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Artículo: COMEII-15058

I CONGRESO NACIONAL COMEII 2015

Reunión Anual de Riego y Drenaje

Jiutepec, Morelos, México, 23 y 24 de noviembre

APLICACIÓN SIMPLIFICADA DE LA FÓRMULA DE DARCY-WEISBACH A LOS

SISTEMAS DE RIEGO A PRESIÓN

Vicente Ángeles Montiel1

1Departamento de Irrigación, Universidad Autónoma Chapingo, km 38.5 carretera México-Texcoco, Chapingo,

Estado de México, C.P. 056230.

Resumen

Durante mucho tiempo, la fórmula de Darcy-Weisbach no se utilizó en la cuantificación de

la pérdida de carga por fricción en las tuberías con salidas múltiples en los sistemas de

riego a presión, debido fundamentalmente a la dificultad que implica computar el

coeficiente de fricción f en cada uno de los segmentos que las constituyen; dificultad que

se ve incrementada, cuando se desea determinar la pérdida de carga considerando el

caudal real de emisión en cada una de las salidas. Para vencer la primera parte de este

problema, se propone en esta investigación transformar la fórmula de Darcy-Weisbach

quedando solo en función de parámetros físicos y prescindiendo del coeficiente de fricción

f, la modificación involucra la estimación de la ordenada al origen y la pendiente de un

modelo lineal para cada caso bajo estudio y, así es posible resolver el problema planteado

sin necesidad de recurrir a soluciones paso a paso.

Palabras clave: pérdida de carga por fricción, factor de ajuste, salidas múltiples

I Congreso Nacional COMEII 2015, Jiutepec, Morelos, México, 23 y 24 de noviembre

1

Introducción

Las tuberías con salidas múltiples son ampliamente utilizadas en los sistemas de riego

presurizados como la aspersión, la microirrigación y las tuberías multicompuertas para

distribuir agua al interior de los predios de las zonas bajo riego. El estudio del

funcionamiento hidráulico de estas tuberías en la fase de diseño o evaluación de estos

sistemas, es clave para su desempeño.

Según Vallesquino (2004), los métodos para examinar el comportamiento hidráulico de

este tipo de tuberías se pueden agrupar en tres categorías a saber: el cálculo pasó a paso y

los modelos discretos o continuos alternativos a éste.

De los trabajos más citados en la literatura científica en el caso del método paso a paso,

que constituye la solución exacta al problema planteado, sobresale el presentado por

Hathoot et al (1993, 1994). En cuanto a los modelos discretos alternativos, prevalece por su

simplicidad el método del factor de ajuste o corrector, abordado por varios investigadores

como Christiansen (1942), Anwar (1999), Ángeles et al (2009), entre otros. En el campo de

los modelos continuos alternativos, destaca el método del gradiente de la línea de energía

publicado en diversas variantes, de las que se pueden citar, por mencionar algunas, la de

Wu y Gitlin (1975), Warrick y Yitayew (1988) y Valiantzas (1998).

La aplicación de las metodologías antes citadas (o cualquier otra que se utilice con el

mismo fin), hacen uso por un lado, de principios o leyes universales como la ecuación de

la energía y la ecuación de continuidad y, por otro, de fórmulas para computar la pérdida

de carga por fricción que se presenta en cada segmento de las tuberías referidas. En éste

último aspecto, la fórmula que cuantifica con mayor precisión la pérdida de carga por

fricción (por el marco teórico que la respalda) es la de Darcy-Weisbach; sin embargo, la

dificultad o cantidad de cálculo computacional que involucra el determinar el coeficiente

de fricción presente en ella, hace que se acuda a otras fórmulas para el cómputo de la

pérdida de carga por fricción (Hazen-Williams, Scobey, …) o, en el mejor de los casos, se

establezcan hipótesis simplificadoras que faciliten su uso.

Tratando de salvar la dificultad de la fórmula de Darcy-Weisbach antes señalada,

Vallesquino y Luque-Escamilla (2002) proponen calcular el coeficiente de fricción en

puntos estratégicos de la tubería con salidas múltiples y, posteriormente aplicando un

esquema de aproximaciones sucesivas basado en polinomios de Taylor, cuantificar la

pérdida de carga por fricción y los caudales emitidos en cada salida; por su parte,

Valiantzas (2005) modifica la fórmula de Darcy-Weisbach a una presentación potencial,

con la que determina el exponente del caudal que emplea en el factor de ajuste de

Christiansen para determinar la pérdida de carga por fricción y, a continuación se vale de

un parámetro α y el método de la línea de energía para cuantificar la carga de presión que

se presenta en cada salida.


2

En este trabajo de cambia la fórmula de Darcy-Weisbach de su presentación clásica a una

en términos de parámetros físicos que no incluye el coeficiente de fricción f y, así

cuantificar la pérdida de carga por fricción en la tubería con salidas múltiples, sin recurrir

al método paso a paso.

Materiales y métodos

Pérdida de carga por fricción en tuberías simples

La pérdida de carga por fricción en una tubería simple (Figura 1) sin salidas en toda su

longitud, se determina con la fórmula genérica siguiente:

LD

QKhf

n

m

(1)

donde hf es la pérdida de carga por fricción; K involucra un factor de conversión de

unidades y en algunos casos un coeficiente de rugosidad o fricción que depende de la

fórmula empleada para cuantificar hf (Manning, Hazen-Williams, Scobey, Darcy-

Weisbach, ....); Q caudal que circula en la tubería desde el inicio hasta el final de la misma;

D diámetro interno de la tubería; L longitud de la tubería; m y n exponentes del caudal y

del diámetro interno de la tubería, respectivamente.

Figura 1. Tubería simple.

Pérdida de carga por fricción en tuberías con salidas múltiples

El cálculo de la pérdida de carga por fricción en una tubería con salidas múltiples (Figura

2) requiere la determinación segmento a segmento, desde la última salida aguas abajo

hasta la primera aguas arriba, de la pérdida de carga por fricción provocada en cada uno

de ellos aplicando la fórmula 1.


3

Figura 2. Tubería con salidas múltiples.

Matemáticamente esto puede expresarse por la ecuación 2.

N

i

m

n

mN

in

mmN

in

mN

in

m

iN

i

iL iSD

qKS

D

iqKS

D

iqKS

D

QKhfhf

11111

(2)

donde hfL es la pérdida de carga por fricción en la tubería con salidas múltiples; N número

total de salidas; hfi es la pérdida de carga por fricción en cada uno de los segmentos que

constituyen la tubería con salidas múltiples; q es el caudal constante de cada una de las

salidas; S es la distancia constante entre dos salidas consecutivas y la distancia entre el

inicio de la tubería y la primera salida (figura 2).

El procedimiento general para determinar la pérdida de carga por fricción en una tubería

con salidas múltiples consta de dos etapas básicas: cálculo de la pérdida de carga por

fricción en una tubería simple y cómputo de un factor de ajuste.

Si se sustituyen las equivalencias q = Q/N y S = L/N en la ecuación 2, se da lugar a la

ecuación bien conocida de cálculo de la pérdida de carga por fricción en tuberías con

salidas múltiples.

N

i

m

mn

m

L iN

LD

QKhf

11

1 (3)

La ecuación 3 exhibe que la pérdida de carga por fricción en la tubería con salidas

múltiples, se puede determinar como el producto de la pérdida de carga por fricción en

una tubería simple transportando el caudal Q de todas las salidas en la longitud completa

L de la tubería y un factor de ajuste dado por

N

i

m

mi

N 11

1.


4

A lo largo de la historia se han buscado expresiones que eviten realizar la suma que

aparece en el factor de ajuste de la ecuación 3. Christiansen (1942) presentó la siguiente

expresión para el factor de ajuste por salidas múltiples de la ecuación 3.

21

116

1

2

1

1

11

N

m

Nmi

NF

N

i

m

m

(4)

Aunque es ampliamente aceptado que la fórmula de Darcy-Weisbach es la más

recomendada, dada su racionalidad y homogeneidad dimensional (Brown 2002), para

cuantificar la pérdida de carga por fricción en las tuberías simples; su uso ha estado

limitado en las tuberías con salidas múltiples a consecuencia de la dificultad que implica el

cómputo del factor de ajuste de pérdida de carga, en virtud de que el coeficiente de

fricción varía en cada segmento de la tubería; dicha fórmula, en términos del caudal que se

conduce en la tubería simple, es:

LD

Qfhf

5

2

1.12 (5)

donde hf resulta en m, f es el coeficiente de fricción, Q se expresa en m3 s-1, D y L en m.

Varias expresiones han sido propuestas para computar el coeficiente de fricción f en los

flujos laminar y turbulento (liso, de transición y rugoso). En condiciones de flujo laminar

(Re < 2000), el coeficiente de fricción f es estimado por la expresión de Poiseuille (Morris y

Wiggert 1972, Brown 2002) como:

Re

64f (6)

donde Re es el número de Reynolds, que en función del caudal Q viene dado por:

D

Q4Re (7)

donde ν es la viscosidad cinemática del agua en m2 s-1.

En flujo turbulento (Re > 4000) de transición el coeficiente de fricción f es estimado por la

expresión de Colebrook y White (1937), como:

f

D

f Re

51.2

7.3

/log2

1 (8)

donde ε es la rugosidad absoluta promedio de las paredes internas de la tubería en m.


5

Cuando ε→0 la expresión 8 estima el coeficiente f en flujo turbulento liso; en tanto que

cuando Re→∞, dicha expresión estima el coeficiente f en flujo turbulento rugoso.

La expresión de Colebrook-White tiene el inconveniente de que el coeficiente de fricción f

no aparece en forma explícita, y debe recurrirse a un esquema numérico (o a un

procedimiento iterativo) para resolverla. Es por esta razón, que varios investigadores han

propuesto aproximaciones explicitas alternas a la de Colebrook-White (con diferentes

grados de exactitud), para agilizar el cálculo de f. En este sentido, Sonnad y Goudar (2006)

presentan una forma alterna matemáticamente equivalente a la expresión de Colebrook-

White, en la que no son necesarios cálculos iterativos, que es válida en los intervalos 10-6≤

ε/D ≤5*10-2 y 4*103≤ Re ≤108 con un error porcentual máximo de 1% respecto de la

expresión de Colebrook-White en ε/D = 10-6, dada por:

1

Re4587.0ln8686.0

1

s

s

sf

Re4587.0lnRe124.0 D

s (9)

Blasius (1913) estableció una expresión válida en el intervalo 4 000 ≤ Re ≤ 80 000 para

determinar el coeficiente de fricción f en flujo turbulento liso que depende solo de Re:

25.0Re

3164.0f (10)

Keller y Bliesner (1990) utilizaron la expresión de Blasius para estimar el coeficiente de

fricción f en las tuberías que constituyen los sistemas de riego por microirrigación.

Guo y Julien (2003) proponen la siguiente expresión explicita para el coeficiente de fricción

f en flujo turbulento liso:

8

1

25.0 431000

Re1

Re

3164.0

f (11)

La expresión 11 presenta un mejor ajuste a los datos populares de Nikuradse y a datos

recientes obtenidos en la Universidad de Princeton en el intervalo 3*103 ≤ Re ≤ 3.5*107, que

la expresión clásica implícita de Prandtl para el flujo turbulento liso. Con la expresión 11

se puede ahorrar mucho tiempo de cómputo y evitar iteraciones en simulaciones

numéricas.


6

Cuando el flujo se presenta en la zona critica con 2000 < Re < 4000 se denomina flujo de

transición entre los flujos laminar y turbulento. Ajustándose a los datos de Nikuradse,

Cheng (2008) desarrollo una expresión explicita simple por interpolación para estimar el

factor de fricción f como:

1

TL fff

9

2720

Re1

1

(12)

donde fL es el coeficiente de fricción en flujo laminar, fT es el de flujo turbulento y α es un

factor de peso que indica la contribución del flujo laminar, en tanto que (1- α) representa el

tributo del flujo turbulento en el coeficiente de fricción del flujo de transición. En los

extremos, cuando α = 1 el flujo es laminar y cambia a turbulento cuando α = 0. En el caso

de que Re sea 2720 α adquiere el valor de 0.5, lo que implica que la contribución del flujo

laminar y turbulento son equivalentes ( TL fff ).

