I (grad(f)) • dfc =f(B) - f(A) - Universidad Nacional De ... · Sean Ci y C do2 s curvas suaves a...

Un conjunto S del plano se dice abierto si para cualquier punto A de S, existe un disco circular con centro en A y radio r>0, totalmente contenido en S.

Un conjunto S del espacio se dice abierto si para cualquier punto A de S, existe una esfera con centro en A y radio r>0 , totalmente contenida en S.

En la Figura 2.6 mostramos subconjuntos conexos del plano y en la Figura 2.7 mostramos un conjunto abierto NO CONEXO, del plano.

En el espacio, los sólidos encerrados por superficies esféricas, poliedros e inclusive un toro (la superficie de un neumático inflado) son conjuntos conexos.

El enunciado del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea es:

Sea f un campo escalar diferenciable con gradiente grad(f) continuo sobre un conjunto abierto conexo S del plano (o del espacio). Entonces para cualquier pareja de puntos A y B de S unidos por una curva lisa a trozos C de S, con parametrización B definida en el intervalo [a, b], tenemos que:

I (grad(f)) • dfc = f (B) - f (A)

"LA INTEGRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES

FIGURA 2.7 Si S es el conjunto formado por la reunión de las cuatro regiones sombreadas, entonces S es no conexo.

Un conjunto S del plano se dice abierto si para cualquier punto A de S, existe un disco circular con centro en A y radio r>0 , totalmente contenido en S.

Un conjunto S del espacio se dice abierto si para cualquier punto A de S, existe una esfera con centro en A y radio r>0, totalmente contenida en S.

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea es:

Sea f un campo escalar diferenciable con grádente grad(f) continuo sobre un conjunto abierto conexo S del plano (o del espacio). Entonces para cualquier pareja de puntos A y B de S unidos por una curva lisa a trozos C de S, con parametrización B definida en el intervalo [a, b], tenemos que:

I (grad(f)) • dfc =f(B) - f(A)

53

CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES REALES

Para demostrar este teorema introduzcamos una función h definida por:

y tomemos a la curva C lisa . Ahora por la regla de la cadena

la cual es continua en el intervalo abierto (a, b) porque grad(f) es continuo sobre S y C es lisa.

Si aplicamos el segundo teorema fundamental de Cálculo Integral en una variable obtenemos:

Aparentemente ya hemos demostrado completamente el teorema. Pero no, porque hasta ahora hemos tomado a C en el caso particular que sea lisa. Si C no es lisa pero es lisa a trozos, partamos el intervalo [a, b] en un número m de sub-intervalos [ t k . , , tk ] en cada uno de los cuales C sea lisa y apliquemos lo que acabamos de demostrar en cada

h(t) = f( ß(t)) con a < t <b ;

h'(t) = (grad(f (ß ( t ) ) ) • ß ' ( t ) ,

í h'(t) d t

= h(b)- h(a) = f( ß (b» - f (ß(a)) = f (B ) - f (A)

54

•LA INTEGRAI, DE LINEA TEOREMAS FUNDAMENTALES

subintervalo y cada trozo Ckde la curva, llegando a que

i ( g r a d ( f ) ) • dß • l i k = w c k

( g r a d ( f ) ) « d R

m = I ( f [ß ( t k ) ] - f [ ß ( t k - l ) ] )

k = 1 = f ( B ) - f ( A )

Una conclusión inmediata o corolario, es que

L ( g rad ( f ) ) • dß = 0

donde C es una curva cerrada lisa a trozos de S y S es un conjunto abierto conexo en donde grad(1) es continuo.

En otras palabras, el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea, nos dice que si AyB son puntos cualesquiera de un conjunto abierto conexo S y si un gradiente es continuo en S, entonces la integral de línea entre AyB, de ese gradiente es indepen-diente del camino escogido en S que una a A con B (en ese orden). Así el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea, nos muestra propiedades del gradiente, que no nos mostró el Cálculo Diferencial en Varias Variables .

Una conclusión inmediata o corolario, es que

I ( g r a d ( f ) ) • dlí =0

donde C es una curva cerrada lisa a trozos deSySes un conjunto abierto conexo en donde gradff) es conti-nuo.

El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea, nos dice que si AyB son puntos cualesquiera de un conjunto abierto conexo S y si un grádente es continuo en S, entonces la integra! de línea entre AyB, de ese gradiente es independiente del camino escogido en S que una a A con B.

Si un campo vectorial F cualquiera, continuo en su dominio, tiene la propiedad de que

J F • d& = 0

para toda curva cerrada C de la región donde F está definido, diremos que es un campo vectorial conservativo.

Si un campo vectorial F cualquiera, continuo en su dominio, tiene la propiedad de que

j F • d& = 0

para toda curva cerrada C de la región donde F está definido, diremos que es un campo' vectorial conservativo. De hecho por el segundo teorema fundamental de Cálculo para integrales de línea, si f es un campo escalar con grad(f) continuo en un conjunto abierto conexo S, entonces

grad(f ) es un campo vector ia l conservat ivo

De inmediato nos preguntamos:

¿Si F es un campo vectorial conservativo, F será el gradiente de algún campo escalar ?

Tenemos la esperanza de que la respuesta sea sí y en efecto es así.

Para probar esto, probemos primero que sí F es un campo vectorial conservativo en un conjunto abierto conexo S, entonces la integral de línea de F es independiente del camino en S. La integral de línea de F es independiente del camino en S, si para todo A y B en S

í F • dfc JA

es la misma para cualquier curva lisa a trozos C que junte a A con B.

Sean Ci y C2 dos curvas suaves a trozosN de S con los mismos extremos. Sea Q una parametrización de C, con dominio [a, b] y sea (3 una parametrización de C2 con dominio [c, d]

56

"LA INTEGRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES

Sea

r(t) = { ß(t ) , si a < t <b ß(b + d - t) , si b < t <b + d - c

donde r es la parametrización de una curva cerrada C de S que satisface:

J F • d r = j F • dO + J Je JCi Je

F • d r = I F • dO + F • dß leí Jcz

Como C es una curva cerrada de S y F es un campo conservativo en S, entonces

es decir,

j F • dr = 0

í F • dO - i F • dß = 0 , JCi Je2

¡ F • dO = í F • dß JCi Je? /Ci JCz

lo cual significa que la integral de línea de F es independiente del camino en S.

<rr

CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES REALES

Ahora demostremos que si la integral de línea de F es independiente del camino en S (conjunto abierto conexo), entonces F es el gradiente de algún campo escalar f definido en S. Está será una conclusión inmediata del siguiente teorema que se acostumbra a llamar Primer Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea, por su marcada analogía con el Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral, en una variable.

El enunciado del Primer Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea es:

Sea F un campo vectorial continuo en un conjunto abierto conexo S del plano (o del espacio) y tal que la integral de línea de F es independiente del camino en S. Sea A un punto fijo de S y sea f un campo escalar continuo, definido por la expresión

f (x ) = j F • dO

donde fi es la parametrización de una curva de S, suave a trozos, que une a A con X. Entonces el gradiente de f existe y

grad(f(X)) = F(X)

para todo X en S.

