I Parcial Modalidad dos años 2013 con solución - tec.ac.cr · I Parcial MATEM-TEC-2013 Décimo...

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Escuela de Matemática

MATEM 2013

-Décimo Año-

-Modalidad bienal-

I EXAMEN PARCIAL 2013

Nombre: _________________________________ código: _______

Colegio: _______________________________________________

Sábado 25 de mayo de 2013

I Parcial MATEM-TEC-2013 Décimo año - bienal

INSTRUCCIONES

1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas.

2. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar.

3. Este examen consta de tres partes. La primera de ellas es de respuesta corta (10 puntos), la segunda es de selección única (15 puntos) y la tercera es de desarrollo (25 puntos).

4. Las respuestas de la parte de respuesta corta y de la parte de selección debe ser contestadas en la hoja de respuestas que se le dará para tal efecto.

5. En el desarrollo debe escribir, en el espacio indicado, su nombre, código y el nombre del colegio en el cual usted está matriculado. En caso de no hacerlo, usted asume la responsabilidad sobre los problemas que se pudieran suscitar por esta causa.

6. En los ítems de selección y de respuesta corta puede usar el espacio al lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas indicadas en la hoja para respuestas.

7. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra.

8. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está desordenada, ésta, no se calificará.

9. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que contiene únicamente las operaciones básicas.

10. Trabaje con calma. Le deseamos el mayor de los éxitos.


I Parte. Respuesta corta. Total de puntos 10

INSTRUCCIONES: En la columna de la izquierda se presentan 10 ecuaciones

con incógnita x. Resuélvalas y escriba en el espacio correspondiente en la

columna de la derecha el conjunto de todos los números reales que son solución

de cada una de ellas.

Ecuación Conjunto solución

1. �� − �� = −2

2. � − 7 = 0

3. − 4 = � − 2

con , � ∈ ℝ; ≠ 0; � ≠ 0 y ≠ �

4. � +2� + 8 = 0

5. √ − 8 = 2

6. �� + 1�� = 0

7. �� = � con ∈ ℝ − !��"

8. 6 + 1 = 2 �3 + ��

9. � − 11 + 24 = 0

10.

�� − 5 = 0


II Parte. Selección única. Total de puntos 15 puntos

INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 15 enunciados, cada uno con

cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una

equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta

cada enunciado.

1. La factorización completa de la expresión 49'� − () − 63'( − (�) es: 1) 7'( − )'7 − 9()

2) 7' − ()'7( − 9) 3) 7' − ()'9( − 7) 4) 7' − ()'7 − 9()

2. En la factorización de la expresión � − 4� + + 6 uno de sus factores

corresponde a:

1) + 3

2) − 1 3) + 2 4) − 3 3. Sea ∈ ℕ , al factorizar completamente la expresión 3��+�(�� − 6��+�(�� − 24��+ (��+ se obtiene

1) 3��+ (��'�(� − 2 − 8()

2) 3��+ (�� ' + 4()' − 2() 3) 3��+ (�� ' − 4()' + 2() 4) 3��+ (��'�(� − 2� − 8()


4. Un factor de la expresión ,- + 27 .� corresponde a:

1) ,� + 3 �,� + 9 -�

2) ,� − 3 �,� + 9 -� 3) ,� + 6 �,� + 9 -� 4) ,� − 6 �,� + 9 -�

5. Al racionalizar el denominador de la expresión /0√��√� se obtiene:

1) 214√3 + 5√22

2) 914√3 + 5√22 3) −914√3 + 5√22 4) −214√3 + 5√22

6. Para racionalizar el denominador de la expresión /3+ 4 �03�56 se puede

multiplicar tanto el numerador como el denominador por la expresión

1) 45�(�56

2) 45.(/56

3) 45�(�

4) 45.(/


7. El residuo que se obtiene al dividir el polinomio 7') = - + � − 8� + 4 + 1 por '2 − 1) es:

1) − ��-�

2) − -.-�

3) -.-�

4) ��-�

8. Al simplificar la expresión � �68�895�:� se obtiene

1) �:

2) :6�

3) ':� )6 4) �:��

9. Al resolver �;�� : �� - se obtiene

1) ��'�+ )

2) 2' + 1)

3) �'�+ )'�� )6 /

4) /�'�+ )'�� )6


10. El resultado de efectuar � + �=� ∙ � − �=+ � es

1) 2

2) �

3) 2 � 4)

11. Al resolver �0� − �� 6 − �6+��+� 0�; se obtiene:

1) �6��+ 0�;

2) �6+�� 0�;

3) ��6�� 0�;

4) /�6��+� 0�;