Simulaciones realizadas en ésta investigación en el intervalo 10-6≤ ε/D ≤5*10-2, mostraron

que si el exponente 9 que aparece en la expresión 12 se suplía por 16, el error absoluto

porcentual se conservaba inferior a 1% cuando se estimaban los valores de f en flujo

laminar con Re = 2000 y en flujo turbulento con Re = 4000, mediante las ecuaciones de

Poiseuille y Colebrook-White respectivamente. Así, la expresión para α que se recomienda

en éste trabajo es:

16

2720

Re1

1

(13)

Para simplificar el cálculo del coeficiente de fricción, Churchil (1977) presenta una

expresión que es válida en los flujos laminar, de transición y turbulento (liso, de transición

y rugoso) dada por:

12

1

5.1

121

Re

88

BAf

169.0

27.0Re

7ln457.2

DA

16

Re

37530

B (14)


7

En la Figura 3 se presenta el comportamiento de la ecuación de Poiseuille para flujo

laminar, la de Cheng modificada en esta investigación para flujo en transición, la de Guo y

Julien para flujo turbulento liso, la de Sonnad y Goudar para flujo turbulento de

transición-rugoso y la de Churchill para los flujos laminar-transicional-turbulento.

Figura 3. Coeficiente de fricción f en flujo laminar, de transición y turbulento.

El la figura 3 se aprecia que la expresión de Cheng (2008) para el flujo de transición en la

zona critica (estimando el valor de α con la ecuación 13), une favorablemente la recta que

representa al flujo laminar con las curvas que representan al flujo turbulento de transición-

rugoso y al flujo turbulento liso.

Respecto a la ecuación de Churchill se observa en la figura 3 que, mientras predice

adecuadamente el valor de f en flujo laminar; en el flujo de transición de la zona critica

muestra inconsistencia ya que en ocasiones subestima y en otras sobrestima el valor de f;

para el caso del flujo turbulento liso los valores de f en general son subestimados en tanto

que para el flujo turbulento de transición-rugoso son sobrestimados.

Por otro lado, Adiutori (2009) explica que f es un grupo adimensional como lo es el Re y,

que por lo tanto, la fórmula de Darcy-Weisbach no es una ecuación sino más bien una

definición. En este orden de ideas, sugiere que debiera relacionarse el comportamiento del

coeficiente de fricción f en función de parámetros físicos, para lo cual plantea que f se

despeje de la fórmula de Darcy-Weisbach, quedando como:


8

L

hf

Q

Dg

L

hf

Q

Df

2

52

2

5

81.12

(15)

De esta manera, para el caso del flujo laminar, si en la expresión 6 de Poiseuille se

sustituye la expresión 15 y la 7 del número de Reynolds, reordenando se llega a:

LD

Q

ghf

4

128

(16)

La fórmula 16 indica que para cuantificar la pérdida de carga por fricción en una tubería

simple con flujo laminar, se puede prescindir del coeficiente de fricción f.

En tanto que, para el flujo turbulento estableció los grupos

3

2Re5.0

Df

y

DRe

4, en

los cuales, al recurrir a las expresiones 7 y 14 llevan a las siguientes identidades:

L

hfg

Df

2

33

2Re5.0

(17)

QD

Re

4 (18)

Con las identidades 17 y 18 y considerando por separado el grupo de la rugosidad relativa

ε/D, elaboró una versión modificada del diagrama de Moody, con la cual se pueden

resolver los problemas tipo de tuberías simples (determinar hf, Q o D; conocidas las demás

variables de la fórmula de Darcy-Weisbach), sin recurrir a procesos iterativos.