El enunciado del Primer Teorema Fundamental del Cál-culo para Integrales de Línea es:

Sea F un campo vectorial continuo en un conjunto abierto conexo S del plano (o del espacio) y tal que la integral de línea de Fes independiente del camino en S. Sea A un punto fijo de S y sea 1 un campo escalar continuo, definido por la expresión

f (x ) = j F • dO

donde íl es la parametrización de una curva de S, suave a trozos, que une a A con X. Entonces el gradiente de f existe y

grad(f(X)) = F(X)

para todo X en S.

Antes de demostrar este teorema resaltaremos el hecho de que con él se completa la prueba de quefíodo campo vectorial conservativo es un gradiente] La función cuyo gradiente ha de ser el campo conservativo F, es la función f dada por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea.

La demostración del Primer Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea consiste en mostrar que las derivadas parciales de f existen y son las componentes F1 y F2 (ó F1 ,F2 y F3) del campo vectorial F.

Llamemos B(X, r) a un círculo (o bola de R3) con centro en X y radio r, con un valor adecuado de r para que B(X, r) esté totalmente contenido (o contenida) en S. (S es abierto).

Si h es un número real tal que 0 < Ihl < r, entonces X + h i también estará en S y para analizar

| Í ( X ) dx

formemos el cociente

f ( X + h T ) - f (X) h

De acuerdo con la definición de f, tenemos que

f ( X + h i ) • í

X + h i F • dO f (x )

- í F • dü

1 A INTECiRAL DE LINEA - TEOREMAS FUNDAMENTALES

59

CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES KtALfcS

entonces

fX + h f f( X + h i ) - f (x) = j F • dO

para cualquier camino suave a trozos de S que une a X con X + h i , en particular esto será válido en el segmento de recta con extremos

X y X + h f y con parametrización

O(t) = X + t h l con 0 < t <1 , Así

0 ' ( t ) = h i y entonces

c - -f(X + h i) - f ( X ) = F(X + t h i) • h i dt Jo

= h í F(X + 1 h i) • Tdt , Jo

de lo cual obtenemos

n x + h ¡o - f ( x ) = r F ( x + t h ; ) , r d t ,

h Jo pero

60

F(X + t h i) • i = Fi(X + t h i) porque

F(X) = F i ( X ) í + F 2 ( X ) f

F(X) = Fi (X) ¡ +F 2 (X ) j +F 3 (X )k , con F-|, F2 y F3 campos escalares,

llamados componentes de F

Así

f ( x + h o - f ( x ) r F l ( x + t h r ) d t h Jo

Introduzcamos una nueva variable U en la integral: U = h t , dU = h d t , para obtener

f (x + h Q - f ( x ) = i í hF l ( x + ur)dü

h h J0

Sea g la función definida por

g ( t ) = Fi(X + U i) dU , Jo


61

con dominio el intervalo abierto (-r, r) para garantizar la existencia de la integral aprovechando que F es continuo en S.

Como

g ( h ) = í Fi(X + U i) dU , Jo

entonces

í Fi(X + U i) dU , f(X + h i) - f(X) = jo = g(h) - g(0)

h h h de donde

f ( X + h i ) - f (X) = g(h) - g(0) h h

tomando límite obtenemos

lim f(X + h i) - f(X) lim g(h) - g(0) h ^ O h h ^ O h

o

| L ( X ) = g'(0) dx

Como F es continuo en S, F i también es continuo en S y el Teorema Fundamental del Cálculo Integral en una variable nos garantiza que

g'(t) = Fi (X + 1 i)


entonces g'(0) = F1(X)

Como ya probamos que

òf (X) = g'(0)

dx se concluye que

| ^ ( X ) = F1(X) dx

Si el campo vectorial F es de R2 en R2 , se demuestra similarmente que

| Í ( X ) = F2(X)

Si el campo vectorial F es de R3 en R3 se demuestra también en forma similar que

~ ( X ) = F2(X) y | Í ( X ) = F3(X) dy dz

con lo cual se completa la demostración.

Aparentemente la hipótesis de que S sea un conjunto conexo no se utilizó en la demostración de los dos teoremas anteriores, pero esta apreciación es equivocada, porque sin la conexidad de S, no podemos garantizar la existencia de alguna curva suave a trozos en S, que comunique un par de puntos de S.

63


El Primer Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea completa la demostración de que todo campo vectorial conservativo F es un gradiente y se configurauna herramienta para mostrar cuando un campo vectorial cualquiera F no es un gradiente en un conjunto abierto conexo S, pues es suficiente encontrar una curva cerrada C de S alrededor de la cual

J F • d& * 0

porque así F no es un campo vectorial conservativo y por consiguiente no es un gradiente.

En nuestro curso de Cálculo Diferencial en Varias Variables se nos dió a conocer un teorema según el cual si F es un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto S de R2 y F es un gradiente entonces

D2F1(X) = D1F2(X) donde

F(X ) = F I ( X ) T + F 2 ( X ) j r . Este teorema no aporta nada a la solución del problema de determi-

nar si el campo vectorial Una herramienta para mostrar cuando un campo

vectorial cualquiera F no es un gradiente en un conjunto abierto conexo S, es encontrar una curva cerrada C de - y y y 7* S alrededor de la cual F ( X , y ) = — I + — - J

x¿ +y¿ x¿ +y¿

F • * 0 es, o no es un gradiente en el conjunto abierto 64


S = { (x,y) de R2 I (x, y) * (0, 0) }

porque a pesar de que °2Fi (X) = Di F2W p a r a todo X en S, no se puede concluir nada ya que la igualdad de esas derivadas parciales es una condición necesaria para que F sea un gradiente.

Pero ahora podemos recurrir a buscar una curva suave a trozos C de S alrededor de lo cual la integral de línea de F no sea cero. Una tal curva es la circunferencia C con parametrización

O(t) = c o s t i + sen t j , con 0 < t < 2 T T ,

porque

( cos2 t + sen2 t ) dt =2n.

Este último resultado nos permite concluir que

no es un gradiente en el conjunto

65


S = { (x,y) de R2 I (x, y) * (0, 0) } Nótese que este conjunto S es también un conjunto conexo del plano.

Pero no sería descabellado el siguiente argumento en contra de esta conclusión:

La función

a retan (y / x) , si x > 0 f ( x y ) . | n / 2 , si x = 0

V I TT + a retan (y / x) , si x <0

es una función potencial de F en S, porque

df -y . df _ x dx x 2 + y 2 dy x 2 + y 2

¿Cómo mostrar que este argumento es falso? La función f no es continua en los puntos de la forma (0,y0) para yo<0,

porque

< * , J Í W ( x ' y ) = x l V f ( x - y o )

= x ' ™ 0 + a r c t a n ( y 0 / x ) = -TÍ/2

66


( x , y o ) l l " o - ! y o ) f ( x , y ) = f ( x , y 0 )

= ( n + a r c t a n ( y 0 / x ) ) = 3 n / 2

f(0, yo) = tt/2 La discontinuidad de f en los puntos de la forma (0,y0) para y0 <0

hace que la derivada parcial con respecto a x no exista en esos puntos, por lo cual f no es función potencial de F en los puntos del eje y negativo.

