IAR134 Procesamiento de Señales UNIDAD 02: RESPUESTAS DE CIRCUITOS.

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UNIDAD 02: RESPUESTAS DE CIRCUITOS

Contenidos

1. Repaso de análisis de respuestas de circuitos R-L, R-C y R-L-C.

2. Respuesta en el tiempo y en frecuencia a un estímulo y su relación.

3. Filtros pasa bajo, pasa alto y pasabanda.

Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 2

Objetivos

• Conocer y emplear apropiadamente los circuitos R-L, R-C y R-L-C, sus propiedades fundamentales.

• Utilizar estos circuitos en el filtrado de señales.


Señales y sistemas

• Sabemos que una señal es una función que representa la variación en el tiempo de una variable física.

• Para una señal de entrada dada, un sistema genera una respuesta ó señal de salida.

• En consecuencia, un sistema es una relación entre señales.


SISO y MIMO

• Un sistema que tiene solamente una señal de entrada y una señal de salida se llama un sistema SISO: single-input and single output.

• Si el sistema tiene mas de una señal de entrada y o de salida, se denomina sistema MIMO: multiple input and / or multiple output.


Representaciones de sistemas

• Una expresión matemática explícita para un sistema se llama representación del sistema.

• La representación también se llama modelo del sistema.

• El proceso de obtener la representación de un sistema se llama modelado.

• El desarrollo de un modelo de sistema a partir de la medición de las señales de entrada y de salida se denomina identificación del sistema.


Tipos de representaciones

• Existen muchas representaciones, pero comúnmente se utilizan las cuatro siguientes:

1.Ecuaciones diferenciales2.Funciones de transferencia de Laplace3.Integral de convolución4.Función de transferencia de Fourier


Relaciones entre representaciones de sistemas


Ecuaciones diferenciales

• La entrada a un sistema es una señal x(t) y su salida es y(t)

• El sistema es la relación entre x(t) y y(t) que está implícita en la ecuación diferencial.

• La alternativa es utilizar ecuaciones de espacio de estado.

• Las ecuaciones diferenciales se utilizan ampliamente para modelar diferentes procesos físicos.


Representación mediante ecuaciones diferenciales


),()()(

)()(')()(

01

1

01)1(

1)(

txbtxbtxb

tyatyatyatym

mm

m

nn

n

0122

11 )0(,)0(',,)0(,)0( yyyyyyyy n

nn

n

Funciones de transferencia de Laplace

• Si todas las condiciones iniciales valen cero, y se toma la transformada de Laplace para la ecuación diferencial anterior, resolviendo para la relación entre la señal de entrada y la de salida se obtiene una representación H(s) basada en las transformadas de Laplace X(s) de x(t) y Y(s) de y(t).

• H(s) se conoce como la función de transferencia.


Laplace (2)

• El sistema incluye las señales de entrada X(s) y de salida Y(s), así como la función de transferencia H(s), que se define como la relación entre la transformada de la señal de salida a la señal de entrada.

• La transformada de Laplace se utiliza como herramienta apropiada para resolver ecuaciones diferenciales.


Laplace (3)


)()(

)(

011

1

011

1 sHasasas

bsbsbsb

sX

sYn

nn

mm

mm

Integral de convolución

• Sea Y(s)=H(s)X(s)• Si se toma la transformada de Laplace inversa

se obtiene:

donde h(t)= L-1{H(s)}


0

)()()( dxthty

Representación de convolución

• La integral de convolución es la representación utilizada de manera mas general: representación de convolución.


0

)()()( dxthty

dxthty )()()(

Generalizando

Diferencia conceptual

• Esta representación depende de dos funciones: la señal de entrada x(t) y la función h(t).

• Estas funciones tienen una gran diferencia conceptual: – x(t) es una señal, mientras que – h(t) se asocia a un proceso físico que genera una

señal de salida y(t).• Conceptualmente, esta representación es mas simple

de utilizar.


