ARTES VISUALES 5°BÁSICO B Prof. María Cecilia Villagrán Vergara.
I. Municipalidad de Providencia Liceo Tajamar Prof: María Cecilia Palma Valenzuela Profesora :...
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I. Municipalidad de ProvidenciaLiceo TajamarProf: María Cecilia Palma Valenzuela
Profesora : María Cecilia Palma Valenzuela Fecha: 15/08/2011
Unidad Temática:Sistemas de Ecuaciones Lineales
Contenido: Diversos métodos de Resolución Analítica de sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos de Aprendizaje:1) Conocen y aplican diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
2) Plantean y resuelven sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Observación: Estimadas alumnas las dudas en relación a los contenidos y los ejercicios pueden hacerla en el correo [email protected]
Inicio revisión desde el 22/08/2011
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SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS Técnicas de resolución
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA
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Objetivo nº1
Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.Método de sustitución
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1) Resolución por igualación
• Debemos que resolver el sistema:•
• esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación
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Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual
tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):
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Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también
lo son, por lo tanto:
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Reemplazar el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):
Reemplazar el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):
y=2y=2
•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si •realmente (x ; y) = (4;2):•Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si •realmente (x ; y) = (4;2):
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• Ahora sí, podemos asegurar que
• x= 4 e y = 2
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Actividad nº1 :RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS:• 1) 4x + 5y = 3• 6x – 10y = 1
2) 4(x + 2) = -6y• 3(y + 2x) = 0
3) y(x – 3) – x(y – 2) = 14• x(y + 9) – y(x – 6) = -54
• 1) 4x + 5y = 3• 6x – 10y = 1
2) 4(x + 2) = -6y• 3(y + 2x) = 0
3) y(x – 3) – x(y – 2) = 14• x(y + 9) – y(x – 6) = -54
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Trabajen estos ejercicios con su grupo de compañeras de estudios
• 1) Respuesta : x = ½ , y= 1 /5• 2) Respuesta : x = 1 , y = - 2• 3) Respuesta : x = - 2 , y = - 6• ¿Tienen dudas de la materia revisada hasta
ahora?
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¿Qué hemos aprendido hasta ahora?
• ¿Podríamos usar este método en todas las situaciones en que se nos presenten sistemas de ecuaciones?
• Si, pero existen otros métodos de resolución analítica de los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, éstos los veremos en las clases siguientes.
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Objetivo nº2
Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.Método de igualación
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Estrategias
• 1) Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):
• Ejemplo :• •
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Y, la reemplazamos en la otra ecuación:
Operamos para despejar la única variable existente ahora:
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Reemplazando el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la
primera):
Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.
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Resuelvan los siguientes sistemas:Trabajen estos ejercicios con sus compañeras de grupo.
• 1) (x+3)(y+5)-(x+1)(y+8) = 0 (x-10)(y-1)+(x-9)(3-y) = 0
• 2) • 3)
4
1
5
3
62
1
y
x
y
x
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Trabajen estos ejercicios a nivel grupal, comparen sus resultados y si se presentan diferencias, revisen
detalladamente paso a paso .
• 1) Respuesta : x = 42 , y = 67• 2) Respuesta : x = 5 , y = 3• 3) Respuesta : x = 5 , y = - 4• ¿ha quedado alguna duda en lo estudiado?• Consulten si hay dudas al correo enviado al
inicio
F I NF I N MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA
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Objetivo nº3
Resuelven analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.Método de reducción
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Estrategias
• 1) El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.
• 2) También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.
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Resolver el sistema:
• Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?
• La respuesta es -2. Veamos:
• Con lo que obtenemos:
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sumando ambas ecuaciones se obtiene -7y = -14 / ·(- 1) entonces y = 2
• Luego al reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación
tenemos :• Finalmente para hallar el valor de x, se
despeja en la ecuación y se tiene que :
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Ejercicios: Resuelve por este método:
13
2
4
3
75
3
3
2)3
yx
yx
2) 2x – 3y = -7 x : y = 4 : 5
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Trabajen estos ejercicios con sus compañeras integrantes del grupo y comparen sus resultados
• 1) Respuesta : x = 2 , y = 4
• 2) Respuesta : x = 4, y = 5
• 3) Respuesta : x = , y =
• ¿Hay dudas de la materia?• Pueden consultar al correo donde debes enviar
tus respuestas F I NF I N
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA
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Objetivo nº4
• Resuelven problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas usando cualquier método o técnica de resolución vistas anteriormente
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Ejemplo nº1• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es de 90 .
Los ángulos x e y son complementarios y el ángulo x mide 24 más que el ángulo y. Determine los ángulos x e y.
• Solución: Una ecuación la podemos plantear considerando el hecho de que x e y son complementarios : x + y = 90. La segunda la obtenemos del hecho de que el ángulo x mide 24 más que el ángulo y : x = y + 24
• Tenemos entonces el siguiente sistema: x + y = 90 (1)• x = y + 24 (2)• Restando y en ambos miembros de la ecuación (2) y sumando las
ecuaciones resultantes, para resolver mediante reducción.• (+) x + y = 90• x – y = 24• 2 x = 11 x = 57• Si ahora sustituimos x = 57 en la ecuación (1), tendremos:• 57 + y = 90 y = 90 – 57 y = 33• Los ángulos son : x = 57 e y = 33 .
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Observación: En ciencias y en otras áreas se utilizan con frecuencia ecuaciones, para resolver problemas, los cuales nos llevan a plantearnos sistemas, como en el siguiente ejemplo
• Ejemplo 2:Un vitivinicultor desea fortalecer un vino que contiene 10% de alcohol agregándole algo de solución acuosa con 70% de alcohol, la mezcla obtenida de esta forma, debe tener una concentración alcohólica de 16%, y se deben llenar 1.000 botellas de 1 litro .¿Cuántos litros de vino y de solución de alcohol debe usar?
• Solución : • Designamos X = nº de litros de vino ; Y = nº de litros de solución de alcohol• En la siguiente tabla, organizamos la información
• El volumen de la mezcla debe ser igual a la suma de los volúmenes que se usarán, entonces : x + y = 1000
Vino Solución de alcohol
Mezcla resultante
Volumen X Y 1000
Porcentaje de alcohol 10% 70% 16%
Cantidad de alcohol 0,1 x 0,7y 0,16 · 1000
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Análogamente, la cantidad de alcohol en la mezcla debe ser igual a la suma del alcohol que aportan el vino y la solución de alcohol, luego: 0,1 x + 07 y = 0,16 · 1000 0,1 x + 0,7y = 160 / · 10 x + 7 y = 1600
• Por lo tanto, tenemos el sistema: x + y = 1000 (1)• x + 7y = 1600 (2)• Restando : (2) – (1) se tiene 6y = 600• y = 100• Reemplazando y = 100 en (1) , tenemos x = 900.• Por lo tanto:• El vitivinicultor debe usar 900L de vino y 100L de alcohol.
• ¿Ha quedado alguna duda?• Si hay dudas consultar al correo de envío de
respuestas
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Ejercicios• 1) La suma de dos números es 34 y su diferencia es 10. Encuentre
los números. • Respuesta: 22 y 12• 2) Repartir $1080 entre dos personas P y Q, de modo que P reciba
1008 más que Q.• Respuesta : P = 1044 y Q = 36• 3) En un corral hay conejos y gallinas. Si entre ellos hay 121 cabezas
y 338 patas, encuentre el nº de conejos y de gallinas que hay en el corral
• Respuesta : 48 = conejos y 73 = gallinas
F I NF I N
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA