I.a s v e n ta n a s in te l ig e n te s p u e d e n c a m b ia r u n a v is ta c la ra y tra n s p a re n te en u n a n e b lin o s a e in c lu so

o s c u ra co n s ó lo e n c e n d e r un in te rru p to r. P a r t íc u la s d im in u ta s , c o n o c id a s c o m o d is p o s it iv o s d e p a r t íc u la s

s u s p e n d id a s , se c o lo c a n e n m e d io d e d o s p a n e le s t r a n s p a re n te s d e m a te r ia l c o n d u c to r . A l a c tiv a r u n

c a m p o e lé c tr ic o e n tre lo s p a n e le s la s p a r t íc u la s se a l in e a n e n l ín e a re c ta , lo q u e p e rm ite a la lu z p a s a r

p o r e lla s . A l in a c t iv a r e l c a m p o la s p a r t íc u la s v u e lv e n a to m a r su o r ie n ta c ió n a le a to r ia y b lo q u e a n la luz .

( C o r te s ía d e S w i tc h l i t e P r iv a c y G la s s ® , S a in t - G o b ia n G la s s E x p r o v e r . )

O b j e t i v o s

C u a n d o t e r m i n e d e e s t u d i a r e s t e c a p í t u l o e l a l u m n o :

1 . D e f i n i r á e l cam po eléct r ico y e x p l i c a r á q u é f a c t o r e s d e t e r m i n a n su m a g n i t u d y

su d i r e c c i ó n .

2. E s c r i b i r á y a p l i c a r á u n a e x p r e s i ó n q u e r e l a c i o n e la i n t e n s i d a d d e l c a m p o e l é c ­

t r i c o e n u n p u n t o c o n la (s ) d i s t a n c i a ( s ) d e la (s ) c a r g a (s ) c o n o c i d a ( s ) .

3. E x p l i c a r á e ¡ l u s t r a r á e l c o n c e p t o d e l ín e a s d e l c a m p o e l é c t r i c o y a n a l i z a r á l a s

d o s r e g l a s q u e d e b e n s e g u i r s e p a r a c o n s t r u i r l a s .

4. E x p l i c a r á e l c o n c e p t o d e perm it ividad d e u n m edio y c ó m o a f e c t a la i n t e n s i ­

d a d d e l c a m p o y la c o n s t r u c c i ó n d e l ín e a s d e l c a m p o .

5. E s c r i b i r á y a p l i c a r á la ley de Gauss a l o s c a m p o s e l é c t r i c o s q u e s e f o r m a n a l r e ­

d e d o r d e l a s s u p e r f i c i e s c u y a d e n s i d a d d e c a r g a e s c o n o c i d a .

E n n u e s tro e s tu d io d e la m e c á n ic a a n a l iz a m o s c o n p ro f u n d id a d la fu e rz a y e l m o v im ie n to .

L a s le y e s d e N e w to n s o b re e l m o v im ie n to se u s a ro n , e n g e n e ra l , p a ra d e s c r ib ir la a p l ic a c ió n y

la s c o n s e c u e n c ia s de fu e rz a s p o r c o n ta c to . U n m o m e n to d e re f le x ió n so b re e l u n iv e rs o c o m o

u n to d o n o s c o n v e n c e de la e n o rm e c a n t id a d d e o b je to s q u e n o e s tá n e n c o n ta c to .

L o s p r o y e c t i le s e x p e r im e n ta n u n a fu e r z a h a c ia a b a jo q u e n o p u e d e s e r e x p l ic a d a e n

té rm in o s d e su in te r a c c ió n c o n p a r t íc u la s d e a ire ; lo s p la n e ta s g i ra n c o n t in u a m e n te p o r e l

v a c ío q u e r o d e a a l S o l; e l m is m o S o l e s a r ra s tr a d o a lo la rg o d e u n a t r a y e c to r ia e l íp t i c a p o r

fu e rz a s q u e n o h a c e n c o n ta c to c o n é l. I n c lu s o e n e l n iv e l a tó m ic o n o h a y “ c u e r d a s ” q u e

m a n te n g a n a lo s e le c t ro n e s e n su s ó r b i ta s a l r e d e d o r d e l n ú c le o .

478

24.1 Concepto de campo 479

N u e s t r o c o r a z ó n u t i l i z a

u n p o t e n c i a l e l é c t r i c o

p a r a q u e l a t a e l m ú s c u l o

c a r d i a c o , e l c u a l

b o m b e a la s a n g r e p o r

t o d o e l c u e r p o . Es t e

p o t e n c i a l c r e a u n c a m p o

e l é c t r i c o , q u e p u e d e s e r

v i g i l a d o p o r m e d i o d e

u n e l e c t r o c a r d i o g r a m a

( E C G ) .

S i e n re a l id a d d e s e a m o s c o m p re n d e r n u e s tro u n iv e rs o d e b e m o s d e s a r ro l la r le y e s p a ra

p re d e c ir la m a g n itu d y la d ire c c ió n d e la s fu e rz a s q u e n o se t r a n s m ite n p o r c o n ta c to . Y a h e ­

m o s e s tu d ia d o d o s d e e s a s le y e s :

1 . L e y d e N e w to n d e la g ra v i ta c ió n u n iv e rsa l:

77? 1777-1

Fg = G ~ ^ (24.1)

2. L e y de C o u lo m b p a ra fu e rz a s e le c tro s tá t ic a s :

Fe = k ^ (24.2)r~

L a le y d e N e w to n p re d ic e la fu e rz a q u e e x is te e n tre d o s m a sa s s e p a ra d a s p o r u n a d is ta n c ia

r ; la le y d e C o u lo m b se re f ie re a la fu e rz a e le c tro s tá tic a , c o m o se e s tu d ió e n e l c a p í tu lo 23 .

A l a p l ic a r a m b a s le y e s c o n v ie n e c o m p re n d e r c ie r ta s p r o p ie d a d e s d e l e s p a c io q u e ro d e a la s

m a s a s o la s c a rg a s .

C o n c e p t o de campoT a n to e l c a m p o e lé c tr ic o c o m o la fu e rz a g ra v i ta c io n a l so n e je m p lo s de fu e r z a s d e a c c ió n a d i s ­

t a n c i a la s c u a le s r e s u lta n e x tre m a d a m e n te d if íc ile s d e v isu a liz a r . P a ra s u p e ra r e s ta d if ic u lta d ,

lo s f ís ic o s d e la a n t ig ü e d a d p o s tu la ro n la e x is te n c ia d e u n m a te r ia l in v is ib le , al q u e l la m a ro n

é te r , q u e s u p u e s ta m e n te l le n a b a to d o e l e sp a c io . L a fu e rz a d e a tra c c ió n g ra v i ta c io n a l p o d ía

d e b e rs e e n to n c e s a e s fu e rz o s e n e l é te r c a u s a d o s p o r la p re s e n c ia d e d iv e rs a s m a sa s . C ie rto s

e x p e r im e n to s d e ó p tic a h a n d e m o s tra d o q u e la te o r ía d e l é te r e s in s o s te n ib le , lo q u e n o s h a

o b lig a d o a c o n s id e ra r si e l e s p a c io e n s í m is m o tie n e p ro p ie d a d e s in te re s a n te s p a ra e l f ís ic o .

S e p u e d e a f irm a r q u e la so la p r e s e n c ia d e u n a m a s a a lte ra e l e s p a c io q u e la ro d e a , y d e

e se m o d o p ro d u c e u n a fu e rz a g ra v i ta c io n a l so b re o tra m a s a c e rc a n a . E s ta a lte ra c ió n e n el

e s p a c io se d e s c r ib e m e d ia n te la in tro d u c c ió n d e l c o n c e p to de u n c a m p o g r a v i ta c io n a l q u e

r o d e a a to d a s la s m a sa s . S e p u e d e d e c ir q u e e s e t ip o d e c a m p o e x is te e n c u a lq u ie r r e g ió n d e l

e s p a c io d o n d e u n a m a s a d e p ru e b a e x p e r im e n ta rá u n a fu e rz a g ra v i ta c io n a l . L a in te n s id a d

d e l c a m p o e n c u a lq u ie r p u n to s e r ía p ro p o rc io n a l a la fu e rz a q u e e x p e r im e n ta u n a m a s a d a d a

e n e se p u n to . P o r e je m p lo , e n c a d a p u n to e n la p ro x im id a d d e la T ie r ra , e l c a m p o g r a v i ta c io ­

n a l p o d r ía r e p re s e n ta r s e c u a n t i ta t iv a m e n te c o n

d o n d e g = a c e le ra c ió n d e b id a a la fu e rz a de g ra v e d a d

F = fu e rz a g ra v i ta c io n a l

777 = m a s a d e p ru e b a (v é a s e la f ig u ra 2 4 .1 )

S i g se c o n o c e e n c a d a p u n to so b re la T ie r ra , la f u e rz a F q u e a c tu a rá so b re u n a m a s a m d a d a ,

s i tu a d a e n e se p u n to , p u e d e d e te rm in a rs e c o n la e c u a c ió n (2 4 .3 ).