12. Una ecuación equivalente a 7� − '2 − 3)� = 3'4 + 1) es

1) 3� − 12 = 0

2) 3� − 10 = 0

3) � − 4 + 6 = 0

4) � − 8 + 2 = 0


13. Los valores de ? para los cuales la ecuación 9� − 2 + ? + 1 = 0 tiene una solución real corresponden a:

1) −1(5

2) −5(1 3) −4(8 4) −8(4 14. El conjunto solución de las ecuaciones 7') = 0 y @') = 0 es respectivamente

{ }13,0, 2,7S = − y { }2

3, 1,0, 2S = − − Con certeza se puede garantizar que un

subconjunto del conjunto solución de la ecuación 7') + 6@') = 0 es

1) A = B−3,0,2C

2) A = B3,0, −2C

3) A = B−18,0,12C 4) A = B−3,−1,0,2,7C

15. Al despejar D en la expresión �EFG�H = I

1) D = �EF�GJ

2) D = �EF�GJJ

3) D = G��EFJ

4) D = GJ��EFJ


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-Décimo Año- -Modalidad bienal-



Nombre: _________________________________ código: _______

Colegio: _______________________________________________

Respuestas de la I parte:

Conjunto solución Conjunto solución 1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

Respuestas de la II parte:

Escriba en cada espacio el número correspondiente a la respuesta que

seleccionó como correcta (1 – 2 – 3 – 4) en cada ítem.

Ítem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Respuesta


III Parte. Desarrollo. Total de puntos 25

INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en

forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos

necesarios para obtener la respuesta correcta.

1. Racionalice el denominador de la siguiente expresión y simplifique al

máximo el resultado. 4 puntos

� − 25√5; − √�;


2. Efectúe la operación indicada y simplifique al máximo el resultado.

5 puntos

K3 − + 3 − 2 − 1L ∙ K − 2 − 12 − 3� + 1 − 1�L


3. Halle el conjunto solución de la ecuación �+��6�� = 0��6��− ��

5 puntos


4. Halle el conjunto solución de la ecuación √� + 21 = 2 + √� − 3

6 puntos

.


5. Una tarjeta de 24cm de largo por 12 cm de ancho se encuentra impresa

dejando un margen del mismo ancho por los cuatro lados y de forma tal que la

parte impresa ocupa un área de 2220 cm . Calcule el ancho del margen.

5 puntos


SOLUCIÓN

I Parte. Respuesta corta. Total de puntos 10

INSTRUCCIONES: En la columna de la izquierda se presentan 10 ecuaciones

con incógnita x. Resuélvalas y escriba en el espacio correspondiente en la

columna de la derecha el conjunto de todos los números reales que son solución

de cada una de ellas.

Ecuación Conjunto solución

1. �� − �� = −2

{ }S=

2. � − 7 = 0

{ }

2 7

7

7

7, 7

x

x

x

S

=

=

= ±

= −

3. − 4 = � − 2

con , � ∈ ℝ; ≠ 0; � ≠ 0 y ≠ �

( )- 2

2

2

2

ax bx

x a b

xa b

Sa b

=− =

=−

= −

4. � +2� + 8 = 0

( )

{ }

2

2

0

2 4 0

0 2 4 0

0

x x x

x x x

S∆<

+ + =

= ∨ + + =

=

��

5. √ − 8 = 2

{ }

8 4

12

12

x

x

S

− ===

6. �� + 1�� = 0

{ }

1 02

1 02

12

2

2

x

x

x

x

S

+ =

+ =

= −

= −= −


7. �� = � con ∈ ℝ − !��"

{ }

6 4 2 0

3 2

3 2

a x x

a x

S a

− = ≠− =

= −

8. 6 + 1 = 2 �3 + ��

6 1 6 1x x

S

+ = += ℝ

9. � − 11 + 24 = 0

( ) ( )

{ }

8 3 0

8 3

3,8

x x

x x

S

− − == ∨ ==

10.

�� − 5 = 0

{ }

45

34 15

19

19

x

x

x

S

− =

− ===

II Parte. Selección única. Total de puntos 15 puntos

INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 15 enunciados, cada uno con

cuatro opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Marque una

equis (x) sobre la letra que antecede a la opción que completa de forma correcta

cada enunciado.

1. La factorización completa de la expresión 49'� − () − 63'( − (�) es: 1) 7'( − )'7 − 9() 2) 7' − ()'7( − 9) 3) 7' − ()'9( − 7) 4) 7' − ()'7 − 9()

49'� − () − 63'( − (�) = 49' − () − 63(' − () = 7' − ()'7 − 9()

2. En la factorización de la expresión � − 4� + + 6 uno de sus factores corresponde a:

1) + 3

2) − 1

3) + 2

1 4 1 63

3 3 6

1 1 2 0

−− −

− −

3 es un cero del polinomio entonces 3x −

es un factor.