Para todos los otros puntos del conjunto S, f es una función potencial de F, es decir,

g r a d ( f ) = F

para todos los puntos del conjunto

K = R 2 - { (x , y ) I x = 0 e y < 0 } .

El análisis de este problema muestra que la existencia de una función potencial depende no solamente del campo vectorial F sino que también depende del conjunto S en el cual esta definido el campo vectorial.

En la práctica pudimos utilizar el hecho de que la integral de línea al rededor de una curva cerrada de S no es nula, para mostrar que un campo vectorial NO ES CONSERVATIVO; pero a pesar de que si la integral de línea de un campo vectorial al rededor de toda curva cerrada de S es nula, es una condición suficiente para que el campo vectorial

La existencia de una función potencial depende no solamente del campo vectorial F sino que también de-pende del conjunto S en el cual esta definido el campo vectorial.

67

CALUULU irntüjKAL. EJN »AK1AS v AR1AD1.EO h e a l l o

sea CONSERVATIVO, en la mayoría de los casos, es prácticamente imposible calcular esa integral para TODAS las curvas cerradas de S .

Esto nos deja en la carencia de una condición suficiente para verificar que un campo vectorial F sea CONSERVATIVO en un dominio S de características especiales.

En realidad solo desconocemos las características especiales del dominio S en el cual para que el campo vectorial F sea CONSERVATIVO es suficiente que se satisfaga:

D2 f i (X) = D1 f2 (X)

Esas características especiales las da el concepto de CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO.

Un conjunto S del plano se dice SIM-PLEMENTE CONEXO, si para cualquier curva cerrada simple" C de S se satisface que todos los puntos interiores a C son puntos de S.

Intuitivamente S es simplemente conexo en el plano si S no tiene «aguje-ros».

Un conjunto S del espacio se dice SIMPLEMENTE CONEXO si para cual-quier curva cerrada simple Ó de S, se satisface que C se pueda «defomar con continuidad en S» hasta reducirla a un punto de S.

Un conjunto S del plano se dice SIMPLEMENTE CONEXO, si para cualquier curva cerrada simple * C de S se satisface que todos los puntos interiores a C son puntos de S.

Intuitivamente S es simplemente conexo en el plano si S no tiene «agujeros».

Un conjunto S del espacio se dice SIMPLEMENTE CONEXO si para cualquier curva cerrada simple C de S, se satisface que C se pueda «defomar con continuidad en S» hasta reducirla a un punto de S.

* Una curva C se dice cerrada simple si al trazar C termina por llegar al punto inicial, pero no pasa por otro punto dos veces.

68

LA INTEGRAL DE LINEA TEOREMAS FUNDAMENTALES

Como ilustración veamos los siguientes ejemplos:

51 = R 2 - { ( x , y ) I x = 0 plemente conexo .

52 = R 3 - { ( x , y , z ) I x = 0

Es simplemente conexo.

La carencia de condición suficiente para que un campo vectorial F sea CONSERVATIVO en un dominio S, la satisface, como seguramente lo intuye el lector, el siguiente teorema:

y = o } . No es sim-

e y = 0 ; z * 0 }

Si el campo vectorial

f U y ) = f i U y ) i + f 2 ( x , y ) j

satisface que:

D 2 f 1 ( x , y ) = D 1 f z ( x , y )

en su dominio S y S es simplemente conexo, entonces F es un campo vectorial CONSERVATIVO en S.

Este teorema lo demostraremos fácilmente como una aplicación del TEOREMA DE GREEN en la sección 3.12.

TEOREMA Si el campo vectorial

F(x,y) = f 1 ( x , y ) P + f 2{x,y)j

satisface que:

D 2f i ( x , y ) - D \f z ( x , y )

en su dominio S y S es simplemente conexo, entonces F es un campo vectorial CONSERVATIVO en S.

69


2.7 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA.

En forma análoga como calculamos el área de una sección de cilindro para motivar la definición de integral de línea de un campo escalar, se puede calcular la masa M, el centro de masa

( x, y ) ó ( x, y, z )

y el momento de inercia con respecto a una recta L, • L , de un alambre con densidad lineal, no necesariamente constante, descrita por un campo escalar Í3 definido sobre la curva C (del plano o del espacio) que le da la forma al alambre, para concluir que

M =J ß(x, y, z) ds

si la curva C está en el espacio;

M = | ß(x, y) ds

si la curva C está en el plano;

X = j - I x ß (x , y, z) ds M Je

4 4

ß(x, y, z ) ds

ß(x, y) ds

70

y = _L y B (x , y, z ) ds =

M {

= M l z &(x, y, z ) ds


M Íc

= M Í x fc(x, y ) ds

y &(x, y ) ds

si la curva C está en el plano,

d 2 ( x , y , z ) &(x, y, z ) ds •L

si la curva C está en el espacio y d(x, y, z) es la distancia de un punto cualquiera (x, y, z) de la curva C a la recta L,

I I = j ó2(x, y) &(x, y) ds

si la curva C está en el plano y d(x, y) es la distancia de un punto cualquiera (x,y) de la curva C a la recta L.

Si la recta L es el eje x, el eje y, o el eje z, los momentos de inercia se acostumbran a notar

lx, ly, I,, respectivamente.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA

r = J- x &(x, y, z ) d s = M i

=

M i

= M i

y &(x, y, z ) ds

z fc(x, y, z ) ds

x = JL x fc(x, y ) ds = M i = M i y = _L y & ( x , y ) d s

í c

d 2 ( x , y , z ) R(x, y, z ) ds C

2

- í d (x, y ) S (x , y ) ds

c

71


Si la densidad ß es constante

M = j ß d s = ß J ds = ß l

x = l | x ß d s = l | x d s = l | x d s M jc M Je 'Je

y = 1 j y ß ds = 1 yds = I yds Mjc ^ Je 'Je

z = l f z ß d s = M z ds = 1 | z ds

M je M Je 1 Je

x = J- x ds I Je y = 1 I y d S

72

Si la densidad Í3 es constante se obtiene los siguientes resultados interesantes:

1.

M = j ß d s = ß j d s = ß l donde I es la longitud de la curva C, de lo cual concluimos que

R = M. I

lo cual confirma la definición de densidad lineal.

= J - í x ß ds = - f x ds = 1 f x ds M Je M Je ¡Jc

y = = J _ j y ß d s = — Í y d s = — I y d s mJc m J c

y I Jc

z = j - Í z ß d s = - | z d s = l | z ds M Je M Jc 1 Jc


X = l x d S y = 1 j y d s 1

Jc 1

Jc

si la curva C está en el piano.


Cuando la densidad 8 es constante, el centro de masa

( x, y ) ó ( x, y, z )

se acostumbra a llamar centroide del alambre. Así que cuando se habla de calcular el centroide de un alambre se sobre entiende que 6 es constante. Por ejemplo, calculemos el centroide de un alambre semicircular de radio k.