En la determinación de la pérdida de carga por fricción en una tubería con salidas

múltiples la identidad relevante es la 16, con ella se elaboró la gráfica 2, explorando el

intervalo 10-6≤ ε/D ≤5*10-2 y 4*103≤ Re ≤108 en el que es válida la expresión de Colebrook-

White; para cada par de valores propuesto de ε/D y Re en los intervalos especificados para

cada uno, se obtenía el valor del coeficiente de fricción f con la expresión de Sonnad y

Goudar, con ello se tenía una terna de valores ε/D, Re y f a la cual se le aplicaba la

identidad 17.

Con la identidad 18 se pude seguir un procedimiento similar al de la 17, solo que los

valores resultantes se colocarían en el eje de las abscisas sustituyendo al número de Re en

la Figura 4, con lo que en ambos ejes se tendrían parámetros físicos en lugar de grupos

adimensionales.


9

Fig

ura 4. Comportamiento del grupo 0.5 f Re2 (ε/D)3 en función de Re.

El uso de la figura 4 para cuantificar la pérdida de carga por fricción en una tubería simple

con flujo laminar, de transición y turbulento, aplicando la identidad 16, hace posible

excluir el coeficiente de fricción f.

La tendencia lineal que se aprecia en la figura 4, sirve de base para el planteamiento

medular de esta investigación: “Conocidos dos puntos de alguna de las rectas en flujo

turbulento, se puede obtener su ecuación”. Por tanto, la pendiente y la ordenada al origen

del modelo lineal y = a + bx, se obtendrán como:

12

1

3

2

2

3

2

Re4

logRe4

log

Re5.0logRe5.0log

DD

Df

Df

b (19)

22

3

2 Re4

log)(Re5.0log

Db

Dfa (20)


10

La expresión 20 se puede plantear también con el par ordenado del punto 1.

Una vez que se conocen los parámetros a y b del modelo lineal, para computar el valor de

la pérdida de carga en una tubería simple, usando la identidad 17, se tiene:

Lg

hfy

3

210

(21)

Si se desglosa el parámetro 10y, utilizando la identidad 18, se llega a:

b

a

bQ

a

Qb

abxay Q

1010101010101010

loglog

(22)

Sustituyendo la expresión 22 en la 21, se arriba a la ecuación:

LQg

LQ

ghf b

b

baba

3

2

3

2 1010

(23)

La fórmula 23 revela que para cuantificar la pérdida de carga por fricción en una tubería

simple con flujo turbulento (conocido el modelo lineal), no es necesario f.

En cuanto al flujo de transición en la zona crítica, al examinar la Figura 4, se encuentra que

es apropiado ajustar una o dos rectas bajo el mismo esquema planteado para el flujo

turbulento para calcular la pérdida de carga por fricción.

Entonces, en esta investigación se establece que la ecuación 2 para el cálculo de la pérdida

de carga por fricción en una tubería con salidas múltiples con flujo turbulento o de

transición en la zona crítica, utilizando la fórmula de Darcy-Weisbach queda como:

N

i

bb

b

baN

i

b

b

baN

i

b

ib

baN

i

iL iSqg

Siqg

SQg

hfhf1

3

2

13

2

13

2

1

101010

(24)

Esta manera de presentar la fórmula de Darcy-Weisbach permitirá cuantificar la pérdida

de carga por fricción en una tubería con salidas múltiples con flujo turbulento o de

transición en la zona crítica, involucrando la variabilidad del coeficiente de fricción f en

cada segmento pero sin computarlo.

Es de esperar que los valores numéricos de las fórmulas 5 y 23 coincidan en magnitud en

los 2 puntos seleccionados para establecer el modelo lineal (en los demás puntos se hace

una estimación con la 23), dado que solo se está replanteando la fórmula de Darcy-

Weisbach de grupos adimensionales a parámetros físicos, es decir:


11

LQg

LD

Qfhf b

b

ba

3

2

5

2 10

1.12

(25)

Por ende, en el cálculo de hfL se puede aplicar fórmula de Darcy-Weisbach clásica en

combinación con su factor de ajuste, sólo que en éste habrá que sustituir el valor de m

igual a 2 por el de la pendiente de la recta ajustada b.

En la Figura 5 se ejemplifica el ajuste mediante rectas de algunas de las funciones de la

figura 4, en los tres tipos de flujo, para una rugosidad relativa ε/D de 0.001.

Figura 5. Ajuste mediante rectas del grupo 0.5 f Re2 (ε/D)3 en función de Re

En la figura 5, se visualiza lo siguiente:

En flujo laminar el ajuste es excelente; la pendiente de la recta fue de 1.

En flujo de transición en la zona crítica el ajuste observado es bueno, aunque pudiera

mejorarse si se ajustan 2 rectas; la pendiente de la recta resultó de 2.37.

En flujo turbulento de transición el ajuste es muy bueno debido a que se ajustaron 2

rectas; la pendiente para 4*103≤ Re ≤4*104 fue de 1.78 y para 4*104≤ Re ≤4*105 fue de

1.91.


12

En flujo turbulento rugoso, aplicando la relación de Rouse 200Re

Df

(Rouse

1943) para definir el intervalo del número de Reynolds en el cual se presenta este tipo

de flujo, se encontró una pendiente de la recta ajustada de 2.0.

Los ajustes cualitativos realizados, podrán ser cuantificados en aplicaciones concretas, a

través de computar el error absoluto porcentual máximo de los valores estimados por las

ecuaciones de las rectas respecto de los reales de las funciones de la figura 4. Además, se

señala que el valor de la pendiente de la recta ajustada en flujo laminar se corresponde con

el exponente del caudal de la fórmula 15 de Poiseuille; para flujo de transición de la zona

crítica y turbulento liso, los valores de pendiente ajustada difieren, el primero por exceso

y los segundos por defecto, del exponente del caudal m igual a 2 de la fórmula 5 de Darcy-

Weisbach.

A efecto de observar la variación de la pendiente de la recta ajustada, se presentan en la

Figura 6 los valores encontrados de b para el rango de rugosidades relativas y números de

Reynolds que cubre el flujo turbulento liso y de transición-rugoso.

Figura 6. Pendiente b de rectas ajustadas, en intervalos de Re dada ε/D.

Los resultados extremos de b encontrados (figura 6) corresponden al flujo turbulento liso

(del orden de 1.75) y al flujo turbulento rugoso (2.0).

Conclusiones

La modificación llevada a cabo en la expresión de Cheng, para estimar el valor del

coeficiente de fricción f en flujo de transición en la zona critica, mostró consistencia para

transitar del flujo laminar al turbulento en toda la gama de valores del número de

Reynolds y rugosidad relativa del diagrama de Moody.

Aunque en aplicaciones prácticas en el ámbito del riego, el impacto en el valor de la

pérdida de carga por fricción no es determinante al emplear una única expresión como la

de Churchill para cuantificar el coeficiente de fricción f en los flujos laminar, de transición


13

y turbulento; se sugiere utilizar la expresión de Poiseuille para flujo laminar, la de Cheng

modificada para el flujo de transición en la zona crítica, la de Guo y Julien para el flujo

turbulento liso y la Sonnad y Goudar para el flujo turbulento de transición y rugoso, dado

su mejor ajuste a datos experimentales según sus respectivos autores.

Los valores de f computados con la expresión de Blasius, sobrestima a aquellos calculados

con la expresión de Poiseuille y con la expresión de Cheng modificada en los intervalos del

número de Reynolds de 1187 a 2000 y de 2000 a 4000, respectivamente. Mientras que

cuando Re en inferior a 1187 los resultados se invierte.

Con base en lo expuesto por Adiutori, la fórmula de Darcy-Weisbach se modificó de

grupos adimensionales a parámetros físicos, ya que, una vez que se ha ajustado el modelo

lineal propuesto para un rango de número de Reynolds y una rugosidad relativa dados,

posibilita el cálculo de la pérdida de carga por fricción prescindiendo del coeficiente de

fricción f, labor que es de particular interés en el análisis de los sistemas de riego

presurizado. El valor de la pendiente del modelo lineal ajustado, que se corresponde con el

exponente del caudal en la fórmula de Darcy-Weisbach, fue de 1 en el flujo laminar, mayor

a 2 en el flujo de transición de la zona crítica y entre 1.75 y 2 para el flujo turbulento (liso,

de transición y rugoso).

Referencias Bibliográficas

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