4) − 3 3. Sea ∈ ℕ , al factorizar completamente la expresión 3��+�(�� − 6��+�(�� − 24��+ (��+ se obtiene

1) 3��+ (��'�(� − 2 − 8()

2) 3��+ (�� ' + 4()' − 2() 3) 3��+ (�� ' − 4()' + 2() 4) 3��+ (��'�(� − 2� − 8()

( )( )( )

4 1 2 1 2 2

4 1 2 1

3 2 8

3 4 2

a a

a a

x y x xy y

x y x y x y

+ −

+ −

− −

= − +

4. Un factor de la expresión ,- + 27 .� corresponde a:

1) ,� + 3 �,� + 9 -�

2) ,� − 3 �,� + 9 -� 3) ,� + 6 �,� + 9 -� 4) ,� − 6 �,� + 9 -�

( )( )2 3 4 2 3 6 23 3 9m a x m m a x a x+ − +

5. Al racionalizar el denominador de la expresión /0√��√� se obtiene:

1) 214√3 + 5√22

2) 914√3 + 5√22 3) −914√3 + 5√22 4) −214√3 + 5√22

( )( )( )

( )

( ) ( )

18 5 2 4 3 18 5 2 4 3

50 485 2 4 3 5 2 4 3

18 5 2 4 39 5 2 4 3

2

+ +=

−− +

+= = +


6. Para racionalizar el denominador de la expresión /3+ 4 �03�56 se puede

multiplicar tanto el numerador como el denominador por la expresión

1) 45�(�56

2) 45.(/56

3) 45�(�

4) 45.(/

45�(�56 ∙ 45.(/56 = 5(

7. El residuo que se obtiene al dividir el polinomio 7') = - + � − 8� + 4 + 1 por '2 − 1) es:

1) − ��-�

2) − -.-�

3) -.-�

4) ��-�

1 1 1 1 1 1 4 64 698 4 1

2 64 16 4 2 64 64P

+ + = + − ⋅ + ⋅ + = =

8. Al simplificar la expresión � �68�895�:� se obtiene

1) �:

2) :6�

3) ':� )6 4) �:��

( )( ) ( )( ) 22 1 1 1 1 1n n n n n na a a− + − + − −= =


9. Al resolver �;�� : �� - se obtiene

1) ��'�+ )

2) 2' + 1)

3) �'�+ )'�� )6 /

4) /�'�+ )'�� )6

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 6 1 162 1

3 1 3 1

x x x x xx x

x x

− − += = +

− −i

10. El resultado de efectuar � + �=� ∙ � − �=+ � es

1) 2

2) �

3) 2 � 4)

( )( )

21

1 1

a b abab a ab a aa

b b b b

++ + −⋅ = =+ +

11. Al resolver �0� − �� 6 − �6+��+� 0�; se obtiene:

1) �6��+ 0�;

2) �6+�� 0�;

3) ��6�� 0�;

4) /�6��+� 0�;

( ) ( )

( )

2 2

3

2 2 2

3

22 2

3 3 3

9 5 1 2 3

15

9 5 5 2 3

15

3 13 3 3 1

15 15 5

x x x x x

x

x x x x x

x

x xx x x x

x x x

− − − + +

− + − − −= =

+ −+ − + −= =


12. Una ecuación equivalente a 7� − '2 − 3)� = 3'4 + 1) es

1) 3� − 12 = 0

2) 3� − 10 = 0

3) � − 4 + 6 = 0

4) � − 8 + 2 = 0

( ) ( )2 2

2 2

2

7 4 12 9 12 3 0

7 4 12 9 12 3 0

3 12 0

x x x x

x x x x

x

− − + − + =

− + − − − =− =

13. Los valores de ? para los cuales la ecuación 9� − 2 + ? + 1 = 0 tiene una solución real corresponden a:

1) −1(5

2) −5(1 3) −4(8 4) −8(4

( )

( ) ( )

2

2

2

2 36 0

4 4 36 0

4 32 0

8 4 0

8 4

k

k k

k k

k k

k k

∆ = − + − =

− + − =

− − =− + =

= ∨ = −

14. El conjunto solución de las ecuaciones 7') = 0 y @') = 0 es respectivamente

{ }13,0, 2,7S = − y { }2

3, 1,0, 2S = − − Con certeza se puede garantizar que un

subconjunto del conjunto solución de la ecuación 7') + 6@') = 0 es

1) A = B−3,0,2C

2) A = B3,0, −2C

3) A = B−18,0,12C 4) A = B−3,−1,0,2,7C

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1 1

1 1

3 2 7

3 1 2

6 3 2 7 6 3 1 2

6 3 2 7 6 1

P x x x x x P x

Q x x x x x Q x

P x Q x x x x x P x x x x x Q x

P x Q x x x x x P x x Q x

= + − −

= + + −

+ = + − − + + + −

+ = + − − + +


15. Al despejar D en la expresión �EFG�H = I

1) D = �EF�GJ

2) D = �EF�GJJ

3) D = G��EFJ

4) D = GJ��EFJ

1

22

2

2

R r

TV WTV

R rW

TVR r

WRW TV

rW

− =

− =

− =

− =


Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática

-Décimo Año- -Modalidad bienal-



Nombre: _________________________________ código: _______

Colegio: _______________________________________________

Respuestas de la I parte:

Conjunto solución Conjunto solución 1. { }S= 6. { }2S = −

2. { }7, 7S = −

7. { }3 2S a= −

3. 2S

a b = −

8. S = ℝ

4. { }0S = 9. { }3,8S =

5. { }12S = 10. { }19S =

Respuestas de la II parte:

Escriba en cada espacio el número correspondiente a la respuesta que

seleccionó como correcta (1 – 2 – 3 – 4) en cada ítem.

Ítem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Respuesta 4 4 3 2 2 2 3 2 2 2 2 1 3 1 4


III Parte. Desarrollo. Total de puntos 25

INSTRUCCIONES: A continuación se le presentan 4 ejercicios. Resuélvalos en

forma clara, correcta y ordenada. Deben aparecer todos los procedimientos

necesarios para obtener la respuesta correcta.

1. Racionalice el denominador de la siguiente expresión y simplifique al

máximo el resultado. 4 puntos

� − 25√5; − √�;

Solución:

( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

3 3 32 3 4

3 3 3 32 2 3 43

3 3 32 3 4

2

3 3 32 3 4

3 3 32 3 4

5 5 25 5

5 25 5

5 5 25 5

5

5 5 25 5

5

5 25 5

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x

x

− + + +=

− + +

− + + +=

−

− + + +=

−

− + + +

2. Efectúe la operación indicada y simplifique al máximo el resultado.

5 puntos

K3 − + 3 − 2 − 1L ∙ K − 2 − 12 − 3� + 1 − 1�L

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )( )( )

2

2

2 2

23 13

2 1 3 121 1

3 1 2 1 13

2 1 2 2 3 3

a aa a

a a aa a

a a

a a a a a

a a a a a a

− − + −− =

− − +− − − −

+ − − + − − = − − − − − −


( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

2

3 2 2 3 2 1

2 2 5 3

2 13 3 6 2 3

2 1 3 2 1

2 5 31

3 2 1

a a a a a a

a a a a

a aa a a a

a a a a

a a

a a

− − − + − − +=

− − − −

− +− − − − + ⋅ =− + − +

− − =− +

3. Halle el conjunto solución de la ecuación �+��6�� = 0��6��− ��

5 puntos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ){ }2 2 2

4 5 40

2 2 2 2

4 2 5 4 20

2 2

6 8 5 4 8 0 0,2, 2

14 8 0

4

74

7

x x

x x x x x

x x xx x x

x x x

x x x x x x

x

x

S

+ − + =− − + −

+ + − + +=

− +

+ + − + + = ∉ −+ =

= −

= −

4. Halle el conjunto solución de la ecuación √� + 21 = 2 + √� − 3

6 puntos

( ) ( )

( ) ( )( )

2 22 2

2 2 2 2

2 2

2 2

222 2

2 4 2 2

2 4 4 2

2

2

21 2 3

21 4 4 3 3

24 4 4 3

6 3

6 3

36 12 3

36 12 3

36 9

4

2

x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x

x

x

+ = + −

+ = + − + −

− = −

− = −

− = −

− + = −

− + = −

=== ±

( )

( ) ( ) ( )

{ }

2 2

2 2

Si 2

2 21 2 2 2 3

5 5

Si 2

2 21 2 2 2 3

5 3

2

x

x

S

=

+ = + −=

= −

− + ≠ − + − −

≠ −

=


5. Una tarjeta de 24cm de largo por 12 cm de ancho se encuentra impresa

dejando un margen del mismo ancho por los cuatro lados y de forma tal que la

parte impresa ocupa un área de 2220 cm . Calcule el ancho del margen.

5 puntos Si x es lo que mide el ancho del margen, entonces las dimensiones de la región

impresa son 24 2x− y 12 2x− . Como su área es 2220 cm entonces se debe

cumplir que

( )( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2

2

24 2 12 2 220

2 12 2 6 220

12 6 55

72 12 6 55

17 18 0

17 1 0

17 1

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

− − =

− − =

− − =

− − + =− + =− − =

= ∨ =

Como x debe ser menor que 6 (pues el ancho de la tarjeta es de 12) entonces el

margen debe medir 1 cm.

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