Una parametrización de la curva C es en este caso

O ( t ) = ( K e o s t, K s e n t ) , 0 < t <TT

y II ü ' ( t ) II = k •

entonces

eos t d t = 0

Cuando la densidad fí es constante, el centro de masa

( x , y ) ó ( x, y, z ) sen t d t = 2 k/n

se acostumbra a llamar centroide del alambre

73

Así podemos decir que el centroide de un alambre semicircular de radio k esta sobre el eje de simetría y a una distancia 2k/n del centro.

Un ejemplo más general nos lo da el cálculo de la masa de un alambre con la forma de la circunferencia x2+y2=k2 y con densidad en un punto (x, y) dada por

R(x, y) = I x I + l y I

Utilizaremos para la circunferencia la parametrización O ( t ) = ( k eos t, k sen t ) , 0 < t <2TT

y entonces II O'(t) II = k

B(x, y) = I x I + l y I >2n

( I x I + l y I ) ds = I k2 ( I eos t I + I sen t I ) d t M = | ( I x I + I y I ) ds = j

, t t / 2

,2 ' = k | I ( c o s t + s e n t ) d t + | ( - e o s t + sen t ) d t L Jo Jtt/2

r 3tt/2 /-2tt _

( eos t + s e n t ) d t + I ( eos t - sen t ) dt jtt / 3 tt/ 2

= 8 k2

Vale la pena destacar que este ejemplo que acabamos de mostrar es equivalente (desde el punto de vista de la integral de línea que hay que calcular) al problema de calcular el área A de la sección del cilindro

x2+y2=k2 comprendida entre el plano z = 0 y la superficie z=l xl + I y I, ya que

A = ( I x I + ly f ) d s = 8 k2

C

Este hecho nos confirma la analogía entre el procedimiento para calcular la masa de un alambre y el procedimiento para calcular el área de una sección de cilindro, debiéndose llegar en ambos casos a una integral de línea de un campo escalar.

Veámoslo en un caso más general.

Si el alambre tiene la forma de la circunferencia x2+y2=k2 y con cualquier función densidad fl(x,y), entonces

con la parametrización

O(t) = ( k eos t, k sen t ) , 0 < t <TT tendremos

S(t) = II O'(u) lldu = k t

CALCULO INTEUKAL hN V AKIAS v a iuab les kcaluo

z

FIGURA 2.8 Sección del cilindro xs+y2=k? comprendida entre el plano 2=0 y la superficie z=lxl+lyl.

76

y ds = k d t

entonces

fz tt

M = í S(x, y) ds = f B ( f i ( t ) ) k d t JC Jo

• i 2 n

R(0(s /k ) )ds ,

porque si t=0, S =0 y si t=2n, S=2kn y si llamamos

F(s) = R ( 0 ( s / k »

se tiene que

Jo

2 kn F(s) ds

La gráfica de 3(x,y) y la circunferencia x2+y2=k2 están en un mismo cilindro. Si extendemos la superficie del cilindro sobre un plano coordenado haciendo coincidir la circunferencia en el eje horizontal con el intervalo [0,2kn] y si llamamos s al eje horizontal del plano coordenado, la gráfica de Í3(x, y) se convertirá en la gráfica de F(s) y entonces

2 k n

F(s) ds


es el área de la sección del cilindro x2+y2=k2 comprendida entre z = 0 y z = y )

Con la figuras 2.8 y 2.9 se ilustra este proceso para el caso en que

B(x, y ) = Ix I + l y I

y el alambre tenga la forma x2+y2=k2, cuya masa y área ya calculamos.

Figura 2.9 Resultado de extender en un plano la sección de cilindro mostrada en la figura 28. El área de esta región corresponde a la masa del alambre si B es

la densidad.


2.8 EJERCICIOS

1. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas

• F(x,y,z) = xí+ yj + zk

al actuar sobre una partícula que se mueve a lo largo del segmento de recta cuyos extremos son los puntos (0,0,0) y (1,1,1).

2. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas

• • - » F(x,y,z) = xi + yj + zk

al actuar sobre una partícula que se mueve a lo largo de la parábola

y = x 2 , z= 2, desde x = -2 hasta x = 2.

3. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x,y) = xn í + yn J

al actuar sobre una partícula que da una vuelta completa a la elipse

a2 b2 en sentido antihorario.

78

4. Plantee la integral de línea que habría que calcular (no intente hacer ese cálculo) para encontrar la longitud de la curva C obtenida de la intersección del cilindro circular recto x2 + y2 = 4 c o n e | p | a n o z=2y.

5. Calcule el área de la superficie del cilindro circular recto x2 + y2 = 4 comprendida entre los planos z=y; z=3y.

6. Un cilindro circular de radio 5 cms. contiene al centro de una esfera de radio 10 cms. (el centro de la esfera está en la superficie del cilindro). Hallar el área de la parte del cilindro que está dentro de la esfera. 7. Calcule la masa y el centro de masa, del alambre que tiene la forma de la circunferencia del plano que pasa por los puntos (1 ,-1), (1,1) y (3,-3) y con función densidad

B(x,y) = 1 + x2 + y2

8. Calcule el centroide del alambre que tiene la forma de la circunferen-cia del plano que pasa por los puntos (1,-1), (1,1) y (3,-3).

9. Calcule el centroide del alambre que tiene la forma del triángulo con vértices (-5,0,1), (0,2,0) y (5,-2,-1). Resuelva el problema utilizando los conceptos de este capítulo y también utilizando un método geométrico. Compare los resultados. ¿ Cuál de estos dos métodos prefiere usted?

10. Calcule el momento de inercia del alambre que tiene la forma del rectángulo con vértices (1,0), (0,1), (-3,-2) y (-2,-3), con respecto a la recta y=x y con una densidad constante.

11. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la pregunta: ¿Es conexo el conjunto S de los puntos (x, y) del plano que satisfacen las condiciones:

(i) l x + 2 I + ly - 1 I < 2

(i¡) (x, y) no está en el segmento de recta cuyos extremos son (-4,1) y (0,1)?

12. Elabore un argumento intuitivo para defender su determinación de cuáles conjuntos de los mostrados en la figura 2.6 son simplemente conexos y cuáles no.

13. Elabore un argumento intuitivo para defender su determinación dé cuáles de los conjuntos descritos a continuación son simplemente conexos y cuáles no:

S! = R3 - { (x,y,z) I x = 0, y = 0, z = 0 }

52 = R3 - { (x,y,z) I x = 0, y = 0, z en R }

53 = R3 - { (x,y,z) I x = 0, y = 0, z < 0 }

14. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la pregunta: ¿Es simplemente conexo el conjunto S mostrado en la figura 2.7?

15. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la pregunta: ¿Es simplemente conexo el conjunto S de los puntos (x, y) del plano que satisfacen las condiciones:

(i) El máximo de { I x - 1 I, I y -1 I } es menor que 1. (ii) (x, y) no está en el segmento de recta cuyos extremos son (1,1) y (2,2)? '

16. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la pregunta: ¿Es simplemente conexo el conjunto S de los puntos (x, y) del plano que satisfacen las condiciones:

LA INTEGRAL DE LINEA - EJERCICIOS-

(j) IX + 21 + I y -1 I < 2.

(ii) (x, y) no está en el segmento de recta cuyos extremos son (-3,1) y (-1,1)?

17. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la pregunta: ¿ Es simplemente conexo el conjunto S de los puntos (x, y,z) del espacio que satisfacen las condiciones:

(i) El máximo de { I x - 1 I , l y - 1 1 , I z - 1 I > es menor que 1.

(ii) (x, y, z) no está en el segmento de recta cuyos extremos son: (0,0,0) y (2,2,2)?

18. Elabore un argumento intuitivo para defender su respuesta a la pregunta: ¿ Es simplemente conexo el conjunto S de los puntos (x, y,z) del espacio que satisfacen las condiciones:

(i) I x + 2 I + I y - 1 I + I z I < 2. (ii) (x, y, z) no está en el segmento de recta cuyos extremos son: (-3,1,0) y (-1,1.0)?

1.9. Elabore un argumento intuitivo para defender o contradecir la siguiente proposición:

«Todo subconjunto del plano que sea simplemente conexo será tam-bién simplemente conexo al considerarlo como subconjunto del espacio.»

20. Redacte la proposición contraria de la dada en el ejercicio anterior y repita el ejercicio.

21. Al finalizar la sección 2.6 se nos dio a conocer el siguiente teorema:

81


«Si el campo vectorial

F (x, y) = f 1 (x, y ) /' +

satisface que D zf i (x, y ) = D

en su dominio SyS es simplemente conexo, entonces Fes un campo vectorial CONSERVATIVO en S.»

Redacte el teorema correspondiente para cuando el conjunto S está en el espacio y el campo vectorial F es de R3 en R3 .

22. ¿En cuáles de estos conjuntos S i = R3 - { (x,y,z) lx = 0,y = 0, z = 0 }

52 = R3 - { (x,y,z) I x = 0, y = 0, z en R }

53 = R3 - { (x,y,z) lx = 0, y = 0, z < 0 }

será conservativo el campo vectorial.

F(x,y,z) =

= 4 í + _ l j + ? k x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z2 x2 + y2 + z 2

23. La fuerza gravitatoria que ejerce la tierra, colocada en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, sobre una partícula en el

f 2 ( x , y ) y

2(x, y )

82

LA INTEGRAL DE LINEA - EJERCICIOS

punto (x,y) es:

F(x, y) = - (X ' y )

II (x, y) II3

Calcular el trabajo total efectuado por F si la partícula

(a) Va desde el punto (2,0) al punto (0,1) según el tramo del primer cuadrante de la elipse

x 2 + 4 y 2 = 4

(b) Va desde el punto (2,0) al punto (0,1) según el segmento de recta cuyos extremos son esos dos puntos.

(c) Recorre toda la elipse

x 2 + 4 y 2 = 4

83

3. INTEGRALES MULTIPLES

En el Capítulo 2 extendimos el concepto de integral definida al concepto de integral de línea, tomando como dominio de la función a integrar, una curva lisa a trozos del plano. Ahora nos proponemos otra extensión del concepto de integral definida, tomando como dominio de la función una región del plano, en cuyo caso hablaremos de integral doble, o una región del espacio, en cuyo caso hablaremos de integral triple.

3.1. INTEGRAL DOBLE

Para ver de una manera natural el concepto de integral doble tratemos primero un caso particular de integral doble: el que aparece al calcular el volumen de un sólido del espacio con base rectangular apoyada en el plano-xy, mencionado en el Capítulo 1.

INTEGRALES MULTIPLES - VOLUMEN DE UN SOLIDO DEL ESPACIO

3.2. VOLUMEN DE UN SOLIDO DEL ESPACIO CON BASE RECTANGULAR APOYADA EN EL PLANO-XY.

Tomemos un sólido S del espacio delimitado en el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales xyz, por las siguientes su-perficies:

x = a; x = b; y = c; y = d; z = 0 y z = f(x, y),

donde a, b, c y d son constantes reales tales que a < b; c < d y f es un campo escalar continuo en el rectángulo

R = [ a , b ] x [c, d ]

Y además f (x, y) a 0 para todo (x, y) en el rectángulo R. La figura 3.1 muestra uno de esos sólidos S que hemos descrito.

De acuerdo con esta descripción podemos decir que

S = {(x,y,z) I (x,y) e s t á e n R y O s z s f(x,y) >

por lo cual S también se le llama conjunto de ordenadas de f sobre R.

El volumen V de ese sólido S se puede calcular de varias formas, una de las cuales es la siguiente:

/ • .•;• .•;• .•;• .•;• .•;• .•;• .•;• .•;•

X

FIGURA 3.1 Un sólido S del espacio delimitado por las

superficies x=a; x-b,y=c y=d; z=Oyz=f(x,y).

Su base es rectangular y está apoyada en el plano xy

S= {(x,y,z) I(x,y) estáenRyOszsf(x,y)}

S también se le llama conjunto de ordenadas de f sobre R.


z-U*.y) Si cortamos el sólido S con un plano paralelo al plano-yz y que corta al intervalo [ a, b ] en un punto x fijo, obtenemos una sección de S, llamémosla T(x) cuya área es:

A(x) = | f(x,y)dy

FGURA 3.2 Sección T(x) del sólido S.

El área de T(x) es

i f(x,y) dy

V(S) -ílí f (x,y) dy dx

La figura 3.2 muestra la sección T(x) de S.

A(x) define así una función de la variable x, que es integrable en el intervalo

[ a, b ] y tal que

Además

í

i

A(x) dx =

r»>

| f(x,y)dy dx

A(x)dx = V(S) (Volumen de S )

Como ya lo aprendimos en nuestro curso de Cálculo Integral en una Variable.

Así que

V(S) = | | f (x.y) dy dx

88

INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE REGIONES MAS G E N E R A L E S

3.3.DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE UN RECTANGULO

En la sección 3.2 encontramos que el volumen del sólido S mostrado en la figura 3.1 es:

A la secuencia de esas dos integrales, de la dérecha, cuando existe, se le llama integral doble de f sobre R =' [a,b] x [c, d].

Más generalmente, si f es un campo escalar definido y continuo en un rectángulo R=[a,b]x[c, d], definimos como integral doble de f sobre R, a la secuencia de integrales (o integrales iteradas)

f(x,y)dy dx

d x Si f es un campo escalar definido y continuo en un rectángulo R = [a,b] x [c, d], definimos como integral doble de f sobre R, a la secuencia de integrales (o integrales iteradas) V lo notaremos con el símbolo (Notación de Leibniz)

R

f(x,y) dxdy f (x,y )dy dx

89

(JAUJUIAJ 1IN 1 ttjKAL EJN V AKlrtí V ftRlrtDLCO

í ( r \c I I f (x, y) dx dy = f(x,y)dy dx * * /I R L'® J

90

Otras formas de notación para la integral doble son las siguientes:

f f(x, y) dA . i" í df ( x y ) d x d y ; / / f

R Ja Je R

Los libros rusos usan la notación

JJf(x,y) dx dy = J d x j f(x,y)dy

Otros textos notan la integral

JJf(x,y)dxdyasf:JJf(x,y)dA R R

y en esta notación "dA" es el diferencial de área y se calcula en el sistema de coordenadas más cómodo según la geometría del proble-ma. Es decir,

í í í b f d

J J f (x, y) dx dy = J f(x.y)dy dx

R

Para ilustrar el manejo de este nuevo concepto, calculemos el volumen del sólido S delimitado por las superficies:

x = 1 ; x = -1 ; y = 1 ; y = -1 ; z = 0 y z = 2 - x 2 - y 2

R ={ (x,y) tales que I X I £ 1, i y i * i > .

INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE UN RECTANGULO

Para estos valores de x y y, 2 - x 2 - y 2 » 0 , entonces

V(S) = (2 - x 2 - y 2) dx dy

(2 - x 2 - y 2) dy

= / , [ 2 y - x 2 y 4 l - ,

dx

dx

-1 10 - 2 x2

3 dx =

3

Z=2-X2-Y2

La figura 3.3 muestra el sólido S al cual le calculamos el volumen utilizando una integral doble.

Para que la integral doble de f sobre R, corresponda al volumen del conjunto S de ordenadas de f sobre R, es necesario que

f (x, y ) s 0 para todo (x , y) en R.

Un caso en el cual la integral doble no corresponde al volumen del conjunto S de ordenadas, es el siguiente:

FIGURA 3.3 Sólido S delimitado por los planos

x=1; X=-1; y=1; y=-1; z=0 z=2- rf-f (Paraboloide)

91

f ( x, y) = sen y definida en R = [0,1] x [O, 2nJ

= 0jv(s)=4

este caso y más adelante en

|seny| dxdy = V(S)

R La razón es: El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual

a cero.

En nuestra definición de integral doble hemos condicionado al campo escalar f a que sea continuo en el rectángulo R = [a,b] x [c, d]. La definición misma de la integral doble no requiere que el campo escalar f sea continuo en R, sin embargo para asegurarnos de que la integral doble exista se ha puesto ese condicionamiento.

Todos los pasos de la demostración del hecho de que la integral doble de un campo escalar f continuo en un rectángulo R de la forma [a,b] x [c, d] siempre existe, no los vamos a detallar y justificar completamente porque tendríamos que introducir conceptos más ele-vados del análisis diferencial en varias variables,* pero sí indicaremos los pasos fundamentales a continuación.

II (sen y )dx dy

R Como se puede verificar fácilmente en

forma general,

* Los conceptos de análisis diferencial que no podemos tratar por estar fuera del contexto, son los de conjunto compacto y continuidad uniforme.

INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE UN RECTANGULO

Nuestra definición establece que

f (x ,y) dx dy = - í l í f (x,y) dy dx

Para x fijo la función f (x, y) es continua en el intervalo [c, d] y como ya lo aprendimos en nuestro curso de Cálculo Integral en una Variable

í f (x,y) dy existe

Si llamamos A(x) a la integral anterior, A(x) define una función en el intervalo [a,b] así

• r A(x) = | f (x,y) dy

Veamos ahora que esta función es continua en [a,b]. En efecto como f es continua en R = [a,b] x [c, d] y R es un conjunto compacto de R2-entonces f es uniformemente continua en R y por consiguiente

0 £ IA (x + h ) - A (x) I = f ( f ( x + h , y ) - f ( x , y ) ) d y

i £ | f ( x + h , y ) - f ( x , y ) | d y .<>.' si h—0

93


luego entonces

hÜH!0 A ( x + h ) = A(x)

Así como A(x) es continua en [a,b] entonces

,b fb íd

A(x) dx = I f(x,y)dy dx Ja Ja Je

94

INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE REGIONES MAS GENERALES

3.4.DEFINICION DE INTEGRAL DOBLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE REGIONES MAS GENERALES

En la Sección 3.3 definimos la integral doble de campos definidos y continuos sobre rectángulos de la forma [a, b]x[c, dj. Utilizando esa misma definición extenderemos la definición a regiones más generales.

En la sección 2.6, se introdujo el concepto de conjunto abierto del plano. Ahora introduciremos el concepto de conjunto cerrado del plano y el concepto de región acotada del plano.

Un conjunto Q del plano se dice cerrado, si su complemento con respecto al plano, es un conjunto abierto.

Una región Q del plano se dice acotada si Q se puede inscribir en un rectángulo R de la forma [a, b]x[c, d]para a, b, cyd números reales.

Diremos que Q es una región cerrada y acotada del plano, si Q es un conjunto cerrado del plano y Q es una región acotada del plano.

Con estos nuevos conceptos definiremos la integral doble para regiones cerradas y acotadas del plano.

Sea f un campo escalar definido y continuo en una región Q cerrada y acotada del plano. Como Q se puede inscribir en un rectángulo R de la forma [a, b]x[c, d], para utilizar la definición de integral doble dada en la Sección 3.3 definiremos una función F cuyo dominio es el rectángulo

Un conjunto Q del plano se dice cerrado, si su complemento con respecto al plano, es un conjunto abierto.

Una región Q del plano se dice acotada si Q se puede inscribir en un rectángulo R de la forma [a, b]x[c, d] para a, b, cyd números reales.

Diremos que Q es una región cerrada y acotada del plano, si Q es un conjunto cerrado del plano y Q es una región acotada del plano.

95

R y tal que F(x, y)=f(x, y) si (x, y) está en Q, es decir F y f son la misma en Q, y F (x, y) = 0, si (x, y) está en R pero no está en Q, es decir,

F (x, y) = (x, y ) , si (x,y) está en Q

0, si (x, y) está en R - Q

Si F(x, y) = 0 fuera de Q es evidente que el volumen del conjunto de ordenadas sobre Q de f es igual al volumen del conjunto de ordenadas de F sobre R, hecho que explica la definición de F y la siguiente definición de integral doble de f sobre Q:

II f (K y ) dx dy = F (x, y) dxd y

Q R

• f fí F(x,y )dy M ' [ í F (x ,y ) d x dy

Pero la existencia de la integral

F (x,y) dx dy

sólo estaría garantizada si F es continua en R, es decir,

lim f(x,y) = 0 ( x , y ) (xJJ.VQ)


en todos los puntos (xo-Yo) de la frontera de Q.

Para ver por otro lado, que la existencia de la integral doble sobre R de F está garantizada y de paso encontrar una forma de calcularla en términos de la función f,repartamos las regiones Q cerradas y acotadas del plano en tres clases.

Diremos que una región Q cerrada y acotada del plano es de la clase I, sí

Q={(x, y ) tales que a-s x¡s b y y i(x ) ¡s y<. y 2(x ) >

para ayb números reales y V 1 y V 2 funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b], diferenciales en el intervalo abierto (a,b) y que satisfacen la desigualdad

(P l(* ) S <P 2(* )

La figura 3.4 muestra una región Q cerrada y acotada del plano de la clase I. Como se ve, el rectángulo circunscrito es R = [a, b]x[c, d] donde cyd son los valores mínimo y máximo de V i y <P 2 respectivamente.