Función de transferencia de Fourier

• Deriva de la integral de convolución, aplicando la propiedad de convolución de la transformada de Fourier:

Y(ω)=H(ω )X(ω)donde

H(ω)= F{h(t)}siendo h(t) obtenida en la integral de convolución anterior.


Fourier (2)

• La función de transferencia de Fourier viene dada por la relación:

Y(ω)/X(ω) = H(ω)• Aunque la función de transferencia de Fourier

es conceptualmente idéntica a la función de transferencia de Laplace, existen situaciones físicas en las que es mas apropiado utilizar la transformada de Fourier que la de Laplace y viceversa. Ambas son muy útiles.


Respuesta a entradas estándar

• Estudiemos como se pudiera caracterizar un sistema cuando se utiliza como prueba una señal de entrada específica.

• La respuesta al impulso de un sistema es la señal de salida del mismo cuando la señal de entrada aplicada es una función de impulso aplicada en t=0.


)()( 0tttx

• La respuesta al paso de un sistema es la señal de salida de dicho sistema cuando la señal de entrada es la función de paso unitario.

)

))(

)()()(

0

0

b

atth

dtthtyi

a) la señal de salida del sistema en tiempo tb) a una señal de entrada impulso unitario en el instante t0

Respuesta a entradas estándar (2)


Transformada de Laplace del paso unitario

• La respuesta al paso se calcula usando la transformada de Laplace del paso unitario:

• La señal de salida puede obtenerse aplicando Transformada de Laplace inversa:


ssX

1)(

ssHsYs1)()(

Respuesta al paso unitario y al impulso

• La respuesta al paso unitario de un sistema se halla multiplicando su función de transferencia por 1/s y tomando transformada de Laplace inversa para obtener ys(t).

• La derivada de una función respuesta al paso es una función respuesta al impulso:

• Tomando transformada de Laplace inversa:


ssHsssYs1)()(

)(thdtdys

Ejemplos

• A continuación estudiaremos las cuatro representaciones para tres casos típicos:

1.Redes eléctricas2.Sistemas Masa – Resorte – Amortiguador3.Sistemas Masa - Carga


Red RC

• La corriente que pasa a través del capacitor C está dada por:

y es igual a la que atraviesa a la resistencia R:


dttdyCti )()(

R

tytxtitCy

)()()()('

Red RC (2)

• La ecuación diferencial correspondiente es:

• La condición inicial es el voltaje sobre el capacitor en t=0.


0)0(,)()(

)(' yRC

tx

RC

tyty

Red RC en términos de impedancias complejas


)(1

1

)( sX

sCR

sCsY

)(1

1

)(

)(sH

RCs

RCsX

sY

La función de transferencia se escribe de manera que el primer coeficiente del denominador sea 1.

Despejando

Obtención de integral de convolución

• Para obtener la representación mediante integral de convolución se toma la transformada inversa de Laplace de esta función de transferencia:

por lo que la representación de convolución es:


)(1

)()( tueRC

thsHL sRC

t

dxtueRC

ty sRC

t

)()(1

)()(

Red RC con impedancias complejas


)(1

1

)(

X

CjR

CjY

Despejando

RCj

RCHX

Y1

1

)()(

)(

Respuestas al paso y al impulso

• La respuesta al paso de esta red se calcula usando la función de transferencia de Laplace:

• Tomando transformada inversa de Laplace:


ssH

sRC

s

RCsYs1)(

11

1

)(

)(1)(1

tuety sRC

s

Gráficas de las respuestas al impulso y al paso


NOTA: Se asume RC=1

Sistema Masa - Resorte - Amortiguador

• En este tipo de sistemas se presenta una masa atada a un soporte fijo por medio de un resorte y un amortiguador:


Configuración Masa – Resorte - Amortiguador

– Masa: mst

– Constante del resorte: kst

– Coeficiente de amortiguamiento: cst

– Fuerza aplicada a la masa: fst

– Desplazamiento de la masa: yst

• Se asume que la masa se mueve sobre una superficie sin fricción.