E s p o s ib le a p lic a r , a s im is m o , e l c o n c e p to d e c a m p o a lo s o b je to s c a rg a d o s e lé c tr ic a m e n te .

E l e s p a c io q u e r o d e a a u n o b je to c a rg a d o se a l te ra e n p re s e n c ia de la c a rg a . P o d e m o s p o s tu la r

la e x is te n c ia d e u n c a m p o e lé c t r ic o e n e s te e sp a c io .

S e d i c e q u e e x i s t e u n c a m p o e l é c t r i c o e n u n a r e g i ó n d e e s p a c i o e n la q u e u n a

c a r g a e l é c t r i c a e x p e r i m e n t a u n a f u e r z a e l é c t r i c a .

E s ta d e f in ic ió n p ro p o rc io n a u n a p ru e b a de la e x is te n c ia d e u n c a m p o e lé c tr ic o . B a s ta c o lo c a r u n a

c a rg a e n ese p u n to . S i se o b s e rv a u n a f u e rz a e lé c tr ic a , e x is te u n c a m p o e lé c tr ic o e n e se p u n to .

D e l m is m o m o d o q u e la f u e rz a p o r u n id a d d e m a s a c o n s ti tu y e u n a d e f in ic ió n c u a n ti ta t iv a

d e u n c a m p o g ra v i ta c io n a l , la in te n s id a d d e u n c a m p o e lé c tr ic o p u e d e r e p re s e n ta r s e m e d ia n te

e l c o n c e p to d e fu e rz a p o r u n id a d d e c a rg a . L a in te n s id a d d e l c a m p o e lé c tr ic o E e n u n p u n to

se s u e le d e f in ir e n té rm in o s d e la fu e rz a F q u e e x p e r im e n ta u n a c a rg a p o s i t iv a p e q u e ñ a + q

480 Capítulo 24 El cam po eléctrico

g m

r

Fg

F i g u r a 2 4 .1 E l c a m p o g ra v i ta c io n a l en c u a lq u ie r

p u n to s o b re la T ie r r a p u e d e r e p re s e n ta r s e m e d ia n te

la a c e le r a c ió n g q u e u n a p e q u e ñ a m a s a m e x p e r i ­

m e n ta r ía s i n o s c o lo c á ra m o s e n e se p u n to .

F i g u r a 2 4 .2 L a d ire c c ió n d e la in te n s id a d de l

c a m p o e lé c tr ic o e n u n p u n to e s la m is m a q u e la

d ire c c ió n en q u e u n a c a rg a p o s i t iv a + q se m o v e r ía

c u a n d o f u e ra c o lo c a d a en e s e p u n to . S u m a g n itu d

e s la fu e r z a p o r u n id a d d e c a rg a (F /q ) .

c u a n d o e s tá c o lo c a d a p re c is a m e n te e n e se p u n to (v é a se la f ig u ra 2 4 .2 ) . L a m a g n itu d d e la

in te n s id a d d e l c a m p o e lé c tr ic o e s tá d a d a p o r

E n e l s is te m a m é tr ic o , u n a u n id a d d e i n t e n s i d a d d e l c a m p o e lé c tr ic o e s e l n e w to n p o r c o u lo m b

(N /C ). L a u t i l id a d d e e s ta d e f in ic ió n r a d ic a e n q u e s i se c o n o c e e l c a m p o e n u n p u n to d a d o ,

p o d e m o s p re d e c i r la fu e rz a q u e a c tu a rá so b re c u a lq u ie r c a rg a s i tu a d a e n e se p u n to .

P u e s to q u e la in te n s id a d d e l c a m p o e lé c tr ic o se d e f in e e n té rm in o s d e u n a c a rg a p o s i t i v a ,

s u d ire c c ió n e n u n p u n to c u a lq u ie ra e s la m is m a q u e c o r r e s p o n d e r ía a la fu e rz a e le c tro s tá t ic a

so b re u n a c a rg a p o s i t iv a e n e s e m is m o p u n to .

La d i r e c c i ó n d e la i n t e n s i d a d d e l c a m p o e l é c t r i c o E e n u n p u n t o e n e l e s p a c i o

e s la m i s m a q u e la d i r e c c i ó n e n la q u e u n a c a r g a p o s i t i v a s e m o v e r ía s i s e c o ­

l o c a r a e n e s e p u n t o .

S o b re e s ta b a s e , e l c a m p o e lé c tr ic o e n la v e c in d a d d e u n a c a rg a p o s i t iv a + Q s e r ía h a c ia

a fu e ra , o a le já n d o s e d e la c a rg a , c o m o se in d ic a e n la f ig u ra 2 4 .3 a . E n la p ro x im id a d d e u n a

c a rg a n e g a t iv a — Q , la d ire c c ió n d e l c a m p o s e r ía h a c ia d e n tro , o a c e rc á n d o s e a l a c a rg a ( f ig u ra

2 4 .3 b ).

C a b e r e c o r d a r q u e la in te n s id a d d e l c a m p o e lé c tr ic o es u n a p ro p ie d a d a s ig n a d a a l e s p a c io

q u e r o d e a a u n c u e rp o c a rg a d o . A lre d e d o r de la T ie r ra e x is te u n c a m p o g ra v i ta c io n a l , h a y a o

n o u n a m a s a c o lo c a d a so b re e lla . D e fo rm a s im ila r , a lr e d e d o r d e u n c u e rp o c a rg a d o e x is te u n

c a m p o e lé c tr ic o , h a y a o n o u n a s e g u n d a c a rg a lo c a l iz a d a e n e l c a m p o . S i u n a c a rg a s e c o lo c a

e n e l c a m p o , e x p e r im e n ta rá u n a fu e rz a F d a d a p o r

d o n d e E = in te n s id a d d e l c a m p o

q = m a g n itu d d e la c a rg a c o lo c a d a e n e l c a m p o

S i q e s p o s it iv a , E y F te n d rá n la m is m a d ire c c ió n ; si q e s n e g a tiv a , la fu e rz a F e s ta r á e n d i ­

r e c c ió n o p u e s ta a l c a m p o E .

FE = — (24.4)

F = q E (24.5)

24.1 Concepto de campo 481

(b)

Figura 24.3 (a) El campo en la proximidad de una carga positiva tiene una dirección radial hacia fuera en

cualquier punto, (b) El campo se dirige hacia dentro o hacia una carga negativa.

La intensidad del campo eléctrico entre dos placas en la figura 24.4 es constante y está

dirigida hacia abajo. La magnitud de la intensidad del campo eléctrico es 6 X 104 N/C.

¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza eléctrica ejercida sobre un electrón

proyectado horizontalmente entre las dos placas?

Plan: La dirección de la intensidad del campo E se define en términos de la fuerza sobre

una carga de prueba positiva. La carga sobre un electrón es negativa (qe = —1.6 X 10-19

C), lo que implica que la fuerza sobre el electrón es hacia arriba (opuesta a la dirección

del campo). La intensidad del campo es la fuerza por unidad de carga, de modo que la

magnitud de la fuerza será el producto qE .

Solución: Con base en la ecuación (24.5), la fuerza es

F = qeE = (1.6 X 10"19C)(6 X 104 N/C)

= 9.6 X 10~15N (hacia arriba)

Recuerde que se usa el valor absoluto de la carga. La dirección de la fuerza F sobre una

carga positiva es la misma que la dirección de la intensidad del campo E; la fuerza sobre

una carga negativa es opuesta al campo.

Figura 24.4 Un electrón proyectado en un campo eléctrico de intensidad constante.

Puesto que la masa de un electrón es igual a 9.1 X 10 31 kg, demuestre que la fuerza gra-

vitacional sobre el electrón del ejemplo 24.1 puede ser despreciada.

Plan: La fuerza gravitacional es hacia abajo y se debe al peso (W = mg) del electrón.

Para determinar el efecto que esto tendrá en el movimiento del electrón debemos mirar si

el peso es significante en comparación con la magnitud de la fuerza del campo eléctrico.

24.3 Líneas del campo eléctrico 485

Campos eléctricos

1. Lea el problema, luego trace una figura y escriba en ella

las leyendas pertinentes. Indique las cargas positivas y

negativas a lo largo de las distancias dadas. Las cargas

deber expresarse en coulombs y las distancias en metros.

Recuerde que 1 ¡jl C = 1 X 10-6 C y 1 nC = 1 X 10~9 C.

2. Recuerde que el campo eléctrico E es una propiedad

del espacio que nos permite determinar la fuerza F que

una carga unitaria positiva q experimentaría si estuvie­

ra colocada en un punto determinado del espacio. El

campo existe en un punto en el espacio independiente­

mente de si esa carga está colocada o no en ese punto.

3. La magnitud del campo eléctrico debido a una sola

carga está dada por:

E = k = 9 X 109 N • m2/C 2r

Como se estudió para las fuerzas, debe tenerse cuidado

de no confundir la naturaleza de una carga (+ o —) con el

signo asignado a los campos eléctricos o a sus componen­

tes. La dirección del campo E en un punto determinado

coincide con la dirección en la que se movería una carga

de prueba positiva si se le colocara en ese punto.

5. El campo eléctrico resultante debido a cierto número

de cargas se determina mediante la suma vectorial de

los campos eléctricos debidos a cada carga considera­

da en forma independiente. Construya un diagrama de

cuerpo libre y realice la suma vectorial por el método

de las componentes.

E = Ej + E 2 + E 3 + . . . Suma vectorial

Líneas del campo eléctrico

En sus primeras investigaciones sobre el electromagnetismo, Michael Faraday (1791-1867)

desarrolló un ingenioso sistema para observar los campos eléctricos, el cual consiste en re­

presentar tanto la intensidad como la dirección de un campo mediante líneas imaginarias

denominadas líneas del campo eléctrico.

Las líneas del campo eléctrico son líneas imaginarias trazadas de tal manera

que su dirección en cualquier punto es la misma que la dirección del campo

eléctrico en ese punto.

Por ejemplo, las líneas trazadas radialmente hacia fuera de la carga positiva en la figura 24.3a re­

presentan la dirección del campo en cualquier punto sobre la línea. Las líneas eléctricas próximas

a una carga negativa tendrían una forma radial hacia dentro y estarían dirigidas hacia la carga,

como se advierte en la figura 24-3b. Después veremos que la densidad de estas líneas en cualquier

región del espacio es una medida de la magnitud de la intensidad del campo en esa región.

En general, la dirección del campo eléctrico en una región del espacio varía de un lugar

a otro; por tanto, normalmente las líneas eléctricas son curvas. Por ejemplo, consideremos la

construcción de una línea del campo eléctrico en la región situada entre una carga positiva y

una negativa, como se ilustra en la figura 24.8.

Figura 24.8 La dirección de una línea del campo

campo eléctrico resultante en ese punto.

eléctrico es la misma que la dirección de la intensidad del

486 Cap ítu lo 24 El campo eléctrico

(a) (b)

Figura 24.9 (a) Diagrama de las líneas del campo eléctrico en la región que rodea dos cargas opuestas, (b)

Las líneas del campo entre dos cargas positivas.

La dirección de la línea del campo eléctrico en cualquier punto es la misma que la del

vector resultante del campo eléctrico en ese punto. Deben seguirse dos reglas al construir

líneas del campo eléctrico:

1. La dirección de la línea del campo en cualquier punto es la misma que la dirección en la

que se movería una carga positiva si estuviera colocada en ese punto.

2. La separación entre las líneas del campo debe ser tal que estén más cercanas cuando el

campo sea fuerte y más alejadas cuando el campo sea débil.

Siguiendo estas reglas generales es posible construir líneas del campo eléctrico para los

dos casos comunes representados en la figura 24.9. Como consecuencia de la forma en que

se trazan las líneas eléctricas siempre saldrán cargas positivas y entrarán cargas negativas.

Ninguna línea puede originarse o terminar en el espacio, aunque un extremo de una línea

eléctrica puede extenderse hasta el infinito.

Ley de Gauss

Para cualquier distribución de carga podemos dibujar un número infinito de líneas eléctricas. Es

claro que si la separación entre las líneas será una indicación estándar de la intensidad del cam­

po, debemos establecer un límite al número de líneas trazadas para cada situación. Por ejemplo,

consideremos las líneas del campo dirigidas radialmente hacia fuera a partir de una carga pun­

tual positiva (véase la figura 24.10). Usaremos la letra N para representar el número de líneas

trazadas. Ahora imaginemos que una superficie esférica rodea la carga puntual a una distancia r

de la carga. La intensidad del campo en cualquier punto de una esfera así estaría dada por

kqE = - 4 (24.9)

N líneas Esfera imaginaria

Figura 24.10 La intensidad del campo eléctrico a una distancia r de las cargas puntuales es directamente

proporcional al número de líneas AN que penetran por unidad AA de una superficie esférica construida en

esa distancia.

24.4 Ley de Gauss 487

Partiendo de la forma en que se trazan las líneas del campo también podemos decir que el

campo en una pequeña porción de su área AA es proporcional al número de líneas AN que

penetran en esa área. En otras palabras, la densidad de líneas del campo (líneas por unidad de

área) es directamente proporcional a la intensidad del campo. Simbólicamente,

A Noc En (24.10)

El subíndice n indica que el campo es normal al área superficial en todas partes. Esta proporcio­

nalidad siempre es válida, independientemente del número total de líneas N que se pueden trazar.

Sin embargo, una vez que se elige una constante de proporcionalidad para la ecuación (24-10),

se establece automáticamente un límite para el número de líneas que pueden trazarse en cada si­

tuación. Se ha encontrado que la elección más conveniente para esta constante de espaciamiento

es e . Esto se conoce como permitividad del espacio libre y se define mediante la expresión

e0 = = 8.85 X 10” 12 C2/(N • m2) (24.11)47TK

donde k = 9 X 109 N • m2/C2 de la ley de Coulomb. Entonces, la ecuación (24.10) puede

escribirse como

A N— = e0En (24.12)

o bien

A N = €qE„AA (24.13)

Cuando En es constante por toda la superficie, el número total de líneas que se dirigen radial­

mente hacia fuera de la carga encerrada es

N = e0EnA (24.14)

Se puede notar que la elección de eQ es conveniente sustituyendo la ecuación (24.11) en

la ecuación (24.9):

1 qE„ = 24-77-eo r

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (24.14) y recordando que el área de una superficie

esférica es A = 4 ttr1 se obtiene

N = e0 EnA

60 9 ,A _-(477r-) = q

477e0 rL

La elección de eQ como la constante de proporcionalidad ha dado por resultado que el número

total de líneas que pasan normalmente a través de una superficie es numéricamente igual a

la carga contenida dentro de la superficie. Aunque este resultado se obtuvo usando una su­

perficie esférica, se aplicará a cualquier otra superficie. El planteamiento más general de ese

resultado se conoce como ley de Gauss:

El número total de líneas de fuerza eléctricas que cruzan cualquier superficie

cerrada en dirección hacia fuera es numéricamente igual a la carga neta total

contenida dentro de esa superficie.

N = ^ e0EnA — ^ q Ley de Gauss (24-15)

La ley de Gauss se utiliza para calcular la intensidad del campo cerca de las superficies de car­

ga. Esto representa una clara ventaja sobre los métodos desarrollados anteriormente debido a

que las ecuaciones anteriores se aplican sólo a cargas puntuales. La mejor forma de entender

la aplicación de la ley de Gauss es mediante ejemplos.

M agnet ism o

y cam po m agnét ico

Los instrumentos para

obtener imágenes de

resonancia magnética (MRI,

por sus siglas en inglés)

utilizan campos magnéticos

fuertes combinados con

pulsos de radiofrecuencia

(RF) para diagnosticar

muchos problemas médicos,

como esclerosis múltiple,

tumores e infecciones del

cerebro, la espina o de

articulaciones.

(.Fotografía © vol. 2751

Corbis.)

568 Cap ít u lo 29 M agnetismo y campo magnético

Objetivos

Cu an d o t erm in e d e est u d iar este cap ít u lo el alu m n o :

1. D em o st rará, m ed ian t e d e f in icio n es y e jem p lo s, su co m p ren sió n acerca d e es­

t o s t em as: magnetismo, inducción, retentividad, saturación y permeabilidad.

2. Escr ib irá y ap licará una ecu ació n q u e p erm it a re lacio n ar la fuerza m ag n ét ica

so b re una carg a en m o vim ien t o , con su ve lo cid ad , su carg a y su d irecció n , en

un cam p o co n o cid o d e d en sid ad d e f lu jo m ag n ét ico .

3. D et erm in ará la fuerza m ag n ét ica so b re un alam b re co n d u ct o r d e co rr ien t e

co lo cad o en un cam p o co n o cid o B.

4. Calcu lará la d en sid ad d e f lu jo m ag n ét ico (a) a una d ist an cia co n o cid a d el alam ­

b re co n d u ct o r d e la co rr ien t e, (b) en el cen t ro d e una esp ira d e co rr ien t e o

b o b ina y (c) en el in t er io r d e un so len o id e.

En capítulos anteriores hemos visto que las cargas eléctricas ejercen fuerzas entre sí. En este

capítulo se estudiarán las fuerzas magnéticas. Una fuerza magnética se puede originar por la pre­

sencia de cargas eléctricas en movimiento, y una fuerza eléctrica se puede generar a causa de un

campo magnético en movimiento. El funcionamiento de motores eléctricos, generadores, trans­

formadores, interruptores, televisores, receptores de radio y la mayoría de los medidores eléctricos

depende de la relación entre fuerzas eléctricas y magnéticas. Iniciaremos este capítulo estudiando

los efectos magnéticos asociados con los materiales y terminaremos analizando los efectos mag­

néticos producidos por las cargas en movimiento.

M agnetismo

Los primeros fenómenos magnéticos observados se relacionaron con fragmentos de piedra

de imán o magnetita (un óxido de hierro) encontrada cerca de la antigua ciudad de Magnesia

hace aproximadamente 2000 años. Se observó que estos imanes naturales atraían pequeños

trozos de hierro no magnetizado. Esta fuerza de atracción se conoce como magnetismo, y al

objeto que ejerce una fuerza magnética se le llama imán.

Si una barra imantada se introduce en un recipiente que contenga limaduras de hierro y

enseguida se retira, se aprecia que los minúsculos fragmentos de hierro se adhieren más fuer­

temente a las áreas pequeñas cercanas a los extremos (véase la figura 29.1). Estas regiones

donde parece concentrarse la fuerza del imán se llaman polos magnéticos.

Figura 29.1 La intensidad de un imán se concentra en la región cercana a sus extremos.

29.1 M agnetismo 569

Un d escu b r im ien t o

recien te d e g ran d es

zo nas d e m ateriales

m ag n ét ico s en M arte,

realizad o p o r la nave

esp acial M ars Glo b al

Surveyo r, ind ica q ue el

p laneta una vez tuvo

un cam p o m ag nét ico

m uy p arecid o al q ue

t ien e la Tierra hoy en

d ía. D eb id o a q ue los

cam p o s m ag n ét ico s,

en g en eral, actúan para

p ro t eg er a los p lan etas

d e m uchas fo rm as de

rad iació n có sm ica,

este d escu b r im ien t o

t ien e im p licacio n es

im p o rtan tes para

las p o sib ilid ad es d e

en co n t rar evid en cia

d e vid a p asad a en la

su p erf icie m arciana.

El estu d io d el cam p o

m ag n ét ico an t ig uo

tam b ién p ro p o rcio na

in fo rm ació n im p o rtan te

so b re la est ructu ra

in terio r, la t em p eratu ra

y la co m p o sició n de

M arte en el p asad o . La

p resencia d e cam p o s

m ag n ét ico s tam b ién

su g iere q ue una vez

M arte fue un p laneta

m ás d in ám ico co m o

la Tier ra d e lo q u e es

aho ra. (Fu en t e: N ASA.)

No se sab e cuáles

son las causas d el

cam p o m ag nét ico de

la Tier ra. Co m o o curre

con m ucho s fen ó m en o s

f ísico s, co n o cem o s

las p ro p ied ad es y la

exist en cia d el cam p o ,

p ero no su o rig en . Por

sig lo s, lo s m arinero s

han g u iad o sus b arco s

con b rú ju las, cuyo

m aterial m ag net izad o

se encuen t ra en

fo rm a natural o

p u ed e fab r icarse.

En la act u alid ad , los

cien t íf ico s creen q ue

los m o vim ien to s d e los

io nes d en t ro d el cent ro

líq u id o d el p laneta

causan este fen ó m en o .

N

(a) (b)

Figura 29.2 (a) Una barra de imán suspendida tenderá a permanecer en reposo en una dirección norte-sur.

(b ) Carátula de una brújula.

Cuando cualquier material magnético se suspende de un cordel, gira alrededor de un eje

vertical. En la figura 29.2 se ilustra cómo se alinea el imán en una dirección Norte-Sur. El

extremo que apunta hacia el Norte se llama el polo norte (N) del imán. Su opuesto, el extremo

que ve al sur se llama polo sur (S) del imán. La polarización del material magnético es lo que

cuenta para su aprovechamiento como brújula para la navegación. La brújula consiste en una

aguja ligera imantada que se apoya sobre un soporte con poca fricción.

Se puede demostrar fácilmente que los polos norte y sur del imán son diferentes. Cuando

se acerca al imán suspendido por la cuerda otra barra imantada, como muestra la figura 29.3,

los dos polos norte o los dos polos sur se repelen entre sí, mientras que el polo norte de uno y

el polo sur de otro se atraen mutuamente. La ley de la fuerza magnética establece que:

Po lo s m ag n ét ico s ¡g uales se rep elen y p o lo s m ag n ét ico s d iferen t es se at raen .

No existen polos aislados. No importa cuántas veces se rompa un imán por la mitad, cada

pieza resultante será un imán, con un polo norte y un polo sur. No se conoce una sola partícula

que sea capaz de crear un campo magnético de manera similar a como un protón o electrón

crean un campo eléctrico.

Figura 29.3 Los polos iguales se repelen entre sí; los polos diferentes se atraen.

570 Capítulo 29 M agnetismo y campo magnético

La atracción que ejercen los imanes sobre el hierro no magnetizado y las fuerzas de in­

teracción que surgen entre los polos magnéticos actúan a través de todas las sustancias. En

la industria, los materiales ferrosos que han sido desechados y se arrojan a la basura pueden

separarse para reutilizarlos por medio de imanes.

Campos magnéticos

Todo imán está rodeado por un espacio, en el cual se manifiestan sus efectos magnéticos. Dichas

regiones se llaman campos magnéticos. Así como las líneas del campo eléctrico fueron útiles

para describir los campos eléctricos, las líneas de campo magnético, llamadas líneas de flujo, son

muy útiles para visualizar los campos magnéticos. La dirección de una línea de flujo en cualquier

punto tiene la misma dirección de la fuerza magnética que actuaría sobre un polo norte imagina­

rio aislado y colocado en ese punto (véase la figura 29.4a). De acuerdo con esto, las líneas de flujo

magnético salen del polo norte de un imán y entran en el polo sur. A diferencia de las líneas de

campo eléctrico, las líneas de flujo magnético no tienen puntos iniciales o finales; forman espiras

continuas que pasan a través de la barra metálica, como muestra la figura 29.4b. Las líneas de

flujo en la región comprendida entre dos polos iguales o diferentes se ilustran en la figura 29.5.

Figura 29.4 (a) Las líneas de flujo magnético están en la dirección de la fuerza que se ejerce sobre un polo

norte independiente, (b) Las líneas de flujo cercanas a una barra imantada.

Figura 29.5 (a) Líneas de flujo magnético entre dos polos magnéticos diferentes, (b) Líneas de flujo mag­

nético entre dos polos iguales.

Electrón

ONúcleo

Figura 29.6 Dos tipos de

movimiento del electrón

son los que originan las

propiedades magnéticas.

La teoría moderna del magnetismo

En general se acepta que el magnetismo de la materia es el resultado del movimiento de los

electrones en los átomos de las sustancias. De ser así, el magnetismo es una propiedad de la

carga en movimiento y está estrechamente relacionado con el fenómeno eléctrico. De acuer­

do con la teoría clásica, los átomos individuales de una sustancia magnética son, en efecto,

diminutos imanes con polos norte y sur. La polaridad magnética de los átomos se basa prin­

cipalmente en el espín de los electrones y se debe, sólo en parte, a sus movimientos orbitales

alrededor del núcleo. La figura 29.6 ilustra los dos tipos de movimiento de los electrones. No

deben tomarse muy en serio los diagramas de este tipo, ya que aún se ignoran muchos aspec­

tos relacionados con el movimiento de los electrones. No obstante, creemos firmemente que

los campos magnéticos de todas las partículas deben ser causados por cargas en movimiento,

y tales modelos nos ayudan a describir tales fenómenos.

29.4 Densidad de flujo y permeabilidad 571

7^ / - +

' y

(b)

Figura 29 .7 (a) Los dominios magnéticos en un material magnetizado se encuentran orientados al azar,

(b) La orientación preferida de los dominios en un material magnetizado.

Tachuelas

Figura 29 .8 Inducción

magnética.