Para un valor x fijo del intervalo [a,b], la recta vertical que pasa por x, intersecta a la región Q en el segmento de extremos (x, <p,(x)), (x, (^(x)) y entonces

j F(x,y)dy

/<pi(x) /<P2(X) f d

F(x, y) dy + F(x, y) dy + F(x, y) dy Je )<pi(X) J<P2(X)

/•<P2(X) f(x, y) dy '<Pi(x)

i Y i

d / /y=(f2 (x)

JÉlíx, "Pj (X) / / V-

"Pj (X) ÍJ H af ¡id. H m é&iíí i •rtt j f iM Ltl Lfefcí ismau -ti '11 JLLL £ a mM if3 jip- i Í:J£: tt í b w tt mi ad a: •i w •"•"•eij jr

n a : fp i ad a: •i w •"•"•eij jr TJT t-tt y

/ (x)

c

FIGURA 3.4 Región O cerrada y acortada del plano,

de la clase I

Diremos que una región Q cerrada y acotada del plano es de la clase I, 'si

Q={(x,y)talesquea*x*b y q>i(x)sys<p ¿x))

para a y b números reales y f l / <P 2 fun-ciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] , diferenciales en el intervalo abierto (a,b) y que satis-facen la desigualdad

<P 1(* ) S <p 2(X )

97


FIGURA 3.5 Región Q cerrada y acotada de la clase II.

j j 1 (x, y ) dx dy = f f F (x, y ) dx d y

f í F(x,y )dy dx • f f í t<K») f(x,y)dy dx

Diremos que una región Q cerrada y acotada del plano es de la dase II si

Q={(X y ) tales que c s y*d y <p i(y )s x s q> ¿y )}

para c y d números reales y 1 ^ ^ 2

funciones continuas en el intervalo cerrado [c, d], diferenciables en el intervalo abierto (c, d) y que satisfacen la desigualdad

<P i(y ) ^ <P 2(y ) para todo y en [c, d].

Por lo que, entonces

f (x, y ) dx dy = I I F (x, y ) dx d y

Q R

= i (í F (x ,y ) d y dx f b r /q)2(x)

= Ja /cpi(x)

f(x, y) dy dx

Este último resultado garantiza la existencia de la integral. Eviden-temente el orden de integración (por dentro con respecto a y y por fuera con respecto a x) no es indiferente.

Diremos que una región Q cerrada y acotada del plano es de la clase II si

Q={{x, y ) tales que c s y s d y <p ^y ) £ x s; cp 2(y ) >

para cyd números reales y V 1 y *P 2 funciones continuas en el intervalo cerrado [c, d], diferenciables en el intervalo abierto (c, d) y que satisfacen la desigualdad

(P 1 (y ) * <P 2{y ) para todo y en [c, dj.

La figura 3.5 muestra una región Q cerrada y acotada del plano de la clase II. Como se ve, el rectángulo circunscrito es R = [a, b]x[c, d] donde a y b son los valores mínimo y máximo de o, y 02 respectiva-mente.

98


Para un valor y fijo del intervalo [c, d], la recta horizontal que pasa por y intersecta a la región Q en un segmento de extremos (q>i(y). y ) . (<P2(y). y) y entonces

í F(x, y) dx

• í

<pi(y) /-<P2(y) rb F(x, y) dx + F(x, y) dx + F(x, y) dx

j<pi(y) J tp2(y)

r<P2(y) =

Api(y) f(x, y) dx

Por lo cual

f (x, y ) dx dy = I F (x, y ) dx d y

Q R

• [ [í F(x,y ) d x fd \ f<P2(x)

d y = f(x, y) dx Je Api(y)

dy

Resultado éste que garantiza la existencia de la integral y en el cual se ve claramente el qué orden de integración (por dentro con respecto a x y por fuera con respecto a y) no es indiferente.

f(x,y)dxdy = f f F ) R

f [ i > " H [ C «

(x, y) dx d y

dy

99

CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VAKlABLbS KtALtlS

FIGURA 3.6 La región Q es una región cerrada y acotadala

clase III

Diremos que una región cerrada y acotada del plano Q, es de la clase III si no es de la dase I y no es de la dase II.

100

Diremos que una región cerrada y acotada del plano Q, es de la clase III si no es de la clase I y no es de la clase II.

La figura 3.6 muestra una región cerrada y acotada del plano de la clase III.

A pesar de la complejidad de la región mostrada de la figura 3.6 se puede apreciar que se puede partir en un número finito de regiones de la clase I o de la clase II. En general, la mayoría de las regiones de clase III se pueden partir en un número finito de regiones de la clase I o de la clase II. (Ver ejercicios).

Para calcular la integral

f (x, y ) dx dy

Q

cuando Q es una región de la clase III, partimos la región Q en el menor número posible de regiones de la clase I o clase II, calculamos la integral en cada una de esas sub-regiones y luego sumamos.

Algunas regiones cerradas y acotadas del plano son de clase I y clase II, por ejemplo las regiones encerradas por circunferencias, elipses o regiones rectangulares de la forma R = [a, b]x[c, d] para a, b, c y d de números reales. En estas regiones que son de clase I y clase II, el orden de integración es indiferente.

Para ilustrar la forma de calcular integrales dobles de campos escalares continuos definidos en regiones cerradas y acotadas del plano, no necesariamente rectangulares, calculemos la integral doble de un campo escalar definido sobre una región de clase III, la cual partiremos en regiones de clase I o clase II.


La región poligonal Q con vértices (0,0), (6,0), (2,2), y (0,6) que mostramos en la figura 3.7 es una región cerrada y acotada del plano de la clase III, pero la podemos partir en dos regiones triangulares T de vértices (0,0), (2,2) y (0,6), la cual es de clase I y S de vértices (0,0), (2,2) y (6,0), la cual es de clase II. La función

f(x, y) = x2 + y2

es un campo escalar continuo sobre Q, entonces

II f (x, y ) dx dy =

f f 1 (x, y ) dx dy + f f f ( x , y ) d x d y

T S

= f f ( x 2 + y 2 ) dx dy + f f ( x 2 + y 2 ) d x d y

FIGURA 3.7 Esta región O del plano, es de clase III y la parti-

mos en dos, una de clase I, T, y otra de clase II, S.

- í l í r -2x+6

( x 2 + y 2 ) dy f l í 2 r- 2 y + 6

dx + | | ( x 2 + y 2 ) dx y

dy

= 112

101


Algunas regiones de clase I no son de clase II, y viceversa. Pero si una región es de clase I y no es de clase II, la podemos partir en un número finito de regiones de clase II, haciéndose posible que en el cálculo de la integral doble se cambie el orden de integración. Por ejemplo al calcular la integral doble de un campo escalar positivo f, sobre una región Q se obtuvo

Í4 ç 4x - X 2

2 / 2x - 8

f(x, y) dy dx

De la secuencia dé integrales deducimos que la región Q es la que muestra la figura 3.8, región de clase I. Si deseamos cambiar el orden de integración, como Q no es de clase II, la partimos en dos regiones de clase II: S y T y expresamos esa integral doble así:

FIGURA 3.8 La región Qesde clase I pero no es de clase II.