• La señal de entrada al sistema es la fuerza aplicada a la masa, mientras que su desplazamiento es la señal de salida.


Diagrama de cuerpo libre


Ecuación diferencial

• De acuerdo con la segunda Ley de Newton:

• Reformulamos la ecuación para hacer que el primer coeficiente sea 1, y las señales de entrada y sus derivadas se reúnen a cada lado del signo:


)()( tycyktfym ststststststst

00 )0(,)0(

),(1

)()()(

yyyy

tfm

tym

kty

m

cty

stst

stst

stst

stst

st

stst

Función de transferencia de Laplace

• La función de transferencia de Laplace se obtiene haciendo que las condiciones iniciales de la ecuación diferencial sean cero para tomar la transformada de Laplace y resolviendo la relación de la señal de salida sobre la señal de entrada:


)(

1

)(

)(

2

sH

mk

smc

s

m

sF

sYst

st

st

st

st

st

st

st

Integral de convolución

• Se requiere la respuesta a impulso del sistema, que se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia del sistema, para lo que se utiliza la tabla de pares de transformada de Laplace, quedando:

donde


)(1sin1

1)( 2

2tut

e

kth sn

tn

st

n

st

stn m

k

stst

st

st

st

st

st

mk

c

k

m

m

c

22

Convolución (2)

• Entonces, la representación de convolución queda:


2

2)(

1

1

,)()(1)(sin)(

n

st

snt

st

kc

dxtutcety n

Función de transferencia de Fourier

• Se obtiene de la función de transferencia de Laplace usando la fórmula:

de donde se obtiene:


jsstst sHH

)()(

)(

1

)(

)(

2

st

st

st

st

st

st

st

st Hj

mc

mk

m

F

Y

Respuesta del sistema al paso unitario

• Es interesante observar la respuesta al paso y al impulso de este sistema.

• La respuesta del sistema al paso unitario se encuentra multiplicando la función de transferencia por 1/s y calculando la transformada inversa de Laplace (con tabla):


)()(cos1sin1

11

)( 12

2tut

e

kty sn

t

sts

n

Respuesta al impulso• La respuesta al impulso se escribe como:

donde α=ζωn

y ωc = ωn √(1-ζ2) es la frecuencia crítica.

• El parámetro ζ recibe el nombre de relación ó factor de amortiguamiento.


)()sin(1

1)(

2tut

e

kth sc

tn

st

Respuestas al impulso y al paso unitario


Calculadas con ζ=0.3 y ωn = 8.165

Notar que estas señales muestran una oscilación amortiguada.

Respuesta a impulso para dos relaciones de amortiguamiento diferentes• Se muestran dos valores diferentes de ζ,

relacionado directamente con el coeficiente de amortiguamiento cst.


Frecuencia natural

• Asumiendo ζ=0, la frecuencia de oscilación es:

• El sistema oscilará a esta frecuencia si se aplica una fuerza impulsiva.

• Si ζ no es aproximadamente cero, la frecuencia de oscilación está dada por ωc.


st

stn m

k

• Un motor lineal DC está compuesto por:1. Base motor: Contiene las bobinas del motor y la

electrónica de potencia.2. Masa – carga: Barra que contiene imanes y que es

libre de moverse en una dirección lineal.• Cuando se emplea para suprimir vibraciones recibe el

nombre de actuador masa – carga.

Actuadores Masa - Carga


Actuador Masa - Carga

• El propósito del motor lineal es impartir una fuerza proporcional a una señal de entrada comandada, o sea, que puede generarse libremente.

• Este dispositivo recibe el nombre de actuador.• Para este sistema, la señal de entrada es el

voltaje aplicado al motor, vpm(t), mientras que la señal de salida es la posición de la masa carga, ypm(t).