Los átomos en un material magnético están agrupados en microscópicas regiones

magnéticas conocidas como dominios. Se piensa que todos los átomos dentro de un

dominio están polarizados magnéticamente a lo largo de un eje cristalino. En un ma­

terial no magnetizado, estos dominios se orientan en direcciones al azar, como indican

las flechas de la figura 29.7a. Se usa un punto para indicar que una flecha está dirigida

hacia afuera del papel, y una cruz indica una dirección hacia adentro del papel. Si un

gran número de dominios se orientan en la misma dirección, como muestra la figura

29.7b, el material mostrará fuertes propiedades magnéticas.

Esta teoría del magnetismo es muy útil porque ofrece una explicación para gran número

de los efectos magnéticos observados en la materia. Por ejemplo, una barra de hierro no mag­

netizada se puede transformar en un imán simplemente sosteniendo otro imán cerca de ella o

en contacto con ella. Este proceso, llamado inducción magnética, se muestra en la figura 29.8. Las

tachuelas se convierten, por inducción, en imanes temporalmente. Observe que las tachuelas de la

derecha se magnetizaron, a pesar de que en realidad no se han puesto en contacto con el imán. La

inducción magnética se explica por medio de la teoría del dominio. La introducción de un campo

magnético provoca la alineación de los dominios, y eso da por resultado la magnetización.

El magnetismo inducido es, a menudo, sólo temporal, y cuando se retira el campo, los

dominios gradualmente se vuelven a desorientar. Si los dominios permanecen alineados en

cierto grado después de que el campo se ha eliminado, se dice que el material está permanen­

temente magnetizado. La capacidad de retener el magnetismo se conoce como retentividad.

Otra propiedad de los materiales magnéticos que se explica fácilmente a la luz de la

teoría del dominio es la saturación magnética. Tal parece que existe un límite para el grado

de magnetización que experimenta un material. Una vez que se ha alcanzado dicho límite,

ningún campo externo, por fuerte que sea, puede incrementar la magnetización. Se piensa que

todos sus dominios ya se han alineado.

Densidad de flujo y permeabilidad

En el capítulo 24 se estableció que las líneas de campo eléctrico se dibujan de modo que su

espaciamiento en cualquier punto permita determinar la fuerza del campo eléctrico en ese

punto (consulte la figura 29.9). El número de líneas AN dibujadas a través de la unidad de área

AA es directamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico E.

A N

A AeE (29.1)

Campo eléctrico

Densidad de x

las líneas AA

Líneas del campo

magnético <J?

Figura 29 .9 De igual forma en que el campo eléctrico es proporcional a la densidad de líneas del campo

eléctrico, el campo magnético es proporcional a la densidad de las líneas de flujo del campo magnético.

572 Capítulo 29 M agnetismo y campo magnético

La constante de proporcionalidad e, que determina el número de líneas dibujadas, es la

permitividad del medio a través del cual pasan las líneas.

Se puede realizar una descripción análoga de un campo magnético considerando al flujo

magnético O que pasa a través de una unidad de área perpendicular A±. A esta razón B se le

llama densidad de flu jo magnético.

La densidad de flujo magnético en una región de un campo magnético es el

número de líneas de flujo que pasan a través de una unidad de área perpen­

dicular en esa región.

O (flujo)B = — (29. 2)

Aj_ (área)

La unidad del flujo magnético en el SI es el weber (Wb). La unidad de densidad de flujo debe

ser entonces webers por metro cuadrado, que se redefine como tesla (T). Una antigua unidad

que todavía se usa hoy es el gauss (G). En resumen,

1 T = 1 Wb/m2 = 104 G (29.3)

" Una espira rectangular de 10 cm de ancho y 20 cm de largo forma un ángulo de 30° res­

pecto al flujo magnético en la figura 29.10. Si la densidad de flujo es 0.3 T, calcule el flujo

magnético O que penetra la espira.

Plan: El área efectiva penetrada por el flujo es la componente del área que es perpendi­

cular al flujo. Si 6 se elige como el ángulo que forma el plano de la espira con el campo

B, esta componente es simplemente A sen 8. La definición del campo B como densidad de

flujo se usará para calcular el flujo O que penetra en esa componente de área.

Solución: El área de la espira rectangular es

A = (0.10m)(0.20m) = 0.020m2

A partir de la ecuación (29.2), la magnitud del campo B se define como el flujo por unidad

de área perpendicular al campo. Por tanto, escribimos

<5B = --------- o O = BA sen 6

A sen 6

El flujo magnético en webers se determina por sustitución.

$ = (0.3 T)(0.02 m2) sen 30°

= 3 X 10“3 Wb = 3 mWb

Figura 29 .10 Cálculo del flujo magnético a través de una espira rectangular.

29.4 Densidad de flujo y perm eabilidad 573

La densidad de flujo en cualquier punto ubicado en un campo magnético se ve afectada

fuertemente por la naturaleza del medio o por la naturaleza del material que se ha colocado en

dicho medio. Por esta razón, es conveniente definir un nuevo vector de campo magnético, la

intensidad del campo magnético H, la cual no depende de la naturaleza de un medio. En cual­

quier caso, el número de líneas establecidas por unidad de área es directamente proporcional

a la intensidad del campo magnético H. Podemos escribir

$B = — = fiH (29.4)

A i

donde la constante de proporcionalidad /x es la permeabilidad del medio a través del cual

pasan las líneas de flujo. La ecuación (29.4) es exactamente análoga a la ecuación (29.1), la

cual se desarrolló para el caso de los campos eléctricos. Puede pensarse en la permeabilidad

de un medio como una característica que constituye la medida de su capacidad para establecer

líneas de flujo magnético. Cuanto mayor sea la permeabilidad del medio, más líneas de flujo

pasarán a través de la unidad de área.

La permeabilidad del espacio libre (vacío) se denota por /x0 y tiene la siguiente magnitud

en unidades del SI:

¡jl0 = 4tt X 1 0 -7 Wb/A • m = 477 X 1CT7 T • m/A

El significado completo de la unidad weber por ampere-metro se verá más adelante. Para su

determinación se emplean las unidades de O, A y / /d e la ecuación (29.4). Por tanto, en el caso

del vacío, se puede escribir así:

B = ¡JuqH Vacío (29.5)

Si un material no magnético, como el vidrio, se coloca en un campo magnético como el

que se muestra en la figura 29.11, la distribución del flujo no cambia apreciablemente en re­

lación con la que se ha establecido para el vacío. Sin embargo, cuando un material altamente

permeable, como el hierro dulce, se coloca en el mismo campo, la distribución del flujo se

altera considerablemente. El material permeable se puede magnetizar por inducción, lo que

da por resultado una mayor intensidad de campo para esa región. Por este motivo, la densidad

de flujo B también se conoce como inducción magnética.

Los materiales magnéticos se clasifican de acuerdo con su permeabilidad, comparada con

la que le corresponde al espacio vacío. La razón de la permeabilidad del material respecto a la

correspondiente al vacío se llama permeabilidad relativa y se expresa en esta forma:

¿x, = ~ (29.6)/¿o

Analizando las ecuaciones (29.5) y (29.6) se observa que la permeabilidad relativa de un ma­

terial es una medida de su capacidad para modificar la densidad de flujo de un campo a partir

de su valor en el vacío.

Figura 29.11 Un material permeable se magnetiza por inducción, lo que da por resultado una mayor den­

sidad de flujo en esa región.

574 Capítulo 29 M agnetismo y campo magnético

Los materiales con una permeabilidad relativa ligeramente menor que la unidad tienen

la propiedad de ser repelidos por un imán fuerte. Se dice que tales materiales son diamagné­

ticos, y la propiedad recibe el nombre de diamagnetismo. Por otra parte, los materiales con

una permeabilidad ligeramente mayor que la del vacío se dice que son paramagnéticos. Estos

materiales son atraídos débilmente por un imán poderoso.

Sólo unos cuantos materiales, como hierro, cobalto, níquel, acero y aleaciones de estos

metales, tienen permeabilidades extremadamente altas, que van desde algunos cientos hasta

varios miles de veces mayores que la correspondiente al espacio vacío. De dichos materiales,

que son fuertemente atraídos por un imán, se dice que son ferromagnéticos.

Figura 29 .12 Experimen­

to de Oersted.

Campo magnético y corriente eléctrica

Aunque la teoría moderna del magnetismo sostiene que un campo magnético resulta del mo­

vimiento de cargas, la ciencia no siempre ha aceptado esta idea. Es demasiado fácil demostrar

que un poderoso imán no ejerce ninguna fuerza sobre la carga estática. En el transcurso de

una demostración, en 1820, Hans Oersted presentó un experimento para que sus estudiantes

observaran que las cargas en movimiento y los imanes tampoco

interactuaban. Colocó la aguja magnética de una brújula cerca

de un conductor, como se aprecia en la figura 29.12. Para su

sorpresa, cuando envió la corriente a través del alambre, una

fuerza giratoria actuó sobre la aguja de la brújula hasta que ésta

apuntó en una dirección perpendicular al alambre. Más aún, la

magnitud de la fuerza dependía de la orientación relativa de

la aguja de la brújula y la dirección de la corriente. La máxima

fuerza de giro se presentó cuando el alambre y la aguja es­

taban en posición paralela antes de que circulara la corriente.

Si inicialmente estaban en posición perpendicular, no se ex­

perimentaba ninguna fuerza. Evidentemente, se establece un

campo magnético debido a la carga en movimiento a través del

conductor.

En el mismo año que Oersted hizo su descubrimiento, Ampére encontró que existen

fuerzas entre dos conductores por donde circula una corriente. Dos alambres por los que fluía

corriente en la misma dirección se atraían entre sí, mientras que corrientes con direcciones

opuestas originaban una fuerza de repulsión. Unos cuantos años después, Faraday descubrió

que el movimiento de un imán al acercarse o alejarse de un circuito eléctrico produce una

corriente en el circuito. La relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos ya no se puso

en duda. Actualmente, todos los fenómenos magnéticos pueden explicarse en términos de

cargas eléctricas en movimiento.

Fuerza sobre una carga en movimiento

Investiguemos los efectos de un campo magnético observando la fuerza magnética ejercida

sobre una carga que pasa a través del campo. Para estudiar estos efectos, es útil imaginar un

tubo de iones positivos como el de la figura 29.13. Dicho tubo nos permite inyectar un ion

positivo de carga y velocidad constantes en un campo de densidad de flujo magnético B.

Orientando el tubo en varias direcciones, podemos observar la fuerza ejercida sobre la carga

en movimiento. La observación más importante es que dicha carga experimenta una fuerza

que es perpendicular tanto a la densidad de flujo magnético B, como a la velocidad v de la

carga en movimiento. Observe que cuando el flujo magnético se dirige de izquierda a derecha

y la carga se mueve hacia donde está el lector, la carga se desvía hacia arriba. Si se invierte la

polaridad de los imanes, se provoca que la carga se desvíe hacia abajo.

La dirección de la fuerza magnética F sobre una carga positiva en movimiento con una

velocidad v en un campo de densidad de flujo B, puede considerarse mediante la regla del

tornillo de rosca derecha (véase la figura 29.14):

29.6 Fuerza sobre una carga en movimiento 575

Mano derecha Mano izquierda

-► B

Figura 29 .13 La fuerza magnética

F sobre una carga en movimiento

es perpendicular tanto a la densidad

de flujo B como a la velocidad de

carga v.

Regla de la mano izquierda

para la q negativa

Figura 29 .14 Uso de las reglas de la mano derecha y la mano izquierda para de­

terminar la dirección de la fuerza magnética en una carga en movimiento. Los dedos

apuntan en la dirección del campo B y el pulgar en la dirección de la carga en movi­

miento. La palma abierta está de cara a la dirección de la fuerza magnética. La mano

derecha se usa para cargas positivas y la izquierda para cargas negativas.

La regla de la mano derecha: Ext ienda la mano derecha con los dedos apun­

tando en la dirección del campo B y el pulgar apuntando en la dirección de

la velocidad v de la carga en movimiento. La palma abierta está de cara a la

fuerza magnética F sobre una carga posit iva.

Si la carga en movimiento es negativa, la dirección de la fuerza se determina siguiendo el

mismo procedimiento pero usando la mano izquierda. De esta manera la dirección de la fuer­

za magnética es opuesta a la dirección para una carga positiva.

Consideremos ahora la magnitud de la fuerza sobre una carga en movimiento. La experi­

mentación ha mostrado que la magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional

a la magnitud de la carga q y a su velocidad v. El tubo de ion positivo indicará, por medio de

mayores desviaciones, si alguno de estos parámetros aumenta.

Se observará una variación no esperada en la fuerza magnética si el tubo del ion se hace

girar lentamente respecto a la densidad de flujo magnético B. Como indica la figura 29.15,

para una carga dada con velocidad constante v, la magnitud de la fuerza varía con el ángulo

Fuerza y ángulo de la trayectoria

La fuerza magnética F depende de la dirección

de la carga en movimiento

F = qv sen 6

Figura 29 .15 La magnitud de la fuerza magnética adquiere su valor máximo cuando la trayectoria es per­

pendicular al campo y su valor mínimo cuando es paralela al mismo.

576 Capítulo 29 M agnetismo y campo magnético

Figura 2 9 .1 6 La fuerza magnética en una carga positiva que se mueve a 30° respecto al campo B.

que forma el tubo con el campo. La desviación de la partícula es máxima cuando la velocidad

de la carga es perpendicular al campo. Cuando el tubo se hace girar lentamente hacia B, la

desviación de la partícula disminuye gradualmente. Por último, cuando la velocidad de la car­

ga tiene una dirección paralela a B, no ocurre ninguna desviación, lo que indica que la fuerza

magnética ha caído hasta cero. Claramente la magnitud de la fuerza es función no sólo de la

magnitud de la carga y de su velocidad, sino que también varía con el ángulo 6 entre v y B. Esta

variación se explica al establecer que la fuerza magnética es proporcional a la componente de

la velocidad, v sen 6, perpendicular a la dirección del campo. (Consulte la figura 29.16.)

Las observaciones anteriores se resumen por la proporcionalidad

F oc qv sen 8 (29.7)

Si se eligen las unidades apropiadas, la constante de proporcionalidad puede igualarse con la

densidad de flujo magnético B del campo causante de la fuerza. En realidad, esta proporciona­

lidad se usa a menudo para definir la densidad de flujo magnético como una razón constante:

B =F

qv sen 9(29.8)

Un campo magnético que tenga una densidad de flujo equivalente a 1 tesla

(1 weber por metro cuadrado), ejercerá una fuerza igual a 1 newton sobre una

carga de 1 coulomb que se mueva en forma perpendicular al campo, con

una velocidad de 1 metro por segundo.

Como consecuencia de la ecuación (29.8), se observa que

1 T = 1N/(C • m/s) = 1 N/A • m (29.9)

Estas relaciones entre unidades son útiles para resolver problemas que incluyan fuerzas mag­

néticas. Despejando la fuerza F en la ecuación (29.8), obtenemos

F = qvB sen 6 (29.10)

que es la forma más útil para calcular directamente las fuerzas magnéticas. La fuerza F está

en newtons cuando la carga q se expresa en coulombs, la velocidad v se mide en metros por

segundo y la densidad de flujo B se expresa en teslas. El ángulo 6 indica la dirección de v

respecto a B. La fuerza F siempre es perpendicular tanto a v como a B. La dirección de estos

vectores puede determinarse por medio de la aplicación de la regla de la mano derecha.

Cuando se representan vectores tridimensionales gráficamente, resulta útil la convención de

utilizar cruces (X) para indicar una dirección hacia el papel. Estos símbolos podrían considerarse

el “inicio” de las flechas de vector. Usaremos puntos ( • ) para indicar puntas de flecha de vector

que apuntan hacia fuera del papel. En la figura 29.17 se muestran dos ejemplos de este tipo. Para

probar su comprensión del tema, verifique que la fuerza sobre la carga positiva es ascendente y

la que la fuerza en la carga negativa se dirige hacia la derecha.

29.7 Fuerza sobre un conductor por el que circula una corriente 577

X X X X X X X

X X X X X X X

X X X XF X X X

X X Xr

iX X X

X X XxX V

X X

- - - X - — X - - X - -é > X X

X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X X

Figura 29 .17 La dirección del campo B se indica por medio de cruces (hacia el papel) y puntos (hacia fuera

del papel). Verifique que la dirección de la fuerza sobre la carga positiva sea ascendente y que la dirección de

la fuerza sobre la carga negativa se dirija hacia la derecha.

Ejemplo 29.2 T Un electrón se proyecta de izquierda a derecha en un campo magnético dirigido vertical­

mente hacia abajo. La velocidad del electrón es de 2 X 106 m/s, y la densidad de flujo mag­

nético del campo es 0.3 T. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética

ejercida sobre el electrón.

Pía n: La carga del electrón es 1.6 X 10 19 C, la magnitud de la fuerza sobre el electrón se

calcula a partir de la ecuación (29.10) y la dirección se determina al aplicar la regla de la

mano izquierda. Se usa la mano izquierda porque la carga de un electrón es negativa.