Se puede partir en dos regiones SyT de clase II.

i: [í (y +8)/2

f(x,y) dx dy + [ I 2+Y4 - y f(x, y) dx

f 2 - Y 4 - y dy

102

INTEGRALES MULTIPLES - ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

3.5. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

Como la integral doble de funciones continuas la hemos definido en términos de dos integrales ordinarias, es natural que satisfaga algunas propiedades de las integrales ordinarias. Enunciemos algunas de ellas. Las demostraciones de estas propiedades están basadas en las correspondientes para integrales ordinarias.

1. Linealidad de la integral doble

Si f y g son dos campos escalares definidos y continuos en una región Q cerrada y acotada del plano, a, b son números reales, entonces

II <a , + b g ) = a g

j f ( af + bg ) = a J j , + b / j 2. Aditividad con respecto a la región de integración

Si f es un campo escalar definido y continuo en una región Q cerrada y acotada del plano y Q1.Q2. - - .Qk

IOS


i < i

Q > / V Q / f

^ V

FIGURA 3.9 Región Q cerrada y acotada delplano partida en k

regiones. La integral doble sobre Q de fes la suma de las integrales dobles de f sobre

Q„ Q, ...Qk

son k regiones del plano tales que: Q = Ch U Q 2 U . . . U Qk

o o o Y además si Q1.Q2 Qk

representan a los puntos interiores de Qi- Q2. • • • . Qk

y son tales que

entonces

II f +

Qi

o o Q¡ n Qj = <t>, para i * j

i, j = 1, 2 k

II Q2 Qk

f =

Q

f (X, y) dx dy s I I g (x, y) dx dy O O

II

En la figura 3.9 mostramos las condiciones de Q1. Q2 Qk para que se satisfaga esta propiedad.

3. Teorema de Comparación

Si f y g son campos escalares definidos y continuos en una región Q acotada del plano, tales que f(x, y) < g(x, y) en la región Q, entonces

f (X, y) d x dy , f I g (x, y) dx dy

Q

104

INTEGRALES MULTIPLES - LA INTEGRAL DOBLE DE CAMPOS ESCALARES CON DISCON TINUIDADES

3.6. LA INTEGRAL DOBLE DE CAMPOS ESCALARES CON DISCONTINUIDADES

En las Secciones 3.3 y 3.4 definimos la integral doble de campos escalares continuos sobre regiones cerradas y acotadas del plano. Podríamos pensar que la continuidad del campo escalar sobre la región de integración sea una condición necesaria para la existencia de la integral doble. Pero no, la integral doble también existe en casos especiales en los cuales el campo escalar no es continuo en toda la región de integración.

Uno de esos casos especiales a los cuales nos referimos arriba es el de los campos escalares seccionalmente continuos en una región cerrada y acotada del plano.

Diremos que un campo escalar f es seccionalmente continuo en una región cerrada y acotada Q del plano, si existen sub-regiones de Q, llamémoslas Qi> O2 Qr del plano, donde F es con-tinuo en cada una de ellas y estas sub-regiones son tales que

Q = Q^ UQ2U ... UQr

o o y O, n Q¡ = <¡>,para i * j

i ,j =1.2 r

Diremos que un campo escalar f es seccionalmente continuo en una región cerrada y acotada Q del plano, si existen sub-regiones de

Q, llamémoslas Ql<Q2 Qr del plano, donde F es continuo en cada una de ellas y estas sub-regiones son tales que

O = 01 UQ2U ... UQr o o

Qj n Qj = 0 ,para i # j

i ,j =1 ,2 r 105


En otras palabras, Q se puede partir en un número finito de sub-regiones en cada una de las cuales f es continua.

Para un campo escalar f seccionalmente continuo en una región Q cerrada y acotada del plano, definimos la integral doble de f sobre Q con la expresión

| | f (x, y) dx dy = f f f + f f f + ...+ f f f

Q 01 0 2 Or

donde Oí Or son sub-regiones de Q, que satisfacen la definición anterior.

La existencia de esta integral doble de f sobre Q, está garantizada por cuanto que ya garantizamos en las Secciones 3.3 y 3.4 la existencia de cada una de las integrales dobles de f sobre cada una de las regiones Q i, Q 2, • • • . Q r . Además todos los resultados que hemos obtenido para integrales dobles de campos escalares continuos se hacen válidos con esta definición para campos escalares seccionalmente continuos y observando además que si un campo escalar f es continuo en una región Q cerrada y acotada del plano, entonces f es seccionalmente continuo en Q, nuestro tratamiento teórico se hace más general.

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3.7. INTEGRAL TRIPLE

Al iniciar este capítulo (y en el capítulo 1), anunciamos otra extensión del concepto de integral definida, caso en el cual el dominio de la función a integrar es una región (o sólido) del espacio, integral que llamaremos integral triple.

Con el desarrollo que hemos hecho de las integrales dobles nos será muy fácil el desarrollo de las integrales triples por cuanto que es muy natural la generalización de todos los conceptos y resultados.

3.8. DEFINICION DE INTEGRAL TRIPLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE UN PARALELEPIPEDO

En la Sección 3.3 definimos la integral doble de un campo escalar f continuo en un rectángulo R = [a, b]x[c, d] por:

f(x,y) dx dy

R

= | | f (x, y) dy dx

Y por ser el rectángulo R de clase I y de clase II (Sección 3.4.), entonces también

f(x,y) dx dy -• f [í f (x , y) d x dy

Es entonces natural que si f es un campo escalar continuo en un paralelepípedo P de la forma [a, b]x[c, d]x[m, n], definamos la integral triple de f sobre P por

INTEGRALES MULTIPLES - INTEGRAL TRIPLE DE UN CAMPO ESCALAR DEFINIDO Y CONTINUO SOBRE SOLIDOS MAS GENERALES DEL ESPACIO - DEFINICION

f [f (f Ja Je \Jm

f (x, y, z ) dz dy dx

o de cualquiera de las otras cinco formas que resultan al cambiar el orden de integración en la anterior secuencia de integrales* y la notamos con alguno de los símbolos:

fff fdv ** P

•I f (x, y, z ) dxdydz, j f (x, y, z ) dxdydz¿

P P f ;

Brevemente

f (x, y, z ) dxdydz = \j J | j f (x, y, z ) dz \dy dx

Esta definición la podemos ilustrar con un ejemplo sencillo que ilustra alguna afirmación del capítulo 1.

El campo escalar f(x, y, z) = 1 es continuo en el paralelepípedo P=[a,b]x[c, d]x[m, n], entonces

* Al igual que en integrales dobles, la continuidad de f garantiza la existencia de la integral triple sobre P.

** El símbolo "dv" es diferencial de volumen y se busca en el sistema de coordenadas más conveniente.

f f f f (x, y. ¿) dxdydz = f |j | f f (x, y, z ) dz jdy dx

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f(x, y, z) dx dy dz = I I J dx dy J m Je \J a

dz

= í í (b -a )dy dz = ( b - a ) í í dy Jm Je J m Je

dz

= (b-a)í (d-Jm

c) dz = (b - a)(d - c) dz f /m

= (b - a)(d - c)(n - m),

que es precisamente el volumen de P. Concluimos entonces que si P=[a, b]x[c, d]x[m, n],

V(P) = J I I dxdydz

P

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