarez [email protected]
Visualicemos grficamente una funcin cualquiera:
Donde ( ) ( ) ; y
( )
Por lo tanto, la definicin formal de la derivada
quedara, as:
( ) ( )
Ejemplo:
1. Calcular ( ) empleando la definicin de derivada
para ( )
Solucin:
( ) ( )
[( ) ( ) ] ( )
( )
( )
Por lo tanto la ( )=2x+1
Actividad:
Calcular
empleando la definicin de derivada de las siguientes funciones:
1. ( )
2. ( )
3. ( )
4. ( ) (
) 5. ( ) 6. ( )
y
x
y=f(x)
o
x
f(x)
x+x
f(x+x)