Solución: El electrón se mueve en una dirección perpendicular a B. Por tanto, sen 0 = 1 ;

resolvemos para la fuerza en la siguiente forma:

F = qvB sen 90° = (1.6 X 10~19C)(2 X 106 m/s)(0.3 T )(l)

F = 9.60 X 10~14N

La aplicación de la regla de la mano izquierda para un electrón muestra que la dirección de

la fuerza es hacia afuera de la página, o hacia el lector. (Para una carga positiva como un

protón o una partícula alfa, sería hacia adentro de la página.)

Fuerza sobre un conductor por el que circula una

corriente

Cuando una corriente eléctrica / circula por un conductor que yace en un campo magnético

B, cada carga q que fluye a través del conductor experimenta una fuerza magnética F. Estas

fuerzas se transmiten al conductor como un todo, originando que cada unidad de longitud ex­

perimente una fuerza. Si la cantidad total de carga q pasa a través de la longitud L del alambre

(figura 29.17) con una velocidad media v, podemos escribir

F = qvB

La velocidad media para cada carga que recorre la longitud L en el tiempo t es L/t. Entonces,

la fuerza neta sobre la longitud completa es

LF = q ~ B

t

Ahora bien, como I = qlt, reordenamos y simplificamos para obtener

F = ILB

donde I representa la corriente en el alambre.

578 Capítulo 29 M agnetismo y campo magnético

F

x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x

qvB

J kx x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x

' H _ > _ L = £ /LX X X X X X X X L x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Figura 29 .18 Fuerza magnética sobre un conductor por el

cual fluye una corriente.

Mano derecha

Figura 29 .19 La fuerza magnética sobre un conductor por el

cual circula una corriente. La corriente está dirigida a un ángulo

9 respecto al campo B.

Del mismo modo que la magnitud de la fuerza sobre una carga en movimiento varía

según la dirección de la velocidad, así la fuerza F sobre un conductor por el que fluye co­

rriente depende del ángulo 9 que forma la corriente respecto al campo B. En general, si un

alambre de longitud / forma un ángulo 9 con el campo B, como se ilustra en la figura 29.19

dicho alambre experimentará una fuerza F dada en newtons por

F = ILB sen 9 (29.11)

donde / es la corriente que circula por el alambre expresada en amperes, B es el campo mag­

nético expresado en teslas, L es la longitud del alambre en metros y 9 es el ángulo que forma

el alambre con respecto al campo B.

La dirección de la fuerza magnética sobre un conductor a través del cual fluye corriente

puede determinarse mediante la regla de la mano derecha, en la misma forma que cuando se

trata de una carga en movimiento (ya que una corriente está moviendo la carga). Como mues­

tra la figura 29.19, cuando el pulgar apunta en la dirección de la corriente I y los dedos apuntan

en la dirección del campo magnético B. la palma de la mano está de cara a la dirección de la

fuerza magnética F. La dirección de la fuerza siempre es perpendicular tanto a I como a B.

Ejemplo 29.3 El alambre de la figura 29.19 forma un ángulo de 30° respecto a un campo B de 0.2 T, cuyo

valor es de 0.2 T. Suponiendo que la longitud del alambre sea 8 cm y que pase a través de él una

corriente de 4 A, determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el alambre.

Plan: La magnitud de la fuerza se determina al sustituir directamente en la ecuación

(29.11) y la dirección de la fuerza se obtiene al aplicar la regla de la mano derecha.

Solución: La longitud se convierte en metros (L = 8 cm = 0.08 m).

F = ILB sen 9 = (4 A)(0.08 m)(0.2 T) sen 30°

F = 0.032 N

La aplicación de la regla de la mano derecha muestra que la dirección de la fuerza es as­

cendente. Si la dirección de la corriente se invirtiera, la fuerza sería descendente.

Campo magnético de un conductor largo y recto

El experimento de Oersted demostró que una carga eléctrica en movimiento, o una corriente,

originan un campo magnético en el espacio que la rodea. Hasta ahora hemos estudiado la

fuerza que ese tipo de campo ejercerá sobre un segundo conductor por el que circula corrien­

te o sobre una carga en movimiento en el campo. A continuación se empezará a calcular los

campos magnéticos producidos por corrientes eléctricas.

Primero hay que examinar la densidad de flujo que rodea a un conductor largo y recto

que transporta una corriente constante. Si se esparcen limaduras de hierro sobre el papel que

rodea al conductor, como se aprecia en la figura 29.20, se alinearán en círculos concéntricos

29.8 Campo magnét ico de un conductor largo y recto 579

Limaduras

de hieiTO

Figura 29 .20 La regla de la mano derecha: Agarre el

conductor con la mano derecha; apunte el pulgar en la direc­

ción de /. Los dedos envuelven al conductor en la dirección

del campo circular B.

Figura 29.21 El campo magnético B a una dis­

tancia perpendicular r de un conductor largo por el

que fluye corriente.

alrededor del conductor.Una investigación similar del área que rodea al conductor con una

brújula magnética ratificará que el campo magnético es circular y que está dirigido en el sen­

tido del avance de las manecillas del reloj, como se ve a lo largo de la dirección de la corriente

convencional (positiva). Ampére ideó un método conveniente para determinar la dirección

del campo que rodea a un conductor recto, que recibió el nombre de regla del pulgar de la

mano derecha (consulte la figura 29.20).

Si el conductor se toma con la mano derecha de modo que el pulgar apunte

en la dirección de la corriente convencional, los demás dedos que sujetan al

conductor indicarán la dirección del campo magnético.

La inducción magnética, o densidad de flujo, a una distancia perpendicular el de un con­

ductor largo y recto por el que circula una corriente I, como muestra la figura 29.21, se puede

calcular a partir de

B =J±1

2irrConductor largo (29.12)

donde /x es la permeabilidad del medio que rodea al conductor. En los casos especiales del

vacío, el aire y los medios no magnéticos, la permeabilidad ¡i es

/j l = 4 t t X 10-7T - m/A (29.13)

Cuando se usa esta constante con la ecuación (29.12), es necesario que la corriente esté en

amperes, el campo en teslas y la distancia desde el conductor en metros.

Determine el campo magnético B en el aire a una distancia de 5 cm de un alambre largo

por el que circula una corriente de 8 A.

Plan: La magnitud del campo se calcula a partir de la ecuación (29.12) y la dirección se

determina por la regla del pulgar de la mano derecha.

Solución: Al sustituir r = 5 cm = 0.005 m e I = 8 A, obtenemos

_ / V _ (477 X 1Q~7T • m/A)(8 A)

~ 2tt-r ~ 2tt(0.05 m)

B = 3.2 X 10“5 T

Si el medio que rodea no es el aire o un vacío, se debe considerar que la permeabilidad

difiere de

580 Capítulo 29 M agnetismo y campo magnético

Otros campos magnéticos

Si un alambre se curva para darle la forma de una espira y sus extremos se conectan a una fuente

de comente, como aparece en la figura 29.22a, se establece un campo magnético semejante al de

un imán de barra. La regla del pulgar de la mano derecha seguirá siendo muy útil para conocer

la dirección del campo de una manera aproximada, pero en este caso las líneas de flujo no serán

de forma circular. La densidad de flujo magnético varía considerablemente de un punto a otro.

(a)

Figura 29 .22 El campo magnético en el centro de una espira circular.

La inducción magnética en el centro de una espira circular de radio r que transporta una

corriente I se calcula por medio de esta expresión:

¡±IB = —— Centro de la espira (29.14)

2 r

La dirección B es perpendicular al plano de la espira. Si el alambre forma parte de una bobina

con N vueltas, la ecuación (29.13) adopta esta forma:

fj.NIB = —— Centro de la bobina (29.15)

2 r

Un solenoide consiste en un devanado de muchas vueltas de alambre, enrolladas en for­

ma helicoidal, como se muestra en la figura 29.23. La inducción magnética en el interior de

Figura 29 .23 El solenoide.

29.10 Histéresis 581

un solenoide está dada por

Ejemplo 29.5

B = —— Solenoide (29.16)

donde N es el número de espiras, 1 es la corriente en amperes y L es la longitud del solenoide

en metros.

Un solenoide se construye devanando 400 vueltas de alambre en un núcleo de hierro de

20 cm. La permeabilidad relativa del hierro es de 13 000. ¿Qué corriente se requiere para

producir una inducción magnética de 0.5 T en el centro del solenoide?

Plan: Dado que se nos proporcionó la permeabilidad relativa, necesitamos multiplicar por

¡juQ para encontrar el valor de ¡x que usaremos en la ecuación (29.16), lo cual nos permitirá

resolver para la corriente I.