Motor lineal sobre un sistema masa – resorte - amortiguador


)()( tvKtf pmefpm

Diagrama de cuerpo libre del actuador masa - carga


)()()( tvKtftym pmefpmpmpm

Se desprecia la fricción entre la base del motor y la masa – carga.El actuador tiene un recorrido ó stroke.

Modelo del movimiento:

Respuestas al impulso y al paso de un actuador masa - carga


)(2

)( 2 tutm

Kty s

pm

efs

Respuesta al paso

)()(2

1 tum

tK

sm

KLth s

pm

ef

pm

efpm

Respuesta al impulso

Respuesta en el tiempo y en frecuencia a un estímulo y su relación• Consideremos nuevamente la red RC:

• La señal que representa el voltaje a través del capacitor, y(t), está dada por:

• Si R=1kΩ y C=1μF, entonces la constante de tiempo es RC=10-3.


)(1)(1

tuety sRC

Filtros• Entre las características que determinan a una señal

eléctrica se encuentra la frecuencia. • En la práctica, a través de un circuito puede pasar

más de una señal eléctrica, es decir, pueden pasar señales eléctricas con distinta frecuencia.

• Sin embargo, se puede dar el caso de que en determinadas circunstancias solo interesa única y exclusivamente una de las señales que pueden circular por el circuito.

• Esta es la acción de los filtros: "selección" de una señal eléctrica según su frecuencia.


Ejemplo


Este filtro reduce el efecto de una señal en una frecuencia f2 no deseada sin afectar la calidad de la señal en la frecuencia f1, que si se desea.

Características (1)

• Función de transferencia:

• Magnitud:

• Fase:


Características (2)

• Frecuencia central:

• Factor de calidad ó “Agudeza” (Q):

• Escala logarítmica de amplitud expresada en decibeles:


)(log20 jH

Acción de los filtros


Magnitud:

Fase:

Curvas de respuestaAmplitud Fase

Tipos de filtros

• Existen básicamente cuatro tipos de filtros: 1.pasa-bajas, 2.pasa-altas, 3.pasa-banda y 4.supresores de frecuencias o rechaza-banda

(notch)


Pasa bajas



Pasa altas



Rechazo de banda (Notch)



Ejemplos de respuestas de filtros


Pasa altas Pasa bajas

Pasa banda Notch

Bibliografía• Lindner, Douglas K: “Introducción a las Señales y los Sistemas”, McGraw-

Hill, 2002 ISBN: 980-373-049-5.• Ogata . K. Ingenieria de Control Moderno Ed Prentice Hall

Hispanoamericana, 1993• Oppenheim,A.V.; Schafer,R.W y Buck,J.R.. “Tratamiento de Señales en

Tiempo Discreto”, 2da Edición. Prentice Hall, 2000• Burrus,C.S; McClellan,J.H; Oppenheim,A.V; Parks,T.W; Schafer,R.W; y

Schuessler,H.W. “Ejercicios de Tratamiento de la Señal utilizando MATLAB V.4”, Prentice Hall, 1994

• Oppenheim,A.V; Willsky,A.S; Nawab,S.H. “Señales y Sistemas”, Prentice Hall, 1997

• “DSP Guide” (En Internet)• “A Basic Introduction to Filters - Active, Passive, and Switched-Capacitor”

Primavera - 2008 60Dr. Juan José Aranda Aboy

http://www.dspguide.com/



http://www.national.com/an/AN/AN-779.pdf















Wikipedia

• http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_filter• http://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit• http://en.wikipedia.org/wiki/RLC_circuit• http://en.wikipedia.org/wiki/RL_circuit• http://en.wikipedia.org/wiki/LC_circuit


http://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit














http://en.wikipedia.org/wiki/RLC_circuit







http://en.wikipedia.org/wiki/RL_circuit







http://en.wikipedia.org/wiki/LC_circuit







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