Solución: La permeabilidad relativa es 13 000, así que partiendo de la ecuación (29.6),

tenemos

¡ j ,r = — o ¡ j l = / jLr / ji0 = (13,000)(4tt X 10“7T • m/A)/¿o

fj. = 1.63 X 10”2T • m/A

Como N = 400 vueltas, L = 0.20 m y B = 0.5 T, resolvemos la ecuación (29.16) para la

corriente I.¡jlN I BL

B = - — o / = -----L ¡xN

(0.5 T)(0.20 m)/ = -------- --------£ ------------------ ; 7 = 0.0153 A

(1.63 X 10~2 T • m/A)(400)

Un tipo particular de solenoide, llamado toroide, se emplea a menudo para estudiar efectos

magnéticos. Como se verá en la siguiente sección, el toroide consta de una bobina de alambre

en forma de rosca, devanado en forma muy compacta. La densidad de flujo magnético en el

núcleo de un toroide también se calcula por medio de la ecuación (29.16).

HistéresisHemos visto que las líneas de flujo magnético son más numerosas en un solenoide con núcleo

de hierro que en un solenoide en aire. La densidad de flujo está relacionada con la permeabi­

lidad fx del material del que está hecho el núcleo del solenoide. Recuerde que la intensidad de

campo H y la densidad de flujo B se relacionan entre sí según la ecuación

B = ¡jl H

Al comparar esta relación con la ecuación (29.16) se ve que, para un solenoide,

NIH = — (29.17)

L

Observe que la intensidad magnética es independiente de la permeabilidad del núcleo. Es tan

sólo función del número de espiras N, de la corriente I y de la longitud del solenoide L. La

intensidad magnética se expresa en amperes por metro.

Es posible estudiar las propiedades magnéticas de la materia observando la densidad de

flujo B producido, ya sea como una función de la corriente magnetizante o bien como función

de la intensidad magnética H. Esto se puede hacer con más facilidad cuando a la sustancia se

le da una forma toroidal, como se muestra en la figura 29.24. El campo magnético originado

por una corriente en el devanado magnetizante se confina por completo al toroide. A este dis­

positivo se le llama a menudo anillo de Rowland, en honor a J. H. Rowland, quien lo utilizó

para estudiar las propiedades de muchos materiales.

582 Capítulo 29 M agnetismo y campo magnético

Suponga que empezamos a estudiar las propiedades magnéticas de un material con un

anillo de Rowland no magnetizado moldeado con la misma sustancia. Inicialmente, B = 0 y

H = 0. El interruptor se cierra, y la corriente magnetizante I aumenta gradualmente, produ­

ciendo una intensidad magnética dada por

donde L es la circunferencia del anillo. Puesto que el material está sometido a una intensidad

magnética H cada vez mayor, la densidad de flujo B se incrementa hasta que el material se

satura. Consulte la curva AB de la figura 29.25. Si ahora la corriente se disminuye en forma

gradual hasta cero, la densidad de flujo B a través del núcleo no retorna a cero, sino que retiene

cierta intensidad magnética, como se ilustra mediante la curva BC (esto en esencia corresponde

al magnetismo residual). La pérdida de la restitución magnética se conoce como histéresis.

H is t é r e s i s e s e l r e t r a so d e la m a g n e t i z a c i ó n r e s p e c t o a la i n t e n s id a d m a g n é t i c a .

La única forma de hacer que la densidad de flujo B dentro del anillo vuelva a cero es

invirtiendo la dirección de la corriente a través del devanado. Este procedimiento desarrolla

la intensidad magnética H en dirección opuesta, como muestra la curva CD. Si continúa la

magnetización para aumentar en dirección negativa, el material al cabo del tiempo se saturará

de nuevo con una polaridad invertida. (Consulte la curva DE.) Reduciendo la corriente a cero

nuevamente y luego incrementándola en la dirección positiva, se obtiene la curva EFB. A la

curva completa se le llama ciclo de histéresis.

El área encerrada por un ciclo de histéresis es una indicación de la cantidad de energía

que se pierde (en forma de calor), sometiendo a un material determinado a un ciclo de mag­

netización completo. La eficiencia de un gran número de dispositivos electromagnéticos está

basada en la selección de materiales magnéticos con baja histéresis. Por otra parte, en el caso

de los materiales que se desea mantener bien magnetizados, es necesario que éstos tengan una

histéresis elevada.

ResumenHemos visto que ios campos magnéticos son generados por

cargas en movimiento. En este principio fundamental se apo­

ya gran parte de lo que se verá a continuación en el estudio del

electromagnetismo. El funcionamiento de motores eléctricos,

generadores, transformadores y una variedad interminable

de instrumentos industriales requiere el conocimiento de los

campos magnéticos. Los principales conceptos se resumen a

continuación.

• La densidad de flujo magnético B en una región de un

campo magnético es el número de líneas de flujo que pa­

san a través de una unidad de área perpendicular al flujo.

BO _

A i Asen#

Densidad de flujo

magnético

donde $ = flujo, Wb

A = área de unidad m2

9 = ángulo que forma el plano del área

respecto al flujo

B = densidad de flujo magnético,

T (1 T = 1 Wb/m2)

La densidad de flujo magnético B es proporcional a la

intensidad del campo magnético H. La constante de pro­

porcionalidad es la permeabilidad del medio en el cual

existe el campo.

__ _ Para el vacío

A l ~ ^ P-o = 4 tt X 1(T7 T • m/A

La permeabilidad relativa p r es la razón p /p ü. Podemos

escribir

Un campo magnético de densidad de flujo igual a 1 T

ejercerá una fuerza de 1 N sobre una carga de 1 C que

se mueve en dirección perpendicular al campo con una

velocidad de 1 m/s. El caso general aparece descrito en

la figura 29.16, donde la carga se mueve formando un

ángulo 6 respecto al campo.

F = qvB sen 6 B =qv señé

Fuerza magnética

sobre una carga

en movimiento

La dirección de la fuerza magnética se puede determinar

por medio de la regla de la mano derecha, como se apre­

cia en la figura 29.14.

La fuerza F sobre un alambre por el cual circula una co­

rriente I formando un ángulo 6 con una densidad de flujo

B se calcula mediante

F = ILB sen (Fuerza magnética

sobre un conductor

donde L es la longitud del conductor.

Presentamos a continuación las ecuaciones que corres­

ponden a muchos campos magnéticos comunes:

¡J.1B = —

Alambre

2777* largo

¡aB = TT

Centro de

2 R una espira

ijlNI B = ^ —

Centro de

2 R una bobina

fj.NIB = —j— Solenoide

B = (í0iirH dondePermeabilidad

Pr = ---f¿0 relativa

Conceptos clavecampo magnético 570

ciclo de histéresis 582

densidad de flujo magnético 572

diamagnético 574

dominios 571

ferromagnético 574

histéresis 582

imán 568

inducción magnética 571

ley de la fuerza magnética 569

líneas de flujo magnético 570

magnetismo 568

paramagnético 574

permeabilidad 573

permeabilidad relativa 573

polos magnéticos 568

regla de la mano derecha 574

regla del pulgar de la mano derecha

579

retentividad 571

saturación magnética 571

solenoide 580

tesla 572

weber 572

583

Campo magnético

Problemas recuperados de Tippens P.E. Tema 20 Termodinámica. En Física conceptos

y aplicaciones 7° edición. Editorial Mc Graw Hill: 2011; pp 584 - 585

29.1. Una espira rectangular tiene un área de 200 cm2 y el plano de la espira forma un ángulo de 41° con un campo magnético de 0.28 T. ¿Cuál es el flujo magnético que penetra la espira? Resp. 3.67 X 10-3 Wb 29.3. Un campo horizontal constante de 0.5 T atraviesa una espira rectangular de 120 mm de largo y 70 mm de ancho. Determine cuál será el flujo magnético que atraviesa la espira cuando su plano forme los siguientes ángulos con el campo B: 0°, 30°, 60° y 90°. Resp. 0, 2.10 mWb, 3.64 mWb, 4.20 mWb

29.5. Un campo magnético de 50 μWb pasa a través de una espira perpendicular de alambre cuya área es 0.78 m2. ¿Cuál es la densidad de flujo magnético? Resp. 64.1 μT 29.19. ¿Cuál es la inducción magnética B en el aire en un punto localizado a 4 cm de un alambre largo que conduce una corriente de 6 A? Resp. 30 μT 29.21. Una bobina circular con 40 vueltas de alambre en el aire tiene 6 cm de radio y está en el mismo plano de la hoja. ¿Qué corriente deberá pasar por la bobina para producir una densidad de flujo de 2 mT en su centro? Resp. 4.77 A 29.23. Un solenoide de 30 cm de longitud y 4 cm de diámetro tiene un devanado de 400 vueltas de alambre enrolladas estrechamente en un material no magnético. Si la corriente en el alambre es de 6 A, calcule la inducción magnética a lo largo del centro del solenoide. Resp. 10.1 mT